Matemáticas universitarias — Grado 2 · Bachelor Year 2

18Curvas

La geometría ahora se vuelve diferencial. Una curva es un punto que se mueve a través de espacio; el cálculo nos da su velocidad y aceleración, y la geometría pregunta qué es intrínseco, independiente de qué tan rápido atravesamos el trayectoria. Las respuestas son longitud del arco, que mide la trayectoria en sí, y curvatura, que mide cómo se dobla. En la dimensión $3$ un segundo invariante, torsión, Mide cómo la curva se sale de su plano. la contabilidad El dispositivo para todo esto es el Marco de frenet en movimiento.

18.1 Arcos parametrizados

Definición 18.1 (Arco parametrizado)

A arco parametrizado de clase $\mathcal{C}^k$ ( $k \geq 1$ ) es un mapa $\gamma \colon I \to \R^n$ de clase $\mathcal{C}^k$ en un intervalo $I$ . Un punto $\gamma(t)$ es regular si $\gamma'(t) \neq 0$ , y el arco es regular si todos sus los puntos son. La línea que pasa por $\gamma(t)$ dirigida por $\gamma'(t)$ es el recta tangente en un punto regular.

Definición 18.2 (Cambio de parámetro)

A cambio de parametro de clase $\mathcal{C}^k$ es un $\mathcal{C}^k$ difeomorfismo $\theta \colon J \to I$ entre intervalos ( $\theta' \neq 0$ en todas partes). Los arcos $\gamma$ y $\gamma \circ \theta$ se llaman equivalente; un arco geométrico (o curva) es una clase de equivalencia. Nociones invariante bajo cambio de parámetro — la trayectoria, tangente linea, longitud del arco, curvatura — se llaman geométrico.

Observación 18.3

La trayectoria por sí sola no determina el arco geométrico: el parametrizaciones $t \mapsto (\cos t, \sin t)$ en $[0, 2\pi]$ y en $[0, 4\pi]$ tiene la misma imagen pero recorre el círculo una y otra vez. dos veces. Un arco geométrico recuerda la multiplicidad y orientación. del recorrido, no de su velocidad.

Ejemplo 18.4 (La velocidad no cambia nada geométrico)

Parametrizar el círculo unitario mediante

\gamma(t) = (\cos t^2,\ \sin t^2), \qquad t \in \intcc0{\sqrt{2\pi}} .

La velocidad $\norm{\gamma'(t)} = 2t$ crece linealmente, aún

L = \int_0^{\sqrt{2\pi}}2t\,\dd t = 2\pi ,

el mismo longitud que a velocidad constante — como Promesas Teorema 18.7, a través de cambio de parámetro $t \mapsto t^2$ . El recta tangente, el curvatura calculado a partir de Proposición 18.17, y cada otras cantidades geométricas también concuerdan; solo $t = 0$ Merece un vistazo, donde $\gamma'(0) = 0$ hace que esto parametrización sea irregular aunque la trayectoria es una círculo perfecto. Las declaraciones geométricas toleran el mal. parametrizaciones mal: reparar primero, concluir segundo.

Ejemplo 18.5

El arco $\gamma(t) = (t^2, t^3)$ es $\mathcal{C}^\infty$ pero no normal: $\gamma'(0) = (0, 0)$ . Su trayectoria, la semicúbica. parábola $y^2 = x^3$ , tiene un cúspide en el origen: suavidad de la parametrización no impide una singularidad geométrica donde la velocidad desaparece. Por eso la hipótesis de la regularidad $\gamma' \neq 0$ no es cosmético.

18.2 Longitud del arco

Definición 18.6 (longitud del arco)

Sea $\gamma \colon [a, b] \to \R^n$ un arco $\mathcal{C}^1$ . su longitud es

L(\gamma) = \int_a^b \norm{\gamma'(t)}\, \dd t ,

donde $\norm{\cdot}$ es el euclidiano norma. El longitud de arco función basado en $t_0$ es $s(t) = \int_{t_0}^t \norm{\gamma'(u)}\,\dd u$ .

Teorema 18.7 (La longitud es geométrica; poligonal caracterización)

Si $\theta \colon [c, d] \to [a, b]$ es un $\mathcal{C}^1$ cambio de parametro, luego $L(\gamma \circ \theta) = L(\gamma)$ .
$L(\gamma)$ es el supremo del longitudes de inscrito polígonos:

$L(\gamma) = \sup\Bigl\{\, \sum_{i=1}^{m} \norm{\gamma(t_i) - \gamma(t_{i-1})} \;:\; a = t_0 < t_1 < \dots < t_m = b \,\Bigr\}.$

Demostración. 1. Por el cambio de variables $t = \theta(u)$ (Año 1 volumen, válido ya que $\theta$ es $\mathcal{C}^1$ monótono),

\int_c^d \norm{(\gamma\circ\theta)'(u)}\,\dd u = \int_c^d \norm{\gamma'(\theta(u))}\,\abs{\theta'(u)}\,\dd u = \int_a^b \norm{\gamma'(t)}\,\dd t ,

donde usamos $(\gamma\circ\theta)' = \theta'\cdot (\gamma'\circ\theta)$ y, si $\theta$ es decreciente, el signo de $\theta'$ es absorbido por la inversión de los límites.

2. Para cualquier subdivisión, $\gamma(t_i) - \gamma(t_{i-1}) = \int_{t_{i-1}}^{t_i}\gamma'(t)\,\dd t$ , por lo que por el triángulo desigualdad para integrales $\norm{\gamma(t_i) - \gamma(t_{i-1})} \leq \int_{t_{i-1}}^{t_i}\norm{\gamma'}$ : cada polígono es más corto que $L(\gamma)$ , por lo tanto $\sup \leq L(\gamma)$ .

