Matemáticas universitarias — Grado 1 · Bachelor Year 1

5Ecuaciones diferenciales lineales

Vistas por primera vez en el volumen anterior, las ecuaciones diferenciales se tratan aquí con demostraciones completas y con mayor generalidad: ecuaciones lineales de primer orden con coeficientes variables (resueltas por completo con el método de variación de las constantes) y ecuaciones lineales de segundo orden con coeficientes constantes, el modelo de las oscilaciones. Los dos casos exhiben la misma estructura: solución general $=$ una solución particular $+$ solución general de la ecuación homogénea.

5.1 Ecuaciones lineales de primer orden

Definición 5.1

Sean $I$ un intervalo y $a, b \colon I \to \R$ (o $\C$ ) continuas. La ecuación

(E)\colon\quad y' + a(x)\,y = b(x),

en la incógnita, una función derivable $y \colon I \to \R$ (o $\C$ ), es una ecuación diferencial lineal de primer orden. La ecuación $(H)\colon y' + a(x) y = 0$ es su ecuación homogénea.

Teorema 5.2 (Resolución de la ecuación homogénea)

Sea $A$ una primitiva de $a$ en $I$ (existe: Capítulo 15). Las soluciones de $(H)$ en $I$ son exactamente las funciones

y(x) = \lambda\, \eu^{-A(x)}, \qquad \lambda \in \R \text{ (or } \C).

Demostración. Estas funciones son soluciones: $y' = -\lambda A' \eu^{-A} = -a y$ . Recíprocamente, sea $y$ solución de $(H)$ y póngase $z(x) = y(x)\, \eu^{A(x)}$ . Entonces

z' = y' \eu^{A} + y\, a\, \eu^{A} = (y' + ay)\, \eu^{A} = 0 ,

luego $z$ es constante en el intervalo $I$ , digamos $z = \lambda$ : $y = \lambda \eu^{-A}$ . (Obsérvese la lógica: no se pierde ninguna solución, porque toda solución se ha escrito en la forma anunciada.) ∎

Ejemplo 5.3 (Una ecuación homogénea de coeficiente variable)

Resuélvase $y' + (\cos x)\,y = 0$ en $\R$ . Una primitiva de $a(x) = \cos x$ es $A(x) = \sin x$ , luego las soluciones son

y(x) = \lambda\,\eu^{-\sin x}, \qquad \lambda \in \R .

Dos lecturas. Toda solución es periódica (de período $2\pi$ ) y no se anula nunca salvo si $\lambda = 0$ — el signo de $\lambda$ es para siempre el signo de $y$ , pues una exponencial no puede cruzar el cero. Y la solución con $y(0) = y_0$ es $y_0\eu^{-\sin x}$ : exactamente una curva de la familia por cada punto inicial, la imagen unidimensional del Teorema 5.4 (2).

Teorema 5.4 (Variación de las constantes; problema de Cauchy)

Con la notación anterior:

Las soluciones de $(E)$ en $I$ son exactamente

$y(x) = \Bigl(\lambda + \int_{x_0}^{x} b(t)\, \eu^{A(t)} \dd t \Bigr)\, \eu^{-A(x)}, \qquad \lambda \in \R,$

donde $x_0 \in I$ está fijado. Equivalentemente: solución general de $(H)$ más una solución particular de $(E)$ .
Para todos $x_0 \in I$ e $y_0$ , el problema de Cauchy « $(E)$ e $y(x_0) = y_0$ » tiene exactamente una solución en $I$ .

Demostración. (1) Siguiendo el método llamado variación de las constantes, se buscan soluciones de la forma $y = \mu(x)\, \eu^{-A(x)}$ con $\mu$ derivable — no se pierde generalidad, ya que toda función de $I$ se puede escribir así ( $\mu = y\,\eu^{A}$ ). Sustituyendo,

y' + ay = \mu' \eu^{-A} - \mu a \eu^{-A} + a\mu\eu^{-A} = \mu'\, \eu^{-A},

luego $y$ es solución de $(E)$ si y solo si $\mu'(x) = b(x)\,\eu^{A(x)}$ , si y solo si $\mu(x) = \lambda + \int_{x_0}^x b(t)\eu^{A(t)}\dd t$ para alguna constante $\lambda$ (dos primitivas de una misma función continua en un intervalo difieren en una constante).

(2) En la fórmula, $y(x_0) = \lambda\,\eu^{-A(x_0)}$ : la condición $y(x_0) = y_0$ determina $\lambda = y_0 \eu^{A(x_0)}$ de manera única. ∎

Ejemplo 5.5

Resuélvase $y' + \dfrac{y}{x} = x^2$ en $I = \intoo{0}{+\infty}$ . Aquí $a(x) = \frac 1x$ , $A(x) = \ln x$ , $\eu^{-A(x)} = \frac 1x$ . Soluciones homogéneas: $\frac{\lambda}{x}$ . Variación de las constantes: $\mu'(x) = x^2 \cdot x = x^3$ , luego $\mu = \frac{x^4}{4} + \lambda$ , y

y(x) = \frac{x^3}{4} + \frac{\lambda}{x}, \qquad \lambda \in \R .

Con la condición inicial $y(1) = 0$ : $\lambda = -\frac14$ . Comprobación: $y' + \frac yx = \frac{3x^2}{4} - \frac{\lambda}{x^2} + \frac{x^2}{4} + \frac{\lambda}{x^2} = x^2$ .

Ejemplo 5.6 (Adivinar gana a integrar)

Resuélvase $y' + 2x\,y = x$ en $\R$ . La variación de las constantes funciona ( $A = x^2$ , $\mu' = x\,\eu^{x^2}$ , $\mu = \frac12\eu^{x^2} + \lambda$ ), pero observar que la constante $y_p = \frac12$ resuelve la ecuación ( $0 + 2x\cdot\frac12 = x$ ) es más rápido. Con las soluciones homogéneas $\lambda\,\eu^{-x^2}$ :

y(x) = \frac12 + \lambda\,\eu^{-x^2}, \qquad \lambda \in \R .

Toda solución converge a $\frac12$ con enorme rapidez cuando $x \to \pm\infty$ : la solución particular constante es un equilibrio al que se unen todas las demás. La idea clave: antes de lanzar el método general, dedíquense diez segundos a buscar una solución particular evidente (constante, monomio, múltiplo del miembro derecho); el teorema de estructura remata después el trabajo.

Observación 5.7 (Los intervalos importan)

El teorema vive en un intervalo donde $a$ y $b$ son continuas. Para $y' + \frac yx = 0$ en $\R^*$ , las soluciones son $\frac{\lambda}{x}$ en $\intoo{0}{+\infty}$ y $\frac{\mu}{x}$ en $\intoo{-\infty}{0}$ con constantes independientes: no hay ninguna razón para que una sola fórmula pegue las dos ramas a través de la singularidad en $0$ .

Ejemplo 5.8 (Un miembro derecho complejo, dos respuestas reales)

Resuélvanse $y' - y = \cos x$ e $y' - y = \sin x$ de una vez. Se trabaja en $\C$ con el miembro derecho $\eu^{\iu x}$ : probando $y_p = c\,\eu^{\iu x}$ se obtiene $c(\iu - 1)\eu^{\iu x} = \eu^{\iu x}$ , luego

c = \frac1{\iu - 1} = \frac{-1 - \iu}2, \qquad y_p = -\frac{(1 + \iu)(\cos x + \iu\sin x)}2 = \frac{\sin x - \cos x}2 + \iu\,\frac{-\sin x - \cos x}2 .

Como la ecuación tiene coeficientes reales, las partes real e imaginaria se separan: $\frac{\sin x - \cos x}2$ resuelve $y' - y = \cos x$ , y $-\frac{\sin x + \cos x}2$ resuelve $y' - y = \sin x$ (compruébese la primera: su derivada, $\frac{\cos x + \sin x}2$ , menos la función da $\cos x$ ). Una línea compleja ha sustituido a dos pasadas de variación de las constantes — la misma economía que el Método 5.13 sistematiza para el segundo orden, y un dividendo recurrente del Capítulo 3.

5.2 Ecuaciones lineales de segundo orden con coeficientes constantes

Definición 5.9

Sean $a, b \in \R$ y $f \colon I \to \R$ continua. La ecuación

(E)\colon\quad y'' + a\,y' + b\,y = f(x)

es una ecuación lineal de segundo orden con coeficientes constantes; $(H)\colon y'' + ay' + by = 0$ es su ecuación homogénea, y $\chi(r) = r^2 + ar + b$ su polinomio característico.

Teorema 5.10 (Soluciones homogéneas)

Sea $\Delta = a^2 - 4b$ el discriminante de $\chi$ . Las soluciones reales de $(H)$ en $\R$ son:

si $\Delta > 0$ , con $r_1 \neq r_2$ las dos raíces reales: $\;y = \lambda\, \eu^{r_1 x} + \mu\, \eu^{r_2 x}$ ;
si $\Delta = 0$ , con $r_0$ la raíz doble: $\;y = (\lambda + \mu x)\, \eu^{r_0 x}$ ;
si $\Delta < 0$ , con raíces $\alpha \pm \iu\omega$ ( $\omega > 0$ ): $\;y = \eu^{\alpha x} (\lambda \cos\omega x + \mu \sin\omega x)$ ;

en cada caso con $(\lambda, \mu)$ recorriendo $\R^2$ .

