Matemáticas universitarias — Grado 1 · Bachelor Year 1

5Ecuaciones diferenciales lineales

Conocido por primera vez en el volumen de High School, se tratan las ecuaciones diferenciales. aquí con pruebas completas y en mayor generalidad: lineal de primer orden ecuaciones con coeficientes variables (resueltas completamente por el método de variación de constantes) y ecuaciones lineales de segundo orden con coeficientes constantes, el modelo de oscilaciones. Ambos casos muestran la misma estructura: solución general $=$ una solución particular $+$ solución general de la ecuación homogénea.

5.1 Ecuaciones lineales de primer orden

Definición 5.1

Sea $I$ un intervalo y $a, b \colon I \to \R$ (o $\C$ ) sea continuo. la ecuacion

(E)\colon\quad y' + a(x)\,y = b(x),

en la función diferenciable desconocida $y \colon I \to \R$ (o $\C$ ), es un diferencial lineal de primer orden ecuación. el la ecuación $(H)\colon y' + a(x) y = 0$ es su homogéneo ecuación.

Teorema 5.2 (Resolviendo la ecuación homogénea)

Sea $A$ una primitiva de $a$ en $I$ (existe: Capítulo 15). Las soluciones de $(H)$ en $I$ son exactamente las funciones

y(x) = \lambda\, \eu^{-A(x)}, \qquad \lambda \in \R \text{ (or } \C).

Demostración. Estas funciones son soluciones: $y' = -\lambda A' \eu^{-A} = -a y$ . Por el contrario, deje que $y$ resuelva $(H)$ y configure $z(x) = y(x)\, \eu^{A(x)}$ . entonces

z' = y' \eu^{A} + y\, a\, \eu^{A} = (y' + ay)\, \eu^{A} = 0 ,

entonces $z$ es constante en el intervalo $I$ , digamos $z = \lambda$ : $y = \lambda \eu^{-A}$ . (Tenga en cuenta la lógica: ninguna solución se pierde, porque La solución cada se ha escrito en el formato anunciado). ∎

Ejemplo 5.3 (Una ecuación homogénea con coeficiente variable.)

Resuelva $y' + (\cos x)\,y = 0$ en $\R$ . Una primitiva de $a(x) = \cos x$ es $A(x) = \sin x$ , por lo que las soluciones son

y(x) = \lambda\,\eu^{-\sin x}, \qquad \lambda \in \R .

Dos lecturas. Cada solución es periódica (período $2\pi$ ) y nunca desaparece a menos que $\lambda = 0$ — el signo de $\lambda$ sea el signo de $y$ para siempre, ya que una exponencial no puede cruzar el cero. y la solución a través de $y(0) = y_0$ es $y_0\eu^{-\sin x}$ : exactamente una curva de la familia que pasa por cada punto inicial, la imagen unidimensional de Teorema 5.4 (2).

Teorema 5.4 (Variación de constantes; Problema de Cauchy)

Con la notación anterior:

Las soluciones de $(E)$ en $I$ son exactamente

$y(x) = \Bigl(\lambda + \int_{x_0}^{x} b(t)\, \eu^{A(t)} \dd t \Bigr)\, \eu^{-A(x)}, \qquad \lambda \in \R,$

donde se fija $x_0 \in I$ . Equivalentemente: solución general de $(H)$ más una solución particular de $(E)$ .
Por cada $x_0 \in I$ y $y_0$ , el cauchy problema “ $(E)$ y $y(x_0) = y_0$ ” tiene exactamente una solución en $I$ .

Demostración. (1) Siguiendo el método denominado variación de constantes, busque soluciones del formulario $y = \mu(x)\, \eu^{-A(x)}$ con $\mu$ diferenciable — no la generalidad se pierde, ya que cada función en $I$ se puede escribir así ( $\mu = y\,\eu^{A}$ ). Sustituyendo,

y' + ay = \mu' \eu^{-A} - \mu a \eu^{-A} + a\mu\eu^{-A} = \mu'\, \eu^{-A},

entonces $y$ resuelve $(E)$ si y solo si $\mu'(x) = b(x)\,\eu^{A(x)}$ , si y sólo si $\mu(x) = \lambda + \int_{x_0}^x b(t)\eu^{A(t)}\dd t$ para alguna constante $\lambda$ (dos primitivas del mismo continuo función en un intervalo difieren por una constante).

(2) En la fórmula, $y(x_0) = \lambda\,\eu^{-A(x_0)}$ : la condición $y(x_0) = y_0$ determina $\lambda = y_0 \eu^{A(x_0)}$ de forma única. ∎

Ejemplo 5.5

Resuelva $y' + \dfrac{y}{x} = x^2$ en $I = \intoo{0}{+\infty}$ . aquí $a(x) = \frac 1x$ , $A(x) = \ln x$ , $\eu^{-A(x)} = \frac 1x$ . Soluciones homogéneas: $\frac{\lambda}{x}$ . Variación de constantes: $\mu'(x) = x^2 \cdot x = x^3$ , entonces $\mu = \frac{x^4}{4} + \lambda$ , y

y(x) = \frac{x^3}{4} + \frac{\lambda}{x}, \qquad \lambda \in \R .

Con la condición inicial $y(1) = 0$ : $\lambda = -\frac14$ . Controlar: $y' + \frac yx = \frac{3x^2}{4} - \frac{\lambda}{x^2} + \frac{x^2}{4} + \frac{\lambda}{x^2} = x^2$ .

Ejemplo 5.6 (Adivinando tiempos integrando)

Resuelva $y' + 2x\,y = x$ en $\R$ . Variación de constantes funciona ( $A = x^2$ , $\mu' = x\,\eu^{x^2}$ , $\mu = \frac12\eu^{x^2} + \lambda$ ), pero observando que el constante $y_p = \frac12$ resuelve el La ecuación ( $0 + 2x\cdot\frac12 = x$ ) es más rápida. con el soluciones homogéneas $\lambda\,\eu^{-x^2}$ :

y(x) = \frac12 + \lambda\,\eu^{-x^2}, \qquad \lambda \in \R .

Cada solución converge a $\frac12$ extremadamente rápido como $x \to \pm\infty$ : la solución particular constante es una equilibrio que todas las soluciones se unan. La idea: antes Al iniciar el método general, dedica diez segundos a buscar un solución particular obvia (constante, monomio, múltiplo de la lado derecho); el teorema de la estructura entonces termina el trabajo.

Observación 5.7 (Los intervalos importantes)

El teorema vive en un intervalo donde $a$ y $b$ son continuo. Para $y' + \frac yx = 0$ en $\R^*$ , las soluciones son $\frac{\lambda}{x}$ en $\intoo{0}{+\infty}$ y $\frac{\mu}{x}$ en $\intoo{-\infty}{0}$ con independiente constantes: no hay razón para que una única fórmula se pegue a través de la singularidad en $0$ .

Ejemplo 5.8 (Un lado derecho complejo, dos respuestas reales)

Resuelve $y' - y = \cos x$ y $y' - y = \sin x$ de un solo golpe. trabajo en $\C$ con el lado derecho $\eu^{\iu x}$ : probando $y_p = c\,\eu^{\iu x}$ da $c(\iu - 1)\eu^{\iu x} = \eu^{\iu x}$ , entonces

c = \frac1{\iu - 1} = \frac{-1 - \iu}2, \qquad y_p = -\frac{(1 + \iu)(\cos x + \iu\sin x)}2 = \frac{\sin x - \cos x}2 + \iu\,\frac{-\sin x - \cos x}2 .

Dado que la ecuación tiene coeficientes reales, reales e imaginarios. división de partes: $\frac{\sin x - \cos x}2$ resuelve $y' - y = \cos x$ , y $-\frac{\sin x + \cos x}2$ resuelve $y' - y = \sin x$ (verifique la primera: derivada $\frac{\cos x + \sin x}2$ , menos la función, da $\cos x$ ). Una línea compleja reemplazó dos tramos de variación de constantes — la misma economía que Método 5.13 sistematiza para segundo orden, y un dividendo recurrente de Capítulo 3.

5.2 Ecuaciones lineales de segundo orden con coeficientes constantes.

Definición 5.9

Sea $a, b \in \R$ y $f \colon I \to \R$ continúen. la ecuacion

(E)\colon\quad y'' + a\,y' + b\,y = f(x)

es un ecuación lineal de segundo orden con constante coeficientes; $(H)\colon y'' + ay' + by = 0$ es su ecuación homogénea, y $\chi(r) = r^2 + ar + b$ es característica polinomio.

Teorema 5.10 (Soluciones homogéneas)

Sea $\Delta = a^2 - 4b$ el discriminante de $\chi$ . lo real Las soluciones de $(H)$ en $\R$ son:

si $\Delta > 0$ , con $r_1 \neq r_2$ las dos raíces reales: $\;y = \lambda\, \eu^{r_1 x} + \mu\, \eu^{r_2 x}$ ;
si $\Delta = 0$ , con $r_0$ la doble raíz: $\;y = (\lambda + \mu x)\, \eu^{r_0 x}$ ;
si $\Delta < 0$ , con raíces $\alpha \pm \iu\omega$ ( $\omega > 0$ ): $\;y = \eu^{\alpha x} (\lambda \cos\omega x + \mu \sin\omega x)$ ;

en cada caso con $(\lambda, \mu)$ ejecutándose sobre $\R^2$ .

