Matemáticas universitarias — Grado 2 · Bachelor Year 2

11Series de potencias

Las series de potencias son las series de funciones que mejor se portan de toda la matemática: dentro de su disco de convergencia convergen normalmente sobre los compactos, pueden derivarse e integrarse término a término sin pensárselo dos veces, y sus sumas —las funciones analíticas— quedan determinadas por sus coeficientes. Este capítulo demuestra ese paquete completo y recupera honestamente todos los desarrollos de Taylor del volumen del primer año; las funciones generatrices lo cierran con dividendos algebraicos.

11.1 Radio de convergencia

Lema 11.1 (Abel)

Si la sucesión $(a_n z_0^n)$ está acotada para algún $z_0 \neq 0$ , entonces $\sum a_n z^n$ converge absolutamente para todo $\abs z < \abs {z_0}$ , y normalmente sobre cada disco $\abs z \leq r < \abs{z_0}$ .

Demostración. Con $\abs{a_n z_0^n} \leq M$ y $\abs z \leq r$ :

\abs{a_n z^n} = \abs{a_n z_0^n}\,\Bigl|\frac{z}{z_0}\Bigr|^n \leq M\Bigl(\frac{r}{\abs{z_0}}\Bigr)^{\!n},

una cota geométrica convergente y uniforme sobre el disco. ∎

Definición 11.2 (Radio de convergencia)

El radio de convergencia de $\sum a_n z^n$ es

R = \sup\{r \geq 0 : (a_n r^n) \text{ está acotada}\} \in \intcc{0}{+\infty} .

Por el Lema 11.1: convergencia absoluta para $\abs z < R$ (normal sobre subdiscos compactos) y divergencia —de hecho, términos no acotados— para $\abs z > R$ . Sobre la circunferencia frontera puede ocurrir cualquier cosa (Ejercicio 11.2). En la práctica, $R$ se calcula con el criterio del cociente de d’Alembert sobre $\abs{a_n}\abs z^n$ o por comparación.

Ejemplo 11.3 (Un radio sin criterio del cociente)

¿Cuál es el radio de $\sum \sin(n)\,z^n$ ? El cociente $\abs{\sin(n+1)/\sin n}$ no tiene límite, pero la definición funciona directamente. $R \geq 1$ : $\abs{\sin n} \leq 1$ , luego $(\sin n\cdot r^n)$ está acotada para todo $r < 1$ —de hecho, para $r = 1$ —. $R \leq 1$ : basta con que $\sin n \not\to 0$ . Supongamos $\sin n \to 0$ ; la fórmula de adición

\sin(n+1) = \sin n\cos 1 + \cos n\sin 1

forzaría $\cos n \to 0$ (despejando $\cos n$ , pues $\sin 1 \neq 0$ ), en contra de $\sin^2 n + \cos^2 n = 1$ . Así pues, los términos $\sin(n)\,1^n$ no tienden a $0$ : la serie diverge en $z = 1$ y $R \leq 1$ . Conclusión: $R = 1$ . Moraleja: el radio es un enunciado sobre la acotación de $\abs{a_n}r^n$ ; nunca hace falta ningún límite de cocientes, y los argumentos de acotación zanjan casos que el criterio del cociente ni siquiera toca (compárese con los coeficientes oscilantes del Ejercicio 11.1).

Proposición 11.4 (Operaciones)

Sean $\sum a_nz^n$ y $\sum b_nz^n$ de radios $R_a, R_b$ . Entonces, para $\abs z < \min(R_a, R_b)$ ,

\sum (a_n + b_n)z^n = \sum a_nz^n + \sum b_nz^n, \qquad \Bigl(\sum a_nz^n\Bigr)\Bigl(\sum b_nz^n\Bigr) = \sum c_n z^n, \quad c_n = \sum_{k=0}^{n} a_kb_{n-k},

y ambas series tienen radio $\geq \min(R_a, R_b)$ . (El producto es el producto de Cauchy, legítimo por la convergencia absoluta y el Teorema 7.14.)

Demostración. La fórmula de la suma es la linealidad de las series convergentes, y $(a_n + b_n)r^n$ está acotada siempre que lo estén $a_nr^n$ y $b_nr^n$ : radio $\geq \min(R_a, R_b)$ . Para el producto, fijemos $\abs z < \min(R_a, R_b)$ : ambas series convergen allí absolutamente (Lema 11.1), de modo que la familia doblemente indexada $(a_kz^k\,b_lz^l)_{k,l}$ es sumable y el Teorema 7.14 autoriza cualquier agrupación. Agrupando por $k + l = n$ :

\Bigl(\sum_k a_kz^k\Bigr)\Bigl(\sum_l b_lz^l\Bigr) = \sum_{n\geq0}\Bigl(\sum_{k+l=n}a_kb_l\Bigr)z^n = \sum_{n\geq0}c_nz^n ,

absolutamente convergente para todo $z$ así: la serie producto tiene también radio $\geq \min(R_a, R_b)$ . ∎

Ejemplo 11.5 (Un cuadrado de Cauchy, contrastado)

Elevemos al cuadrado la serie geométrica: para $\abs x < 1$ , el coeficiente de $x^n$ en $\bigl(\sum x^k\bigr)^2$ es $c_n = \sum_{k+l=n} 1\cdot1 = n + 1$ , luego

\frac{1}{(1-x)^2} = \sum_{n\geq0}(n+1)\,x^n .

Contraste por derivación término a término (Teorema 11.7 de más abajo): derivando $\frac{1}{1-x} = \sum x^n$ resulta $\frac{1}{(1-x)^2} = \sum nx^{n-1} = \sum(n+1)x^n$ ; la misma serie por dos mecanismos sin relación. Moraleja: cuando una identidad entre coeficientes parece misteriosa, uno de estos dos motores (convolución o derivación) suele producirla en una línea; la pregunta del problema de fin de semana sobre $\sum\binom{2k}k\binom{2n-2k}{n-k} = 4^n$ hace funcionar el motor de la convolución a plena potencia.

Ejemplo 11.6 (Multiplicar por $\frac{1}{1-x}$ suma los coeficientes)

Un producto de Cauchy contra la serie geométrica tiene un significado memorable: para toda $\sum a_nx^n$ de radio $R > 0$ y $\abs x < \min(R, 1)$ ,

\frac{1}{1-x}\sum_{n\geq0}a_nx^n = \sum_{n\geq0}\Bigl(\sum_{k=0}^{n}a_k\Bigr)x^n :

multiplicar por $\frac{1}{1-x}$ sustituye los coeficientes por sus sumas parciales (convolución con la sucesión de unos). Ejemplo: $\dfrac{\eu^x}{1-x} = \sum_n s_n x^n$ con $s_n = \sum_{k\leq n}\frac{1}{k!}$ , las sumas parciales de $\eu$ ; compárese con el Ejercicio 11.11, donde el mismo producto con $\eu^{-x}$ codifica los recuentos de desarreglos. Moraleja: las operaciones sobre series de potencias son operaciones sobre sucesiones de coeficientes disfrazadas (multiplicar por $\frac1{1-x}$ : sumar; multiplicar por $x$ : desplazar; derivar: multiplicar por $n$ y desplazar), un diccionario que el capítulo de funciones generatrices leerá con soltura.

11.2 Regularidad de la suma

Teorema 11.7 (Cálculo término a término)

Sea $f(x) = \sum_{n\geq0} a_n x^n$ de radio $R > 0$ (variable real $x \in \intoo{-R}{R}$ ).

La serie derivada $\sum n\,a_n x^{n-1}$ tiene el mismo radio $R$ , y $f$ es de clase $C^1$ con $f'(x) = \sum_{n \geq 1} n a_n x^{n-1}$ . Iterando, $f$ es $C^\infty$ y

$a_n = \frac{f^{(n)}(0)}{n!} :$

los coeficientes de una serie de potencias son únicos (dos series con la misma suma cerca de $0$ tienen los mismos coeficientes).
Primitiva término a término: $\sum \frac{a_n}{n+1}x^{n+1}$ tiene radio $R$ y derivada $f$ .

Demostración. Mismo radio: si $(a_nr^n)$ está acotada y $r' < r$ , entonces $n\abs{a_n} r'^{\,n-1} = \frac{n}{r'}\abs{a_nr^n} \bigl(\frac{r'}{r}\bigr)^n$ está acotada (de hecho, $\to 0$ : lo geométrico gana a $n$ ), luego $R' \geq R$ ; recíprocamente, $\abs{a_n x^n} \leq \abs x \cdot n\abs{a_n}\abs x^{n-1}$ da $R \geq R'$ .

