Matemáticas de secundaria · Grades 10–12

21Límites y continuidad

Este capítulo amplía la noción de límite de secuencias a funciones de un variable real e introduce continuidad. El resultado central es el teorema del valor intermedio, que convierte la información cualitativa (“ $f$ es continuo y cambia de signo”) a la existencia de soluciones de ecuaciones.

21.1 Límites de funciones

En todo momento, $f$ es un función definido en un intervalo o un unión de intervalos. $D \subseteq \R$ .

Definición 21.1 (Límite al infinito)

Dejemos que $f$ se defina en intervalo, $\intco{a}{+\infty}$ y $\ell \in \R$ . Nosotros decir que $f$ tends to $\ell$ at $+\infty$ , escrito $\lim\limits_{x\to+\infty} f(x) = \ell$ , si cada intervalo abierto que contiene $\ell$ contiene todos los valores $f(x)$ para $x$ lo suficientemente grandes: para cada $\varepsilon > 0$ existe $A$ tal que para todos $x \geq A$ , $\abs{f(x) - \ell} \leq \varepsilon$ .

Decimos que $f$ tiende a $+\infty$ en $+\infty$ si por cada $M \in \R$ hay existe $A$ tal que $f(x) \geq M$ para todos los $x \geq A$ . Límites en $-\infty$ y los límites iguales a $-\infty$ se definen de manera análoga.

Definición 21.2 (Límite en un punto)

Dejemos que $a \in \R$ y $f$ se definan cerca de $a$ (excepto posiblemente en $a$ ). Nosotros digamos que $f$ tiende a $\ell \in \R$ en $a$ , escrito $\lim\limits_{x \to a} f(x) = \ell$ , si por cada $\varepsilon > 0$ hay existe $\delta > 0$ tal que para todos los $x \in D$ con $\abs{x - a} \leq \delta$ , $\abs{f(x) - \ell} \leq \varepsilon$ .

Decimos que $f$ tiende a $+\infty$ en $a$ si por cada $M$ hay $\delta > 0$ tal que $f(x) \geq M$ siempre que $x \in D$ y $\abs{x - a} \leq \delta$ . Los límites unilaterales ( $x \to a^+$ , $x \to a^-$ ) restringen $x$ a $x > a$ o $x < a$ .

Ejemplo 21.3

$\lim\limits_{x\to+\infty} \frac{1}{x} = 0$ , $\lim\limits_{x\to 0^+} \frac{1}{x} = +\infty$ , $\lim\limits_{x\to 0^-} \frac{1}{x} = -\infty$ . El función $x \mapsto \frac1x$ no tiene límite (de dos caras) en $0$ .

Definición 21.4 (Asíntotas)

La línea $y = \ell$ es una asíntota horizontal de la curva de $f$ en $+\infty$ (resp. $-\infty$ ) si $\lim_{x\to+\infty} f(x) = \ell$ (resp. en $-\infty$ ). La línea $x = a$ es una asíntota vertical si $f$ tiene un límite unilateral infinito en $a$ .

La curva de f(x) = 2 + 1/x-1 con su horizontales asíntota y = 2 (en ±∈fty) y asíntota vertical x = 1. — La curva de $f(x) = 2 + \frac{1}{x-1}$ con su horizontales asíntota $y = 2$ (en $\pm\infty$ ) y asíntota vertical $x = 1$ .

Proposición 21.5 (Operaciones en límites)

Las reglas de Proposición 20.14 (sumas, productos, cocientes) se cumplen textualmente para límites de funciones, en un punto o en el infinito, con el mismo cuatro formas indeterminadas $(+\infty)+(-\infty)$ , $0\times\infty$ , $\frac{\infty}{\infty}$ , $\frac{0}{0}$ .

Demostración. Las pruebas son idénticas al caso secuencia, reemplazando “for $n \geq N$ ” por “para $x \geq A$ ” o “para $\abs{x-a} \leq \delta$ ”. ∎

Teorema 21.6 (Límite de una composición)

Sea $f, g$ funciones y $a, b, c$ sea números reales o $\pm\infty$ . si $\lim\limits_{x \to a} f(x) = b$ y $\lim\limits_{y \to b} g(y) = c$ , entonces

\lim_{x \to a} g\bigl(f(x)\bigr) = c .

La misma afirmación se aplica con secuencia en lugar de $f$ : si $u_n \to b$ y $\lim_{y\to b} g(y) = c$ , luego $g(u_n) \to c$ .