Demostración. Obsérvese primero que, para $r \in \C$ , la función $x \mapsto \eu^{rx}$ resuelve $(H)$ si y solo si $\chi(r) = 0$ (sustituir: $(r^2 + ar + b)\eu^{rx} = 0$ ). Por eso las exponenciales son la primera conjetura natural: la diferenciación actúa sobre $\eu^{rx}$ como multiplicación por el número $r$ , y la ecuación diferencial se reduce a la ecuación numérica $\chi(r) = 0$ — todo el problema analítico se comprime en hallar las raíces de una cuadrática.

El paso clave es un cambio de incógnita que reduce el orden. Sea $r$ una raíz (posiblemente compleja) de $\chi$ y escriba $y = z\, \eu^{rx}$ , que no pierde generalidad. entonces

y'' + ay' + by = \bigl(z'' + (2r + a) z' + \chi(r) z\bigr)\eu^{rx} = \bigl(z'' + (2r + a) z'\bigr)\eu^{rx},

entonces $(H)$ se convierte en la ecuación primer orden $u' + (2r + a) u = 0$ para $u = z'$ .

Case $\Delta \neq 0$ : elija $r = r_1$ ; luego $2r_1 + a = r_1 - r_2$ (desde $r_1 + r_2 = -a$ ). Por Teorema 5.2, $z' = c\,\eu^{(r_2 - r_1)x}$ para alguna constante $c$ ; integrándose en $\R$ , $z = \mu\, \eu^{(r_2 - r_1)x} + \lambda$ con $\mu = \frac{c}{r_2 - r_1}$ y, por lo tanto, $y = z\, \eu^{r_1 x} = \lambda\,\eu^{r_1x} + \mu\,\eu^{r_2x}$ . Cuando $\Delta < 0$ , las raíces son $\alpha \pm \iu\omega$ y el Las soluciones complejas son $y = c_1\eu^{(\alpha+\iu\omega)x} + c_2\eu^{(\alpha-\iu\omega)x}$ con $c_1, c_2 \in \C$ . cual de ¿Estos son de valor real? Dado que $\conj{\eu^{(\alpha+\iu\omega)x}} = \eu^{(\alpha-\iu\omega)x}$ , el conjugado de $y$ es $\conj{c_2}\, \eu^{(\alpha+\iu\omega)x} + \conj{c_1}\,\eu^{(\alpha-\iu\omega)x}$ , y $y = \conj y$ para todas las fuerzas $x$ $c_2 = \conj{c_1}$ (las dos los exponenciales son linealmente independientes: evaluar en dos puntos, o comparar en $x=0$ después de dividir por $\eu^{\alpha x}$ ). Escribiendo $c_1 = \frac{\lambda - \iu\mu}2$ con $\lambda, \mu$ real:

y = 2\,\Re\Bigl(c_1\,\eu^{\alpha x}(\cos\omega x + \iu\sin\omega x)\Bigr) = \eu^{\alpha x}\bigl(\lambda\cos\omega x + \mu\sin\omega x\bigr),

y a la inversa, cada función de este tipo es una solución (parte real de una solución compleja de una ecuación real): el espacio de solución real es como se anunció.

Case $\Delta = 0$ : $r = r_0$ , $2r_0 + a = 0$ , entonces $z'' = 0$ : $z = \lambda + \mu x$ y $y = (\lambda + \mu x)\eu^{r_0 x}$ . ∎

Ejemplo 5.11 (Un problema de Cauchy, de principio a fin)

Resuelva $y'' - 3y' + 2y = 0$ con $y(0) = 0$ , $y'(0) = 1$ . el polinomio característico $r^2 - 3r + 2 = (r - 1)(r - 2)$ tiene el raíces reales $1$ y $2$ : solución general $y = \lambda\eu^{x} + \mu\eu^{2x}$ . Las dos condiciones dan el sistema lineal.

\lambda + \mu = 0, \qquad \lambda + 2\mu = 1 ,

entonces $\mu = 1$ , $\lambda = -1$ :

y(x) = \eu^{2x} - \eu^{x} .

Verificar: $y(0) = 0$ ; $y' = 2\eu^{2x} - \eu^x$ tiene $y'(0) = 1$ ; y $y'' - 3y' + 2y = (4 - 6 + 2)\eu^{2x} + (-1 + 3 - 2)\eu^x = 0$ . Observe la forma de la respuesta: cerca de $-\infty$ el modo lento $-\eu^x$ domina; cerca de $+\infty$ lo hace el modo rápido $\eu^{2x}$ . Lectura de soluciones como superposiciones de modos con diferente desintegración. o tasas de crecimiento es el hábito rentable: así es como Se organiza la división transitoria/estado estable del problema del fin de semana.

Los tres regímenes de y'' + ay' + by = 0 con decadencia soluciones: oscilación amortiguada (raíces complejas), retorno crítico (doble raíz), decaimiento sobreamortiguado (dos raíces reales). cual régimen ocurre se lee solo en el signo = a2 - 4b — antes de resolver nada. — Los tres regímenes de $y'' + ay' + by = 0$ con decadencia soluciones: oscilación amortiguada (raíces complejas), retorno crítico (doble raíz), decaimiento sobreamortiguado (dos raíces reales). cual régimen ocurre se lee solo en el signo $\Delta = a^2 - 4b$ — antes de resolver nada.

Teorema 5.12 (Estructura y problema de Cauchy)

Si $y_p$ es una solución particular de $(E)$ , las soluciones de $(E)$ son exactamente $y_p + y_h$ , $y_h$ corriendo sobre el soluciones de $(H)$ .
(Superposición) Si $y_1$ resuelve $y'' + ay' + by = f_1$ y $y_2$ resuelve $y'' + ay' + by = f_2$ , luego $y_1 + y_2$ resuelve la ecuación con el lado derecho $f_1 + f_2$ .
Para todos los $x_0 \in I$ y $(y_0, y_0')$ , el problema de cauchy “ $(E)$ , $y(x_0) = y_0$ , $y'(x_0) = y_0'$ ” tiene exactamente uno solución en $I$ . (La existencia concede un particular solución; unicidad en su totalidad.)

Demostración. (1) $y$ resuelve $(E)$ si $y - y_p$ resuelve $(H)$ , por linealidad de $y \mapsto y'' + ay' + by$ . (2) es la misma linealidad.

(3) Por (1) basta demostrar que las constantes $(\lambda, \mu)$ siempre se pueden ajustar, de forma única, a cualquier dato $(y_0, y_0')$ . Al traducir la variable, se supone $x_0 = 0$ . En el caso (1) de Teorema 5.10, $y = \lambda\eu^{r_1x} + \mu\eu^{r_2x}$ da

y(0) = \lambda + \mu, \qquad y'(0) = r_1\lambda + r_2\mu :

un sistema lineal en $(\lambda, \mu)$ cuyo determinante es $r_2 - r_1 \neq 0$ ; resolviéndolo explícitamente, $\mu = \frac{y_0' - r_1y_0}{r_2 - r_1}$ y $\lambda = y_0 - \mu$ : exactamente uno solución. En el caso (2), $y(0) = \lambda$ y $y'(0) = r_0\lambda + \mu$ : el sistema es triangular con determinante $1$ , resuelto por $\lambda = y_0$ , $\mu = y_0' - r_0y_0$ . En el caso (3), $y(0) = \lambda$ y $y'(0) = \alpha\lambda + \omega\mu$ : determinante $\omega \neq 0$ , resuelto por $\lambda = y_0$ , $\mu = \frac{y_0' - \alpha y_0}\omega$ . En cada caso, aplicación $(\lambda, \mu) \mapsto (y(x_0), y'(x_0))$ es una biyección lineal — el lenguaje de Capítulo 20 comprimirá este registro de caso en uno frase. ∎

Método 5.13 (Solución particular para $f(x) = P(x)\,\eu^{\gamma x}$ )

Cuando el lado derecho es $P(x)\,\eu^{\gamma x}$ con $P$ a polinomio y $\gamma \in \R$ (esto cubre polinomios, exponenciales, y vía complejo $\gamma$ o superposición, $\cos$ y $\sin$ ): mira para una solución particular de la forma

y_p(x) = x^{m}\, Q(x)\, \eu^{\gamma x}, \qquad m = \text{multiplicity of } \gamma \text{ as a root of } \chi \ (m = 0, 1 \text{ or } 2),

siendo $Q$ un polinomio del mismo grado que $P$ , cuyos coeficientes se encuentran por sustitución e identificación. Para $f = K\cos\omega x$ (o $\sin$ ), resuelve con el lado derecho $K\eu^{\iu\omega x}$ y toma la parte real (resp. imaginaria).

Ejemplo 5.14 (Superposición en acción)

Resuelva $y'' - y = \eu^{x} + 4$ en $\R$ . Homogéneo: $\chi(r) = r^2 - 1$ , raíces $\pm1$ , entonces $y_h = \lambda\eu^x + \mu\eu^{-x}$ . dividir el lado derecho y trate cada pieza según el cuadro de método. Piece $\eu^x$ : aquí $\gamma = 1$ es una raíz simple de $\chi$ , entonces prueba $y_1 = c\,x\,\eu^x$ : luego $y_1'' - y_1 = c(x + 2)\eu^x - cx\eu^x = 2c\,\eu^x$ , dando $c = \frac12$ . Pieza $4$ : $\gamma = 0$ no es una raíz; la constante $y_2 = -4$ funciona. Por superposición (Teorema 5.12 (2)):

y = \frac{x\,\eu^x}2 - 4 + \lambda\,\eu^x + \mu\,\eu^{-x}, \qquad (\lambda, \mu) \in \R^2 .