Para la desigualdad inversa, sea $\varepsilon > 0$ . Desde $\gamma'$ es continuo en compacto $[a,b]$ , es uniformemente continuo: hay $\delta > 0$ con $\norm{\gamma'(t) - \gamma'(u)} \leq \varepsilon$ siempre que $\abs{t - u} \leq \delta$ . tomar una subdivisión del paso $\leq \delta$ . En cada pieza, para $t \in [t_{i-1}, t_i]$ ,

\gamma(t_i) - \gamma(t_{i-1}) = \int_{t_{i-1}}^{t_i}\gamma'(t)\,\dd t = (t_i - t_{i-1})\,\gamma'(t_{i-1}) + R_i, \qquad \norm{R_i} \leq \varepsilon\,(t_i - t_{i-1}),

desde $R_i = \int_{t_{i-1}}^{t_i}(\gamma'(t) - \gamma'(t_{i-1}))\,\dd t$ . Por lo tanto

\norm{\gamma(t_i) - \gamma(t_{i-1})} \geq (t_i - t_{i-1})\norm{\gamma'(t_{i-1})} - \varepsilon (t_i - t_{i-1}) .

Sumando y comparando $\sum (t_i - t_{i-1})\norm{\gamma'(t_{i-1})}$ con $\int_a^b\norm{\gamma'}$ (un Suma de Riemann de la función continuo $\norm{\gamma'}$ , dentro de $\varepsilon(b - a)$ de la integral para $\delta$ lo suficientemente pequeña por uniforme continuidad nuevamente), obtenemos un polígono de longitud $\geq L(\gamma) - 2\varepsilon(b - a)$ . Dejando $\varepsilon \to 0$ prueba la afirmación. ∎

Ejemplo 18.8 (Arquímedes y los inscritos polígonos)

Para el círculo unitario, el gon regular $n$ inscrito tiene longitud $L_n = 2n\sin\frac\pi n$ , y la expansión $\sin x = x - \frac{x^3}6 + O(x^5)$ da

L_n = 2\pi - \frac{\pi^3}{3n^2} + O\Bigl(\frac1{n^4}\Bigr) :

el poligonal longitudes de Teorema 18.7 converger cuadráticamente. Numéricamente: $L_6 = 6$ (el hexágono, dando el crudo $\pi > 3$ ), mientras que $L_{96} = 192\sin\frac{\pi}{96} \approx 6.28206$ contra $2\pi \approx 6.28319$ — el error $0.00113$ concuerda con lo previsto $\pi^3/(3\cdot96^2) \approx 0.00112$ . Por eso Arquímedes, duplicar el hexágono cinco veces a los lados $96$ , podría entre paréntesis $\pi$ a tres dígitos a mano: cada duplicación divide el error por cuatro. El supremo en la poligonal. la caracterización no se alcanza sólo en el límite; es alcanzado rápido, porque una curva suave se separa de sus acordes sólo en segundo orden.

Teorema 18.9 (Parametrización de longitud de arco)

Sea $\gamma \colon I \to \R^n$ un arco $\mathcal{C}^k$ normal ( $k \geq 1$ ). El función de longitud de arco $s$ es un $\mathcal{C}^k$ difeomorfismo de $I$ en un intervalo $J$ , y $\tilde\gamma = \gamma \circ s^{-1}$ satisface $\norm{\tilde\gamma'} = 1$ en todas partes. Hasta la traducción del parámetro y la orientación, esta parametrización longitud de arco (o velocidad unitaria) es único.

Demostración. $s'(t) = \norm{\gamma'(t)} > 0$ y $s'$ es $\mathcal{C}^{k-1}$ (composición del mapa $\mathcal{C}^{k-1}$ $\gamma'$ con el norma, suave lejos de $0$ ), por lo que $s$ es $\mathcal{C}^k$ , estrictamente creciente, una biyección sobre $J = s(I)$ , y su inversa es $\mathcal{C}^k$ por el teorema de la función inversa en la dimensión $1$ (Volumen del año 1). entonces

\tilde\gamma'(\sigma) = \frac{\gamma'(t)}{s'(t)} = \frac{\gamma'(t)}{\norm{\gamma'(t)}}, \qquad t = s^{-1}(\sigma),

un vector unitario. Si $\hat\gamma = \gamma\circ\theta$ es otro parametrización de velocidad unitaria, luego $\abs{\theta'} = 1$ , por lo que $\theta' = \pm 1$ es constante (continuidad), es decir, $\theta(u) = \pm u + c$ . ∎

Observación 18.10

Longitud del arco es el parámetro que separa la geometría de dinámica. Una trayectoria se puede recorrer con cualquier velocidad. perfil — la física del movimiento — pero cada pregunta invariante de parametrización (forma, flexión, osculación) tiene un reloj canónico, la distancia recorrida. Es por eso que todas las fórmulas curvatura a continuación son definido a velocidad unitaria y luego traducido a arbitrario parametrizaciones por la regla de la cadena: los factores de traducción son poderes de $v = s'$ , y rastrearlos correctamente es el contenido completo de Proposición 18.17.

Ejemplo 18.11 (Círculo y hélice)

Para el círculo $\gamma(t) = (R\cos t, R\sin t)$ , $\norm{\gamma'} = R$ , entonces $s = Rt$ y el longitud de una vuelta completa es $2\pi R$ . Para el hélice $\gamma(t) = (a\cos t,\ a\sin t,\ bt)$ con $a > 0$ , $\norm{\gamma'(t)} = \sqrt{a^2 + b^2}$ es constante: la hélice es recorrido a velocidad constante, y $s = t\sqrt{a^2 + b^2}$ .

