Matemáticas de secundaria · Grades 10–12

21Límites y continuidad

Este capítulo extiende la noción de límite de las sucesiones a las funciones de una variable real e introduce la continuidad. El resultado central es el teorema de los valores intermedios, que convierte una información cualitativa (“ $f$ es continua y cambia de signo”) en la existencia de soluciones de ecuaciones.

21.1 Límites de funciones

En todo el capítulo, $f$ es una función definida en un intervalo o en una unión de intervalos $D \subseteq \R$ .

Definición 21.1 (Límite en el infinito)

Sea $f$ definida en un intervalo $\intco{a}{+\infty}$ y sea $\ell \in \R$ . Decimos que $f$ tiende a $\ell$ en $+\infty$ , y escribimos $\lim\limits_{x\to+\infty} f(x) = \ell$ , si todo intervalo abierto que contiene a $\ell$ contiene todos los valores $f(x)$ para $x$ suficientemente grande: para todo $\varepsilon > 0$ existe $A$ tal que, para todo $x \geq A$ , $\abs{f(x) - \ell} \leq \varepsilon$ .

Decimos que $f$ tiende a $+\infty$ en $+\infty$ si para todo $M \in \R$ existe $A$ tal que $f(x) \geq M$ para todo $x \geq A$ . Los límites en $-\infty$ y los límites iguales a $-\infty$ se definen de forma análoga.

Definición 21.2 (Límite en un punto)

Sea $a \in \R$ y sea $f$ definida cerca de $a$ (salvo, quizá, en $a$ ). Decimos que $f$ tiende a $\ell \in \R$ en $a$ , y escribimos $\lim\limits_{x \to a} f(x) = \ell$ , si para todo $\varepsilon > 0$ existe $\delta > 0$ tal que, para todo $x \in D$ con $\abs{x - a} \leq \delta$ , se cumple $\abs{f(x) - \ell} \leq \varepsilon$ .

Decimos que $f$ tiende a $+\infty$ en $a$ si para todo $M$ existe $\delta > 0$ tal que $f(x) \geq M$ siempre que $x \in D$ y $\abs{x - a} \leq \delta$ . Los límites laterales ( $x \to a^+$ , $x \to a^-$ ) restringen $x$ a $x > a$ o a $x < a$ .

Ejemplo 21.3

$\lim\limits_{x\to+\infty} \frac{1}{x} = 0$ , $\lim\limits_{x\to 0^+} \frac{1}{x} = +\infty$ , $\lim\limits_{x\to 0^-} \frac{1}{x} = -\infty$ . La función $x \mapsto \frac1x$ no tiene límite (bilateral) en $0$ .

Definición 21.4 (Asíntotas)

La recta $y = \ell$ es una asíntota horizontal de la curva de $f$ en $+\infty$ (resp. $-\infty$ ) si $\lim_{x\to+\infty} f(x) = \ell$ (resp. en $-\infty$ ). La recta $x = a$ es una asíntota vertical si $f$ tiene un límite lateral infinito en $a$ .

La curva de f(x) = 2 + 1/x-1 con su asíntota horizontal y = 2 (en ±∈fty) y su asíntota vertical x = 1. — La curva de $f(x) = 2 + \frac{1}{x-1}$ con su asíntota horizontal $y = 2$ (en $\pm\infty$ ) y su asíntota vertical $x = 1$ .

Proposición 21.5 (Operaciones con límites)

Las reglas de la Proposición 20.14 (sumas, productos, cocientes) valen literalmente para los límites de funciones, en un punto o en el infinito, con las mismas cuatro indeterminaciones $(+\infty)+(-\infty)$ , $0\times\infty$ , $\frac{\infty}{\infty}$ y $\frac{0}{0}$ .

Demostración. Las demostraciones son idénticas al caso de las sucesiones, sustituyendo “para $n \geq N$ ” por “para $x \geq A$ ” o “para $\abs{x-a} \leq \delta$ ”. ∎

Teorema 21.6 (Límite de una composición)

Sean $f, g$ funciones y $a, b, c$ números reales o $\pm\infty$ . Si $\lim\limits_{x \to a} f(x) = b$ y $\lim\limits_{y \to b} g(y) = c$ , entonces

\lim_{x \to a} g\bigl(f(x)\bigr) = c .

El mismo enunciado vale con una sucesión en lugar de $f$ : si $u_n \to b$ y $\lim_{y\to b} g(y) = c$ , entonces $g(u_n) \to c$ .