Demostración. Obsérvese primero que, para $r \in \C$ , la función $x \mapsto \eu^{rx}$ resuelve $(H)$ si y solo si $\chi(r) = 0$ (sustitúyase: $(r^2 + ar + b)\eu^{rx} = 0$ ). Por eso las exponenciales son la primera conjetura natural: derivar actúa sobre $\eu^{rx}$ como multiplicar por el número $r$ , de modo que la ecuación diferencial se convierte en la ecuación numérica $\chi(r) = 0$ — todo el problema analítico queda comprimido en hallar las raíces de una cuadrática.

El paso clave es un cambio de incógnita que rebaja el orden. Sea $r$ una raíz (posiblemente compleja) de $\chi$ y escríbase $y = z\, \eu^{rx}$ , lo que no pierde generalidad. Entonces

y'' + ay' + by = \bigl(z'' + (2r + a) z' + \chi(r) z\bigr)\eu^{rx} = \bigl(z'' + (2r + a) z'\bigr)\eu^{rx},

de modo que $(H)$ se convierte en la ecuación de primer orden $u' + (2r + a) u = 0$ para $u = z'$ .

Caso $\Delta \neq 0$ : tómese $r = r_1$ ; entonces $2r_1 + a = r_1 - r_2$ (pues $r_1 + r_2 = -a$ ). Por el Teorema 5.2, $z' = c\,\eu^{(r_2 - r_1)x}$ para alguna constante $c$ ; integrando en $\R$ , $z = \mu\, \eu^{(r_2 - r_1)x} + \lambda$ con $\mu = \frac{c}{r_2 - r_1}$ , y por tanto $y = z\,\eu^{r_1 x} = \lambda\,\eu^{r_1x} + \mu\,\eu^{r_2x}$ . Cuando $\Delta < 0$ , las raíces son $\alpha \pm \iu\omega$ y las soluciones complejas son $y = c_1\eu^{(\alpha+\iu\omega)x} + c_2\eu^{(\alpha-\iu\omega)x}$ con $c_1, c_2 \in \C$ . ¿Cuáles de ellas toman valores reales? Como $\conj{\eu^{(\alpha+\iu\omega)x}} = \eu^{(\alpha-\iu\omega)x}$ , el conjugado de $y$ es $\conj{c_2}\, \eu^{(\alpha+\iu\omega)x} + \conj{c_1}\,\eu^{(\alpha-\iu\omega)x}$ , y que $y = \conj y$ para todo $x$ obliga a $c_2 = \conj{c_1}$ (las dos exponenciales son linealmente independientes: evalúese en dos puntos, o compárese en $x=0$ tras dividir por $\eu^{\alpha x}$ ). Escribiendo $c_1 = \frac{\lambda - \iu\mu}2$ con $\lambda, \mu$ reales:

y = 2\,\Re\Bigl(c_1\,\eu^{\alpha x}(\cos\omega x + \iu\sin\omega x)\Bigr) = \eu^{\alpha x}\bigl(\lambda\cos\omega x + \mu\sin\omega x\bigr),

y, recíprocamente, toda función así es solución (parte real de una solución compleja de una ecuación real): el espacio de soluciones reales es el anunciado.

Caso $\Delta = 0$ : $r = r_0$ , $2r_0 + a = 0$ , luego $z'' = 0$ : $z = \lambda + \mu x$ e $y = (\lambda + \mu x)\eu^{r_0 x}$ . ∎

Ejemplo 5.11 (Un problema de Cauchy, de principio a fin)

Resuélvase $y'' - 3y' + 2y = 0$ con $y(0) = 0$ , $y'(0) = 1$ . El polinomio característico $r^2 - 3r + 2 = (r - 1)(r - 2)$ tiene las raíces reales $1$ y $2$ : solución general $y = \lambda\eu^{x} + \mu\eu^{2x}$ . Las dos condiciones dan el sistema lineal

\lambda + \mu = 0, \qquad \lambda + 2\mu = 1 ,

luego $\mu = 1$ , $\lambda = -1$ :

y(x) = \eu^{2x} - \eu^{x} .

Comprobación: $y(0) = 0$ ; $y' = 2\eu^{2x} - \eu^x$ cumple $y'(0) = 1$ ; y $y'' - 3y' + 2y = (4 - 6 + 2)\eu^{2x} + (-1 + 3 - 2)\eu^x = 0$ . Obsérvese la forma de la respuesta: cerca de $-\infty$ domina el modo lento $-\eu^x$ ; cerca de $+\infty$ , el modo rápido $\eu^{2x}$ . Leer las soluciones como superposiciones de modos con distintas tasas de crecimiento o de decaimiento es el hábito rentable — así se organiza el reparto entre transitorio y régimen permanente del problema del fin de semana.

Los tres regímenes de y'' + ay' + by = 0 con soluciones que decaen: oscilación amortiguada (raíces complejas), retorno crítico (raíz doble) y decaimiento sobreamortiguado (dos raíces reales). Qué régimen se da se lee solo del signo de = a2 - 4b — antes de resolver nada. — Los tres regímenes de $y'' + ay' + by = 0$ con soluciones que decaen: oscilación amortiguada (raíces complejas), retorno crítico (raíz doble) y decaimiento sobreamortiguado (dos raíces reales). Qué régimen se da se lee solo del signo de $\Delta = a^2 - 4b$ — antes de resolver nada.

Teorema 5.12 (Estructura y problema de Cauchy)

Si $y_p$ es una solución particular de $(E)$ , las soluciones de $(E)$ son exactamente $y_p + y_h$ , con $y_h$ recorriendo las soluciones de $(H)$ .
(Superposición) Si $y_1$ resuelve $y'' + ay' + by = f_1$ e $y_2$ resuelve $y'' + ay' + by = f_2$ , entonces $y_1 + y_2$ resuelve la ecuación con miembro derecho $f_1 + f_2$ .
Para todos $x_0 \in I$ y $(y_0, y_0')$ , el problema de Cauchy « $(E)$ , $y(x_0) = y_0$ , $y'(x_0) = y_0'$ » tiene exactamente una solución en $I$ . (La existencia, dada una solución particular; la unicidad, en general.)

Demostración. (1) $y$ resuelve $(E)$ si y solo si $y - y_p$ resuelve $(H)$ , por linealidad de $y \mapsto y'' + ay' + by$ . (2) es la misma linealidad.

(3) Por (1) basta demostrar que las constantes $(\lambda, \mu)$ siempre se pueden ajustar, de manera única, a cualesquiera datos $(y_0, y_0')$ . Trasladando la variable, supóngase $x_0 = 0$ . En el caso (1) del Teorema 5.10, $y = \lambda\eu^{r_1x} + \mu\eu^{r_2x}$ da

y(0) = \lambda + \mu, \qquad y'(0) = r_1\lambda + r_2\mu :

un sistema lineal en $(\lambda, \mu)$ cuyo determinante es $r_2 - r_1 \neq 0$ ; al resolverlo explícitamente, $\mu = \frac{y_0' - r_1y_0}{r_2 - r_1}$ y $\lambda = y_0 - \mu$ : exactamente una solución. En el caso (2), $y(0) = \lambda$ y $y'(0) = r_0\lambda + \mu$ : el sistema es triangular de determinante $1$ , resuelto por $\lambda = y_0$ , $\mu = y_0' - r_0y_0$ . En el caso (3), $y(0) = \lambda$ e $y'(0) = \alpha\lambda + \omega\mu$ : determinante $\omega \neq 0$ , resuelto por $\lambda = y_0$ , $\mu = \frac{y_0' - \alpha y_0}\omega$ . En cada caso, la aplicación $(\lambda, \mu) \mapsto (y(x_0), y'(x_0))$ es una biyección lineal — el lenguaje del Capítulo 20 comprimirá esta discusión por casos en una sola frase. ∎

Método 5.13 (Solución particular para $f(x) = P(x)\,\eu^{\gamma x}$ )

Cuando el miembro derecho es $P(x)\,\eu^{\gamma x}$ con $P$ polinomio y $\gamma \in \R$ (lo que cubre polinomios, exponenciales y, con $\gamma$ complejo o por superposición, $\cos$ y $\sin$ ), búsquese una solución particular de la forma

y_p(x) = x^{m}\, Q(x)\, \eu^{\gamma x}, \qquad m = \text{multiplicidad de } \gamma \text{ como raíz de } \chi \ (m = 0, 1 \text{ o } 2),

con $Q$ un polinomio del mismo grado que $P$ , cuyos coeficientes se hallan sustituyendo e identificando. Para $f = K\cos\omega x$ (o $\sin$ ), resuélvase con miembro derecho $K\eu^{\iu\omega x}$ y tómese la parte real (resp. imaginaria).

Ejemplo 5.14 (La superposición en acción)

Resuélvase $y'' - y = \eu^{x} + 4$ en $\R$ . Homogénea: $\chi(r) = r^2 - 1$ , raíces $\pm1$ , luego $y_h = \lambda\eu^x + \mu\eu^{-x}$ . Sepárese el miembro derecho y trátese cada trozo con el método. Trozo $\eu^x$ : aquí $\gamma = 1$ es raíz simple de $\chi$ , así que se prueba $y_1 = c\,x\,\eu^x$ : entonces $y_1'' - y_1 = c(x + 2)\eu^x - cx\eu^x = 2c\,\eu^x$ , de donde $c = \frac12$ . Trozo $4$ : $\gamma = 0$ no es raíz; sirve la constante $y_2 = -4$ . Por superposición (Teorema 5.12 (2)):

y = \frac{x\,\eu^x}2 - 4 + \lambda\,\eu^x + \mu\,\eu^{-x}, \qquad (\lambda, \mu) \in \R^2 .

