Matemáticas universitarias — Grado 3 · Bachelor Year 3

6Topología general

El volumen de segundo año hizo análisis en espacios métricos: distancias, bolas, sucesiones. Pero las nociones fundamentales — la continuidad, la compacidad, la conexión — nunca mencionan el valor numérico de una distancia, sino solo la familia de abiertos que esta genera. Este capítulo toma esa familia como objeto primitivo. La ganancia no es generalidad por sí misma: las construcciones cociente (el círculo como $\R/\Z$ , los espacios proyectivos), los productos y las topologías de tipo débil del análisis funcional sencillamente no son objetos métricos de nacimiento. Reconstruimos la continuidad, tratamos después la compacidad mediante recubrimientos abiertos (demostrando que equivale a la definición secuencial de segundo año en espacios métricos) y la conexión — para cerrar con el teorema de que ninguna biyección continua puede identificar $\R$ con $\R^2$ : la topología sabe distinguir dimensiones.

6.1 Topologías, abiertos, continuidad

Definición 6.1

Una topología sobre un conjunto $X$ es una familia $\mathcal T$ de subconjuntos de $X$ — llamados abiertos — tal que: $\varnothing, X \in \mathcal T$ ; toda unión de abiertos es abierta; toda intersección finita de abiertos es abierta. El par $(X, \mathcal T)$ es un espacio topológico. Los complementarios de los abiertos son los cerrados. Un entorno de $x$ es un conjunto que contiene un abierto que contiene $x$ .

Ejemplo 6.2

(a) Un espacio métrico, con «abierto» en el sentido de segundo año (uniones de bolas abiertas): la topología métrica; métricas distintas pueden dar la misma topología (métricas equivalentes). Un espacio cuya topología procede de alguna métrica es metrizable. (b) La topología discreta (todos los subconjuntos) y la topología indiscreta $\{\varnothing, X\}$ . (c) La topología cofinita sobre un conjunto infinito: $=$ es abierto si es vacío o cofinito. No es metrizable, como veremos (Ejercicio 6.3). (d) Sobre $\R$ , la topología usual; sobre $\bar\R = \R \cup \{\pm\infty\}$ , la topología del orden generada por las semirrectas — lo que convierte « $x_n \to +\infty$ » en un caso de convergencia ordinaria.

Definición 6.3

Para $A \subseteq X$ : el interior $\mathring A$ es el mayor abierto contenido en $A$ (la unión de todos ellos); la clausura $\bar A$ , el menor cerrado que contiene $A$ ; la frontera $\partial A = \bar A \setminus \mathring A$ . $A$ es denso si $\bar A = X$ . Se tiene $x \in \bar A$ si y solo si todo entorno de $x$ corta a $A$ (si algún entorno no corta a $A$ , el complementario de su núcleo abierto es un cerrado más pequeño alrededor de $A$ ; y recíprocamente).

Definición 6.4

Una base de $\mathcal T$ es una familia $\mathcal B \subseteq \mathcal T$ tal que todo abierto es unión de miembros de $\mathcal B$ (por ejemplo, las bolas abiertas en un espacio métrico o los intervalos abiertos en $\R$ ). Una familia $\mathcal B$ de subconjuntos de $X$ es base de alguna topología si y solo si recubre $X$ y, para $B_1, B_2 \in \mathcal B$ y $x \in B_1 \cap B_2$ , existe $B_3 \in \mathcal B$ con $x \in B_3 \subseteq B_1\cap B_2$ — y entonces «las uniones de miembros» forman una topología, la topología generada por $\mathcal B$ .

Definición 6.5

$f \colon X \to Y$ es continua si $f^{-1}(V)$ es abierto para todo abierto $V \subseteq Y$ — equivalentemente, las preimágenes de cerrados son cerradas; equivalentemente, para todo $x$ y todo entorno $V$ de $f(x)$ , $f^{-1}(V)$ es un entorno de $x$ (continuidad en cada $x$ ). Basta comprobarlo sobre una base de $Y$ . Las composiciones de aplicaciones continuas son continuas. Un homeomorfismo es una biyección continua con inversa continua; la topología estudia las propiedades que los homeomorfismos conservan.

Proposición 6.6 (Continuidad y clausura; pegado)

(a) $f$ es continua si y solo si $f(\bar A) \subseteq \overline{f(A)}$ para todo $A \subseteq X$ . (b) Si $X = F_1 \cup F_2$ con $F_1, F_2$ cerrados y $f\colon X \to Y$ se restringe continuamente a cada $F_i$ , entonces $f$ es continua.

Demostración. (a) Si $f$ es continua: $f^{-1}(\overline{f(A)})$ es cerrado y contiene $A$ , luego contiene $\bar A$ . Recíprocamente, aplíquese el criterio a $A = f^{-1}(F)$ con $F$ cerrado: $f(\bar A) \subseteq \overline{f(f^{-1}(F))} \subseteq \bar F = F$ , luego $\bar A \subseteq f^{-1}(F) = A$ : las preimágenes de cerrados son cerradas. (b) Para $F \subseteq Y$ cerrado: $f^{-1}(F) = (f\restriction_{F_1})^{-1}(F) \cup (f\restriction_{F_2})^{-1} (F)$ , unión de dos conjuntos cerrados en $F_1$ y en $F_2$ respectivamente, luego cerrada en $X$ ( $F_i$ cerrados: cerrado dentro de cerrado es cerrado). ∎

Definición 6.7

$X$ es de Hausdorff (o separado) si dos puntos distintos cualesquiera tienen entornos disjuntos. Los espacios métricos son de Hausdorff (bolas de radio $d(x,y)/2$ ). Una sucesión $(x_n)$ converge a $x$ si todo entorno de $x$ contiene todos los $x_n$ salvo un número finito; en un espacio de Hausdorff el límite es único (dos límites tendrían entornos disjuntos, cada uno con una cola de la sucesión). En un espacio de Hausdorff, los puntos — y por tanto los conjuntos finitos — son cerrados.

Observación 6.8

En los espacios métricos, las sucesiones lo detectan todo: $x \in \bar A$ si y solo si alguna sucesión de $A$ converge a $x$ (tómese $x_n \in A \cap B(x, 1/n)$ ), y $f$ es continua si y solo si es secuencialmente continua. En espacios generales fallan ambas equivalencias; los sustitutos correctos de las sucesiones (filtros, redes) corresponden a un curso más avanzado. Enunciaremos los resultados basados en sucesiones en espacios métricos y los basados en recubrimientos en general — y demostraremos su equivalencia allí donde la hay.

6.2 Subespacios, productos, cocientes

Definición 6.9

Tres maneras de fabricar espacios nuevos a partir de otros:

Subespacio: sobre $A \subseteq X$ , los abiertos son los $U \cap A$ con $U$ abierto en $X$ — la topología menos fina que hace continua la inclusión.
Producto: sobre $X \times Y$ (y sobre los productos finitos), la topología cuya base son las cajas abiertas $U \times V$ ; en un producto infinito $\prod_i X_i$ , la base está formada por las cajas $\prod U_i$ con $U_i = X_i$ para todos los $i$ salvo un número finito — la topología menos fina que hace continuas todas las proyecciones.
Cociente: si $\sim$ es una equivalencia sobre $X$ y $\pi\colon X \to X/{\sim}$ la proyección, declárese $V \subseteq X/{\sim}$ abierto si y solo si $\pi^{-1}(V)$ es abierto — la topología más fina que hace $\pi$ continua.

Proposición 6.10 (Propiedades universales)

(a) $f \colon Z \to X \times Y$ es continua si y solo si lo son sus dos componentes $\pi_X \circ f$ , $\pi_Y \circ f$ (lo mismo para productos arbitrarios). (b) $g \colon X/{\sim} \to Z$ es continua si y solo si lo es $g \circ \pi \colon X \to Z$ .

Demostración. (a) Necesidad: composiciones. Suficiencia: basta comprobar las preimágenes de las cajas de la base: $f^{-1}(U \times V) = (\pi_Xf)^{-1}(U) \cap (\pi_Yf)^{-1}(V)$ , abierta (solo un número finito de factores $\neq X_i$ en el caso infinito). (b) Necesidad: composición. Suficiencia: para $W \subseteq Z$ abierto, $\pi^{-1}(g^{-1}(W)) = (g\pi)^{-1}(W)$ es abierto, lo que por definición de la topología cociente significa que $g^{-1}(W)$ es abierto. ∎

Ejemplo 6.11

El cociente $\R/\Z$ (identificando $x$ con $x + n$ ) es homeomorfo al círculo $S^1 = \{z \in \C : \abs z = 1\}$ : la aplicación $x \mapsto \eu^{2\iu\pi x}$ pasa al cociente y da una biyección continua $\R/\Z \to S^1$ (la Proposición 6.10(b)); su inversa es continua por el argumento de compacidad del Corolario 6.14 de más abajo (el Ejercicio 6.5 lo detalla todo, incluido por qué $\R/\Z$ es de Hausdorff y compacto). Del mismo modo, $[0,1]$ con los extremos pegados es $S^1$ , el cuadrado con los lados opuestos pegados es el toro, y el pegado pasa por fin a ser un teorema, y no un dibujo.

6.3 Compacidad

Definición 6.12

Un recubrimiento abierto de $X$ es una familia $(U_i)_{i\in I}$ de abiertos con $\bigcup U_i = X$ . $X$ es compacto si es de Hausdorff y todo recubrimiento abierto admite un subrecubrimiento finito. Equivalentemente (tomando complementarios): toda familia de cerrados con la propiedad de intersección finita (toda subfamilia finita tiene intersección no vacía) tiene intersección total no vacía.

Teorema 6.13 (Primeras propiedades)

Sea $X$ compacto.

Un subconjunto cerrado de $X$ es compacto; un subconjunto compacto de un espacio de Hausdorff es cerrado.
La imagen continua de un espacio compacto dentro de un espacio de Hausdorff es compacta. En particular, una $f\colon X \to \R$ continua está acotada y alcanza sus cotas.
Una sucesión decreciente de cerrados no vacíos de $X$ tiene intersección no vacía.

Demostración. (1) Sea $F \subseteq X$ cerrado y sea $(U_i)$ un recubrimiento abierto de $F$ (por abiertos de $X$ ): añadiendo $X \setminus F$ se obtiene un recubrimiento abierto de $X$ ; un subrecubrimiento finito, quitando $X \setminus F$ , recubre $F$ . Que el subespacio sea de Hausdorff es claro. Recíprocamente, sean $K \subseteq Y$ compacto, $Y$ de Hausdorff y $y \notin K$ : para cada $x \in K$ tómense abiertos disjuntos $U_x \ni x$ , $V_x \ni y$ ; un número finito de $U_x$ recubre $K$ , y la intersección de los $V_x$ correspondientes es un entorno de $y$ disjunto del recubrimiento de $K$ y, por tanto, de $K$ : el complementario de $K$ es abierto.

(2) Si $(V_j)$ recubre $f(X)$ , entonces $(f^{-1}(V_j))$ recubre $X$ ; un subrecubrimiento finito abajo procede del subrecubrimiento finito de arriba. La imagen es de Hausdorff por ser subespacio. Para $f$ real: $f(X)$ es compacto en $\R$ , luego cerrado y acotado (recúbrase por $(-n, n)$ para la acotación; cerrado por (1)), y un conjunto cerrado y acotado contiene su supremo.