Demostración. Tome $b, c$ finito (los demás casos son análogos). Deje $\varepsilon > 0$ . Existe $\delta > 0$ tal que $\abs{y - b} \leq \delta$ implica $\abs{g(y) - c} \leq \varepsilon$ ; y hay $\delta' > 0$ tal que $\abs{x - a} \leq \delta'$ implica $\abs{f(x) - b} \leq \delta$ . Encadenando el dos da $\abs{g(f(x)) - c} \leq \varepsilon$ para $\abs{x - a} \leq \delta'$ . ∎

Teorema 21.7 (Comparación y compresión)

Sea $f, g, h$ funciones y $a \in \R \cup \{\pm\infty\}$ .

Si $f \leq g$ está cerca de $a$ y $f(x) \to +\infty$ como $x \to a$ , entonces $g(x) \to +\infty$ .
Si $f \leq g \leq h$ cerca de $a$ y $f, h$ tienden al mismo finito limite $\ell$ a $a$ , luego $g(x) \to \ell$ a $x \to a$ .

Demostración. Mismo argumento que para secuencias (Teorema 20.16). ∎

Método 21.8 (Límites de cálculo en la práctica)

Polinomios y racionales funciones en $\pm\infty$ : factorizar el potencia más alta de $x$ ; el límite es el de la relación de avance términos.
$\frac{0}{0}$ en un punto $a$ : factorizar $(x-a)$ del numerador y denominador, o reconocer un derivado $\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a} = f'(a)$ (Capítulo 22).
Raíces cuadradas: multiplicar por la expresión conjugada.
Factores oscilantes ( $\cos$ , $\sin$ ): utilice el teorema de compresión.

21.2 Continuidad

Definición 21.9 (continuidad)

Dejemos que $f$ se defina en intervalo, $I$ y $a \in I$ . El función $f$ es continuo en $a$ si $\lim\limits_{x \to a} f(x) = f(a)$ . Es continuo en $I$ si es continuo en cada punto de $I$ .

Intuitivamente se puede dibujar el gráfico de un continuo función en un intervalo sin levantar el bolígrafo.

Proposición 21.10 (Continuidad de funciones habituales)

Polinomios racionales funciones, $x \mapsto \sqrt{x}$ , $x \mapsto \abs{x}$ , $\cos$ , $\sin$ , $\exp$ y $\ln$ son continuo en cada intervalo contenido en su dominio. Sumas, productos, cocientes (donde se definan) y composiciones de continuo funciones son continuo.

prueba parcial. La estabilidad bajo sumas, productos, cocientes y composición se deriva de la teoremas correspondientes sobre límites. Continuidad de $x \mapsto x$ y de constante funciones es inmediato de la definición, por lo tanto polinomios y racionales funciones son continuo. Continuidad del funciones habitual restante es probados en los capítulos donde se construyen o admiten. ∎

Ejemplo 21.11

El floor función $x \mapsto \floor{x}$ (el mayor entero $\leq x$ ) no es continuo en ningún entero $n$ : su límite izquierdo existe $n - 1$ mientras que $\floor{n} = n$ .

El piso función salta en cada entero: el valor (punto relleno) difiere del límite izquierdo (punto abierto).

Proposición 21.12 (Secuencias y continuidad)

Si $u_n \to \ell$ y $f$ es continuo en $\ell$ , entonces $f(u_n) \to f(\ell)$ . En particular, si un secuencia definido por $u_{n+1} = f(u_n)$ converge para $\ell$ y $f$ es continuo en $\ell$ , luego $f(\ell) = \ell$ .

Demostración. El primer reclamo es Teorema 21.6 aplicado con el secuencia $(u_n)$ . Para el segundo, pase al límite a ambos lados de $u_{n+1} = f(u_n)$ : el lado izquierdo tiende a $\ell$ , el lado derecho a $f(\ell)$ y los límites son únicos. ∎

21.3 El teorema del valor intermedio

Teorema 21.13 (Teorema del valor intermedio)

Sea $f$ continuo en $\intcc{a}{b}$ y $k$ sea cualquier número entre $f(a)$ y $f(b)$ . Entonces existe $c \in \intcc{a}{b}$ tal que $f(c) = k$ .

El teorema del valor intermedio: una curva continuo que se une (a, f(a)) a (b, f(b)) deben cruzar cada línea horizontal y = k se encuentra entre f(a) y f(b). — El teorema del valor intermedio: una curva continuo que se une $(a, f(a))$ a $(b, f(b))$ deben cruzar cada línea horizontal $y = k$ se encuentra entre $f(a)$ y $f(b)$ .

