Matemáticas universitarias — Grado 3 · Bachelor Year 3

6Topología general

El volumen del Año 2 hizo análisis en espacios métricos: distancias, bolas, secuencias. Pero las nociones fundamentales — continuidad, compacidad, conectividad — nunca menciones el valor numérico de distancia, solo genera la familia de conjuntos abiertos. Este capítulo toma esa familia como el objeto primitivo. la ganancia no es generalidad por sí misma: construcciones cocientes (la círculo como $\R/\Z$ , espacios proyectivos), productos y el Las topologías de tipo débil de análisis funcional simplemente no son objetos de métrica primero. Reconstruimos continuidad, luego tratamos compacidad por cubiertas abiertas (lo que demuestra que es equivalente al año 2) definición secuencial en espacios métricos), y conectividad — cerrando con el teorema de que una biyección continuo no puede identifique $\R$ con $\R^2$ : topología puede distinguir dimensiones.

6.1 Topologías, conjuntos abiertos, continuidad.

Definición 6.1

Un topología en un set $X$ es una familia $\mathcal T$ de subconjuntos de $X$ — llamado abierto conjuntos — tal que: $\varnothing, X \in \mathcal T$ ; cualquier unión de conjuntos abiertos es abierta; cualquier finito la intersección de conjuntos abiertos es abierta. El par $(X, \mathcal T)$ es un espacio topológico. Los complementos de conjuntos abiertos son cerrado. A entorno de $x$ es un conjunto que contiene un conjunto abierto que contiene $x$ .

Ejemplo 6.2

(a) Un espacio métrico, con "abierto" como en el Año 2 (uniones de abiertos bolas): el metric topología; diferentes métricas pueden dar el mismo topología (métricas equivalentes). Un espacio cuyo topología surge de alguna métrica es metrizable. (b) El discreto topología (todos los subconjuntos) y el indiscreto topología $\{\varnothing, X\}$ . (c) El cofinito topología en un conjunto infinito: abre $=$ vacío o cofinito. No metrizable, como veremos (Ejercicio 6.3). (d) El $\R$ , el habitual topología; en $\bar\R = \R \cup \{\pm\infty\}$ , el orden topología generado por rayos — haciendo “ $x_n \to +\infty$ ” es un ejemplo de convergencia simple.

Definición 6.3

Para $A \subseteq X$ : el interior $\mathring A$ es el mayor conjunto abierto dentro de $A$ (unión de todos ellos); el cierre $\bar A$ el conjunto cerrado más pequeño que contiene $A$ ; el límite $\partial A = \bar A \setminus \mathring A$ . $A$ es denso si $\bar A = X$ . Uno tiene $x \in \bar A$ si cada entorno de $x$ cumple con $A$ (si algún entorno no cumple con $A$ , su núcleo abierto el complemento es un conjunto cerrado más pequeño alrededor de $A$ ; por el contrario).

Definición 6.4

Un base de $\mathcal T$ es un familia $\mathcal B \subseteq \mathcal T$ tal que cada abierto conjunto es una unión de miembros de $\mathcal B$ (por ejemplo, bolas abiertas en un espacio métrico; intervalos abiertos en $\R$ ). Una familia $\mathcal B$ de subconjuntos de $X$ es una base de alguno topología si cubre $X$ y, para $B_1, B_2 \in \mathcal B$ y $x \in B_1 \cap B_2$ , algún $B_3 \in \mathcal B$ tiene $x \in B_3 \subseteq B_1\cap B_2$ — entonces “uniones de miembros” es un topología, el topología generado por $\mathcal B$ .

Definición 6.5

$f \colon X \to Y$ es continuo si $f^{-1}(V)$ está abierto para cada $V \subseteq Y$ abierto — de manera equivalente, las preimágenes de conjuntos cerrados son cerradas; equivalentemente, por cada $x$ y entorno $V$ de $f(x)$ , $f^{-1}(V)$ es un entorno de $x$ (continuidad at cada $x$ ). eso basta con comprobar un base de $Y$ . Composiciones de continuo. Los mapas son continuos. A homeomorfismo es una biyección continua con inversa continua; topología estudia las propiedades conservadas por los homeomorfismos.

Proposición 6.6 (Continuidad vs cierre; pegado)

(a) $f$ es continuo si y si $f(\bar A) \subseteq \overline{f(A)}$ para todos los $A \subseteq X$ . (b) Si $X = F_1 \cup F_2$ con $F_1, F_2$ cerrado y $f\colon X \to Y$ restringe continuamente a cada $F_i$ , entonces $f$ es continuo.

Demostración. (a) Si $f$ continuo: $f^{-1}(\overline{f(A)})$ está cerrado y contiene $A$ , por lo tanto contiene $\bar A$ . Por el contrario aplicar el criterio para $A = f^{-1}(F)$ , $F$ cerrado: $f(\bar A) \subseteq \overline{f(f^{-1}(F))} \subseteq \bar F = F$ , por lo que $\bar A \subseteq f^{-1}(F) = A$ : las preimágenes de conjuntos cerrados están cerradas. (b) Para $F \subseteq Y$ cerrado: $f^{-1}(F) = (f\restriction_{F_1})^{-1}(F) \cup (f\restriction_{F_2})^{-1} (F)$ , una unión de dos conjuntos cerrados en $F_1$ , resp. $F_2$ , por lo tanto cerrado en $X$ ( $F_i$ cerrado: cerrado en cerrado está cerrado). ∎

Definición 6.7

$X$ es Hausdorff (o apartado) si dos puntos distintos tienen puntos disjuntos barrios. Los espacios métricos son Hausdorff (bolas de radio $d(x,y)/2$ ). Una secuencia $(x_n)$ converge a $x$ si cada entorno de $x$ contiene todos menos un número finito de $x_n$ ; en un Espacio de Hausdorff, los límites son únicos (dos límites tendrían disjuntos barrios cada uno con una cola). En un Hausdorff espacio, los puntos — por lo tanto los conjuntos finitos — son cerrados.

Observación 6.8

En espacios métricos, las secuencias detectan todo: $x \in \bar A$ si alguna secuencia de $A$ converge a $x$ (tome $x_n \in A \cap B(x, 1/n)$ ), y $f$ es continuo si es secuencial continuo. En espacios generales ambas equivalencias fallan; el Los sustitutos de secuencia correctos (filtros, redes) pertenecen a una curso avanzado. Indicaremos los resultados basados en secuencias en métricas. espacios y resultados basados en coberturas en general — y probarlos equivalente donde se encuentren.

6.2 Subespacios, productos, cocientes.

Definición 6.9

Tres formas de crear espacios nuevos a partir de los antiguos:

Subespacio: en $A \subseteq X$ , los conjuntos abiertos son el $U \cap A$ , $U$ abierto en $X$ — el más tosco topología realizando la inclusión continuo.
Producto: en $X \times Y$ (y productos finitos), el topología con base el cajas abiertas $U \times V$ ; en un producto infinito $\prod_i X_i$ , el base consta de cajas $\prod U_i$ con $U_i = X_i$ para todos menos un número finito $i$ — el más tosco topología realizando cada proyección continuo.
Cociente: si $\sim$ es una equivalencia de $X$ y $\pi\colon X \to X/{\sim}$ la proyección, declarar $V \subseteq X/{\sim}$ abierto si $\pi^{-1}(V)$ está abierto — el mejor topología haciendo $\pi$ continuo.

Proposición 6.10 (propiedades universales)

(a) $f \colon Z \to X \times Y$ es continuo si ambos Los componentes $\pi_X \circ f$ , $\pi_Y \circ f$ son (iguales para productos arbitrarios). (b) $g \colon X/{\sim} \to Z$ es continuo si y si $g \circ \pi \colon X \to Z$ lo es.

Demostración. a) Necesidad: composiciones. Suficiencia: basta con comprobar preimágenes de cajas base: $f^{-1}(U \times V) = (\pi_Xf)^{-1}(U) \cap (\pi_Yf)^{-1}(V)$ , abiertas (un número finito de factores $\neq X_i$ en el caso infinito). b) Necesidad: composición. Suficiencia: para $W \subseteq Z$ abierto, $\pi^{-1}(g^{-1}(W)) = (g\pi)^{-1}(W)$ está abierto, lo que según la definición de topología del cociente significa $g^{-1}(W)$ está abierto. ∎

Ejemplo 6.11

El cociente $\R/\Z$ (identificar $x$ y $x + n$ ) es homeomórfico al círculo $S^1 = \{z \in \C : \abs z = 1\}$ : la aplicación $x \mapsto \eu^{2\iu\pi x}$ pasa a una biyección continuo $\R/\Z \to S^1$ (Proposición 6.10(b)); es la inversa es continuo por el argumento de compacidad de Corolario 6.14 a continuación (Ejercicio 6.5 detalla todo, incluido el motivo $\R/\Z$ es Hausdorff y compacto). Asimismo $[0,1]$ con extremos pegados es $S^1$ , el cuadrado con lados opuestos pegados es el toroide, y pegar es finalmente un teorema, no una imagen.

6.3 Compacidad

Definición 6.12

Un tapa abierta de $X$ es una familia $(U_i)_{i\in I}$ de abierto conjuntos con $\bigcup U_i = X$ . $X$ es compacto si es Hausdorff y cada Tapa abierta admite un subcubierta finita. De manera equivalente (tomando complementos): cada familia de conjuntos cerrados con finito propiedad de intersección (todas las subfamilias finitas tienen no vacíos intersección) tiene una intersección total no vacía.

Teorema 6.13 (Primeras propiedades)

Sea $X$ compacto.

Un subconjunto cerrado de $X$ es compacto; un subconjunto compacto de un espacio hausdorff está cerrado.
Una imagen continuo de un espacio compacto en un Hausdorff espacio es compacto. En particular, un continuo $f\colon X \to \R$ está acotado y alcanza sus límites.
Una secuencia decreciente de subconjuntos cerrados no vacíos de $X$ tiene intersección no vacía.

Demostración. (1) Deje $F \subseteq X$ cerrada y $(U_i)$ una tapa abierta de $F$ (por apertura de $X$ ): agregar $X \setminus F$ da una portada abierta de $X$ ; una subcubierta finita, menos $X \setminus F$ , cubre $F$ . El subespacio Hausdorff está claro. Por el contrario, deje que $K \subseteq Y$ compacto, $Y$ Hausdorff y $y \notin K$ : para cada $x \in K$ elegir abierto disjunto $U_x \ni x$ , $V_x \ni y$ ; finitos $U_x$ cubre $K$ , y la intersección del correspondiente $V_x$ es una entorno de $y$ está separado de la portada de $K$ , por lo tanto de $K$ : el complemento de $K$ está abierto.

(2) Si $(V_j)$ cubre $f(X)$ , entonces $(f^{-1}(V_j))$ cubre $X$ ; un la subcobertura finita de abajo proviene de la subcobertura finita arriba. La imagen es Hausdorff como subespacio. Para $f$ reales: $f(X)$ es compacto en $\R$ , por lo tanto cerrado y acotado (cubierto por $(-n, n)$ para limitación; cerrado por (1)), y un cerrado acotado el conjunto contiene su supremo.

(3) Si $\bigcap F_n = \varnothing$ , abre $X \setminus F_n$ cubierta $X$ ; un número finito es suficiente, por lo que algo de $F_{n_0} = \varnothing$ (la secuencia disminuye) — contradicción. ∎

Corolario 6.14

Un continuo biyección de un espacio compacto a un espacio hausdorff es un homeomorfismo.