(3) Si $\bigcap F_n = \varnothing$ , los abiertos $X \setminus F_n$ recubren $X$ ; bastan un número finito, de modo que algún $F_{n_0} = \varnothing$ (la sucesión decrece) — contradicción. ∎

Corolario 6.14

Una biyección continua de un espacio compacto en un espacio de Hausdorff es un homeomorfismo.

Demostración. La inversa es continua si y solo si las imágenes directas de cerrados son cerradas; un $F$ cerrado es compacto (el Teorema 6.13(1)), su imagen es compacta (2) y, por tanto, cerrada (1) en el destino de Hausdorff. ∎

Teorema 6.15 (Productos finitos)

Un producto finito de espacios compactos es compacto.

Demostración. Basta tratar $X \times Y$ . Ser de Hausdorff se hereda (sepárese en una coordenada). Sea $(W_i)$ un recubrimiento abierto de $X \times Y$ ; podemos suponer que los $W_i$ son cajas de la base $U_i \times V_i$ (refínese: cada punto está en una caja contenida en algún $W_i$ ; un subrecubrimiento finito por cajas da uno por $W_i$ ). Fijemos $x \in X$ : la rebanada $\{x\}\times Y \cong Y$ es compacta, luego un número finito de cajas $U_1\times V_1, \dots, U_k\times V_k$ la recubre, con $x \in U_j$ para todo $j$ ; entonces $U^x = \bigcap_{j \leq k} U_j$ es un entorno abierto de $x$ con $U^x \times Y$ recubierto por un número finito de cajas (el lema del tubo: para $(x', y) \in U^x \times Y$ , $y \in V_j$ para algún $j$ , pues las cajas recubrían $\{x\}\times Y$ al nivel $y$ , y $x' \in U^x \subseteq U_j$ , luego $(x', y) \in U_j \times V_j$ ). Ahora bien, un número finito de $U^x$ recubre el compacto $X$ ; las colecciones finitas de cajas correspondientes recubren $X \times Y$ . ∎

Teorema 6.16 (Compacidad en espacios métricos)

Para un espacio métrico $(X, d)$ , son equivalentes:

$X$ es compacto (Borel–Lebesgue);
toda sucesión de $X$ tiene una subsucesión convergente (compacidad secuencial — la definición de segundo año);
$X$ es completo y totalmente acotado: para todo $\varepsilon > 0$ , un número finito de bolas de radio $\varepsilon$ recubre $X$ .

Demostración. (1) $\Rightarrow$ (2): sea $(x_n)$ sin subsucesión convergente. Entonces cada $x \in X$ tiene una bola abierta $B_x$ que contiene $x_n$ solo para un número finito de $n$ (si no, alguna subsucesión convergería a $x$ : tómense radios $1/k$ ). Un número finito de $B_x$ recubre $X$ , luego solo existe un número finito de índices $n$ : absurdo.

(2) $\Rightarrow$ (3): completitud: una sucesión de Cauchy con una subsucesión convergente converge (segundo año). Acotación total: si algún $\varepsilon$ no admite recubrimiento finito, elíjanse inductivamente $x_{n+1}$ fuera de $\bigcup_{k\leq n} B(x_k, \varepsilon)$ : la sucesión cumple $d(x_m, x_n) \geq \varepsilon$ para $m \neq n$ , no tiene subsucesión de Cauchy ni, por tanto, convergente.

(3) $\Rightarrow$ (1): primero, (3) implica (2): dado $(x_n)$ , recúbrase $X$ por un número finito de bolas de radio $1$ : una de ellas, $B_1$ , contiene una subsucesión; recúbrase $X$ por bolas de radio $1/2$ : una contiene una subsucesión ulterior; itérese y diagonalícese: la subsucesión diagonal es de Cauchy (dos términos posteriores a la etapa $k$ están en una misma bola de radio $2^{-k}$ , salvo el $2\cdot$ habitual) y, por tanto, converge. Sea ahora $(U_i)$ un recubrimiento abierto y supóngase que no hay subrecubrimiento finito. Argumento del número de Lebesgue: para cada $n$ , alguna bola $B(y_n, 2^{-n})$ no queda recubierta por un número finito de $U_i$ — en efecto, recúbrase $X$ por un número finito de bolas de radio $2^{-n}$ ; si cada una admitiera recubrimiento finito, también lo admitiría $X$ . Por (2), una subsucesión $y_{n_k} \to y$ ; tómense $i$ con $y \in U_i$ y $r > 0$ con $B(y, r) \subseteq U_i$ . Para $k$ grande, $B(y_{n_k}, 2^{-n_k}) \subseteq B(y, r) \subseteq U_i$ : queda recubierta por un solo $U_i$ — contradicción. ∎

Corolario 6.17 (Heine–Borel; Heine)

(a) Un subconjunto de $\R^n$ es compacto si y solo si es cerrado y acotado. (b) Una aplicación continua de un espacio métrico compacto en un espacio métrico es uniformemente continua.

Demostración. (a) Cerrado y acotado $\Rightarrow$ contenido en un cubo $[-M,M]^n$ , que es compacto: $[-M, M]$ lo es (secuencialmente, por Bolzano–Weierstrass — o directamente por dicotomía para recubrimientos), y el Teorema 6.15 se ocupa del producto; aplíquese después el Teorema 6.13(1). Recíprocamente, un subconjunto compacto es cerrado (el Teorema 6.13(1)) y acotado (recúbrase por bolas concéntricas).

(b) Sean $f \colon X \to Y$ , $\varepsilon > 0$ . Las bolas $B\bigl(x, \delta_x\bigr)$ con $f\bigl(B(x, 2\delta_x)\bigr)\subseteq B\bigl(f(x), \varepsilon/2\bigr)$ recubren $X$ ; extráigase un subrecubrimiento finito $B(x_j, \delta_{x_j})$ y póngase $\delta = \min_j \delta_{x_j}$ . Si $d(x, x') < \delta$ : $x \in B(x_j, \delta_{x_j})$ para algún $j$ y entonces ambos $x, x' \in B(x_j, 2\delta_{x_j})$ , luego $d(f(x), f(x')) < \varepsilon$ . ∎

Definición 6.18

$X$ es localmente compacto si es de Hausdorff y todo punto tiene un entorno compacto ( $\R^n$ ; los abiertos de $\R^n$ ; los espacios discretos — pero no $\Q$ , véase el Ejercicio 6.9). Todo espacio localmente compacto se sumerge en uno compacto: la compactificación por un punto $\hat X = X \cup \{\infty\}$ , cuyos abiertos son los de $X$ junto con los complementarios (en $\hat X$ ) de los subconjuntos compactos de $X$ . Los axiomas se comprueban directamente; $\hat X$ es compacto (un recubrimiento tiene un miembro que contiene $\infty$ , cuyo complementario es compacto y queda recubierto por un número finito de los demás) y de Hausdorff (sepárese $x$ de $\infty$ mediante un entorno compacto de $x$ y su complementario). Ejemplo: $\hat\R \cong S^1$ , y $\widehat{\R^n} \cong S^n$ por proyección estereográfica (el Ejercicio 6.11).

6.4 Conexión

Definición 6.19

$X$ es conexo si no es unión de dos abiertos disjuntos no vacíos — equivalentemente, si sus únicos subconjuntos a la vez abiertos y cerrados son $\varnothing$ y $X$ ; equivalentemente, si toda aplicación continua $X \to \{0, 1\}$ (con la topología discreta) es constante. Un subconjunto es conexo si lo es como subespacio.

Teorema 6.20

Los subconjuntos conexos de $\R$ son exactamente los intervalos.
Las imágenes continuas de conexos son conexas (de donde el teorema del valor intermedio: una aplicación real continua sobre un espacio conexo tiene por imagen un intervalo).
Si $(A_i)$ son conexos con un punto común, $\bigcup A_i$ es conexo. Si $A$ es conexo y $A \subseteq B \subseteq \bar A$ , entonces $B$ es conexo.
Los productos finitos de espacios conexos son conexos.

Demostración. En todo lo que sigue usamos el criterio de $\{0,1\}$ : toda $f \colon X \to \{0,1\}$ continua ha de ser constante.

(1) Un $A$ que no sea un intervalo omite algún $c$ comprendido entre $a, b \in A$ : $A = (A \cap (-\infty, c)) \sqcup (A \cap (c, +\infty))$ lo desconecta. Recíprocamente, sea $I$ un intervalo y sea $f \colon I \to \{0,1\}$ continua con $f(a) = 0$ , $f(b) = 1$ , $a < b$ . Sea $c = \sup\{x \in [a,b] : f(x) = 0\}$ ; la continuidad en $c$ obliga a $f(c) = 0$ (límite de valores $0$ : todo entorno de $c$ corta a $\{f = 0\}$ , y $\{f=0\}$ es cerrado) y entonces $c < b$ con $f \equiv 1$ sobre $(c, b]$ , luego $f(c) = 1$ por el mismo argumento de clausura sobre $\{f = 1\} \ni c$ : contradicción.

(2) Una $g \colon f(X) \to \{0,1\}$ continua da $g \circ f$ constante, de modo que $g$ es constante sobre la imagen.

(3) Una $f\colon \bigcup A_i \to \{0,1\}$ continua es constante en cada $A_i$ , con el mismo valor en el punto común. Para la clausura: $f \colon B \to \{0,1\}$ vale constantemente $= c$ sobre $A$ ; todo $x \in B \subseteq \bar A$ está en la clausura de $A$ , y $f^{-1} (f(x))$ es un entorno de $x$ (preimagen de un abierto), que ha de cortar a $A$ : $f(x) = c$ .

(4) Para $X \times Y$ y $f\colon X\times Y \to \{0,1\}$ : dos puntos cualesquiera $(x,y), (x',y')$ se unen mediante el «codo» $\{x\}\times Y \cup X \times \{y'\}$ , unión de dos conexos (homeomorfos a $Y$ y a $X$ ) que se cortan en $(x, y')$ : por (3) y (2), $f$ toma el mismo valor en los dos puntos. ∎

Definición 6.21

$X$ es conexo por caminos si dos puntos cualesquiera se unen por un camino (una $\gamma \colon [0,1] \to X$ continua). Conexo por caminos implica conexo: dos valores de una $f \colon X \to \{0,1\}$ continua en $x, y$ son valores de la constante $f\circ\gamma$ (el Teorema 6.20(1)–(2)). Los subconjuntos convexos de un espacio normado son conexos por caminos (segmentos); también lo son $\R^n \setminus \{0\}$ para $n \geq 2$ (rodéese el origen) y $S^n$ para $n \geq 1$ (proyéctense caminos desde $\R^{n+1}\setminus \{0\}$ ).

Ejemplo 6.22 (La curva seno del topólogo)

Sean $\Gamma = \{(x, \sin\frac1x) : 0 < x \leq 1\}$ y $S = \bar\Gamma = \Gamma \cup (\{0\}\times[-1,1])$ (todo punto $(0, y)$ con $\abs y \leq 1$ es límite de puntos de $\Gamma$ : resuélvase $\sin\frac1x = y$ cerca de $0$ ). Entonces $S$ es conexo — clausura del conexo $\Gamma$ , imagen continua de $(0, 1]$ (el Teorema 6.20(3)) — pero no es conexo por caminos: un camino de $(1, \sin 1)$ a $(0,0)$ tendría que recorrer abscisas $\to 0$ mientras la ordenada oscila entre $\pm1$ ; el Ejercicio 6.9 lo hace riguroso. La conexión y la conexión por caminos son genuinamente distintas.