Ejemplo 18.12 (Longitud del arco en polar coordenadas)

Una curva polar $r = r(\theta)$ es el arco $\gamma(\theta) = (r\cos\theta,\ r\sin\theta)$ , con

\gamma'(\theta) = (r'\cos\theta - r\sin\theta,\ r'\sin\theta + r\cos\theta), \qquad \norm{\gamma'(\theta)}^2 = r'^2 + r^2

(los términos cruzados se cancelan): el elemento polar longitud es $\sqrt{r^2 + r'^2}\,\dd\theta$ . Para el cardioide $r = 1 + \cos\theta$ :

r^2 + r'^2 = (1 + \cos\theta)^2 + \sin^2\theta = 2 + 2\cos\theta = 4\cos^2\tfrac\theta2,

y en $\intcc{-\pi}{\pi}$ el coseno del medio ángulo es no negativo, entonces

L = \int_{-\pi}^{\pi}2\cos\tfrac\theta2\,\dd\theta = \Bigl[4\sin\tfrac\theta2\Bigr]_{-\pi}^{\pi} = 4 - (-4) = 8 :

como el arco cicloide de Ejercicio 18.1, una curva construido a partir de círculos tiene un longitud racional, sin $\pi$ en cualquier lugar. La factorización de medio ángulo es el truco estándar. para longitudes de curvas generadas por círculos; cuando falla (el elipse), el longitud es una función genuinamente nueva — una Integral elíptica, más allá de las formas cerradas elementales.

18.3 Curvatura en el plano.

A lo largo de esta sección, los arcos son $\mathcal{C}^2$ y regulares en el plano euclidiano orientado. Parametrizamos por longitud del arco y escriba $T(s) = \tilde\gamma'(s)$ para la unidad tangente y $N(s)$ para el vector unitario directamente ortogonal a $T(s)$ (rotación de $T$ por $+\pi/2$ ).

Teorema 18.13 (Fórmulas del plano Frenet)

Sea $\tilde\gamma$ un arco $\mathcal{C}^2$ de velocidad unitaria en el plano orientado. Hay una función continuo $\kappa$ , la (algebraico) curvatura, tal que

T'(s) = \kappa(s)\, N(s), \qquad N'(s) = -\kappa(s)\, T(s).

Demostración. Desde $\norm{T(s)}^2 = 1$ para todo $s$ , diferenciando el escalar el producto da $2\langle T'(s), T(s)\rangle = 0$ : $T'(s)$ es ortogonal a $T(s)$ , por lo tanto colineal con $N(s)$ (dimensión $2$ ); escriba $T'(s) = \kappa(s) N(s)$ con $\kappa(s) = \langle T'(s), N(s)\rangle$ , continuo. Del mismo modo $N' \perp N$ , entonces $N' = \lambda T$ ; y diferenciando $\langle T, N\rangle = 0$ da $\langle T', N\rangle + \langle T, N'\rangle = \kappa + \lambda = 0$ . ∎

Definición 18.14

Cuando $\kappa(s) \neq 0$ , radio de curvatura es $R(s) = 1/\abs{\kappa(s)}$ y centro de curvatura es $\tilde\gamma(s) + \frac{1}{\kappa(s)} N(s)$ ; el circulo con eso centro y radio $R(s)$ es el círculo osculador, el mejor aproximación circular de la curva en $\tilde\gamma(s)$ .

Ejemplo 18.15 (El círculo oscilador del exponencial)

Para $y = \eu^x$ en el punto $(0, 1)$ : $f'(0) = f''(0) = 1$ , entonces, según la fórmula gráfica a continuación,

\kappa(0) = \frac{1}{(1 + 1)^{3/2}} = \frac1{2\sqrt2}, \qquad R = 2\sqrt2 .

La unidad tangente es $T = \frac{(1, 1)}{\sqrt2}$ , la directa $N = \frac{(-1, 1)}{\sqrt2}$ normal y centro de curvatura es

(0, 1) + 2\sqrt2\cdot\frac{(-1, 1)}{\sqrt2} = (-2,\ 3) :

el círculo osculador tiene la ecuación $(x + 2)^2 + (y - 3)^2 = 8$ . Como comprobación de la afirmación de "mejor aproximación circular": resolviendo la ecuación del círculo para $y$ cerca de $(0,1)$ y expandiéndose da $y = 1 + x + \frac{x^2}2 + O(x^3)$ — exactamente la expansión de Taylor de segundo orden de $\eu^x$ . el círculo osculador coincide con el valor, pendiente y segundo derivado; un círculo tangente ordinario coincidiría sólo con el los dos primeros.

Ejemplo 18.16 (La evolución de un círculo es su centro)

Para el círculo de radio $R$ recorrido en sentido antihorario, $\kappa = 1/R$ y $N$ apuntan hacia el centro, por lo que el centro de curvatura $\tilde\gamma + \frac1\kappa N$ es el centro del círculo, por cada $s$ : el círculo osculador de un círculo es el círculo mismo, y el lugar geométrico de los centros de curvatura colapsa hasta un punto. Este caso degenerado calibra Ejercicio 18.6: ahí está la evoluta la velocidad es $-\frac{\kappa'}{\kappa^2}N$ , que desaparece de forma idéntica precisamente cuando $\kappa$ es constante.

Proposición 18.17 (Curvatura en forma arbitraria parametrización)

Para un arco plano normal $\mathcal{C}^2$ $\gamma(t) = (x(t), y(t))$ ,

\kappa(t) = \frac{x'(t)\,y''(t) - y'(t)\,x''(t)} {\bigl(x'(t)^2 + y'(t)^2\bigr)^{3/2}} ,

en particular $\kappa = \dfrac{y''}{(1 + y'^2)^{3/2}}$ para un gráfico $y = f(x)$ .

Demostración. Escribe $v(t) = \norm{\gamma'(t)} = s'(t)$ , entonces $\gamma' = vT$ (componiendo los datos de velocidad unitaria con $s$ ). diferenciando,

\gamma'' = v'T + v\,T'\cdot s' = v'T + v^2\kappa N .

Ahora tome el determinante (en la base orientada canónicamente) de $(\gamma', \gamma'')$ : desde $\det(T, T) = 0$ y $\det(T, N) = 1$ ,

\det(\gamma', \gamma'') = \det(vT,\ v'T + v^2\kappa N) = v^3\kappa .