Demostración. Lo inverso es continuo si las imágenes directas de conjuntos cerrados son cerrado; un $F$ cerrado es compacto (Teorema 6.13(1)), su imagen es compacto (2), por lo tanto cerró (1) en el objetivo Hausdorff. ∎

Teorema 6.15 (Productos finitos)

Un producto finito de espacios compactos es compacto.

Demostración. Basta con tratar $X \times Y$ . Hausdorff se hereda (separados en una coordenada). Sea $(W_i)$ una portada abierta de $X \times Y$ ; podemos asumir que $W_i$ son cuadros base $U_i \times V_i$ (refinar: cada punto se encuentra en un cuadro dentro de algunos $W_i$ ; a la subcubierta finita de cajas produce una de $W_i$ ). Arreglar $x \in X$ : el rebanada $\{x\}\times Y \cong Y$ es compacto, así que finitamente muchas cajas $U_1\times V_1, \dots, U_k\times V_k$ lo tapan, con $x \in U_j$ para todos los $j$ ; entonces $U^x = \bigcap_{j \leq k} U_j$ es un entorno abierto de $x$ con $U^x \times Y$ cubierto por un número finito de cajas (el lema del tubo: para $(x', y) \in U^x \times Y$ , $y \in V_j$ para algunos $j$ ya que las cajas cubrían $\{x\}\times Y$ en el nivel $y$ y $x' \in U^x \subseteq U_j$ , por lo que $(x', y) \in U_j \times V_j$ ). Ahora un número finito de $U^x$ cubrir el compacto $X$ ; las correspondientes colecciones finitas de tapa cajas $X \times Y$ . ∎

Teorema 6.16 (Compacidad en espacios métricos)

Para un espacio métrico $(X, d)$ , lo siguiente es equivalente:

$X$ es compacto (Borel–Lebesgue);
cada secuencia en $X$ tiene una subsecuencia convergente (compacidad secuencial — Definición del año 2);
$X$ está completo y totalmente delimitado: por cada $\varepsilon > 0$ , un número finito de bolas de radio $\varepsilon$ cubierta $X$ .

Demostración. (1) $\Rightarrow$ (2): Dejemos que $(x_n)$ no tenga convergencia subsecuencia. Entonces cada $x \in X$ tiene una bola abierta $B_x$ que contiene $x_n$ sólo para un número finito de $n$ (de lo contrario, un la subsecuencia converge a $x$ : tomar radios $1/k$ ). finitos $B_x$ cubre $X$ , por lo que solo existen un número finito de índices $n$ : absurdo.

(2) $\Rightarrow$ (3): Completitud: una secuencia de Cauchy con un la subsecuencia convergente converge (Año 2). Limitación total: si algunos $\varepsilon$ no admiten cobertura finita, elijan inductivamente $x_{n+1}$ fuera de $\bigcup_{k\leq n} B(x_k, \varepsilon)$ : el la secuencia tiene $d(x_m, x_n) \geq \varepsilon$ para $m \neq n$ , no Subsecuencia de Cauchy, no convergente.

(3) $\Rightarrow$ (1): Primero, (3) implica (2): dado $(x_n)$ , cubrir $X$ por un número finito de bolas de radio $1$ : una, $B_1$ , contiene una subsecuencia; tapa $X$ por bolas de radio $1/2$ : una contiene una subsecuencia adicional; iterar y diagonalizar: el subsecuencia diagonal es Cauchy (dos términos más allá de la etapa $k$ se encuentran en una bola común de radio $2^{-k}$ , hasta la habitual $2\cdot$ ), por tanto converge. Ahora dejemos que $(U_i)$ sea una portada abierta y supongamos que no. subcobertura finita. Argumento del número de Lebesgue: por cada $n$ , alguna bola $B(y_n, 2^{-n})$ no está cubierta por un número finito $U_i$ — de hecho, cubre $X$ con un número finito de bolas de radio $2^{-n}$ ; si cada uno estuviera cubierto de forma finita, también lo estaría $X$ . Por (2), una subsecuencia $y_{n_k} \to y$ ; elija $i$ con $y \in U_i$ y $r > 0$ con $B(y, r) \subseteq U_i$ . Para $k$ grande, $B(y_{n_k}, 2^{-n_k}) \subseteq B(y, r) \subseteq U_i$ : cubierto por uno $U_i$ — contradicción. ∎

Corolario 6.17 (Heine—Borel; Heine)

(a) Un subconjunto de $\R^n$ es compacto si es cerrado y acotado. (b) Un aplicación continua de un espacio métrico compacto a un espacio métrico el espacio es uniformemente continuo.

Demostración. (a) $\Rightarrow$ cerrado y acotado contenido en un cubo $[-M,M]^n$ , que es compacto: $[-M, M]$ es (secuencialmente, por Bolzano–Weierstrass — o directamente por dicotomía para las portadas), y Teorema 6.15 maneja el producto; entonces aplicar Teorema 6.13(1). Por el contrario un El subconjunto compacto está cerrado. (Teorema 6.13(1)) y acotado (cubierto por bolas concéntricas).

(b) Sea $f \colon X \to Y$ , $\varepsilon > 0$ . las bolas $B\bigl(x, \delta_x\bigr)$ con $f\bigl(B(x, 2\delta_x)\bigr)\subseteq B\bigl(f(x), \varepsilon/2\bigr)$ cubierta $X$ ; extraer una subcubierta finita $B(x_j, \delta_{x_j})$ y establezca $\delta = \min_j \delta_{x_j}$ . Si $d(x, x') < \delta$ : $x \in B(x_j, \delta_{x_j})$ para algunos $j$ , y luego ambos $x, x' \in B(x_j, 2\delta_{x_j})$ , entonces $d(f(x), f(x')) < \varepsilon$ . ∎

Definición 6.18

$X$ es localmente compacto si es Hausdorff y cada punto tiene un compacto entorno ( $\R^n$ ; subconjuntos abiertos de $\R^n$ ; espacios discretos — pero no $\Q$ , ver Ejercicio 6.9). Cada espacio compacto localmente se incrusta en una compacto: la un punto compactación $\hat X = X \cup \{\infty\}$ , cuyas aperturas son las de $X$ junto con la complementos (en $\hat X$ ) de compacto subconjuntos de $X$ . uno comprueba los axiomas directamente; $\hat X$ es compacto (una portada tiene un miembro que contiene $\infty$ , cuyo complemento es compacto, amparado por un número finito de otros) y Hausdorff (separar $x$ de $\infty$ por un compacto entorno de $x$ y su complemento). Ejemplo: $\hat\R \cong S^1$ y $\widehat{\R^n} \cong S^n$ por proyección estereográfica (Ejercicio 6.11).

6.4 Conectividad

Definición 6.19

$X$ es conectado si no es el unión de dos conjuntos abiertos disjuntos y no vacíos — equivalentemente, su sólo los subconjuntos abiertos y cerrados son $\varnothing$ y $X$ ; equivalentemente, cada aplicación continua $X \to \{0, 1\}$ (discreto) es constante. Un subconjunto es conexo si es un subespacio.

Teorema 6.20

Los subconjuntos conectado de $\R$ son exactamente los intervalos.
Continuo las imágenes de los conjuntos conectado son conectado (de donde el teorema del valor intermedio: una aplicación real continuo en a espacio conectado tiene un intervalo como imagen).
Si $(A_i)$ son conectado con un punto en común, $\bigcup A_i$ es conectado. Si $A$ es conectado y $A \subseteq B \subseteq \bar A$ , entonces $B$ es conectado.
Los productos finitos de espacios conectados son conectado.

Demostración. En todo momento utilizamos el criterio $\{0,1\}$ : $f \colon X \to \{0,1\}$ continuo debe ser constante.

(1) Un $A$ sin intervalo pierde algunos $c$ entre $a, b \in A$ : $A = (A \cap (-\infty, c)) \sqcup (A \cap (c, +\infty))$ se desconecta. Por el contrario, sea $I$ un intervalo y $f \colon I \to \{0,1\}$ continuo con $f(a) = 0$ , $f(b) = 1$ , $a < b$ . Sea $c = \sup\{x \in [a,b] : f(x) = 0\}$ ; continuidad en $c$ fuerzas $f(c) = 0$ (límite de valores $0$ : cada entorno de $c$ se encuentra con $\{f = 0\}$ ; $\{f=0\}$ está cerrado) y luego $c < b$ con $f \equiv 1$ en $(c, b]$ , entonces $f(c) = 1$ por el mismo Argumento cierre sobre $\{f = 1\} \ni c$ : contradicción.

(2) A continuo $g \colon f(X) \to \{0,1\}$ produce $g \circ f$ constante, por lo que $g$ es constante en la imagen.

(3) A continuo $f\colon \bigcup A_i \to \{0,1\}$ es constante en cada $A_i$ , con el mismo valor en el punto común. Para el cierre: $f \colon B \to \{0,1\}$ es constante $= c$ en $A$ ; cualquiera $x \in B \subseteq \bar A$ está en cierre de $A$ , y $f^{-1} (f(x))$ es entorno de $x$ (preimagen de abierto), que debe conocer $A$ : $f(x) = c$ .

(4) Para $X \times Y$ y $f\colon X\times Y \to \{0,1\}$ : cualquiera dos puntos $(x,y), (x',y')$ están unidos por el “codo” $\{x\}\times Y \cup X \times \{y'\}$ , una unión de dos conectado conjuntos (homeomórfico a $Y$ , $X$ ) reunidos en $(x, y')$ : por (3) y (2), $f$ está de acuerdo en los dos puntos. ∎

Definición 6.21

$X$ es conectado por camino si corresponde dos puntos están unidos por un camino (continuo $\gamma \colon [0,1] \to X$ ). Conectado por camino implica conectado: dos Los valores de continuo $f \colon X \to \{0,1\}$ en $x, y$ son valores de la constante $f\circ\gamma$ (Teorema 6.20(1)–(2)). Subconjuntos convexos de espacios normados son conectado por camino (segmentos); también lo son $\R^n \setminus \{0\}$ para $n \geq 2$ (ir alrededor del origen), y $S^n$ para $n \geq 1$ (rutas de proyecto de $\R^{n+1}\setminus \{0\}$ ).

Ejemplo 6.22 (La curva sinusoidal del topólogo.)

Sean $\Gamma = \{(x, \sin\frac1x) : 0 < x \leq 1\}$ y $S = \bar\Gamma = \Gamma \cup (\{0\}\times[-1,1])$ (cada punto $(0, y)$ , $\abs y \leq 1$ , es un límite de puntos de $\Gamma$ : resolver $\sin\frac1x = y$ cerca de $0$ ). Entonces $S$ es conectado — cierre del conectado $\Gamma$ , un continuo imagen de $(0, 1]$ (Teorema 6.20(3)) — pero not conectado por camino: un camino de $(1, \sin 1)$ a $(0,0)$ habría para recorrer las abscisas $\to 0$ mientras la ordenada oscila entre $\pm1$ ; Ejercicio 6.9 hace esto riguroso. Conectividad y conexión de camino genuinamente difieren.