Derivación: sobre $\intcc{-r}{r}$ con $r < R$ , la serie derivada converge normalmente ( $n\abs{a_n}r^{n-1}$ es sumable por el cálculo del radio); la original converge en $x = 0$ : el teorema de derivación para series (Teorema 10.11) se aplica sobre cada segmento así y, por tanto, sobre $\intoo{-R}{R}$ . Iterando $k$ veces y evaluando en $0$ : explícitamente, la serie derivada $k$ -ésima es

f^{(k)}(x) = \sum_{n\geq k} n(n-1)\cdots(n-k+1)\,a_n\,x^{n-k},

y en $x = 0$ se anula todo término con $n > k$ , quedando solo el término constante $k(k-1)\cdots1\cdot a_k$ : $f^{(k)}(0) = k!\,a_k$ . De ahí se sigue la unicidad de los coeficientes: dos series de potencias con la misma suma cerca de $0$ tienen las mismas derivadas en $0$ y, por tanto, los mismos $a_k$ . Primitivas: mismo radio por el mismo cálculo, y se deriva término a término de vuelta. ∎

Ejemplo 11.8 (Evaluar una serie en un punto)

¿Cuánto vale $\sum_{n\geq1}\dfrac{n^2}{2^n}$ ? Es la suma $\sum n^2x^n$ del Ejercicio 11.3 evaluada dentro del disco, en $x = \frac12 < 1 = R$ , donde toda manipulación empleada para deducir la forma cerrada era legítima:

\sum_{n\geq1} n^2x^n = \frac{x(1+x)}{(1-x)^3} \quad\Longrightarrow\quad \sum_{n\geq1}\frac{n^2}{2^n} = \frac{\frac12\cdot\frac32}{(\frac12)^3} = \frac{3/4}{1/8} = 6 .

Mismo motor, otros mandos: $x = \frac13$ da $\sum\frac{n^2}{3^n} = \frac{\frac13\cdot\frac43}{(2/3)^3} = \frac32$ . Moraleja: una identidad entre series de potencias es una máquina y no una sola fórmula; una única deducción tarifa de golpe todas las series numéricas $\sum n^2q^n$ para todo $\abs q < 1$ , y así es como el capítulo de funciones generatrices calculará esperanzas y varianzas al por mayor.

Ejemplo 11.9 (Los clásicos, esta vez honestamente)

$\displaystyle\frac{1}{1 - x} = \sum x^n$ ( $R = 1$ ); integrando término a término (Teorema 11.7 (2)):

-\ln(1 - x) = \sum_{n\geq1} \frac{x^n}{n}, \qquad \arctan x = \sum_{n \geq 0} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1} \quad (\abs x < 1),

la segunda en dos pasos: sustitúyase $-x^2$ en la serie geométrica para obtener $\frac{1}{1+x^2} = \sum(-1)^nx^{2n}$ (de radio $1$ , ya que $\abs{x^2} < 1 \iff \abs x < 1$ ) y tómese después la primitiva término a término que se anula en $0$ ; ambos miembros son primitivas de la misma función con el mismo valor en $0$ y, por tanto, son iguales sobre $\intoo{-1}{1}$ . Y $\exp$ : la serie $E(x) = \sum \frac{x^n}{n!}$ ( $R = \infty$ ) cumple $E' = E$ y $E(0) = 1$ por derivación término a término, luego $E = \exp$ por la unicidad del primer año. Todo “desarrollo estándar” del volumen del primer año es ya un teorema sobre su serie de potencias completa.

Ejemplo 11.10 (Un logaritmo calculado desde dentro del disco)

Evaluando $-\ln(1-x) = \sum\frac{x^n}{n}$ en el punto interior $x = \frac12$ :

\sum_{n\geq1}\frac{1}{n\,2^n} = \ln 2 ,

una representación de $\ln 2$ de convergencia rápida (diez términos dan ya $0.69306\ldots$ frente a $\ln 2 = 0.69314\ldots$ ), mucho mejor que la serie alternada $1 - \frac12 + \frac13 - \dots$ , disponible solo en la frontera. Moraleja: siempre que una constante sea alcanzable tanto en el borde como estrictamente dentro del disco, gana numéricamente el interior: decrecimiento geométrico contra decrecimiento armónico.

Ejemplo 11.11 (La derivación conserva el radio, no la frontera)

La serie $\sum_{n\geq1}\frac{x^n}{n^2}$ tiene radio $1$ y converge en ambos extremos ( $\sum\frac1{n^2}$ y su gemela alternada). Su serie derivada,

\sum_{n\geq1}\frac{x^{n-1}}{n} ,

tiene el mismo radio $1$ —como garantiza el Teorema 11.7—, pero ahora diverge en $x = 1$ (serie armónica) mientras que sigue convergiendo en $x = -1$ (alternada). Una derivación más da $\sum_{n\geq2}\frac{n-1}{n} x^{n-2}$ , divergente en ambos extremos (los términos no tienden a $0$ ). Moraleja: cada derivación multiplica los coeficientes por $n$ , lo que nunca mueve el radio (lo geométrico gana a lo polinómico) pero se come un orden de decrecimiento en la frontera; el cálculo término a término es un deporte de interior, y lo que ocurra en el borde ha de reexaminarse: la teoría de Abel–Tauber del problema de fin de semana es exactamente ese reexamen.

Ejemplo 11.12 (Separar una serie por restos —hasta el final)

Calculemos $f(x) = \sum_{n\geq0} \dfrac{x^{4n}}{(4n)!}$ en forma cerrada. Tanto $\cosh x = \sum \frac{x^{2m}}{(2m)!}$ como $\cos x = \sum \frac{(-1)^m x^{2m}}{(2m)!}$ tienen radio $\infty$ , de modo que su media puede calcularse término a término:

\frac{\cosh x + \cos x}{2} = \sum_{m\geq0}\frac{1 + (-1)^m}{2}\,\frac{x^{2m}}{(2m)!} = \sum_{m \text{ par}}\frac{x^{2m}}{(2m)!} = \sum_{n\geq0}\frac{x^{4n}}{(4n)!} = f(x) .

El filtro $\frac{1+(-1)^m}{2}$ retiene exactamente los $m$ pares: este es el avatar real del filtro por raíces de la unidad (la versión compleja, con $\iu^n$ , extrae los restos módulo $4$ de un golpe). Comprobación final: $f$ resuelve $f'''' = f$ con $f(0) = 1$ y $f'(0) = f''(0) = f'''(0) = 0$ —derívese la serie cuatro veces (Teorema 11.7) y véase cómo se reproduce—; y $\frac{\cosh + \cos}{2}$ satisface los mismos datos.

Definición 11.13 (Funciones analíticas)

$f$ es analítica en $x_0$ cuando es la suma de una serie de potencias en $(x - x_0)$ sobre un entorno; y sobre un intervalo, cuando lo es en todo punto. Las sumas de series de potencias son analíticas dentro de su disco (por reordenación del desarrollo, admitida a este nivel para el recentrado; el caso $x_0 = 0$ es el Teorema 11.7). Analítica implica $C^\infty$ ; el recíproco falla: la función plana $\eu^{-1/x^2}$ (Ejercicio 11.7).

Ejemplo 11.14 (Recentrar, y el radio como distancia)

Desarrollemos $f(x) = \frac{1}{1-x}$ alrededor de $x_0 = \frac12$ : escribiendo $x = \frac12 + h$ ,

\frac{1}{1 - x} = \frac{1}{\frac12 - h} = \frac{2}{1 - 2h} = \sum_{n\geq0} 2^{n+1}\,h^n = \sum_{n\geq0} 2^{n+1}\Bigl(x - \frac12\Bigr)^{\!n},

válido para $\abs{2h} < 1$ , es decir, $\abs{x - \frac12} < \frac12$ . El nuevo radio es exactamente la distancia del nuevo centro a la singularidad $x = 1$ : recentrar encoge (o agranda) el disco hasta ajustarlo a la obstrucción más próxima. Moraleja: esta es la imagen que hay tras la definición de analiticidad —una función, muchas series de potencias locales, cada una viviendo en el mayor disco que evita el problema—; el volumen del tercer año convierte la heurística “radio $=$ distancia a la singularidad compleja más próxima” en un teorema.

Observación 11.15 (Errores frecuentes)

(i) El criterio del cociente es suficiente, no necesario: cuando $\abs{a_{n+1}/a_n}$ no tiene límite (Ejemplo 11.3, Ejercicio 11.1), hay que volver a la definición: $R = \sup\{r : (a_nr^n)$ acotada $\}$ . (ii) Nada cruza la frontera gratis: la derivación y la integración término a término son teoremas dentro del disco abierto; en $\abs x = R$ , cada serie ha de reexaminarse (ese es todo el tema del problema de fin de semana). (iii) Radio de una suma: $\min(R_a, R_b)$ es solo una cota inferior, pues las cancelaciones pueden agrandarlo ( $a_n = 1$ , $b_n = -1$ : suma idénticamente $0$ , radio $\infty$ ). (iv) $C^\infty$ no es analítica: una serie de Taylor convergente puede converger a la función equivocada (Ejercicio 11.7); antes de escribir $f(x) = \sum \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$ hay que demostrarlo, vía una ecuación diferencial (Método 11.17), una estimación del resto o una fórmula integral.

Observación 11.16 (Dónde se usa)

Las series de potencias son el caballo de batalla de tres capítulos posteriores: el de ecuaciones diferenciales resuelve ecuaciones lineales inyectando $\sum a_nx^n$ (el recuadro de método de más abajo, industrializado); el de funciones generatrices convierte identidades sobre probabilidades en identidades sobre series de potencias y viceversa; y el volumen del tercer año oficializa la variable compleja, donde la analiticidad pasa a ser equivalente a la derivabilidad compleja y el “recentrado admitido” de más arriba recibe su demostración honesta. El problema de fin de semana explora el único lugar donde los teoremas de este capítulo callan: la propia frontera $\abs x = R$ .

