¿Qué es espacio de Hausdorff? — Matemáticas

Definición 6.7 Matemáticas universitarias — Grado 3 · Capítulo 6 — Topología general

$X$ es de Hausdorff (o separado) si dos puntos distintos cualesquiera tienen entornos disjuntos. Los espacios métricos son de Hausdorff (bolas de radio $d(x,y)/2$ ). Una sucesión $(x_n)$ converge a $x$ si todo entorno de $x$ contiene todos los $x_n$ salvo un número finito; en un espacio de Hausdorff el límite es único (dos límites tendrían entornos disjuntos, cada uno con una cola de la sucesión). En un espacio de Hausdorff, los puntos — y por tanto los conjuntos finitos — son cerrados.

Ejemplos

Ejemplo 6.11

El cociente $\R/\Z$ (identificando $x$ con $x + n$ ) es homeomorfo al círculo $S^1 = \{z \in \C : \abs z = 1\}$ : la aplicación $x \mapsto \eu^{2\iu\pi x}$ pasa al cociente y da una biyección continua $\R/\Z \to S^1$ (la Proposición 6.10(b)); su inversa es continua por el argumento de compacidad del Corolario 6.14 de más abajo (el Ejercicio 6.5 lo detalla todo, incluido por qué $\R/\Z$ es de Hausdorff y compacto). Del mismo modo, $[0,1]$ con los extremos pegados es $S^1$ , el cuadrado con los lados opuestos pegados es el toro, y el pegado pasa por fin a ser un teorema, y no un dibujo.

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Ejemplos

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