El lado izquierdo es $x'y'' - y'x''$ y $v^3 = (x'^2 + y'^2)^{3/2}$ . El caso del gráfico es la parametrización $t \mapsto (t, f(t))$ . ∎

Ejemplo 18.18 (Círculo, recta, parábola)

Una línea tiene $\kappa = 0$ (y a la inversa: $T' = 0$ significa $T$ constante, entonces $\tilde\gamma(s) = \tilde\gamma(0) + sT$ , una línea). el El círculo de radio $R$ recorrido en sentido antihorario tiene $\kappa = 1/R$ : con $\gamma(t) = (R\cos t, R\sin t)$ , la fórmula da $\kappa = R^2/R^3$ . Para la parábola $y = x^2/2$ : $\kappa(x) = 1/(1 + x^2)^{3/2}$ , máxima en el vértice — la parábola es más pronunciada doblado donde gira.

Observación 18.19 (Errores comunes en torno a la curvatura)

(i) El curvatura algebraico de un arco plano cambia de signo cuando la orientación del arco o del plano se invierte: sólo $\abs\kappa$ y $R = 1/\abs\kappa$ son puramente geométricos. un El círculo recorrido en el sentido de las agujas del reloj tiene $\kappa = -1/R$ . (ii) El fórmula gráfica $\kappa = f''/(1 + f'^2)^{3/2}$ en silencio elige la parametrización por $x$ ; aplicándolo a una curva que no es una gráfica cerca del punto (tangente vertical) es la error clásico. (iii) En un punto donde $\gamma' = 0$ no hay nada definido — ni $T$ ni $\kappa$ — y el la trayectoria realmente puede romperse (Ejemplo 18.5); comprobar siempre la regularidad antes derivando la tangente unitaria. (iv) En el espacio, $\kappa = \norm{T'} \geq 0$ por convención: no hay señal para llegar incorrecto, pero tampoco hay señal para explotar — tipo de inflexión la información pasa al torsión. (v) Finalmente, $\kappa$ es un derivado with respect to longitud del arco: para un parametrización no unitaria de velocidad, olvidándose del factor $v^3$ en Proposición 18.17 es el más frecuente error en la práctica.

The parabola y = x2/2, its moving Frenet frame (T, N), and the círculo osculador at the vertex (radius 1, since (0) = 1). The frame turns as the point moves; curvatura is the rate of that turning per unit of longitud del arco. — **Figura 18.1.** The parabola $y = x^2/2$ , its moving Frenet frame $(T, N)$ , and the círculo osculador at the vertex (radius $1$ , since $\kappa(0) = 1$ ). The frame turns as the point moves; curvatura is the rate of that turning per unit of longitud del arco.

Teorema 18.20 (La curvatura determina la curva.)

Sea $\kappa \colon J \to \R$ continuo. existe un arco de velocidad unitaria $\mathcal{C}^2$ en el plano con curvatura $\kappa$ , y es único hasta una isometría directa (rotación seguido de traducción).

Demostración. Existencia. Repare $s_0 \in J$ y configure $\varphi(s) = \int_{s_0}^s \kappa(u)\,\dd u$ , luego

\tilde\gamma(s) = \Bigl(\int_{s_0}^s \cos\varphi(u)\,\dd u,\ \int_{s_0}^s \sin\varphi(u)\,\dd u\Bigr).

Entonces $T(s) = (\cos\varphi(s), \sin\varphi(s))$ es un vector unitario, $N(s) = (-\sin\varphi, \cos\varphi)$ , y

T'(s) = \varphi'(s)\,(-\sin\varphi, \cos\varphi) = \kappa(s)\,N(s) :

el arco es de velocidad unitaria con curvatura $\kappa$ .

Unicidad. Sean $\gamma_1, \gamma_2$ arcos de velocidad unitaria con el mismo curvatura. Cada unidad de tangente se eleva formando un ángulo. función, mediante una construcción explícita: vea $T_j$ como el número complejo $z_j = a_j + \iu b_j$ del módulo $1$ , elija $\varphi_j(0)$ con $z_j(0) = \eu^{\iu\varphi_j(0)}$ y establezca

\varphi_j(s) = \varphi_j(0) + \int_0^s\det\bigl(T_j, T_j'\bigr)(u)\,\dd u .

De $\abs{z_j} = 1$ : $\operatorname{Re}(\conj{z_j}\,z_j') = 0$ , entonces $\conj{z_j}\,z_j' = \iu\det(T_j, T_j') = \iu\,\varphi_j'$ , es decir $z_j' = \iu\varphi_j'z_j$ ; entonces

\bigl(z_j\,\eu^{-\iu\varphi_j}\bigr)' = \eu^{-\iu\varphi_j}\bigl(z_j' - \iu\varphi_j'z_j\bigr) = 0,

entonces $z_j = \eu^{\iu\varphi_j}$ en todas partes: $T_j = (\cos\varphi_j, \sin\varphi_j)$ con $\varphi_j$ de clase $\mathcal C^1$ . Además $\det(T_j, T_j') = \det(T_j, \kappa N_j) = \kappa$ , entonces $\varphi_j' = \kappa$ . Por lo tanto $\varphi_2 = \varphi_1 + c$ para un constante $c$ : $T_2$ es $T_1$ girado por el ángulo fijo $c$ , por lo que integrando, $\gamma_2 = \rho(\gamma_1) + w$ donde $\rho$ es el rotación del ángulo $c$ y $w$ un vector constante. ∎

Observación 18.21

Este es el prototipo unidimensional de fundamental teorema de la geometría: un conjunto completo de invariantes locales (aquí, uno función) clasifica el objeto hasta el movimiento rígido. el La siguiente versión tridimensional necesita dos invariantes.

Ejemplo 18.22 (La curvatura constante significa circulo)

Tome $\kappa \equiv \kappa_0 > 0$ en la fórmula de existencia: $\varphi(s) = \kappa_0 s$ y

\tilde\gamma(s) = \Bigl(\frac{\sin\kappa_0s}{\kappa_0},\ \frac{1 - \cos\kappa_0s}{\kappa_0}\Bigr) :

el círculo de radio $1/\kappa_0$ centrado en $(0, 1/\kappa_0)$ , recorrido a velocidad unitaria. por la unicidad la mitad del teorema, cada arco de velocidad unitaria de constante curvatura $\kappa_0$ es un trozo de círculo de radio $1/\kappa_0$ (o una línea si $\kappa_0 = 0$ ) — lo contrario del cálculo en Ejemplo 18.18, y el caso del avión de Ejercicio 18.9.