$El curva sinusoidal del topólogo: la gráfica de 1x (rojo) se acumula en todo el segmento \0\×[-1,1] (azul). La unión es conectado pero no conectado por camino: no continuo camino puede cruzar el infinito muchas oscilaciones en un tiempo de parámetro finito.$

El curva sinusoidal del topólogo: la gráfica de

\sin\frac1x

(rojo) se acumula en todo el segmento

\{0\}\times[-1,1]

(azul). La unión es conectado pero no conectado por camino: no continuo camino puede cruzar el infinito muchas oscilaciones en un tiempo de parámetro finito.

Definición 6.23

El componente conectado de $x \in X$ es la unión de todos los subconjuntos conectado que contienen $x$ — el más grande (Teorema 6.20(3)). Los componentes particionan $X$ y están cerrados (cierres de conectado los conjuntos son conectado). $X$ es totalmente desconectado si todos los componentes son singletons ( $\Q$ ; el conjunto Cantor del fin de semana problema).

Teorema 6.24

$\R$ es homeomórfico y no $\R^n$ con $n \geq 2$ .

Demostración. Supongamos que $h \colon \R \to \R^n$ es un homeomorfismo. Quitar un punto: $\R \setminus \{0\}$ es homeomórfico a $\R^n \setminus \{h(0)\}$ . Pero $\R\setminus\{0\}$ está desconectado, mientras $\R^n\setminus\{\text{point}\}$ es conectado por camino para $n \geq 2$ (Definición 6.21; traduce el punto a $0$ ): conectividad es una invariante homeomorfismo (Teorema 6.20(2)) — contradicción. (Ese $\R^2 \not\cong \R^3$ requiere invariantes más finos — algebraico topología; El problema del fin de semana muestra el peligro: continuo surjections $\R \to \R^2$ existen). ∎

Método 6.25

Para demostrar que un conjunto es conectado: muéstrelo como una imagen continuo, una unión de conjuntos conectado superpuestos, un cierre o un producto (Teorema 6.20); para subconjuntos de normados espacios, pruebe conexión de camino con caminos explícito (segmentos, arcos, codos). Para demostrar dos espacios son no homeomórfico: encuentre una invariante topológico que difiera — compacidad, conectividad, número de componentes, o componentes después eliminar un conjunto finito bien elegido (el truco de Teorema 6.24: también prueba $[0,1) \not\cong (0,1)$ y $S^1 \not\cong [0,1]$ ).

6.5 Ceremonias

Ejercicio 6.1 ★

(a) Enumere todas las topologías en $\{a, b\}$ , clasifíquelas hasta homeomorfismo y determine cuáles son conectado y cuáles son Hausdorff. (b) En $\R$ (topología habitual), calcule interior, cierre y límite de $\Q$ , de $[0,1) \cup \{2\}$ y de $\{1/n : n \geq 1\}$ .

Solución

Solución de Ejercicio 6.1.

(a) Cuatro topologías en $\{a,b\}$ : indiscreta $\{\varnothing, X\}$ ; discreto; los dos Sierpiński topologías $\{\varnothing, \{a\}, X\}$ y $\{\varnothing, \{b\}, X\}$ . Los dos últimos son homeomórfico (swap $a, b$ ): tres clases. Conectado: todos excepto el discreto (sólo el discreto topología contiene un conjunto clopen adecuado no vacío). Hausdorff: solo el discreto (en los demás, solo el de $b$ entorno es $X$ o $a$ ).

(b) $\Q$ : interior $\varnothing$ (cada intervalo contiene irracionales), cierre $\R$ (densidad), límite $\R$ . $[0,1) \cup \{2\}$ : interior $(0,1)$ , cierre $[0,1]\cup\{2\}$ , límite $\{0, 1, 2\}$ . $\{1/n\}$ : interior $\varnothing$ , cierre $\{1/n\}\cup\{0\}$ , delimita el propio cierre.

Ejercicio 6.2 ★

(a) Demuestre que $f\colon X \to Y$ es continuo si y solo $f^{-1}(B)$ está abierto para cada $B$ en un base fijo de $Y$ . (b) Demuestre que $f = \mathbf 1_{[0,\infty)} \colon \R \to \R$ es no continuo pero es continuo a la derecha. Verifique que el intervalos medio abiertos $[a, b)$ forman un base de una topología en el fuente $\R$ (el Línea Sorgenfrey), que este topología es estrictamente más fina que la habitual, y que una función $\R \to \R$ (objetivo habitual) es continuo de la línea Sorgenfrey si y así es continuo a la derecha en cada punto.

Solución

Solución de Ejercicio 6.2.

(a) Cada $V \subseteq Y$ abierto es una unión $\bigcup B_j$ de base conjuntos, y $f^{-1}(V) = \bigcup f^{-1}(B_j)$ : si estos últimos son abierto, también lo es el primero; lo contrario es trivial.

(b) $f^{-1}\bigl(\intoo{\frac12}{\frac32}\bigr) = [0, \infty)$ no está abierto: $f$ no es continuo; continuidad derecha en cada El punto está claro ( $f$ es localmente constante a la derecha de cada punto). Los conjuntos $[a, b)$ satisfacen el criterio base (Definición 6.4): $[a,b)\cap[c,d) = [\max(a,c), \min(b,d))$ . El Sorgenfrey topología es más fino que el habitual uno, desde $(a, b) = \bigcup_{a < c < b}[c, b)$ ; estrictamente: $[0,1)$ es Sorgenfrey-abierto, no habitual-abierto. Continuidad de la Línea Sorgenfrey en $x$ : una Sorgenfrey entorno de $x$ contiene un conjunto base $[a, b) \ni x$ , por lo tanto contiene $[x, b)$ — entonces la condición continuidad dice: por cada $\varepsilon > 0$ hay $\delta > 0$ con $\abs{f(t) - f(x)} < \varepsilon$ siempre que $x \leq t < x + \delta$ . eso es exactamente continuidad derecha en $x$ .

Ejercicio 6.3 ★

En un conjunto infinito con la cofinita topología, muestre: dos cualesquiera encuentro conjuntos abiertos no vacío (por lo que el espacio no es Hausdorff, por lo tanto no metrizable); toda secuencia inyectiva converge a cada punto. ¿De dónde viene la prueba de unicidad de límites? utilizar Hausdorff?

Solución

Solución de Ejercicio 6.3.

Dos aperturas no vacías tienen complementos finitos, por lo que sus la intersección tiene complemento finito: no vacía (el conjunto es infinito) — no hay dos puntos que tengan barrios disjuntos: no Hausdorff, por lo tanto no metrizable (Definición 6.7). Sea $(x_n)$ inyectivo y $x$ arbitrario: un entorno de $x$ contiene un abierto cofinito $U$ ; los puntos finitos de $X\setminus U$ son afectados por en la mayoría de los índices finitos (inyectividad), por lo que una cola de la La secuencia se encuentra en $U$ : $x_n \to x$ , para cada $x$ . el la prueba de unicidad necesita dos barrios disjuntos para separarse dos supuestos límites — precisamente lo que falla aquí.

Ejercicio 6.4 ★★

(a) Demuestre que las proyecciones $\pi_X, \pi_Y$ de un producto son continuo y abierto (las imágenes de aperturas están abiertas), pero no cerrado en general ( $\{xy = 1\}$ en $\R^2$ ). (b) Demuestre que una secuencia en un producto contable $\prod_n X_n$ de los espacios métricos convergen si cada coordenada converge, y que $d(x, y) = \sum_n 2^{-n}\min(1, d_n(x_n, y_n))$ metriza el topología del producto. (c) En $\R^\N$ , muestre que la “caja topología” (todos los productos de las aperturas están abiertas) es estrictamente más fina: la secuencia $x^{(k)} = (1/k, 1/k, \dots)$ converge a $0$ en producto topología pero no en el cuadro topología.

Solución

Solución de Ejercicio 6.4.

(a) Continuidad es por construcción (Definición 6.9). Apertura: un $W \subseteq X \times Y$ abierto es una unión de cajas $U_i\times V_i$ , y $\pi_X(W) = \bigcup U_i$ (las cajas no vacías se proyectan en sus factores), abierto. No cerrado: $H = \{(x,y) : xy = 1\}$ está cerrado en $\R^2$ (imagen previa de $\{1\}$ bajo el producto continuo), pero $\pi_X(H) = \R\setminus\{0\}$ no está cerrado.

(b) ( $\Rightarrow$ ) Las proyecciones son continuo. ( $\Leftarrow$ ) Sea $x^{(k)} \to x$ por componentes y $W = \prod U_n$ a base entorno de $x$ , con $U_n = X_n$ excepto $n \in F$ finito. Para cada $n \in F$ , $x_n^{(k)} \in U_n$ para $k \geq K_n$ ; para $k \geq \max_F K_n$ , $x^{(k)} \in W$ . La fórmula $d$ define una métrica (cada sumando es uno, hasta el estándar verificación de que $\min(1, d_n)$ es); sus bolas: $B_d(x, 2^{-N})$ contiene la caja base $\{y : d_n(x_n,y_n) < 2^{-N},\ n \leq N'\}$ para $N'$ adecuado (la cola $\sum_{n > N'} 2^{-n}$ es pequeño), y a la inversa, cada caja base contiene una bola $d$ : las dos topologías tienen el mismo barrios de cada punto.

(c) En el topología del producto, $x^{(k)} \to 0$ por (b). la caja abierta el conjunto $U = \prod_n \intoo{-\tfrac1n}{\tfrac1n}$ contiene $0$ , pero $x^{(k)} \notin U$ por cada $k$ (la coordenada $n$ -ésima $1/k \geq 1/n$ cuando $n \geq k$ ): ninguna cola ingresa a $U$ . La caja topología es estrictamente más fino y no es un tipo de producto topología para propósitos de convergencia.

Ejercicio 6.5 ★★

El círculo, tres caminos. Demuestre que los siguientes son pares homeomórfico, con mapas explícitos: (i) $S^1 \subseteq \R^2$ ; (ii) $\R/\Z$ (topología del cociente); (iii) $[0,1]/(0 \sim 1)$ . (For (ii): show $\R/\Z$ is Hausdorff — lift two classes to representatives at distance $\leq \frac12$ — and that $\pi([0,1])$ is everything, so the quotient is compacto; then use Corolario 6.14.)

Solución

Solución de Ejercicio 6.5.

$\varphi \colon \R \to S^1$ , $x \mapsto \eu^{2\iu\pi x}$ , es continuo, sobreyectiva y constante en clases mod $\Z$ : induce una biyección continuo $\bar\varphi \colon \R/\Z \to S^1$ (Proposición 6.10(b)). la proyección $\pi$ es abierto: para $U \subseteq \R$ abierto, $\pi^{-1}(\pi(U)) = \bigcup_{n}(U + n)$ está abierto, por lo que $\pi(U)$ está abierto. Hausdorff: deja $\bar x \neq \bar y$ ; elegir representantes con $\delta = \min_{n}\abs{x - y - n} > 0$ ; las imágenes de los intervalos de radio $\delta/3$ alrededor de $x$ y $y$ están abiertos (apertura de $\pi$ ), contienen $\bar x, \bar y$ y están separados (dos puntos de preimagen estarían separados por $< 2\delta/3$ ) modelo $\Z$ ). Compacto: $\R/\Z = \pi([0,1])$ , una imagen continuo de a espacio compacto (Teorema 6.13(2)). ahora $\bar\varphi$ es una biyección continuo de espacio compacto a el Hausdorff $S^1$ : un homeomorfismo (Corolario 6.14).

