Physics · الكتاب 4 · Bachelor Year 2

الفيزياء الجامعية — السنة الثانية

الفيزياء الجامعية — السنة الثانية · Bachelor Year 2

14الأمواج الكهرمغناطيسية في البلازما والنواقل والعوازل

يعبر بثّ على الموجة القصيرة محيطًا بارتداده عن أعالي الجو، فيعكسه كالمرآة — ومع ذلك تمرّر الطبقة نفسها إشارات التلفزة والسواتل. وملعقة معدنية لامعة، وشبكة معدنية في باب فرن الموجات الصغرية تحبس الأمواج بينما تنظر إلى طعامك عبرها، وصفيحة زجاج شفافة للضوء وعاتمة على فوق البنفسجي. وفي كل حالة تدخل موجة مادةً، فتستجيب شحن المادة، وتغير استجابتها الموجة: سرعتها ووهنها، بل حتى أتنتشر أصلًا. وهذا الفصل يعالج النماذج الثلاثة المعيارية للوسط — أي غاز إلكترونات حرة، وناقل أومي، وإلكترونات مرتبطة — بالطريقة الواحدة التي تعالجها جميعًا: أضف التيار المحرَّض إلى معادلات ماكسويل واقرأ علاقة التبدد.

14.1 الأمواج في بلازما

تعريف 14.1 (البلازما؛ نموذج الإلكترونات الحرة)

البلازما غاز متعادل إجمالًا من إلكترونات حرة (كثافتها nn، وكتلتها mm، وشحنتها −e-e) وشوارد موجبة، وهي، لكونها أثقل بآلاف المرات، تُؤخذ ثابتة. وأعالي الجو (أي الأيونوسفير، و n∼1011n \sim 10^{11}–101210^{12} m−3^{-3})، وأنبوب تفريغ، وإكليل الشمس، و — عند التواترات الضوئية — إلكترونات ناقلية معدن، كلها بلازما. وتُهمَل التصادمات (فدور الموجة قصير بالقياس إلى الزمن بين تصادمين). وتواترها المميز هو تواتر البلازما

ωp=ne2ε0m,fp=ωp2π≈9 Hz×n [m−3]:\omega_p = \sqrt{\frac{ne^2}{\varepsilon_0m}} , \qquad f_p = \frac{\omega_p}{2\pi} \approx 9\,\text{Hz}\times\sqrt{n\,[\text{m}^{-3}]} :

أي 3 MHz3\,\mathrm{MHz} إلى 9 MHz9\,\mathrm{MHz} للأيونوسفير، و 2×1015 Hz2 \times 10^{15}\,\mathrm{Hz} (فوق بنفسجي) في المعدن.

مبرهنة 14.2 (علاقة تبدد بلازما)

من أجل موجة مستوية متقدمة توافقية مستعرضة E→‾=E→‾0ei(ωt−kx)\underline{\vect E} = \underline{\vect E}_0\eu^{\iu(\omega t - kx)} في بلازما، تتذبذب الإلكترونات بالسرعة v→‾=−eE→‾/imω\underline{\vect v} = -e\underline{\vect E}/\iu m\omega وتحمل كثافة التيار j→‾=γ‾E→‾\underline{\vect j} = \underline\gamma\underline{\vect E} مع γ‾=ne2/imω\underline\gamma = ne^2/\iu m\omega؛ وتعطي معادلات ماكسويل عندئذ

k2=ω2−ωp2c2.k^2 = \frac{\omega^2 - \omega_p^2}{c^2} .

وفوق ωp\omega_p تنتشر الموجة، مع vφ=c/1−ωp2/ω2>cv_\varphi = c/\sqrt{1 - \omega_p^2/\omega^2} > c و vg=c1−ωp2/ω2<cv_g = c\sqrt{1 - \omega_p^2/\omega^2} < c، و vφvg=c2v_\varphi v_g = c^2؛ ودون ωp\omega_p يكون k=−iκk = -\iu\kappa مع κ=ωp2−ω2/c\kappa = \sqrt{\omega_p^2 - \omega^2}/c: فالموجة متلاشية، تنفذ على مدى 1/κ1/\kappa وتنعكس انعكاسًا تامًّا (الفصل 15)؛ وتكون البلازما عندئذ مرآة. وعند ω≫ωp\omega \gg \omega_p لا تستطيع الإلكترونات المتابعة وتكون البلازما شفافة.

برهان. معادلة الحركة m  ⁣dv→/ ⁣dt=−eE→m\,\dd\vect v/\dd t = -e\vect E (فالقوة المغناطيسية evB∼evE/cev B \sim evE/c مهمَلة من أجل v≪cv \ll c، وحركة الشوارد أصغر بالمعامل m/Mm/M): ومنه imωv→‾=−eE→‾\iu m\omega\underline{\vect v} = -e\underline{\vect E}. ثم j→‾=−nev→‾\underline{\vect j} = -ne\underline{\vect v}. وتبقى البلازما متعادلة من أجل موجة مستعرضة (k→⋅E→=0\vect k\cdot\vect E = 0 يعطي ρ=0\rho = 0 بغاوس)، ومنه يُقرأ ماكسويل–أمبير −ik→∧B→‾=μ0γ‾E→‾+iωμ0ε0E→‾-\iu\vect k\wedge\underline{\vect B} = \mu_0\underline\gamma\underline{\vect E} + \iu\omega\mu_0\varepsilon_0\underline{\vect E} ويُقرأ ماكسويل–فاراداي B→‾=k→∧E→‾/ω\underline{\vect B} = \vect k \wedge\underline{\vect E}/\omega؛ وبالجمع، k2E→‾=μ0(iωγ‾−ω2ε0)(−1)E→‾k^2\underline{\vect E} = \mu_0(\iu\omega\underline\gamma - \omega^2\varepsilon_0)(-1)\underline{\vect E}، أي k2=ω2μ0ε0−iωμ0γ‾=(ω2−ne2/ε0m)/c2k^2 = \omega^2\mu_0\varepsilon_0 - \iu\omega\mu_0 \underline\gamma = (\omega^2 - ne^2/\varepsilon_0m)/c^2. وتنتج السرعات كما في الفصل 8. ∎

ملاحظة 14.3 (أين تذهب الطاقة)

الناقلية تخيلية: ومنه ⟨j→⋅E→⟩=0\langle\vect j\cdot\vect E\rangle = 0، فتأخذ الإلكترونات الطاقة من الموجة نصف دورة وتعيدها في النصف التالي — أي وسطًا بلا ضياع، تتوزع فيه طاقة الموجة بين المجالات والطاقة الحركية للإلكترونات، وتنتقل بالسرعة vgv_g. وتضيف التصادمات جزءًا حقيقيًّا صغيرًا إلى γ‾\underline\gamma و امتصاصًا صغيرًا: فطبقة D في الأيونوسفير تمتصّ الأمواج المتوسطة نهارًا، ولهذا تُلتقط محطات التضمين السعوي البعيدة ليلًا.

مثال 14.4 (الأيونوسفير والراديو)

مع n=1×1012 m−3n = 1 \times 10^{12}\,\mathrm{m}^{-3} في الطبقة F يكون fp=9 MHzf_p = 9\,\mathrm{MHz}: فبثوث الموجة القصيرة دونه تنعكس (ويمكن أن تقفز حول الأرض بين الأيونوسفير والأرض)، وأما التضمين الترددي (100 MHz100\,\mathrm{MHz}) والتلفزة ووصلات السواتل فتمرّ. وموجة عند 3 MHz3\,\mathrm{MHz} لا تنفذ إلا 1/κ=c/ωp2−ω2=6 m1/\kappa = c/\sqrt{\omega_p^2 - \omega^2} = 6\,\mathrm{m} في الطبقة قبل أن تعود. ومركبة فضائية تعود إلى الجو تُغلَّف ببلازما n∼1018n \sim 10^{18} m−3^{-3} و fp∼10 GHzf_p \sim 10\,\mathrm{GHz}: فيُفقد الاتصال الراديوي دقائق.