$La curva seno del topólogo: la gráfica de 1x (en rojo) se acumula sobre todo el segmento \0\×[-1,1] (en azul). La unión es conexa pero no conexa por caminos: ningún camino continuo puede atravesar las infinitas oscilaciones en un tiempo de parámetro finito.$

La curva seno del topólogo: la gráfica de

\sin\frac1x

(en rojo) se acumula sobre todo el segmento

\{0\}\times[-1,1]

(en azul). La unión es conexa pero no conexa por caminos: ningún camino continuo puede atravesar las infinitas oscilaciones en un tiempo de parámetro finito.

Definición 6.23

La componente conexa de $x \in X$ es la unión de todos los subconjuntos conexos que contienen $x$ — el mayor de ellos (el Teorema 6.20(3)). Las componentes forman una partición de $X$ y son cerradas (las clausuras de conexos son conexas). $X$ es totalmente disconexo si todas sus componentes se reducen a un punto ( $\Q$ ; el conjunto de Cantor del problema de fin de semana).

Teorema 6.24

$\R$ no es homeomorfo a ningún $\R^n$ con $n \geq 2$ .

Demostración. Supongamos que $h \colon \R \to \R^n$ es un homeomorfismo. Al suprimir un punto: $\R \setminus \{0\}$ es homeomorfo a $\R^n \setminus \{h(0)\}$ . Pero $\R\setminus\{0\}$ es disconexo, mientras que $\R^n\setminus\{\text{punto}\}$ es conexo por caminos para $n \geq 2$ (la Definición 6.21; trasládese el punto a $0$ ): la conexión es un invariante por homeomorfismos (el Teorema 6.20(2)) — contradicción. (El caso $\R^2 \not\cong \R^3$ exige invariantes más finos — la topología algebraica; el problema de fin de semana muestra el peligro: sí existen sobreyecciones continuas $\R \to \R^2$ .) ∎

Método 6.25

Para demostrar que un conjunto es conexo: exhíbase como imagen continua, como unión de conexos que se solapan, como clausura o como producto (el Teorema 6.20); para subconjuntos de espacios normados, demuéstrese la conexión por caminos con caminos explícitos (segmentos, arcos, codos). Para demostrar que dos espacios no son homeomorfos: búsquese un invariante topológico que difiera — compacidad, conexión, número de componentes o componentes tras suprimir un conjunto finito bien elegido (el truco del Teorema 6.24: también demuestra que $[0,1) \not\cong (0,1)$ y $S^1 \not\cong [0,1]$ ).

6.5 Ejercicios

Ejercicio 6.1 ★

(a) Listar todas las topologías sobre $\{a, b\}$ , clasificarlas salvo homeomorfismo y determinar cuáles son conexas y cuáles de Hausdorff. (b) En $\R$ (con la topología usual), calcular el interior, la clausura y la frontera de $\Q$ , de $[0,1) \cup \{2\}$ y de $\{1/n : n \geq 1\}$ .

Solución

Solución de Ejercicio 6.1.

(a) Cuatro topologías sobre $\{a,b\}$ : la indiscreta $\{\varnothing, X\}$ ; la discreta; y las dos topologías de Sierpiński $\{\varnothing, \{a\}, X\}$ y $\{\varnothing, \{b\}, X\}$ . Las dos últimas son homeomorfas (intercámbiese $a, b$ ): tres clases. Conexas: todas salvo la discreta (solo la topología discreta contiene un conjunto propio no vacío abierto y cerrado a la vez). De Hausdorff: solo la discreta (en las demás, el único entorno de $b$ es $X$ , o el de $a$ ).

(b) $\Q$ : interior $\varnothing$ (todo intervalo contiene irracionales), clausura $\R$ (densidad), frontera $\R$ . $[0,1) \cup \{2\}$ : interior $(0,1)$ , clausura $[0,1]\cup\{2\}$ , frontera $\{0, 1, 2\}$ . $\{1/n\}$ : interior $\varnothing$ , clausura $\{1/n\}\cup\{0\}$ , frontera la clausura misma.

Ejercicio 6.2 ★

(a) Demostrar que $f\colon X \to Y$ es continua si y solo si $f^{-1}(B)$ es abierto para todo $B$ de una base fija de $Y$ . (b) Demostrar que $f = \mathbf 1_{[0,\infty)} \colon \R \to \R$ no es continua pero sí es continua por la derecha. Comprobar que los intervalos semiabiertos $[a, b)$ forman una base de una topología sobre el origen $\R$ (la recta de Sorgenfrey), que esta topología es estrictamente más fina que la usual, y que una función $\R \to \R$ (con el destino usual) es continua desde la recta de Sorgenfrey si y solo si es continua por la derecha en todo punto.

Solución

Solución de Ejercicio 6.2.

(a) Todo abierto $V \subseteq Y$ es una unión $\bigcup B_j$ de conjuntos de la base, y $f^{-1}(V) = \bigcup f^{-1}(B_j)$ : si estos últimos son abiertos, también lo es el primero; el recíproco es trivial.

(b) $f^{-1}\bigl(\intoo{\frac12}{\frac32}\bigr) = [0, \infty)$ no es abierto: $f$ no es continua; la continuidad por la derecha en cada punto es clara ( $f$ es localmente constante a la derecha de todo punto). Los conjuntos $[a, b)$ cumplen el criterio de base (la Definición 6.4): $[a,b)\cap[c,d) = [\max(a,c), \min(b,d))$ . La topología de Sorgenfrey es más fina que la usual, pues $(a, b) = \bigcup_{a < c < b}[c, b)$ ; y estrictamente: $[0,1)$ es abierto de Sorgenfrey pero no abierto usual. Continuidad desde la recta de Sorgenfrey en $x$ : un entorno de Sorgenfrey de $x$ contiene un conjunto de la base $[a, b) \ni x$ y, por tanto, contiene $[x, b)$ — de modo que la condición de continuidad se lee: para todo $\varepsilon > 0$ existe $\delta > 0$ con $\abs{f(t) - f(x)} < \varepsilon$ siempre que $x \leq t < x + \delta$ . Eso es exactamente la continuidad por la derecha en $x$ .

Ejercicio 6.3 ★

Sobre un conjunto infinito con la topología cofinita, demostrar: dos abiertos no vacíos cualesquiera se cortan (de modo que el espacio no es de Hausdorff y, por tanto, no es metrizable); toda sucesión inyectiva converge a todos los puntos. ¿Dónde usa la demostración de la unicidad del límite la propiedad de Hausdorff?

Solución

Solución de Ejercicio 6.3.

Dos abiertos no vacíos tienen complementario finito, luego su intersección también lo tiene: es no vacía (el conjunto es infinito) — no hay dos puntos con entornos disjuntos: no es de Hausdorff y, por tanto, no es metrizable (la Definición 6.7). Sea $(x_n)$ inyectiva y sea $x$ arbitrario: un entorno de $x$ contiene un abierto cofinito $U$ ; los finitos puntos de $X\setminus U$ son alcanzados por un número finito de índices a lo sumo (inyectividad), de modo que una cola de la sucesión está en $U$ : $x_n \to x$ , para todo $x$ . La demostración de la unicidad necesita dos entornos disjuntos para separar dos supuestos límites — precisamente lo que aquí falla.

Ejercicio 6.4 ★★

(a) Demostrar que las proyecciones $\pi_X, \pi_Y$ de un producto son continuas y abiertas (las imágenes de abiertos son abiertas), pero no cerradas en general ( $\{xy = 1\}$ en $\R^2$ ). (b) Demostrar que una sucesión de un producto numerable $\prod_n X_n$ de espacios métricos converge si y solo si converge cada coordenada, y que $d(x, y) = \sum_n 2^{-n}\min(1, d_n(x_n, y_n))$ metriza la topología producto. (c) Sobre $\R^\N$ , demostrar que la «topología de cajas» (todo producto de abiertos es abierto) es estrictamente más fina: la sucesión $x^{(k)} = (1/k, 1/k, \dots)$ converge a $0$ en la topología producto pero no en la topología de cajas.

Solución

Solución de Ejercicio 6.4.

(a) La continuidad es por construcción (la Definición 6.9). Que sea abierta: un abierto $W \subseteq X \times Y$ es unión de cajas $U_i\times V_i$ , y $\pi_X(W) = \bigcup U_i$ (las cajas no vacías se proyectan sobre sus factores), que es abierto. No cerrada: $H = \{(x,y) : xy = 1\}$ es cerrado en $\R^2$ (preimagen de $\{1\}$ por el producto, que es continuo), pero $\pi_X(H) = \R\setminus\{0\}$ no es cerrado.

(b) ( $\Rightarrow$ ) Las proyecciones son continuas. ( $\Leftarrow$ ) Sea $x^{(k)} \to x$ componente a componente y sea $W = \prod U_n$ un entorno de la base de $x$ , con $U_n = X_n$ salvo para $n \in F$ finito. Para cada $n \in F$ , $x_n^{(k)} \in U_n$ si $k \geq K_n$ ; para $k \geq \max_F K_n$ , $x^{(k)} \in W$ . La fórmula $d$ define una métrica (cada sumando lo es, salvo la verificación estándar de que $\min(1, d_n)$ lo es); sus bolas: $B_d(x, 2^{-N})$ contiene la caja $\{y : d_n(x_n,y_n) < 2^{-N},\ n \leq N'\}$ de la base para $N'$ adecuados (la cola $\sum_{n > N'} 2^{-n}$ es pequeña) y, recíprocamente, toda caja de la base contiene una $d$ -bola: las dos topologías tienen los mismos entornos de cada punto.

(c) En la topología producto, $x^{(k)} \to 0$ por (b). El abierto de cajas $U = \prod_n \intoo{-\tfrac1n}{\tfrac1n}$ contiene $0$ , pero $x^{(k)} \notin U$ para todo $k$ (la coordenada $n$ -ésima vale $1/k \geq 1/n$ cuando $n \geq k$ ): ninguna cola entra en $U$ . La topología de cajas es estrictamente más fina y no es una topología de tipo producto a efectos de convergencia.

Ejercicio 6.5 ★★

El círculo, de tres maneras. Demostrar que los siguientes espacios son homeomorfos dos a dos, con aplicaciones explícitas: (i) $S^1 \subseteq \R^2$ ; (ii) $\R/\Z$ (topología cociente); (iii) $[0,1]/(0 \sim 1)$ . (Para (ii): demuéstrese que $\R/\Z$ es de Hausdorff — levántense dos clases a representantes a distancia $\leq \frac12$ — y que $\pi([0,1])$ es todo el espacio, de modo que el cociente es compacto; después úsese Corolario 6.14.)

Solución

Solución de Ejercicio 6.5.

$\varphi \colon \R \to S^1$ , $x \mapsto \eu^{2\iu\pi x}$ , es continua, sobreyectiva y constante en las clases módulo $\Z$ : induce una biyección continua $\bar\varphi \colon \R/\Z \to S^1$ (la Proposición 6.10(b)). La proyección $\pi$ es abierta: para $U \subseteq \R$ abierto, $\pi^{-1}(\pi(U)) = \bigcup_{n}(U + n)$ es abierto, luego $\pi(U)$ es abierto. De Hausdorff: sea $\bar x \neq \bar y$ ; elíjanse representantes con $\delta = \min_{n}\abs{x - y - n} > 0$ ; las imágenes de los intervalos de radio $\delta/3$ alrededor de $x$ y $y$ son abiertas (por ser $\pi$ abierta), contienen $\bar x, \bar y$ y son disjuntas (dos puntos de las preimágenes distarían $< 2\delta/3$ módulo $\Z$ ). Compacto: $\R/\Z = \pi([0,1])$ , imagen continua de un espacio compacto (el Teorema 6.13(2)). Así pues, $\bar\varphi$ es una biyección continua de un espacio compacto en el de Hausdorff $S^1$ : un homeomorfismo (Corolario 6.14).