Método 11.17 (Desarrollar mediante una ecuación diferencial)

Para desarrollar una función $f$ en serie de potencias: hállese una ecuación diferencial lineal con coeficientes polinómicos que satisfaga $f$ ; inyéctese $\sum a_nx^n$ ; identifíquense coeficientes para obtener una recurrencia sobre $(a_n)$ ; resuélvase y compruébense el radio y las condiciones iniciales. Ejemplo —la serie binomial—: $f(x) = (1+x)^\alpha$ satisface $(1+x)f' = \alpha f$ con $f(0) = 1$ ; al inyectar resulta $(n+1)a_{n+1} = (\alpha - n)a_n$ , luego $a_n = \binom{\alpha}{n}$ , con radio $1$ (criterio del cociente), y la suma, que satisface la misma ecuación con el mismo valor inicial, vale $(1 + x)^\alpha$ por el teorema de unicidad para ecuaciones diferenciales lineales (volumen del primer año).

Ejemplo 11.18 (El método sobre una ecuación con término forzante)

Resolvamos $y' = y + x$ , $y(0) = 0$ , por series de potencias. Inyectando $y = \sum a_nx^n$ :

\sum_{n\geq0}(n+1)a_{n+1}x^n = \sum_{n\geq0}a_nx^n + x ,

e identificando coeficientes: $a_1 = a_0 = 0$ , $2a_2 = a_1 + 1 = 1$ y $(n+1)a_{n+1} = a_n$ para $n \geq 2$ . Así pues, $a_2 = \frac{1}{2!}$ y, por inducción, $a_n = \frac{1}{n!}$ para todo $n \geq 2$ : radio $\infty$ , y

y(x) = \sum_{n\geq2}\frac{x^n}{n!} = \eu^x - 1 - x .

Comprobación: $y' = \eu^x - 1 = y + x$ y $y(0) = 0$ . Moraleja: la recurrencia es la ecuación, coeficiente a coeficiente; el término forzante solo perturba un número finito de coeficientes iniciales, tras los cuales toma el relevo el patrón homogéneo: una sombra discreta de “solución particular más solución homogénea”.

11.3 Funciones generatrices

Ejemplo 11.19 (Fibonacci)

Sea $F(x) = \sum_{n\geq0} F_n x^n$ (números de Fibonacci, con $F_0 = 0$ y $F_1 = 1$ ). La recurrencia $F_{n+2} = F_{n+1} + F_n$ se traduce, multiplicando por $x^{n+2}$ y sumando, en

F(x) - x = x\,F(x) + x^2 F(x) \quad\Longrightarrow\quad F(x) = \frac{x}{1 - x - x^2} ,

válido donde la serie converge. El radio es $\frac{1}{\varphi}$ : de $F_n \sim \frac{\varphi^n}{\sqrt5}$ (Binet, ejemplo siguiente; o bien la inducción tosca $F_n \leq 2^n$ más la recurrencia), el criterio del cociente da

\frac{F_{n+1}\abs x^{n+1}}{F_n\abs x^n} \longrightarrow \varphi\abs x , \qquad\text{convergencia si y solo si } \abs x < \frac1\varphi \approx 0.618 .

La descomposición en fracciones simples de $\frac{x}{1 - x - x^2}$ y la serie geométrica vuelven a deducir la fórmula de Binet: las funciones generatrices industrializan las recurrencias lineales.

Ejemplo 11.20 (La fórmula de Binet, ejecutada)

Sean $\varphi = \frac{1+\sqrt5}{2}$ y $\psi = \frac{1-\sqrt5}{2}$ , las raíces de $X^2 = X + 1$ ; como $\varphi + \psi = 1$ y $\varphi\psi = -1$ ,

1 - x - x^2 = (1 - \varphi x)(1 - \psi x) .

Fracciones simples: buscando $\frac{x}{(1-\varphi x)(1-\psi x)} = \frac{A}{1 - \varphi x} + \frac{B}{1 - \psi x}$ , el término constante da $A + B = 0$ y el coeficiente en $x$ da $-A\psi - B\varphi = 1$ , luego $A(\varphi - \psi) = 1$ : $A = \frac{1}{\sqrt5} = -B$ . Dos series geométricas después,

F(x) = \frac{1}{\sqrt5}\sum_{n\geq0} \bigl(\varphi^n - \psi^n\bigr)x^n \quad\Longrightarrow\quad F_n = \frac{\varphi^n - \psi^n}{\sqrt5}

por la unicidad de los coeficientes (Teorema 11.7). Como $\abs\psi < 1$ , el término $\frac{\psi^n}{\sqrt5}$ tiene valor absoluto $< \frac12$ : $F_n$ es el entero más próximo a $\frac{\varphi^n}{\sqrt5}$ . Moraleja: el radio $\frac1\varphi$ de $F$ es el inverso de la raíz dominante; el crecimiento de los coeficientes y el radio de convergencia son la misma información leída en direcciones opuestas.

Ejemplo 11.21 (Números de Catalan)

Los números de Catalan $C_n$ (número de triangulaciones, de formas de poner paréntesis, de caminos de Dyck, …) cumplen $C_0 = 1$ y $C_{n+1} = \sum_{k=0}^n C_kC_{n-k}$ . La función generatriz $C(x) = \sum C_nx^n$ satisface entonces (¡producto de Cauchy!)

C(x) = 1 + x\,C(x)^2 \quad\Longrightarrow\quad C(x) = \frac{1 - \sqrt{1 - 4x}}{2x} ,

eligiendo la raíz con $C(0) = 1$ : resolver la cuadrática $xC^2 - C + 1 = 0$ da los dos candidatos $\frac{1 \pm \sqrt{1-4x}}{2x}$ y, cuando $x \to 0$ , la raíz con “ $+$ ” explota como $\frac1x$ mientras que la de “ $-$ ” tiende a $1$ (desarróllese $\sqrt{1-4x} = 1 - 2x + O(x^2)$ ): solo el signo menos puede llevar una serie de potencias con $C_0 = 1$ . Desarrollando $\sqrt{1 - 4x}$ con la serie binomial se obtiene la forma cerrada

C_n = \frac{1}{n+1}\binom{2n}{n} ,

ejecutada en el Ejercicio 11.8.

Observación 11.22 (Series formales frente a series convergentes)

Todo cálculo con funciones generatrices de más arriba termina invocando la unicidad de los coeficientes, y ese teorema vive dentro de un disco de radio positivo: antes de “leer” $F_n$ o $C_n$ hay que saber que $R > 0$ . Basta una cota tosca a priori: $F_n \leq 2^n$ (inducción inmediata) da $R \geq \frac12$ para Fibonacci; $C_n \leq 4^n$ (cada número de Catalan cuenta subconjuntos de caminos) da $R \geq \frac14$ . Cuidado con el extremo degenerado de la escala: $\sum n!\,x^n$ tiene radio $0$ , y manipularla como una función carece de sentido; las identidades que involucran series así pertenecen al cálculo formal de coeficientes, un juego puramente algebraico con sus propias reglas (distintas). A este nivel: asegúrese siempre primero un radio positivo y calcúlese después con libertad dentro de él.

Observación 11.23 (Perspectivas dentro de este volumen)

Las series de potencias son una de las dos grandes máquinas de desarrollo del libro; la otra son las series de Fourier de los capítulos armónicos, y compararlas resulta instructivo. Una serie de potencias es rígida: sus coeficientes están forzados ( $a_n = f^{(n)}(0)/n!$ ), su convergencia es implacable (normal dentro, imposible fuera) y su suma es analítica, es decir, infinitamente rígida (Definición 11.13). Una serie de Fourier es flexible: representa incluso señales meramente suaves a trozos, al precio de delicadas cuestiones de convergencia en la frontera de la suavidad. Las dos teorías se encuentran en el problema de fin de semana de este capítulo: la sumación de Cesàro y la sumación de Abel, desarrolladas aquí para la circunferencia frontera, regresan en el capítulo de Fourier como los núcleos de Fejér y de Poisson. Entretanto, el capítulo de ecuaciones diferenciales consume series de potencias directamente ( $\eu^{tA}$ , soluciones en serie), y el de funciones generatrices convierte el truco del Ejemplo 11.19 en un cálculo sistemático para probabilidades.

11.4 Ejercicios

Ejercicio 11.1 ★

Radios de convergencia: $\sum \dfrac{n^2}{2^n}z^n$ ; $\;\sum \dfrac{z^n}{\binom{2n}{n}}$ ; $\;\sum z^{n!}$ ; $\;\sum \bigl(2 + (-1)^n\bigr)^n z^n$ .

Solución

Solución de Ejercicio 11.1.

$\sum \frac{n^2}{2^n}z^n$ : cociente $\frac{(n+1)^2}{2^{n+1}}\cdot \frac{2^n}{n^2} \to \frac12$ : $R = 2$ .