على اليمين: علاقة تبدد بلازما — فلا انتشار دون _p، وقطع زائد يقترب من خط الضوء فوقه. وعلى اليسار: الأمواج القصيرة دون تواتر البلازما يعكسها الأيونوسفير فتقفز حول الأرض؛ وأما التواترات الأعلى فتفلت إلى الفضاء. على اليمين: علاقة تبدد بلازما — فلا انتشار دون _p، وقطع زائد يقترب من خط الضوء فوقه. وعلى اليسار: الأمواج القصيرة دون تواتر البلازما يعكسها الأيونوسفير فتقفز حول الأرض؛ وأما التواترات الأعلى فتفلت إلى الفضاء.
على اليمين: علاقة تبدد بلازما — فلا انتشار دون ωp\omega_p، وقطع زائد يقترب من خط الضوء فوقه. وعلى اليسار: الأمواج القصيرة دون تواتر البلازما يعكسها الأيونوسفير فتقفز حول الأرض؛ وأما التواترات الأعلى فتفلت إلى الفضاء.

14.2 الأمواج في ناقل أومي: الأثر القشري

مبرهنة 14.5 (الأثر القشري)

في ناقل أومي (j→=γE→\vect j = \gamma\vect E، و γ\gamma حقيقية، عند تواترات يكون فيها ωτ≪1\omega\tau \ll 1 و ε0ω≪γ\varepsilon_0\omega \ll \gamma، أي دون ∼1×1016 Hz\sim1 \times 10^{16}\,\mathrm{Hz} في النحاس) يكون تيار الإزاحة مهمَلًا وتحقق المجالات معادلة الانتشار ΔE→=μ0γ ∂tE→\Delta\vect E = \mu_0\gamma\,\partial_t\vect E. ولموجة مستوية متقدمة توافقية تدخل الناقل عند x=0x = 0

k‾2=−iμ0γω,k‾=1−iδ,δ=2μ0γω,\underline k^2 = -\iu\mu_0\gamma\omega , \qquad \underline k = \frac{1 - \iu}\delta , \qquad \delta = \sqrt{\frac2{\mu_0\gamma\omega}} ,

ومنه E‾=E0 e−x/δei(ωt−x/δ)\underline E = E_0\,\eu^{-x/\delta}\eu^{\iu(\omega t - x/\delta)}: فهي تخمد على عمق القشرة δ\delta، وطورها يدور كذلك بمقدار راديان واحد في كل δ\delta — أي طول موجة 2πδ2\pi\delta، وسرعة طور ωδ≪c\omega\delta \ll c. وينحصر التيار j→=γE→\vect j = \gamma\vect E في طبقة سماكتها δ\delta تحت السطح، ويتأخر B→\vect B عن E→\vect E بمقدار 45∘45{}^{\circ} مع ∣B∣=∣E∣2/ωδ|B| = |E|\sqrt2/\omega\delta. وفي النحاس، δ=9.2 mm\delta = 9.2\,\mathrm{mm} عند 50 Hz50\,\mathrm{Hz}، و 0.21 mm0.21\,\mathrm{mm} عند 100 kHz100\,\mathrm{kHz}، و 2.1 µm2.1\,\text{µ}\mathrm{m} عند 1 GHz1\,\mathrm{GHz}.

برهان. curl→⁡B→=μ0γE→\operatorname{\vect{curl}}\vect B = \mu_0\gamma\vect E (بإسقاط تيار الإزاحة) و curl→⁡E→=−∂tB→\operatorname{\vect{curl}}\vect E = -\partial_t\vect B: وبأخذ دوّار الثانية، −ΔE→=−μ0γ∂tE→-\Delta\vect E = -\mu_0\gamma\partial_t\vect E (فالناقل متعادل، و div⁡E→=0\operatorname{div} \vect E = 0). ومن أجل ei(ωt−kx)\eu^{\iu(\omega t - kx)}: k2=−iμ0γωk^2 = -\iu\mu_0\gamma\omega، و −i=(1−i)/2\sqrt{-\iu} = (1 - \iu)/\sqrt2 يعطي k‾=(1−i)/δ\underline k = (1 - \iu)/\delta (وهو الجذر الذي يخمد داخل الناقل). وبفاراداي: B‾=k‾E‾/ω=(1−i)E‾/ωδ\underline B = \underline k\underline E/\omega = (1 - \iu) \underline E/\omega\delta، ومقياسه 2E/ωδ\sqrt2E/\omega\delta وطوره −π/4-\pi/4. ∎

على اليمين: المجال داخل ناقل — تذبذب متخامد، يموت في بضعة أعماق قشرة. وعلى اليسار: عمق قشرة النحاس و ماء البحر بدلالة التواتر: ميليمترات عند تواتر الشبكة، و ميكرومترات عند الغيغاهرتز؛ ولا يُدخِل البحر إلا أطول الأمواج الراديوية. على اليمين: المجال داخل ناقل — تذبذب متخامد، يموت في بضعة أعماق قشرة. وعلى اليسار: عمق قشرة النحاس و ماء البحر بدلالة التواتر: ميليمترات عند تواتر الشبكة، و ميكرومترات عند الغيغاهرتز؛ ولا يُدخِل البحر إلا أطول الأمواج الراديوية.
على اليمين: المجال داخل ناقل — تذبذب متخامد، يموت في بضعة أعماق قشرة. وعلى اليسار: عمق قشرة النحاس و ماء البحر بدلالة التواتر: ميليمترات عند تواتر الشبكة، و ميكرومترات عند الغيغاهرتز؛ ولا يُدخِل البحر إلا أطول الأمواج الراديوية.

مثال 14.6 (نتائج الأثر القشري)

(1) سلك نصف قطره a≫δa \gg \delta يحمل تياره في حلقة سماكتها δ\delta: فترتفع مقاومته من 1/γπa21/\gamma\pi a^2 إلى نحو 1/γ2πaδ1/\gamma 2\pi a\delta في المتر — ومن أجل سلك نحاسي قطره 1 mm1\,\mathrm{mm}، أربعة أضعاف القيمة المستمرة عند 1 MHz1\,\mathrm{MHz}، ومئة ضعف عند 1 GHz1\,\mathrm{GHz}. وتستعمل وشائع التواتر العالي سلك «ليتز» (وهو خيوط كثيرة معزولة) أو أنابيب مطلية بالفضة؛ وتُجدَل نواقل شبكة الكهرباء بغلاف من الألومنيوم. (2) و صندوق معدني يوهن موجة بالعامل e−d/δ\eu^{-d/\delta} لكل سماكة dd: فحاوية ألومنيوم سماكتها 1 mm1\,\mathrm{mm} تحجب 1 MHz1\,\mathrm{MHz} بمقدار 100 dB100\,\mathrm{dB} لكنها لا تحجب 50 Hz50\,\mathrm{Hz} إلا بالكاد — فالمجالات المغناطيسية المنخفضة التواتر تحتاج إلى الحديد. (3) ولا تتلقى الغواصات إلا الراديو الطويل الموجة جدًّا (δ=2.3 m\delta = 2.3\,\mathrm{m} عند 10 kHz10\,\mathrm{kHz} في ماء البحر)؛ وتُكشف الألغام بالتيارات الدوّامية التي تحرّضها وشيعة فيها (الفصل 11، وزمن الانتشار μ0γd2\mu_0\gamma d^2).

14.3 الأمواج في عازل: الإلكترون المرتبط

قضية 14.7 (الإلكترون المرتبط ارتباطًا مرنًا؛ القرينة العقدية)

في عازل يرتبط كل إلكترون بذرّته: فانتقال r→\vect r عن التوازن يستدعي قوة إرجاع −mω02r→-m\omega_0^2\vect r و تخامدًا −mΓ  ⁣dr→/ ⁣dt-m\Gamma\,\dd\vect r/\dd t (وهو الطاقة المشعّة أو المسلَّمة إلى الشبكة). ومقودًا بالموجة، mr→¨=−mω02r→−mΓr→˙−eE→m\ddot{\vect r} = -m\omega_0^2\vect r - m\Gamma\dot{\vect r} - e\vect E؛ وتعطي الإلكترونات المنتقلة الوسطَ استقطابًا (أي عزم ثنائي قطب في واحدة الحجم) P→=−ner→=ε0χ‾(ω)E→‾\vect P = -ne\vect r = \varepsilon_0\underline\chi(\omega) \underline{\vect E} مع القابلية

χ‾(ω)=ωp2ω02−ω2+iΓω,ωp2=ne2ε0m,\underline\chi(\omega) = \frac{\omega_p^2}{\omega_0^2 - \omega^2 + \iu\Gamma\omega} , \qquad \omega_p^2 = \frac{ne^2}{\varepsilon_0m} ,

والتيار المرتبط j→=∂tP→\vect j = \partial_t\vect P. وتعطي معادلات ماكسويل عندئذ

k‾2=ω2c2 (1+χ‾)=ω2c2 n‾2,n‾=n′−in′′,\underline k^2 = \frac{\omega^2}{c^2}\,(1 + \underline\chi) = \frac{\omega^2}{c^2}\,\underline n^2 , \qquad \underline n = n' - \iu n'' ,

حيث n′n' قرينة الانكسار (وسرعة الطور c/n′c/n') و n′′n'' الإخماد (وتخمد الشدة مثل e−2n′′ωx/c\eu^{-2n''\omega x/c}). وبعيدًا دون رنين (ω≪ω0\omega \ll \omega_0، و Γ\Gamma مهمَل)، n′2≈1+ωp2/ω02+ωp2ω2/ω04n'^2 \approx 1 + \omega_p^2/\omega_0^2 + \omega_p^2\omega^2/\omega_0^4: فالقرينة ترتفع مع التواتر — وهو التبدد العادي، وقانون كوشي n≈A+B/λ2n \approx A + B/\lambda^2 — والامتصاص مهمَل؛ وبجوار ω0\omega_0 يمتصّ الوسط، وفوقه مباشرةً تهبط n′n' مع ω\omega (وهو التبدد الشاذّ).