Para (iii): la compuesta $[0,1] \hookrightarrow \R \xrightarrow{\pi} \R/\Z$ es continua, sobreyectiva e identifica exactamente $0 \sim 1$ : induce una biyección continua $[0,1]/(0\sim1) \to \R/\Z$ desde un espacio compacto (imagen continua de $[0,1]$ por la proyección al cociente) a uno de Hausdorff: un homeomorfismo. Componiendo: los tres espacios son homeomorfos.

Ejercicio 6.6 ★★

Sea $X$ un espacio métrico. (a) Demostrar que una unión finita de compactos es compacta y que una intersección arbitraria también lo es. (b) Si $K$ es compacto, $F$ es cerrado y $K \cap F = \varnothing$ , demostrar que $d(K, F) = \inf\{d(x,y) : x \in K, y \in F\} > 0$ ; dar un contraejemplo con dos cerrados disjuntos. (c) Demostrar que $X$ es compacto si y solo si toda $f \colon X \to \R$ continua está acotada. (Si alguna sucesión no tiene subsucesión convergente, constrúyase una función continua no acotada con soporte cerca de sus términos; o úsense funciones de tipo $x \mapsto d(x, \cdot)$ — una vía limpia: si $(x_n)$ no tiene punto de acumulación, el conjunto $\{x_n\}$ es cerrado y discreto, y $f(x_n) = n$ se extiende continuamente sin necesidad de Tietze: $f(x) = \sum_n n\,\max\bigl(0, 1 - \frac{d(x, x_n)}{r_n}\bigr)$ para $r_n$ suficientemente pequeño.)

Solución

Solución de Ejercicio 6.6.

(a) Un recubrimiento de $K_1 \cup \dots \cup K_m$ se restringe a un recubrimiento de cada $K_j$ : bastan un número finito de abiertos por pieza. Una intersección $\bigcap K_i$ es cerrada en el compacto $K_{i_0}$ (los compactos son cerrados en el espacio métrico ambiente), luego compacta.

(b) $x \mapsto d(x, F)$ es continua ( $1$ -lipschitziana) y estrictamente positiva en $K$ ( $d(x, F) = 0$ significaría $x \in \bar F = F$ ); sobre el compacto $K$ alcanza un mínimo $m > 0$ : $d(K, F) \geq m$ . Contraejemplo sin compacidad: $F_1 = \{n : n \geq 2\}$ y $F_2 = \{n + \frac1n : n \geq 2\}$ son cerrados, disjuntos y están a distancia $\inf_n \frac1n = 0$ .

(c) Si $X$ es compacto, toda $f$ continua está acotada (el Teorema 6.13(2)). Recíprocamente, si $X$ no es compacto, tómese $(x_n)$ sin subsucesión convergente (el Teorema 6.16); pasando a una subsucesión podemos suponer los $x_n$ distintos dos a dos, y ningún punto de $X$ es punto de acumulación de la sucesión, de modo que

r_n = \min\Bigl(2^{-n},\ \tfrac13\,d\bigl(x_n, \{x_m : m \neq n\}\bigr)\Bigr) > 0,

y las bolas $B(x_n, r_n)$ son disjuntas dos a dos (un punto común de la $n$ -ésima y la $m$ -ésima daría $d(x_n, x_m) < r_n + r_m \leq \frac23 d(x_n, x_m)$ ). Defínase

f(x) = \sum_{n} n\,\max\Bigl(0,\ 1 - \frac{d(x, x_n)}{r_n}\Bigr):

en cada $x$ hay a lo sumo un sumando no nulo, y $f(x_n) = n$ . Continuidad en $x$ : sea $y_k \to x$ ; cada valor $f(y_k)$ es $0$ o el valor $\mathrm{bump}_{n_k}(y_k)$ de una sola joroba. Si algún índice $n$ aparece infinitas veces, a lo largo de esa subsucesión $f(y_k) = \mathrm{bump}_n(y_k) \to \mathrm{bump}_n(x)$ , que es igual a $f(x)$ (si $x \in B(x_n, r_n)$ , toda la cola está en esa bola abierta y no aparece ningún otro índice; si $x \notin B(x_n, r_n)$ , entonces $\mathrm{bump}_n(x) = 0 = f(x)$ , pues $x$ , adherente a la $n$ -ésima bola, no está en ninguna otra bola abierta). Si $n_k \to \infty$ : $d(y_k, x_{n_k}) < r_{n_k} \leq 2^{-n_k} \to 0$ , luego $x_{n_k} \to x$ , lo que haría de $x$ un punto de acumulación de $(x_n)$ — excluido; así que este caso solo afecta a un número finito de $k$ . En todos los casos $f(y_k) \to f(x)$ : $f$ es continua y no acotada.

Ejercicio 6.7 ★★

(Número de Lebesgue) Sea $(U_i)$ un recubrimiento abierto de un espacio métrico compacto $X$ . Demostrar que existe $\delta > 0$ tal que todo subconjunto de diámetro $< \delta$ está contenido en un único $U_i$ . (En caso contrario, tómense $A_n$ de diámetro $< 1/n$ contenidos en ningún $U_i$ , y un punto de acumulación de ciertos $x_n \in A_n$ .) Deducir de nuevo el teorema de Heine (el Corolario 6.17(b)).

Solución

Solución de Ejercicio 6.7.

Supongamos que ningún $\delta$ sirve: para cada $n$ hay un $A_n$ de diámetro $< 1/n$ contenido en ningún $U_i$ ; tómese $x_n \in A_n$ . Por compacidad (el Teorema 6.16), una subsucesión $x_{n_k} \to x$ ; tómense $i$ y $r > 0$ con $B(x, r) \subseteq U_i$ . Para $k$ grande: $d(x_{n_k}, x) < r/2$ y $1/n_k < r/2$ , luego $A_{n_k} \subseteq B(x_{n_k}, 1/n_k) \subseteq B(x, r) \subseteq U_i$ — contradicción. Heine: dado $\varepsilon$ , recúbrase $Y$ por bolas $B(y, \varepsilon/2)$ ; las preimágenes forman un recubrimiento abierto de $X$ ; sea $\delta$ un número de Lebesgue: si $d(x, x') < \delta$ , el par $\{x, x'\}$ tiene diámetro $< \delta$ , está en una sola preimagen y $d(f(x), f(x')) < \varepsilon$ .

Ejercicio 6.8 ★★

(a) Demostrar que $GL_n(\R)$ es un subconjunto abierto y denso de $M_n(\R)$ , y que es disconexo: el signo del determinante lo separa en (al menos) dos piezas. Demostrar, en cambio, que $GL_n(\C)$ es conexo por caminos. (Para $A, B \in GL_n(\C)$ : $\lambda \mapsto \det\bigl((1 - \lambda)A + \lambda B\bigr)$ es un polinomio no idénticamente nulo, de modo que tiene un número finito de raíces en $\C$ : tómese un camino de matrices $\lambda$ en $\C$ de $0$ a $1$ que las evite.) (b) Demostrar la densidad: $A + \varepsilon I$ es invertible para todo $\varepsilon > 0$ .

Solución

Solución de Ejercicio 6.8.

(a) $GL_n(\R) = \det^{-1}(\R\setminus\{0\})$ es abierto ( $\det$ es polinómico, luego continuo). Disconexo: $\det$ lo aplica sobre $\R\setminus\{0\}$ , y un espacio conexo tiene imágenes continuas conexas (el Teorema 6.20(2)); y $\R\setminus\{0\}$ no es un intervalo. $GL_n(\C)$ : para $A, B$ invertible, $p(\lambda) = \det\bigl((1-\lambda)A + \lambda B\bigr)$ es un polinomio en $\lambda$ con $p(0), p(1) \neq 0$ , luego no idénticamente nulo: tiene un número finito de raíces en $\C$ . El plano menos un número finito de puntos es conexo por caminos (esquívense los puntos rodeándolos), de modo que hay un camino $\lambda(t)$ de $0$ a $1$ con $p(\lambda(t)) \neq 0$ : $t \mapsto (1-\lambda(t))A + \lambda(t)B$ es un camino en $GL_n(\C)$ .

(b) $\det(A + \varepsilon I) = \chi_A(-\varepsilon)\cdot(\pm1)$ se anula para a lo sumo $n$ valores de $\varepsilon$ : hay matrices invertibles $A + \varepsilon I \to A$ con $\varepsilon \to 0$ : densidad.

Ejercicio 6.9 ★★

(a) Demostrar que las componentes conexas de $\Q$ se reducen a puntos y que $\Q$ no es localmente compacto (un entorno compacto de $0$ en $\Q$ contendría $[-r, r]\cap\Q$ , cuya clausura en $\Q$ no es compacta: córtese en un irracional). (b) Completar el Ejemplo 6.22: ningún camino une $(0,0)$ con $\Gamma$ . (Si $\gamma = (\gamma_1, \gamma_2)$ es un tal camino, sea $t^* = \sup\{t : \gamma_1(t) = 0\}$ ; para $t > t^*$ el punto se mueve sobre la gráfica; elíjanse $t_k \downarrow t^*$ con $\gamma_1(t_k) \to 0$ alcanzando abscisas donde $\sin$ vale alternativamente $\pm1$ — el teorema del valor intermedio las proporciona —, en contra de la continuidad de $\gamma_2$ en $t^*$ .)

Solución

Solución de Ejercicio 6.9.

(a) Sea $A \subseteq \Q$ que contiene $p < q$ y tómese un irracional $\alpha \in (p, q)$ : $A = (A \cap (-\infty, \alpha)) \sqcup (A\cap(\alpha, +\infty))$ separa $A$ en dos piezas relativamente abiertas no vacías: $A$ es disconexo. Las componentes se reducen a puntos. La compacidad local falla: un entorno compacto $V$ de $0$ en $\Q$ contendría $[-r, r]\cap\Q$ para cierto $r > 0$ , que es cerrado en $V$ y, por tanto, compacto; pero una sucesión de racionales de $[-r,r]$ que converja (en $\R$ ) a un irracional no tiene ninguna subsucesión convergente en $\Q$ : contradicción con Teorema 6.16.

(b) Sea $\gamma = (\gamma_1, \gamma_2) \colon [0,1] \to S$ un camino con $\gamma(0) = (0,0)$ y $\gamma(1) \in \Gamma$ . El conjunto $\{t : \gamma_1(t) = 0\}$ es cerrado y no contiene $1$ ; sea $t^*$ su supremo, de modo que $\gamma_1(t^*) = 0$ y $\gamma_1 > 0$ sobre $(t^*, 1]$ . Por la continuidad de $\gamma_2$ en $t^*$ , elíjase $\delta$ con $\abs{\gamma_2(t) - \gamma_2(t^*)} < \tfrac12$ para $t \in [t^*, t^* + \delta]$ . Fijemos $t_0 = t^* + \delta$ (podemos suponer $\leq 1$ ): $\gamma_1(t_0) > 0$ , y $\gamma_1$ toma todos los valores de $(0, \gamma_1(t_0)]$ sobre $[t^*, t_0]$ (teorema del valor intermedio, el Teorema 6.20). Elíjase $k$ grande con $a_k = \frac1{\pi/2 + 2k\pi} < \gamma_1(t_0)$ y $b_k = \frac1{3\pi/2 + 2k\pi} < \gamma_1(t_0)$ : existen $s, s' \in (t^*, t_0]$ con $\gamma_1(s) = a_k$ , $\gamma_1(s') = b_k$ ; como los puntos están sobre la gráfica, $\gamma_2(s) = \sin(1/a_k) = 1$ y $\gamma_2(s') = -1$ . Ambos no pueden distar menos de $\frac12$ de $\gamma_2(t^*)$ : contradicción. $S$ es conexo pero no conexo por caminos.

