¿Qué es aplicación continua?

Ejemplo 6.11

El cociente $\R/\Z$ (identificando $x$ con $x + n$) es homeomorfo al círculo $S^1 = \{z \in \C : \abs z = 1\}$: la aplicación $x \mapsto \eu^{2\iu\pi x}$ pasa al cociente y da una biyección continua $\R/\Z \to S^1$ (la Proposición 6.10(b)); su inversa es continua por el argumento de compacidad del Corolario 6.14 de más abajo (el Ejercicio 6.5 lo detalla todo, incluido por qué $\R/\Z$ es de Hausdorff y compacto). Del mismo modo, $[0,1]$ con los extremos pegados es $S^1$, el cuadrado con los lados opuestos pegados es el toro, y el pegado pasa por fin a ser un teorema, y no un dibujo.

Ejemplo 6.22 (La curva seno del topólogo)

Sean $\Gamma = \{(x, \sin\frac1x) : 0 < x \leq 1\}$ y $S = \bar\Gamma = \Gamma \cup (\{0\}\times[-1,1])$ (todo punto $(0, y)$ con $\abs y \leq 1$ es límite de puntos de $\Gamma$: resuélvase $\sin\frac1x = y$ cerca de $0$). Entonces $S$ es conexo — clausura del conexo $\Gamma$, imagen continua de $(0, 1]$ (el Teorema 6.20(3)) — pero no es conexo por caminos: un camino de $(1, \sin 1)$ a $(0,0)$ tendría que recorrer abscisas $\to 0$ mientras la ordenada oscila entre $\pm1$; el Ejercicio 6.9 lo hace riguroso. La conexión y la conexión por caminos son genuinamente distintas.