Ejemplo 18.23 (Reconstruyendo una curva a partir de su curvatura)

¿Qué curva de velocidad unitaria tiene radio de curvatura $R(s) = 1 + s^2$ ? Siguiendo la prueba de existencia con $\kappa(s) = \frac1{1+s^2}$ y $s_0 = 0$ : $\varphi(s) = \arctan s$ , entonces

T(s) = (\cos\arctan s,\ \sin\arctan s) = \Bigl(\frac{1}{\sqrt{1+s^2}},\ \frac{s}{\sqrt{1+s^2}}\Bigr),

e integrando,

\tilde\gamma(s) = \Bigl(\ln\bigl(s + \sqrt{1 + s^2}\bigr),\ \sqrt{1 + s^2} - 1\Bigr).

Configurando $x = \ln(s + \sqrt{1+s^2})$ , es decir, $s = \sinh x$ , el La segunda coordenada es $\cosh x - 1$ : la curva es la de cadena $y = \cosh x - 1$ . Esto cierra el ciclo con Ejercicio 18.3, donde calculamos $R = \cosh^2 x = 1 + \sinh^2 x = 1 + s^2$ directamente: el teorema fundamental garantiza que la catenaria es la curva solo con esta Perfil curvatura, hasta una isometría directa.

Observación 18.24 (Dónde se utiliza la curvatura a continuación)

La descomposición $\gamma'' = v'T + v^2\kappa N$ obtenida en la prueba de Proposición 18.17 es la Cinemática de todo movimiento curvo: tangencial versus aceleración centrípeta. Curvatura retornos para superficies (Capítulo 19) hasta el curvatura de curvas dibujadas sobre ellos, y el cálculo sobre del fin de semana de este capítulo. El problema — evoluciona, cáusticos — es la óptica geométrica de frentes de onda. El volumen del Año 3 toma el punto intrínseco de vuelva a ver las subvariedades de $\R^n$ .

18.4 Marco Frenet en el espacio.

Ahora sea $\tilde\gamma \colon J \to \R^3$ una unidad de velocidad. $\mathcal{C}^3$ arco que es biregular: $T'(s) \neq 0$ para todos $s$ . Entonces $\kappa(s) = \norm{T'(s)} > 0$ define el curvatura (sin espacio para iniciar sesión: no hay ningún espacio normal preferido) orientación), y establecemos:

N(s) = \frac{T'(s)}{\kappa(s)} \quad\text{(principal normal)}, \qquad B(s) = T(s) \wedge N(s) \quad\text{(binormal)} ,

de modo que $(T, N, B)$ es un marco ortonormal directo, el Marco de frenet. El avión que pasó por $\tilde\gamma(s)$ atravesó $T, N$ es el plano osculador.

Teorema 18.25 (Fórmulas de Frenet en el espacio)

Existe una función continuo $\tau$ , la torsión, con

T' = \kappa N, \qquad N' = -\kappa T + \tau B, \qquad B' = -\tau N .

Demostración. La primera fórmula es la definición de $N$ . cada uno de los vectores $T, N, B$ tiene constante norma $1$ y son ortogonales por pares; diferenciando las seis relaciones $\langle X, Y\rangle = \delta_{XY}$ muestra la matriz de $(T', N', B')$ en la base $(T, N, B)$ es antisimétrico: de hecho $\langle X', Y\rangle + \langle X, Y'\rangle = 0$ y $\langle X', X\rangle = 0$ . Su entrada $(N, T)$ es $\langle N', T\rangle = -\langle N, T'\rangle = -\kappa$ y su entrada de columna $(T, B)$ $\langle T', B\rangle = \kappa\langle N, B\rangle = 0$ . Nombrando el resto la entrada gratuita $\tau = \langle N', B\rangle$ proporciona exactamente los tres mostrados fórmulas: la antisimetría completa $\langle B', N\rangle = -\tau$ y $\langle B', T\rangle = 0$ . Continuidad de $\tau = \langle N', B\rangle$ está claro ya que $N'$ y $B$ son continuo ( $\tilde\gamma$ es $\mathcal{C}^3$ , por lo que $N = T'/\kappa$ es $\mathcal{C}^1$ ). ∎

Ejemplo 18.26 (El vector de Darboux)

Las tres fórmulas de Frenet se comprimen en una. Configure $\omega(s) = \tau\,T + \kappa\,B$ (el vector de Darboux). Usando $B \wedge T = N$ , $T \wedge N = B$ , $N \wedge B = T$ :

\omega \wedge T = \kappa\,N = T', \qquad \omega \wedge N = \tau\,B - \kappa\,T = N', \qquad \omega \wedge B = -\tau\,N = B' :

cada vector de cuadro evoluciona en $X' = \omega \wedge X$ , el firma cinemática de un rotación instantánea con vector de velocidad angular $\omega$ . El marco gira a un ritmo $\norm\omega = \sqrt{\kappa^2 + \tau^2}$ sobre la mudanza eje $\omega$ ; curvatura es el componente del giro sobre el binormal, torsión el componente respecto a la tangente. Para la hélice, $\omega$ es un vector constante a lo largo del cilindro eje — que es exactamente por qué el marco de la hélice precede uniformemente. La antisimetría de la matriz de Frenet, explotada en Ejercicio 18.7, es la forma matricial de este sencillo hecho geométrico.

Proposición 18.27 (Medidas de torsión planaridad)

Un arco biregular está contenido en un plano si y sólo si $\tau \equiv 0$ ; en ese caso el plano es el osculador (constante) avión.