Ejercicio 6.10 ★★★

El conjunto de Cantor de los tercios centrales $C = \bigcap_n C_n$ , donde $C_0 = [0,1]$ y $C_{n+1}$ suprime el tercio central abierto de cada intervalo de $C_n$ . (a) Demostrar que $C = \bigl\{\sum_{n\geq1} a_n3^{-n} : a_n \in \{0,2\}\bigr\}$ , que $C$ es compacto con interior vacío y que no tiene puntos aislados (es perfecto). (b) Demostrar que $C$ es totalmente disconexo. (c) Demostrar que $x \mapsto (a_n(x))_n$ es un homeomorfismo $C \to \{0,2\}^\N$ (con la topología producto sobre el espacio discreto de dos puntos); deducir que $C$ es no numerable y que $C \times C \cong C$ .

Solución

Solución de Ejercicio 6.10.

(a) $C_n$ consta exactamente de los $x$ que admiten un desarrollo ternario con dígitos en $\{0, 2\}$ hasta el rango $n$ (inducción: suprimir los tercios centrales elimina el primer dígito $1$ , etc.; los extremos tienen dos desarrollos, uno de ellos sin $1$ ), de modo que $C = \bigcap C_n$ es el conjunto de las sumas $\sum a_n3^{-n}$ con $a_n \in \{0,2\}$ . Compacto: cada $C_n$ es unión finita de intervalos cerrados, y $C$ es cerrado en $[0,1]$ . Interior vacío: $C \subseteq C_n$ , unión de intervalos de longitud $3^{-n}$ ; un intervalo interior de longitud $\ell > 0$ tendría que caber en uno de ellos para todo $n$ . Perfecto: dados $x \in C$ y $m$ , cámbiese el dígito $a_m$ : el nuevo punto está en $C$ , es distinto y dista menos de $2\cdot3^{-m}$ de $x$ .

(b) Si $x \neq y \in C$ , sus desarrollos difieren por primera vez en cierto rango $k$ ; entre ellos hay un tercio central suprimido (el hueco de rango $k$ que separa el dígito $0$ del dígito $2$ ), lo que proporciona un punto $c \notin C$ , $x < c < y$ (digamos): $C = (C \cap (-\infty, c)) \sqcup (C \cap (c, \infty))$ desconecta cualquier subconjunto que contenga ambos puntos. Las componentes se reducen a puntos.

(c) La aplicación de dígitos $\beta\colon x \mapsto (a_n(x))$ es una biyección sobre $\{0,2\}^\N$ (existencia y unicidad de los desarrollos en base $\{0,2\}$ : sucesiones de dígitos distintas dan puntos a distancia $\geq 3^{-k} > 0$ del rango en que difieren por primera vez, como en el Problema 6.1, pregunta 1). Es continua: $\abs{x - y} < 3^{-m}$ obliga a que coincidan los $m$ primeros dígitos (mismo cálculo), de modo que $\beta$ lleva bolas pequeñas dentro de cajas de la base. Una biyección continua del compacto $C$ al producto de Hausdorff es un homeomorfismo (el Corolario 6.14; el producto es de Hausdorff: sepárese en una coordenada en la que difieran). No numerabilidad: diagonal de Cantor sobre $\{0,2\}^\N$ . Por último, $\{0,2\}^\N \times \{0,2\}^\N \cong \{0,2\}^\N$ entrelazando dígitos (un homeomorfismo: continuidad componente a componente en ambos sentidos), luego $C \times C \cong C$ .

Ejercicio 6.11 ★★★

Proyección estereográfica: desde el polo norte $N = (0, \dots, 0, 1)$ de $S^n \subseteq \R^{n+1}$ , la aplicación $\sigma(x) = \frac{(x_1, \dots, x_n)}{1 - x_{n+1}}$ es un homeomorfismo $S^n \setminus \{N\} \to \R^n$ (dese la inversa explícitamente). Deducir que $S^n$ es homeomorfa a la compactificación por un punto $\widehat{\R^n}$ y que, suprimiendo cualquier punto de $S^n$ , queda un espacio homeomorfo a $\R^n$ .

Solución

Solución de Ejercicio 6.11.

Para $y \in \R^n$ , póngase

\tau(y) = \Bigl(\frac{2y}{\norm y^2 + 1},\ \frac{\norm y^2 - 1}{\norm y^2 + 1}\Bigr) \in \R^n\times\R = \R^{n+1}.

Se comprueba que $\norm{\tau(y)} = 1$ , $\tau(y) \neq N$ , y $\sigma(\tau(y)) = y$ , $\tau(\sigma(x)) = x$ : $\sigma$ y $\tau$ son mutuamente inversas y ambas continuas (fórmulas racionales con denominadores que no se anulan): $S^n\setminus\{N\} \cong \R^n$ . Extiéndase a $\hat\sigma \colon S^n \to \widehat{\R^n}$ mediante $N \mapsto \infty$ : es una biyección, continua en todo punto de $S^n\setminus\{N\}$ y en $N$ : un entorno de la base de $\infty$ es $\widehat{\R^n}\setminus K$ con $K$ compacto, $K \subseteq \bar B(0, R)$ ; como $\norm{\sigma(x)}^2 = \frac{1 + x_{n+1}}{1 - x_{n+1}} \to \infty$ cuando $x_{n+1} \to 1$ , el conjunto $\{x \in S^n : x_{n+1} > 1 - \eta\}$ se aplica fuera de $\bar B(0,R)$ para $\eta$ pequeño: continuidad. Una biyección continua del compacto $S^n$ al de Hausdorff $\widehat{\R^n}$ es un homeomorfismo. Al suprimir otro punto $p$ : una rotación de $S^n$ lleva $p$ a $N$ (las rotaciones son homeomorfismos), lo que reduce al caso ya calculado: $S^n \setminus \{p\} \cong \R^n$ .

Ejercicio 6.12 ★★★

(La curva seno del topólogo) Sea

T = \bigl\{(x, \sin\tfrac1x) : 0 < x \leq 1\bigr\} \cup \bigl(\{0\}\times\intcc{-1}1\bigr) \subseteq \R^2 .

(a) Demostrar que $T$ es compacto y que es la clausura de la parte que es gráfica. (b) Demostrar que $T$ es conexo (la gráfica es conexa por ser imagen continua; su clausura sigue siendo conexa). (c) Demostrar que $T$ no es conexo por caminos: ningún camino continuo une $(0,0)$ con $(1, \sin1)$ . (Si $\gamma = (\gamma_1, \gamma_2)$ es un tal camino, sea $t^* = \sup\{t : \gamma_1(t) = 0\}$ ; justo después de $t^*$ , $\gamma_1$ toma todos los valores positivos pequeños (teorema del valor intermedio), de modo que $\gamma_2$ oscila entre $\pm1$ en todo intervalo $(t^*, t^* + \delta)$ — en contra de la continuidad en $t^*$ .) (d) Concluir que la conexión por caminos es estrictamente más fuerte que la conexión, y demostrar que ningún ejemplo de este tipo puede ser abierto en $\R^n$ : un subconjunto abierto y conexo de $\R^n$ es conexo por caminos (el conjunto de los puntos unibles al punto base por un camino es abierto y cerrado en el dominio).

Solución

Solución de Ejercicio 6.12.

(a) $T$ está acotado y es cerrado: un límite de puntos de $T$ con abscisas $\to x_0 > 0$ permanece sobre la gráfica (localmente cerrada) por la continuidad de $\sin\frac1x$ en $\intoc01$ ; un límite con abscisas $\to 0$ tiene ordenada en $\intcc{-1}1$ y, por tanto, está en el segmento. Compacto por Heine–Borel (el Corolario 6.17). Clausura de la gráfica $\Gamma$ : todo punto $(0, y)$ con $y \in \intcc{-1}1$ es límite de puntos de la gráfica — resuélvase $\sin\frac1x = y$ cerca de $0$ (la función barre $\intcc{-1}1$ en cada intervalo $[\frac1{(k+1)\pi}, \frac1{k\pi}]$ ): $\bar\Gamma = T$ .

(b) $\Gamma$ es la imagen continua del conexo $\intoc01$ por $x \mapsto (x, \sin\frac1x)$ : es conexa; y la clausura de un conexo es conexa (Teorema 6.20): $T = \bar\Gamma$ es conexo.

(c) Supongamos que $\gamma\colon\intcc01\to T$ es continua con $\gamma(0) = (0,0)$ , $\gamma(1) = (1, \sin1)$ , y sea $t^* = \sup\{t : \gamma_1(t) = 0\}$ : por continuidad, $\gamma_1(t^*) = 0$ y $\gamma_1 > 0$ sobre $\intoc{t^*}1$ . Para todo $\delta > 0$ , sobre el intervalo $\intoc{t^*}{t^*+\delta}$ la función $\gamma_1$ toma todos los valores de cierto $\intoc0\eta$ (teorema del valor intermedio, $\gamma_1(t^* + \delta) > 0$ ); en particular, contiene abscisas de la forma $\frac1{\pi/2 + 2k\pi}$ y $\frac1{-\pi/2 + 2k\pi}$ con $k$ arbitrariamente grande, en las que $\gamma_2 = \pm1$ . Así, en todo entorno por la derecha de $t^*$ , $\gamma_2$ toma ambos valores $1$ y $-1$ : $\gamma_2$ no tiene límite en $t^{*+}$ , en contra de la continuidad. No existe tal camino.

(d) $T$ es conexo pero no conexo por caminos: las dos nociones difieren. Para $U \subseteq \R^n$ abierto y conexo y $a \in U$ , sea $V$ el conjunto de los puntos de $U$ unibles a $a$ por un camino en $U$ . $V$ es abierto: alrededor de $x \in V$ hay una bola $B(x, r) \subseteq U$ estrellada, y concatenando el camino hasta $x$ con un segmento se alcanza todo punto de la bola. $V$ es cerrado en $U$ : si $x \in U \setminus V$ , el mismo argumento de la bola muestra que $B(x, r) \cap V = \varnothing$ (un punto de $V$ en la bola uniría $a$ con $x$ ). No vacío ( $a \in V$ ), abierto y cerrado en el conexo $U$ : $V = U$ . La curva seno escapa a esto por ser cerrada de interior vacío: su punto «malo» $(0,0)$ no tiene ninguna bola dentro de $T$ con la que salvar las oscilaciones.

6.6 Problema: el conjunto de Cantor y una curva que llena el cuadrado

Problema 6.1

Problema de fin de semana — las curvas de Peano existen, y por qué no son homeomorfismos

En 1890 Peano dejó atónito al análisis con una sobreyección continua $[0,1] \to [0,1]^2$ : una curva que llena un cuadrado. Construiremos una a mano a partir del conjunto de Cantor $C$ del Ejercicio 6.10 (cuyos resultados pueden usarse libremente) y demostraremos después que ninguna aplicación así puede ser inyectiva: los cuadrados no son curvas. En todo el problema, los elementos de $C$ se escriben $x = \sum_{n \geq 1} \frac{2b_n(x)}{3^n}$ con dígitos $b_n(x) \in \{0, 1\}$ .

Parte I — Leer los dígitos de manera continua.