Observe cómo las dos piezas exigieron formas diferente ( $m = 1$ versus $m = 0$ ): la prueba de multiplicidad se aplica a cada exponente por separado, que es el objetivo de dividir el lado derecho antes de adivinar.

Ejemplo 5.15 (La regla de la multiplicidad en acción.)

Resuelva $y'' + y' = x$ en $\R$ . El lado derecho es $P(x)\eu^{0 \cdot x}$ con $P(x) = x$ y $\gamma = 0$ es una raíz simple. de $\chi(r) = r^2 + r = r(r + 1)$ : entonces $m = 1$ , y el correcto supongo que es $y_p = x\,(\alpha x + \beta) = \alpha x^2 + \beta x$ , uno grado superior a $P$ . Sustituyendo:

y_p'' + y_p' = 2\alpha + (2\alpha x + \beta) = 2\alpha x + (2\alpha + \beta) ,

y la identificación con $x$ da $\alpha = \frac12$ , $\beta = -1$ : $y_p = \frac{x^2}2 - x$ . Solución general: $y = \frac{x^2}2 - x + \lambda + \mu\,\eu^{-x}$ . ¿Habíamos adivinado $y_p = \alpha x + \beta$ ? (ignorando la multiplicidad), la sustitución daría $y_p'' + y_p' = \alpha$ , una constante — ninguna elección de $\alpha, \beta$ puede igualar $x$ , y la falla es estructural: las constantes ya resuelven el ecuación homogénea, por lo que son invisibles para el lado izquierdo. El factor $x^m$ existe precisamente para salir de lo homogéneo espacio de solución.

Observación 5.16 (La trigésima segunda póliza de seguro)

Cada ecuación resuelta en este capítulo termina con una sustitución. Compruébelo, y esto no es decorativo. Una ecuación diferencial El cálculo encadena muchos pequeños pasos (una primitiva, una regla del producto, dos constantes), y un error de signo único se propaga de forma invisible; sustituir la fórmula final nuevamente en la ecuación captura esencialmente todos ellos a costa de una diferenciación. Cultivar el reflejo en tres capas: verificar el particular solución solo (la parte homogénea se cancela de todos modos), verificar el condiciones iniciales en la solución completa, y cuando un parámetro está presente, verifique un valor degenerado (¿el fórmula general $\Omega$ reproduce la respuesta conocida en $\Omega = 0$ ?). El hábito cuesta medio minuto; se convierte "probablemente correcto" en "verificado".

Observación 5.17 (Errores comunes)

Normalizar primero. Las fórmulas asumen la ecuación lee $y' + a(x)y = b(x)$ — coeficiente $1$ en $y'$ . Para $xy' - 2y = x^3$ , divida por $x$ (en un intervalo evitando $0$ ) antes de identificar $a$ y $b$ , como en Ejercicio 5.2.
Una constante por dimensión, fijada al final. El solución general de primer orden lleva una constante, la segundo orden uno dos; Se imponen condiciones iniciales. la solución completo $y_p + y_h$ , nunca en $y_h$ solo — imponerlos antes de agregar $y_p$ es lo más Error estructural frecuente.
Cuidado con la multiplicidad. Una suposición de solución particular que resuelve la ecuación homogénea es invisible para el lado izquierdo; el factor $x^m$ de Método 5.13 no es opcional (Ejemplo 5.15).
Los intervalos son parte de la respuesta. Soluciones en vivo en intervalos donde los coeficientes son continuos; pegar a través de una singularidad puede crear constantes espurias (Ejercicio 5.12) o destruir la unicidad. “Resolver en $\R^*$ ” significa dos problemas independientes.

Ejemplo 5.18 (Forzado fuera de resonancia)

Resuelva $y'' + 4y = \sin x$ en $\R$ . Frecuencia natural $2$ , forzando frecuencia $1$ : dado que $\iu$ es no una raíz de $\chi(r) = r^2 + 4$ , la multiplicidad es $m = 0$ y basta con una sinusoide simple. Probando $y_p = \alpha\sin x$ (no se necesita coseno: la ecuación tiene no hay término $y'$ y $\sin$ regenera $\sin$ ):

y_p'' + 4y_p = -\alpha\sin x + 4\alpha\sin x = 3\alpha\sin x ,

entonces $\alpha = \frac13$ y la solución general es

y = \frac{\sin x}3 + \lambda\cos 2x + \mu\sin 2x .

Toda solución permanece acotada: una superposición de dos oscilaciones en las frecuencias $1$ (forzada) y $2$ (natural). Comparar con el siguiente ejemplo, donde forzar at la frecuencia natural cambia la forma misma de la respuesta.

Ejemplo 5.19 (Una oscilación forzada)

Resuelva $y'' + y = \cos x$ , $y(0) = 0$ , $y'(0) = 0$ .

Homogéneo: $\chi(r) = r^2 + 1$ , raíces $\pm\iu$ : $y_h = \lambda\cos x + \mu \sin x$ .

Particular: lado derecho $\Re(\eu^{\iu x})$ con $\gamma = \iu$ una raíz simple de $\chi$ : prueba $z_p = c\, x\, \eu^{\iu x}$ ( $c \in \C$ ). Entonces $z_p'' + z_p = c\,(2\iu)\eu^{\iu x}$ , que es igual $\eu^{\iu x}$ para $c = \frac{1}{2\iu} = -\frac\iu2$ . Entonces $z_p = -\frac{\iu}{2} x (\cos x + \iu \sin x)$ y $y_p = \Re(z_p) = \frac{x \sin x}{2}$ .

Solución general: $y = \frac{x\sin x}{2} + \lambda\cos x + \mu\sin x$ . Condiciones: $y(0) = \lambda = 0$ ; $y' = \frac{\sin x + x\cos x}{2} + \mu\cos x$ , entonces $y'(0) = \mu = 0$ . Respuesta: $y = \frac{x\sin x}{2}$ — una oscilación cuya amplitud crece linealmente: el fenómeno resonancia, causado por el forzamiento el sistema a su frecuencia natural.

Resonancia: la solución y = x x/2 de y'' + y = xoscila entre las líneasy = ± x2(discontinua), con amplitud cada vez mayor. — Resonancia: la solución $y = \frac{x \sin x}{2}$ de $y'' + y = \cos x$ oscila entre las líneas $y = \pm\frac x2$ (discontinua), con amplitud cada vez mayor.

Observación 5.20 (Interludio: la linealidad es una geometría)

Vuelva a mirar la forma de cada solución conjunto en este capítulo: a solución especial más un espacio de soluciones homogéneas con una constante libre (primer orden) o dos (segundo orden). Los capítulos sobre álgebra lineal (Capítulos 18, 19 y 20) proporcionará el exacto vocabulario: la aplicación $L(y) = y'' + ay' + by$ es lineal, es soluciones homogéneas forman el núcleo de $L$ , un vector espacio cuyo dimensión es igual al orden de la ecuación — ese es el contenido honesto de "una constante por orden" — y la solución conjunto de $L(y) = f$ es una subespacio afín, una traducir del núcleo. Incluso el Cauchy aplicación $(\lambda, \mu) \mapsto (y(x_0), y'(x_0))$ de Teorema 5.12 es un biyección lineal entre dos planos, es decir, un sistema $2 \times 2$ invertible (Capítulo 21). Nada en este capitulo será necesario rehacerlo, solo será necesario cambiarle el nombre y el cambio de nombre es el mejor calentamiento posible para el álgebra lineal: cada definición abstracta que existe ya se ha ganado la vida aquí.

Observación 5.21 (Dónde se utiliza este capítulo)

El teorema de la estructura — soluciones de $(E)$ forman "un particular solución más las soluciones de $(H)$ ” — es la primera aparición de un patrón que Capítulos 18 y 20 nombrará: el La solución conjunto de $(H)$ es la núcleo del aplicación $y \mapsto y'' + ay' + by$ lineal, y la solución conjunto de $(E)$ es una traducción afín del mismo. El polinomio característico reaparece como el polinomio característico de una matriz en Capítulo 21: una ecuación de segundo orden es un sistema de primer orden $2 \times 2$ en disfraz, un punto de vista que sistematiza el volumen del Año 2. el integrales demandadas por variación de constantes son suministradas por Capítulo 15, y el problema del fin de semana a continuación — el oscilador amortiguado accionado — es el caso modelo para cada La cuestión de la oscilación en las ciencias, desde los circuitos hasta la suspensión. puentes.

5.3 Ceremonias

Ejercicio 5.1 ★

Resolver en $\R$ : $\;y' + 2y = \eu^{3x}$ ; luego el problema de cauchy $y(0) = 1$ .

Solución

Solución de Ejercicio 5.1.

Homogéneo: $y_h = \lambda\,\eu^{-2x}$ . Particular: pruebe $y_p = c\,\eu^{3x}$ ( $3$ no es una raíz de $r + 2$ ): $3c + 2c = 1$ , $c = \frac15$ . Solución general: $y = \frac{\eu^{3x}}{5} + \lambda\,\eu^{-2x}$ . Con $y(0) = 1$ : $\frac15 + \lambda = 1$ , $\lambda = \frac45$ , entonces $y = \frac{\eu^{3x} + 4\,\eu^{-2x}}{5}$ .