$\sum \frac{z^n}{\binom{2n}{n}}$ : $\binom{2n}{n} \sim \frac{4^n}{\sqrt{\pi n}}$ (Ejemplo 6.14), de modo que $\abs{a_n}^{-1} \approx 4^n$ salvo factores polinómicos: $R = 4$ (criterio del cociente: $\frac{\binom{2n}{n}}{\binom{2n+2}{n+1}} = \frac{(n+1)^2}{(2n+1)(2n+2)} \to \frac14$ ).

$\sum z^{n!}$ : coeficientes $a_k = 1$ si $k = n!$ y $0$ en otro caso. Para $\abs z < 1$ , $\sum \abs z^{n!}$ converge (dominada por una geométrica); y para $\abs z \geq 1$ los términos no tienden a $0$ : $R = 1$ .

$\sum (2 + (-1)^n)^n z^n$ : coeficientes $3^n$ ( $n$ par) y $1$ ( $n$ impar). La acotación de $a_nr^n$ exige $3r \leq 1$ ; y todo $r < \frac13$ funciona: $R = \frac13$ .

Ejercicio 11.2 ★

Prueba que $\sum z^n$ , $\sum \frac{z^n}{n}$ y $\sum \frac{z^n}{n^2}$ tienen todas radio $1$ pero se comportan de manera distinta en $z = 1$ y $z = -1$ : divergencia/divergencia, divergencia/convergencia, convergencia/convergencia.

Solución

Solución de Ejercicio 11.2.

Las tres tienen radio $1$ (criterio del cociente). En $z = 1$ : $\sum 1$ diverge; $\sum\frac1n$ diverge; $\sum\frac{1}{n^2}$ converge. En $z = -1$ : $\sum(-1)^n$ diverge; $\sum\frac{(-1)^n}{n}$ converge (alternada); $\sum\frac{(-1)^n}{n^2}$ converge (absolutamente). El comportamiento en la frontera es invisible para el radio.

Ejercicio 11.3 ★

Calcula las sumas, para $\abs x < 1$ :

\sum_{n\geq0} n x^n, \qquad \sum_{n\geq0} n^2 x^n, \qquad \sum_{n\geq0} \frac{x^{2n+1}}{2n+1} .

Solución

Solución de Ejercicio 11.3.

De $\frac{1}{1-x} = \sum x^n$ , derivando y multiplicando por $x$ (Teorema 11.7):

\sum n x^n = \frac{x}{(1-x)^2} .

Derivando una vez más y multiplicando de nuevo por $x$ :

\sum n^2 x^n = x\,\frac{\dd}{\dd x}\Bigl(\frac{x}{(1-x)^2}\Bigr) = \frac{x(1 + x)}{(1-x)^3} .

Tercera suma: es la parte impar de $-\ln(1 - x)$ :

\sum_{n\geq0} \frac{x^{2n+1}}{2n+1} = \frac{-\ln(1-x) + \ln(1+x)}{2} = \frac12 \ln\frac{1+x}{1-x} = \operatorname{artanh} x .

Ejercicio 11.4 ★★

Desarrolla en serie de potencias en $0$ , con su radio: $\dfrac{1}{(1-x)(2-x)}$ (fracciones simples); $\;\ln(1 + x + x^2)$ (escribe $1 + x + x^2 = \frac{1 - x^3}{1 - x}$ ).

Solución

Solución de Ejercicio 11.4.

Fracciones simples: $\frac{1}{(1-x)(2-x)} = \frac{1}{1-x} - \frac{1}{2 - x} = \sum x^n - \frac12\sum \bigl(\frac x2\bigr)^n$ :

\frac{1}{(1-x)(2-x)} = \sum_{n\geq0} \Bigl(1 - \frac{1}{2^{n+1}}\Bigr)x^n, \qquad R = 1 .

$\ln(1 + x + x^2) = \ln\frac{1 - x^3}{1 - x} = \ln(1 - x^3) - \ln(1 - x) = \sum_{n\geq1}\frac{x^n}{n} - \sum_{m\geq1}\frac{x^{3m}}{m}$ : el coeficiente de $x^n$ es $\frac1n$ si $3 \nmid n$ , y $\frac1n - \frac{3}{n} = -\frac2n$ si $3 \mid n$ . Radio $1$ (la obstrucción más próxima: la serie de $\ln(1 - x^3)$ ).

Ejercicio 11.5 ★★

Demuestra que $f(x) = \sum_{n\geq1} H_n x^n = -\dfrac{\ln(1 - x)}{1 - x}$ para $\abs x < 1$ , donde $H_n$ es el número armónico (producto de Cauchy de $\sum x^n$ y $\sum \frac{x^n}{n}$ ).

Solución

Solución de Ejercicio 11.5.

Producto de Cauchy de $\sum_{m \geq 0} x^m$ (coeficientes $1$ ) y $\sum_{k\geq1} \frac{x^k}{k}$ (coeficientes $\frac1k$ , $k \geq 1$ ), ambas absolutamente convergentes para $\abs x < 1$ : el coeficiente de $x^n$ en el producto es $\sum_{k=1}^{n} \frac1k \cdot 1 = H_n$ . Por tanto

\Bigl(\sum x^m\Bigr)\Bigl(\sum \frac{x^k}{k}\Bigr) = \frac{1}{1-x}\cdot\bigl(-\ln(1-x)\bigr) = \sum_{n\geq1} H_n x^n .

Ejercicio 11.6 ★★

Resuelve mediante función generatriz la recurrencia $u_0 = 1$ , $u_{n+1} = 2u_n + n$ : calcula $U(x) = \sum u_nx^n$ en forma cerrada, descompón y lee $u_n = 2^{n+1} - n - 1$ .

Solución

Solución de Ejercicio 11.6.

Multipliquemos la recurrencia por $x^{n+1}$ y sumemos (para $\abs x < \frac12$ ):

U(x) - 1 = 2x\,U(x) + \sum_{n\geq0} n\,x^{n+1} = 2x\,U(x) + \frac{x^2}{(1-x)^2} ,

usando el Ejercicio 11.3. Por tanto

U(x) = \frac{1}{1 - 2x}\Bigl(1 + \frac{x^2}{(1-x)^2}\Bigr) = \frac{1 - 2x + 2x^2}{(1-2x)(1-x)^2} .

Fracciones simples (tapando en $x = \frac12$ sale el coeficiente $2$ ; en el polo doble $x = 1$ , el coeficiente $-1$ ; y el coeficiente central se anula evaluando en $x = 0$ ):

U(x) = \frac{2}{1-2x} - \frac{1}{(1 - x)^2} .

Desarrollando ambos:

u_n = 2\cdot 2^n - (n + 1) = 2^{n+1} - n - 1 .

(Comprobación: $u_0 = 1$ , $u_1 = 2u_0 + 0 = 2 = 4 - 2$ .)

Ejercicio 11.7 ★★

Sea $f(x) = \eu^{-1/x^2}$ para $x \neq 0$ y $f(0) = 0$ . Demuestra que $f$ es de clase $C^\infty$ sobre $\R$ con $f^{(n)}(0) = 0$ para todo $n$ (prueba por inducción que $f^{(n)}(x) = P_n\bigl(\frac1x\bigr) \eu^{-1/x^2}$ para ciertos polinomios $P_n$ , y usa la comparación de crecimientos). Concluye que $f$ no es analítica en $0$ : su serie de Taylor en $0$ converge, pero a la función equivocada.

Solución

Solución de Ejercicio 11.7.

Inducción: $f'(x) = \frac{2}{x^3}\eu^{-1/x^2}$ y, si $f^{(n)}(x) = P_n(\tfrac1x)\eu^{-1/x^2}$ , entonces

f^{(n+1)}(x) = \Bigl(-\frac{1}{x^2}\,P_n'\Bigl(\frac1x\Bigr) + \frac{2}{x^3}\,P_n\Bigl(\frac1x\Bigr)\Bigr)\eu^{-1/x^2} :

de nuevo de la forma indicada. En $0$ : los cocientes incrementales $\frac{f^{(n)}(h)}{h} = \frac1h P_n(\frac1h)\eu^{-1/h^2} \to 0$ cuando $h \to 0$ , ya que $Q(u)\,\eu^{-u^2} \to 0$ cuando $u \to \pm\infty$ para todo polinomio $Q$ (la exponencial gana a las potencias): por inducción, todas las $f^{(n)}(0)$ existen y se anulan, y cada $f^{(n)}$ es continua en $0$ por el mismo límite. Así pues, $f \in C^\infty$ con serie de Taylor nula en $0$ ; esa serie suma $0 \neq f$ : no es analítica en $0$ .

Ejercicio 11.8 ★★★

Completa el Ejemplo 11.21: desarrolla $\sqrt{1 - 4x}$ con la serie binomial, probando que

\binom{1/2}{n+1}(-4)^{n+1} = -\frac{2}{n+1}\binom{2n}{n},

y deduce $C_n = \frac{1}{n+1}\binom{2n}{n}$ ; determina el radio de convergencia de $C(x)$ y la asintótica de $C_n$ mediante Stirling.

Solución

Solución de Ejercicio 11.8.