Obsérvese cómo los dos trozos han exigido formas distintas ( $m = 1$ frente a $m = 0$ ): el criterio de multiplicidad se aplica a cada exponente por separado, que es justamente la razón de separar el miembro derecho antes de conjeturar.

Ejemplo 5.15 (La regla de la multiplicidad en acción)

Resuélvase $y'' + y' = x$ en $\R$ . El miembro derecho es $P(x)\eu^{0 \cdot x}$ con $P(x) = x$ , y $\gamma = 0$ es raíz simple de $\chi(r) = r^2 + r = r(r + 1)$ : luego $m = 1$ , y la conjetura correcta es $y_p = x\,(\alpha x + \beta) = \alpha x^2 + \beta x$ , un grado más que $P$ . Sustituyendo:

y_p'' + y_p' = 2\alpha + (2\alpha x + \beta) = 2\alpha x + (2\alpha + \beta) ,

e identificando con $x$ se obtiene $\alpha = \frac12$ , $\beta = -1$ : $y_p = \frac{x^2}2 - x$ . Solución general: $y = \frac{x^2}2 - x + \lambda + \mu\,\eu^{-x}$ . Si se hubiese conjeturado $y_p = \alpha x + \beta$ (ignorando la multiplicidad), la sustitución daría $y_p'' + y_p' = \alpha$ , una constante — ninguna elección de $\alpha, \beta$ puede igualar a $x$ , y el fracaso es estructural: las constantes ya resuelven la ecuación homogénea, así que son invisibles para el miembro izquierdo. El factor $x^m$ existe precisamente para salir del espacio de soluciones homogéneas.

Observación 5.16 (La póliza de seguros de treinta segundos)

Toda ecuación resuelta en este capítulo termina con una comprobación por sustitución, y no es un adorno. Un cálculo con ecuaciones diferenciales encadena muchos pasos pequeños (una primitiva, una regla del producto, dos constantes), y un solo error de signo se propaga invisible; sustituir la fórmula final en la ecuación los caza casi todos al precio de una derivación. Cultívese el reflejo en tres capas: compruébese la solución particular sola (la parte homogénea se cancela de todos modos), compruébense las condiciones iniciales en la solución completa y, cuando haya un parámetro, compruébese un valor degenerado (¿reproduce la fórmula para $\Omega$ general la respuesta conocida en $\Omega = 0$ ?). El hábito cuesta medio minuto y convierte «probablemente correcto» en «verificado».

Observación 5.17 (Errores frecuentes)

Normalícese primero. Las fórmulas suponen que la ecuación se lee $y' + a(x)y = b(x)$ — coeficiente $1$ en $y'$ . Para $xy' - 2y = x^3$ , divídase por $x$ (en un intervalo que evite $0$ ) antes de identificar $a$ y $b$ , como en el Ejercicio 5.2.
Una constante por dimensión, fijada al final. La solución general de primer orden lleva una constante; la de segundo orden, dos; las condiciones iniciales se imponen sobre la solución completa $y_p + y_h$ , nunca sobre $y_h$ sola — imponerlas antes de sumar $y_p$ es el error estructural más frecuente.
Ojo con la multiplicidad. Una conjetura de solución particular que resuelva la ecuación homogénea es invisible para el miembro izquierdo; el factor $x^m$ del Método 5.13 no es opcional (Ejemplo 5.15).
Los intervalos forman parte de la respuesta. Las soluciones viven en intervalos donde los coeficientes son continuos; pegar a través de una singularidad puede crear constantes espurias (Ejercicio 5.12) o destruir la unicidad. «Resuélvase en $\R^*$ » significa dos problemas independientes.

Ejemplo 5.18 (Excitación fuera de resonancia)

Resuélvase $y'' + 4y = \sin x$ en $\R$ . Frecuencia propia $2$ , frecuencia de excitación $1$ : como $\iu$ no es raíz de $\chi(r) = r^2 + 4$ , la multiplicidad es $m = 0$ y basta con una sinusoide simple. Probando $y_p = \alpha\sin x$ (no hace falta coseno: la ecuación no tiene término en $y'$ y $\sin$ regenera $\sin$ ):

y_p'' + 4y_p = -\alpha\sin x + 4\alpha\sin x = 3\alpha\sin x ,

luego $\alpha = \frac13$ y la solución general es

y = \frac{\sin x}3 + \lambda\cos 2x + \mu\sin 2x .

Toda solución permanece acotada: una superposición de dos oscilaciones, de frecuencias $1$ (forzada) y $2$ (propia). Compárese con el ejemplo siguiente, donde excitar a la frecuencia propia cambia la forma misma de la respuesta.

Ejemplo 5.19 (Una oscilación forzada)

Resuélvase $y'' + y = \cos x$ , $y(0) = 0$ , $y'(0) = 0$ .

Homogénea: $\chi(r) = r^2 + 1$ , raíces $\pm\iu$ : $y_h = \lambda\cos x + \mu \sin x$ .

Particular: miembro derecho $\Re(\eu^{\iu x})$ con $\gamma = \iu$ raíz simple de $\chi$ : pruébese $z_p = c\, x\, \eu^{\iu x}$ ( $c \in \C$ ). Entonces $z_p'' + z_p = c\,(2\iu)\eu^{\iu x}$ , que vale $\eu^{\iu x}$ para $c = \frac{1}{2\iu} = -\frac\iu2$ . Luego $z_p = -\frac{\iu}{2} x (\cos x + \iu \sin x)$ e $y_p = \Re(z_p) = \frac{x \sin x}{2}$ .

Solución general: $y = \frac{x\sin x}{2} + \lambda\cos x + \mu\sin x$ . Condiciones: $y(0) = \lambda = 0$ ; $y' = \frac{\sin x + x\cos x}{2} + \mu\cos x$ , luego $y'(0) = \mu = 0$ . Respuesta: $y = \frac{x\sin x}{2}$ — una oscilación cuya amplitud crece linealmente: el fenómeno de resonancia, causado por excitar el sistema a su frecuencia propia.

Resonancia: la solución y = x x/2 de y'' + y = x oscila entre las rectas y = ± x2 (a trazos), con amplitud siempre creciente. — Resonancia: la solución $y = \frac{x \sin x}{2}$ de $y'' + y = \cos x$ oscila entre las rectas $y = \pm\frac x2$ (a trazos), con amplitud siempre creciente.

Observación 5.20 (Interludio: la linealidad es una geometría)

Obsérvese la forma de todos los conjuntos de soluciones de este capítulo: una solución especial más un espacio de soluciones homogéneas con una constante libre (primer orden) o dos (segundo orden). Los capítulos de álgebra lineal (Capítulos 18, 19 y 20) aportarán el vocabulario exacto: la aplicación $L(y) = y'' + ay' + by$ es lineal, sus soluciones homogéneas forman el núcleo de $L$ , un espacio vectorial cuya dimensión es el orden de la ecuación — ese es el contenido honesto de «una constante por orden» — y el conjunto de soluciones de $L(y) = f$ es un subespacio afín, un trasladado del núcleo. Incluso la aplicación de Cauchy $(\lambda, \mu) \mapsto (y(x_0), y'(x_0))$ del Teorema 5.12 es una biyección lineal entre dos planos, es decir, un sistema $2 \times 2$ invertible (Capítulo 21). Nada de este capítulo habrá que rehacerlo — solo habrá que rebautizarlo, y ese rebautizo es el mejor calentamiento posible para el álgebra lineal: allí, toda definición abstracta ya se ha ganado la vida aquí.

Observación 5.21 (Dónde se usa este capítulo)

El teorema de estructura — las soluciones de $(E)$ son «una solución particular más las soluciones de $(H)$ » — es la primera aparición de un patrón que los Capítulos 18 y 20 bautizarán: el conjunto de soluciones de $(H)$ es el núcleo de la aplicación lineal $y \mapsto y'' + ay' + by$ , y el conjunto de soluciones de $(E)$ es un trasladado afín suyo. El polinomio característico reaparece como polinomio característico de una matriz en el Capítulo 21: una ecuación de segundo orden es un sistema de primer orden $2 \times 2$ disfrazado, punto de vista que el volumen del segundo año sistematiza. Las integrales que exige la variación de las constantes las suministra el Capítulo 15, y el problema del fin de semana — el oscilador amortiguado y forzado — es el caso modelo de toda cuestión de oscilaciones en las ciencias, de los circuitos a los puentes colgantes.

5.3 Ejercicios

Ejercicio 5.1 ★

Resuélvase en $\R$ : $\;y' + 2y = \eu^{3x}$ ; después el problema de Cauchy $y(0) = 1$ .

Solución

Solución de Ejercicio 5.1.

Homogénea: $y_h = \lambda\,\eu^{-2x}$ . Particular: pruébese $y_p = c\,\eu^{3x}$ ( $3$ no es raíz de $r + 2$ ): $3c + 2c = 1$ , $c = \frac15$ . Solución general: $y = \frac{\eu^{3x}}{5} + \lambda\,\eu^{-2x}$ . Con $y(0) = 1$ : $\frac15 + \lambda = 1$ , $\lambda = \frac45$ , luego $y = \frac{\eu^{3x} + 4\,\eu^{-2x}}{5}$ .