Ejercicio 5.2 ★

Resuelva en $\intoo{0}{+\infty}$ : $\;x y' - 2y = x^3$ (pon el ecuación en la forma normalizada primero).

Solución

Solución de Ejercicio 5.2.

En $\intoo{0}{+\infty}$ , divida entre $x$ : $y' - \frac{2}{x}\,y = x^2$ . Aquí $A(x) = -2\ln x$ , $\eu^{-A(x)} = x^2$ : soluciones homogéneas $\lambda x^2$ . Variación de constantes: $\mu'(x) = x^2 \cdot x^{-2} = 1$ , entonces $\mu = x + \lambda$ y

y(x) = x^3 + \lambda x^2, \qquad \lambda \in \R .

Controlar: $x(3x^2 + 2\lambda x) - 2(x^3 + \lambda x^2) = x^3$ .

Ejercicio 5.3 ★

Resuelva $\R$ , dando la solución general real: $\;y'' - 3y' + 2y = 0$ ; $\;y'' + 4y' + 4y = 0$ ; $\;y'' - 2y' + 5y = 0$ .

Solución

Solución de Ejercicio 5.3.

$y'' - 3y' + 2y = 0$ : raíces $1$ y $2$ ; $\;y = \lambda\,\eu^{x} + \mu\,\eu^{2x}$ .

$y'' + 4y' + 4y = 0$ : doble raíz $-2$ ; $\;y = (\lambda + \mu x)\,\eu^{-2x}$ .

$y'' - 2y' + 5y = 0$ : raíces $1 \pm 2\iu$ ; $\;y = \eu^{x}(\lambda\cos 2x + \mu\sin 2x)$ .

Ejercicio 5.4 ★

Resuelva $y'' - y = x^2$ en $\R$ , luego problema de cauchy $y(0) = 0$ , $y'(0) = 1$ .

Solución

Solución de Ejercicio 5.4.

Homogéneo: raíces $\pm 1$ , $y_h = \lambda\,\eu^x + \mu\,\eu^{-x}$ . Particular con polinomio en el lado derecho ( $\gamma = 0$ no es raíz): $y_p = ax^2 + bx + c$ ; sustituyendo, $2a - (ax^2 + bx + c) = x^2$ da $a = -1$ , $b = 0$ , $c = 2a = -2$ : $y_p = -x^2 - 2$ . generales solución $y = -x^2 - 2 + \lambda\eu^x + \mu\eu^{-x}$ .

Cauchy: $y(0) = -2 + \lambda + \mu = 0$ y $y'(0) = \lambda - \mu = 1$ : $\lambda = \frac32$ , $\mu = \frac12$ . entonces $y = -x^2 - 2 + \frac{3\eu^x + \eu^{-x}}{2}$ .

Ejercicio 5.5 ★★

Resuelva en $\intoo{-\frac\pi2}{\frac\pi2}$ : $\;y' + y\tan x = \sin 2x$ .

Solución

Solución de Ejercicio 5.5.

$a(x) = \tan x$ , $A(x) = -\ln(\cos x)$ (válido: $\cos > 0$ en el intervalo), $\eu^{-A} = \cos x$ : soluciones homogéneas $\lambda\cos x$ . Variación de constantes: $\mu'(x) = \sin 2x \cdot \frac{1}{\cos x} = 2\sin x$ , entonces $\mu = -2\cos x + \lambda$ y

y(x) = -2\cos^2 x + \lambda \cos x .

Controlar: $y' = 4\cos x \sin x - \lambda\sin x$ y $y\tan x = -2\cos x\sin x + \lambda \sin x$ ; su suma es $2\cos x\sin x = \sin 2x$ , según sea necesario.

Ejercicio 5.6 ★★

Resuelva $y'' - 4y' + 3y = (2x + 1)\,\eu^{x}$ en $\R$ . (Mind the multiplicity: is $1$ a root of the polinomio característico?)

Solución

Solución de Ejercicio 5.6.

$\chi(r) = r^2 - 4r + 3 = (r-1)(r-3)$ : $\gamma = 1$ es una raíz simple ( $m = 1$ ). Pruebe $y_p = x(ax + b)\,\eu^x$ . Con $u = ax^2 + bx$ ,

y_p'' - 4y_p' + 3y_p = \bigl(u'' + (2 - 4)u' + \chi(1) u\bigr)\eu^x = \bigl(2a - 2(2ax + b)\bigr)\eu^x .

Identificarse con $(2x + 1)\eu^x$ : $-4a = 2$ y $2a - 2b = 1$ , por lo que $a = -\frac12$ , $b = -1$ . Solución general:

y = -\Bigl(\frac{x^2}{2} + x\Bigr)\eu^{x} + \lambda\,\eu^{x} + \mu\,\eu^{3x}, \qquad (\lambda, \mu) \in \R^2 .

Ejercicio 5.7 ★★

Resuelva $y'' + 4y = \sin 2x + x$ en $\R$ (superposición; tratar cada lado derecho por separado).

Solución

Solución de Ejercicio 5.7.

Homogéneo: $y_h = \lambda\cos 2x + \mu\sin 2x$ .

Lado derecho $x$ ( $\gamma = 0$ no es raíz): $y_1 = ax + b$ con $4(ax + b) = x$ : $y_1 = \frac x4$ .

Lado derecho $\sin 2x = \Im(\eu^{2\iu x})$ , $2\iu$ raíz simple de $r^2 + 4$ : prueba $z = c\,x\,\eu^{2\iu x}$ ; luego $z'' + 4z = 4\iu c\,\eu^{2\iu x}$ , igual a $\eu^{2\iu x}$ para $c = \frac{1}{4\iu} = -\frac{\iu}{4}$ . Entonces $z = -\frac{\iu x}{4}(\cos 2x + \iu \sin 2x)$ y $y_2 = \Im(z) = -\frac{x\cos 2x}{4}$ .

Por superposición:

y = \frac{x}{4} - \frac{x\cos 2x}{4} + \lambda\cos 2x + \mu\sin 2x .

Ejercicio 5.8 ★★

Una taza de café a temperatura $T_0 = 80\,^\circ$ C se encuentra en una habitación a $20\,^\circ$ C. Ley de Newton de los estados de enfriamiento $T' = -k\,(T - 20)$ con $k > 0$ . Resuelva para $T(t)$ , y dado que el café está en $50\,^\circ$ C después de $10$ minutos, busque cuándo llega $25\,^\circ$ C.

Solución

Solución de Ejercicio 5.8.

La ecuación $T' + kT = 20k$ tiene solución particular constante $20$ y soluciones homogéneas $\lambda\eu^{-kt}$ : $T(t) = 20 + \lambda\,\eu^{-kt}$ , y $T(0) = 80$ da $\lambda = 60$ :

T(t) = 20 + 60\,\eu^{-kt} .

$T(10) = 50$ : $\eu^{-10k} = \frac12$ , entonces $k = \frac{\ln 2}{10}$ . entonces $T(t) = 25$ requiere $\eu^{-kt} = \frac{5}{60} = \frac{1}{12}$ , es decir

t = \frac{\ln 12}{k} = 10\,\frac{\ln 12}{\ln 2} \approx 35.8 \text{ minutes.}

Ejercicio 5.9 ★★★

(Oscilador amortiguado) Para $\varepsilon \geq 0$ , considere $y'' + 2\varepsilon y' + y = 0$ .

Resuelva para $\varepsilon \in \intco{0}{1}$ , $\varepsilon = 1$ , y $\varepsilon > 1$ .
Demuestre que para $\varepsilon > 0$ toda solución tiende a $0$ en $+\infty$ , y que para $\varepsilon = 0$ el valor distinto de cero las soluciones no.
Para $\varepsilon \in \intoo{0}{1}$ , demuestre que los ceros de un soluciones distintas de cero están regularmente espaciadas, con espacio $\frac{\pi}{\sqrt{1 - \varepsilon^2}}$ .

Solución

Solución de Ejercicio 5.9.

$\chi(r) = r^2 + 2\varepsilon r + 1$ , $\Delta = 4(\varepsilon^2 - 1)$ . Para $\varepsilon \in \intco{0}{1}$ : raíces $-\varepsilon \pm \iu\sqrt{1 - \varepsilon^2}$ , entonces $y = \eu^{-\varepsilon t}\bigl(\lambda\cos\omega t + \mu\sin\omega t\bigr)$ con $\omega = \sqrt{1 - \varepsilon^2}$ . Para $\varepsilon = 1$ : doble raíz $-1$ , $y = (\lambda + \mu t)\,\eu^{-t}$ . Para $\varepsilon > 1$ : raíces reales $r_\pm = -\varepsilon \pm \sqrt{\varepsilon^2 - 1}$ , tanto $< 0$ como $y = \lambda\eu^{r_+t} + \mu\eu^{r_-t}$ .
Para $\varepsilon \in \intoo{0}{1}$ : $\abs y \leq \eu^{-\varepsilon t}(\abs\lambda + \abs\mu) \to 0$ . Para $\varepsilon = 1$ : $(\lambda + \mu t)\eu^{-t} \to 0$ (exponencial vence al polinomio, Proposición 4.6). Para $\varepsilon > 1$ : ambos exponenciales decaen desde $r_\pm < 0$ (de hecho $\sqrt{\varepsilon^2 - 1} < \varepsilon$ ). Para $\varepsilon = 0$ : $y = \lambda\cos t + \mu\sin t$ tiene amplitud constante $\sqrt{\lambda^2 + \mu^2} \neq 0$ a menos que $y = 0$ .
Escriba $\lambda\cos\omega t + \mu\sin\omega t = R\cos(\omega t - \varphi)$ con $R = \sqrt{\lambda^2 + \mu^2} > 0$ . Los ceros de $y$ son los de $\cos(\omega t - \varphi)$ (el factor $\eu^{-\varepsilon t}$ nunca desaparece): $\omega t - \varphi \equiv \frac\pi2 \pmod \pi$ , una progresión aritmética con espacio $\frac{\pi}{\omega} = \frac{\pi}{\sqrt{1 - \varepsilon^2}}$ .