Demostración. Reemplazando $f$ por $f - k$ (y por $k - f$ si es necesario), podemos asumir $f(a) \leq 0 \leq f(b)$ y busque un cero de $f$ . Construimos dos secuencias por dicotomía: establecer $a_0 = a$ , $b_0 = b$ ; dado $a_n \leq b_n$ con $f(a_n) \leq 0 \leq f(b_n)$ , dejemos $m = \frac{a_n + b_n}{2}$ y definir

(a_{n+1}, b_{n+1}) = \begin{cases} (a_n, m) & \text{if } f(m) \geq 0,\\ (m, b_n) & \text{if } f(m) < 0. \end{cases}

En ambos casos $f(a_{n+1}) \leq 0 \leq f(b_{n+1})$ , el secuencia $(a_n)$ es creciente, $(b_n)$ es decreciente, y $b_n - a_n = \frac{b-a}{2^n} \to 0$ : los secuencias son adyacentes (ver Ejercicio 20.10) y convergen a un límite común $c \in \intcc{a}{b}$ . Por continuidad, $f(a_n) \to f(c)$ y $f(b_n) \to f(c)$ ; pasando al límite en $f(a_n) \leq 0$ y $f(b_n) \geq 0$ da $f(c) \leq 0 \leq f(c)$ , por lo que $f(c) = 0$ . ∎

Observación 21.14

La prueba dicotomía es un algoritmo: produce resultados arbitrariamente precisos. aproximaciones de una solución, reduciendo a la mitad el error en cada paso. Así es como un La computadora puede resolver $f(x) = 0$ sabiendo solo cómo evaluar $f$ .

Teorema 21.15 (Teorema de biyección)

Sea $f$ continuo y strictly monótono en un intervalo $I$ . entonces para cada $k$ estrictamente entre los límites de $f$ en los puntos finales de $I$ , el ecuación $f(x) = k$ tiene una solución único en $I$ .

Demostración. Existencia: elegir $a, b \in I$ con $k$ entre $f(a)$ y $f(b)$ (posible ya que los valores de $f$ se acercan a sus límites de punto final), y aplique el Teorema del valor intermedio en $\intcc{a}{b}$ . Unicidad: si $x < y$ , estricto La monotonicidad da $f(x) \neq f(y)$ , por lo que dos puntos distintos no pueden ser ambos. soluciones. ∎

Método 21.16 (Resolviendo $f(x) = k$ con el teorema de biyección)

Para demostrar que $f(x) = k$ tiene exactamente una solución en un intervalo:

establece un tabla de variaciones de $f$ (signo de $f'$ , ver Capítulo 22);
en cada intervalo donde $f$ es continuo y estrictamente monótono, comparar $k$ con los valores o límites del punto final;
aplica el teorema de biyección en cada uno de esos intervalo y cuenta el soluciones.

Luego, una calculadora o dicotomía localiza cada solución con la precisión deseada.

Ejemplo 21.17

El ecuación $x^3 + x = 1$ tiene una solución real única. De hecho $f(x) = x^3 + x$ es continuo y estrictamente creciente en $\R$ (como suma de estrictamente funciones crecientes), $\lim_{-\infty} f = -\infty$ y $\lim_{+\infty} f = +\infty$ , por lo que el teorema de biyección se aplica con $k = 1$ . Desde $f(0.6) = 0.816 < 1$ y $f(0.7) = 1.043 > 1$ , la solución está en $\intoo{0.6}{0.7}$ .

21.4 Ceremonias

Ejercicio 21.1 ★

Calcule los siguientes límites:

\lim_{x\to+\infty} \frac{2x^3 - x + 1}{5x^3 + x^2}, \qquad \lim_{x\to-\infty} \bigl(x^2 + 3x - 1\bigr), \qquad \lim_{x\to 2^+} \frac{x+1}{x-2}, \qquad \lim_{x\to+\infty} \frac{\cos x}{x}.

Solución

Solución de Ejercicio 21.1.

Dividiendo por $x^3$ : $\dfrac{2x^3 - x + 1}{5x^3 + x^2} = \dfrac{2 - 1/x^2 + 1/x^3}{5 + 1/x} \to \dfrac{2}{5}$ .

$x^2 + 3x - 1 = x^2(1 + 3/x - 1/x^2) \to +\infty$ como $x \to -\infty$ , desde $x^2 \to +\infty$ y el corchete tiende a $1$ .