Ejercicio 5.2 ★

Resuélvase en $\intoo{0}{+\infty}$ : $\;x y' - 2y = x^3$ (póngase primero la ecuación en forma normalizada).

Solución

Solución de Ejercicio 5.2.

En $\intoo{0}{+\infty}$ , divídase por $x$ : $y' - \frac{2}{x}\,y = x^2$ . Aquí $A(x) = -2\ln x$ , $\eu^{-A(x)} = x^2$ : soluciones homogéneas $\lambda x^2$ . Variación de las constantes: $\mu'(x) = x^2 \cdot x^{-2} = 1$ , luego $\mu = x + \lambda$ y

y(x) = x^3 + \lambda x^2, \qquad \lambda \in \R .

Comprobación: $x(3x^2 + 2\lambda x) - 2(x^3 + \lambda x^2) = x^3$ .

Ejercicio 5.3 ★

Resuélvanse en $\R$ , dando la solución general real: $\;y'' - 3y' + 2y = 0$ ; $\;y'' + 4y' + 4y = 0$ ; $\;y'' - 2y' + 5y = 0$ .

Solución

Solución de Ejercicio 5.3.

$y'' - 3y' + 2y = 0$ : raíces $1$ y $2$ ; $\;y = \lambda\,\eu^{x} + \mu\,\eu^{2x}$ .

$y'' + 4y' + 4y = 0$ : raíz doble $-2$ ; $\;y = (\lambda + \mu x)\,\eu^{-2x}$ .

$y'' - 2y' + 5y = 0$ : raíces $1 \pm 2\iu$ ; $\;y = \eu^{x}(\lambda\cos 2x + \mu\sin 2x)$ .

Ejercicio 5.4 ★

Resuélvase $y'' - y = x^2$ en $\R$ , y después el problema de Cauchy $y(0) = 0$ , $y'(0) = 1$ .

Solución

Solución de Ejercicio 5.4.

Homogénea: raíces $\pm 1$ , $y_h = \lambda\,\eu^x + \mu\,\eu^{-x}$ . Particular con miembro derecho polinómico ( $\gamma = 0$ no es raíz): $y_p = ax^2 + bx + c$ ; sustituyendo, $2a - (ax^2 + bx + c) = x^2$ da $a = -1$ , $b = 0$ , $c = 2a = -2$ : $y_p = -x^2 - 2$ . Solución general $y = -x^2 - 2 + \lambda\eu^x + \mu\eu^{-x}$ .

Cauchy: $y(0) = -2 + \lambda + \mu = 0$ e $y'(0) = \lambda - \mu = 1$ : $\lambda = \frac32$ , $\mu = \frac12$ . Luego $y = -x^2 - 2 + \frac{3\eu^x + \eu^{-x}}{2}$ .

Ejercicio 5.5 ★★

Resuélvase en $\intoo{-\frac\pi2}{\frac\pi2}$ : $\;y' + y\tan x = \sin 2x$ .

Solución

Solución de Ejercicio 5.5.

$a(x) = \tan x$ , $A(x) = -\ln(\cos x)$ (válido: $\cos > 0$ en el intervalo), $\eu^{-A} = \cos x$ : soluciones homogéneas $\lambda\cos x$ . Variación de las constantes: $\mu'(x) = \sin 2x \cdot \frac{1}{\cos x} = 2\sin x$ , luego $\mu = -2\cos x + \lambda$ y

y(x) = -2\cos^2 x + \lambda \cos x .

Comprobación: $y' = 4\cos x \sin x - \lambda\sin x$ y $y\tan x = -2\cos x\sin x + \lambda \sin x$ ; su suma es $2\cos x\sin x = \sin 2x$ , como se pedía.

Ejercicio 5.6 ★★

Resuélvase $y'' - 4y' + 3y = (2x + 1)\,\eu^{x}$ en $\R$ . (Ojo con la multiplicidad: ¿es $1$ raíz del polinomio característico?)

Solución

Solución de Ejercicio 5.6.

$\chi(r) = r^2 - 4r + 3 = (r-1)(r-3)$ : $\gamma = 1$ es raíz simple ( $m = 1$ ). Pruébese $y_p = x(ax + b)\,\eu^x$ . Con $u = ax^2 + bx$ ,

y_p'' - 4y_p' + 3y_p = \bigl(u'' + (2 - 4)u' + \chi(1) u\bigr)\eu^x = \bigl(2a - 2(2ax + b)\bigr)\eu^x .

Identifíquese con $(2x + 1)\eu^x$ : $-4a = 2$ y $2a - 2b = 1$ , luego $a = -\frac12$ , $b = -1$ . Solución general:

y = -\Bigl(\frac{x^2}{2} + x\Bigr)\eu^{x} + \lambda\,\eu^{x} + \mu\,\eu^{3x}, \qquad (\lambda, \mu) \in \R^2 .

Ejercicio 5.7 ★★

Resuélvase $y'' + 4y = \sin 2x + x$ en $\R$ (superposición; trátese cada miembro derecho por separado).

Solución

Solución de Ejercicio 5.7.

Homogénea: $y_h = \lambda\cos 2x + \mu\sin 2x$ .

Miembro derecho $x$ ( $\gamma = 0$ no es raíz): $y_1 = ax + b$ con $4(ax + b) = x$ : $y_1 = \frac x4$ .

Miembro derecho $\sin 2x = \Im(\eu^{2\iu x})$ , con $2\iu$ raíz simple de $r^2 + 4$ : pruébese $z = c\,x\,\eu^{2\iu x}$ ; entonces $z'' + 4z = 4\iu c\,\eu^{2\iu x}$ , igual a $\eu^{2\iu x}$ para $c = \frac{1}{4\iu} = -\frac{\iu}{4}$ . Luego $z = -\frac{\iu x}{4}(\cos 2x + \iu \sin 2x)$ e $y_2 = \Im(z) = -\frac{x\cos 2x}{4}$ .

Por superposición:

y = \frac{x}{4} - \frac{x\cos 2x}{4} + \lambda\cos 2x + \mu\sin 2x .

Ejercicio 5.8 ★★

Una taza de café a temperatura $T_0 = 80\,^\circ$ C está en una habitación a $20\,^\circ$ C. La ley de enfriamiento de Newton dice que $T' = -k\,(T - 20)$ con $k > 0$ . Resuélvase para $T(t)$ y, sabiendo que el café está a $50\,^\circ$ C al cabo de $10$ minutos, hállese cuándo llega a $25\,^\circ$ C.

Solución

Solución de Ejercicio 5.8.

La ecuación $T' + kT = 20k$ tiene la solución particular constante $20$ y soluciones homogéneas $\lambda\eu^{-kt}$ : $T(t) = 20 + \lambda\,\eu^{-kt}$ , y $T(0) = 80$ da $\lambda = 60$ :

T(t) = 20 + 60\,\eu^{-kt} .

$T(10) = 50$ : $\eu^{-10k} = \frac12$ , luego $k = \frac{\ln 2}{10}$ . Después, $T(t) = 25$ exige $\eu^{-kt} = \frac{5}{60} = \frac{1}{12}$ , es decir,

t = \frac{\ln 12}{k} = 10\,\frac{\ln 12}{\ln 2} \approx 35.8 \text{ minutos.}

Ejercicio 5.9 ★★★

(Oscilador amortiguado) Para $\varepsilon \geq 0$ , considérese $y'' + 2\varepsilon y' + y = 0$ .

Resuélvase para $\varepsilon \in \intco{0}{1}$ , $\varepsilon = 1$ y $\varepsilon > 1$ .
Pruébese que, para todo $\varepsilon > 0$ , todas las soluciones tienden a $0$ en $+\infty$ , y que para $\varepsilon = 0$ las soluciones no nulas no lo hacen.
Para $\varepsilon \in \intoo{0}{1}$ , pruébese que los ceros de una solución no nula están regularmente espaciados, con paso $\frac{\pi}{\sqrt{1 - \varepsilon^2}}$ .

Solución

Solución de Ejercicio 5.9.

$\chi(r) = r^2 + 2\varepsilon r + 1$ , $\Delta = 4(\varepsilon^2 - 1)$ . Para $\varepsilon \in \intco{0}{1}$ : raíces $-\varepsilon \pm \iu\sqrt{1 - \varepsilon^2}$ , luego $y = \eu^{-\varepsilon t}\bigl(\lambda\cos\omega t + \mu\sin\omega t\bigr)$ con $\omega = \sqrt{1 - \varepsilon^2}$ . Para $\varepsilon = 1$ : raíz doble $-1$ , $y = (\lambda + \mu t)\,\eu^{-t}$ . Para $\varepsilon > 1$ : raíces reales $r_\pm = -\varepsilon \pm \sqrt{\varepsilon^2 - 1}$ , ambas $< 0$ , y $y = \lambda\eu^{r_+t} + \mu\eu^{r_-t}$ .
Para $\varepsilon \in \intoo{0}{1}$ : $\abs y \leq \eu^{-\varepsilon t}(\abs\lambda + \abs\mu) \to 0$ . Para $\varepsilon = 1$ : $(\lambda + \mu t)\eu^{-t} \to 0$ (la exponencial gana al polinomio, Proposición 4.6). Para $\varepsilon > 1$ : las dos exponenciales decaen, pues $r_\pm < 0$ (en efecto, $\sqrt{\varepsilon^2 - 1} < \varepsilon$ ). Para $\varepsilon = 0$ : $y = \lambda\cos t + \mu\sin t$ tiene amplitud constante $\sqrt{\lambda^2 + \mu^2} \neq 0$ salvo si $y = 0$ .
Escríbase $\lambda\cos\omega t + \mu\sin\omega t = R\cos(\omega t - \varphi)$ con $R = \sqrt{\lambda^2 + \mu^2} > 0$ . Los ceros de $y$ son los de $\cos(\omega t - \varphi)$ (el factor $\eu^{-\varepsilon t}$ no se anula nunca): $\omega t - \varphi \equiv \frac\pi2 \pmod \pi$ , una progresión aritmética de paso $\frac{\pi}{\omega} = \frac{\pi}{\sqrt{1 - \varepsilon^2}}$ .