Ejercicio 5.10 ★★★

Encuentre todas las funciones $f \colon \R \to \R$ , dos veces diferenciables, como eso

\forall x, y \in \R, \qquad f(x + y) + f(x - y) = 2 f(x) f(y),

con $f(0) \ne 0$ y $f$ no constantes. Sugerencia: arregle $y$ , diferencie dos veces con respecto a $x$ en $0$ ; muestre $f(0) = 1$ y $f'' = c f$ para alguna constante $c$ ; luego resuelve según el signo de $c$ y verifique qué soluciones satisfacen el ecuación funcional.

Solución

Solución de Ejercicio 5.10.

Configure $x = y = 0$ : $2f(0) = 2f(0)^2$ y $f(0) \neq 0$ da $f(0) = 1$ . Arreglar $x$ y diferenciar la ecuación dos veces con respecto a $y$ :

f''(x+y) + f''(x-y) = 2 f(x) f''(y) .

Configuración $y = 0$ : $\;2f''(x) = 2 f(x) f''(0)$ , es decir

f''(x) = c\,f(x), \qquad c = f''(0).

Case $c = \omega^2 > 0$ : $f(x) = \lambda\cosh\omega x + \mu\sinh\omega x$ ; $f(0) = 1$ da $\lambda = 1$ . Enchufándose al ecuación funcional y usando las fórmulas de suma (Proposición 4.18), la ecuación fuerza a $\mu = 0$ (compare los coeficientes de $\sinh\omega x \sinh\omega y$ o evaluar en $x = y$ ): $f = \cosh\omega x$ , que sí satisface $\cosh(x+y) + \cosh(x-y) = 2\cosh x\cosh y$ .

Case $c = -\omega^2 < 0$ : de manera similar $f(x) = \cos\omega x$ ( $\omega \neq 0$ ), que satisface la ecuación.

Caso $c = 0$ : $f$ afín con $f(0) = 1$ : $f(x) = 1 + \mu x$ ; la ecuación fuerza $\mu = 0$ , excluida ( $f$ no constante).

Conclusión: las soluciones son $f(x) = \cos\omega x$ y $f(x) = \cosh\omega x$ , $\omega > 0$ .

Ejercicio 5.11 ★★

(Ecuación de Euler) Resuelva $x^2 y'' - x y' + y = 0$ en $\intoo{0}{+\infty}$ . Hint: set $z(t) = y(\eu^t)$ , i.e. substitute $x = \eu^t$ , and show that $z$ satisfies a linear equation with constant coefficients.

Solución

Solución de Ejercicio 5.11.

Configure $z(t) = y(\eu^t)$ , de modo que $y(x) = z(\ln x)$ sea $x > 0$ . entonces

y'(x) = \frac{z'(\ln x)}x, \qquad y''(x) = \frac{z''(\ln x) - z'(\ln x)}{x^2} ,

y sustituyendo en la ecuación:

x^2y'' - xy' + y = \bigl(z'' - z'\bigr) - z' + z = z'' - 2z' + z = 0 .

Polinomio característico $(r - 1)^2$ : doble raíz $1$ , entonces $z(t) = (\lambda + \mu t)\,\eu^t$ y, de nuevo en la variable $x = \eu^t$ :

y(x) = (\lambda + \mu\ln x)\,x, \qquad \lambda, \mu \in \R .

Ejercicio 5.12 ★★★

Considere la ecuación $x\,y' = 2y$ en toda la recta real, en el función diferenciable desconocida $y \colon \R \to \R$ .

Resuelve en $\intoo{0}{+\infty}$ y en $\intoo{-\infty}{0}$ .
Demuestre que para las constantes cualquier $a, b \in \R$ , la función igual a $ax^2$ para $x \geq 0$ y a $bx^2$ para $x < 0$ es diferenciable en $\R$ y resuelve la ecuación en todas partes.
Concluya que la solución conjunto en $\R$ es una solución de dos parámetros. familia y explique por qué esto no contradice la unicidad en Teorema 5.4.

Solución

Solución de Ejercicio 5.12.

En forma normalizada $y' - \frac2x\,y = 0$ en cada intervalo: $A(x) = -2\ln\abs x$ , por lo que las soluciones son $y = a x^2$ en $\intoo0{+\infty}$ y $y = b x^2$ en $\intoo{-\infty}0$ , con constantes independientes (Teorema 5.2).
Sea $y = ax^2$ para $x \geq 0$ y $bx^2$ para $x < 0$ . encendido cada media línea abierta $y$ es diferenciable con $xy' = 2y$ . En $0$ : los cocientes de diferencias $\frac{y(h) - y(0)}h = ah$ o $bh$ tienden a $0$ , por lo que $y'(0) = 0$ existe, y el La ecuación en $x = 0$ lee $0 \cdot y'(0) = 2y(0) = 0$ : satisfecho. Entonces $y$ resuelve la ecuación en todo $\R$ .
Las soluciones en $\R$ son exactamente estas funciones pegadas: a dos familia de parámetros para una ecuación de primer orden. No hay contradicción con Teorema 5.4, cuyas hipótesis fallan aquí: escrito como $y' + a(x)y = 0$ , el coeficiente $a(x) = -\frac2x$ no es continuo en $0$ — de hecho no está definido — entonces $\R$ no es un intervalo en que se aplica el teorema. La singularidad en $0$ desconecta las dos medias líneas, y el valor $y(0) = 0$ es forzado y no transmite ninguna información. cada cauchy El dato en $x_0 \neq 0$ determina la solución sólo en el media línea que contiene $x_0$ .

5.4 Problema: el oscilador amortiguado accionado

Problema 5.1

Una ecuación gobierna una masa sobre un resorte en un medio viscoso, la carga en un circuito RLC y un edificio meciéndose con el viento:

(E_\Omega)\colon\quad x'' + 2\lambda x' + \omega_0^2\,x = A\cos(\Omega t),

con $\lambda \geq 0$ la amortiguación, $\omega_0 > 0$ la natural frecuencia, y $A > 0$ , $\Omega > 0$ la amplitud y frecuencia de el forzamiento. Este problema extrae su comportamiento completo: el decaimiento de transitorios, el único estado estable periódico, el resonancia curva y su nitidez (el factor de calidad), los latidos de el caso no amortiguado, y el balance energético que sostiene el oscilación. A menos que se indique lo contrario, $0 < \lambda < \omega_0$ (subamortiguado régimen) y escribimos $\omega_d = \sqrt{\omega_0^2 - \lambda^2}$ .

Parte I — The free oscillator. Aquí $A = 0$ .

Resuelva la ecuación homogénea $(H)$ para $0 < \lambda < \omega_0$ y para $\lambda = 0$ . (Los regímenes $\lambda \geq \omega_0$ fueron tratados en Ejercicio 5.9; citarlos.)
Muestre que para cada $\lambda > 0$ , todas las soluciones de $(H)$ tienden a $0$ en $+\infty$ — en los tres regímenes.
Defina la energía $\mathcal E(t) = \frac12 x'(t)^2 + \frac12\omega_0^2\,x(t)^2$ junto con una solución de $(H)$ . Mostrar $\mathcal E'(t) = -2\lambda\,x'(t)^2 \leq 0$ , y deducir (sin resolver nada) que el problema de cauchy “ $(H)$ , $x(t_0) = x'(t_0) = 0$ ” tiene solo el cero solución, para cada $\lambda \geq 0$ .
Para $0 < \lambda < \omega_0$ , escriba la solución distinta de cero como $x(t) = R\,\eu^{-\lambda t}\cos(\omega_d t - \varphi)$ y sea $T_d = \frac{2\pi}{\omega_d}$ el pseudoperíodo. Demuestre que $x(t + T_d) = \eu^{-\lambda T_d}\,x(t)$ : cada uno swing es el anterior reducido por el factor constante $\eu^{-\delta}$ , $\delta = \frac{2\pi\lambda}{\omega_d}$ (el decremento logarítmico). Calcular $\delta$ para $\omega_0 = 1$ , $\lambda = 0.1$ .
Defina factor de calidad $Q = \dfrac{\omega_0}{2\lambda}$ . Mostrar que después del tiempo $\frac1\lambda$ (una amplitud $\eu$ -plegado), el oscilador ha completado $\frac{\omega_d}{2\pi\lambda}$ pseudoperíodos, que para la amortiguación débil ( $\lambda \ll \omega_0$ ) es aproximadamente $\frac Q\pi$ : el factor de calidad cuenta, hasta el $\pi$ , el las oscilaciones sobrevivieron antes de que la amplitud decayera por $\eu$ .