Como $x \to 2^+$ , el numerador tiende a $3 > 0$ y el denominador a $0^+$ , entonces $\dfrac{x+1}{x-2} \to +\infty$ .

Para $x > 0$ , $-\dfrac1x \leq \dfrac{\cos x}{x} \leq \dfrac1x$ , entonces el límite es $0$ según el teorema de compresión.

Ejercicio 21.2 ★

Sea $f(x) = \dfrac{2x^2 - 3x + 1}{x - 1}$ , definido para $x \neq 1$ .

Muestre que $f(x) = 2x - 1$ para todos los $x \neq 1$ .
Deducir $\lim\limits_{x \to 1} f(x)$ . ¿Se puede extender $f$ a un función continuo en $1$ ?

Solución

Solución de Ejercicio 21.2.

1. $2x^2 - 3x + 1 = (x-1)(2x-1)$ (el raíz $x=1$ es evidente en $2 - 3 + 1 = 0$ ). Para $x \neq 1$ , cancele $x - 1$ : $f(x) = 2x - 1$ .

2. Por lo tanto $\lim_{x\to1} f(x) = 1$ . La configuración $f(1) = 1$ extiende $f$ a el polinomio función $x \mapsto 2x-1$ en $\R$ , que es continuo en $1$ .

Ejercicio 21.3 ★

Determine el asíntotas de la curva de $f(x) = \dfrac{3x - 1}{x + 2}$ y dibuje la curva.

Solución

Solución de Ejercicio 21.3.

Escribe $f(x) = \dfrac{3x - 1}{x + 2} = \dfrac{3(x+2) - 7}{x+2} = 3 - \dfrac{7}{x+2}$ . Como $x \to \pm\infty$ , $f(x) \to 3$ : la línea $y = 3$ es un asíntota horizontal en ambos infinitos. Como $x \to (-2)^\pm$ , $f(x) \to \mp\infty$ : la línea $x = -2$ es una asíntota vertical. la curva es a hipérbola, debajo de $y=3$ para $x > -2$ y por encima de él para $x < -2$ .

Ejercicio 21.4 ★★

calcular

\lim_{x\to+\infty} \bigl(\sqrt{x^2 + x} - x\bigr) \qquad\text{and}\qquad \lim_{x\to 0} \frac{\sqrt{1+x} - 1}{x}.

Solución

Solución de Ejercicio 21.4.

Multiplicar por el conjugado:

\sqrt{x^2 + x} - x = \frac{x^2 + x - x^2}{\sqrt{x^2+x} + x} = \frac{x}{x\left(\sqrt{1 + 1/x} + 1\right)} = \frac{1}{\sqrt{1 + 1/x} + 1} \xrightarrow[x\to+\infty]{} \frac{1}{2}.

De manera similar,

\frac{\sqrt{1+x} - 1}{x} = \frac{(1+x) - 1}{x\left(\sqrt{1+x} + 1\right)} = \frac{1}{\sqrt{1+x} + 1} \xrightarrow[x\to0]{} \frac{1}{2}.

Ejercicio 21.5 ★★

Deje $f(x) = x + \sin x$ .

Mostrar que $f(x) \to +\infty$ como $x \to +\infty$ , aunque $f$ no lo es monótono en cualquier intervalo $\intco{A}{+\infty}$ .
Demuestre que $g(x) = \dfrac{x + \sin x}{x - \sin x}$ tiende a $1$ en $+\infty$ .

Solución

Solución de Ejercicio 21.5.

1. Desde $\sin x \geq -1$ , $f(x) \geq x - 1 \to +\infty$ , y nosotros concluir por comparación. Sin embargo, $f'(x) = 1 + \cos x$ desaparece en cada momento. múltiplo de $\pi$ , y en cada intervalo $\intco{A}{+\infty}$ el función alterna entre intervalos de aumento estricto; es creciente pero no estrictamente, y lo que es más importante, su crecimiento no es necesario: basta con comparar.

2. Para $x > 1$ , divida por $x$ :

g(x) = \frac{1 + \frac{\sin x}{x}}{1 - \frac{\sin x}{x}},

y $\frac{\sin x}{x} \to 0$ por el teorema de compresión ( $\abs{\sin x} \leq 1$ ). Por lo tanto $g(x) \to \frac{1+0}{1-0} = 1$ .

Ejercicio 21.6 ★★

Demuestre que ecuación $x^3 - 3x + 1 = 0$ tiene exactamente tres soluciones reales, y proporcione para cada uno un intervalo de longitud $1$ que lo contenga. (Pista: estudie las variaciones de $f(x) = x^3 - 3x + 1$ ; su derivado es $3x^2 - 3$ .)