برهان. بالسعات العقدية: (ω02−ω2+iΓω)r→‾=−eE→‾/m(\omega_0^2 - \omega^2 + \iu\Gamma\omega)\underline{\vect r} = -e\underline{\vect E} /m؛ و P→‾=−ner→‾\underline{\vect P} = -ne\underline{\vect r}. ثم، كما في البلازما، k2=ω2μ0ε0−iωμ0γ‾k^2 = \omega^2\mu_0 \varepsilon_0 - \iu\omega\mu_0\underline\gamma مع j→‾=iωP→‾=iωε0χ‾E→‾\underline{\vect j} = \iu\omega\underline{\vect P} = \iu\omega\varepsilon_0 \underline\chi\underline{\vect E}، أي γ‾=iωε0χ‾\underline\gamma = \iu\omega\varepsilon_0\underline\chi: ومنه k2=(ω2/c2)(1+χ‾)k^2 = (\omega^2/c^2) (1 + \underline\chi). (والبلازما هي الحالة ω0=0\omega_0 = 0 و Γ=0\Gamma = 0.) والنشر: 1/(ω02−ω2)≈(1+ω2/ω02)/ω021/(\omega_0^2 - \omega^2) \approx (1 + \omega^2/\omega_0^2)/\omega_0^2. ∎

نموذج الإلكترون المرتبط (نموذج لورنتس): يرتفع الجزء الحقيقي من القرينة مع التواتر دون الرنين (وهو التبدد العادي: فالبنفسجي أبطأ من الأحمر في الزجاج)، ويبلغ الجزء التخيلي ذروته عند الرنين (أي الامتصاص)، وتهبط القرينة عبر الرنين (وهو التبدد الشاذّ).
نموذج الإلكترون المرتبط (نموذج لورنتس): يرتفع الجزء الحقيقي من القرينة مع التواتر دون الرنين (وهو التبدد العادي: فالبنفسجي أبطأ من الأحمر في الزجاج)، ويبلغ الجزء التخيلي ذروته عند الرنين (أي الامتصاص)، وتهبط القرينة عبر الرنين (وهو التبدد الشاذّ).

مثال 14.8 (الزجاج والماء والهواء)

للزجاج رنيناته الإلكترونية في فوق البنفسجي (ω0∼1016\omega_0 \sim 10^{16} راديان في الثانية): فهو في المرئي شفاف ومتبدّد، و n=1.51n = 1.51 عند 700 nm700\,\mathrm{nm}، و 1.531.53 عند 400 nm400\,\mathrm{nm}، وهو ما يكفي لموشور كي ينشر قوس قزح ولنبضات ليف كي تتمدد (الفصل 8)؛ وفي فوق البنفسجي يمتصّ — فلا تسمرّ خلف نافذة. وللماء، فوق ذلك، رنين دوراني لجزيئاته القطبية بجوار 20 GHz20\,\mathrm{GHz} (وهو استرخاء ديباي لا خط حادّ): فيمتصّ الموجات الصغرية بشدة، وذلك يسخّن الطعام ويعمي الرادار في المطر، وله n′′≈0n'' \approx 0 في نافذة مرئية ضيّقة — وهي النافذة التي تطوّرت العيون عبرها. وأما الهواء، و n−1=2.9×10−4n - 1 = 2.9 \times 10^{-4}، فما زال يحني الشمس الغاربة بنصف درجة.

ملاحظة 14.9 (معادلة واحدة وثلاثة أوساط)

يدخل كل وسط خطي معادلات ماكسويل عبر تياره المحرَّض j→‾=γ‾(ω)E→‾\underline{\vect j} = \underline\gamma(\omega)\underline{\vect E}، وتكون علاقة التبدد دائمًا k‾2=ω2/c2−iωμ0γ‾(ω)\underline k^2 = \omega^2/c^2 - \iu\omega\mu_0\underline\gamma(\omega):

الوسطγ‾(ω)\underline\gamma(\omega)k‾2\underline k^2
بلازماne2/imωne^2/\iu m\omega (تخيلية)(ω2−ωp2)/c2(\omega^2 - \omega_p^2)/c^2: تواتر قطع
ناقل أوميγ\gamma (حقيقية)−iμ0γω-\iu\mu_0\gamma\omega: أثر قشري
عازلiωε0χ‾(ω)\iu\omega\varepsilon_0\underline\chi(\omega)(ω2/c2)(1+χ‾)(\omega^2/c^2)(1 + \underline\chi): قرينة

والمعدن هو الثلاثة تباعًا: أومي دون 1×1013 Hz1 \times 10^{13}\,\mathrm{Hz}، وبلازما (عاكسة) في المرئي، وشفاف في فوق البنفسجي البعيد.

طريقة 14.10 (الأمواج في وسط)

(1) اكتب معادلة حركة الشحن واحصل على j→‾=γ‾E→‾\underline{\vect j} = \underline\gamma\underline{\vect E}. (2) وأدخلها في ماكسويل–أمبير مع افتراض الموجة المستوية المتقدمة التوافقية: k‾2=ω2/c2−iωμ0γ‾\underline k^2 = \omega^2/c^2 - \iu\omega\mu_0\underline\gamma. (3) وخذ الجذر الذي Im⁡k≤0\operatorname{Im}k \le 0 (أي الخمود في جهة السير)، وافصل الجزء الحقيقي (الانتشار، و vφ=ω/k′v_\varphi = \omega/k') عن التخيلي (الوهن). (4) وميّز الأنظمة في التواتر — منتشر، أو متلاشٍ، أو ماصّ — والتواتر المميز (ωp\omega_p، أو 1/μ0γδ21/\mu_0\gamma\delta^2، أو ω0\omega_0). (5) وأوجد B→\vect B من فاراداي، وعند الحاجة تدفق بوينتنغ والاستطاعة المبدَّدة.

14.4 تمارين

تمرين 14.1 ★

تواترات البلازما من أجل n=1×1011 m−3n = 1 \times 10^{11}\,\mathrm{m}^{-3} (الأيونوسفير ليلًا)، و 1×1012 m−31 \times 10^{12}\,\mathrm{m}^{-3} (نهارًا)، و 1×1018 m−31 \times 10^{18}\,\mathrm{m}^{-3} (غلاف العودة)، و 8.5×1028 m−38.5 \times 10^{28}\,\mathrm{m}^{-3} (النحاس)، و 1×105 m−31 \times 10^{5}\,\mathrm{m}^{-3} (الفضاء بين النجوم). وأي مما يلي يمرّ في كل حالة: محطة تضمين سعوي عند 1 MHz1\,\mathrm{MHz}، ومحطة تضمين ترددي عند 100 MHz100\,\mathrm{MHz}، و إشارة نظام تحديد المواقع عند 1.5 GHz1.5\,\mathrm{GHz}، والضوء المرئي؟

حل

حل التمرين 14.1.

fp≈9nf_p \approx 9\sqrt n هرتز: أي 2.8 MHz2.8\,\mathrm{MHz} و 9 MHz9\,\mathrm{MHz} و 9 GHz9\,\mathrm{GHz} و 2.6×1015 Hz2.6 \times 10^{15}\,\mathrm{Hz} (و λp=115 nm\lambda_p = 115\,\mathrm{nm}) و 2.8 kHz2.8\,\mathrm{kHz}. والتضمين السعوي عند 1 MHz1\,\mathrm{MHz}: لا يمرّ إلا عبر الفضاء بين النجوم. والتضمين الترددي: يمرّ عبر الأيونوسفير لا عبر غلاف العودة. وتحديد المواقع: عبر كل شيء إلا غلاف العودة. والضوء: عبر كل شيء إلا النحاس.