Para (iii): el compuesto $[0,1] \hookrightarrow \R \xrightarrow{\pi} \R/\Z$ es continuo, sobreyectivo, y identifica exactamente $0 \sim 1$ : induce una biyección continuo $[0,1]/(0\sim1) \to \R/\Z$ de un espacio compacto (continuo imagen de $[0,1]$ bajo la proyección del cociente) a un Hausdorff uno: un homeomorfismo. Composición: los tres espacios son homeomórfico.

Ejercicio 6.6 ★★

Sea $X$ un espacio métrico. (a) Demuestre que una unión finita de subconjuntos compacto es compacto, y que es una intersección arbitraria. (b) Si $K$ es compacto, $F$ cerrado, $K \cap F = \varnothing$ , mostrar $d(K, F) = \inf\{d(x,y) : x \in K, y \in F\} > 0$ ; dar un contraejemplo con dos conjuntos cerrados disjuntos. (c) Demuestre que $X$ es compacto si cada continuo $f \colon X \to \R$ está acotado. (If some sequence has no convergent subsequence, build an unbounded continuo function supported near its terms; or use $x \mapsto d(x, \cdot)$ -type functions — one clean route: if $(x_n)$ has no cluster point, the set $\{x_n\}$ is closed and discrete, and $f(x_n) = n$ extends continuamente by Tietze-free means: $f(x) = \sum_n n\,\max\bigl(0, 1 - \frac{d(x, x_n)}{r_n}\bigr)$ for small enough $r_n$ .)

Solución

Solución de Ejercicio 6.6.

(a) Una cobertura de $K_1 \cup \dots \cup K_m$ se restringe a una cobertura de cada $K_j$ : un número finito de aberturas por pieza es suficiente. un intersección $\bigcap K_i$ está cerrada en la compacto $K_{i_0}$ (compactos están cerrados en el espacio métrico ambiental), por lo tanto compacto.

(b) $x \mapsto d(x, F)$ es continuo ( $1$ -Lipschitz) y estrictamente positivo en $K$ ( $d(x, F) = 0$ significa $x \in \bar F = F$ ); en el compacto $K$ alcanza un mínimo $m > 0$ : $d(K, F) \geq m$ . Contraejemplo sin compacidad: $F_1 = \{n : n \geq 2\}$ y $F_2 = \{n + \frac1n : n \geq 2\}$ están cerrados, disjunto, a distancia $\inf_n \frac1n = 0$ .

(c) Si $X$ es compacto, cada continuo $f$ está acotado (Teorema 6.13(2)). Por el contrario, si $X$ es no compacto, tome $(x_n)$ sin subsecuencia convergente (Teorema 6.16); pasando a un subsecuencia podemos asumir que el $x_n$ es distinto por pares, y no El punto de $X$ es un punto de grupo de la secuencia, por lo que

r_n = \min\Bigl(2^{-n},\ \tfrac13\,d\bigl(x_n, \{x_m : m \neq n\}\bigr)\Bigr) > 0,

y las bolas $B(x_n, r_n)$ son disjuntas por pares (una situación común punto del $n$ -ésimo y $m$ -ésimo daría $d(x_n, x_m) < r_n + r_m \leq \frac23 d(x_n, x_m)$ ). Definir

f(x) = \sum_{n} n\,\max\Bigl(0,\ 1 - \frac{d(x, x_n)}{r_n}\Bigr):

en cada $x$ como máximo un sumando es distinto de cero y $f(x_n) = n$ . Continuidad en $x$ : let $y_k \to x$ ; cada valor $f(y_k)$ es ya sea $0$ o un valor de aumento único $\mathrm{bump}_{n_k}(y_k)$ . Si algún índice $n$ aparece infinitamente a menudo, a lo largo de ese subsecuencia $f(y_k) = \mathrm{bump}_n(y_k) \to \mathrm{bump}_n(x)$ , que es igual a $f(x)$ (si $x \in B(x_n, r_n)$ , toda la cola se encuentra en esta bola abierta y en ninguna otra ocurre el índice; si $x \notin B(x_n, r_n)$ entonces $\mathrm{bump}_n(x) = 0 = f(x)$ , desde $x$ , adherente a la $n$ -ésima bola, no se encuentra en ninguna otra bola abierta). Si $n_k \to \infty$ : $d(y_k, x_{n_k}) < r_{n_k} \leq 2^{-n_k} \to 0$ , por lo que $x_{n_k} \to x$ , hace que $x$ sea un punto de grupo de $(x_n)$ — excluido; entonces este caso concierne únicamente a un número finito de $k$ . en todos los casos $f(y_k) \to f(x)$ : $f$ es continuo y es ilimitado.

Ejercicio 6.7 ★★

(Número de Lebesgue) Sea $(U_i)$ una portada abierta de un compacto espacio métrico $X$ . Mostrar que existe $\delta > 0$ tal que cada El subconjunto del diámetro $< \delta$ se encuentra en un único $U_i$ . (Otherwise pick $A_n$ of diameter $< 1/n$ in no $U_i$ , and a cluster point of chosen $x_n \in A_n$ .) Deducir Heine teorema (Corolario 6.17(b)) nuevamente.

Solución

Solución de Ejercicio 6.7.

Supongamos que ningún $\delta$ funciona: por cada $n$ hay $A_n$ de diámetro $< 1/n$ no contenido en ningún $U_i$ ; elija $x_n \in A_n$ . Por compacidad (Teorema 6.16), una subsecuencia $x_{n_k} \to x$ ; elija $i$ y $r > 0$ con $B(x, r) \subseteq U_i$ . Para $k$ grande: $d(x_{n_k}, x) < r/2$ y $1/n_k < r/2$ , entonces $A_{n_k} \subseteq B(x_{n_k}, 1/n_k) \subseteq B(x, r) \subseteq U_i$ — contradicción. Heine: dado $\varepsilon$ , cubrir $Y$ con bolas $B(y, \varepsilon/2)$ ; las preimágenes forman una portada abierta de $X$ ; sea $\delta$ un Número de Lebesgue: si $d(x, x') < \delta$ , el par $\{x, x'\}$ tiene diámetro $< \delta$ , se encuentra en una preimagen y $d(f(x), f(x')) < \varepsilon$ .

Ejercicio 6.8 ★★

(a) Demuestre que $GL_n(\R)$ es un subconjunto abierto denso de $M_n(\R)$ , y que es desconectado: el signo del determinante lo separa en (al menos) dos partes. Mostrar por otro lado que $GL_n(\C)$ es conectado por camino. (For $A, B \in GL_n(\C)$ : $\lambda \mapsto \det\bigl((1 - \lambda)A + \lambda B\bigr)$ is a polynomial, not identically zero, so it has finitely many roots in $\C$ : pick a camino of $\lambda$ ’s in $\C$ from $0$ to $1$ avoiding them.) (b) Demostrar densidad: $A + \varepsilon I$ es invertible para pequeñas $\varepsilon > 0$ .

Solución

Solución de Ejercicio 6.8.

(a) $GL_n(\R) = \det^{-1}(\R\setminus\{0\})$ está abierto ( $\det$ está polinomio, continuo). Desconectado: $\det$ lo asigna a $\R\setminus\{0\}$ , y un espacio conectado tiene conectado Imágenes continuo (Teorema 6.20(2)); $\R\setminus\{0\}$ no es un intervalo. $GL_n(\C)$ : para $A, B$ invertible, $p(\lambda) = \det\bigl((1-\lambda)A + \lambda B\bigr)$ es un polinomio en $\lambda$ con $p(0), p(1) \neq 0$ , por lo tanto, no es idénticamente cero: tiene un número finito de raíces en $\C$ . El avión menos un número finito de puntos es conectado por camino (evite los puntos dando vueltas), por lo que hay un camino $\lambda(t)$ de $0$ a $1$ con $p(\lambda(t)) \neq 0$ : $t \mapsto (1-\lambda(t))A + \lambda(t)B$ es un camino en $GL_n(\C)$ .

(b) $\det(A + \varepsilon I) = \chi_A(-\varepsilon)\cdot(\pm1)$ desaparece para como máximo valores $n$ de $\varepsilon$ : invertible matrices $A + \varepsilon I \to A$ como $\varepsilon \to 0$ : densidad.

Ejercicio 6.9 ★★

(a) Demuestre que los componentes conectados de $\Q$ son los singletons, y que $\Q$ no es localmente compacto (un compacto entorno de $0$ en $\Q$ contendría $[-r, r]\cap\Q$ , cuyo cierre en $\Q$ no es compacto: corte irracional). (b) Completar Ejemplo 6.22: no se une camino $(0,0)$ a $\Gamma$ . (If $\gamma = (\gamma_1, \gamma_2)$ is such a camino, let $t^* = \sup\{t : \gamma_1(t) = 0\}$ ; for $t > t^*$ the point moves on the graph; choose $t_k \downarrow t^*$ with $\gamma_1(t_k) \to 0$ hitting abscissas where $\sin$ is alternately $\pm1$ — the intermediate value theorem supplies them — contradicting continuidad of $\gamma_2$ at $t^*$ .)

Solución

Solución de Ejercicio 6.9.

(a) Deje que $A \subseteq \Q$ contenga $p < q$ y elija un irracional $\alpha \in (p, q)$ : $A = (A \cap (-\infty, \alpha)) \sqcup (A\cap(\alpha, +\infty))$ divide $A$ en dos relativamente no vacíos. piezas abiertas: $A$ está desconectado. Los componentes son singletons. Falla la compacidad local: un compacto entorno $V$ de $0$ en $\Q$ contiene $[-r, r]\cap\Q$ para algunos $r > 0$ , que está cerrado en $V$ , por lo tanto compacto; sino una secuencia de racionales en $[-r,r]$ convergente (en $\R$ ) a un irracional no tiene subsecuencia convergente in $\Q$ : contradicción con Teorema 6.16.

(b) Sea $\gamma = (\gamma_1, \gamma_2) \colon [0,1] \to S$ un camino con $\gamma(0) = (0,0)$ y $\gamma(1) \in \Gamma$ . el el conjunto $\{t : \gamma_1(t) = 0\}$ está cerrado y no contiene $1$ ; sea $t^*$ su supremo, entonces $\gamma_1(t^*) = 0$ y $\gamma_1 > 0$ en $(t^*, 1]$ . Por continuidad de $\gamma_2$ en $t^*$ , elija $\delta$ con $\abs{\gamma_2(t) - \gamma_2(t^*)} < \tfrac12$ para $t \in [t^*, t^* + \delta]$ . Arreglar $t_0 = t^* + \delta$ (puede suponer $\leq 1$ ): $\gamma_1(t_0) > 0$ , y $\gamma_1$ toma todos los valores de $(0, \gamma_1(t_0)]$ en $[t^*, t_0]$ (teorema del valor intermedio, Teorema 6.20). Elija $k$ grande con $a_k = \frac1{\pi/2 + 2k\pi} < \gamma_1(t_0)$ y $b_k = \frac1{3\pi/2 + 2k\pi} < \gamma_1(t_0)$ : hay $s, s' \in (t^*, t_0]$ con $\gamma_1(s) = a_k$ , $\gamma_1(s') = b_k$ ; ya que los puntos se encuentran en el gráfico, $\gamma_2(s) = \sin(1/a_k) = 1$ y $\gamma_2(s') = -1$ . Ambos no pueden estar dentro de $\frac12$ de $\gamma_2(t^*)$ : contradicción. $S$ es conectado pero no conectado por camino.