Solución

Solución de Ejercicio 21.6.

$f(x) = x^3 - 3x + 1$ es continuo, con $f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x-1)(x+1)$ : $f$ aumenta en $\intoc{-\infty}{-1}$ , disminuye en $\intcc{-1}{1}$ , aumenta en $\intco{1}{+\infty}$ , con máximo $f(-1) = 3 > 0$ local y locales mínimo $f(1) = -1 < 0$ , $\lim_{-\infty} f = -\infty$ , $\lim_{+\infty} f = +\infty$ .

En cada una de las tres monotonías intervalos, $f$ es continuo, estrictamente monótono y $0$ se encuentran estrictamente entre los valores/límites del punto final, por lo que el El teorema de biyección da exactamente un cero por intervalo: tres ceros en total. Firmar cheques: $f(-2) = -1 < 0 < f(-1) = 3$ , por lo que un cero adentro $\intoo{-2}{-1}$ ; $f(0) = 1 > 0 > f(1) = -1$ , un cero en $\intoo{0}{1}$ ; $f(1) = -1 < 0 < f(2) = 3$ , un cero en $\intoo{1}{2}$ .

Ejercicio 21.7 ★★

Sea $f \colon \intcc{0}{1} \to \intcc{0}{1}$ continuo. Demuestre que $f$ tiene a punto fijo: existe $c \in \intcc{0}{1}$ con $f(c) = c$ . (Sugerencia: aplique el teorema del valor intermedio a $g(x) = f(x) - x$ ).

Solución

Solución de Ejercicio 21.7.

Deje $g(x) = f(x) - x$ , continuo en $\intcc{0}{1}$ . desde $f(0) \in \intcc{0}{1}$ , $g(0) = f(0) \geq 0$ ; desde $f(1) \in \intcc{0}{1}$ , $g(1) = f(1) - 1 \leq 0$ . Según el teorema del valor intermedio, $g$ desaparece en algunos $c \in \intcc{0}{1}$ , es decir, $f(c) = c$ .

Ejercicio 21.8 ★★★

Un excursionista sube por un sendero de montaña, comenzando a las 8:00 y llegando a las 20:00. el Al día siguiente desciende por el mismo sendero, comenzando nuevamente a las 8:00 y llegando a 20:00. Demuestre que hay un momento del día en el que ella está exactamente a la misma hora. punto del sendero en ambos días. (Pista: introduzca la diferencia de los dos posición funciones.)

Solución

Solución de Ejercicio 21.8.

Sean $u(t)$ y $d(t)$ las posiciones (medidas como distancia desde el fondo del sendero) en el momento $t \in \intcc{8}{20}$ en el camino de subida y en el camino abajo. Ambos son continuo, $u(8) = 0$ , $u(20) = L$ (la longitud del sendero), $d(8) = L$ , $d(20) = 0$ . El función $g = u - d$ es continuo con $g(8) = -L \leq 0$ y $g(20) = L \geq 0$ , por lo que $g(c) = 0$ por algún tiempo $c$ por el teorema del valor intermedio: en el momento $c$ , las posiciones de ambos días coinciden.

Ejercicio 21.9 ★★★

Deje $f(x) = x^5 + x^3 + x - 1$ .

Demuestre que $f$ tiene un cero real único $\alpha$ , y que $\alpha \in \intoo{0}{1}$ .
Describe un procedimiento dicotomía que calcula $\alpha$ dentro de $10^{-6}$ y proporcione el número de iteraciones necesarias a partir de $\intcc{0}{1}$ .

Solución

Solución de Ejercicio 21.9.

1. $f'(x) = 5x^4 + 3x^2 + 1 > 0$ , por lo que $f$ es estrictamente creciente en $\R$ ; con $\lim_{\pm\infty} f = \pm\infty$ y continuidad, la biyección El teorema da un cero real único $\alpha$ . Desde $f(0) = -1 < 0$ y $f(1) = 2 > 0$ , $\alpha \in \intoo{0}{1}$ .

2. Mantener un intervalo $\intcc{a_n}{b_n}$ con $f(a_n) < 0 < f(b_n)$ , a partir de $\intcc{0}{1}$ ; en cada paso evaluar $f$ en el punto medio $m$ y conservar el medio intervalo en el que cambia el signo. persiste. Después de los pasos $n$ , el intervalo tiene una longitud $2^{-n}$ , por lo que el punto medio se aproxima a $\alpha$ dentro de $2^{-(n+1)}$ . necesitamos $2^{-(n+1)} \leq 10^{-6}$ , es decir $n + 1 \geq \frac{6}{\log_{10} 2} \approx 19.93$ : $n = 20$ iteraciones son suficientes.