Demostrar que si $x, y \in C$ cumplen $\abs{x - y} < 3^{-m}$ , entonces $b_n(x) = b_n(y)$ para todo $n \leq m$ . (Si el primer dígito en que difieren es el $b_k$ , entonces $\abs{x - y} \geq \frac{2}{3^k} - \sum_{j>k}\frac2{3^j} = \frac1{3^k}$ .)
Deducir que cada función dígito $b_n \colon C \to \{0, 1\}$ es continua y volver a obtener el homeomorfismo $C \cong \{0,1\}^\N$ del Ejercicio 6.10(c).

Parte II — Una sobreyección continua $C \to [0,1]^2$ .

Defínase $g \colon C \to [0,1]$ mediante $g(x) = \sum_{n\geq1} b_n(x)\,2^{-n}$ (léanse los dígitos de Cantor como binarios). Demostrar que $g$ es continua (úsese la pregunta 1) y sobreyectiva. ¿Es inyectiva?
Defínase $\Phi \colon C \to [0,1]^2$ mediante

$\Phi(x) = \Bigl(\ \sum_{n\geq1} b_{2n-1}(x)\,2^{-n},\ \sum_{n\geq1} b_{2n}(x)\,2^{-n}\ \Bigr)$

(los dígitos impares dan la abscisa y los pares la ordenada). Demostrar que $\Phi$ es continua y sobreyectiva.

Parte III — Rellenar los huecos: la curva de Peano.

El complementario $[0,1] \setminus C$ es una unión numerable de intervalos abiertos disjuntos $(u, v)$ (los tercios centrales suprimidos) cuyos extremos están en $C$ . Defínase $f \colon [0,1] \to [0,1]^2$ como $f = \Phi$ sobre $C$ , extendida afínmente en cada hueco:

$f(t) = \frac{v - t}{v - u}\,\Phi(u) + \frac{t - u}{v - u}\,\Phi(v), \qquad t \in (u, v).$

Demostrar que $f$ está bien definida y es sobreyectiva sobre $[0,1]^2$ .
Demostrar que $f$ es continua en todo punto de $[0,1] \setminus C$ (es localmente afín) y en todo punto de $C$ : dado $\varepsilon$ , tómese $m$ con $2^{-m} < \varepsilon/2$ y úsese la pregunta 1 para controlar $\Phi$ sobre $C$ cerca de $x$ ; compruébese después que la interpolación afín no puede escaparse: sobre un hueco $(u,v) \subseteq (x - 3^{-m}, x + 3^{-m})$ , los valores $f(t)$ están en el segmento $[\Phi(u), \Phi(v)]$ , cuyos dos extremos están próximos a $\Phi(x)$ . Concluir: $f$ es una sobreyección continua $[0,1] \to [0,1]^2$ .
Deducir la existencia de sobreyecciones continuas $[0,1] \to [0,1]^n$ para todo $n \geq 2$ , y $\R \to \R^2$ .

Parte IV — Pero nunca inyectiva.

Demostrar que una inyección continua $f \colon [0,1] \to [0,1]^2$ sería un homeomorfismo sobre su imagen (Corolario 6.14).
Demostrar que $[0,1]$ y $[0,1]^2$ no son homeomorfos: suprímase un punto bien elegido y compárese la conexión (Método 6.25).
Concluir: una sobreyección continua $[0,1] \to [0,1]^2$ nunca puede ser inyectiva — si lo fuera, la pregunta 8 haría $[0,1]^2 = f([0,1])$ homeomorfo a $[0,1]$ , en contra de la pregunta 9. ¿Dónde intervino exactamente la compacidad de $[0,1]$ en el argumento?
(Culminación) Reúnase la moraleja: existe una sobreyección continua, pero ninguna biyección continua $[0,1] \to [0,1]^2$ . ¿Qué dice esto sobre la «dimensión» como noción topológica? Formúlese con precisión un teorema demostrado en este problema y un enunciado plausible que queda fuera de nuestras herramientas (la invariancia del dominio).

Parte V — La aritmética del conjunto de Cantor.

Demostrar que $C + C = [0, 2]$ : dado $t \in [0, 1]$ , escríbase $t = \sum_n d_n3^{-n}$ con dígitos $d_n \in \{0, 1, 2\}$ y sepárese cada dígito como $d_n = a_n + b_n$ con $a_n, b_n \in \{0, 1\}$ ; concluir que $\frac C2 + \frac C2 = [0, 1]$ (¿qué subconjunto de $[0,1]$ es $\frac C2$ , en términos de dígitos ternarios?) y reescálese después. Nunca hacen falta acarreos — explíquese por qué ese es el meollo.
Interprétese geométricamente: el «polvo de Cantor» $C \times C \subseteq \R^2$ , de interior vacío, proyecta una sombra completa sobre la diagonal: la proyección $(x, y) \mapsto x + y$ lo aplica sobre $[0, 2]$ . Regístrese también la autosemejanza $C = \frac C3 \cup \bigl(\frac C3 + \frac23\bigr)$ , la ecuación que hay detrás de toda imagen de $C$ .
Demostrar que el entrelazado de dígitos define un homeomorfismo $C \to C \times C$ y deducir $C \cong C^n$ para todo $n$ — el conjunto de Cantor es su propio cuadrado, su propio cubo, … ¿Qué espacios familiares comparten esta propiedad?
Demostrar que $\frac14 \in C$ (calcúlese su desarrollo ternario: $\frac14 = \sum_{k\geq1} 2\cdot3^{-2k}$ ) aunque $\frac14$ no sea extremo de ningún intervalo suprimido; deducir — contando extremos — que los extremos forman un subconjunto numerable y propio de $C$ .
Demostrar que la aplicación de lectura binaria $g$ de la pregunta 3 es a lo sumo $2$ a $1$ , y describir exactamente qué puntos de $[0,1]$ tienen dos preimágenes. ( $g$ colapsa $C$ sobre $[0,1]$ pegando una infinidad numerable de parejas: la sombra combinatoria de la escalera de Cantor, que reaparecerá en el Capítulo 9.)

Parte VI — Conjuntos compactos perfectos: Cantor en todas partes. Un espacio métrico compacto no vacío $P$ es perfecto si no tiene puntos aislados.

Sea $P$ compacto perfecto y sean $x \in P$ , $r > 0$ . Demostrar que la bola $B(x, r)$ contiene dos puntos $y_0 \neq y_1$ de $P$ y, por tanto, dos bolas cerradas disjuntas $\bar B(y_0, \rho)$ , $\bar B(y_1, \rho)$ dentro de $B(x, r)$ , centradas en puntos de $P$ y de radio $\rho \leq r/4$ tan pequeño como se quiera. Explíquese por qué la perfección (la ausencia de puntos aislados) es exactamente lo que permite repetir esta división dentro de cada una de las dos bolas nuevas.
Itérese: constrúyanse cerrados $F_w \neq \varnothing$ indexados por palabras binarias finitas $w$ , con $F_{w0}, F_{w1} \subseteq F_w$ disjuntos y $\operatorname{diam}F_w \leq 2^{-\abs w} \operatorname{diam}P$ . Demostrar que, para toda palabra infinita $\varepsilon \in \{0,1\}^\N$ , la intersección $\bigcap_mF_{\varepsilon_1\cdots\varepsilon_m}$ es un único punto $h(\varepsilon)$ (propiedad de intersección finita de los compactos $P$ ).
Demostrar que $h\colon\{0,1\}^\N \to P$ es inyectiva y continua, y concluir: todo espacio métrico compacto perfecto es no numerable — de hecho, de cardinal al menos el de $\{0,1\}^\N$ . Recupérese: $[0,1]$ y $C$ son no numerables.
Demostrar que $h$ es un homeomorfismo sobre su imagen (inyección continua desde un compacto, el Corolario 6.14): todo espacio métrico compacto perfecto contiene una copia homeomorfa del conjunto de Cantor. El conjunto de Cantor no es una rareza, sino el germen universal de la perfección compacta.
Deducir que todo espacio métrico compacto numerable tiene un punto aislado, y exhibir uno en el que los puntos aislados sean densos sin serlo todo: $K = \{0\} \cup \{\frac1n : n \geq 1\}$ .
(Cantor–Bendixson en $\R$ ) Sea $F \subseteq \R$ cerrado. Diremos que $x$ es un punto de condensación de $F$ si todo entorno de $x$ corta a $F$ en un conjunto no numerable. Demostrar que los puntos de condensación de un cerrado no numerable $F$ forman un cerrado perfecto no vacío $P$ y que $F \setminus P$ es numerable (recúbranse los puntos que no son de condensación mediante una cantidad numerable de intervalos racionales que cortan a $F$ en conjuntos numerables). Concluir: todo subconjunto cerrado de $\R$ es numerable o tiene el cardinal del continuo — la hipótesis del continuo se cumple para los cerrados.

Parte VII — Codas: cuán regular, y cuán lejos de ser perfecto.

(Regularidad Hölder de la curva) Póngase $\alpha = \frac{\ln 2}{2\ln 3} \approx 0.3155$ y obsérvese la identidad $3^\alpha = \sqrt2$ . Usando la pregunta 1, demostrar que

$\norm{\Phi(x) - \Phi(y)}_\infty \leq 2\,\abs{x - y}^\alpha \qquad (x, y \in C),$

propáguese después la estimación por los huecos afines: demuéstrese que la curva de Peano $f$ de la pregunta 6 cumple $\norm{f(t) - f(s)}_\infty \leq 6\abs{t - s}^\alpha$ en todo $[0,1]$ (trátese un par situado en un mismo hueco por interpolación, y un par general pasando por los puntos extremos de $C \cap [t, s]$ ).
(El exponente $\frac12$ es un muro) Demostrar que ninguna sobreyección $F \colon [0,1] \to [0,1]^2$ puede ser Hölder de exponente $\alpha$ con $\alpha > \frac12$ : córtese $[0,1]$ en $N$ intervalos, acótense los diámetros de sus imágenes y cuéntense los puntos de la retícula $\bigl(\frac iM, \frac jM\bigr)$ , $0 \leq i, j \leq M$ , que puede contener un conjunto de diámetro $< \frac1M$ ; tómese $M$ del orden de $N^\alpha$ y hágase $N \to \infty$ . Sitúese nuestra curva ( $\alpha \approx 0.3155$ ) respecto del muro y regístrese sin demostración que la curva de Hilbert alcanza el exponente crítico $\frac12$ .
(Conjuntos derivados: medir la imperfección) Para $F$ cerrado en $\R$ , sea $F'$ el conjunto de sus puntos de acumulación $F$ (un cerrado), e itérese: $F^{(0)} = F$ , $F^{(i+1)} = (F^{(i)})'$ . Comprobar que

$K = \{0\} \cup \Bigl\{\frac1m\Bigr\}_{m \geq 1} \cup \Bigl\{\frac1m + \frac1n : m \geq 1,\ n > m^2\Bigr\}$

es un compacto numerable con $K' = \{0\} \cup \{\frac1m\}$ , $K'' = \{0\}$ , $K''' = \varnothing$ (compruébese que el $m$ -ésimo racimo vive en el intervalo $(\frac1m, \frac1{m-1})$ , de modo que los racimos no se entrelazan) y que sus puntos aislados son densos en $K$ , como predice la pregunta 21. Descríbase la inducción que produce, para todo $j$ , un compacto numerable $K_j$ con $K_j^{(j)} = \{0\}$ y $K_j^{(j+1)} = \varnothing$ , y contrástese con los conjuntos perfectos de la pregunta 22, para los cuales la derivación nunca se mueve: el rango finito es exactamente lo contrario de la perfección.

