सम्मिश्र तरंग-संख्या: संचरण और क्षीणन क्या है? — भौतिकी

परिभाषा 8.3 विश्वविद्यालय भौतिकी — वर्ष 2 · अध्याय 8 — परिक्षेपण और तरंग-पुंज

जब परिक्षेपण संबंध वास्तविक $\omega$ के लिए कोई सम्मिश्र $\underline k = k' - \iu k''$ देता है, तब तरंग

\underline s = A\,\eu^{-k''x}\,\eu^{\iu(\omega t - k'x)} :

होती है: वह $v_\varphi = \omega/k'$ से संचरित होती है और उसका आयाम $\eu^{-x/\delta}$ की तरह क्षय होता है, जहाँ क्षीणन लंबाई $\delta = 1/k''$ है (उसे अपनी संचरण-दिशा में क्षय होना चाहिए: अतः $k'$ और $k''$ एक ही चिह्न के)। यदि $\underline k$ शुद्ध काल्पनिक हो, $\underline k = -\iu\kappa$ , तो तरंग क्षयी है: $A\,\eu^{-\kappa x}\eu^{\iu\omega t}$ , अर्थात् कोई अप्रगामी दोलन जिसका आयाम $1/\kappa$ दूरी में मर जाता है और जो कुछ भी संचरित नहीं करता — यही अपने कटाव से नीचे क्लाइन–गॉर्डन माध्यम की दशा है, $\kappa = \sqrt{\omega_c^2 - \omega^2}/c$ , और प्रकाशिक आवृत्तियों पर किसी धातु की।

उदाहरण

उदाहरण 8.4 (अवमंदित तार)

किसी श्यान तरल में तार, $\mu\partial_t^2y + \alpha\partial_ty = T\partial_x^2y$ : $\underline k^2 = (\omega^2 - \iu\alpha\omega/\mu)/c^2$ । दुर्बल अवमंदन ( $\alpha \ll \mu \omega$ ) के लिए $\underline k \approx \dfrac\omega c\Bigl(1 - \iu\dfrac{\alpha}{2\mu\omega}\Bigr)$ : अर्थात् तरंग अपनी चाल बनाए रखती है और $\delta = 2\mu c/\alpha = 2Z/\alpha$ में आयाम खोती है, और वह भी आवृत्ति से स्वतंत्र — अर्थात् कोई क्षयकारी, अपरिक्षेपी हानि, प्रति $\delta$ लंबाई $8.7\,\mathrm{dB}$ ।

उदाहरण 8.11 (तीन केबलें)

1858 की अटलांटिक-पार केबल: गटापर्चा में लिपटा एक ही ताँबे का तार, $R \approx 3\,\Omega/\mathrm{km}$ , $\Gamma \approx 0.3\,\text{µ}\mathrm{F}/\mathrm{km}$ , $L = 3000\,\mathrm{km}$ : $R\Gamma = 9 \times 10^{-10}\,\mathrm{s}/\mathrm{m}^{2}$ और प्रति बिंदु $R\Gamma L^2 \approx 8\,\mathrm{s}$ : अर्थात् एक शब्द प्रति मिनट; और संकेत को $2\,\mathrm{kV}$ से ज़ोर देकर भेजने की चलाने वालों की कोशिशों ने कुछ ही सप्ताहों में विद्युतरोधन नष्ट कर दिया। हेविसाइड का प्रतिबंध पूरा करने के लिए प्रति $2\,\mathrm{km}$ कुंडलियों से भारित कोई दूरभाष-रेखा (1900): सैकड़ों किलोमीटर तक साफ़ बात। और कोई आधुनिक $50\,\Omega$ समाक्ष केबल: $c = 2 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $\Lambda = 0.25\,\text{µ}\mathrm{H}/\mathrm{m}$ , $\Gamma = 100\,\mathrm{pF}/\mathrm{m}$ , और चालकों में त्वचा-प्रभाव के कारण (अध्याय 14) $\sqrt f$ की तरह बढ़ता क्षीणन: $100\,\mathrm{MHz}$ पर प्रति सौ मीटर कुछ डेसिबल।

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