Demostración. Tomemos $b, c$ finitos (los demás casos son análogos). Sea $\varepsilon > 0$ . Existe $\delta > 0$ tal que $\abs{y - b} \leq \delta$ implica $\abs{g(y) - c} \leq \varepsilon$ ; y existe $\delta' > 0$ tal que $\abs{x - a} \leq \delta'$ implica $\abs{f(x) - b} \leq \delta$ . Encadenando las dos cosas se obtiene $\abs{g(f(x)) - c} \leq \varepsilon$ para $\abs{x - a} \leq \delta'$ . ∎

Teorema 21.7 (Comparación y sándwich)

Sean $f, g, h$ funciones y $a \in \R \cup \{\pm\infty\}$ .

Si $f \leq g$ cerca de $a$ y $f(x) \to +\infty$ cuando $x \to a$ , entonces $g(x) \to +\infty$ .
Si $f \leq g \leq h$ cerca de $a$ y $f$ y $h$ tienden al mismo límite finito $\ell$ en $a$ , entonces $g(x) \to \ell$ cuando $x \to a$ .

Demostración. El mismo argumento que para las sucesiones (Teorema 20.16). ∎

Método 21.8 (Calcular límites en la práctica)

Polinomios y funciones racionales en $\pm\infty$ : saca como factor la mayor potencia de $x$ ; el límite es el del cociente de los términos de mayor grado.
$\frac{0}{0}$ en un punto $a$ : saca $(x-a)$ como factor del numerador y del denominador, o reconoce una derivada $\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a} = f'(a)$ (Capítulo 22).
Raíces cuadradas: multiplica por la expresión conjugada.
Factores oscilantes ( $\cos$ , $\sin$ ): usa el teorema del sándwich.

21.2 Continuidad

Definición 21.9 (Continuidad)

Sea $f$ definida en un intervalo $I$ y sea $a \in I$ . La función $f$ es continua en $a$ si $\lim\limits_{x \to a} f(x) = f(a)$ . Es continua en $I$ si es continua en todos los puntos de $I$ .

Intuitivamente, la gráfica de una función continua en un intervalo se puede dibujar sin levantar el lápiz.

Proposición 21.10 (Continuidad de las funciones usuales)

Los polinomios, las funciones racionales, $x \mapsto \sqrt{x}$ , $x \mapsto \abs{x}$ , $\cos$ , $\sin$ , $\exp$ y $\ln$ son continuas en todo intervalo contenido en su dominio. Las sumas, los productos, los cocientes (donde estén definidos) y las composiciones de funciones continuas son continuas.

Demostración parcial. La estabilidad frente a sumas, productos, cocientes y composición se sigue de los teoremas correspondientes sobre límites. La continuidad de $x \mapsto x$ y de las funciones constantes es inmediata a partir de la definición, así que los polinomios y las funciones racionales son continuos. La continuidad de las demás funciones usuales se demuestra en los capítulos donde se construyen, o bien se admite. ∎

Ejemplo 21.11

La función parte entera $x \mapsto \floor{x}$ (el mayor entero $\leq x$ ) no es continua en ningún entero $n$ : su límite por la izquierda allí es $n - 1$ , mientras que $\floor{n} = n$ .

La función parte entera salta en cada entero: el valor (punto relleno) es distinto del límite por la izquierda (punto hueco).

Proposición 21.12 (Sucesiones y continuidad)

Si $u_n \to \ell$ y $f$ es continua en $\ell$ , entonces $f(u_n) \to f(\ell)$ . En particular, si una sucesión definida por $u_{n+1} = f(u_n)$ converge a $\ell$ y $f$ es continua en $\ell$ , entonces $f(\ell) = \ell$ .

Demostración. La primera afirmación es el Teorema 21.6 aplicado con la sucesión $(u_n)$ . Para la segunda, pasamos al límite en los dos miembros de $u_{n+1} = f(u_n)$ : el primero tiende a $\ell$ y el segundo, a $f(\ell)$ , y el límite es único. ∎

21.3 El teorema de los valores intermedios

Teorema 21.13 (Teorema de los valores intermedios)

Sea $f$ continua en $\intcc{a}{b}$ y sea $k$ un número cualquiera comprendido entre $f(a)$ y $f(b)$ . Entonces existe $c \in \intcc{a}{b}$ tal que $f(c) = k$ .

El teorema de los valores intermedios: una curva continua que une (a, f(a)) con (b, f(b)) tiene que cortar todas las rectas horizontales y = k situadas entre f(a) y f(b). — El teorema de los valores intermedios: una curva continua que une $(a, f(a))$ con $(b, f(b))$ tiene que cortar todas las rectas horizontales $y = k$ situadas entre $f(a)$ y $f(b)$ .