Serie binomial: $\sqrt{1-4x} = \sum_{k\geq0} \binom{1/2}{k}(-4x)^k$ . Para $k = n + 1 \geq 1$ :

\begin{align*} \binom{1/2}{n+1}(-4)^{n+1} &= \frac{\frac12\bigl(\frac12 - 1\bigr)\cdots\bigl(\frac12 - n\bigr)}{(n+1)!}\,(-4)^{n+1}\\ &= \frac{(-1)^n\,1\cdot3\cdots(2n-1)}{2^{n+1}(n+1)!}\,(-4)^{n+1} = -\frac{2}{n+1}\cdot\frac{(2n)!}{n!\,n!} , \end{align*}

usando $1\cdot3\cdots(2n-1) = \frac{(2n)!}{2^n n!}$ . Por tanto

C(x) = \frac{1 - \sqrt{1-4x}}{2x} = \frac{1}{2x}\sum_{n\geq0}\frac{2}{n+1}\binom{2n}{n}x^{n+1} = \sum_{n\geq0} \frac{1}{n+1}\binom{2n}{n}\,x^n :

$C_n = \frac{1}{n+1}\binom{2n}{n}$ . Radio: $\frac14$ (la serie binomial en $4x$ ). Asintótica vía el Ejemplo 6.14:

C_n \sim \frac{4^n}{\sqrt{\pi}\; n^{3/2}} .

Ejercicio 11.9 ★★★

(Teorema del límite radial de Abel, caso particular) Supongamos que $\sum a_n$ converge. Demuestra que $\lim_{x \to 1^-} \sum_{n} a_n x^n = \sum_n a_n$ . (Sumación de Abel: con $A_n$ las sumas parciales y $A = \lim A_n$ , escribe $\sum a_nx^n = (1 - x)\sum A_n x^n$ ; después $\sum a_nx^n - A = (1-x)\sum (A_n - A)x^n$ , y separa la suma en un $N$ grande.) Aplicación: $\sum \frac{(-1)^{n-1}}{n} = \ln 2$ y $\sum \frac{(-1)^n}{2n+1} = \frac\pi4$ , vueltos a demostrar a partir de la serie de potencias.

Solución

Solución de Ejercicio 11.9.

Con $A_n = \sum_{k \leq n} a_k \to A$ , la sumación de Abel da, para $0 \leq x < 1$ ,

\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n = (1 - x)\sum_{n=0}^{\infty} A_n x^n

(ambos miembros convergen, pues $(A_n)$ está acotada; y la identidad se sigue de $a_n = A_n - A_{n-1}$ y de reindexar). Como $(1 - x)\sum x^n = 1$ :

\sum_n a_nx^n - A = (1-x)\sum_{n} (A_n - A)x^n .

Dado $\varepsilon$ , elíjase $N$ con $\abs{A_n - A} \leq \varepsilon$ para $n > N$ ; entonces

\Bigl|\sum a_nx^n - A\Bigr| \leq (1-x)\sum_{n \leq N}\abs{A_n - A} + \varepsilon(1 - x)\sum_{n > N}x^n \leq (1-x)\,C_N + \varepsilon ,

y haciendo $x \to 1^-$ : el límite superior es $\leq \varepsilon$ para todo $\varepsilon$ . Por tanto, el límite radial vale $A$ .

Aplicaciones: $\sum \frac{(-1)^{n-1}}{n}$ converge (alternada) y, para $x < 1$ , su serie de potencias suma $\ln(1 + x)$ : por Abel, la suma es $\ln 2$ . Análogamente, $\sum\frac{(-1)^n}{2n+1}x^{2n+1} = \arctan x$ da $\frac\pi4$ en $x = 1$ : las demostraciones integrales del primer año, ahora estructurales.

Ejercicio 11.10 ★

Prueba que $\displaystyle\sum_{n\geq1}\frac{x^n}{n(n+1)} = 1 + \frac{1-x}{x}\,\ln(1-x)$ para $0 < \abs x < 1$ , determina el radio y comprueba que la convergencia es normal sobre $\intcc{-1}{1}$ ; verifica que el valor en $x = 1$ predicho por la continuidad concuerda con la suma telescópica $\sum \frac{1}{n(n+1)} = 1$ .

Solución

Solución de Ejercicio 11.10.

Tanto $\sum\frac{x^n}{n}$ como $\sum\frac{x^n}{n+1}$ tienen radio $1$ , y $\frac{1}{n(n+1)} = \frac1n - \frac1{n+1}$ , de modo que para $0 < \abs x < 1$ :

\sum_{n\geq1}\frac{x^n}{n(n+1)} = -\ln(1-x) - \frac1x\sum_{n\geq1}\frac{x^{n+1}}{n+1} = -\ln(1-x) - \frac{-\ln(1-x) - x}{x} = 1 + \frac{1-x}{x}\ln(1-x) .

Radio $1$ ; y $\norm{x^n/(n(n+1))}_{\infty,\intcc{-1}1} = \frac{1}{n(n+1)}$ es sumable: hay convergencia normal sobre $\intcc{-1}{1}$ , luego la suma es allí continua. Cuando $x \to 1^-$ , $(1-x)\ln(1-x) \to 0$ y la forma cerrada tiende a $1$ , de acuerdo con el valor telescópico $\sum\frac{1}{n(n+1)} = \lim_N\bigl(1 - \frac{1}{N+1}\bigr) = 1$ en $x = 1$ .

Ejercicio 11.11 ★★

(Desarreglos) Sea $D_n$ el número de permutaciones de $n$ objetos sin punto fijo ( $D_0 = 1$ ). Clasificando las permutaciones de $\{1, \dots, n\}$ según su conjunto de puntos fijos resulta $n! = \sum_{k=0}^{n}\binom nk D_{n-k}$ . Multiplica por $\frac{x^n}{n!}$ , suma y reconoce un producto de Cauchy para obtener la función generatriz exponencial

\sum_{n\geq0} D_n\,\frac{x^n}{n!} = \frac{\eu^{-x}}{1-x} \qquad (\abs x < 1),

y lee después la forma cerrada $\dfrac{D_n}{n!} = \sum_{k=0}^{n}\dfrac{(-1)^k}{k!}$ y el límite $\dfrac{D_n}{n!} \to \eu^{-1}$ .

Solución

Solución de Ejercicio 11.11.

Clasificando las $n!$ permutaciones por su conjunto de puntos fijos: elegir los $k$ puntos fijos ( $\binom nk$ maneras) y desarreglar los otros $n - k$ objetos da $n! = \sum_{k=0}^n\binom nk D_{n-k}$ . Dividiendo por $n!$ :

1 = \sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!}\cdot\frac{D_{n-k}}{(n-k)!} ,

que dice exactamente que el producto de Cauchy de $\eu^x = \sum\frac{x^k}{k!}$ y $D(x) = \sum D_n\frac{x^n}{n!}$ es $\sum x^n = \frac{1}{1-x}$ . Ambos factores convergen absolutamente para $\abs x < 1$ ( $D_n \leq n!$ , de modo que $D$ está dominada por la serie geométrica): la identidad del producto es legítima (Proposición 11.4) y

D(x) = \frac{\eu^{-x}}{1-x} .

Producto de Cauchy de $\eu^{-x} = \sum\frac{(-1)^kx^k}{k!}$ y $\sum x^m$ : el coeficiente de $x^n$ es $\sum_{k=0}^{n}\frac{(-1)^k}{k!}$ y, por la unicidad de los coeficientes de una serie de potencias (Teorema 11.7):

\frac{D_n}{n!} = \sum_{k=0}^{n}\frac{(-1)^k}{k!} \xrightarrow[n\to\infty]{} \eu^{-1} :

alrededor del $37\,\%$ de todas las permutaciones son desarreglos, sea cual sea $n$ .

Ejercicio 11.12 ★★★

Demuestra, con la serie binomial del Método 11.17, que

\frac{1}{\sqrt{1 - 4x}} = \sum_{n\geq0}\binom{2n}{n}x^n \qquad \Bigl(\abs x < \frac14\Bigr),

y deduce, elevando al cuadrado (producto de Cauchy contra $\frac{1}{1-4x} = \sum 4^nx^n$ ), la identidad de convolución

\sum_{k=0}^{n}\binom{2k}{k}\binom{2n-2k}{n-k} = 4^n .

Solución

Solución de Ejercicio 11.12.

Serie binomial con $\alpha = -\frac12$ en $-4x$ :

\binom{-1/2}{n}(-4)^n = \frac{\bigl(-\frac12\bigr)\bigl(-\frac32\bigr)\cdots \bigl(-\frac{2n-1}2\bigr)}{n!}(-4)^n = \frac{1\cdot3\cdots(2n-1)}{2^n\,n!}\,4^n = \frac{(2n)!}{2^n n!}\cdot\frac{2^n}{n!} = \binom{2n}{n},

usando $1\cdot3\cdots(2n-1) = \frac{(2n)!}{2^nn!}$ . Por tanto, $(1-4x)^{-1/2} = \sum\binom{2n}nx^n$ para $\abs{4x} < 1$ . Elevando al cuadrado (producto de Cauchy, legítimo por la convergencia absoluta) y comparando con $\frac{1}{1-4x} = \sum 4^nx^n$ : el coeficiente de $x^n$ en el cuadrado es $\sum_{k=0}^n\binom{2k}k\binom{2n-2k}{n-k}$ , y la unicidad de los coeficientes da

\sum_{k=0}^{n}\binom{2k}{k}\binom{2n-2k}{n-k} = 4^n .

