¿Qué es norma? — Matemáticas

Definición 5.1 Matemáticas universitarias — Grado 2 · Capítulo 5 — Espacios vectoriales normados

Una norma sobre $E$ es una aplicación $\norm{\,\cdot\,} \colon E \to \R_+$ tal que, para todos $x, y \in E$ y $\lambda \in K$ :

\norm x = 0 \iff x = 0, \qquad \norm{\lambda x} = \abs\lambda\,\norm x, \qquad \norm{x + y} \leq \norm x + \norm y .

Entonces $d(x, y) = \norm{x - y}$ es una distancia y se aplica todo el Capítulo 4. La desigualdad triangular inversa $\bigl|\norm x - \norm y\bigr| \leq \norm{x - y}$ hace que la propia norma sea $1$ -lipschitziana; la suma y la multiplicación por escalares son continuas (estimaciones $\norm{(x + y) - (x' + y')} \leq \norm{x - x'} + \norm{y - y'}$ , etc.).

Ejemplos

Ejemplo 5.2

Sobre $K^n$ :

\norm{x}_1 = \sum_i \abs{x_i}, \qquad \norm{x}_2 = \Bigl(\sum_i \abs{x_i}^2\Bigr)^{1/2}, \qquad \norm{x}_\infty = \max_i \abs{x_i}

( $\norm\cdot_2$ es una norma por Cauchy–Schwarz, volumen del primer año). Sobre $C(\intcc{a}{b})$ :

\norm f_\infty = \sup \abs f, \qquad \norm f_1 = \int_a^b \abs f, \qquad \norm f_2 = \Bigl(\int_a^b \abs f^2\Bigr)^{1/2},

siendo las dos últimas normas gracias a la positividad estricta de la integral y a la desigualdad integral de Cauchy–Schwarz (volumen del primer año). Sobre matrices: cualquier norma sobre $\mathcal M_n(K) \simeq K^{n^2}$ ; las normas de operador de más abajo son las estructuralmente importantes.

Ejemplo 5.4 (No equivalencia en dimensión infinita)

Sobre $C(\intcc{0}{1})$ se cumple siempre $\norm f_1 \leq \norm f_\infty$ , pero no hay ninguna cota recíproca: $f_n(x) = x^n$ tiene $\norm{f_n}_\infty = 1$ y $\norm{f_n}_1 = \frac{1}{n+1} \to 0$ . Así pues, $f_n \to 0$ para $\norm\cdot_1$ pero no para $\norm\cdot_\infty$ : las dos normas discrepan sobre la propia noción de convergencia.

Ejemplo 5.5 (Constantes explícitas en dimensión $n$ )

Sobre $K^n$ , las tres normas clásicas son equivalentes con constantes óptimas:

\norm x_\infty \leq \norm x_2 \leq \norm x_1 \leq \sqrt n\,\norm x_2 \leq n\,\norm x_\infty ,

donde la cota central $\norm x_1 \leq \sqrt n\norm x_2$ procede de Cauchy–Schwarz contra el vector de unos. Vectores extremales: $e_1$ convierte las dos primeras desigualdades en igualdades, y $(1, 1, \dots, 1)$ las dos últimas. La dimensión $n$ aparece visiblemente en las constantes: es la semilla cuantitativa del fracaso en dimensión infinita, pues cuando $n \to \infty$ no sobrevive ninguna constante uniforme, que es exactamente lo que exhibe el Ejemplo 5.4 sobre espacios de funciones.

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Ejemplos

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