Demostración. Sustituyendo $f$ por $f - k$ (y por $k - f$ si hace falta), podemos suponer $f(a) \leq 0 \leq f(b)$ y buscar un cero de $f$ . Construimos dos sucesiones por dicotomía: tomamos $a_0 = a$ , $b_0 = b$ ; dados $a_n \leq b_n$ con $f(a_n) \leq 0 \leq f(b_n)$ , sea $m = \frac{a_n + b_n}{2}$ y definimos

(a_{n+1}, b_{n+1}) = \begin{cases} (a_n, m) & \text{si } f(m) \geq 0,\\ (m, b_n) & \text{si } f(m) < 0. \end{cases}

En los dos casos, $f(a_{n+1}) \leq 0 \leq f(b_{n+1})$ , la sucesión $(a_n)$ es creciente, $(b_n)$ es decreciente y $b_n - a_n = \frac{b-a}{2^n} \to 0$ : las sucesiones son adyacentes (véase el Ejercicio 20.10) y convergen a un límite común $c \in \intcc{a}{b}$ . Por continuidad, $f(a_n) \to f(c)$ y $f(b_n) \to f(c)$ ; pasando al límite en $f(a_n) \leq 0$ y en $f(b_n) \geq 0$ se obtiene $f(c) \leq 0 \leq f(c)$ , luego $f(c) = 0$ . ∎

Observación 21.14

La demostración por dicotomía es un algoritmo: da aproximaciones tan precisas como se quiera de una solución, reduciendo el error a la mitad en cada paso. Así es como un ordenador puede resolver $f(x) = 0$ sabiendo solo evaluar $f$ .

Teorema 21.15 (Teorema de la biyección)

Sea $f$ continua y estrictamente monótona en un intervalo $I$ . Entonces, para todo $k$ estrictamente comprendido entre los límites de $f$ en los extremos de $I$ , la ecuación $f(x) = k$ tiene una única solución en $I$ .

Demostración. Existencia: elegimos $a, b \in I$ con $k$ entre $f(a)$ y $f(b)$ (es posible porque los valores de $f$ se acercan a sus límites en los extremos) y aplicamos el teorema de los valores intermedios en $\intcc{a}{b}$ . Unicidad: si $x < y$ , la monotonía estricta da $f(x) \neq f(y)$ , así que dos puntos distintos no pueden ser los dos solución. ∎

Método 21.16 (Resolver $f(x) = k$ con el teorema de la biyección)

Para demostrar que $f(x) = k$ tiene exactamente una solución en un intervalo:

establece una tabla de variación de $f$ (signo de $f'$ , véase el Capítulo 22);
en cada intervalo donde $f$ sea continua y estrictamente monótona, compara $k$ con los valores o los límites en los extremos;
aplica el teorema de la biyección en cada uno de esos intervalos y cuenta las soluciones.

Una calculadora o la dicotomía localizan después cada solución con la finura que se quiera.

Ejemplo 21.17

La ecuación $x^3 + x = 1$ tiene una única solución real. En efecto, $f(x) = x^3 + x$ es continua y estrictamente creciente en $\R$ (suma de funciones estrictamente crecientes), $\lim_{-\infty} f = -\infty$ y $\lim_{+\infty} f = +\infty$ , así que el teorema de la biyección se aplica con $k = 1$ . Como $f(0.6) = 0.816 < 1$ y $f(0.7) = 1.043 > 1$ , la solución está en $\intoo{0.6}{0.7}$ .

21.4 Ejercicios

Ejercicio 21.1 ★

Calcula los límites siguientes:

\lim_{x\to+\infty} \frac{2x^3 - x + 1}{5x^3 + x^2}, \qquad \lim_{x\to-\infty} \bigl(x^2 + 3x - 1\bigr), \qquad \lim_{x\to 2^+} \frac{x+1}{x-2}, \qquad \lim_{x\to+\infty} \frac{\cos x}{x}.

Solución

Solución de Ejercicio 21.1.

Dividiendo entre $x^3$ : $\dfrac{2x^3 - x + 1}{5x^3 + x^2} = \dfrac{2 - 1/x^2 + 1/x^3}{5 + 1/x} \to \dfrac{2}{5}$ .

$x^2 + 3x - 1 = x^2(1 + 3/x - 1/x^2) \to +\infty$ cuando $x \to -\infty$ , porque $x^2 \to +\infty$ y el paréntesis tiende a $1$ .