Ejercicio 6.10 ★★★

Cantor establece los tercios medios $C = \bigcap_n C_n$ , donde $C_0 = [0,1]$ y $C_{n+1}$ eliminan el tercio medio abierto de cada uno. intervalo de $C_n$ . (a) Mostrar $C = \bigl\{\sum_{n\geq1} a_n3^{-n} : a_n \in \{0,2\}\bigr\}$ , y que $C$ es compacto, con interior vacío, y no tiene ningún punto aislado (perfecto). (b) Demuestre que $C$ está totalmente desconectado. (c) Demuestre que $x \mapsto (a_n(x))_n$ es un homeomorfismo $C \to \{0,2\}^\N$ (topología del producto en el modelo discreto de dos puntos). espacio); deduzca que $C$ es incontable, y que $C \times C \cong C$ .

Solución

Solución de Ejercicio 6.10.

(a) $C_n$ consiste exactamente en $x$ admitiendo un ternario expansión con dígitos en $\{0, 2\}$ hasta el rango $n$ (inducción: al eliminar los tercios medios se elimina el primer dígito $1$ , etc.; puntos finales tiene dos expansiones, una evitando $1$ ), por lo que $C = \bigcap C_n$ es el conjunto de sumas $\sum a_n3^{-n}$ , $a_n \in \{0,2\}$ . Compacto: cada $C_n$ es una unión finita de intervalos cerrados; $C$ está cerrado en $[0,1]$ . Vacío interior: $C \subseteq C_n$ , una unión de intervalos de longitud $3^{-n}$ ; un intervalo de longitud interior $\ell > 0$ cabría en uno de ellos para todos los $n$ . Perfecto: dado $x \in C$ y $m$ , voltee el dígito $a_m$ : el nuevo punto está en $C$ , distinta, dentro de $2\cdot3^{-m}$ de $x$ .

(b) Si $x \neq y \in C$ , sus expansiones primero difieren en algún rango $k$ ; entre ellos se encuentra un intervalo de tercio medio eliminado (la brecha en el rango $k$ que separa el dígito $0$ del dígito $2$ ), proporcionando un punto $c \notin C$ , $x < c < y$ (digamos): $C = (C \cap (-\infty, c)) \sqcup (C \cap (c, \infty))$ divide cualquier subconjunto que contiene ambos puntos. Los componentes son singletons.

(c) La aplicación de dígitos $\beta\colon x \mapsto (a_n(x))$ es un biyección sobre $\{0,2\}^\N$ (existencia y unicidad de $\{0,2\}$ -expansiones: secuencias de dígitos distintas dan puntos en distancia $\geq 3^{-k} > 0$ donde primero difieren, como en Problema 6.1, pregunta 1). Es continuo: $\abs{x - y} < 3^{-m}$ fuerza la concordancia de los primeros dígitos $m$ (mismo cálculo), por lo que $\beta$ asigna bolas pequeñas a base cajas. Una biyección continuo desde compacto $C$ hasta El producto Hausdorff es un homeomorfismo. (Corolario 6.14; el producto es Hausdorff: separados en una coordenada diferente). Incontabilidad: Cantor diagonal en $\{0,2\}^\N$ . Finalmente $\{0,2\}^\N \times \{0,2\}^\N \cong \{0,2\}^\N$ entrelazando dígitos (a homeomorfismo: continuidad por componentes en ambos sentidos), por lo que $C \times C \cong C$ .

Ejercicio 6.11 ★★★

Proyección estereográfica: desde el polo norte $N = (0, \dots, 0, 1)$ de $S^n \subseteq \R^{n+1}$ , la aplicación $\sigma(x) = \frac{(x_1, \dots, x_n)}{1 - x_{n+1}}$ es un homeomorfismo $S^n \setminus \{N\} \to \R^n$ (indicar explícitamente lo inverso). deducir que $S^n$ es homeomórfico al compactación en un punto $\widehat{\R^n}$ , y que quitando el punto cualquier de $S^n$ deja un espacio homeomórfico a $\R^n$ .

Solución

Solución de Ejercicio 6.11.

Para $y \in \R^n$ , establezca

\tau(y) = \Bigl(\frac{2y}{\norm y^2 + 1},\ \frac{\norm y^2 - 1}{\norm y^2 + 1}\Bigr) \in \R^n\times\R = \R^{n+1}.

Se marca $\norm{\tau(y)} = 1$ , $\tau(y) \neq N$ y $\sigma(\tau(y)) = y$ , $\tau(\sigma(x)) = x$ : $\sigma$ y $\tau$ son mutuamente inversas, ambas continuo (fórmulas racionales con denominadores que no desaparecen): $S^n\setminus\{N\} \cong \R^n$ . Ampliar a $\hat\sigma \colon S^n \to \widehat{\R^n}$ por $N \mapsto \infty$ : una biyección, continuo en cada punto de $S^n\setminus\{N\}$ , y en $N$ : un base entorno de $\infty$ es $\widehat{\R^n}\setminus K$ , $K$ compacto, $K \subseteq \bar B(0, R)$ ; desde $\norm{\sigma(x)}^2 = \frac{1 + x_{n+1}}{1 - x_{n+1}} \to \infty$ como $x_{n+1} \to 1$ , el conjunto $\{x \in S^n : x_{n+1} > 1 - \eta\}$ mapas fuera de $\bar B(0,R)$ para pequeño $\eta$ : continuidad. Una biyección continuo de la compacto $S^n$ al Hausdorff $\widehat{\R^n}$ es un homeomorfismo. Eliminando otro punto $p$ : una rotación de $S^n$ asigna $p$ a $N$ (las rotaciones son homeomorfismos), reduciendo al caso computado: $S^n \setminus \{p\} \cong \R^n$ .

Ejercicio 6.12 ★★★

(El curva sinusoidal del topólogo) Deja que

T = \bigl\{(x, \sin\tfrac1x) : 0 < x \leq 1\bigr\} \cup \bigl(\{0\}\times\intcc{-1}1\bigr) \subseteq \R^2 .

(a) Demuestre que $T$ es compacto y que es el cierre de la parte del gráfico. (b) Demuestre que $T$ es conectado (the graph is conectado as a continuo image; its cierre remains conectado). (c) Demuestre que $T$ es no conectado por camino: no continuo camino une $(0,0)$ a $(1, \sin1)$ . (If $\gamma = (\gamma_1, \gamma_2)$ is such a camino, let $t^* = \sup\{t : \gamma_1(t) = 0\}$ ; just after $t^*$ , $\gamma_1$ takes all small positive values (intermediate value theorem), so $\gamma_2$ oscillates between $\pm1$ on every interval $(t^*, t^* + \delta)$ — contradict continuidad at $t^*$ .) (d) Concluir que conexión de camino es estrictamente más fuerte que conectividad, y mostrar que tal ejemplo no puede ser abierto en $\R^n$ : un subconjunto abierto conectado de $\R^n$ es conectado por camino (the set of points joinable to a base point by a camino is open and closed in the domain).

Solución

Solución de Ejercicio 6.12.

(a) $T$ está acotado y cerrado: un límite de puntos de $T$ con abscisas $\to x_0 > 0$ permanece en (localmente cerrado) gráfico de continuidad de $\sin\frac1x$ en $\intoc01$ ; un limite con abscisas $\to 0$ tiene ordenada en $\intcc{-1}1$ , por lo tanto se encuentra en el segmento. Compacto de Heine–Borel (Corolario 6.17). Cierre del gráfico $\Gamma$ : cada punto $(0, y)$ , $y \in \intcc{-1}1$ , es un límite de puntos del gráfico — resolver $\sin\frac1x = y$ cerca de $0$ (la función barre $\intcc{-1}1$ en cada intervalo $[\frac1{(k+1)\pi}, \frac1{k\pi}]$ ): $\bar\Gamma = T$ .

(b) $\Gamma$ es la imagen continuo del conectado $\intoc01$ bajo $x \mapsto (x, \sin\frac1x)$ : conectado; y el cierre de un conjunto conectado es conectado (Teorema 6.20): $T = \bar\Gamma$ es conectado.

(c) Supongamos que $\gamma\colon\intcc01\to T$ es continuo con $\gamma(0) = (0,0)$ , $\gamma(1) = (1, \sin1)$ y $t^* = \sup\{t : \gamma_1(t) = 0\}$ : por continuidad $\gamma_1(t^*) = 0$ y $\gamma_1 > 0$ en $\intoc{t^*}1$ . por cada $\delta > 0$ , el intervalo $\intoc{t^*}{t^*+\delta}$ tiene $\gamma_1$ tomando todos los valores en algunos $\intoc0\eta$ (teorema del valor intermedio, $\gamma_1(t^* + \delta) > 0$ ); en particular contiene abscisas de la forma $\frac1{\pi/2 + 2k\pi}$ y $\frac1{-\pi/2 + 2k\pi}$ para $k$ arbitrariamente grande, en el que $\gamma_2 = \pm1$ . Así sucesivamente cada barrio derecho de $t^*$ , $\gamma_2$ toma ambos valores $1$ y $-1$ : $\gamma_2$ no tiene límite en $t^{*+}$ , contradiciendo continuidad. No existe camino.

(d) $T$ es conectado pero no conectado por camino: las dos nociones difieren. Para abierto $U \subseteq \R^n$ conectado y $a \in U$ , sea $V$ el conjunto de puntos de $U$ unibles a $a$ mediante un camino en $U$ . $V$ está abierto: alrededor de $x \in V$ una bola $B(x, r) \subseteq U$ tiene forma de estrella, y concatenando la camino con la $x$ con un segmento llega a cada punto de la pelota. $V$ es cerrado en $U$ : si $x \in U \setminus V$ , la misma bola El argumento muestra $B(x, r) \cap V = \varnothing$ (un punto de $V$ en el balón uniría $a$ con $x$ ). No vacío ( $a \in V$ ), abierto y cerrado en el conectado $U$ : $V = U$ . el seno La curva evade esto al cerrarse con interior vacío: su El punto “malo” $(0,0)$ no tiene bola dentro de $T$ para salvar el oscilaciones.

6.6 Problema: el conjunto de Cantor y una curva que llena el espacio

Problema 6.1

Problema del fin de semana — Las curvas de Peano existen y por qué no son homeomorfismos

En 1890 Peano sorprendió al análisis con un continuo surjection $[0,1] \to [0,1]^2$ : una curva que llena un cuadrado. Nosotros construye uno con las manos desnudas del set Cantor $C$ de Ejercicio 6.10 (cuyos resultados podrán ser utilizados libremente), y luego demostrar que tal aplicación no puede ser inyectiva: los cuadrados son no curvas. En todo momento, los elementos de $C$ se escriben $x = \sum_{n \geq 1} \frac{2b_n(x)}{3^n}$ con dígitos $b_n(x) \in \{0, 1\}$ .

Parte I — Reading off digits continuamente.