21.5 Problema: No se puede cruzar un río sin mojarse

Problema 21.1

Problema de fin de semana — el valor intermedio teorema fuerza puntos fijos, antípodas de igual temperatura y tablas estables: tres teoremas que parecen imposibles a partir de una idea

Arrugar un mapa de Francia y dejarlo caer en cualquier lugar del suelo francés: algunos punto del mapa se encuentra exactamente encima del lugar donde representa. En cada instante, dos puntos diametralmente opuestos del ecuador tienen exactamente la misma temperatura. y un Una mesa cuadrada que se tambalea sobre un terreno lleno de baches siempre se puede estabilizar con giratorio. Tres trucos, un teorema: a continuo La cantidad no puede pasar de negativo a positivo sin desaparecer. (Teorema 21.13). Este problema entrena límites, entonces construye las tres maravillas — y sabe exactamente cuál es el teorema no promete.

Parte I — Limit fluency.

Calcular $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{3x^2 - x}{x^2 + 5}$ , $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{2x + 1}{x^2 + 1}$ , y $\lim_{x \to +\infty} (x^3 - x^2)$ (Método 21.8).
Dar el asíntotas de $f(x) = \dfrac{3x - 1}{x + 2}$ (Definición 21.4), calculando el límites pertinentes.
Calcular $\lim_{x \to 3} \dfrac{x^2 - 9}{x - 3}$ (factor) y $\lim_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{x + 1} - 1}{x}$ (conjugado).
Por el teorema del apretón (Teorema 21.7): calcular $\lim_{x \to 0} x \sin\frac1x$ y $\lim_{x \to +\infty} \frac{\sin x}{x}$ .
Por composición y términos dominantes: $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\sqrt{4x^2 + x}}{x}$ .

Parte II — Raíces, certified.

Demuestre que el ecuación $x^3 + x = 5$ tiene al menos un solución en $\intcc{1}{2}$ .
Mostrar que la solución es única en $\R$ (Teorema 21.15).
Prueba el clásico: every polynomial of odd degree has at least one real raíz. (Escribe el argumento para $p(x) = x^3 + a x^2 + b x + c$ : calcular los dos límites infinitos por término dominante, luego aplicar el IVT en un intervalo grande.)
Localizando el raíz de la pregunta 6 por dicotomía: cuantos las reducciones a la mitad de $\intcc{1}{2}$ garantizan un error a continuación $10^{-6}$ (Ejercicio 21.9)? Comparar con el duplicación de dígitos del método de Newton (Problema 12.1): aproximadamente ¿cuántos pasos se necesitarían? ¿Necesita?
El contraejemplo que guarda el teorema: $g(x) = \frac1x$ satisface $g(-1) = -1 < 0$ y $g(1) = 1 > 0$ , pero nunca desaparece. ¿Qué hipótesis de el IVT falla — y ¿qué enseña el ejemplo sobre comprobar hipótesis?

Parte III — Three impossible-sounding theorems.

El teorema del punto fijo del segmento: si $f : \intcc{0}{1} \to \intcc{0}{1}$ es continuo, prueba que algún $c$ satisface $f(c) = c$ . (Estudiar $g(x) = f(x) - x$ en los dos extremos.)
Traduce la pregunta 11 al mapa arrugado: qué juega el papel de $f$ , ¿por qué aterriza en $\intcc{0}{1}$ (en sentido figurado: dentro de Francia), y qué ¿Está el punto exactamente encima de su propia ubicación? (Uno dimensión se admite en silencio — el honesto El enunciado bidimensional es el teorema de Brouwer. volúmenes universitarios.)
El ecuador: sea $T$ una temperatura continuo en un círculo, visto como un $2\pi$ -función periódico con $T(0) = T(2\pi)$ . Establezca $g(t) = T(t) - T(t + \pi)$ . Calcule $g(0) + g(\pi)$ , deduzca que $g$ desaparece en algún lugar de $\intcc{0}{\pi}$ y establece el teorema sobre los puntos antípodas.
La mesa tambaleante: una mesa cuadrada perfectamente rígida en continuo (¡sin escalones!) terreno lleno de baches; tres piernas siempre se toca, uno flota por una altura $h(\theta)$ que depende continuamente del ángulo de rotación de la mesa $\theta$ . Explique por qué girar un cuarto de vuelta fuerza la brecha flotante para cambiar de signo — y concluir que algún ángulo $\theta^*$ estabiliza las cuatro patas. (Este El argumento se publicó como un teorema genuino en 2005; café los propietarios conocieron el truco primero.)
El excursionista de Ejercicio 21.8 usó el mismo esquema. Indique la plantilla compartida por las preguntas 11, 13, 14 y el excursionista — construye cuál función, verifica qué al final, invoca what — en tres líneas.
Lo que da el IVT no: la existencia salió gratis, pero ¿qué dos cuestiones deja abiertas y cuáles ¿Las herramientas de este problema las responden (preguntas 7 y 9)?