Cuando $x \to 2^+$ , el numerador tiende a $3 > 0$ y el denominador a $0^+$ , luego $\dfrac{x+1}{x-2} \to +\infty$ .

Para $x > 0$ , $-\dfrac1x \leq \dfrac{\cos x}{x} \leq \dfrac1x$ , así que el límite es $0$ por el teorema del sándwich.

Ejercicio 21.2 ★

Sea $f(x) = \dfrac{2x^2 - 3x + 1}{x - 1}$ , definida para $x \neq 1$ .

Demuestra que $f(x) = 2x - 1$ para todo $x \neq 1$ .
Deduce $\lim\limits_{x \to 1} f(x)$ . ¿Se puede prolongar $f$ a una función continua en $1$ ?

Solución

Solución de Ejercicio 21.2.

1. $2x^2 - 3x + 1 = (x-1)(2x-1)$ (la raíz $x=1$ se ve a simple vista, porque $2 - 3 + 1 = 0$ ). Para $x \neq 1$ , simplificamos $x - 1$ : $f(x) = 2x - 1$ .

2. Por tanto, $\lim_{x\to1} f(x) = 1$ . Definiendo $f(1) = 1$ se prolonga $f$ a la función polinómica $x \mapsto 2x-1$ sobre $\R$ , que es continua en $1$ .

Ejercicio 21.3 ★

Determina las asíntotas de la curva de $f(x) = \dfrac{3x - 1}{x + 2}$ y esboza la curva.

Solución

Solución de Ejercicio 21.3.

Escribimos $f(x) = \dfrac{3x - 1}{x + 2} = \dfrac{3(x+2) - 7}{x+2} = 3 - \dfrac{7}{x+2}$ . Cuando $x \to \pm\infty$ , $f(x) \to 3$ : la recta $y = 3$ es asíntota horizontal en los dos infinitos. Cuando $x \to (-2)^\pm$ , $f(x) \to \mp\infty$ : la recta $x = -2$ es asíntota vertical. La curva es una hipérbola, por debajo de $y=3$ para $x > -2$ y por encima para $x < -2$ .

Ejercicio 21.4 ★★

Calcula

\lim_{x\to+\infty} \bigl(\sqrt{x^2 + x} - x\bigr) \qquad\text{y}\qquad \lim_{x\to 0} \frac{\sqrt{1+x} - 1}{x}.

Solución

Solución de Ejercicio 21.4.

Multiplicamos por el conjugado:

\sqrt{x^2 + x} - x = \frac{x^2 + x - x^2}{\sqrt{x^2+x} + x} = \frac{x}{x\left(\sqrt{1 + 1/x} + 1\right)} = \frac{1}{\sqrt{1 + 1/x} + 1} \xrightarrow[x\to+\infty]{} \frac{1}{2}.

Del mismo modo,

\frac{\sqrt{1+x} - 1}{x} = \frac{(1+x) - 1}{x\left(\sqrt{1+x} + 1\right)} = \frac{1}{\sqrt{1+x} + 1} \xrightarrow[x\to0]{} \frac{1}{2}.

Ejercicio 21.5 ★★

Sea $f(x) = x + \sin x$ .

Demuestra que $f(x) \to +\infty$ cuando $x \to +\infty$ , aunque $f$ no sea monótona en ningún intervalo $\intco{A}{+\infty}$ .
Demuestra que $g(x) = \dfrac{x + \sin x}{x - \sin x}$ tiende a $1$ en $+\infty$ .

Solución

Solución de Ejercicio 21.5.

1. Como $\sin x \geq -1$ , $f(x) \geq x - 1 \to +\infty$ , y concluimos por comparación. Sin embargo, $f'(x) = 1 + \cos x$ se anula en todos los múltiplos impares de $\pi$ , y en cada intervalo $\intco{A}{+\infty}$ la función alterna tramos de crecimiento estricto: es creciente, pero no estrictamente y, sobre todo, ese crecimiento no hace falta: basta con la comparación.

2. Para $x > 1$ , dividimos entre $x$ :

g(x) = \frac{1 + \frac{\sin x}{x}}{1 - \frac{\sin x}{x}},

y $\frac{\sin x}{x} \to 0$ por el teorema del sándwich ( $\abs{\sin x} \leq 1$ ). Por tanto, $g(x) \to \frac{1+0}{1-0} = 1$ .

Ejercicio 21.6 ★★

Demuestra que la ecuación $x^3 - 3x + 1 = 0$ tiene exactamente tres soluciones reales y da, para cada una, un intervalo de longitud $1$ que la contenga. (Indicación: estudia la variación de $f(x) = x^3 - 3x + 1$ ; su derivada es $3x^2 - 3$ .)