Demostración. Si $\tau \equiv 0$ , entonces $B' = 0$ , entonces $B$ es una unidad constante vector $B_0$ , y

\frac{\dd}{\dd s}\langle \tilde\gamma(s), B_0\rangle = \langle T(s), B_0\rangle = 0 :

$\langle \tilde\gamma, B_0\rangle$ es constante, por lo que el arco se encuentra en un plano. ortogonal a $B_0$ . Por el contrario, si el arco se encuentra en un plano $P$ , entonces $T$ y $T'$ (por lo tanto $N$ ) son paralelos a la dirección de $P$ para todos los $s$ ; entonces $B = T \wedge N$ es una de las dos unidades normales de $P$ , y al ser continuo es constante; luego $0 = B' = -\tau N$ con $N \neq 0$ fuerza a $\tau \equiv 0$ . ∎

Ejemplo 18.28 (Un círculo inclinado tiene torsión cero.)

El arco $\gamma(t) = \bigl(\cos t,\ \tfrac{\sin t}{\sqrt2},\ \tfrac{\sin t}{\sqrt2}\bigr)$ se encuentra en el plano $y = z$ , y es el círculo unitario de ese plano (verifique: $\norm{\gamma(t)} = 1$ y la base ortonormal del avión $(1,0,0)$ , $(0, \tfrac1{\sqrt2}, \tfrac1{\sqrt2})$ exhibe el estándar parametrización). Sin ningún cálculo de Frenet, Proposición 18.27 predice $\tau \equiv 0$ , y el binormal fijo debe ser la unidad normal del avión $\pm(0, \tfrac1{\sqrt2}, -\tfrac1{\sqrt2})$ . Torsión no mide estar "inclinado en el espacio"; mide partida a avión. Sólo el $b$ distinto de cero de la hélice a continuación produce torsión.

Ejemplo 18.29 (La helice)

Para la hélice $\gamma(t) = (a\cos t, a\sin t, bt)$ , $a > 0$ , calculado $s = ct$ con $c = \sqrt{a^2 + b^2}$ . entonces

T = \frac1c(-a\sin t,\ a\cos t,\ b), \qquad T' \cdot \frac{\dd t}{\dd s} = \frac{1}{c^2}(-a\cos t, -a\sin t, 0),

entonces $\kappa = a/c^2 = a/(a^2 + b^2)$ y $N = (-\cos t, -\sin t, 0)$ : la normal principal apunta horizontalmente hacia el eje. Siguiente $B = T \wedge N = \frac1c(b\sin t, -b\cos t, a)$ y $B' \frac{\dd t}{\dd s} = \frac{b}{c^2}(\cos t, \sin t, 0) = -\tau N$ da

\boxed{\ \kappa = \frac{a}{a^2 + b^2}, \qquad \tau = \frac{b}{a^2 + b^2}. \ }

Ambas invariantes son constantes — y se puede demostrar, a la inversa, que las únicas curvas biregulares con constante $\kappa > 0$ y constante $\tau$ son hélices (círculos cuando $\tau = 0$ ). Tenga en cuenta los signos: $b > 0$ da una hélice derecha con torsión positivo.

Ejemplo 18.30 (Curvatura y torsión sin longitud de arco; el cúbico retorcido)

La reparación mediante longitud del arco suele ser imposible en espacios cerrados. forma, por lo que las invariantes deben extraerse del crudo derivados. Escribe $v = \norm{\gamma'} = s'$ ; luego $\gamma' = vT$ y, como en la prueba de Proposición 18.17,

\gamma'' = v'T + v^2\kappa N, \qquad \gamma' \wedge \gamma'' = v^3\kappa\,(T \wedge N) = v^3\kappa\,B .

Tomando normas ( $\kappa \geq 0$ en el espacio):

\kappa = \frac{\norm{\gamma' \wedge \gamma''}}{v^3} .

Diferenciando $\gamma''$ una vez más y convirtiendo $N' = v(-\kappa T + \tau B)$ (regla de la cadena hasta $s$ ), la única El componente $B$ proviene del último término:

\gamma''' = \bigl(v'' - v^3\kappa^2\bigr)T + \bigl(v'v\kappa + (v^2\kappa)'\bigr)N + v^3\kappa\tau\,B,

de modo que, emparejándose con $\gamma' \wedge \gamma'' = v^3\kappa B$ ,

\det(\gamma', \gamma'', \gamma''') = \langle\gamma' \wedge \gamma'',\ \gamma'''\rangle = v^6\kappa^2\tau, \qquad\text{i.e.}\qquad \tau = \frac{\det(\gamma', \gamma'', \gamma''')}{\norm{\gamma' \wedge \gamma''}^2} .

Aplicación al cúbico retorcido $\gamma(t) = (t,\ t^2,\ t^3)$ en $t = 0$ : $\gamma' = (1, 0, 0)$ , $\gamma'' = (0, 2, 0)$ , $\gamma''' = (0, 0, 6)$ , entonces $v = 1$ ,

\gamma' \wedge \gamma'' = (0, 0, 2), \qquad \kappa(0) = 2, \qquad \det(\gamma', \gamma'', \gamma''') = 12, \qquad \tau(0) = \frac{12}{4} = 3 .

Idea final: ambas fórmulas son ratios en los que la velocidad $v$ cancela en el grado exacto necesario — $\kappa$ escala como una segunda derivada por unidad longitud, $\tau$ como la Volumen mixto de tres derivados por área al cuadrado — que es por qué son geométricos mientras que $\gamma''$ en sí es no.

Observación 18.31 (Teorema fundamental de las curvas espaciales.)

Como en el avión, la pareja $(\kappa, \tau)$ con $\kappa > 0$ determina un arco biregular hasta la isometría directa de $\R^3$ : el Las fórmulas de Frenet forman un sistema diferencial lineal para el marco. $(T, N, B)$ , al que se aplica la teoría de Cauchy-Lipschitz de Se aplica Capítulo 16; ortonormalidad del marco de solución se conserva porque la matriz de coeficientes es antisimétrica (lo mismo Argumento de matriz gramatical como en Ejercicio 18.7) y la curva se recupera integrando $T$ . Dejamos los detalles al lector como un ejercicio sustancial pero instructivo.