Ejercicio 5.10 ★★★

Hállense todas las funciones $f \colon \R \to \R$ , dos veces derivables, tales que

\forall x, y \in \R, \qquad f(x + y) + f(x - y) = 2 f(x) f(y),

con $f(0) \ne 0$ y $f$ no constante. Indicación: fíjese $y$ y derívese dos veces respecto de $x$ en $0$ ; pruébese que $f(0) = 1$ y que $f'' = c f$ para alguna constante $c$ ; resuélvase después según el signo de $c$ y compruébese qué soluciones satisfacen la ecuación funcional.

Solución

Solución de Ejercicio 5.10.

Hágase $x = y = 0$ : $2f(0) = 2f(0)^2$ , y $f(0) \neq 0$ da $f(0) = 1$ . Fíjese $x$ y derívese dos veces la ecuación respecto de $y$ :

f''(x+y) + f''(x-y) = 2 f(x) f''(y) .

Haciendo $y = 0$ : $\;2f''(x) = 2 f(x) f''(0)$ , es decir,

f''(x) = c\,f(x), \qquad c = f''(0).

Caso $c = \omega^2 > 0$ : $f(x) = \lambda\cosh\omega x + \mu\sinh\omega x$ ; $f(0) = 1$ da $\lambda = 1$ . Al llevarlo a la ecuación funcional y usar las fórmulas de adición (Proposición 4.18), la ecuación obliga a $\mu = 0$ (compárense los coeficientes de $\sinh\omega x \sinh\omega y$ , o evalúese en $x = y$ ): $f = \cosh\omega x$ , que en efecto cumple $\cosh(x+y) + \cosh(x-y) = 2\cosh x\cosh y$ .

Caso $c = -\omega^2 < 0$ : análogamente, $f(x) = \cos\omega x$ ( $\omega \neq 0$ ), que cumple la ecuación.

Caso $c = 0$ : $f$ afín con $f(0) = 1$ : $f(x) = 1 + \mu x$ ; la ecuación obliga a $\mu = 0$ , excluido ( $f$ no es constante).

Conclusión: las soluciones son $f(x) = \cos\omega x$ y $f(x) = \cosh\omega x$ , con $\omega > 0$ .

Ejercicio 5.11 ★★

(Ecuación de Euler) Resuélvase $x^2 y'' - x y' + y = 0$ en $\intoo{0}{+\infty}$ . Indicación: póngase $z(t) = y(\eu^t)$ , es decir, sustitúyase $x = \eu^t$ , y véase que $z$ cumple una ecuación lineal de coeficientes constantes.

Solución

Solución de Ejercicio 5.11.

Póngase $z(t) = y(\eu^t)$ , de modo que $y(x) = z(\ln x)$ para $x > 0$ . Entonces

y'(x) = \frac{z'(\ln x)}x, \qquad y''(x) = \frac{z''(\ln x) - z'(\ln x)}{x^2} ,

y sustituyendo en la ecuación:

x^2y'' - xy' + y = \bigl(z'' - z'\bigr) - z' + z = z'' - 2z' + z = 0 .

Polinomio característico $(r - 1)^2$ : raíz doble $1$ , luego $z(t) = (\lambda + \mu t)\,\eu^t$ y, de vuelta a la variable $x = \eu^t$ :

y(x) = (\lambda + \mu\ln x)\,x, \qquad \lambda, \mu \in \R .

Ejercicio 5.12 ★★★

Considérese la ecuación $x\,y' = 2y$ en toda la recta real, en la incógnita, una función derivable $y \colon \R \to \R$ .

Resuélvase en $\intoo{0}{+\infty}$ y en $\intoo{-\infty}{0}$ .
Pruébese que, para constantes $a, b \in \R$ cualesquiera, la función que vale $ax^2$ para $x \geq 0$ y $bx^2$ para $x < 0$ es derivable en $\R$ y resuelve la ecuación en todas partes.
Conclúyase que el conjunto de soluciones en $\R$ es una familia de dos parámetros, y explíquese por qué esto no contradice la unicidad del Teorema 5.4.

Solución

Solución de Ejercicio 5.12.

En forma normalizada $y' - \frac2x\,y = 0$ en cada intervalo: $A(x) = -2\ln\abs x$ , luego las soluciones son $y = a x^2$ en $\intoo0{+\infty}$ e $y = b x^2$ en $\intoo{-\infty}0$ , con constantes independientes (Teorema 5.2).
Sea $y = ax^2$ para $x \geq 0$ y $bx^2$ para $x < 0$ . En cada semirrecta abierta, $y$ es derivable y cumple $xy' = 2y$ . En $0$ : los cocientes incrementales $\frac{y(h) - y(0)}h = ah$ o $bh$ tienden a $0$ , luego $y'(0) = 0$ existe, y la ecuación en $x = 0$ dice $0 \cdot y'(0) = 2y(0) = 0$ : se cumple. Así pues, $y$ resuelve la ecuación en todo $\R$ .
Las soluciones en $\R$ son exactamente estas funciones pegadas: una familia de dos parámetros para una ecuación de primer orden. No hay contradicción con el Teorema 5.4, cuyas hipótesis fallan aquí: escrita como $y' + a(x)y = 0$ , el coeficiente $a(x) = -\frac2x$ no es continuo en $0$ — ni siquiera está definido —, de modo que $\R$ no es un intervalo donde el teorema se aplique. La singularidad en $0$ desconecta las dos semirrectas, y el valor $y(0) = 0$ queda forzado sin transportar información de un lado a otro. Todo dato de Cauchy en $x_0 \neq 0$ determina la solución solo en la semirrecta que contiene a $x_0$ .

5.4 Problema: el oscilador amortiguado y forzado

Problema 5.1

Una sola ecuación gobierna una masa unida a un muelle en un medio viscoso, la carga de un circuito RLC y un edificio que oscila con el viento:

(E_\Omega)\colon\quad x'' + 2\lambda x' + \omega_0^2\,x = A\cos(\Omega t),

con $\lambda \geq 0$ el amortiguamiento, $\omega_0 > 0$ la frecuencia propia y $A > 0$ , $\Omega > 0$ la amplitud y la frecuencia de la excitación. Este problema extrae su comportamiento completo: el decaimiento de los transitorios, el único régimen permanente periódico, la curva de resonancia y su agudeza (el factor de calidad), las pulsaciones del caso sin amortiguamiento y el balance energético que sostiene la oscilación. Salvo indicación en contra, $0 < \lambda < \omega_0$ (régimen subamortiguado) y se escribe $\omega_d = \sqrt{\omega_0^2 - \lambda^2}$ .

Parte I — El oscilador libre. Aquí $A = 0$ .

Resuélvase la ecuación homogénea $(H)$ para $0 < \lambda < \omega_0$ y para $\lambda = 0$ . (Los regímenes $\lambda \geq \omega_0$ se trataron en el Ejercicio 5.9; cítense.)
Pruébese que, para todo $\lambda > 0$ , todas las soluciones de $(H)$ tienden a $0$ en $+\infty$ — en los tres regímenes.
Defínase la energía $\mathcal E(t) = \frac12 x'(t)^2 + \frac12\omega_0^2\,x(t)^2$ a lo largo de una solución de $(H)$ . Pruébese que $\mathcal E'(t) = -2\lambda\,x'(t)^2 \leq 0$ y dedúzcase (sin resolver nada) que el problema de Cauchy « $(H)$ , $x(t_0) = x'(t_0) = 0$ » solo tiene la solución nula, para todo $\lambda \geq 0$ .
Para $0 < \lambda < \omega_0$ , escríbase la solución no nula como $x(t) = R\,\eu^{-\lambda t}\cos(\omega_d t - \varphi)$ y sea $T_d = \frac{2\pi}{\omega_d}$ el seudoperíodo. Pruébese que $x(t + T_d) = \eu^{-\lambda T_d}\,x(t)$ : cada oscilación es la anterior encogida por el factor constante $\eu^{-\delta}$ , con $\delta = \frac{2\pi\lambda}{\omega_d}$ (el decremento logarítmico). Calcúlese $\delta$ para $\omega_0 = 1$ , $\lambda = 0.1$ .
Defínase el factor de calidad $Q = \dfrac{\omega_0}{2\lambda}$ . Pruébese que, tras el tiempo $\frac1\lambda$ (una división de la amplitud por $\eu$ ), el oscilador ha completado $\frac{\omega_d}{2\pi\lambda}$ seudoperíodos, que para amortiguamiento débil ( $\lambda \ll \omega_0$ ) es aproximadamente $\frac Q\pi$ : el factor de calidad cuenta, salvo el factor $\pi$ , las oscilaciones que sobreviven antes de que la amplitud se divida por $\eu$ .