Solución

Solución de Ejercicio 21.6.

$f(x) = x^3 - 3x + 1$ es continua, con $f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x-1)(x+1)$ : $f$ crece en $\intoc{-\infty}{-1}$ , decrece en $\intcc{-1}{1}$ y crece en $\intco{1}{+\infty}$ , con máximo relativo $f(-1) = 3 > 0$ y mínimo relativo $f(1) = -1 < 0$ , $\lim_{-\infty} f = -\infty$ y $\lim_{+\infty} f = +\infty$ .

En cada uno de los tres intervalos de monotonía, $f$ es continua y estrictamente monótona, y el $0$ está estrictamente entre los valores o límites de los extremos, así que el teorema de la biyección da exactamente un cero por intervalo: tres ceros en total. Comprobación de signos: $f(-2) = -1 < 0 < f(-1) = 3$ , luego hay un cero en $\intoo{-2}{-1}$ ; $f(0) = 1 > 0 > f(1) = -1$ , un cero en $\intoo{0}{1}$ ; y $f(1) = -1 < 0 < f(2) = 3$ , un cero en $\intoo{1}{2}$ .

Ejercicio 21.7 ★★

Sea $f \colon \intcc{0}{1} \to \intcc{0}{1}$ continua. Demuestra que $f$ tiene un punto fijo: existe $c \in \intcc{0}{1}$ con $f(c) = c$ . (Indicación: aplica el teorema de los valores intermedios a $g(x) = f(x) - x$ .)

Solución

Solución de Ejercicio 21.7.

Sea $g(x) = f(x) - x$ , continua en $\intcc{0}{1}$ . Como $f(0) \in \intcc{0}{1}$ , $g(0) = f(0) \geq 0$ ; y como $f(1) \in \intcc{0}{1}$ , $g(1) = f(1) - 1 \leq 0$ . Por el teorema de los valores intermedios, $g$ se anula en algún $c \in \intcc{0}{1}$ , es decir, $f(c) = c$ .

Ejercicio 21.8 ★★★

Una senderista sube por un camino de montaña, sale a las 8:00 y llega a las 20:00. Al día siguiente baja por el mismo camino, saliendo otra vez a las 8:00 y llegando a las 20:00. Demuestra que hay una hora del día en la que está exactamente en el mismo punto del camino los dos días. (Indicación: introduce la diferencia de las dos funciones de posición.)

Solución

Solución de Ejercicio 21.8.

Sean $u(t)$ y $d(t)$ las posiciones (medidas como distancia desde el comienzo del camino) en el instante $t \in \intcc{8}{20}$ en la subida y en la bajada. Las dos son continuas, con $u(8) = 0$ , $u(20) = L$ (la longitud del camino), $d(8) = L$ y $d(20) = 0$ . La función $g = u - d$ es continua con $g(8) = -L \leq 0$ y $g(20) = L \geq 0$ , así que $g(c) = 0$ para algún instante $c$ por el teorema de los valores intermedios: en el instante $c$ , las posiciones de los dos días coinciden.

Ejercicio 21.9 ★★★

Sea $f(x) = x^5 + x^3 + x - 1$ .

Demuestra que $f$ tiene un único cero real $\alpha$ y que $\alpha \in \intoo{0}{1}$ .
Describe un procedimiento de dicotomía que calcule $\alpha$ con un error menor que $10^{-6}$ y da el número de iteraciones necesarias partiendo de $\intcc{0}{1}$ .

Solución

Solución de Ejercicio 21.9.

1. $f'(x) = 5x^4 + 3x^2 + 1 > 0$ , así que $f$ es estrictamente creciente en $\R$ ; con $\lim_{\pm\infty} f = \pm\infty$ y la continuidad, el teorema de la biyección da un único cero real $\alpha$ . Como $f(0) = -1 < 0$ y $f(1) = 2 > 0$ , $\alpha \in \intoo{0}{1}$ .

2. Mantenemos un intervalo $\intcc{a_n}{b_n}$ con $f(a_n) < 0 < f(b_n)$ , partiendo de $\intcc{0}{1}$ ; en cada paso evaluamos $f$ en el punto medio $m$ y conservamos la mitad en la que persiste el cambio de signo. Tras $n$ pasos, el intervalo mide $2^{-n}$ , así que su punto medio aproxima $\alpha$ con error menor que $2^{-(n+1)}$ . Necesitamos $2^{-(n+1)} \leq 10^{-6}$ , es decir, $n + 1 \geq \frac{6}{\log_{10} 2} \approx 19.93$ : bastan $n = 20$ iteraciones.