18.5 Estudio local: posición respecto de la tangente

Proposición 18.32 (Forma local en forma regular. punto)

Sea $\gamma$ un arco plano de clase $\mathcal{C}^k$ en $t_0$ , con $p$ el índice más pequeño con $\gamma^{(p)}(t_0) \neq 0$ y $q$ el índice más pequeño $> p$ con $\gamma^{(q)}(t_0)$ no colineal con $\gamma^{(p)}(t_0)$ (suponiendo que ambos existan, $q \leq k$ ). en la base $(u, v) = (\gamma^{(p)}(t_0), \gamma^{(q)}(t_0))$ centrado en $\gamma(t_0)$ , Taylor–Young da coordenadas

X(t) \sim \frac{(t - t_0)^p}{p!}, \qquad Y(t) \sim \frac{(t - t_0)^q}{q!} .

La imagen local depende únicamente de las paridades de $p$ y $q$ :

$p$ impar, $q$ par	punto ordinario	no cruza la tangente; queda de un lado
$p$ impar, $q$ impar	punto de inflexión	cruza su tangente
$p$ par, $q$ impar	cúspide de primer tipo	ramas a lados opuestos de la tangente
$p$ par, $q$ par	cúspide de segundo tipo	ambas ramas del mismo lado

Demostración. Taylor–Young en el orden $q$ (la función $\gamma$ es $\mathcal{C}^q$ cerca de $t_0$ ):

\gamma(t) - \gamma(t_0) = \sum_{j=p}^{q} \frac{(t-t_0)^j}{j!}\,\gamma^{(j)}(t_0) + o\bigl((t-t_0)^q\bigr).

Mediante la elección de $p$ y $q$ , cada $\gamma^{(j)}(t_0)$ con $p \leq j < q$ es colineal con $u$ ; Recolectando componentes en el base $(u, v)$ : $X(t) = \frac{(t-t_0)^p}{p!}(1 + o(1))$ y $Y(t) = \frac{(t-t_0)^q}{q!}(1 + o(1))$ . La tabla de signos de $X$ y $Y$ para $t \gtrless t_0$ — regido exactamente por las paridades — da las cuatro imágenes: por ejemplo, si $p$ es par, $X > 0$ en ambos lados (ambas ramas salen en dirección $+u$ : una cúspide), y el costado del recta tangente ( $\operatorname{sign} Y$ ) se voltea con $q$ impar. ∎

Ejemplo 18.33

Para $\gamma(t) = (t^2, t^3)$ en $t_0 = 0$ (Ejemplo 18.5): $\gamma'' (0)= (2, 0)$ , $\gamma'''(0) = (0, 6)$ , entonces $p = 2$ , $q = 3$ : una cúspide del primer tipo, la imagen familiar de la parábola semicúbica. Para $\gamma(t) = (t, t^3)$ en $0$ : $p = 1$ , $q = 3$ : inflexión — las cruces cúbicas su tangente.

Observación 18.34 (Perspectivas dentro de este volumen)

Las curvas alimentan los siguientes capítulos de tres maneras. Dibujado en un superficie, definen sus planos tangentes y su primera forma fundamental (Capítulo 19), y su longitudes se calculan restringiendo la métrica ambiental — el El capítulo que tenemos por delante es en gran medida relativizado. el sobre el cálculo del problema del fin de semana cumple con el doble integrales en Capítulo 20, donde el área de astroide se vuelve a calcular mediante la fórmula de Green (Ejercicio 20.5) — una curva, dos teorías, respuestas coincidentes. Y el sistema Frenet ya utilizaba el ecuaciones diferenciales lineales de Capítulo 16 (existencia, unicidad y la ortogonalidad-preservación argumento de Ejercicio 18.7): el teorema fundamental de curvas es un teorema de ecuaciones diferenciales que lleva ropa geométrica.

Observación 18.35 (Método: ejecutar el estudio local)

En la práctica, la clasificación es una rutina de cuatro pasos. Uno, diferenciar en $t_0$ hasta el primer distinto de cero aparece la derivada: su índice es $p$ , su valor el vector $u$ . Dos, seguir diferenciando hasta obtener una derivada Aparece no colineal con $u$ : índice $q$ , vector $v$ . Tres, lea las paridades $(p, q)$ en la tabla. cuatro, dibujar: la curva sale por $+u$ si $p$ es impar (a lo largo de $u$ y luego de regreso a lo largo de $u$ si $p$ es par), en el costado de $v$ dictado por el signo de $Y$ . Dos precauciones. el marco $(u, v)$ es generalmente ortonormal no — la tabla describe posiciones relativas al recta tangente, no ángulos o distancias, así que no lea curvatura fuera de la imagen. Y se permiten derivadas intermedias colineales con $u$ entre los rangos $p$ y $q$ (solo desplazan la expansión de $X$ ); lo que debe pasar no es detenerse en la primera derivada distinta de cero y adivinar $q = p + 1$ : para $\gamma(t) = (t^2, t^4 + t^5)$ la ingenua suposición $q = 3$ es incorrecta, ya que $\gamma^{(3)}(0)$ sigue siendo colineal con $\gamma''(0)$ — este es precisamente Ejercicio 18.5.

18.6 Ceremonias

Ejercicio 18.1 ★

Calcule el longitud de un arco de la cicloide $\gamma(t) = (t - \sin t,\ 1 - \cos t)$ , $t \in [0, 2\pi]$ . (Use $1 - \cos t = 2\sin^2(t/2)$ .)

Solución

Solución de Ejercicio 18.1.

$\gamma'(t) = (1 - \cos t,\ \sin t)$ , entonces

\norm{\gamma'(t)}^2 = (1 - \cos t)^2 + \sin^2 t = 2 - 2\cos t = 4\sin^2\tfrac t2 ,

y $\norm{\gamma'(t)} = 2\sin\frac t2$ (no negativo en $[0, 2\pi]$ ). Por lo tanto

L = \int_0^{2\pi} 2\sin\tfrac t2\,\dd t = \Bigl[-4\cos\tfrac t2\Bigr]_0^{2\pi} = 8 :

un arco de la cicloide tiene longitud $8$ (para una rueda de radio $1$ ) — un resultado famoso de Wren, sin ningún $\pi$ a la vista.