تمرين 14.2 ★

عمق القشرة في النحاس (γ=6.0×107 S/m\gamma = 6.0 \times 10^{7}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}) عند 50 Hz50\,\mathrm{Hz} و 1 kHz1\,\mathrm{kHz} و 1 MHz1\,\mathrm{MHz} و 1 GHz1\,\mathrm{GHz}؛ وفي الألومنيوم (3.6×107 S/m3.6 \times 10^{7}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}) عند 1 MHz1\,\mathrm{MHz}؛ وفي ماء البحر (5 S/m5\,\mathrm{S}/\mathrm{m}) عند 10 kHz10\,\mathrm{kHz} و 1 GHz1\,\mathrm{GHz}؛ وفي تربة رطبة (1×10−2 S/m1 \times 10^{-2}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}) عند 1 MHz1\,\mathrm{MHz}. وأي التواترات الراديوية تبلغ غواصة على 10 m10\,\mathrm{m}؟

حل

حل التمرين 14.2.

النحاس: 9.2 mm9.2\,\mathrm{mm} و 2.1 mm2.1\,\mathrm{mm} و 65 µm65\,\text{µ}\mathrm{m} و 2.1 µm2.1\,\text{µ}\mathrm{m}؛ والألومنيوم عند 1 MHz1\,\mathrm{MHz}: 84 µm84\,\text{µ}\mathrm{m}؛ وماء البحر: 2.3 m2.3\,\mathrm{m} عند 10 kHz10\,\mathrm{kHz}، و 7 mm7\,\mathrm{mm} عند 1 GHz1\,\mathrm{GHz}؛ والتربة: 5 m5\,\mathrm{m} عند 1 MHz1\,\mathrm{MHz}. وغواصة على 10 m10\,\mathrm{m} تحتاج δ≳10 m\delta \gtrsim 10\,\mathrm{m}: أي دون نحو 500 Hz500\,\mathrm{Hz}.

تمرين 14.3 ★

زجاج يحقق n=1.50+4.5×103 nm2/λ2n = 1.50 + 4.5 \times 10^{3}\,\mathrm{nm}^{2}/\lambda^2. أوجد القرينة عند 400 nm400\,\mathrm{nm} و 550 nm550\,\mathrm{nm} و 700 nm700\,\mathrm{nm}؛ وسرعات الطور؛ وقرينة المجموعة ng=n−λ  ⁣dn/ ⁣dλn_g = n - \lambda\,\dd n/\dd\lambda عند 550 nm550\,\mathrm{nm}؛ والانتشار الزاوي لحزمة بيضاء تنكسر عند ورود 45∘45{}^{\circ} في الزجاج.

حل

حل التمرين 14.3.

n=1.528n = 1.528 و 1.5151.515 و 1.5091.509؛ و v=1.963v = 1.963 و 1.9801.980 و 1.987×108 m/s1.987 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}؛ و ng=n+2B/λ2=1.545n_g = n + 2B/\lambda^2 = 1.545. وزاويتا الانكسار arcsin⁡(0.707/n)\arcsin(0.707/n): أي 27.57∘27.57{}^{\circ} و 27.93∘27.93{}^{\circ}: فالانتشار 0.36∘0.36{}^{\circ}.

تمرين 14.4 ★

موجة عند 5 MHz5\,\mathrm{MHz} تلقى طبقة فيها n=2×1011 m−3n = 2 \times 10^{11}\,\mathrm{m}^{-3}: أتنعكس؟ وأوجد عمق النفوذ؛ والأمر نفسه عند 2 MHz2\,\mathrm{MHz}؛ وأصغر تواتر يعبر طبقة فيها n=1.5×1012 m−3n = 1.5 \times 10^{12}\,\mathrm{m}^{-3}. ولماذا «تنفتح» حزم الموجة القصيرة و«تنغلق» مع الساعة ومع الدورة الشمسية؟

حل

حل التمرين 14.4.

fp=4.0 MHzf_p = 4.0\,\mathrm{MHz}: فالتواتر 5 MHz5\,\mathrm{MHz} يمرّ؛ و 2 MHz2\,\mathrm{MHz} تنعكس، نافذةً c/ωp2−ω2=14 mc/\sqrt{\omega_p^2 - \omega^2} = 14\,\mathrm{m}. ومن أجل n=1.5×1012 m−3n = 1.5 \times 10^{12}\,\mathrm{m}^{-3}: 11 MHz11\,\mathrm{MHz}. و تتبع الكثافة تدفق الشمس المؤيِّن — الساعة والفصل و الدورة ذات الإحدى عشرة سنة — ومنه يتحرك أعلى تواتر صالح معها.

تمرين 14.5 ★★

المقاومة المتناوبة. سلك نحاسي نصف قطره a=1.0 mma = 1.0\,\mathrm{mm}. (أ) أوجد المقاومة المستمرة في المتر. (ب) وعند 1 MHz1\,\mathrm{MHz}: أوجد δ\delta؛ والمقاومة التقريبية في المتر مع انحصار التيار في حلقة سماكتها δ\delta؛ والنسبة إلى المستمرة. (ج) وعند 100 MHz100\,\mathrm{MHz}. (د) ولماذا يكون لوشيعة من NN لفة من هذا السلك عامل جودة يكفّ عن التحسن مع NN عند التواتر العالي، وما سلك ليتز؟

حل

حل التمرين 14.5.

(أ) 1/γπa2=5.3 mΩ/m1/\gamma\pi a^2 = 5.3\,\mathrm{m}\Omega/\mathrm{m}. (ب) δ=65 µm\delta = 65\,\text{µ}\mathrm{m}؛ و R≈1/γ2πaδ=41 mΩ/mR \approx 1/\gamma2\pi a\delta = 41\,\mathrm{m}\Omega/\mathrm{m}، أي 7.77.7 أضعاف المستمرة. (ج) δ=6.5 µm\delta = 6.5\,\text{µ}\mathrm{m}، و 0.41 Ω/m0.41\,\Omega/\mathrm{m}، أي 7777 ضعفًا. (د) و R∝fR \propto \sqrt f ينمو بسرعة LωL\omega نفسها متى هيمنت القشرة، وكل لفة تضيف مقاومة؛ وسلك ليتز يحزم خيوطًا كثيرة معزولة أرقّ من δ\delta، فيوصّل النحاس كله.

تمرين 14.6 ★★

التدريع. صندوق من الألومنيوم (γ=3.6×107 S/m\gamma = 3.6 \times 10^{7}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}) سماكته 1.0 mm1.0\,\mathrm{mm}. أوجد وهن سعة المجال عبر الجدار، بالديسيبل، عند 50 Hz50\,\mathrm{Hz} و 10 kHz10\,\mathrm{kHz} و 1 MHz1\,\mathrm{MHz} (بالعامل e−d/δ\eu^{-d/\delta}، وبإهمال الانعكاس عند السطحين). ولماذا يُدرَّع مجال الشبكة المغناطيسي بالحديد (العالي النفوذية) لا بالنحاس؟

حل

حل التمرين 14.6.

δالألومنيوم=11.9\delta_{\text{الألومنيوم}} = 11.9 و 0.840.84 و 0.084 mm0.084\,\mathrm{mm}: ومنه d/δ=0.08d/\delta = 0.08 و 1.21.2 و 1212: أي 0.70.7 و 1010 و 103 dB103\,\mathrm{dB}. وعند 50 Hz50\,\mathrm{Hz} يكون الناقل شفافًا؛ والحديد العالي μr\mu_r يحرف التدفق (تدريعًا مغناطيسيًّا) ويقلّص δ\delta كذلك بالمعامل μr\sqrt{\mu_r}.

تمرين 14.7 ★★

الطاقة في بلازما. من أجل الموجة المستعرضة في المبرهنة 14.2: (أ) أوجد سعة سرعة الإلكترونات وكثافة الطاقة الحركية 12nm⟨v2⟩\tfrac12nm\langle v^2\rangle. (ب) وكثافتي الطاقة الكهربائية والمغناطيسية الوسطيتين. (ج) وبيّن أن كثافة الطاقة الكلية هي 12ε0E02(1+… )\tfrac12\varepsilon_0E_0^2(1 + \dots) — واحسب القوس — وأن ⟨Π⟩\langle\Pi\rangle مقسومًا عليها يساوي vgv_g. (د) وأي نسبة من الطاقة تكون في الإلكترونات عند ω=2ωp\omega = 2\omega_p؟

حل

حل التمرين 14.7.