21.5 Problema: No se cruza un río sin mojarse

Problema 21.1

Problema de fin de semana — el teorema de los valores intermedios impone puntos fijos, antípodas a la misma temperatura y mesas que no cojean: tres teoremas de apariencia imposible a partir de una sola idea

Arruga un mapa de un país y déjalo caer en cualquier punto de ese país: algún punto del mapa queda exactamente encima del lugar que representa. En todo instante, dos puntos diametralmente opuestos del ecuador están exactamente a la misma temperatura. Y una mesa cuadrada que cojea sobre un suelo irregular siempre se puede estabilizar girándola. Tres trucos de fiesta y un solo teorema: una magnitud continua no puede pasar de negativa a positiva sin anularse (Teorema 21.13). Este problema entrena los límites, construye después las tres maravillas y sabe exactamente qué es lo que el teorema no promete.

Parte I — Soltura con los límites.

Calcula $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{3x^2 - x}{x^2 + 5}$ , $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{2x + 1}{x^2 + 1}$ y $\lim_{x \to +\infty} (x^3 - x^2)$ (Método 21.8).
Da las asíntotas de $f(x) = \dfrac{3x - 1}{x + 2}$ (Definición 21.4), calculando los límites pertinentes.
Calcula $\lim_{x \to 3} \dfrac{x^2 - 9}{x - 3}$ (factorizando) y $\lim_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{x + 1} - 1}{x}$ (con el conjugado).
Con el teorema del sándwich (Teorema 21.7): calcula $\lim_{x \to 0} x \sin\frac1x$ y $\lim_{x \to +\infty} \frac{\sin x}{x}$ .
Por composición y términos dominantes: $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\sqrt{4x^2 + x}}{x}$ .

Parte II — Raíces, certificadas.

Demuestra que la ecuación $x^3 + x = 5$ tiene al menos una solución en $\intcc{1}{2}$ .
Demuestra que la solución es única en $\R$ (Teorema 21.15).
Demuestra el clásico: todo polinomio de grado impar tiene al menos una raíz real. (Escribe el argumento para $p(x) = x^3 + a x^2 + b x + c$ : calcula los dos límites infinitos con el término dominante y aplica después el teorema de los valores intermedios en un intervalo grande.)
Localizar la raíz de la pregunta 6 por dicotomía: ¿cuántas divisiones por la mitad de $\intcc{1}{2}$ garantizan un error menor que $10^{-6}$ (Ejercicio 21.9)? Compara con la duplicación de cifras del método de Newton (Problema 12.1): ¿cuántos pasos necesitaría más o menos?
El contraejemplo que custodia el teorema: $g(x) = \frac1x$ cumple $g(-1) = -1 < 0$ y $g(1) = 1 > 0$ y, sin embargo, no se anula nunca. ¿Qué hipótesis del teorema falla, y qué enseña el ejemplo sobre comprobar las hipótesis?

Parte III — Tres teoremas de apariencia imposible.

El teorema del punto fijo del segmento: si $f : \intcc{0}{1} \to \intcc{0}{1}$ es continua, demuestra que algún $c$ cumple $f(c) = c$ . (Estudia $g(x) = f(x) - x$ en los dos extremos.)
Traduce la pregunta 11 al mapa arrugado: ¿qué hace el papel de $f$ , por qué aterriza en $\intcc{0}{1}$ (en sentido figurado: dentro del país) y cuál es el punto que queda exactamente sobre su propio lugar? (Se admite en silencio una sola dimensión: el enunciado honrado en dos dimensiones es el teorema de Brouwer, en los volúmenes universitarios.)
El ecuador: sea $T$ una temperatura continua sobre una circunferencia, vista como una función $2\pi$ -periódica con $T(0) = T(2\pi)$ . Tomemos $g(t) = T(t) - T(t + \pi)$ . Calcula $g(0) + g(\pi)$ , deduce que $g$ se anula en algún punto de $\intcc{0}{\pi}$ y enuncia el teorema sobre puntos antípodas.
La mesa que cojea: una mesa cuadrada perfectamente rígida se apoya sobre un suelo irregular pero continuo (¡sin escalones!); tres patas tocan siempre el suelo y una queda en el aire a una altura $h(\theta)$ que depende de forma continua del ángulo de giro $\theta$ de la mesa. Explica por qué girar un cuarto de vuelta obliga a la holgura a cambiar de signo y concluye que algún ángulo $\theta^*$ deja las cuatro patas apoyadas. (Este argumento se publicó como teorema de pleno derecho en 2005; los dueños de las cafeterías conocían el truco antes.)
La senderista del Ejercicio 21.8 usó el mismo esquema. Enuncia en tres líneas la plantilla que comparten las preguntas 11, 13, 14 y la senderista: qué función construir, qué comprobar en los extremos y qué invocar.
Lo que el teorema no da: la existencia salió gratis, pero ¿qué dos preguntas deja abiertas y qué herramientas de este problema las responden (preguntas 7 y 9)?