Parte II — The steady state. Ahora $A > 0$ y $\lambda > 0$ .

Busque una solución particular como parte real de $z\,\eu^{\iu\Omega t}$ con $z \in \C$ (Método 5.13). Demuestre que esto funciona con

$z = \frac{A}{\omega_0^2 - \Omega^2 + 2\iu\lambda\Omega} .$
Deducir el estado estacionario en forma amplitud-fase: $x_p(t) = R(\Omega)\cos\bigl(\Omega t - \varphi(\Omega)\bigr)$ con

$R(\Omega) = \frac{A}{\sqrt{(\omega_0^2 - \Omega^2)^2 + 4\lambda^2\Omega^2}}, \qquad \tan\varphi = \frac{2\lambda\Omega}{\omega_0^2 - \Omega^2}, \quad \varphi \in \intoo0\pi .$
Interpretar los dos regímenes extremos: calcular los límites de $R$ y $\varphi$ como $\Omega \to 0^+$ (cuasi-estático respuesta $A/\omega_0^2$ , fase $0$ ) y como $\Omega \to +\infty$ ( $R \sim A/\Omega^2 \to 0$ , fase $\to \pi$ : la la masa se mueve en sentido contrario a un forzamiento demasiado rápido).
Demuestre que cada la solución de $(E_\Omega)$ es $x_p$ más una solución de $(H)$ , por lo tanto converge al estado estacionario indique $x_p$ como $t \to +\infty$ , cualquiera que sea la inicial condiciones: después de que el transitorio muere, el oscilador ha No recuerdo cómo empezó.
Demuestre que $x_p$ es la solución periódica solo de $(E_\Omega)$ .
Trabajar un problema de cauchy hasta el final: para $x'' + 2x' + 2x = \cos t$ con $x(0) = x'(0) = 0$ , demostrar que la solución es

$x(t) = \frac{\cos t + 2\sin t}5 - \eu^{-t}\,\frac{\cos t + 3\sin t}5 ,$

e identificar piezas transitorias y estables.

Parte III — The resonancia curve. Estudio de $\Omega \mapsto R(\Omega)$ en $\intoo0{+\infty}$ .

Configurando $u = \Omega^2$ y $g(u) = (\omega_0^2 - u)^2 + 4\lambda^2 u$ , muestra: si $2\lambda^2 < \omega_0^2$ , entonces $R$ alcanza un máximo estricto en el resonancia frequency $\Omega_r = \sqrt{\omega_0^2 - 2\lambda^2}$ , con

$R_{\max} = R(\Omega_r) = \frac{A}{2\lambda\sqrt{\omega_0^2 - \lambda^2}} .$
Demuestre que $\dfrac{R_{\max}}{R(0)} = Q\,\bigl(1 - \tfrac{\lambda^2}{\omega_0^2}\bigr)^{-1/2} \geq Q$ : en resonancia, el forzamiento es amplificado por (esencialmente) el factor de calidad.
Demuestre que la amplitud de velocidad $V(\Omega) = \Omega\,R(\Omega)$ es máxima exactamente en $\Omega = \omega_0$ (no en $\Omega_r$ ), y que la fase allí es $\varphi(\omega_0) = \frac\pi2$ : en $\Omega = \omega_0$ la velocidad está exactamente en fase con la fuerza.
(Ancho de banda) Resuelva exactamente $g(u) = 2\,g(u_r)$ , donde $u_r = \omega_0^2 - 2\lambda^2$ , y deduzca que los dos frecuencias $\Omega_\pm$ donde $R = R_{\max}/\sqrt2$ satisfacer $\Omega_+^2 - \Omega_-^2 = 4\lambda\sqrt{\omega_0^2 - \lambda^2}$ ; concluir que para La amortiguación débil del ancho de banda es $\Omega_+ - \Omega_- \approx 2\lambda$ , es decir, $Q \approx \frac{\omega_0}{\Omega_+ - \Omega_-}$ : fuerte resonancia. Los picos son sistemas altos $Q$ .
Retrato numérico para $\omega_0 = 1$ , $\lambda = 0.05$ ( $Q = 10$ ), $A = 1$ : calcula $\Omega_r$ , $R_{\max}$ , el respuesta estática $R(0)$ y el ancho de banda aproximado.
Demuestre que si $2\lambda^2 \geq \omega_0^2$ , entonces $R$ es estrictamente decreciente en $\intoo0{+\infty}$ : fuertemente amortiguado Los sistemas no tienen ningún pico resonancia.

Parte IV — No damping: beats and resonancia. Aquí $\lambda = 0$ .

Para $\Omega \neq \omega_0$ , encuentre la solución general de $x'' + \omega_0^2 x = A\cos(\Omega t)$ .
Resuelve el problema de cauchy $x(0) = x'(0) = 0$ y transforma la respuesta en forma de producto

$x(t) = \frac{2A}{\omega_0^2 - \Omega^2}\, \sin\Bigl(\frac{(\omega_0 - \Omega)t}2\Bigr) \sin\Bigl(\frac{(\omega_0 + \Omega)t}2\Bigr) .$
Para $\Omega$ cerca de $\omega_0$ , lea el producto como oscilación rápida en la frecuencia $\frac{\omega_0 + \Omega}2$ modulado por una envolvente lenta en frecuencia $\frac{\abs{\omega_0 - \Omega}}2$ : el late. Indique el periodo del sobre y el amplitud máxima, y observe cómo ambos explotan como $\Omega \to \omega_0$ .
Reparar $t$ y dejar $\Omega \to \omega_0$ en la pregunta 19 fórmula: muestra que el límite es

$x_\infty(t) = \frac{A\,t\,\sin(\omega_0 t)}{2\omega_0} ,$

y comprobar directamente que $x_\infty$ resuelve el resonante ecuación $x'' + \omega_0^2 x = A\cos(\omega_0 t)$ con $x(0) = x'(0) = 0$ (comparar Ejemplo 5.19): resonancia es el límite de ritmos cada vez más lentos y más grandes.
Contraste los dos destinos de resonancia: crecimiento lineal $\frac{At}{2\omega_0}$ sin amortiguamiento, versus saturación en $R_{\max} \approx Q\,\frac{A}{\omega_0^2}$ con débil amortiguación. En una frase: ¿qué mecanismo físico convierte? el primero en el segundo?

Part V — Energy balance and synthesis.

En el estado estacionario de la Parte II, calcule el promedio sobre un período $\frac{2\pi}\Omega$ de (a) la potencia inyectada por el forzado, $P_{\mathrm{in}}(t) = A\cos(\Omega t) \cdot x_p'(t)$ , y (b) la potencia disipada por el amortiguación, $P_{\mathrm{diss}}(t) = 2\lambda\,x_p'(t)^2$ . Mostrar ambos promedios iguales $\lambda\,R^2\Omega^2$ : el forzar alimenta exactamente lo que quema la amortiguación — esto Por eso el estado estacionario es estable.
¿Dónde exactamente se utilizó el problema: (i) la estructura? teorema Teorema 5.12; (ii) el complejo método exponencial; (iii) un estudio de función de variable real al estilo de Capítulo 4? una frase cada uno.
Síntesis: describe el comportamiento completo aplicación de $(E_\Omega)$ — libre versus forzado, amortiguado versus no amortiguado, el papel de $Q$ como pico de sintonización de dial unidimensional y adimensional altura, ancho de banda y vida útil transitoria — y mencione donde continúa la historia: primer orden $2 \times 2$ sistemas (Capítulo 21 y el volumen del año 2) y la descomposición de un forzamiento periódico general en sinusoides (serie de Fourier, en el volumen del año 3), para cual el caso sinusoidal de este problema es el fundamental bloque de construcción.

Solución

Solución de Problema 5.1.

1. $\chi(r) = r^2 + 2\lambda r + \omega_0^2$ , $\Delta = 4(\lambda^2 - \omega_0^2) < 0$ para $0 < \lambda < \omega_0$ : raíces $-\lambda \pm \iu\omega_d$ , entonces por Teorema 5.10

x(t) = \eu^{-\lambda t}\bigl(\lambda_1\cos\omega_d t + \mu_1\sin\omega_d t\bigr), \qquad (\lambda_1, \mu_1) \in \R^2 .

Para $\lambda = 0$ : $x = \lambda_1\cos\omega_0 t + \mu_1\sin\omega_0 t$ . El crítico ( $\lambda = \omega_0$ ) y Los regímenes sobreamortiguados ( $\lambda > \omega_0$ ) son los de Ejercicio 5.9 (después del tiempo de reescalado): $(\lambda_1 + \mu_1 t)\eu^{-\lambda t}$ , respectivamente combinaciones de $\eu^{r_\pm t}$ con $r_\pm = -\lambda \pm \sqrt{\lambda^2 - \omega_0^2}$ .