Parte II — El régimen permanente. Ahora $A > 0$ y $\lambda > 0$ .

Búsquese una solución particular como parte real de $z\,\eu^{\iu\Omega t}$ con $z \in \C$ (Método 5.13). Pruébese que funciona con

$z = \frac{A}{\omega_0^2 - \Omega^2 + 2\iu\lambda\Omega} .$
Dedúzcase el régimen permanente en forma amplitud–fase: $x_p(t) = R(\Omega)\cos\bigl(\Omega t - \varphi(\Omega)\bigr)$ con

$R(\Omega) = \frac{A}{\sqrt{(\omega_0^2 - \Omega^2)^2 + 4\lambda^2\Omega^2}}, \qquad \tan\varphi = \frac{2\lambda\Omega}{\omega_0^2 - \Omega^2}, \quad \varphi \in \intoo0\pi .$
Interprétense los dos regímenes extremos: calcúlense los límites de $R$ y de $\varphi$ cuando $\Omega \to 0^+$ (respuesta cuasiestática $A/\omega_0^2$ , fase $0$ ) y cuando $\Omega \to +\infty$ ( $R \sim A/\Omega^2 \to 0$ , fase $\to \pi$ : la masa se mueve en sentido opuesto a una excitación demasiado rápida).
Pruébese que toda solución de $(E_\Omega)$ es $x_p$ más una solución de $(H)$ y que, por tanto, converge al régimen permanente $x_p$ cuando $t \to +\infty$ , sean cuales sean las condiciones iniciales: una vez muerto el transitorio, el oscilador no recuerda cómo empezó.
Pruébese que $x_p$ es la única solución periódica de $(E_\Omega)$ .
Resuélvase un problema de Cauchy hasta el final: para $x'' + 2x' + 2x = \cos t$ con $x(0) = x'(0) = 0$ , pruébese que la solución es

$x(t) = \frac{\cos t + 2\sin t}5 - \eu^{-t}\,\frac{\cos t + 3\sin t}5 ,$

e identifíquense las partes transitoria y permanente.

Parte III — La curva de resonancia. Estudio de $\Omega \mapsto R(\Omega)$ en $\intoo0{+\infty}$ .

Poniendo $u = \Omega^2$ y $g(u) = (\omega_0^2 - u)^2 + 4\lambda^2 u$ , pruébese que, si $2\lambda^2 < \omega_0^2$ , entonces $R$ alcanza un máximo estricto en la frecuencia de resonancia $\Omega_r = \sqrt{\omega_0^2 - 2\lambda^2}$ , con

$R_{\max} = R(\Omega_r) = \frac{A}{2\lambda\sqrt{\omega_0^2 - \lambda^2}} .$
Pruébese que $\dfrac{R_{\max}}{R(0)} = Q\,\bigl(1 - \tfrac{\lambda^2}{\omega_0^2}\bigr)^{-1/2} \geq Q$ : en resonancia, la excitación se amplifica (esencialmente) por el factor de calidad.
Demuéstrese que la amplitud de la velocidad $V(\Omega) = \Omega\,R(\Omega)$ es máxima exactamente en $\Omega = \omega_0$ (no en $\Omega_r$ ), y que la fase ahí vale $\varphi(\omega_0) = \frac\pi2$ : en $\Omega = \omega_0$ , la velocidad está exactamente en fase con la fuerza.
(Ancho de banda) Resuélvase exactamente $g(u) = 2\,g(u_r)$ , donde $u_r = \omega_0^2 - 2\lambda^2$ , y dedúzcase que las dos frecuencias $\Omega_\pm$ en las que $R = R_{\max}/\sqrt2$ cumplen $\Omega_+^2 - \Omega_-^2 = 4\lambda\sqrt{\omega_0^2 - \lambda^2}$ ; conclúyase que, para amortiguamiento débil, el ancho de banda es $\Omega_+ - \Omega_- \approx 2\lambda$ , es decir, $Q \approx \frac{\omega_0}{\Omega_+ - \Omega_-}$ : los picos de resonancia agudos son sistemas de $Q$ alto.
Retrato numérico para $\omega_0 = 1$ , $\lambda = 0.05$ ( $Q = 10$ ), $A = 1$ : calcúlense $\Omega_r$ , $R_{\max}$ , la respuesta estática $R(0)$ y el ancho de banda aproximado.
Pruébese que, si $2\lambda^2 \geq \omega_0^2$ , entonces $R$ es estrictamente decreciente en $\intoo0{+\infty}$ : los sistemas muy amortiguados no tienen pico de resonancia alguno.

Parte IV — Sin amortiguamiento: pulsaciones y resonancia. Aquí $\lambda = 0$ .

Para $\Omega \neq \omega_0$ , hállese la solución general de $x'' + \omega_0^2 x = A\cos(\Omega t)$ .
Resuélvase el problema de Cauchy $x(0) = x'(0) = 0$ y transfórmese la respuesta en la forma de producto

$x(t) = \frac{2A}{\omega_0^2 - \Omega^2}\, \sin\Bigl(\frac{(\omega_0 - \Omega)t}2\Bigr) \sin\Bigl(\frac{(\omega_0 + \Omega)t}2\Bigr) .$
Para $\Omega$ próximo a $\omega_0$ , léase el producto como una oscilación rápida de frecuencia $\frac{\omega_0 + \Omega}2$ modulada por una envolvente lenta de frecuencia $\frac{\abs{\omega_0 - \Omega}}2$ : las pulsaciones. Dense el período de la envolvente y la amplitud máxima, y obsérvese cómo ambos estallan cuando $\Omega \to \omega_0$ .
Fíjese $t$ y hágase $\Omega \to \omega_0$ en la fórmula de la pregunta 19: pruébese que el límite es

$x_\infty(t) = \frac{A\,t\,\sin(\omega_0 t)}{2\omega_0} ,$

y compruébese directamente que $x_\infty$ resuelve la ecuación resonante $x'' + \omega_0^2 x = A\cos(\omega_0 t)$ con $x(0) = x'(0) = 0$ (compárese con el Ejemplo 5.19): la resonancia es el límite de pulsaciones cada vez más lentas y más amplias.
Contrástense los dos destinos de la resonancia: crecimiento lineal $\frac{At}{2\omega_0}$ sin amortiguamiento frente a saturación en $R_{\max} \approx Q\,\frac{A}{\omega_0^2}$ con amortiguamiento débil. En una frase: ¿qué mecanismo físico convierte el primero en la segunda?

Parte V — Balance energético y síntesis.

En el régimen permanente de la parte II, calcúlese el promedio en un período $\frac{2\pi}\Omega$ de (a) la potencia aportada por la excitación, $P_{\mathrm{in}}(t) = A\cos(\Omega t) \cdot x_p'(t)$ , y (b) la potencia disipada por el amortiguamiento, $P_{\mathrm{diss}}(t) = 2\lambda\,x_p'(t)^2$ . Pruébese que los dos promedios valen $\lambda\,R^2\Omega^2$ : la excitación aporta exactamente lo que el amortiguamiento quema — por eso el régimen permanente es permanente.
¿Dónde ha usado exactamente el problema: (i) el teorema de estructura Teorema 5.12; (ii) el método de la exponencial compleja; (iii) un estudio de función de variable real al estilo del Capítulo 4? Una frase para cada uno.
Síntesis: descríbase el mapa completo de comportamientos de $(E_\Omega)$ — libre frente a forzado, amortiguado frente a no amortiguado, el papel de $Q$ como único mando adimensional que ajusta altura del pico, ancho de banda y vida del transitorio — y menciónese dónde continúa la historia: sistemas de primer orden $2 \times 2$ (Capítulo 21 y el volumen del segundo año) y la descomposición de una excitación periódica general en sinusoides (series de Fourier, en el volumen del tercer año), para la cual el caso sinusoidal de este problema es el ladrillo fundamental.

Solución

Solución de Problema 5.1.

1. $\chi(r) = r^2 + 2\lambda r + \omega_0^2$ , $\Delta = 4(\lambda^2 - \omega_0^2) < 0$ para $0 < \lambda < \omega_0$ : raíces $-\lambda \pm \iu\omega_d$ , luego, por el Teorema 5.10,

x(t) = \eu^{-\lambda t}\bigl(\lambda_1\cos\omega_d t + \mu_1\sin\omega_d t\bigr), \qquad (\lambda_1, \mu_1) \in \R^2 .

Para $\lambda = 0$ : $x = \lambda_1\cos\omega_0 t + \mu_1\sin\omega_0 t$ . Los regímenes crítico ( $\lambda = \omega_0$ ) y sobreamortiguado ( $\lambda > \omega_0$ ) son los del Ejercicio 5.9 (tras reescalar el tiempo): $(\lambda_1 + \mu_1 t)\eu^{-\lambda t}$ , resp. combinaciones de $\eu^{r_\pm t}$ con $r_\pm = -\lambda \pm \sqrt{\lambda^2 - \omega_0^2}$ .

2. Subamortiguado: $\abs x \leq \eu^{-\lambda t}(\abs{\lambda_1} + \abs{\mu_1}) \to 0$ . Crítico: $(\lambda_1 + \mu_1 t)\eu^{-\lambda t} \to 0$ , pues las exponenciales ganan a los polinomios (Proposición 4.6). Sobreamortiguado: $r_- < r_+ = -\lambda + \sqrt{\lambda^2 - \omega_0^2} < 0$ porque $\sqrt{\lambda^2 - \omega_0^2} < \lambda$ ; las dos exponenciales decaen.