Demuestre que si $x, y \in C$ satisface $\abs{x - y} < 3^{-m}$ , entonces $b_n(x) = b_n(y)$ para todos los $n \leq m$ . (If the first differing digit is $b_k$ , then $\abs{x - y} \geq \frac{2}{3^k} - \sum_{j>k}\frac2{3^j} = \frac1{3^k}$ .)
Deduzca que cada función de dígito $b_n \colon C \to \{0, 1\}$ es continuo y vuelva a derivar el homeomorfismo $C \cong \{0,1\}^\N$ de Ejercicio 6.10(c).

Parte II — A continuo surjection $C \to [0,1]^2$ .

Defina $g \colon C \to [0,1]$ por $g(x) = \sum_{n\geq1} b_n(x)\,2^{-n}$ (lea los dígitos de Cantor como binarios). Demuestre que $g$ es continuo (use la pregunta 1) y sobreyectivo. ¿Es inyectivo?
Definir $\Phi \colon C \to [0,1]^2$ por

$\Phi(x) = \Bigl(\ \sum_{n\geq1} b_{2n-1}(x)\,2^{-n},\ \sum_{n\geq1} b_{2n}(x)\,2^{-n}\ \Bigr)$

(Los dígitos impares dan la abscisa, los dígitos pares la ordenada). Demuestre que $\Phi$ es continuo y sobreyectivo.

Parte III — Filling the gaps: the Peano curve.

El complemento $[0,1] \setminus C$ es una unión contable de intervalos abiertos disjuntos $(u, v)$ (el medio eliminado tercios) cuyos puntos finales se encuentran en $C$ . Defina $f \colon [0,1] \to [0,1]^2$ por $f = \Phi$ en $C$ , extendido afinmente en cada espacio:

$f(t) = \frac{v - t}{v - u}\,\Phi(u) + \frac{t - u}{v - u}\,\Phi(v), \qquad t \in (u, v).$

Demuestre que $f$ está bien definido y es sobreyectivo sobre $[0,1]^2$ .
Demuestre que $f$ es continuo en cada punto de $[0,1] \setminus C$ (localmente afín), y en cada punto de $C$ : dado $\varepsilon$ , elija $m$ con $2^{-m} < \varepsilon/2$ y use la pregunta 1 para controlar $\Phi$ en $C$ cerca de $x$ , luego verifique que el afín la interpolación no puede escapar: en un hueco $(u,v) \subseteq (x - 3^{-m}, x + 3^{-m})$ , los valores $f(t)$ se encuentran en el segmento $[\Phi(u), \Phi(v)]$ , ambos extremos cerca de $\Phi(x)$ . Concluir: $f$ es un continuo surjection $[0,1] \to [0,1]^2$ .
Deducir continuo sobrejecciones $[0,1] \to [0,1]^n$ para cada $n \geq 2$ y $\R \to \R^2$ .

Parte IV — But never injective.

Mostrar que un continuo inyección $f \colon [0,1] \to [0,1]^2$ sería un homeomorfismo en su imagen (Corolario 6.14).
Demuestre que $[0,1]$ y $[0,1]^2$ no son homeomórfico: eliminar un punto bien elegido y comparar conectividad (Método 6.25).
Conclusión: una sobreyección continuo $[0,1] \to [0,1]^2$ nunca puede ser inyectivo — uno inyectivo haría $[0,1]^2 = f([0,1])$ homeomórfico a $[0,1]$ por pregunta 8, contradiciendo la pregunta 9. ¿Dónde exactamente ¿La compacidad de $[0,1]$ ingresa el argumento?
(Culminación) Armar la moraleja: hay un continuo sobreyección pero no continuo biyección $[0,1] \to [0,1]^2$ . ¿Qué dice esto acerca de la "dimensión" como topológico noción? Formule precisamente un teorema demostrado en este problema y una afirmación plausible de que permanece más allá de nuestras herramientas (invariancia de dominio).

Part V — The arithmetic of the Cantor set.

Demuestre que $C + C = [0, 2]$ : dado $t \in [0, 1]$ , escriba $t = \sum_n d_n3^{-n}$ con dígitos $d_n \in \{0, 1, 2\}$ y divida cada dígito como $d_n = a_n + b_n$ con $a_n, b_n \in \{0, 1\}$ ; Concluya que $\frac C2 + \frac C2 = [0, 1]$ (which subset of $[0,1]$ is $\frac C2$ , in terms of ternary digits?) y luego cambie la escala. Nunca se necesitan acarreos. Diga por qué este es el quid.
Interpretar geométricamente: el “polvo de Cantor” $C \times C \subseteq \R^2$ , de vacío interior, arroja un Sombra lleno en diagonal: la proyección $(x, y) \mapsto x + y$ la asigna a $[0, 2]$ . también grabar la autosimilitud $C = \frac C3 \cup \bigl(\frac C3 + \frac23\bigr)$ , la ecuación detrás de cada imagen de $C$ .
Demuestre que el entrelazado de dígitos define un homeomorfismo $C \to C \times C$ y deduzca $C \cong C^n$ para cada $n$ — el conjunto de Cantor es su propio cuadrado, cubo, … ¿Qué espacios familiares comparten esta propiedad?
Muestra que $\frac14 \in C$ (compute its ternary expansion: $\frac14 = \sum_{k\geq1} 2\cdot3^{-2k}$ ) aunque $\frac14$ es un punto final no eliminado intervalo; deducir — contando puntos finales — que Los puntos finales forman un subconjunto contable y adecuado de $C$ .
Demuestre que la aplicación de lectura binaria $g$ de la pregunta 3 es como máximo $2$ a $1$ , y describa exactamente qué puntos de $[0,1]$ tienen dos preimágenes. ( $g$ colapsa $C$ sobre $[0,1]$ pegando un número contable de pares: el La sombra combinatoria de la escalera de Cantor se reencontró en Capítulo 9.)

Part VI — Perfecto compacto sets: Cantor everywhere. Un espacio métrico compacto no vacío $P$ es perfecto si no tiene punto aislado.

Sea $P$ perfecto compacto y sea $x \in P$ , $r > 0$ . Demuestre que la bola $B(x, r)$ contiene dos puntos $y_0 \neq y_1$ de $P$ y, por tanto, dos desarticular cerrados. bolas $\bar B(y_0, \rho)$ , $\bar B(y_1, \rho)$ dentro $B(x, r)$ , centrado en puntos de $P$ , de radio $\rho \leq r/4$ tan pequeño como se desee. Explica por qué la perfección (sin puntos aislados) es exactamente lo que permite esto la división se repetirá dentro de cada de los dos bolas nuevas.
Iterar: construir conjuntos cerrados $F_w \neq \varnothing$ indexado por palabras binarias finitas $w$ , con $F_{w0}, F_{w1} \subseteq F_w$ disjunto y $\operatorname{diam}F_w \leq 2^{-\abs w} \operatorname{diam}P$ . Demuestra que por cada infinito palabra $\varepsilon \in \{0,1\}^\N$ la intersección $\bigcap_mF_{\varepsilon_1\cdots\varepsilon_m}$ es un punto único $h(\varepsilon)$ (finite intersection property of the compacto $P$ ).
Demuestre que $h\colon\{0,1\}^\N \to P$ es inyectivo y continuo, y concluye: every perfecto compacto metric space is uncountable — de hecho de cardinalidad al menos el de $\{0,1\}^\N$ . Recuperar: $[0,1]$ y $C$ son incontables.
Muestra que $h$ es un homeomorfismo en su imagen. (continuo injection from a compacto, Corolario 6.14): cada perfecto El espacio métrico compacto contiene una copia homeomórfico de el conjunto de Cantor. El conjunto de Cantor no es una rareza, sino el germen universal de perfección compacto.
Deduzca que todo espacio métrico compacto contable tiene un punto aislado, y exhibir uno donde el aislado los puntos son denso pero no todo: $K = \{0\} \cup \{\frac1n : n \geq 1\}$ .
(Cantor–Bendixson para $\R$ ) Sea $F \subseteq \R$ cerrado. Llame a $x$ a punto de condensación de $F$ si cada entorno de $x$ se encuentra con $F$ incontablemente. Mostrar que los puntos de condensación de un incontable cerrado $F$ forma un conjunto cerrado perfecto no vacío $P$ , y $F \setminus P$ es (cubrir el puntos de no condensación por un número contable de puntos racionales intervalos que cumplen $F$ contablemente) contable. Concluye: cada El subconjunto cerrado de $\R$ es contable o tiene la cardinalidad del continuo — el continuo La hipótesis es válida para conjuntos cerrados.

Part VII — Codas: how regular, and how far from perfecto.

(regularidad de Hölder de la curva) Configure $\alpha = \frac{\ln 2}{2\ln 3} \approx 0.3155$ y observe la identidad $3^\alpha = \sqrt2$ . Usando la pregunta 1, muestre eso

$\norm{\Phi(x) - \Phi(y)}_\infty \leq 2\,\abs{x - y}^\alpha \qquad (x, y \in C),$

luego propagar la estimación a través de las brechas afines: demuestre que la curva de Peano $f$ de la pregunta 6 satisface $\norm{f(t) - f(s)}_\infty \leq 6\abs{t - s}^\alpha$ en todo $[0,1]$ (treat a pair in the same gap by interpolation, then a general pair by passing through the extreme points of $C \cap [t, s]$ ).
(El exponente $\frac12$ es un muro) Demuestre que no la sobreyección $F \colon [0,1] \to [0,1]^2$ puede ser $\alpha$ -Hölder con $\alpha > \frac12$ : corte $[0,1]$ en intervalos $N$ , unieron los diámetros de sus imágenes y contar los puntos de la cuadrícula. $\bigl(\frac iM, \frac jM\bigr)$ , $0 \leq i, j \leq M$ , que puede contener un conjunto de diámetro $< \frac1M$ ; elegir $M$ del pedido $N^\alpha$ y deja $N \to \infty$ . localizar nuestra curva ( $\alpha \approx 0.3155$ ) relativa a la pared, y registrar sin pruebas que la curva de Hilbert alcanza el exponente crítico $\frac12$ .
(Conjuntos derivados: medición de imperfecciones) Para $F$ cerrado en $\R$ , sea $F'$ el conjunto de puntos límite de $F$ (un subconjunto cerrado) e iterar: $F^{(0)} = F$ , $F^{(i+1)} = (F^{(i)})'$ . verificar que

$K = \{0\} \cup \Bigl\{\frac1m\Bigr\}_{m \geq 1} \cup \Bigl\{\frac1m + \frac1n : m \geq 1,\ n > m^2\Bigr\}$

es un conjunto contable compacto con $K' = \{0\} \cup \{\frac1m\}$ , $K'' = \{0\}$ , $K''' = \varnothing$ (check that the $m$ -th cluster lives in the interval $(\frac1m, \frac1{m-1})$ , so the clusters do not interleave), y que sus puntos aislados son denso en $K$ , como predice la pregunta 21. Describe el inducción produciendo, por cada $j$ , un compacto contable $K_j$ con $K_j^{(j)} = \{0\}$ y $K_j^{(j+1)} = \varnothing$ , y contrastan con los conjuntos perfecto de pregunta 22, para la cual la derivación nunca se mueve: El rango finito es exactamente lo opuesto a la perfección.

Solución

Solución de Problema 6.1.