Parte IV — Portraits with asíntotas.

Reescribe $f(x) = \dfrac{3x - 1}{x + 2}$ como $3 - \dfrac{7}{x + 2}$ y úsalo para describir la curva. completamente: asíntotas, variaciones en cada lado, boceto. (Un hipérbola desplazado — la curva de costo promedio de Problema 4.1 también lo era).
El función $f(x) = \dfrac{x^2 - 1}{x - 1}$ es indefinido en $1$ . ¿Qué valor asignado a $f(1)$ hace es continuo allí — y ¿por qué los analistas llaman a tal ¿Señala una discontinuidad desmontable?
El piso función $x \mapsto \lfloor x \rfloor$ (mayor entero $\leq x$ ): dónde está continuo, ¿Dónde salta y por qué la conclusión del IVT? falla (busca $a < b$ con $\lfloor a \rfloor < \frac12 < \lfloor b \rfloor$ todavía ¿No hay solución de $\lfloor x \rfloor = \frac12$ )?
Finale — Las dos caras de continuidad: la promesa local (valor $=$ límite: sin teletransporte) y el poder global (IVT: cada valor intermedio visitado). Archivar los cuatro maravillas de la Parte III bajo la cara derecha, y dar la lema del cruce de ríos su nombre matemático preciso.

Solución

Solución de Problema 21.1.

1. Términos dominantes: $\frac{3x^2}{x^2} \to 3$ ; $\frac{2x}{x^2} = \frac2x \to 0$ ; $x^3 - x^2 = x^3\left(1 - \frac1x\right) \to +\infty$ .

2. $\lim_{x \to \pm\infty} f = 3$ : horizontales asíntota $y = 3$ ; $\lim_{x \to (-2)^\pm} f = \mp\infty$ : asíntota vertical $x = -2$ .

3. $\frac{(x-3)(x+3)}{x - 3} = x + 3 \to 6$ . y $\frac{\sqrt{x+1} - 1}{x} = \frac{x}{x(\sqrt{x+1} + 1)} = \frac{1}{\sqrt{x+1} + 1} \to \frac12$ .

4. $\abs{x \sin\frac1x} \leq \abs x \to 0$ , por lo que el El límite es $0$ . y $\abs{\frac{\sin x}{x}} \leq \frac1x \to 0$ : límite $0$ .

5. $\frac{\sqrt{4x^2 + x}}{x} = \sqrt{4 + \frac1x} \to \sqrt4 = 2$ (continuidad del cuadrado raíz, composición).

6. $f(x) = x^3 + x$ es continuo con $f(1) = 2 < 5 < 10 = f(2)$ : por el IVT, $f(c) = 5$ para algunos $c \in \intoo{1}{2}$ .

7. $f'(x) = 3x^2 + 1 > 0$ : estrictamente creciente en $\R$ , continuo, con límites $\mp\infty$ : por la biyección teorema, cada valor — en particular $5$ — se alcanza exactamente una vez.

8. $p(x) = x^3\left(1 + \frac ax + \frac{b}{x^2} + \frac{c}{x^3}\right)$ : como $x \to +\infty$ , $p \to +\infty$ ; como $x \to -\infty$ , $p \to -\infty$ . Así que en un enorme intervalo $\intcc{-M}{M}$ , $p(-M) < 0 < p(M)$ : el IVT entrega un raíz. El mismo argumento del término dominante funciona palabra por palabra para cualquier grado — los poderes impares mantienen signos opuestos en los dos infinitos.

9. Reducir a la mitad $n$ veces deja un intervalo de longitud $2^{-n}$ ; $2^{-20} \approx 9.5 \times 10^{-7} < 10^{-6}$ : veinte pasos. Newton duplica los dígitos correctos en cada paso: desde un dígito correcto, aproximadamente $3$ – $4$ los pasos llegan a seis — el la tortuga y el galgo de la búsqueda de raíces.