Parte IV — Retratos con asíntotas.

Reescribe $f(x) = \dfrac{3x - 1}{x + 2}$ como $3 - \dfrac{7}{x + 2}$ y úsalo para describir la curva por completo: asíntotas, variación a cada lado y esbozo. (Es una hipérbola desplazada; la curva del coste medio del Problema 4.1 también lo era.)
La función $f(x) = \dfrac{x^2 - 1}{x - 1}$ no está definida en $1$ . ¿Qué valor asignado a $f(1)$ la hace continua allí, y por qué los analistas llaman a un punto así una discontinuidad evitable?
La función parte entera $x \mapsto \lfloor x \rfloor$ (el mayor entero $\leq x$ ): ¿dónde es continua, dónde salta y por qué falla para ella la conclusión del teorema de los valores intermedios (halla $a < b$ con $\lfloor a \rfloor < \frac12 < \lfloor b \rfloor$ y sin ninguna solución de $\lfloor x \rfloor = \frac12$ )?
Final: las dos caras de la continuidad: la promesa local (valor $=$ límite: nada de teletransporte) y el poder global (el teorema de los valores intermedios: se visitan todos los valores intermedios). Clasifica las cuatro maravillas de la Parte III bajo la cara que les corresponda y dale al eslogan del río su nombre matemático preciso.

Solución

Solución de Problema 21.1.

1. Términos dominantes: $\frac{3x^2}{x^2} \to 3$ ; $\frac{2x}{x^2} = \frac2x \to 0$ ; $x^3 - x^2 = x^3\left(1 - \frac1x\right) \to +\infty$ .

2. $\lim_{x \to \pm\infty} f = 3$ : asíntota horizontal $y = 3$ ; $\lim_{x \to (-2)^\pm} f = \mp\infty$ : asíntota vertical $x = -2$ .

3. $\frac{(x-3)(x+3)}{x - 3} = x + 3 \to 6$ . Y $\frac{\sqrt{x+1} - 1}{x} = \frac{x}{x(\sqrt{x+1} + 1)} = \frac{1}{\sqrt{x+1} + 1} \to \frac12$ .

4. $\abs{x \sin\frac1x} \leq \abs x \to 0$ , luego el límite es $0$ . Y $\abs{\frac{\sin x}{x}} \leq \frac1x \to 0$ : límite $0$ .

5. $\frac{\sqrt{4x^2 + x}}{x} = \sqrt{4 + \frac1x} \to \sqrt4 = 2$ (continuidad de la raíz cuadrada, por composición).

6. $f(x) = x^3 + x$ es continua con $f(1) = 2 < 5 < 10 = f(2)$ : por el teorema de los valores intermedios, $f(c) = 5$ para algún $c \in \intoo{1}{2}$ .

7. $f'(x) = 3x^2 + 1 > 0$ : estrictamente creciente en $\R$ , continua y con límites $\mp\infty$ : por el teorema de la biyección, todo valor (en particular, el $5$ ) se alcanza exactamente una vez.

8. $p(x) = x^3\left(1 + \frac ax + \frac{b}{x^2} + \frac{c}{x^3}\right)$ : cuando $x \to +\infty$ , $p \to +\infty$ ; y cuando $x \to -\infty$ , $p \to -\infty$ . Así que en algún intervalo enorme $\intcc{-M}{M}$ se cumple $p(-M) < 0 < p(M)$ : el teorema de los valores intermedios entrega una raíz. El mismo argumento del término dominante vale literalmente para cualquier grado impar: las potencias impares conservan signos opuestos en los dos infinitos.

9. Partir por la mitad $n$ veces deja un intervalo de longitud $2^{-n}$ ; y $2^{-20} \approx 9.5 \times 10^{-7} < 10^{-6}$ : veinte pasos. Newton duplica las cifras correctas en cada paso: partiendo de una cifra correcta, unos $3$ o $4$ pasos llegan a seis; la tortuga y el galgo de la búsqueda de raíces.