11.5 Problema: Abel, Tauber y la frontera de la convergencia

Problema 11.1

Dentro del disco de convergencia todo es fácil; todo el drama de las series de potencias ocurre sobre la frontera. Este problema construye la teoría de frontera en la variable real: el teorema de Abel en su forma uniforme, su recíproco bajo la condición de Tauber, la jerarquía de métodos de sumación de Cesàro y Abel (con el teorema de Frobenius), la integración término a término hasta la frontera con constantes clásicas como dividendos y, por último, la rigidez de las funciones analíticas: el teorema de identidad. En todo él, $(a_n)$ es una sucesión real, $f(x) = \sum_{n\geq0} a_nx^n$ y $A_n = a_0 + \dots + a_n$ .

Parte I — El teorema de Abel, uniformemente. Supongamos en esta parte que $\sum a_n$ converge, y pongamos $r_n = \sum_{k\geq n} a_k$ (de modo que $r_n \to 0$ y $a_n = r_n - r_{n+1}$ ).

Demuestra, mediante sumación por partes, que para todos $0 \leq x \leq 1$ y $N \leq M$ ,

$\Bigl|\sum_{n=N}^{M} a_n x^n\Bigr| \leq 2\sup_{n \geq N}\,\abs{r_n} .$
Deduce que $\sum a_nx^n$ converge uniformemente sobre $\intcc{0}{1}$ , que su suma es allí continua, y recupera el límite radial del Ejercicio 11.9: $f(x) \to \sum a_n$ cuando $x \to 1^-$ .
(Teorema de Abel para productos de Cauchy) Sean $\sum a_n = A$ y $\sum b_n = B$ , y supongamos que el producto de Cauchy $\sum c_n$ , con $c_n = \sum_{k} a_kb_{n-k}$ , converge, de suma $C$ . Demuestra que $C = AB$ (dentro del disco vale la identidad del producto por la Proposición 11.4; hágase $x \to 1^-$ ).
Prueba que la hipótesis importa: para $a_n = b_n = \frac{(-1)^n}{\sqrt{n+1}}$ , ambas series convergen y sin embargo $\abs{c_n} \geq \frac{2(n+1)}{n+2} \geq 1$ (acota cada factor $\sqrt{(k+1)(n-k+1)}$ por la desigualdad entre medias): el producto de Cauchy de dos series convergentes puede diverger.
(Un dividendo del Ejercicio 11.5) Prueba que $\bigl(\ln(1-x)\bigr)^2 = 2\sum_{n\geq1} \frac{H_n}{n+1}x^{n+1}$ sobre $\intoo{-1}{1}$ , comprueba que $\bigl(\frac{H_n}{n+1}\bigr)_{n\geq1}$ decrece a $0$ y concluye con Abel:

$\sum_{n\geq1} (-1)^{n+1}\,\frac{H_n}{n+1} = \frac{(\ln 2)^2}{2} .$

Parte II — El recíproco de Tauber. Diremos que $\sum a_n$ es Abel-sumable a $L$ cuando $f(x) \to L$ al tender $x \to 1^-$ .

Prueba que $\sum (-1)^n$ es Abel-sumable a $\frac12$ y sin embargo divergente: el teorema de Abel no tiene recíproco incondicional.
(Lema de Cesàro) Si $u_n \to 0$ , entonces $\frac{u_1 + \dots + u_N}{N} \to 0$ (sepárese la suma en un $m$ fijo).
Supongamos ahora $n\,a_n \to 0$ y $f(x) \to L$ . Con $x_N = 1 - \frac1N$ , demuestra las dos estimaciones

$\Bigl|\sum_{n=0}^{N} a_n\bigl(1 - x_N^n\bigr)\Bigr| \leq \frac{1}{N}\sum_{n=1}^{N} n\,\abs{a_n}, \qquad \Bigl|\sum_{n>N} a_n x_N^n\Bigr| \leq \sup_{n>N}\bigl(n\abs{a_n}\bigr)$

(para la primera, $1 - x^n \leq n(1-x)$ ; para la segunda, $\abs{a_n} \leq \frac{1}{N}\sup_{m>N} m\abs{a_m}$ y $\sum x_N^n \leq N$ ).
Concluye el teorema de Tauber: si $n\,a_n \to 0$ y $\sum a_n$ es Abel-sumable a $L$ , entonces $\sum a_n$ converge a $L$ .
(El tauberiano fácil para coeficientes positivos) Si $a_n \geq 0$ y $f$ está acotada sobre $\intco{0}{1}$ , prueba que $\sum a_n$ converge y que $\sum a_n = \lim_{x\to1^-} f(x)$ (acota $\sum_{n\leq N}a_nx^n \leq f(x)$ , haz $x \to 1^-$ y usa después Abel).

Parte III — Medias de Cesàro y teorema de Frobenius. Diremos que $\sum a_n$ es Cesàro-sumable a $L$ cuando $\sigma_N = \frac{A_0 + \dots + A_{N-1}}{N} \to L$ .

Prueba que una serie convergente es Cesàro-sumable a su suma (pregunta 7 aplicada a $A_n - L$ ).
Calcula el valor de Cesàro de $\sum(-1)^n$ y comprueba que coincide con el valor de Abel $\frac12$ de la pregunta 6.
Con $S_n = A_0 + \dots + A_n = (n+1)\,\sigma_{n+1}$ , demuestra las dos identidades, para $0 \leq x < 1$ :

$f(x) = (1-x)^2\sum_{n\geq0}(n+1)\,\sigma_{n+1}x^n, \qquad (1-x)^2\sum_{n\geq0}(n+1)x^n = 1 .$
(Frobenius) Deduce que si $\sigma_N \to L$ entonces $f(x) \to L$ cuando $x \to 1^-$ : Cesàro-sumable implica Abel-sumable, con el mismo valor (resta las dos identidades y separa la suma en un $N$ grande, como en el Ejercicio 11.9).
Prueba que la jerarquía

$\text{convergente} \;\Longrightarrow\; \text{Cesàro-sumable} \;\Longrightarrow\; \text{Abel-sumable}$

es estricta en ambas flechas: la pregunta 6 para la primera; para la segunda, prueba que $\sum(-1)^n(n+1)$ es Abel-sumable a $\frac14$ (calcula $f$ ) pero no Cesàro-sumable (calcula $\sigma_N$ por separado para $N$ par e impar).

Parte IV — Integrar hasta la frontera.

Supongamos que $\sum a_nx^n$ converge sobre $\intco{0}{1}$ y que $\sum \frac{a_n}{n+1}$ converge. Demuestra que la integral impropia $\int_0^1 f$ existe y que

$\int_0^1 \Bigl(\sum_{n\geq0} a_nx^n\Bigr)\dd x = \sum_{n\geq0}\frac{a_n}{n+1}$

(la primitiva $F(x) = \sum\frac{a_n}{n+1}x^{n+1}$ es continua en $1$ por la parte I).
Sea $\eta = \sum_{n\geq1}\frac{(-1)^{n-1}}{n^2}$ . Prueba que $\int_0^1 \frac{\ln(1+x)}{x}\dd x = \eta$ y, separando índices pares e impares en la serie absolutamente convergente $\sum \frac1{n^2}$ , que $\eta = \frac12\sum_{n\geq1}\frac{1}{n^2}$ . (El problema de fin de semana del capítulo de Fourier evalúa $\sum\frac1{n^2} = \frac{\pi^2}{6}$ .)
Demuestra que

$\sum_{n\geq0}\frac{(-1)^n}{3n+1} = \int_0^1\frac{\dd x}{1+x^3} = \frac13\Bigl(\ln 2 + \frac{\pi}{\sqrt3}\Bigr)$

(la serie converge por Leibniz; intégrese la serie geométrica $\sum(-1)^nx^{3n}$ con la pregunta 16; después, fracciones simples: $\frac{1}{1+x^3} = \frac{1/3}{1+x} + \frac{(2-x)/3}{x^2-x+1}$ ).
A partir de la serie binomial de $(1-t)^{-1/2}$ (Ejercicio 11.12), deduce

$\arcsin x = \sum_{n\geq0} \frac{\binom{2n}{n}}{4^n(2n+1)}\,x^{2n+1} \quad(\abs x < 1), \qquad\text{y después}\qquad \sum_{n\geq0}\frac{\binom{2n}{n}}{4^n(2n+1)} = \frac\pi2 ,$

justificando el valor en la frontera mediante la convergencia normal sobre $\intcc{-1}{1}$ (úsese $\binom{2n}n4^{-n} \sim \frac{1}{\sqrt{\pi n}}$ , Ejemplo 6.14); aquí ni siquiera hace falta Abel.
(Catalan en la frontera) Prueba que $\sum C_n 4^{-n} = 2$ : la serie de Catalan del Ejemplo 11.21 converge en su radio $\frac14$ (asintótica del Ejercicio 11.8), su suma es continua sobre $\intcc{0}{\frac14}$ y allí la forma cerrada tiene límite $2$ .

Parte V — Rigidez: el teorema de identidad.