1. Supongamos que las expansiones de $x, y \in C$ difieren primero en el rango $k \leq m$ , digamos $b_k(x) = 1$ , $b_k(y) = 0$ . entonces

x - y \;\geq\; \frac{2}{3^k} - \sum_{j > k}\frac{2}{3^j} = \frac{2}{3^k} - \frac{1}{3^k} = \frac1{3^k} \geq \frac1{3^m}:

contrapositivo: $\abs{x - y} < 3^{-m}$ fuerza el acuerdo hasta rango $m$ .

2. Según la pregunta 1, $b_n$ es constante en $C \cap (x - 3^{-n}, x + 3^{-n})$ : localmente constante, por lo tanto continuo. el mapa $x \mapsto (b_n(x))_n \in \{0,1\}^\N$ es continuo (por componentes, Proposición 6.10(a)) y biyectivo (expansiones únicas de dígitos $\{0,2\}$ ); del compacto $C$ a un espacio hausdorff, es un homeomorfismo (Corolario 6.14).

3. Continuidad: si $\abs{x - y} < 3^{-m}$ , el primero Los dígitos $m$ concuerdan, por lo que $\abs{g(x) - g(y)} \leq \sum_{n > m}2^{-n} = 2^{-m}$ . Suryectividad: cada $t \in [0,1]$ tiene un binario expansión $t = \sum b_n2^{-n}$ y $t = g\bigl(\sum 2b_n3^{-n}\bigr)$ . No inyectivo: $g$ identifica los dos Cantor puntos con dígitos $(0,1,1,1,\dots)$ y $(1,0,0,\dots)$ — ambos se asignan a $\frac12$ (la ambigüedad diádica $0.0111\ldots_2 = 0.1000\ldots_2$ ).

4. Cada componente de $\Phi$ es continuo por el mismo estimación (sus dígitos son una subsecuencia del $b_n$ ). Suryectividad: dado $(s, t) \in [0,1]^2$ , elija dígitos binarios $(c_n)$ de $s$ y $(d_n)$ de $t$ , e intercalado: el punto $x \in C$ con $b_{2n-1}(x) = c_n$ , $b_{2n}(x) = d_n$ satisface $\Phi(x) = (s,t)$ .

5. Los espacios están separados por pares de los puntos finales en $C$ , por lo que la fórmula define $f$ sin ambigüedades en $[0,1]$ ; en los puntos finales de una brecha la fórmula afín devuelve $\Phi(u)$ , $\Phi(v)$ : consistente con $f = \Phi$ en $C$ . Surjetividad: ya $f(C) = \Phi(C) = [0,1]^2$ .

6. En $t_0 \notin C$ : $t_0$ se encuentra en una brecha abierta en cual $f$ es afín: continuo. En $x \in C$ : grabamos por primera vez dos estimaciones.

(i) On $C$ : si $\abs{y - x} \leq 3^{-M}$ , $y \in C$ , entonces los dígitos coinciden hasta $M$ , por lo que cada componente de $\Phi(y) - \Phi(x)$ es como máximo $\sum_{n > \lfloor M/2\rfloor} 2^{-n} = 2^{-\lfloor M/2\rfloor}$ .

(ii) A través de una brecha: se eliminó un espacio $(u,v)$ en la etapa $k$ tiene una longitud $3^{-k}$ y sus puntos finales tienen dígitos que coinciden para clasificar $k - 1$ (se diferencian del rango $k$ en adelante), por lo que $\norm{\Phi(v) - \Phi(u)}_\infty \leq 2^{-\lfloor (k-1)/2\rfloor}$ .

Ahora deje $\abs{t - x} < 3^{-M}$ con $t$ en un espacio $(u, v)$ de etapa $k$ , y digamos que $u$ es el punto final en el lado de $x$ , por lo que $\abs{u - x} < 3^{-M}$ y $0 < t - u < 3^{-M}$ . entonces

\norm{f(t) - \Phi(x)}_\infty \leq \norm{\Phi(u) - \Phi(x)}_\infty + \frac{t - u}{v - u}\,\norm{\Phi(v) - \Phi(u)}_\infty \leq 2^{-\lfloor M/2\rfloor} + \min\bigl(1,\ 3^{k - M}\bigr)\, 2^{-\lfloor(k-1)/2\rfloor} .

Para $k \geq M$ el último término es $\leq 2^{-\lfloor(M-1)/2 \rfloor}$ ; para $k < M$ , desde $2^{-\lfloor(k-1)/2\rfloor} \leq \sqrt2\,\cdot 2^{-k/2}$ ,

3^{k-M}\,2^{-\lfloor(k-1)/2\rfloor} \leq \sqrt2\,\Bigl(\frac{3}{\sqrt2}\Bigr)^{k} 3^{-M} \leq \sqrt2\,\Bigl(\frac{3}{\sqrt2}\Bigr)^{M} 3^{-M} = \sqrt2\; 2^{-M/2}

(la cantidad del medio aumenta en $k$ ). en todos los casos $\norm{f(t) - \Phi(x)}_\infty \leq C\,2^{-M/2}$ con una constante absoluta $C$ : dejando que $M \to \infty$ pruebe continuidad en $x$ (los puntos $t \in C$ están cubiertos por (i)). Por lo tanto $f$ es una sobreyección continuo $[0,1] \to [0,1]^2$ — de hecho las estimaciones muestran que es Hölder mayor del exponente $\log 2/(2\log 3)$ -sabor, pero continuidad es todo lo que afirmamos.

7. Para $[0,1]^n$ : divida los dígitos de $x \in C$ en $n$ subsecuencias entrelazadas y preguntas repetidas 4–6 palabra por palabra. Para $\R \to \R^2$ : deja que $h \colon [0,1] \to [-1,1]^2$ ser una sobreyección continuo (reescalar $f$ ). Defina $F$ en $[m, m + \frac12]$ ( $m \in \Z$ ) como una copia de $h$ reescalada para completar $[-(m+1), m+1]^2$ para $m \geq 0$ (y simétricamente para $m < 0$ ), y en $[m + \frac12, m + 1]$ como segmento afín uniendo los valores del punto final: $F$ es continuo (pegando piezas cerradas, Proposición 6.6(b)) y su imagen contiene $\bigcup_m [-(m+1), m+1]^2 = \R^2$ .

8. $[0,1]$ es compacto y $[0,1]^2$ Hausdorff: a La inyección continuo es homeomorfismo en su imagen. (Corolario 6.14 aplicado a la correstricción).

9. Eliminar $\frac12$ : $[0,1]\setminus\{\frac12\}$ es desconectado. Si $h \colon [0,1] \to [0,1]^2$ fuera un homeomorfismo, $[0,1]^2\setminus\{h(\frac12)\}$ serían desconectado también (homeomórfico imágenes de espacios desconectados están desconectados); pero el cuadrado menos un punto es conectado por camino: unir dos puntos mediante un segmento de dos camino evitando el pinchazo. Contradicción: $[0,1] \not\cong [0,1]^2$ .

10. Por la pregunta 8, una sobreyección inyectiva continuo $[0,1] \to [0,1]^2$ sería un homeomorfismo, contradiciendo pregunta 9. La compacidad entró exactamente en Corolario 6.14: es lo que hace el continuo inversa de biyección continuo (imágenes de biyección cerrada los conjuntos son compacto, por lo tanto cerrados). Sin compacidad el la conclusión realmente falla: $[0, 2\pi) \to S^1$ es un continuo biyección que no es homeomorfismo.

11. Probado aquí: there is a continuo surjection, but no continuo bijection, from $[0,1]$ onto $[0,1]^2$ ; in particular $[0,1] \not\cong [0,1]^2$ . Entonces Las sobreyecciones continuo no conservan la “dimensión” — cardinalidad e incluso continuidad no puede verlo — pero is un invariante topológico al nivel de homeomorfismos, al menos para las dimensiones $1$ versus $2$ , donde la conexión después de la eliminación es suficiente. la declaración general — invariancia de dominio: $\R^m \cong \R^n$ implica $m = n$ , y una inyección continuo $\R^n \to \R^n$ está abierta — es cierto pero requiere algebraico topología (homología), más allá este curso.

12. En ternario, $\frac C2 = \{\sum_na_n3^{-n} : a_n \in \{0, 1\}\}$ (reducir a la mitad los dígitos $\{0,2\}$ da dígitos $\{0,1\}$ ). Para $t \in [0,1]$ , elija cualquier expansión ternaria $t = \sum_nd_n3^{-n}$ , $d_n \in \{0,1,2\}$ y divida cada dígito como $d_n = a_n + b_n$ con $a_n, b_n \in \{0,1\}$ ( $0 = 0{+}0$ , $1 = 1{+}0$ , $2 = 1{+}1$ ): luego $t \in \frac C2 + \frac C2$ . El quid de la cuestión es que cada dígito se divide dentro $\{0,1\}$ , por lo que nunca se propaga ningún acarreo y los dígitos se pueden tratar de forma independiente. La inclusión inversa es clara (las sumas de los dígitos permanecen $\leq 2$ ). Cambio de escala por $2$ : $C + C = [0,2]$ .

13. La aplicación $(x, y) \mapsto x + y$ envía $C \times C$ sobre $C + C = [0,2]$ : el polvo, que no contiene ningún cuadrado (vacío interior: Ejercicio 6.10), proyectos a lo largo la antidiagonal en un segmento completo. Autosimilitud: la El primer dígito ternario de un punto de Cantor es $0$ o $2$ , y al eliminarlo se obtiene $C = \frac C3 \cup \bigl(\frac C3 + \frac23\bigr)$ — la ecuación de punto fijo que genera cada imagen de $C$ .

14. hasta $C \cong \{0,1\}^\N$ (pregunta 2), el entrelazado $(\varepsilon, \varepsilon') \mapsto (\varepsilon_1, \varepsilon_1', \varepsilon_2, \varepsilon_2', \dots)$ es una biyección $\{0,1\}^\N\times\{0,1\}^\N \to \{0,1\}^\N$ , continuo ambos maneras (cada coordenada de salida depende de una única entrada coordinar; topología del producto). Por lo tanto $C\times C \cong C$ y inductivamente $C^n \cong C$ . Los espacios familiares no comparten esto: $\R^2 \not\cong \R$ y $[0,1]^2 \not\cong [0,1]$ (pregunta 11); infinitos productos lo hacen: $([0,1]^\N)^2 \cong [0,1]^\N$ por el mismo entrelazado.

15. $\sum_{k\geq1}2\cdot3^{-2k} = 2\cdot\frac{1/9}{1 - 1/9} = \frac14$ : la expansión ternaria de $\frac14$ es $0.\overline{02}$ , con dígitos en $\{0,2\}$ , por lo que $\frac14 \in C$ ; no siendo ni una expansión finita ni una eventual- $2$ cola, es un punto final del tercio medio no eliminado. Puntos finales formar un conjunto contable (dos por intervalo eliminado, contablemente muchos intervalos), mientras que $C \cong \{0,1\}^\N$ es incontable (argumento diagonal, o pregunta 19): casi todos los Cantor El punto es, como $\frac14$ , invisible en el punto final habitual. imagen.

16. $g(x) = g(y)$ significa que las secuencias binarias $(b_n(x))$ , $(b_n(y))$ representan el mismo real. Distinto Las secuencias binarias que representan el mismo número ocurren exactamente en la ambigüedad diádica $0.w01^\infty = 0.w10^\infty$ : como máximo dos preimágenes, y exactamente dos precisamente en el diádico racionales de $(0,1)$ . Entonces $g$ colapsa $C$ en $[0,1]$ por pegar innumerables pares — el esqueleto combinatorio de la escalera Cantor de Capítulo 9.