10. $g$ no es continuo en $\intcc{-1}{1}$ : explota en $0$ , que contiene el intervalo. Los IVT la conclusión se evapora con su hipótesis — siempre verifique continuidad on the whole intervalo, no sólo en el puntos finales.

11. $g(x) = f(x) - x$ es continuo; $g(0) = f(0) \geq 0$ (los valores se encuentran en $\intcc{0}{1}$ ) y $g(1) = f(1) - 1 \leq 0$ . Por el IVT, $g(c) = 0$ para algunos $c$ : $f(c) = c$ .

12. Idealizando al país como segmento $\intcc{0}{1}$ : $f$ envía cada lugar al lugar mostrado directamente debajo de él en el mapa arrugado; arrugar mantiene el mapa sobre el país, por lo que $f$ aterriza en $\intcc{0}{1}$ , y es continuo (el papel no se rompe). El punto fijo $c$ es el lugar que se encuentra precisamente encima de su propio imagen — Brouwer El teorema maneja el mapa bidimensional honesto.

13. $g(0) + g(\pi) = \left(T(0) - T(\pi)\right) + \left(T(\pi) - T(2\pi)\right) = T(0) - T(2\pi) = 0$ . entonces $g(0)$ y $g(\pi)$ son opuestos (o ambos cero): en cualquier sentido $g$ , continuo, desaparece en algún $t^* \in \intcc{0}{\pi}$ : $T(t^*) = T(t^* + \pi)$ — en algún lugar del ecuador, dos Los puntos antípodas coinciden en la temperatura, en cada uno de ellos. momento.

14. Rotación de la mesa un cuarto de vuelta. los roles de las dos diagonales: el par de patas que presionaban el suelo y la pareja que (uno de ellos) flotaba se intercambian situaciones, por lo que la altura de vuelo — contaba con su signo como “espacio de la diagonal distinguida” — toma lo contrario señales en $\theta$ y $\theta + \frac\pi2$ . Continuo tierra hace $h$ continuo, y el IVT entrega un ángulo $\theta^*$ con $h(\theta^*) = 0$ : cuatro patas abajo. (No hay tal suerte con una mesa rectangular o un suelo escalonado.)

Plantilla 15.: construye el diferencia de los dos cantidades que se desean que coincidan ( $f(x) - x$ ; $T(t) - T(t + \pi)$ ; posición arriba menos posición abajo para el caminante; el espacio firmado para la mesa); comprueba que toma valores de ambos signos (a menudo mediante una simetría de los extremos); invocar el IVT en un continuo función. Coincidencia forzada.

16. Preguntas abiertas: cuántos soluciones (respuesta por monotonicidad estricta y el teorema de biyección, pregunta 7) y dónde son (respondida por dicotomía o Newton, pregunta 9). El IVT es un oráculo de existencia pura.

17. $3 - \frac{7}{x + 2}$ : asíntota vertical $x = -2$ , horizontal $y = 3$ ; a cada lado de $-2$ el función es creciente ( $-\frac{7}{x+2}$ aumenta donde definido); la curva es la referencia hipérbola $-\frac7x$ se desplazó hacia la izquierda $2$ y hacia arriba $3$ — dos ramas abrazando la cruz asíntota.

18. Para $x \neq 1$ : $f(x) = x + 1$ , entonces $\lim_{x \to 1} f = 2$ : configuración de restauraciones $f(1) = 2$ continuidad. La discontinuidad fue un pinchazo, no un salto — llene el único punto que falta y la curva sanará: desmontable.

19. Continuo en cada intervalo entre consecutivos números enteros; en cada entero $n$ salta de $n - 1$ a $n$ . Con $a = 0.9$ , $b = 1.1$ : $\lfloor a \rfloor = 0 < \frac12 < 1 = \lfloor b \rfloor$ , sin embargo $\lfloor x \rfloor = \frac12$ tiene no hay solución — el salto se teletransporta sobre $\frac12$ , que es precisamente lo que el IVT prohíbe hacer a continuo funciones.

20. Cara local: valor $=$ límite en cada punto — la punción removible (pregunta 18) lo violó de forma curable, la saltos del suelo (pregunta 19) de forma irremediable. Cara global: en un intervalo, se visitan todos los valores intermedios — el raíz certificados (6–8), el punto fijo, el ecuador, la tabla y el excursionista todos viven aquí. El nombre oficial del eslogan: el teorema del valor intermedio.