(أ) v0=eE0/mωv_0 = eE_0/m\omega؛ و 12nm⟨v2⟩=ne2E02/4mω2=14ε0E02 ωp2/ω2\tfrac12nm\langle v^2\rangle = ne^2E_0^2/4m\omega^2 = \tfrac14\varepsilon_0 E_0^2\,\omega_p^2/\omega^2. (ب) 14ε0E02\tfrac14\varepsilon_0E_0^2 و 14ε0E02(1−ωp2/ω2)\tfrac14\varepsilon_0E_0^2(1 - \omega_p^2/ \omega^2). (ج) والمجموع 12ε0E02\tfrac12\varepsilon_0E_0^2 (فالقوس يساوي 11)؛ و ⟨Π⟩=E02k/2μ0ω\langle\Pi \rangle = E_0^2k/2\mu_0\omega، والنسبة c2k/ω=vgc^2k/\omega = v_g. (د) 14⋅14/12=1/8\tfrac14\cdot\tfrac14 /\tfrac12 = 1/8.

تمرين 14.8 ★★

تبدد النوابض. تعبر نبضات راديوية من نابض مسافة LL من بلازما بين نجمية (n≪n \ll أي شيء، و ω≫ωp\omega \gg \omega_p). (أ) بيّن أن تأخّر المجموعة هو t≈(L/c)(1+ωp2/2ω2)t \approx (L/c)(1 + \omega_p^2/2\omega^2). (ب) والتأخّر بين الوصول عند f1f_1 و f2f_2 هو Δt=e28π2ε0mc nL(1f12−1f22)\Delta t = \dfrac{e^2}{8\pi^2 \varepsilon_0mc}\,nL\Bigl(\dfrac1{f_1^2} - \dfrac1{f_2^2}\Bigr): احسب الثابت. (ج) ونابض على L=1 kpc=3.1×1019 mL = 1\,\mathrm{kpc} = 3.1 \times 10^{19}\,\mathrm{m} عبر n=3×104 m−3n = 3 \times 10^{4}\,\mathrm{m}^{-3}: أوجد التأخّر بين 400 MHz400\,\mathrm{MHz} و 1.4 GHz1.4\,\mathrm{GHz}. (د) ويقيس الفلكيون Δt\Delta t ويعرفون nn: فماذا يحصلون عليه؟ (وهو مقياس التبدد، وهو مقياس البعد المعياري للنوابض.)

حل

حل التمرين 14.8.

(أ) 1/vg=(1/c)(1−ωp2/ω2)−1/2≈(1+ωp2/2ω2)/c1/v_g = (1/c)(1 - \omega_p^2/\omega^2)^{-1/2} \approx (1 + \omega_p^2/2\omega^2)/c. (ب) Δt=(Lωp2/2c)(1/ω12−1/ω22)\Delta t = (L\omega_p^2/2c)(1/\omega_1^2 - 1/\omega_2^2) مع ωp2=ne2/ε0m\omega_p^2 = ne^2/\varepsilon_0m و ω=2πf\omega = 2\pi f: فالثابت e2/8π2ε0mc=1.34×10−7 e^2/8\pi^2\varepsilon_0mc = 1.34 \times 10^{-7}\, بواحدات النظام الدولي. (ج) nL=9.3×1023 m−2nL = 9.3 \times 10^{23}\,\mathrm{m}^{-2}، و (1/f12−1/f22)=5.7×10−18 s2(1/f_1^2 - 1/f_2^2) = 5.7 \times 10^{-18}\,\mathrm{s}^{2}: ومنه Δt=0.72 s\Delta t = 0.72\,\mathrm{s}. (د) العمود nLnL (أي مقياس التبدد)، ومنه البعد إذا عُرف نموذج nn.

تمرين 14.9 ★★

خط طيفي. في غاز مخلخل (n‾≈1+χ‾/2\underline n \approx 1 + \underline\chi/2) يعطي نموذج لورنتس n′′=12Im⁡χ‾n'' = \tfrac12\operatorname{Im}\underline\chi. (أ) بيّن أنه بجوار ω0\omega_0 يكون n′′≈ωp24ω0 Γ/2(ω0−ω)2+Γ2/4n'' \approx \dfrac{\omega_p^2}{4\omega_0}\,\dfrac{\Gamma/2}{(\omega_0 - \omega)^2 + \Gamma^2/4}، وهو منحني لورنتس عرضه الكامل Γ\Gamma. (ب) وأوجد معامل الامتصاص α=2n′′ω/c\alpha = 2n''\omega/c عند المركز. (ج) وبخار الصوديوم، n=1×1017 m−3n = 1 \times 10^{17}\,\mathrm{m}^{-3}، و λ0=589 nm\lambda_0 = 589\,\mathrm{nm}، و Γ=6×107 s−1\Gamma = 6 \times 10^{7}\,\mathrm{s}^{-1}: أوجد α\alpha عند المركز والسماكة التي تمتصّ 90%90\% (بإهمال التعريض الدوبلري، وهو في الواقع يوسّع الخط مئة ضعف). (د) وارسم تخطيطيًّا n′−1n' - 1 عبر الخط؛ وأين يكون التبدد شاذًّا؟

حل

حل التمرين 14.9.

(أ) Im⁡χ‾=ωp2Γω/[(ω02−ω2)2+Γ2ω2]\operatorname{Im}\underline\chi = \omega_p^2\Gamma\omega/[(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + \Gamma^2\omega^2] مع ω02−ω2≈2ω0(ω0−ω)\omega_0^2 - \omega^2 \approx 2\omega_0(\omega_0 - \omega): ومنه n′′=12Im⁡χ‾n'' = \tfrac12\operatorname{Im}\underline\chi هو منحني لورنتس المذكور. (ب) n′′(ω0)=ωp2/2ω0Γn''(\omega_0) = \omega_p^2/2\omega_0\Gamma، و α=2n′′ω0/c=ωp2/Γc\alpha = 2n''\omega_0/c = \omega_p^2/\Gamma c. (ج) ωp2=3.2×1020 s−2\omega_p^2 = 3.2 \times 10^{20}\,\mathrm{s}^{-2}: ومنه α=1.8×104 m−1\alpha = 1.8 \times 10^{4}\,\mathrm{m}^{-1}؛ و ln⁡10/α=0.13 mm\ln10/\alpha = 0.13\,\mathrm{mm}. (د) n′−1∝(ω0−ω)/[(ω0−ω)2+Γ2/4]n' - 1 \propto (\omega_0 - \omega)/[(\omega_0 - \omega)^2 + \Gamma^2/4]: فهو موجب دون الخط، وسالب فوقه، ومتناقص ضمن ±Γ/2\pm\Gamma/2 منه — أي شاذّ هناك.

تمرين 14.10 ★★★

تسخين جول في القشرة. موجة E0eiωtE_0\eu^{\iu\omega t} (على امتداد yy) تدخل ناقلًا يملأ x>0x > 0. (أ) اكتب E‾(x,t)\underline E(x, t) واستنتج B‾(x,t)\underline B(x, t) (على امتداد zz) من فاراداي. (ب) ومتجهة بوينتنغ الوسطية عند السطح: بيّن أن ⟨Πx(0)⟩=E02/2μ0ωδ\langle\Pi_x(0)\rangle = E_0^2/2\mu_0\omega\delta. (ج) واستطاعة جول الوسطى في واحدة المساحة، ∫0∞12γ∣E‾∣2 ⁣dx\int_0^\infty\tfrac12\gamma|\underline E|^2\dd x: بيّن أنها تساوي (ب). (د) وعبّر عن النتيجة في صورة 12RsH02\tfrac12R_sH_0^2 مع H0=B0/μ0H_0 = B_0/\mu_0 المجال المغناطيسي السطحي و Rs=1/γδR_s = 1/\gamma\delta المقاومة السطحية؛ وأعطِ القيمة للنحاس عند 1 GHz1\,\mathrm{GHz}، وضياع جوف موجات صغرية جدرانه تحمل H0=100 A/mH_0 = 100\,\mathrm{A}/\mathrm{m}.

حل

حل التمرين 14.10.