17. $x$ no está aislado en $P$ , por lo que $B(x, r/2)$ contiene algo de $y_0 \in P \setminus \{x\}$ ; $y_0$ no es tampoco está aislado, por lo que $B(x, r/2)$ contiene un segundo punto $y_1 \in P$ . Cualquier $\rho \leq \min\bigl(\frac{d(y_0,y_1)}3, \frac r4\bigr)$ hace que $\bar B(y_0, \rho)$ y $\bar B(y_1, \rho)$ sean disjuntos y estén contenidos en $B(x, r)$ . ambos estan centrados en los puntos de $P$ , donde se puede realizar la misma extracción de dos puntos Se repite: la perfección es la provisión inagotable de lo cercano. puntos que mantienen viva la recursividad para siempre.

18. Construya $F_w$ por inducción de la longitud de la palabra: $F_\varnothing = P$ , y dentro de cada bola $B(y_w, \rho_w)$ La pregunta 17 produce dos bolas cerradas separadas de radio $\leq \min(\rho_w/2,\ 2^{-\abs w-1}\operatorname{diam}P)$ centradas. en los puntos de $P$ ; establezca $F_{wi} = \bar B(y_{wi}, \rho_{wi}) \cap P$ : no vacío (es centro) y compacto. por infinito $\varepsilon$ , el compactos anidado y no vacío $F_{\varepsilon_1\cdots\varepsilon_m}$ no está vacío intersección (propiedad de intersección finita en el compacto $P$ ), de diámetro $0$ : un solo punto $h(\varepsilon)$ .

19. Las palabras que difieren primero en el rango $m$ envían su imágenes en los dos conjuntos desarticular $F_{w0}, F_{w1}$ (prefijo común $w$ ): $h$ es inyectivo. Si dos palabras concuerdan rango $m$ , ambas imágenes se encuentran en un conjunto de diámetro $\leq 2^{-m}\operatorname{diam}P$ : $h$ es continuo. Entonces el incontables $\{0,1\}^\N$ se inyectan en $P$ : cada perfecto El espacio métrico compacto es incontable — $[0,1]$ y $C$ entre ellos.

20. $h$ es una inyección continuo de compacto $\{0,1\}^\N$ al Hausdorff (métrico) $P$ : Corolario 6.14 lo actualiza a un homeomorfismo en su imagen; y $\{0,1\}^\N \cong C$ (pregunta 2). Cada espacio métrico perfecto compacto contiene un copia del conjunto de Cantor: la perfección tiene un germen universal, y es de Cantor.

21. No se puede crear un espacio métrico compacto contable. perfecto (pregunta 19), por lo que tiene un punto aislado. En $K = \{0\}\cup\{\frac1n : n \geq 1\}$ cada punto $\frac1n$ es aislado y $0$ no lo está: los puntos aislados pueden incluso ser denso sin que el espacio sea discreto — la compacidad mantiene su límite interior.

22. Sea $P$ el conjunto de puntos de condensación de $F$ y $\mathcal B$ la familia contable de intervalos abiertos con puntos finales racionales. Cada punto de no condensación de $F$ se encuentra en algunos $I \in \mathcal B$ con $I \cap F$ contables, por lo que $F \setminus P$ está contenido en la unión de estos contablemente muchas huellas contables: contables. Dado que $F$ es incontable, $P \neq \varnothing$ ; $P$ está cerrado (si $x \notin P$ , el El intervalo de observación $I$ no contiene ningún punto de condensación en todos: $I \cap F$ contables) y $P \subseteq F$ ( $F$ cerrado: un punto de condensación es especialmente adherente). $P$ es perfecto: fueron $I \cap P = \{x\}$ durante algún intervalo $I$ , luego $I \cap F \subseteq \{x\} \cup (F \setminus P)$ sería contable, contradiciendo $x \in P$ . Ahora la construcción del árbol. de las preguntas 17–19 corre textualmente dentro de $P$ : las piezas $\bar B(y, \rho) \cap P$ son compacto (subconjuntos acotados cerrados de $\R$ ), cada centro no está aislado en $P$ , y el El argumento nunca se usó más. Por lo tanto, $\abs P \geq \abs{\{0,1\}^\N} = \mathfrak c$ y $\abs F \leq \mathfrak c$ son triviales: un $F \subseteq \R$ cerrado incontable tiene cardinalidad exactamente $\mathfrak c$ . Los conjuntos cerrados no pueden presenciamos un fracaso de la hipótesis del continuo.

23. Deje $x \neq y$ en $C$ y elija $m \geq 0$ con $3^{-(m+1)} \leq \abs{x - y} < 3^{-m}$ . Por la pregunta 1 la los dígitos $b_n(x) = b_n(y)$ coinciden con $n \leq m$ ; el primero La coordenada de $\Phi$ usa $b_1, b_3, \dots$ , la segunda $b_2, b_4, \dots$ , por lo que en cada coordenada los dos puntos comparten en menos $\lfloor m/2\rfloor$ dígitos binarios iniciales:

\norm{\Phi(x) - \Phi(y)}_\infty \leq \sum_{k > \lfloor m/2\rfloor}2^{-k} = 2^{-\lfloor m/2\rfloor} \leq \sqrt2\cdot2^{-m/2} = \sqrt2\,\bigl(3^{-m}\bigr)^\alpha \leq \sqrt2\,\bigl(3\abs{x-y}\bigr)^\alpha,

usando $2^{-m/2} = 3^{-m\alpha}$ (tomar logaritmos); y $\sqrt2\cdot3^\alpha = \sqrt2\cdot\sqrt2 = 2$ : el atado $2\abs{x-y}^\alpha$ en $C$ . Misma brecha $(u, v)$ : $f$ es afín allí, entonces para $t, s \in [u, v]$ ,

\norm{f(t) - f(s)} = \frac{\abs{t-s}}{v-u}\, \norm{\Phi(v) - \Phi(u)} \leq \frac{\abs{t-s}}{v-u}\,2(v-u)^\alpha \leq 2\abs{t-s}^\alpha,

desde $\frac{\abs{t-s}}{v-u} \leq \bigl(\frac{\abs{t-s}} {v-u}\bigr)^\alpha$ cuando $\abs{t-s} \leq v - u$ . General $t < s$ : si $[t, s]$ cumple con $C$ , sean $u'$ y $v'$ los más pequeños y puntos más grandes del compacto $C \cap [t, s]$ ; entonces $t$ se encuentra en un espacio (o en un punto de $C$ ) cuyo extremo derecho es $u'$ , $s$ en uno con punto final izquierdo $v'$ y

\norm{f(t) - f(s)} \leq 2\abs{t - u'}^\alpha + 2\abs{v' - u'}^\alpha + 2\abs{s - v'}^\alpha \leq 6\abs{t - s}^\alpha ;

si $[t, s]$ omite $C$ , se aplica el mismo caso de brecha. Entonces $f$ es $\alpha$ -Hölder con $\alpha = \frac{\ln2}{2\ln3}$ .

24. Supongamos $\norm{F(t) - F(s)} \leq C\abs{t-s}^\alpha$ con $F$ sobreyectiva y $\alpha > \frac12$ . Corte $[0,1]$ en intervalos $N$ $I_1, \dots, I_N$ de longitud $\frac1N$ : cada imagen $F(I_j)$ tiene diámetro $\leq CN^{-\alpha}$ . Dos puntos distintos de la cuadrícula $G_M = \bigl\{\bigl(\frac iM, \frac jM\bigr)\bigr\}_{0 \leq i, j \leq M}$ están a la distancia $\geq \frac1M$ , por lo que un conjunto de diámetro $< \frac1M$ contiene como máximo uno de ellos. Elija $M = \lfloor N^\alpha/(2C)\rfloor$ (con $N$ grande): luego $CN^{-\alpha} \leq \frac1{2M} < \frac1M$ y sobreyectividad coloca cada uno de los puntos de la cuadrícula $(M+1)^2$ en algún $F(I_j)$ , de donde

\frac{N^{2\alpha}}{4C^2} \leq (M + 1)^2 \leq N,

y $N^{2\alpha - 1} \leq 4C^2$ falla para $N$ grande cuando $2\alpha > 1$ : contradicción. Nuestra curva, con $\alpha \approx 0.3155$ , se asienta debajo de la pared, como debe ser; curva de hilbert (admitido) es $\frac12$ -Hölder, por lo que el exponente crítico Se alcanza $\frac12$ — Hölder mayor regularidad, a diferencia inyectividad, es una cuestión de grado, y $\frac12$ es exactamente la frontera que la dimensión $2$ impone en una aplicación desde dimensión $1$ .

25. El grupo $m$ $\{\frac1m + \frac1n : n > m^2\}$ se encuentra en $\bigl(\frac1m, \frac1m + \frac1{m^2}\bigr] \subseteq \bigl(\frac1m, \frac1{m-1}\bigr)$ para $m \geq 2$ , porque $\frac1{m-1} - \frac1m = \frac1{m(m-1)} > \frac1{m^2}$ (y el primer grupo se encuentra en $(1, \frac32]$ ): los grupos ocupan intervalos disjuntos. Puntos límite de $K$ : dentro del intervalo $m$ , solo $\frac1m$ (el clúster converge a él y es discreto en sí mismo); a nivel mundial, $0$ (cada entorno de $0$ contiene grupos completos). Entonces $K' = \{0\} \cup \{\frac1m\}$ , luego $K'' = \{0\}$ (cada $\frac1m$ está aislado en $K'$ ), $K''' = \varnothing$ ; $K$ contiene su puntos límite, por lo tanto es cerrado, acotado, contable, compacto, y sus puntos aislados — los puntos del grupo $\frac1m + \frac1n$ — son denso en $K$ : cada elemento de $K'$ es su límite, como predice el mecanismo de la pregunta 21. Inducción: $K_1 = \{0\}\cup\{\frac1n\}$ tiene $K_1^{(1)} = \{0\}$ ; dado un compacto $K_j \subseteq [0, 1]$ con $K_j^{(j)} = \{0\}$ y $K_j^{(j+1)} = \varnothing$ , establezca

K_{j+1} = \{0\} \cup \bigcup_{m \geq 1} \Bigl(\frac1m + \varepsilon_m K_j\Bigr),

con $\varepsilon_m$ lo suficientemente pequeño como para que quede la copia $m$ en $\bigl(\frac1m, \frac1{m-1}\bigr)$ . Copia de actos de derivación por copia (las copias viven en intervalos abiertos separados), por lo que $K_{j+1}^{(i)} = \{0\} \cup \bigcup_m\bigl(\frac1m + \varepsilon_mK_j^{(i)}\bigr)$ para $i \leq j$ ; en $i = j$ esto lee $\{0\} \cup \{\frac1m\}$ , luego $K_{j+1}^{(j+1)} = \{0\}$ y $K_{j+1}^{(j+2)} = \varnothing$ . Cada rango finito ocurre. Un conjunto perfecto es el otro extremo: $P' = P$ , el la derivación nunca se mueve — y Cantor–Bendixson (pregunta 22) dice precisamente que todo conjunto cerrado se divide en un Núcleo perfecto, invisible para la derivación y contable. resto que la derivación corroe.