2. Subamortiguado: $\abs x \leq \eu^{-\lambda t}(\abs{\lambda_1} + \abs{\mu_1}) \to 0$ . Crítico: $(\lambda_1 + \mu_1 t)\eu^{-\lambda t} \to 0$ ya que los exponenciales superan polinomios (Proposición 4.6). Sobreamortiguado: $r_- < r_+ = -\lambda + \sqrt{\lambda^2 - \omega_0^2} < 0$ porque $\sqrt{\lambda^2 - \omega_0^2} < \lambda$ ; ambos decaimiento exponencial.

3. A lo largo de una solución de $(H)$ , usando $x'' = -2\lambda x' - \omega_0^2 x$ :

\mathcal E'(t) = x'x'' + \omega_0^2 x x' = x'\bigl(-2\lambda x' - \omega_0^2 x\bigr) + \omega_0^2 xx' = -2\lambda\,x'^2 \leq 0 .

Si $x(t_0) = x'(t_0) = 0$ entonces $\mathcal E(t_0) = 0$ ; $\mathcal E$ es no negativo y no creciente, por lo que $\mathcal E \equiv 0$ en $\intco{t_0}{+\infty}$ , forzando a $x \equiv 0$ allí; para $t \leq t_0$ , ejecute el mismo argumento en $\tilde x(t) = x(2t_0 - t)$ , que resuelve la ecuación con amortiguación $-\lambda$ pero aún tiene $\tilde{\mathcal E}(t_0) = 0$ y $\tilde{\mathcal E}' = +2\lambda\tilde x'^2 \geq 0$ con $\tilde{\mathcal E} \geq 0$ ; no negativo, no decreciente y cero en el extremo derecho de $\intoc{-\infty}{t_0}$ significa cero en todo momento. Entonces $x \equiv 0$ en adelante $\R$ — una prueba energética de unicidad, válida para todos los $\lambda \geq 0$ .

4. $x(t + T_d) = R\,\eu^{-\lambda t}\eu^{-\lambda T_d}\cos(\omega_d t + 2\pi - \varphi) = \eu^{-\lambda T_d}x(t)$ . El factor de reducción por pseudoperíodo es $\eu^{-\delta}$ con $\delta = \lambda T_d = \frac{2\pi\lambda}{\omega_d}$ . Para $\omega_0 = 1$ , $\lambda = 0.1$ : $\omega_d = \sqrt{0.99} = 0.99499$ , entonces $\delta = \frac{0.62832}{0.99499} = 0.6315$ : cada uno swing mantiene $\eu^{-0.63} \approx 53\%$ de su amplitud.

5. El factor de amplitud es $\eu^{-\lambda t}$ , que decae en $\eu$ sobre $t = \frac1\lambda$ . Ese intervalo contiene $\frac{1/\lambda}{T_d} = \frac{\omega_d}{2\pi\lambda}$ pseudoperíodos. Para $\lambda \ll \omega_0$ , $\omega_d \approx \omega_0$ y este es $\approx \frac{\omega_0}{2\pi\lambda} = \frac Q\pi$ . Una cuerda de guitarra $Q = 300$ suena durante aproximadamente cien períodos; un amortiguador de puerta $Q = 1$ no completa uno.

6. Sustituyendo $z\,\eu^{\iu\Omega t}$ en el lado izquierdo lado da $z\,(-\Omega^2 + 2\iu\lambda\Omega + \omega_0^2)\,\eu^{\iu\Omega t}$ , que es igual a $A\,\eu^{\iu\Omega t}$ exactamente para $z = \frac{A}{\omega_0^2 - \Omega^2 + 2\iu\lambda\Omega}$ (el denominador es distinto de cero: es imaginario parte es $2\lambda\Omega > 0$ ). Como los coeficientes son reales, la parte real $x_p = \Re\bigl(z\eu^{\iu\Omega t}\bigr)$ resuelve el ecuación con el lado derecho $\Re\bigl(A\eu^{\iu\Omega t}\bigr) = A\cos\Omega t$ .

7. Escribe $\omega_0^2 - \Omega^2 + 2\iu\lambda\Omega = \sqrt{D}\,\eu^{\iu\varphi}$ con $D = (\omega_0^2 - \Omega^2)^2 + 4\lambda^2\Omega^2$ y $\varphi \in \intoo0\pi$ (el imaginario la parte $2\lambda\Omega$ es positiva), por lo que $\tan\varphi = \frac{2\lambda\Omega}{\omega_0^2 - \Omega^2}$ . Entonces $z = \frac{A}{\sqrt D}\eu^{-\iu\varphi}$ y

x_p(t) = \Re\Bigl(\frac A{\sqrt D}\,\eu^{\iu(\Omega t - \varphi)}\Bigr) = R\cos(\Omega t - \varphi), \qquad R = \frac A{\sqrt D} .

8. Como $\Omega \to 0^+$ : $D \to \omega_0^4$ , entonces $R \to A/\omega_0^2$ y $\tan\varphi \to 0^+$ con $\varphi \in \intoo0{\frac\pi2}$ : $\varphi \to 0$ . La masa sigue a la fuerza. casi estáticamente, desplazado por fuerza/rigidez. Como $\Omega \to +\infty$ : $D \sim \Omega^4$ , entonces $R \sim A/\Omega^2 \to 0$ , y $\varphi \to \pi$ (el número complejo $\omega_0^2 - \Omega^2 + 2\iu\lambda\Omega$ pasa al segundo cuadrante con el argumento $\to \pi$ ): la masa apenas se mueve, y en oposición de fase — domina la inercia.

9. Por Teorema 5.12 (1), cada solución es $x = x_p + x_h$ con $x_h$ resolviendo $(H)$ ; por la pregunta 2, $x_h(t) \to 0$ , entonces $x(t) - x_p(t) \to 0$ : todas las soluciones convergen a la mismo estado estacionario. Las condiciones iniciales sólo dan forma a lo transitorio.

10. Si $x$ es una solución periódica, $x - x_p = x_h$ es una solución periódica de $(H)$ que tiende a $0$ en $+\infty$ ; un función periódica con límite $0$ es idénticamente $0$ (sus valores en un período se repite para siempre, por lo que cada valor es un límite de un subsecuencia que tiende a $0$ ). Por lo tanto $x = x_p$ .

11. Aquí $\lambda = 1$ , $\omega_0^2 = 2$ , $\Omega = 1$ , $A = 1$ : $z = \frac1{2 - 1 + 2\iu} = \frac{1 - 2\iu}5$ , entonces

x_p = \Re\Bigl(\frac{(1 - 2\iu)(\cos t + \iu\sin t)}5\Bigr) = \frac{\cos t + 2\sin t}5 .

Homogéneo: las raíces de $r^2 + 2r + 2$ son $-1 \pm \iu$ : $x_h = \eu^{-t}(C\cos t + S\sin t)$ . Condiciones: $x(0) = \frac15 + C = 0$ da $C = -\frac15$ ; diferenciando, $x'(0) = \frac25 - C + S = 0$ da $S = C - \frac25 = -\frac35$ . Por lo tanto

x(t) = \underbrace{\frac{\cos t + 2\sin t}5}_{\text{steady}} - \underbrace{\eu^{-t}\,\frac{\cos t + 3\sin t}5}_{\text{transient}} ,

el transitorio muriendo como $\eu^{-t}$ .

12. Expandiendo, $g(u) = u^2 - 2(\omega_0^2 - 2\lambda^2)u + \omega_0^4 = (u - u_r)^2 + g(u_r)$ con $u_r = \omega_0^2 - 2\lambda^2$ y

g(u_r) = \omega_0^4 - u_r^2 = (\omega_0^2 - u_r)(\omega_0^2 + u_r) = 2\lambda^2\bigl(2\omega_0^2 - 2\lambda^2\bigr) = 4\lambda^2(\omega_0^2 - \lambda^2) .

Si $2\lambda^2 < \omega_0^2$ , entonces $u_r > 0$ es un valor admisible. Frecuencia al cuadrado: $g$ tiene un mínimo estricto allí, por lo que $R = A/\sqrt g$ tiene un máximo estricto en $\Omega_r = \sqrt{u_r} = \sqrt{\omega_0^2 - 2\lambda^2}$ , con $R_{\max} = A/\sqrt{g(u_r)} = \frac{A}{2\lambda\sqrt{\omega_0^2 - \lambda^2}}$ .

13. $R(0) = A/\omega_0^2$ , entonces

\frac{R_{\max}}{R(0)} = \frac{\omega_0^2}{2\lambda\sqrt{\omega_0^2 - \lambda^2}} = \frac{\omega_0}{2\lambda}\cdot \frac{\omega_0}{\sqrt{\omega_0^2 - \lambda^2}} = Q\,\Bigl(1 - \frac{\lambda^2}{\omega_0^2}\Bigr)^{-1/2} \geq Q .

Para una amortiguación débil, el factor de corrección está cerca de $1$ : resonancia multiplica el desplazamiento estático por esencialmente $Q$ .

14. $V(\Omega)^2 = \frac{A^2 u}{g(u)}$ con $u = \Omega^2$ . Su derivada tiene el signo de $g(u) - u\,g'(u) = (\omega_0^2 - u)^2 + 4\lambda^2 u - u\bigl(2(u - \omega_0^2) + 4\lambda^2\bigr) = (\omega_0^2 - u)^2 + 2u(\omega_0^2 - u) = (\omega_0^2 - u)(\omega_0^2 + u)$ , positivo para $u < \omega_0^2$ y negativo más allá: máximo estricto exactamente en $\Omega = \omega_0$ , para cada amortiguación. Allí $\tan\varphi$ explota con $\varphi \in \intoo0\pi$ : $\varphi = \frac\pi2$ y $x_p'(t) = -R\Omega\sin(\Omega t - \frac\pi2) = R\Omega\cos(\Omega t)$ es exactamente en sintonía con la fuerza: transferencia de potencia óptima.