(أ) E‾=E0e−x/δei(ωt−x/δ)\underline E = E_0\eu^{-x/\delta}\eu^{\iu(\omega t - x/\delta)}، و B‾=k‾E‾/ω=(1−i)E‾/ωδ\underline B = \underline k\underline E/\omega = (1 - \iu)\underline E/\omega\delta. (ب) ⟨Πx⟩=12Re⁡(E‾B‾∗)/μ0=E02/2μ0ωδ\langle\Pi_x\rangle = \tfrac12\operatorname{Re}(\underline E \underline B^*)/\mu_0 = E_0^2/2\mu_0\omega\delta عند x=0x = 0. (ج) ∫0∞12γE02e−2x/δ ⁣dx=γE02δ/4=E02/2μ0ωδ\int_0^\infty\tfrac12\gamma E_0^2 \eu^{-2x/\delta}\dd x = \gamma E_0^2\delta/4 = E_0^2/2\mu_0\omega\delta باستعمال γ=2/μ0ωδ2\gamma = 2/\mu_0\omega\delta^2. (د) H0=2E0/μ0ωδH_0 = \sqrt2E_0/\mu_0\omega\delta، ومنه 12RsH02=E02/γμ02ω2δ3=E02/2μ0ωδ\tfrac12R_sH_0^2 = E_0^2/\gamma\mu_0^2\omega^2\delta^3 = E_0^2/2\mu_0\omega\delta. والنحاس عند 1 GHz1\,\mathrm{GHz}: Rs=1/γδ=8 mΩR_s = 1/\gamma\delta = 8\,\mathrm{m}\Omega؛ و 12×8×10−3×104=40 W/m2\tfrac12 \times 8 \times 10^{-3} \times 10^4 = 40\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}.

تمرين 14.11 ★★★

لماذا تلمع المعادن. عامِل إلكترونات ناقلية الفضة (n=5.9×1028 m−3n = 5.9 \times 10^{28}\,\mathrm{m}^{-3}) بلازما بلا تصادمات عند التواترات الضوئية. (أ) أوجد ωp\omega_p وطول الموجة الموافق. (ب) وعند 500 nm500\,\mathrm{nm}: يكون kk تخيليًّا — فأوجد عمق النفوذ؛ وتنعكس الموجة انعكاسًا تامًّا (بلا امتصاص في هذا النموذج): فالفضة مرآة. (ج) وعند 200 nm200\,\mathrm{nm}؟ ومن هنا «شفافية فوق البنفسجي» في الفلزات القلوية. (د) والفضة الحقيقية تعكس 95%95\%، والذهب يبدو أصفر: فما الذي يغفله النموذج (فكّر في التصادمات، وفي الإلكترونات المرتبطة التي تقع رنيناتها في المرئي في الذهب)؟

حل

حل التمرين 14.11.

(أ) ωp=1.4×1016 rad/s\omega_p = 1.4 \times 10^{16}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}، و λp=2πc/ωp=140 nm\lambda_p = 2\pi c/\omega_p = 140\,\mathrm{nm}. (ب) ω=3.8×1015 rad/s<ωp\omega = 3.8 \times 10^{15}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s} < \omega_p: ومنه 1/κ=c/ωp2−ω2=23 nm1/\kappa = c/\sqrt{\omega_p^2 - \omega^2} = 23\,\mathrm{nm}، وانعكاس تام. (ج) وما زال دون ωp\omega_p: أي عاكس؛ ولا تأتي الشفافية إلا فيما وراء 140 nm140\,\mathrm{nm} (وفي الصوديوم، 210 nm210\,\mathrm{nm}). (د) وتعطي التصادمات جزءًا حقيقيًّا للمقدار γ‾\underline\gamma و بضعة بالمئة من الامتصاص؛ ورنينات الإلكترونات المرتبطة في المرئي (في الذهب والنحاس) تمتصّ الأزرق وتلوّن المعدن.

تمرين 14.12 ★★★

الماء في فرن الموجات الصغرية. يعطي توجّه جزيئات الماء القطبية قابلية χ‾=χs/(1+iωτ)\underline\chi = \chi_s/(1 + \iu\omega\tau) (وهو استرخاء ديباي)، مع χs≈80\chi_s \approx 80 و τ=8 ps\tau = 8\,\mathrm{ps}، فوق ثابت χ∞≈4\chi_\infty \approx 4. (أ) أوجد الجزأين الحقيقي والتخيلي من ε‾r=1+χ∞+χ‾\underline\varepsilon_r = 1 + \chi_\infty + \underline\chi عند 2.45 GHz2.45\,\mathrm{GHz} وعند 20 GHz20\,\mathrm{GHz}. (ب) والقرينة العقدية و طول امتصاص الشدة 1/(2n′′ω/c)1/(2n''\omega/c) عند 2.45 GHz2.45\,\mathrm{GHz}: فكم عمقًا يطبخ الفرن؟ (ج) والاستطاعة الممتصّة في واحدة الحجم من أجل سعة مجال E0E_0 في الماء: 12ωε0ε′′E02\tfrac12\omega\varepsilon_0\varepsilon''E_0^2؛ وأعطِ القيمة من أجل E0=2 kV/mE_0 = 2\,\mathrm{kV}/\mathrm{m}. (د) ولماذا يُستعمل 2.45 GHz2.45\,\mathrm{GHz} لا 20 GHz20\,\mathrm{GHz} حيث الامتصاص أعظمي؟

حل

حل التمرين 14.12.

(أ) ωτ=0.12\omega\tau = 0.12: ومنه ε‾r=84−9.7i\underline\varepsilon_r = 84 - 9.7\iu؛ وعند 20 GHz20\,\mathrm{GHz}، ωτ=1\omega\tau = 1: 45−40i45 - 40\iu. (ب) n‾≈9.2−0.53i\underline n \approx 9.2 - 0.53\iu؛ و c/2n′′ω=1.8 cmc/2n''\omega = 1.8\,\mathrm{cm}: فيطبخ الفرن السنتيمترين الخارجيين، ويتم الباقي بالتوصيل. (ج) 12×1.54×1010×8.85×10−12×9.7×4×106=2.6 MW/m3\tfrac12 \times 1.54 \times 10^{10} \times 8.85 \times 10^{-12} \times 9.7 \times 4 \times 10^6 = 2.6\,\mathrm{MW}/\mathrm{m}^{3}. (د) وعند 20 GHz20\,\mathrm{GHz} كان طول الامتصاص ليصير ميليمترًا: فما كانت لتُطبَخ إلا القشرة؛ وأما 2.45 GHz2.45\,\mathrm{GHz} فتنفذ، وهي حزمة حرة.

محطة إرسال على الموجة القصيرة عند الغسق: أمواجها، وهي أدنى ببضعة ميغاهرتز من تواتر بلازما الأيونوسفير، توشك أن تنعكس عائدةً إلى الأرض على بعد ألف كيلومتر.
محطة إرسال على الموجة القصيرة عند الغسق: أمواجها، وهي أدنى ببضعة ميغاهرتز من تواتر بلازما الأيونوسفير، توشك أن تنعكس عائدةً إلى الأرض على بعد ألف كيلومتر.
الشفق القطبي الجنوبي مصوَّرًا من محطة الفضاء الدولية: جسيمات من الشمس، تقودها المجال المغناطيسي الأرضي، تثير بلازما أعالي الجو — أي الأيونوسفير الذي يعكس تواترُ بلازماه الأمواجَ الراديوية (ناسا).
الشفق القطبي الجنوبي مصوَّرًا من محطة الفضاء الدولية: جسيمات من الشمس، تقودها المجال المغناطيسي الأرضي، تثير بلازما أعالي الجو — أي الأيونوسفير الذي يعكس تواترُ بلازماه الأمواجَ الراديوية (ناسا).

14.5 مسألة: الأيونوسفير وباب الفرن والموشور

مسألة 14.1

مسألة نهاية الأسبوع — ثلاث مواد كما تراها موجة: البلازما التي تحني إشارات تحديد المواقع، والمعدن الذي يحبس الموجات الصغرية، والزجاج الذي ينشر الضوء الأبيض

الجزء I — الأيونوسفير وتحديد المواقع. كثافة الإلكترونات في الطبقة F هي n=1×1012 m−3n = 1 \times 10^{12}\,\mathrm{m}^{-3}؛ والعمود الكلي من الإلكترونات على امتداد مسار شاقولي هو NT=∫n  ⁣dz=2×1017 m−2N_T = \int n\,\dd z = 2 \times 10^{17}\,\mathrm{m}^{-2} نهارًا. ونظام تحديد المواقع: f1=1575 MHzf_1 = 1575\,\mathrm{MHz}، و f2=1228 MHzf_2 = 1228\,\mathrm{MHz}.