Solución

Solución de Problema 6.1.

1. Supongamos que los desarrollos de $x, y \in C$ difieren por primera vez en el rango $k \leq m$ , digamos $b_k(x) = 1$ , $b_k(y) = 0$ . Entonces

x - y \;\geq\; \frac{2}{3^k} - \sum_{j > k}\frac{2}{3^j} = \frac{2}{3^k} - \frac{1}{3^k} = \frac1{3^k} \geq \frac1{3^m}:

contrarrecíproco: $\abs{x - y} < 3^{-m}$ obliga a que coincidan hasta el rango $m$ .

2. Por la pregunta 1, $b_n$ es constante sobre $C \cap (x - 3^{-n}, x + 3^{-n})$ : es localmente constante y, por tanto, continua. La aplicación $x \mapsto (b_n(x))_n \in \{0,1\}^\N$ es continua (componente a componente, la Proposición 6.10(a)) y biyectiva (unicidad de los desarrollos de dígitos $\{0,2\}$ ); desde el compacto $C$ a un espacio de Hausdorff, es un homeomorfismo (Corolario 6.14).

3. Continuidad: si $\abs{x - y} < 3^{-m}$ , los $m$ primeros dígitos coinciden, luego $\abs{g(x) - g(y)} \leq \sum_{n > m}2^{-n} = 2^{-m}$ . Sobreyectividad: todo $t \in [0,1]$ tiene un desarrollo binario $t = \sum b_n2^{-n}$ , y $t = g\bigl(\sum 2b_n3^{-n}\bigr)$ . No inyectiva: $g$ identifica los dos puntos de Cantor de dígitos $(0,1,1,1,\dots)$ y $(1,0,0,\dots)$ — ambos van a $\frac12$ (la ambigüedad diádica $0.0111\ldots_2 = 0.1000\ldots_2$ ).

4. Cada componente de $\Phi$ es continua por la misma estimación (sus dígitos son una subsucesión de los $b_n$ ). Sobreyectividad: dado $(s, t) \in [0,1]^2$ , elíjanse dígitos binarios $(c_n)$ de $s$ y $(d_n)$ de $t$ , y entrelácense: el punto $x \in C$ con $b_{2n-1}(x) = c_n$ , $b_{2n}(x) = d_n$ cumple $\Phi(x) = (s,t)$ .

5. Los huecos son disjuntos dos a dos y tienen los extremos en $C$ , de modo que la fórmula define $f$ sin ambigüedad sobre $[0,1]$ ; en los extremos de un hueco, la fórmula afín devuelve $\Phi(u)$ , $\Phi(v)$ : coherente con $f = \Phi$ sobre $C$ . Sobreyectividad: ya lo era $f(C) = \Phi(C) = [0,1]^2$ .

6. En $t_0 \notin C$ : $t_0$ está en un hueco abierto sobre el que $f$ es afín: continua. En $x \in C$ : registremos primero dos estimaciones.

(i) Sobre $C$ : si $\abs{y - x} \leq 3^{-M}$ , $y \in C$ , entonces los dígitos coinciden hasta $M$ , de modo que cada componente de $\Phi(y) - \Phi(x)$ es a lo sumo $\sum_{n > \lfloor M/2\rfloor} 2^{-n} = 2^{-\lfloor M/2\rfloor}$ .

(ii) A través de un hueco: un hueco $(u,v)$ suprimido en la etapa $k$ tiene longitud $3^{-k}$ , y los dígitos de sus extremos coinciden hasta el rango $k - 1$ (difieren a partir del rango $k$ ), de modo que $\norm{\Phi(v) - \Phi(u)}_\infty \leq 2^{-\lfloor (k-1)/2\rfloor}$ .

Sean ahora $\abs{t - x} < 3^{-M}$ con $t$ en un hueco $(u, v)$ de etapa $k$ , y sea $u$ el extremo del lado de $x$ , de forma que $\abs{u - x} < 3^{-M}$ y $0 < t - u < 3^{-M}$ . Entonces

\norm{f(t) - \Phi(x)}_\infty \leq \norm{\Phi(u) - \Phi(x)}_\infty + \frac{t - u}{v - u}\,\norm{\Phi(v) - \Phi(u)}_\infty \leq 2^{-\lfloor M/2\rfloor} + \min\bigl(1,\ 3^{k - M}\bigr)\, 2^{-\lfloor(k-1)/2\rfloor} .

Para $k \geq M$ , el último término es $\leq 2^{-\lfloor(M-1)/2 \rfloor}$ ; para $k < M$ , como $2^{-\lfloor(k-1)/2\rfloor} \leq \sqrt2\,\cdot 2^{-k/2}$ ,

3^{k-M}\,2^{-\lfloor(k-1)/2\rfloor} \leq \sqrt2\,\Bigl(\frac{3}{\sqrt2}\Bigr)^{k} 3^{-M} \leq \sqrt2\,\Bigl(\frac{3}{\sqrt2}\Bigr)^{M} 3^{-M} = \sqrt2\; 2^{-M/2}

(la cantidad intermedia crece con $k$ ). En todos los casos, $\norm{f(t) - \Phi(x)}_\infty \leq C\,2^{-M/2}$ con una constante absoluta $C$ : haciendo $M \to \infty$ se demuestra la continuidad en $x$ (los puntos $t \in C$ los cubre (i)). Por tanto, $f$ es una sobreyección continua $[0,1] \to [0,1]^2$ — de hecho, las estimaciones muestran que es de tipo Hölder con exponente $\log 2/(2\log 3)$ , pero la continuidad es todo lo que hemos afirmado.

7. Para $[0,1]^n$ : sepárense los dígitos de $x \in C$ en $n$ subsucesiones entrelazadas y repítanse las preguntas 4–6 literalmente. Para $\R \to \R^2$ : sea $h \colon [0,1] \to [-1,1]^2$ una sobreyección continua (reescálese $f$ ). Defínase $F$ sobre $[m, m + \frac12]$ ( $m \in \Z$ ) como una copia de $h$ reescalada para llenar $[-(m+1), m+1]^2$ si $m \geq 0$ (y simétricamente para $m < 0$ ), y sobre $[m + \frac12, m + 1]$ como el segmento afín que une los valores en los extremos: $F$ es continua (pegado sobre cerrados, la Proposición 6.6(b)) y su imagen contiene $\bigcup_m [-(m+1), m+1]^2 = \R^2$ .

8. $[0,1]$ es compacto y $[0,1]^2$ es de Hausdorff: una inyección continua es un homeomorfismo sobre su imagen (el Corolario 6.14 aplicado a la correstricción).

9. Suprimamos $\frac12$ : $[0,1]\setminus\{\frac12\}$ es disconexo. Si $h \colon [0,1] \to [0,1]^2$ fuera un homeomorfismo, $[0,1]^2\setminus\{h(\frac12)\}$ también sería disconexo (las imágenes homeomorfas de espacios disconexos son disconexas); pero el cuadrado menos un punto es conexo por caminos: únanse dos puntos por un camino de dos segmentos que evite el punto suprimido. Contradicción: $[0,1] \not\cong [0,1]^2$ .

10. Por la pregunta 8, una sobreyección continua inyectiva $[0,1] \to [0,1]^2$ sería un homeomorfismo, en contra de la pregunta 9. La compacidad intervino exactamente en el Corolario 6.14: es lo que hace continua la inversa de la biyección continua (las imágenes de cerrados son compactas y, por tanto, cerradas). Sin compacidad la conclusión falla realmente: $[0, 2\pi) \to S^1$ es una biyección continua que no es un homeomorfismo.

11. Aquí queda demostrado: existe una sobreyección continua, pero ninguna biyección continua, de $[0,1]$ sobre $[0,1]^2$ ; en particular, $[0,1] \not\cong [0,1]^2$ . Así pues, la «dimensión» no se conserva por sobreyecciones continuas — ni el cardinal ni siquiera la continuidad pueden verla —, pero sí es un invariante topológico al nivel de los homeomorfismos, al menos para las dimensiones $1$ y $2$ , donde basta la conexión tras suprimir un punto. El enunciado general — la invariancia del dominio: $\R^m \cong \R^n$ implica $m = n$ , y una inyección continua $\R^n \to \R^n$ es abierta — es cierto, pero exige topología algebraica (homología), fuera de este curso.

12. En base ternaria, $\frac C2 = \{\sum_na_n3^{-n} : a_n \in \{0, 1\}\}$ (dividir por dos los dígitos $\{0,2\}$ da los dígitos $\{0,1\}$ ). Para $t \in [0,1]$ , tómese cualquier desarrollo ternario $t = \sum_nd_n3^{-n}$ , $d_n \in \{0,1,2\}$ , y sepárese cada dígito como $d_n = a_n + b_n$ con $a_n, b_n \in \{0,1\}$ ( $0 = 0{+}0$ , $1 = 1{+}0$ , $2 = 1{+}1$ ): entonces $t \in \frac C2 + \frac C2$ . El meollo es que cada dígito se separa dentro de $\{0,1\}$ , de modo que ningún acarreo se propaga y los dígitos pueden tratarse por separado. La inclusión recíproca es clara (las sumas de dígitos siguen siendo $\leq 2$ ). Reescalando por $2$ : $C + C = [0,2]$ .

13. La aplicación $(x, y) \mapsto x + y$ lleva $C \times C$ sobre $C + C = [0,2]$ : el polvo, que no contiene ningún cuadrado (interior vacío: el Ejercicio 6.10), se proyecta a lo largo de la antidiagonal sobre un segmento completo. Autosemejanza: el primer dígito ternario de un punto de Cantor es $0$ o $2$ , y al quitarlo queda $C = \frac C3 \cup \bigl(\frac C3 + \frac23\bigr)$ — la ecuación de punto fijo que genera toda imagen de $C$ .

14. A través de $C \cong \{0,1\}^\N$ (pregunta 2), el entrelazado $(\varepsilon, \varepsilon') \mapsto (\varepsilon_1, \varepsilon_1', \varepsilon_2, \varepsilon_2', \dots)$ es una biyección $\{0,1\}^\N\times\{0,1\}^\N \to \{0,1\}^\N$ , continua en ambos sentidos (cada coordenada de salida depende de una sola coordenada de entrada; topología producto). Por tanto, $C\times C \cong C$ y, por inducción, $C^n \cong C$ . Los espacios familiares no comparten esto: $\R^2 \not\cong \R$ y $[0,1]^2 \not\cong [0,1]$ (pregunta 11); los productos infinitos sí: $([0,1]^\N)^2 \cong [0,1]^\N$ por el mismo entrelazado.

15. $\sum_{k\geq1}2\cdot3^{-2k} = 2\cdot\frac{1/9}{1 - 1/9} = \frac14$ : el desarrollo ternario de $\frac14$ es $0.\overline{02}$ , con dígitos en $\{0,2\}$ , luego $\frac14 \in C$ ; y como no es un desarrollo finito ni tiene cola constante $2$ , no es extremo de ningún tercio central suprimido. Los extremos forman un conjunto numerable (dos por intervalo suprimido, y una cantidad numerable de intervalos), mientras que $C \cong \{0,1\}^\N$ es no numerable (argumento diagonal, o pregunta 19): casi todo punto de Cantor es, como $\frac14$ , invisible en la imagen habitual de los extremos.