15. $R = R_{\max}/\sqrt2 \iff g(u) = 2g(u_r) \iff (u - u_r)^2 = g(u_r) = 4\lambda^2(\omega_0^2 - \lambda^2)$ , dando

u_\pm = u_r \pm 2\lambda\sqrt{\omega_0^2 - \lambda^2}, \qquad \Omega_+^2 - \Omega_-^2 = 4\lambda\sqrt{\omega_0^2 - \lambda^2} .

Luego $\Omega_+ - \Omega_- = \frac{\Omega_+^2 - \Omega_-^2}{\Omega_+ + \Omega_-}$ , y para $\lambda \ll \omega_0$ ambos $\Omega_\pm \approx \omega_0$ : $\Omega_+ - \Omega_- \approx \frac{4\lambda\omega_0}{2\omega_0} = 2\lambda$ , entonces $\frac{\omega_0}{\Omega_+ - \Omega_-} \approx \frac{\omega_0}{2\lambda} = Q$ . Medición del ancho de un pico resonancia mide su factor de calidad.

16. $Q = 10$ ; $\Omega_r = \sqrt{1 - 2(0.05)^2} = \sqrt{0.995} = 0.9975$ ; $R_{\max} = \frac1{2 \times 0.05 \sqrt{1 - 0.0025}} = \frac1{0.1 \times 0.99875} = 10.01$ ; estático respuesta $R(0) = 1$ ; ancho de banda $\approx 2\lambda = 0.1$ . un alto pico delgado de altura $\approx Q$ sobre una meseta de altura $1$ .

17. Si $2\lambda^2 \geq \omega_0^2$ entonces $u_r \leq 0$ y $g'(u) = 2(u - u_r) > 0$ para todos $u > 0$ : $g$ aumenta estrictamente en $\intoo0{+\infty}$ , por lo que $R = A/\sqrt g$ disminuye estrictamente desde $R(0) = A/\omega_0^2$ : la respuesta es mayor en frecuencia cero y no hay pico.

18. $\gamma = \iu\Omega$ no es una raíz de $r^2 + \omega_0^2$ (como $\Omega \neq \omega_0$ ), por lo que Método 5.13 con $m = 0$ da $x_p = \frac{A\cos\Omega t}{\omega_0^2 - \Omega^2}$ (sustituto y comprobar: $-\Omega^2 + \omega_0^2$ veces el coseno). generales solución:

x(t) = \frac{A\cos\Omega t}{\omega_0^2 - \Omega^2} + \lambda_1\cos\omega_0 t + \mu_1\sin\omega_0 t .

19. $x(0) = 0$ fuerza a $\lambda_1 = -\frac A{\omega_0^2 - \Omega^2}$ y $x'(0) = 0$ fuerza a $\mu_1 = 0$ :

x(t) = \frac{A}{\omega_0^2 - \Omega^2}\, \bigl(\cos\Omega t - \cos\omega_0 t\bigr) = \frac{2A}{\omega_0^2 - \Omega^2}\, \sin\Bigl(\frac{(\omega_0 - \Omega)t}2\Bigr) \sin\Bigl(\frac{(\omega_0 + \Omega)t}2\Bigr) ,

por la fórmula del producto $\cos a - \cos b = 2\sin\frac{b - a}2\sin\frac{b + a}2$ aplicada con $a = \Omega t$ , $b = \omega_0 t$ .

20. Para $\Omega$ cerca de $\omega_0$ , el segundo seno oscila a la frecuencia rápida $\frac{\omega_0 + \Omega}2 \approx \omega_0$ , mientras que la primera es una envolvente lenta de frecuencia $\frac{\abs{\omega_0 - \Omega}}2$ : la amplitud del ayuno La oscilación aumenta y disminuye con el período de la envolvente. $\frac{2\pi}{\abs{\omega_0 - \Omega}}$ (dos tiempos por sobre período), alcanzando máximos $\frac{2A}{\abs{\omega_0^2 - \Omega^2}}$ . Como $\Omega \to \omega_0$ , los tiempos se vuelven más lentos (punto $\to \infty$ ) y más alto (amplitud $\to \infty$ ).

21. Reparar $t$ . Como $\Omega \to \omega_0$ :

\frac{2A}{\omega_0^2 - \Omega^2}\sin\Bigl(\frac{(\omega_0 - \Omega)t}2\Bigr) = \frac{2A}{\omega_0 + \Omega}\cdot \frac{\sin\bigl(\frac{(\omega_0 - \Omega)t}2\bigr)} {\omega_0 - \Omega} \longrightarrow \frac{2A}{2\omega_0}\cdot\frac t2 = \frac{At}{2\omega_0} ,

mientras que $\sin\bigl(\frac{(\omega_0 + \Omega)t}2\bigr) \to \sin(\omega_0 t)$ : el límite es $x_\infty(t) = \frac{At\sin\omega_0 t}{2\omega_0}$ . Comprobación directa: con $C = \frac A{2\omega_0}$ , $x_\infty = Ct\sin\omega_0 t$ tiene $x_\infty'' = 2C\omega_0\cos\omega_0 t - C\omega_0^2 t \sin\omega_0 t$ , entonces $x_\infty'' + \omega_0^2 x_\infty = 2C\omega_0\cos\omega_0 t = A\cos\omega_0 t$ , con $x_\infty(0) = 0$ y $x_\infty'(0) = C\sin 0 + C\omega_0 \cdot 0 \cdot \cos 0 = 0$ — para $\omega_0 = A = 1$ esto es exactamente Ejemplo 5.19. Resonancia es el degeneración de los latidos: la primera hinchazón de la envolvente, estirada hasta longitud infinita.

22. Sin amortiguación la amplitud resonante crece linealmente y sin límites; con amortiguación $\lambda > 0$ el crecimiento se satura en $R_{\max} \approx Q\,\frac A{\omega_0^2}$ . El mecanismo: La disipación elimina energía a un ritmo que crece con la amplitud. (pregunta 23), por lo que la acumulación se detiene exactamente cuando la amortiguación burns energy as fast as the forcing supplies it.

23. Con $x_p' = -R\Omega\sin(\Omega t - \varphi)$ , terminado un periodo los promedios $\langle\cos^2\rangle = \langle\sin^2\rangle = \frac12$ y $\langle\sin\cos\rangle = 0$ dar:

\langle P_{\mathrm{diss}}\rangle = 2\lambda\,R^2\Omega^2\,\langle\sin^2(\Omega t - \varphi)\rangle = \lambda R^2\Omega^2 ;

y expandiendo $\sin(\Omega t - \varphi) = \sin\Omega t\cos\varphi - \cos\Omega t\sin\varphi$ :

\langle P_{\mathrm{in}}\rangle = -AR\Omega\,\bigl\langle\cos\Omega t\,\sin(\Omega t - \varphi)\bigr\rangle = AR\Omega\,\frac{\sin\varphi}2 .

Desde $\sin\varphi = \frac{2\lambda\Omega}{\sqrt D} = \frac{2\lambda\Omega R}A$ , esto es $\frac{AR\Omega}2 \cdot \frac{2\lambda\Omega R}A = \lambda R^2\Omega^2$ : inyectado y Los poderes disipados se equilibran exactamente: la propiedad definitoria de un régimen estable.

24. (i) El teorema de la estructura divide cada solución en estado estacionario más transitorio (preguntas 9 a 11) y reducido unicidad al problema homogéneo. (ii) El método complejo convirtió la búsqueda de una solución particular en una división de números complejos (pregunta 6), con amplitud y fase leídas módulo y un argumento. (iii) La curva resonancia es pura estudio de función — una cuadrática en $u = \Omega^2$ , su mínimo, su nivel conjuntos — al estilo de Capítulo 4 (preguntas 12–17).

25. Libre y amortiguado: pseudooscilaciones decrecientes, vida $\frac1\lambda$ , sobre $\frac Q\pi$ columpios. forzado y amortiguado: los transitorios mueren y un estado estable sinusoidal único sobrevive a la frecuencia forzada, con un pico de amplitud cerca $\omega_0$ (altura $\approx Q \times$ estática, ancho $\approx \frac{\omega_0}Q$ ) y barrido de fase desde $0$ a $\pi$ hasta $\frac\pi2$ en $\omega_0$ . Libre y no amortiguado: perpetuo oscilación. Forzado y no amortiguado: latidos, degenerando en resonancia de crecimiento lineal en sintonía exacta. uno sin dimensiones número, $Q = \frac{\omega_0}{2\lambda}$ , sintoniza todo — La altura máxima, el ancho de banda y la vida útil transitoria son tres lecturas. del mismo dial. La secuela: reescribir $x'' + 2\lambda x' + \omega_0^2x$ como un sistema de primer orden abre los métodos matriciales de Capítulo 21 y el volumen del año 2, y descomponiendo un forzamiento periódico arbitrario en sinusoides (serie de Fourier, año 3 volumen) hace que el análisis de frecuencia única de este problema sea el bloque de construcción universal: resolver para cada frecuencia, superponer.