  1. تواتر بلازما الطبقة F؛ وهل يمرّ نظام تحديد المواقع؟ وهل تمرّ موجة قصيرة عند 5 MHz5\,\mathrm{MHz}؟
  2. بيّن أنه من أجل ω≫ωp\omega \gg \omega_p تكون سرعة المجموعة vg≈c(1−ωp2/2ω2)v_g \approx c(1 - \omega_p^2/2\omega^2) وسرعة الطور c(1+ωp2/2ω2)c(1 + \omega_p^2/2\omega^2).
  3. وتأخّر المجموعة الزائد لإشارة تحديد المواقع وهي تعبر الطبقة: بيّن أن Δt=e28π2ε0mc NTf2\Delta t = \dfrac{e^2}{8\pi^2\varepsilon_0mc}\,\dfrac{N_T}{f^2} واحسبه من أجل f1f_1؛ وخطأ المدى c Δtc\,\Delta t.
  4. ويستعمل المستقبل التواترين: فيزيل الخطأ من التأخّرين. عبّر عن NTN_T بدلالة Δt1−Δt2\Delta t_1 - \Delta t_2؛ وأي دقة على فرق التأخّرين تعطي NTN_T حتى 1%1\%؟
  5. وكم دورة حامل زائدة يمثّل تأخّر السؤال 3 عند f1f_1؟
  6. ويكون طور الحامل متقدمًا بالمقدار نفسه الذي تتأخر به المجموعة: فلماذا (إشارتا التصحيحين)؟ وأيهما يهمّ مستقبلًا يعدّ دورات الحامل؟
  7. وليلًا يهبط NTN_T عشرة أضعاف: أوجد الخطأ في مستقبل وحيد التواتر نهارًا وليلًا.
  8. ويرفع توهج شمسي nn في الطبقة D (على 80 km80\,\mathrm{km}) إلى 1×1010 m−31 \times 10^{10}\,\mathrm{m}^{-3} مع تصادمات كثيرة: فأي الخدمات الراديوية تتضرر، ولماذا لا يتدهور تحديد المواقع إلا قليلًا؟

الجزء II — باب الفرن. جدران الجوف وشبكة الباب من الفولاذ (γ=1.0×106 S/m\gamma = 1.0 \times 10^{6}\,\mathrm{S}/\mathrm{m})؛ وثقوب الشبكة عرضها 1.0 mm1.0\,\mathrm{mm} في صفيحة سماكتها 0.5 mm0.5\,\mathrm{mm}؛ و f=2.45 GHzf = 2.45\,\mathrm{GHz}، و P=800 WP = 800\,\mathrm{W}.

  1. عمق القشرة في الفولاذ عند 2.45 GHz2.45\,\mathrm{GHz}؛ وهل الجدار «سميك»؟
  2. والمقاومة السطحية Rs=1/γδR_s = 1/\gamma\delta؛ ومع مجال مغناطيسي سطحي سعته H0=30 A/mH_0 = 30\,\mathrm{A}/\mathrm{m} على الجدران (1 m21\,\mathrm{m}^{2})، أوجد الاستطاعة الضائعة في الجدران، 12RsH02\tfrac12R_sH_0^2 في واحدة المساحة؛ والنسبة من PP.
  3. وفي ثقب عرضه a≪λa \ll \lambda لا يستطيع المجال الانتشار (فالثقب دليل موجة دون القطع، الفصل 16): بل يخمد مثل e−πz/a\eu^{-\pi z/a} عبر السماكة zz. أوجد وهن السعة عبر الصفيحة ذات 0.5 mm0.5\,\mathrm{mm}، بالديسيبل.
  4. ولماذا ترى عبر الشبكة (طول موجة الضوء مقابل حجم الثقب) بينما لا تستطيع الموجات الصغرية الخروج؟
  5. ونافذة الزجاج عازل ε‾r=4−0.02i\underline\varepsilon_r = 4 - 0.02\iu: أوجد القرينة، وطول وهن الشدة فيه؛ وهل يسخن الزجاج؟
  6. وشوكة معدنية في الفرن: يتضخم المجال عند أطرافها؛ وبعمق القشرة في السؤال 8، قدّر كثافة التيار عند السطح من أجل H0=300 A/mH_0 = 300\,\mathrm{A}/\mathrm{m} (باستعمال j≈H0/δj \approx H_0/\delta عند السطح) والتسخين الموضعي j2/γj^2/\gamma — فلماذا الشرر؟

الجزء III — السلك عند التواتر الراديوي. سلك نحاسي نصف قطره a=0.5 mma = 0.5\,\mathrm{mm} (γ=6×107 S/m\gamma = 6 \times 10^{7}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}) في وشيعة مسخّن تحريضي عند 13.56 MHz13.56\,\mathrm{MHz} يحمل 20 A20\,\mathrm{A} فعّالة.

  1. عمق القشرة؛ والمقطع الناقل الفعّال؛ والمقاومة المتناوبة في المتر مقابل المستمرة.
  2. الاستطاعة المبدَّدة في المتر من سلك الوشيعة؛ ودرجة الحرارة التي كان السلك ليبلغها بتبريد حملي h=20 W/(m2 K)h = 20\,\mathrm{W}/(\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{K}).
  3. وتحرّض الوشيعة تيارات في قطعة عمل فولاذية (γ=1×106 S/m\gamma = 1 \times 10^{6}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}، و μr≈1\mu_r \approx 1 وهي ساخنة): أوجد عمق القشرة هناك؛ ولماذا يسخّن التسخين التحريضي طبقة سطحية فقط، وكيف يُستعمل ذلك في تقسية التروس؟
  4. ولخفض ضياع الوشيعة يُستبدَل بالسلك أنبوب نحاسي قطره 3 mm3\,\mathrm{mm} فيه ماء: أوجد المقاومة الجديدة في المتر؛ وهل يحمل داخل الأنبوب تيارًا؟
  5. وعند أي تواتر يساوي عمق القشرة في النحاس نصف قطر السلك؟ وأي تقريب يحلّ دونه محلّ صيغة «السلك السميك»؟

الجزء IV — الموشور. لزجاج n(λ)=1.500+5.0×103 nm2/λ2n(\lambda) = 1.500 + 5.0 \times 10^{3}\,\mathrm{nm}^{2}/\lambda^2، ورنينه عند λ0=100 nm\lambda_0 = 100\,\mathrm{nm}.

  1. تحقق من أن صيغة كوشي تنتج من نموذج لورنتس بعيدًا دون الرنين، ومن أن ωp2/ω02=n2(∞)−1\omega_p^2/\omega_0^2 = n^2(\infty) - 1: وأوجد قيمة ωp2/ω02\omega_p^2/\omega_0^2 وقيمة nn الفعّالة لهذا الزجاج.
  2. القرينة وسرعة الطور عند 400 nm400\,\mathrm{nm} و 700 nm700\,\mathrm{nm}؛ وقرينة المجموعة عند 550 nm550\,\mathrm{nm}؛ والتأخّر بين اللونين على 1 km1\,\mathrm{km} من هذا الزجاج في ليف.
  3. وموشور زاويته 60∘60{}^{\circ} عند أصغر انحراف من أجل 550 nm550\,\mathrm{nm}: أوجد الانحراف (باستعمال nsin⁡(A/2)=sin⁡((A+D)/2)n\sin(A/2) = \sin((A + D)/2))؛ والبعد الزاوي بين 400 nm400\,\mathrm{nm} و 700 nm700\,\mathrm{nm} (بالاشتقاق)؛ وعلى شاشة على بعد 2 m2\,\mathrm{m}، عرض الطيف.
  4. ولماذا يكون الزجاج عاتمًا عند 200 nm200\,\mathrm{nm}، وما لونه إذا أضاف أثر من الحديد رنينًا ضعيفًا عند 700 nm700\,\mathrm{nm}؟
  5. وفي صورة لورنتس، لماذا ينحرف الأزرق أكثر من الأحمر في الموشور؟
  6. أعطِ في جدول واحد، من أجل الطبقة F والفولاذ والنحاس و الزجاج عند تواترات عملها، طبيعةَ γ‾\underline\gamma ومصيرَ الموجة.
حل

حل المسألة 14.1.

1. fp=9 MHzf_p = 9\,\mathrm{MHz}: فتحديد المواقع يمرّ، والموجة القصيرة تنعكس.

2. k=(ω/c)1−ωp2/ω2k = (\omega/c)\sqrt{1 - \omega_p^2/\omega^2}: ومنه vφ=ω/k≈c(1+ωp2/2ω2)v_\varphi = \omega/k \approx c(1 + \omega_p^2/ 2\omega^2)، و vg= ⁣dω/ ⁣dk=c2k/ω≈c(1−ωp2/2ω2)v_g = \dd\omega/\dd k = c^2k/\omega \approx c(1 - \omega_p^2/2\omega^2).