(Ceros aislados) Sea $f = \sum a_nx^n$ de radio $R > 0$ con no todos los $a_n$ nulos, y sea $m$ el menor índice con $a_m \neq 0$ . Prueba que $f(x) = x^m g(x)$ con $g$ una serie de potencias de radio $R$ y $g(0) = a_m \neq 0$ , y deduce que $f$ no tiene ningún cero en algún entorno perforado de $0$ .
(Teorema de identidad) Sean $f, h$ sumas de series de potencias cerca de $0$ y $(x_k)$ una sucesión de puntos no nulos con $x_k \to 0$ y $f(x_k) = h(x_k)$ . Demuestra que $f$ y $h$ tienen los mismos coeficientes y, por tanto, coinciden cerca de $0$ .
Halla todas las funciones $f$ analíticas cerca de $0$ con

$f\Bigl(\frac1k\Bigr) = \frac{k^2}{k^2+1} \qquad\text{para todo entero } k \text{ grande.}$
Prueba que una función analítica sobre un intervalo abierto $I$ que se anula sobre un subintervalo se anula idénticamente sobre $I$ (el conjunto de los puntos en torno a los cuales $f$ se anula idénticamente es abierto y, por el teorema de identidad aplicado en los puntos de acumulación, cerrado en $I$ ). Concluye que ninguna función analítica no nula sobre $\R$ tiene soporte compacto, mientras que sí existen funciones meseta de clase $C^\infty$ (el Ejercicio 11.7 proporciona la pieza básica): la analiticidad es rígida y la suavidad es blanda.
Síntesis. Una frase para cada punto: (i) qué añade el teorema de Abel al paquete de convergencia normal del Lema 11.1; (ii) bajo qué hipótesis exactas vale el recíproco (Tauber) y cuál es el peldaño intermedio (Frobenius); (iii) una constante de frontera de la parte IV que ya podrías deducirle a un amigo en dos líneas; (iv) dónde reaparecerán las medias de Cesàro en este libro, para series de naturaleza muy distinta.

Solución

Solución de Problema 11.1.

1. Con $a_n = r_n - r_{n+1}$ , la sumación por partes da

\sum_{n=N}^{M} a_nx^n = r_Nx^N + \sum_{n=N+1}^{M} r_n\bigl(x^n - x^{n-1}\bigr) - r_{M+1}x^M .

Para $0 \leq x \leq 1$ , los incrementos $x^{n-1} - x^n$ son no negativos y telescopan a $x^N - x^M$ ; con $s = \sup_{n\geq N}\abs{r_n}$ :

\Bigl|\sum_{n=N}^{M}a_nx^n\Bigr| \leq s\bigl(x^N + (x^N - x^M) + x^M\bigr) = 2s\,x^N \leq 2s .

2. Como $r_n \to 0$ , $\sup_{n\geq N}\abs{r_n} \to 0$ : la pregunta 1 es exactamente el criterio de Cauchy uniforme sobre $\intcc{0}{1}$ , de modo que $\sum a_nx^n$ converge allí uniformemente y su suma es continua (Teorema 10.11). Siendo el valor en $1$ igual a $\sum a_n$ , la continuidad en $1$ es el límite radial del Ejercicio 11.9.

3. Para $\abs x < 1$ , las tres series de potencias convergen absolutamente y $\bigl(\sum a_nx^n\bigr)\bigl(\sum b_nx^n\bigr) = \sum c_nx^n$ (Proposición 11.4). Por la pregunta 2, cada factor y el miembro del producto son continuos sobre $\intcc{0}{1}$ (sus series de coeficientes convergen por hipótesis); haciendo $x \to 1^-$ en la identidad: $AB = C$ .

4. Aquí

\abs{c_n} = \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{\sqrt{(k+1)(n-k+1)}} \geq \sum_{k=0}^{n}\frac{2}{n+2} = \frac{2(n+1)}{n+2} \geq 1,

por la desigualdad entre medias: $\sqrt{(k+1)(n-k+1)} \leq \frac{(k+1) + (n-k+1)}{2} = \frac{n+2}{2}$ . El término general de $\sum c_n$ no tiende a $0$ : el producto de Cauchy diverge, pese a que ambos factores convergen (series alternadas).

5. El Ejercicio 11.5 da $\frac{-\ln(1-x)}{1-x} = \sum H_nx^n$ ( $\abs x < 1$ ). Primitivas término a término (Teorema 11.7 (2)), anulándose ambos miembros en $0$ :

\frac{\bigl(\ln(1-x)\bigr)^2}{2} = \sum_{n\geq1}\frac{H_n}{n+1}\,x^{n+1} .

Decrecimiento: $(n+2)H_n \geq (n+1)H_{n+1}$ equivale a $H_n \geq 1$ , cierto para $n \geq 1$ ; y $\frac{H_n}{n+1} \sim \frac{\ln n}{n} \to 0$ : en $x = -1$ la serie converge por el criterio de las alternadas. Sustituyendo $x \mapsto -x$ y aplicando la pregunta 2 en $x = 1$ :

\frac{(\ln 2)^2}{2} = \sum_{n\geq1}\frac{H_n}{n+1}(-1)^{n+1},

el valor anunciado.

6. $f(x) = \sum(-1)^nx^n = \frac{1}{1+x} \to \frac12$ cuando $x \to 1^-$ : Abel-sumable a $\frac12$ . Pero las sumas parciales son $1, 0, 1, 0, \dots$ : divergente.

7. Dado $\varepsilon > 0$ , elíjase $m$ con $\abs{u_n} \leq \varepsilon$ para $n > m$ ; para $N \geq m$ :

\Bigl|\frac{u_1 + \dots + u_N}{N}\Bigr| \leq \frac{\abs{u_1} + \dots + \abs{u_m}}{N} + \varepsilon\,\frac{N - m}{N} \leq \frac{C_m}{N} + \varepsilon,

luego el límite superior es $\leq \varepsilon$ para todo $\varepsilon$ : las medias tienden a $0$ .

8. Para $0 \leq x \leq 1$ : $1 - x^n = (1-x)(1 + x + \dots + x^{n-1}) \leq n(1-x)$ , luego

\Bigl|\sum_{n=0}^N a_n(1 - x_N^n)\Bigr| \leq (1 - x_N)\sum_{n=1}^N n\abs{a_n} = \frac1N\sum_{n=1}^{N}n\abs{a_n} .

Para $n > N$ : $\abs{a_n} = \frac{n\abs{a_n}}{n} \leq \frac{1}{N}\sup_{m>N}m\abs{a_m}$ , y $\sum_{n>N}x_N^n \leq \frac{1}{1 - x_N} = N$ :

\Bigl|\sum_{n>N}a_nx_N^n\Bigr| \leq \frac{\sup_{m>N}m\abs{a_m}}{N}\cdot N = \sup_{m>N}\,m\abs{a_m} .

9. Descompongamos

A_N - L = \sum_{n=0}^{N}a_n\bigl(1 - x_N^n\bigr) - \sum_{n>N}a_nx_N^n + \bigl(f(x_N) - L\bigr) .

El primer término tiende a $0$ por la pregunta 7 (las medias de $n\abs{a_n} \to 0$ ), el segundo por la pregunta 8 (el supremo tiende a $0$ ) y el tercero porque $x_N \to 1^-$ y $f(x) \to L$ . Por tanto $A_N \to L$ : el teorema de Tauber.

10. Para $x \in \intco{0}{1}$ y todo $N$ : $\sum_{n\leq N}a_nx^n \leq f(x) \leq M$ (términos no negativos). Haciendo $x \to 1^-$ en la suma finita: $\sum_{n\leq N}a_n \leq M$ . Las sumas parciales son crecientes y acotadas: $\sum a_n$ converge, y entonces la pregunta 2 da $\lim_{x\to1^-}f(x) = \sum a_n$ .

11. $\sigma_N - L$ es la media de los $N$ números $A_n - L$ ( $0 \leq n < N$ ), que tienden a $0$ : pregunta 7.

12. $A_n = 1$ para $n$ par y $0$ para $n$ impar: $A_0 + \dots + A_{N-1} = \lceil N/2\rceil$ , de modo que $\sigma_N = \frac{\lceil N/2\rceil}{N} \to \frac12$ , el valor de Abel de la pregunta 6.

13. Bajo $\sigma_N \to L$ se tiene $S_n = O(n)$ , de donde $A_n = S_n - S_{n-1} = O(n)$ y $a_n = O(n)$ : todas las series de más abajo tienen radio $\geq 1$ . Para $\abs x < 1$ , de $a_n = A_n - A_{n-1}$ y $A_nx^n \to 0$ :

(1-x)\sum_n A_nx^n = \sum_n A_nx^n - \sum_n A_nx^{n+1} = \sum_n a_nx^n = f(x),

e idénticamente $(1-x)\sum S_nx^n = \sum A_nx^n$ , luego $f(x) = (1-x)^2\sum_n S_nx^n = (1-x)^2\sum_n(n+1)\sigma_{n+1}x^n$ . Por último, $\sum(n+1)x^n = \frac{1}{(1-x)^2}$ (Ejercicio 11.3), que es la segunda identidad.

14. Restando $L$ veces la segunda identidad de la primera:

f(x) - L = (1-x)^2\sum_{n\geq0}(n+1) \bigl(\sigma_{n+1} - L\bigr)x^n .