10. $g$ no es continua en $\intcc{-1}{1}$ : explota en $0$ , que está dentro del intervalo. La conclusión del teorema se evapora junto con su hipótesis: comprueba siempre la continuidad en todo el intervalo, no solo en los extremos.

11. $g(x) = f(x) - x$ es continua; $g(0) = f(0) \geq 0$ (los valores están en $\intcc{0}{1}$ ) y $g(1) = f(1) - 1 \leq 0$ . Por el teorema de los valores intermedios, $g(c) = 0$ para algún $c$ : $f(c) = c$ .

12. Idealizando el país como el segmento $\intcc{0}{1}$ : $f$ lleva cada lugar al lugar que aparece justo debajo en el mapa arrugado; arrugar mantiene el mapa sobre el país, así que $f$ aterriza en $\intcc{0}{1}$ , y es continua (el papel no se rompe). El punto fijo $c$ es el punto que queda precisamente encima de su propia imagen; el teorema de Brouwer se ocupa del mapa honrado, en dos dimensiones.

13. $g(0) + g(\pi) = \left(T(0) - T(\pi)\right) + \left(T(\pi) - T(2\pi)\right) = T(0) - T(2\pi) = 0$ . Así que $g(0)$ y $g(\pi)$ son opuestos (o los dos nulos): en cualquier caso, $g$ , que es continua, se anula en algún $t^* \in \intcc{0}{\pi}$ : $T(t^*) = T(t^* + \pi)$ ; en algún lugar del ecuador, dos puntos antípodas coinciden en temperatura, en todos y cada uno de los instantes.

14. Girar la mesa un cuarto de vuelta intercambia los papeles de las dos diagonales: la pareja de patas que apretaba el suelo y la pareja en la que una pata quedaba en el aire cambian de situación, así que la altura de la pata suelta (contada con signo, como “holgura de la diagonal distinguida”) toma signos opuestos en $\theta$ y en $\theta + \frac\pi2$ . Un suelo continuo hace continua a $h$ , y el teorema de los valores intermedios entrega un ángulo $\theta^*$ con $h(\theta^*) = 0$ : las cuatro patas en el suelo. (Con una mesa rectangular o con un suelo escalonado no hay tanta suerte.)

15. Plantilla: construye la diferencia de las dos magnitudes que quieres hacer coincidir ( $f(x) - x$ ; $T(t) - T(t + \pi)$ ; posición de subida menos posición de bajada para la senderista; la holgura con signo para la mesa); comprueba que toma valores de los dos signos (a menudo mediante una simetría entre los extremos); e invoca el teorema de los valores intermedios sobre una función continua. La coincidencia queda forzada.

16. Preguntas abiertas: cuántas soluciones hay (la responden la monotonía estricta y el teorema de la biyección, pregunta 7) y dónde están (lo responden la dicotomía o Newton, pregunta 9). El teorema de los valores intermedios es un oráculo de pura existencia.

17. $3 - \frac{7}{x + 2}$ : asíntota vertical $x = -2$ y horizontal $y = 3$ ; a cada lado de $-2$ la función es creciente ( $-\frac{7}{x+2}$ crece donde está definida); la curva es la hipérbola de referencia $-\frac7x$ desplazada $2$ a la izquierda y $3$ hacia arriba: dos ramas abrazadas al cruce de las asíntotas.

18. Para $x \neq 1$ : $f(x) = x + 1$ , luego $\lim_{x \to 1} f = 2$ : definiendo $f(1) = 2$ se restaura la continuidad. La discontinuidad era un agujero, no un salto: se rellena el único punto que falta y la curva cicatriza; es evitable.

19. Es continua en cada intervalo entre dos enteros consecutivos; y en cada entero $n$ salta de $n - 1$ a $n$ . Con $a = 0.9$ y $b = 1.1$ : $\lfloor a \rfloor = 0 < \frac12 < 1 = \lfloor b \rfloor$ y, sin embargo, $\lfloor x \rfloor = \frac12$ no tiene solución: el salto se teletransporta por encima de $\frac12$ , que es precisamente lo que el teorema de los valores intermedios prohíbe a las funciones continuas.

20. Cara local: valor $=$ límite en cada punto; el agujero evitable (pregunta 18) la violaba con remedio y los saltos de la parte entera (pregunta 19), sin remedio. Cara global: en un intervalo se visitan todos los valores intermedios; ahí viven los certificados de raíces (preguntas 6 a 8), el punto fijo, el ecuador, la mesa y la senderista. El nombre oficial del eslogan: el teorema de los valores intermedios.

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