3. Δt=∫(1/vg−1/c) ⁣dz=∫ωp2 ⁣dz/2cω2=e2NT/2ε0mcω2=(e2/8π2ε0mc)NT/f2=1.34×10−7×2×1017/2.48×1018=11 ns\Delta t = \int(1/v_g - 1/c)\dd z = \int\omega_p^2\dd z/2c\omega^2 = e^2N_T/2\varepsilon_0 mc\omega^2 = (e^2/8\pi^2\varepsilon_0mc)N_T/f^2 = 1.34 \times 10^{-7} \times 2 \times 10^{17}/2.48 \times 10^{18} = 11\,\mathrm{ns}: أي 3.2 m3.2\,\mathrm{m}.

4. NT=(Δt1−Δt2)/K(1/f12−1/f22)N_T = (\Delta t_1 - \Delta t_2)/K(1/f_1^2 - 1/f_2^2)؛ والفرق 7 ns7\,\mathrm{ns}: ومنه تحتاج نسبة 1%1\% إلى 0.07 ns0.07\,\mathrm{ns}.

5. تفوق vφv_\varphi السرعةَ cc بالمقدار الذي تقصّر به vgv_g: ف يصل طور الحامل باكرًا بينما يصل التضمين متأخرًا. و المستقبل الذي يعوّل على طور الحامل يطبّق التصحيح بالإشارة المعاكسة.

6. 3.2 m3.2\,\mathrm{m} نهارًا، و 0.3 m0.3\,\mathrm{m} ليلًا.

7. fp=0.9 MHzf_p = 0.9\,\mathrm{MHz} مع التصادمات: فتُمتصّ الأمواج المتوسطة والقصيرة (أي انقطاع راديوي)؛ وأما تحديد المواقع عند 1.5 GHz1.5\,\mathrm{GHz} فيحسّ امتصاصًا ∝1/ω2\propto 1/\omega^2، وهو مهمَل.

8. f1Δt=1.575×109×1.1×10−8=17f_1\Delta t = 1.575 \times 10^9 \times 1.1 \times 10^{-8} = 17 دورة.

9. δ=2/μ0γω=10 µm\delta = \sqrt{2/\mu_0\gamma\omega} = 10\,\text{µ}\mathrm{m}: فجدار بسماكة ميليمتر مئة عمق قشرة.

10. Rs=1/γδ=0.1 ΩR_s = 1/\gamma\delta = 0.1\,\Omega؛ و 12RsH02=45 W/m2\tfrac12R_sH_0^2 = 45\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}: أي 45 W45\,\mathrm{W}، و 6%6\%.

11. e−π×0.5=0.21\eu^{-\pi \times 0.5} = 0.21: أي −14 dB-14\,\mathrm{dB} في السعة، و −27 dB-27\,\mathrm{dB} في الاستطاعة (والثقب الضئيل يقترن قليلًا أصلًا).

12. الضوء، λ=0.5 µm\lambda = 0.5\,\text{µ}\mathrm{m}، أصغر ألفي مرة من الثقوب فيمرّ؛ وأما الموجة الصغرية، λ=12 cm\lambda = 12\,\mathrm{cm}، فأكبر مئة مرة.

13. n‾=2−0.005i\underline n = 2 - 0.005\iu؛ و c/2n′′ω=1.9 mc/2n''\omega = 1.9\,\mathrm{m}: فلا يكاد الزجاج يسخن.

14. j≈H0/δ=3×107 A/m2j \approx H_0/\delta = 3 \times 10^{7}\,\mathrm{A}/\mathrm{m}^{2}، و j2/γ=9×108 W/m3j^2/\gamma = 9 \times 10^{8}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{3} في طبقة سماكتها عشرة ميكرومترات: فتسخن الأطراف في ميلي ثوانٍ، وتبثّ إلكترونات، وتؤيّن الهواء — ومن هنا الشرر.

15. δ=18 µm\delta = 18\,\text{µ}\mathrm{m}؛ والمقطع 2πaδ=5.6×10−8 m22\pi a\delta = 5.6 \times 10^{-8}\,\mathrm{m}^{2} مقابل πa2=7.9×10−7 m2\pi a^2 = 7.9 \times 10^{-7}\,\mathrm{m}^{2}: ومنه Rمتناوبة=0.30 Ω/mR_{\text{متناوبة}} = 0.30\,\Omega/\mathrm{m}، أي أربعة عشر ضعف المستمرة.

16. RI2=120 W/mRI^2 = 120\,\mathrm{W}/\mathrm{m}؛ والمساحة πd=3.1×10−3 m2\pi d = 3.1 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}^{2} في المتر: ومنه ΔT≈1900 K\Delta T \approx 1900\,\mathrm{K} — فينصهر؛ ولهذا تكون هذه الوشائع أنابيب مبرَّدة بالماء.

17. δ=0.14 mm\delta = 0.14\,\mathrm{mm}: فيبقى التيار المحرَّض، وتبقى الحرارة، في عُشر الميليمتر؛ ونبضة قصيرة يتبعها إخماد تقسّي سطح الترس بينما يبقى لبّه صلدًا.

18. R=1/γ2πaδ=0.10 Ω/mR = 1/\gamma2\pi a\delta = 0.10\,\Omega/\mathrm{m}، أي أقل ثلاث مرات؛ و الداخل لا يحمل شيئًا — ومن هنا الأنبوب، وفيه المبرّد حيث كان النحاس ليضيع.

19. δ=a\delta = a عند f=1/πμ0γa2=17 Hzf = 1/\pi\mu_0\gamma a^2 = 17\,\mathrm{Hz}؛ ودونه يكون التيار منتظمًا وتصحّ صيغة التيار المستمر.

20. n2≈1+ωp2/ω02+(ωp2/ω02)(λ0/λ)2n^2 \approx 1 + \omega_p^2/\omega_0^2 + (\omega_p^2/\omega_0^2)(\lambda_0/\lambda)^2: أي صيغة كوشي مع n(∞)2−1=ωp2/ω02=1.25n(\infty)^2 - 1 = \omega_p^2/\omega_0^2 = 1.25 من أجل n(∞)=1.5n(\infty) = 1.5.

21. n=1.531n = 1.531 و 1.5101.510، و v=1.96v = 1.96 و 1.99×108 m/s1.99 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}؛ و ng(550)=1.550n_g(550) = 1.550؛ و ng(400)−ng(700)=0.063n_g(400) - n_g(700) = 0.063: أي 210 ns210\,\mathrm{ns} على الكيلومتر.

22. sin⁡((A+D)/2)=1.5165×0.5\sin((A + D)/2) = 1.5165 \times 0.5: ومنه D=38.6∘D = 38.6{}^{\circ}؛ و  ⁣dD=2sin⁡(A/2) ⁣dn/cos⁡((A+D)/2)=1.53  ⁣dn\dd D = 2\sin (A/2)\dd n/\cos((A + D)/2) = 1.53\,\dd n: ومنه ΔD=1.85∘\Delta D = 1.85{}^{\circ}، أي 6.5 cm6.5\,\mathrm{cm} على 2 m2\,\mathrm{m}.

23. عند 200 nm200\,\mathrm{nm} يقترب التواتر من الرنين و ينمو n′′n'': فيصير عاتمًا. ورنين ضعيف عند 700 nm700\,\mathrm{nm} يمتصّ الأحمر: فيكون الزجاج أخضر.

24. الأزرق أقرب إلى رنين فوق البنفسجي: فتستجيب الإلكترونات المرتبطة أكثر، وتكبر nn، ويكبر الانحراف معها.

25. الطبقة F عند 1.5 GHz1.5\,\mathrm{GHz}: γ‾\underline\gamma تخيلية، وانتشار بتأخّر مجموعة صغير. والفولاذ عند 2.45 GHz2.45\,\mathrm{GHz}: γ‾\underline\gamma حقيقية، وأثر قشري، وانعكاس. والنحاس عند 13.56 MHz13.56\,\mathrm{MHz}: الأمر نفسه، بقشرة 18 µm18\,\text{µ}\mathrm{m}. والزجاج في المرئي: iωε0χ\iu\omega\varepsilon_0\chi، وقرينة حقيقية، ووسط شفاف متبدّد.

المصطلحات المعرَّفة في هذا الفصل

عرض كل المصطلحات (393) في المسرد