16. $g(x) = g(y)$ significa que las sucesiones binarias $(b_n(x))$ , $(b_n(y))$ representan el mismo real. Las sucesiones binarias distintas que representan el mismo número son exactamente las de la ambigüedad diádica $0.w01^\infty = 0.w10^\infty$ : hay a lo sumo dos preimágenes, y exactamente dos precisamente en los racionales diádicos de $(0,1)$ . Así pues, $g$ colapsa $C$ sobre $[0,1]$ pegando una cantidad numerable de parejas — el esqueleto combinatorio de la escalera de Cantor del Capítulo 9.

17. $x$ no es aislado en $P$ , de modo que $B(x, r/2)$ contiene algún $y_0 \in P \setminus \{x\}$ ; $y_0$ tampoco es aislado, de modo que $B(x, r/2)$ contiene un segundo punto $y_1 \in P$ . Cualquier $\rho \leq \min\bigl(\frac{d(y_0,y_1)}3, \frac r4\bigr)$ hace $\bar B(y_0, \rho)$ y $\bar B(y_1, \rho)$ disjuntas y contenidas en $B(x, r)$ . Ambas están centradas en puntos de $P$ , donde puede repetirse la misma extracción de dos puntos: la perfección es la reserva inagotable de puntos próximos que mantiene viva la recursión para siempre.

18. Constrúyanse los $F_w$ por inducción sobre la longitud de la palabra: $F_\varnothing = P$ , y dentro de cada bola $B(y_w, \rho_w)$ la pregunta 17 proporciona dos bolas cerradas disjuntas de radio $\leq \min(\rho_w/2,\ 2^{-\abs w-1}\operatorname{diam}P)$ centradas en puntos de $P$ ; póngase $F_{wi} = \bar B(y_{wi}, \rho_{wi}) \cap P$ : es no vacío (su centro) y compacto. Para $\varepsilon$ infinita, los compactos encajados no vacíos $F_{\varepsilon_1\cdots\varepsilon_m}$ tienen intersección no vacía (propiedad de intersección finita en el compacto $P$ ) y de diámetro $0$ : un único punto $h(\varepsilon)$ .

19. Dos palabras que difieren por primera vez en el rango $m$ envían sus imágenes a los dos conjuntos disjuntos $F_{w0}, F_{w1}$ (prefijo común $w$ ): $h$ es inyectiva. Si dos palabras coinciden hasta el rango $m$ , ambas imágenes están en un conjunto de diámetro $\leq 2^{-m}\operatorname{diam}P$ : $h$ es continua. Así, el conjunto no numerable $\{0,1\}^\N$ se inyecta en $P$ : todo espacio métrico compacto perfecto es no numerable — $[0,1]$ y $C$ entre ellos.

20. $h$ es una inyección continua del compacto $\{0,1\}^\N$ en el de Hausdorff (métrico) $P$ : el Corolario 6.14 la mejora a un homeomorfismo sobre su imagen; y $\{0,1\}^\N \cong C$ (pregunta 2). Todo espacio métrico compacto perfecto contiene una copia del conjunto de Cantor: la perfección tiene un germen universal, y es el de Cantor.

21. Un espacio métrico compacto numerable no puede ser perfecto (pregunta 19), de modo que tiene un punto aislado. En $K = \{0\}\cup\{\frac1n : n \geq 1\}$ , todo punto $\frac1n$ es aislado y $0$ no lo es: los puntos aislados pueden incluso ser densos sin que el espacio sea discreto — la compacidad mantiene su límite dentro.

22. Sea $P$ el conjunto de los puntos de condensación de $F$ y sea $\mathcal B$ la familia numerable de los intervalos abiertos con extremos racionales. Todo punto de $F$ que no sea de condensación está en algún $I \in \mathcal B$ con $I \cap F$ numerable, de modo que $F \setminus P$ está contenido en la unión de esas trazas numerables, en cantidad numerable: es numerable. Como $F$ es no numerable, $P \neq \varnothing$ ; $P$ es cerrado (si $x \notin P$ , el intervalo testigo $I$ no contiene ningún punto de condensación: $I \cap F$ es numerable) y $P \subseteq F$ ( $F$ es cerrado: un punto de condensación es en particular adherente). $P$ es perfecto: si fuera $I \cap P = \{x\}$ para algún intervalo $I$ , entonces $I \cap F \subseteq \{x\} \cup (F \setminus P)$ sería numerable, en contra de $x \in P$ . Y la construcción del árbol de las preguntas 17–19 funciona literalmente dentro de $P$ : las piezas $\bar B(y, \rho) \cap P$ son compactas (cerradas y acotadas en $\R$ ), todo centro es no aislado en $P$ , y el argumento no usó nada más. Por tanto, $\abs P \geq \abs{\{0,1\}^\N} = \mathfrak c$ , y $\abs F \leq \mathfrak c$ trivialmente: un cerrado no numerable $F \subseteq \R$ tiene cardinal exactamente $\mathfrak c$ . Los cerrados no pueden atestiguar un fallo de la hipótesis del continuo.

23. Sean $x \neq y$ en $C$ y elíjase $m \geq 0$ con $3^{-(m+1)} \leq \abs{x - y} < 3^{-m}$ . Por la pregunta 1, los dígitos $b_n(x) = b_n(y)$ coinciden para $n \leq m$ ; la primera coordenada de $\Phi$ usa $b_1, b_3, \dots$ y la segunda $b_2, b_4, \dots$ , de modo que en cada coordenada los dos puntos comparten al menos $\lfloor m/2\rfloor$ dígitos binarios iniciales:

\norm{\Phi(x) - \Phi(y)}_\infty \leq \sum_{k > \lfloor m/2\rfloor}2^{-k} = 2^{-\lfloor m/2\rfloor} \leq \sqrt2\cdot2^{-m/2} = \sqrt2\,\bigl(3^{-m}\bigr)^\alpha \leq \sqrt2\,\bigl(3\abs{x-y}\bigr)^\alpha,

usando $2^{-m/2} = 3^{-m\alpha}$ (tómense logaritmos); y $\sqrt2\cdot3^\alpha = \sqrt2\cdot\sqrt2 = 2$ : la cota $2\abs{x-y}^\alpha$ sobre $C$ . Mismo hueco $(u, v)$ : $f$ es afín allí, luego, para $t, s \in [u, v]$ ,

\norm{f(t) - f(s)} = \frac{\abs{t-s}}{v-u}\, \norm{\Phi(v) - \Phi(u)} \leq \frac{\abs{t-s}}{v-u}\,2(v-u)^\alpha \leq 2\abs{t-s}^\alpha,

puesto que $\frac{\abs{t-s}}{v-u} \leq \bigl(\frac{\abs{t-s}} {v-u}\bigr)^\alpha$ cuando $\abs{t-s} \leq v - u$ . Caso general $t < s$ : si $[t, s]$ corta a $C$ , sean $u'$ y $v'$ el menor y el mayor punto del compacto $C \cap [t, s]$ ; entonces $t$ está en un hueco (o en un punto de $C$ ) cuyo extremo derecho es $u'$ , y $s$ en uno cuyo extremo izquierdo es $v'$ , y

\norm{f(t) - f(s)} \leq 2\abs{t - u'}^\alpha + 2\abs{v' - u'}^\alpha + 2\abs{s - v'}^\alpha \leq 6\abs{t - s}^\alpha ;

si $[t, s]$ no corta a $C$ , se aplica el caso del mismo hueco. Así pues, $f$ es $\alpha$ -Hölder con $\alpha = \frac{\ln2}{2\ln3}$ .

24. Supongamos $\norm{F(t) - F(s)} \leq C\abs{t-s}^\alpha$ con $F$ sobreyectiva y $\alpha > \frac12$ . Córtese $[0,1]$ en $N$ intervalos $I_1, \dots, I_N$ de longitud $\frac1N$ : cada imagen $F(I_j)$ tiene diámetro $\leq CN^{-\alpha}$ . Dos puntos distintos de la retícula $G_M = \bigl\{\bigl(\frac iM, \frac jM\bigr)\bigr\}_{0 \leq i, j \leq M}$ distan $\geq \frac1M$ , de modo que un conjunto de diámetro $< \frac1M$ contiene a lo sumo uno de ellos. Tómese $M = \lfloor N^\alpha/(2C)\rfloor$ (con $N$ grande): entonces $CN^{-\alpha} \leq \frac1{2M} < \frac1M$ , y la sobreyectividad mete cada uno de los $(M+1)^2$ puntos de la retícula en algún $F(I_j)$ , de donde

\frac{N^{2\alpha}}{4C^2} \leq (M + 1)^2 \leq N,

y $N^{2\alpha - 1} \leq 4C^2$ falla para $N$ grande cuando $2\alpha > 1$ : contradicción. Nuestra curva, con $\alpha \approx 0.3155$ , queda por debajo del muro, como debía; la curva de Hilbert (admitido) es $\frac12$ -Hölder, de modo que el exponente crítico $\frac12$ sí se alcanza — la regularidad Hölder, a diferencia de la inyectividad, es cuestión de grado, y $\frac12$ es exactamente la frontera que la dimensión $2$ impone a una aplicación procedente de la dimensión $1$ .

25. El $m$ -ésimo racimo $\{\frac1m + \frac1n : n > m^2\}$ está en $\bigl(\frac1m, \frac1m + \frac1{m^2}\bigr] \subseteq \bigl(\frac1m, \frac1{m-1}\bigr)$ para $m \geq 2$ , porque $\frac1{m-1} - \frac1m = \frac1{m(m-1)} > \frac1{m^2}$ (y el primer racimo está en $(1, \frac32]$ ): los racimos ocupan intervalos disjuntos. Puntos de acumulación de $K$ : dentro del $m$ -ésimo intervalo, solo $\frac1m$ (el racimo converge a él y es discreto en sí mismo); globalmente, $0$ (todo entorno de $0$ contiene racimos enteros). Luego $K' = \{0\} \cup \{\frac1m\}$ , después $K'' = \{0\}$ (cada $\frac1m$ es aislado en $K'$ ) y $K''' = \varnothing$ ; $K$ contiene sus puntos de acumulación, luego es cerrado, acotado, numerable y compacto, y sus puntos aislados — los puntos de los racimos $\frac1m + \frac1n$ — son densos en $K$ : todo elemento de $K'$ es límite suyo, tal como predice el mecanismo de la pregunta 21. Inducción: $K_1 = \{0\}\cup\{\frac1n\}$ cumple $K_1^{(1)} = \{0\}$ ; dado un compacto numerable $K_j \subseteq [0, 1]$ con $K_j^{(j)} = \{0\}$ y $K_j^{(j+1)} = \varnothing$ , póngase

K_{j+1} = \{0\} \cup \bigcup_{m \geq 1} \Bigl(\frac1m + \varepsilon_m K_j\Bigr),

con $\varepsilon_m$ suficientemente pequeño para que la $m$ -ésima copia esté en $\bigl(\frac1m, \frac1{m-1}\bigr)$ . La derivación actúa copia a copia (las copias viven en intervalos abiertos disjuntos), de modo que $K_{j+1}^{(i)} = \{0\} \cup \bigcup_m\bigl(\frac1m + \varepsilon_mK_j^{(i)}\bigr)$ para $i \leq j$ ; en $i = j$ esto se lee $\{0\} \cup \{\frac1m\}$ , y después $K_{j+1}^{(j+1)} = \{0\}$ y $K_{j+1}^{(j+2)} = \varnothing$ . Todo rango finito se alcanza. Un conjunto perfecto es el otro extremo: $P' = P$ , la derivación nunca se mueve — y Cantor–Bendixson (pregunta 22) dice precisamente que todo cerrado se descompone en un núcleo perfecto, invisible a la derivación, y un resto numerable que la derivación va devorando.

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