Dado $\varepsilon$ , elíjase $N$ con $\abs{\sigma_{n+1} - L} \leq \varepsilon$ para $n \geq N$ ; entonces

\abs{f(x) - L} \leq (1-x)^2 C_N + \varepsilon(1-x)^2\sum_{n}(n+1)x^n = (1-x)^2C_N + \varepsilon ,

y haciendo $x \to 1^-$ : el límite superior es $\leq \varepsilon$ . Por tanto $f(x) \to L$ : el teorema de Frobenius.

15. $f(x) = \sum(-1)^n(n+1)x^n = \frac{1}{(1+x)^2}$ (derívese la serie geométrica en $-x$ ): valor de Abel $\frac14$ . Sumas parciales: $A_{2k} = k+1$ y $A_{2k+1} = -(k+1)$ (inducción inmediata). Entonces $S_{2m-1} = 0$ (los pares consecutivos se cancelan) y $S_{2m} = m + 1$ , de modo que

\sigma_{2m} = \frac{S_{2m-1}}{2m} = 0, \qquad \sigma_{2m+1} = \frac{m+1}{2m+1} \to \frac12 :

$(\sigma_N)$ tiene dos valores de acumulación distintos: no es Cesàro-sumable. Con las preguntas 6 y 11–14, la jerarquía convergente $\Rightarrow$ Cesàro $\Rightarrow$ Abel es estricta en ambas flechas.

16. La serie primitiva $F(x) = \sum\frac{a_n}{n+1}x^{n+1}$ tiene el mismo radio y $F' = f$ sobre $\intco{0}{1}$ (Teorema 11.7); y como $\sum\frac{a_n}{n+1}$ converge, la parte I (pregunta 2) hace $F$ continua sobre $\intcc{0}{1}$ . Como $\int_0^x f = F(x)$ (derivadas iguales, valor $0$ en $0$ ),

\int_0^x f \xrightarrow[x\to1^-]{} F(1) = \sum_{n\geq0}\frac{a_n}{n+1} :

la integral impropia existe con el valor indicado.

17. $\frac{\ln(1+x)}{x} = \sum_{n\geq1}\frac{(-1)^{n-1}}{n}x^{n-1}$ (radio $1$ ; continua en $0$ ). La serie de los $\frac{a_m}{m+1}$ es $\sum_{n\geq1}\frac{(-1)^{n-1}}{n^2}$ , absolutamente convergente: la pregunta 16 da $\int_0^1\frac{\ln(1+x)}{x}\dd x = \eta$ . En la serie absolutamente convergente $\sum\frac1{n^2}$ , reagrupemos pares e impares:

\eta = \sum_{\text{impares}}\frac1{n^2} - \sum_{\text{pares}}\frac1{n^2} = \sum_{n}\frac1{n^2} - 2\sum_{k}\frac1{(2k)^2} = \Bigl(1 - \frac12\Bigr)\sum_n\frac1{n^2} = \frac12\sum_{n\geq1}\frac1{n^2} .

18. Leibniz: $\frac{1}{3n+1}\downarrow0$ , luego la serie converge. Sobre $\intco{0}{1}$ , $\sum(-1)^nx^{3n} = \frac{1}{1+x^3}$ , y $\sum\frac{(-1)^n}{3n+1}$ converge: la pregunta 16 da $\sum\frac{(-1)^n}{3n+1} = \int_0^1\frac{\dd x}{1+x^3}$ . Fracciones simples (compruébese: $\frac13(x^2-x+1) + \frac{2-x}{3}(1+x) = 1$ ):

\int_0^1\frac{\dd x}{1+x^3} = \frac13\ln2 + \frac13\int_0^1\frac{2-x}{x^2-x+1}\dd x .

Escribiendo $2 - x = -\frac12(2x-1) + \frac32$ : la parte en $\ln(x^2-x+1)$ se anula en ambos extremos, y

\frac32\int_0^1\frac{\dd x}{(x-\frac12)^2 + \frac34} = \frac32\cdot\frac{2}{\sqrt3} \Bigl[\arctan\frac{2x-1}{\sqrt3}\Bigr]_0^1 = \sqrt3\cdot\frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{\sqrt3} .

Total: $\frac13\bigl(\ln2 + \frac{\pi}{\sqrt3}\bigr)$ .

19. Sustituyendo $t = x^2$ en la serie del Ejercicio 11.12 e integrando término a término (la primitiva de $(1-x^2)^{-1/2}$ que se anula en $0$ es $\arcsin$ ):

\arcsin x = \sum_{n\geq0} \frac{\binom{2n}n}{4^n(2n+1)}x^{2n+1} \qquad(\abs x < 1) .

Los coeficientes son $\sim \frac{1}{2\sqrt\pi\,n^{3/2}}$ (Ejemplo 6.14), sumables: la serie converge normalmente sobre $\intcc{-1}{1}$ , su suma es allí continua y coincide con la función continua $\arcsin$ sobre $\intoo{-1}{1}$ y, por tanto, también en $x = 1$ :

\sum_{n\geq0}\frac{\binom{2n}n}{4^n(2n+1)} = \arcsin 1 = \frac\pi2 .

20. $C_n4^{-n} \sim \frac{1}{\sqrt\pi\,n^{3/2}}$ (Ejercicio 11.8): hay convergencia normal de $\sum C_nx^n$ sobre $\intcc{0}{\frac14}$ , luego su suma es allí continua; sobre $\intoo{0}{\frac14}$ vale $\frac{1-\sqrt{1-4x}}{2x}$ (Ejemplo 11.21), cuyo límite en $\frac14^-$ es $\frac{1-0}{1/2} = 2$ . Por tanto, $\sum_{n\geq0} C_n4^{-n} = 2$ .

21. $f(x) = \sum_{n\geq m}a_nx^n = x^m g(x)$ con $g(x) = \sum_{k\geq0}a_{m+k}x^k$ ; si $(a_nr^n)$ está acotada, también lo está $(a_{m+k}r^k)$ (divídase por $r^m$ ): $g$ tiene radio $\geq R$ . Y $g$ es continua con $g(0) = a_m \neq 0$ , de modo que $g \neq 0$ sobre algún $\intcc{-\delta}{\delta}$ y $f(x) = x^mg(x) \neq 0$ para $0 < \abs x \leq \delta$ .

22. $d = f - h$ es la suma de una serie de potencias cerca de $0$ que se anula en los puntos no nulos $x_k \to 0$ . Si algún coeficiente de $d$ fuera no nulo, la pregunta 21 daría un entorno perforado de $0$ libre de ceros de $d$ , en contra de $d(x_k) = 0$ . Así pues, todos los coeficientes de $d$ se anulan: $f$ y $h$ tienen los mismos coeficientes y coinciden cerca de $0$ .

23. La función $h(x) = \frac{1}{1+x^2} = \sum(-1)^nx^{2n}$ (radio $1$ ) cumple $h(\frac1k) = \frac{1}{1 + 1/k^2} = \frac{k^2}{k^2+1}$ . Toda $f$ analítica con los mismos valores coincide con $h$ en los puntos $\frac1k \to 0$ : por el teorema de identidad (pregunta 22), $f = \frac{1}{1+x^2}$ cerca de $0$ ; la solución única.

24. Sea $Z$ el conjunto de los puntos de $I$ que tienen un entorno sobre el cual $f$ se anula idénticamente: es abierto por definición y no vacío (el subintervalo). Cerrado en $I$ : si $y \in I$ es límite de puntos de $Z$ , entonces $y$ es punto de acumulación de ceros de $f$ ; desarrollando $f$ en serie de potencias en $y$ (por analiticidad) y aplicando las preguntas 21–22 recentradas en $y$ , todos los coeficientes en $y$ se anulan, luego $f \equiv 0$ cerca de $y$ : $y \in Z$ . Un intervalo es conexo, así que $Z = I$ : $f \equiv 0$ sobre $I$ . En particular, una función analítica sobre $\R$ que se anula fuera de un compacto se anula sobre un intervalo y, por tanto, en todas partes: no hay mesetas analíticas no nulas. El mundo $C^\infty$ es distinto: pegando la función plana del Ejercicio 11.7 (por ejemplo, $x \mapsto \eu^{-1/x^2}\mathbf 1_{x>0}$ y su reflejada) se obtienen mesetas suaves de soporte compacto.

25. (i) La convergencia normal vive sobre subdiscos compactos estrictamente interiores al disco; el teorema de Abel extiende la continuidad a un punto de la frontera bajo la única hipótesis de que la serie de coeficientes converja allí. (ii) El recíproco vale bajo la condición de Tauber $na_n \to 0$ (pregunta 9), y la sumabilidad de Cesàro se sitúa estrictamente entre la convergencia y la sumabilidad de Abel (Frobenius, preguntas 14–15). (iii) Para un amigo: $\sum\frac{(-1)^n}{3n+1} = \int_0^1\frac{\dd x}{1+x^3}$ , integrando la serie geométrica hasta la frontera y aplicando después fracciones simples. (iv) Las medias de Cesàro regresan en el capítulo de Fourier como el teorema de Fejér, donde promediar las sumas parciales repara el fallo de la convergencia puntual: misma medicina, paciente nuevo.