3. A lo largo de una solución de $(H)$ , usando $x'' = -2\lambda x' - \omega_0^2 x$ :

\mathcal E'(t) = x'x'' + \omega_0^2 x x' = x'\bigl(-2\lambda x' - \omega_0^2 x\bigr) + \omega_0^2 xx' = -2\lambda\,x'^2 \leq 0 .

Si $x(t_0) = x'(t_0) = 0$ , entonces $\mathcal E(t_0) = 0$ ; $\mathcal E$ es no negativa y no creciente, luego $\mathcal E \equiv 0$ en $\intco{t_0}{+\infty}$ , lo que obliga a $x \equiv 0$ ahí; para $t \leq t_0$ se repite el argumento con $\tilde x(t) = x(2t_0 - t)$ , que resuelve la ecuación con amortiguamiento $-\lambda$ pero cumple $\tilde{\mathcal E}(t_0) = 0$ y $\tilde{\mathcal E}' = +2\lambda\tilde x'^2 \geq 0$ con $\tilde{\mathcal E} \geq 0$ ; ser no negativa, no decreciente y nula en el extremo derecho de $\intoc{-\infty}{t_0}$ significa ser nula en todo el intervalo. Luego $x \equiv 0$ en $\R$ — una demostración energética de la unicidad, válida para todo $\lambda \geq 0$ .

4. $x(t + T_d) = R\,\eu^{-\lambda t}\eu^{-\lambda T_d}\cos(\omega_d t + 2\pi - \varphi) = \eu^{-\lambda T_d}x(t)$ . El factor de encogimiento por seudoperíodo es $\eu^{-\delta}$ con $\delta = \lambda T_d = \frac{2\pi\lambda}{\omega_d}$ . Para $\omega_0 = 1$ , $\lambda = 0.1$ : $\omega_d = \sqrt{0.99} = 0.99499$ , luego $\delta = \frac{0.62832}{0.99499} = 0.6315$ : cada oscilación conserva $\eu^{-0.63} \approx 53\,\%$ de su amplitud.

5. El factor de amplitud es $\eu^{-\lambda t}$ , que se divide por $\eu$ en el tiempo $t = \frac1\lambda$ . Ese intervalo contiene $\frac{1/\lambda}{T_d} = \frac{\omega_d}{2\pi\lambda}$ seudoperíodos. Para $\lambda \ll \omega_0$ , $\omega_d \approx \omega_0$ y eso vale $\approx \frac{\omega_0}{2\pi\lambda} = \frac Q\pi$ . Una cuerda de guitarra con $Q = 300$ suena unos cien períodos; un amortiguador de puerta con $Q = 1$ no completa ni uno.

6. Sustituyendo $z\,\eu^{\iu\Omega t}$ en el miembro izquierdo se obtiene $z\,(-\Omega^2 + 2\iu\lambda\Omega + \omega_0^2)\,\eu^{\iu\Omega t}$ , que es igual a $A\,\eu^{\iu\Omega t}$ exactamente para $z = \frac{A}{\omega_0^2 - \Omega^2 + 2\iu\lambda\Omega}$ (el denominador no es nulo: su parte imaginaria es $2\lambda\Omega > 0$ ). Como los coeficientes son reales, la parte real $x_p = \Re\bigl(z\eu^{\iu\Omega t}\bigr)$ resuelve la ecuación con miembro derecho $\Re\bigl(A\eu^{\iu\Omega t}\bigr) = A\cos\Omega t$ .

7. Escríbase $\omega_0^2 - \Omega^2 + 2\iu\lambda\Omega = \sqrt{D}\,\eu^{\iu\varphi}$ con $D = (\omega_0^2 - \Omega^2)^2 + 4\lambda^2\Omega^2$ y $\varphi \in \intoo0\pi$ (la parte imaginaria $2\lambda\Omega$ es positiva), de modo que $\tan\varphi = \frac{2\lambda\Omega}{\omega_0^2 - \Omega^2}$ . Entonces $z = \frac{A}{\sqrt D}\eu^{-\iu\varphi}$ y

x_p(t) = \Re\Bigl(\frac A{\sqrt D}\,\eu^{\iu(\Omega t - \varphi)}\Bigr) = R\cos(\Omega t - \varphi), \qquad R = \frac A{\sqrt D} .

8. Cuando $\Omega \to 0^+$ : $D \to \omega_0^4$ , luego $R \to A/\omega_0^2$ y $\tan\varphi \to 0^+$ con $\varphi \in \intoo0{\frac\pi2}$ : $\varphi \to 0$ . La masa sigue a la fuerza de forma cuasiestática, desplazada en fuerza partido por rigidez. Cuando $\Omega \to +\infty$ : $D \sim \Omega^4$ , luego $R \sim A/\Omega^2 \to 0$ , y $\varphi \to \pi$ (el complejo $\omega_0^2 - \Omega^2 + 2\iu\lambda\Omega$ se va al segundo cuadrante con argumento $\to \pi$ ): la masa apenas se mueve, y en oposición de fase — domina la inercia.

9. Por el Teorema 5.12 (1), toda solución es $x = x_p + x_h$ con $x_h$ solución de $(H)$ ; por la pregunta 2, $x_h(t) \to 0$ , luego $x(t) - x_p(t) \to 0$ : todas las soluciones convergen al mismo régimen permanente. Las condiciones iniciales solo dan forma al transitorio.

10. Si $x$ es una solución periódica, $x - x_p = x_h$ es una solución periódica de $(H)$ que tiende a $0$ en $+\infty$ ; y una función periódica con límite $0$ es idénticamente $0$ (sus valores en un período se repiten para siempre, de modo que todo valor es límite de una subsucesión que tiende a $0$ ). Luego $x = x_p$ .

11. Aquí $\lambda = 1$ , $\omega_0^2 = 2$ , $\Omega = 1$ , $A = 1$ : $z = \frac1{2 - 1 + 2\iu} = \frac{1 - 2\iu}5$ , luego

x_p = \Re\Bigl(\frac{(1 - 2\iu)(\cos t + \iu\sin t)}5\Bigr) = \frac{\cos t + 2\sin t}5 .

Homogénea: las raíces de $r^2 + 2r + 2$ son $-1 \pm \iu$ : $x_h = \eu^{-t}(C\cos t + S\sin t)$ . Condiciones: $x(0) = \frac15 + C = 0$ da $C = -\frac15$ ; derivando, $x'(0) = \frac25 - C + S = 0$ da $S = C - \frac25 = -\frac35$ . Por tanto

x(t) = \underbrace{\frac{\cos t + 2\sin t}5}_{\text{permanente}} - \underbrace{\eu^{-t}\,\frac{\cos t + 3\sin t}5}_{\text{transitorio}} ,

con el transitorio muriendo como $\eu^{-t}$ .

12. Desarrollando, $g(u) = u^2 - 2(\omega_0^2 - 2\lambda^2)u + \omega_0^4 = (u - u_r)^2 + g(u_r)$ con $u_r = \omega_0^2 - 2\lambda^2$ y

g(u_r) = \omega_0^4 - u_r^2 = (\omega_0^2 - u_r)(\omega_0^2 + u_r) = 2\lambda^2\bigl(2\omega_0^2 - 2\lambda^2\bigr) = 4\lambda^2(\omega_0^2 - \lambda^2) .

Si $2\lambda^2 < \omega_0^2$ , entonces $u_r > 0$ es un cuadrado de frecuencia admisible: $g$ tiene ahí un mínimo estricto, luego $R = A/\sqrt g$ tiene un máximo estricto en $\Omega_r = \sqrt{u_r} = \sqrt{\omega_0^2 - 2\lambda^2}$ , con $R_{\max} = A/\sqrt{g(u_r)} = \frac{A}{2\lambda\sqrt{\omega_0^2 - \lambda^2}}$ .

13. $R(0) = A/\omega_0^2$ , luego

\frac{R_{\max}}{R(0)} = \frac{\omega_0^2}{2\lambda\sqrt{\omega_0^2 - \lambda^2}} = \frac{\omega_0}{2\lambda}\cdot \frac{\omega_0}{\sqrt{\omega_0^2 - \lambda^2}} = Q\,\Bigl(1 - \frac{\lambda^2}{\omega_0^2}\Bigr)^{-1/2} \geq Q .

Para amortiguamiento débil, el factor de corrección está próximo a $1$ : la resonancia multiplica el desplazamiento estático esencialmente por $Q$ .

14. $V(\Omega)^2 = \frac{A^2 u}{g(u)}$ con $u = \Omega^2$ . Su derivada tiene el signo de $g(u) - u\,g'(u) = (\omega_0^2 - u)^2 + 4\lambda^2 u - u\bigl(2(u - \omega_0^2) + 4\lambda^2\bigr) = (\omega_0^2 - u)^2 + 2u(\omega_0^2 - u) = (\omega_0^2 - u)(\omega_0^2 + u)$ , positivo para $u < \omega_0^2$ y negativo más allá: máximo estricto exactamente en $\Omega = \omega_0$ , sea cual sea el amortiguamiento. Ahí $\tan\varphi$ estalla con $\varphi \in \intoo0\pi$ : $\varphi = \frac\pi2$ , y $x_p'(t) = -R\Omega\sin(\Omega t - \frac\pi2) = R\Omega\cos(\Omega t)$ está exactamente en fase con la fuerza: transferencia óptima de potencia.

15. $R = R_{\max}/\sqrt2 \iff g(u) = 2g(u_r) \iff (u - u_r)^2 = g(u_r) = 4\lambda^2(\omega_0^2 - \lambda^2)$ , lo que da

u_\pm = u_r \pm 2\lambda\sqrt{\omega_0^2 - \lambda^2}, \qquad \Omega_+^2 - \Omega_-^2 = 4\lambda\sqrt{\omega_0^2 - \lambda^2} .

Después, $\Omega_+ - \Omega_- = \frac{\Omega_+^2 - \Omega_-^2}{\Omega_+ + \Omega_-}$ y, para $\lambda \ll \omega_0$ , los dos $\Omega_\pm \approx \omega_0$ : $\Omega_+ - \Omega_- \approx \frac{4\lambda\omega_0}{2\omega_0} = 2\lambda$ , luego $\frac{\omega_0}{\Omega_+ - \Omega_-} \approx \frac{\omega_0}{2\lambda} = Q$ . Medir el ancho de un pico de resonancia es medir su factor de calidad.

16. $Q = 10$ ; $\Omega_r = \sqrt{1 - 2(0.05)^2} = \sqrt{0.995} = 0.9975$ ; $R_{\max} = \frac1{2 \times 0.05 \sqrt{1 - 0.0025}} = \frac1{0.1 \times 0.99875} = 10.01$ ; respuesta estática $R(0) = 1$ ; ancho de banda $\approx 2\lambda = 0.1$ . Un pico alto y estrecho de altura $\approx Q$ sobre una meseta de altura $1$ .

17. Si $2\lambda^2 \geq \omega_0^2$ , entonces $u_r \leq 0$ y $g'(u) = 2(u - u_r) > 0$ para todo $u > 0$ : $g$ crece estrictamente en $\intoo0{+\infty}$ , luego $R = A/\sqrt g$ decrece estrictamente desde $R(0) = A/\omega_0^2$ : la respuesta es máxima a frecuencia cero y no hay pico alguno.

18. $\gamma = \iu\Omega$ no es raíz de $r^2 + \omega_0^2$ (pues $\Omega \neq \omega_0$ ), así que el Método 5.13 con $m = 0$ da $x_p = \frac{A\cos\Omega t}{\omega_0^2 - \Omega^2}$ (sustitúyase y compruébese: $-\Omega^2 + \omega_0^2$ multiplicado por el coseno). Solución general:

x(t) = \frac{A\cos\Omega t}{\omega_0^2 - \Omega^2} + \lambda_1\cos\omega_0 t + \mu_1\sin\omega_0 t .

19. $x(0) = 0$ obliga a $\lambda_1 = -\frac A{\omega_0^2 - \Omega^2}$ , y $x'(0) = 0$ obliga a $\mu_1 = 0$ :

x(t) = \frac{A}{\omega_0^2 - \Omega^2}\, \bigl(\cos\Omega t - \cos\omega_0 t\bigr) = \frac{2A}{\omega_0^2 - \Omega^2}\, \sin\Bigl(\frac{(\omega_0 - \Omega)t}2\Bigr) \sin\Bigl(\frac{(\omega_0 + \Omega)t}2\Bigr) ,

por la fórmula de producto $\cos a - \cos b = 2\sin\frac{b - a}2\sin\frac{b + a}2$ aplicada con $a = \Omega t$ , $b = \omega_0 t$ .

20. Para $\Omega$ próximo a $\omega_0$ , el segundo seno oscila a la frecuencia rápida $\frac{\omega_0 + \Omega}2 \approx \omega_0$ , mientras que el primero es una envolvente lenta de frecuencia $\frac{\abs{\omega_0 - \Omega}}2$ : la amplitud de la oscilación rápida crece y decrece con período de envolvente $\frac{2\pi}{\abs{\omega_0 - \Omega}}$ (dos pulsaciones por período de envolvente), alcanzando máximos $\frac{2A}{\abs{\omega_0^2 - \Omega^2}}$ . Cuando $\Omega \to \omega_0$ , las pulsaciones se vuelven a la vez más lentas (período $\to \infty$ ) y más altas (amplitud $\to \infty$ ).

21. Fíjese $t$ . Cuando $\Omega \to \omega_0$ :

\frac{2A}{\omega_0^2 - \Omega^2}\sin\Bigl(\frac{(\omega_0 - \Omega)t}2\Bigr) = \frac{2A}{\omega_0 + \Omega}\cdot \frac{\sin\bigl(\frac{(\omega_0 - \Omega)t}2\bigr)} {\omega_0 - \Omega} \longrightarrow \frac{2A}{2\omega_0}\cdot\frac t2 = \frac{At}{2\omega_0} ,

mientras que $\sin\bigl(\frac{(\omega_0 + \Omega)t}2\bigr) \to \sin(\omega_0 t)$ : el límite es $x_\infty(t) = \frac{At\sin\omega_0 t}{2\omega_0}$ . Comprobación directa: con $C = \frac A{2\omega_0}$ , $x_\infty = Ct\sin\omega_0 t$ cumple $x_\infty'' = 2C\omega_0\cos\omega_0 t - C\omega_0^2 t \sin\omega_0 t$ , luego $x_\infty'' + \omega_0^2 x_\infty = 2C\omega_0\cos\omega_0 t = A\cos\omega_0 t$ , con $x_\infty(0) = 0$ y $x_\infty'(0) = C\sin 0 + C\omega_0 \cdot 0 \cdot \cos 0 = 0$ — para $\omega_0 = A = 1$ esto es exactamente el Ejemplo 5.19. La resonancia es la degeneración de las pulsaciones: la primera crecida de la envolvente, estirada hasta una longitud infinita.

22. Sin amortiguamiento, la amplitud resonante crece linealmente y sin cota; con amortiguamiento $\lambda > 0$ , el crecimiento se satura en $R_{\max} \approx Q\,\frac A{\omega_0^2}$ . El mecanismo: la disipación retira energía a un ritmo que crece con la amplitud (pregunta 23), de modo que la acumulación se detiene exactamente cuando el amortiguamiento quema energía tan deprisa como la aporta la excitación.

23. Con $x_p' = -R\Omega\sin(\Omega t - \varphi)$ , y siendo los promedios en un período $\langle\cos^2\rangle = \langle\sin^2\rangle = \frac12$ y $\langle\sin\cos\rangle = 0$ :

\langle P_{\mathrm{diss}}\rangle = 2\lambda\,R^2\Omega^2\,\langle\sin^2(\Omega t - \varphi)\rangle = \lambda R^2\Omega^2 ;

y, desarrollando $\sin(\Omega t - \varphi) = \sin\Omega t\cos\varphi - \cos\Omega t\sin\varphi$ :

\langle P_{\mathrm{in}}\rangle = -AR\Omega\,\bigl\langle\cos\Omega t\,\sin(\Omega t - \varphi)\bigr\rangle = AR\Omega\,\frac{\sin\varphi}2 .

Como $\sin\varphi = \frac{2\lambda\Omega}{\sqrt D} = \frac{2\lambda\Omega R}A$ , esto vale $\frac{AR\Omega}2 \cdot \frac{2\lambda\Omega R}A = \lambda R^2\Omega^2$ : las potencias aportada y disipada se equilibran exactamente — la propiedad que define un régimen permanente.

24. (i) El teorema de estructura separó cada solución en régimen permanente más transitorio (preguntas 9–11) y redujo la unicidad al problema homogéneo. (ii) El método complejo convirtió la búsqueda de una solución particular en una única división de números complejos (pregunta 6), leyéndose la amplitud y la fase en un módulo y un argumento. (iii) La curva de resonancia es un puro estudio de función — una cuadrática en $u = \Omega^2$ , su mínimo, sus conjuntos de nivel — al estilo del Capítulo 4 (preguntas 12–17).

25. Libre y amortiguado: seudooscilaciones que decaen, con vida $\frac1\lambda$ y unas $\frac Q\pi$ oscilaciones. Forzado y amortiguado: los transitorios mueren y sobrevive un único régimen permanente sinusoidal a la frecuencia de excitación, con amplitud que alcanza su pico cerca de $\omega_0$ (altura $\approx Q \times$ la estática, anchura $\approx \frac{\omega_0}Q$ ) y fase que barre de $0$ a $\pi$ pasando por $\frac\pi2$ en $\omega_0$ . Libre y sin amortiguar: oscilación perpetua. Forzado y sin amortiguar: pulsaciones, que degeneran en resonancia de crecimiento lineal cuando la sintonía es exacta. Un solo número adimensional, $Q = \frac{\omega_0}{2\lambda}$ , lo ajusta todo — altura del pico, ancho de banda y vida del transitorio son tres lecturas del mismo mando. La continuación: reescribir $x'' + 2\lambda x' + \omega_0^2x$ como sistema de primer orden abre los métodos matriciales del Capítulo 21 y del volumen del segundo año, y descomponer una excitación periódica arbitraria en sinusoides (series de Fourier, volumen del tercer año) convierte el análisis de este problema, a una sola frecuencia, en el ladrillo universal: resuélvase para cada frecuencia y superpóngase.

Términos definidos en este capítulo

Ver los 395 términos del glosario