Ejercicio 18.2 ★

Calcule el curvatura de la elipse $\gamma(t) = (a\cos t,\ b\sin t)$ ( $a > b > 0$ ) y ubique los puntos de máximo y mínimo. curvatura.

Solución

Solución de Ejercicio 18.2.

Con $x = a\cos t$ , $y = b\sin t$ : $x' = -a\sin t$ , $y' = b\cos t$ , $x'' = -a\cos t$ , $y'' = -b\sin t$ , así por Proposición 18.17

\kappa(t) = \frac{x'y'' - y'x''}{(x'^2 + y'^2)^{3/2}} = \frac{ab\sin^2 t + ab\cos^2 t} {(a^2\sin^2 t + b^2\cos^2 t)^{3/2}} = \frac{ab}{(a^2\sin^2 t + b^2\cos^2 t)^{3/2}} .

El denominador es mínimo cuando $\sin t = 0$ (valor $b^3$ , puntos $(\pm a, 0)$ ) y máximo cuando $\cos t = 0$ (valor $a^3$ , puntos $(0, \pm b)$ ), desde $a > b$ . Por lo tanto $\kappa$ es máximo en el extremos del eje mayor, $\kappa_{\max} = a/b^2$ , y mínimo en los extremos del eje menor, $\kappa_{\min} = b/a^2$ : la elipse se dobla más bruscamente en las puntas de su eje longitudinal.

Ejercicio 18.3 ★

Demuestre que el longitud del arco de la gráfica de $f(x) = \cosh x$ sobre $[0, x]$ es igual a $\sinh x$ y calcula el curvatura de este curva (la de cadena). Verifique que $R(x) = 1/\kappa(x) = \cosh^2 x$ .

Solución

Solución de Ejercicio 18.3.

Para el gráfico $\gamma(x) = (x, \cosh x)$ : $\norm{\gamma'(x)} = \sqrt{1 + \sinh^2 x} = \cosh x$ , entonces el longitud del arco de $0$ a $x$ es $\int_0^x \cosh u\,\dd u = \sinh x$ . Curvatura de un gráfico (Proposición 18.17):

\kappa(x) = \frac{f''(x)}{(1 + f'(x)^2)^{3/2}} = \frac{\cosh x}{\cosh^3 x} = \frac{1}{\cosh^2 x} ,

entonces $R(x) = \cosh^2 x$ , como se anunció. Tenga en cuenta la clara coincidencia $R(x) = 1 + s(x)^2$ con $s = \sinh x$ o longitud del arco: el El radio de curvatura de la catenaria crece con el cuadrado del arco longitud desde el vértice.

Ejercicio 18.4 ★★

(Espiral logarítmica) Sean $\gamma(t) = e^{t}(\cos t,\ \sin t)$ , $t \in \R$ . Demuestre que el ángulo entre $\gamma(t)$ y $\gamma'(t)$ es constante, calcule el longitud del arco de $\gamma$ en $(-\infty, 0]$ (¡finito!), y el curvatura.

Solución

Solución de Ejercicio 18.4.

$\gamma'(t) = e^t(\cos t - \sin t,\ \sin t + \cos t)$ , entonces

\langle \gamma(t), \gamma'(t)\rangle = e^{2t} \bigl(\cos t(\cos t - \sin t) + \sin t(\sin t + \cos t)\bigr) = e^{2t},

mientras que $\norm{\gamma(t)} = e^t$ y $\norm{\gamma'(t)} = e^t\sqrt 2$ . Por lo tanto

\cos\angle\bigl(\gamma, \gamma'\bigr) = \frac{e^{2t}}{e^t \cdot e^t\sqrt2} = \frac{1}{\sqrt2} :

la tangente siempre forma el ángulo $\pi/4$ con el radio — el equiángulo propiedad de la espiral logarítmica. Longitud del arco en $(-\infty, 0]$ :

\int_{-\infty}^0 \norm{\gamma'(t)}\,\dd t = \sqrt2\int_{-\infty}^0 e^t\,\dd t = \sqrt 2 ,

finito aunque la espiral gira infinitas veces alrededor del origen. Curvatura: con $x'y'' - y'x''$ calculado a partir de $\gamma'' = e^t(-2\sin t,\ 2\cos t)$ ,

x'y'' - y'x'' = e^{2t}\bigl(2\cos t(\cos t - \sin t) + 2\sin t(\sin t + \cos t)\bigr) = 2e^{2t},

entonces $\kappa(t) = \dfrac{2e^{2t}}{(e^t\sqrt2)^3} = \dfrac{1}{e^t\sqrt2}$ : el curvatura es $1/(\sqrt2\, \norm{\gamma})$ , decayendo a medida que crece la espiral.

Ejercicio 18.5 ★★

Determine $p$ , $q$ y la forma local (ordinaria, inflexión, cúspide) de $\gamma(t) = (t^2,\ t^4 + t^5)$ en $t = 0$ , y de $\gamma(t) = (t^3,\ t^4)$ en $t = 0$ .

Solución

Solución de Ejercicio 18.5.

Primer arco: $\gamma(t) = (t^2,\ t^4 + t^5)$ . derivados en $0$ : $\gamma'' = (2, 0) \neq 0$ , entonces $p = 2$ . Entonces $\gamma^{(3)}(0) = (0, 0)$ , $\gamma^{(4)}(0) = (0, 24)$ , no colineal con $(2, 0)$ : $q = 4$ . Ambos pares: cúspide del segundo tipo — ambos los ramales salen en dirección $+u = (1,0)$ y permanecen en el mismo lado de la tangente. (De hecho $y = x^2 \pm x^{5/2}$ en los dos ramas: mismo signo para las pequeñas $x$ .)

Segundo arco: $\gamma(t) = (t^3, t^4)$ . $\gamma'(0) = \gamma''(0) = 0$ , $\gamma^{(3)}(0) = (6, 0)$ : $p = 3$ , impar. Siguiente $\gamma^{(4)}(0) = (0, 24)$ : $q = 4$ , incluso. Par-impar: punto ordinario — a pesar de la velocidad de desaparición, el trayectoria $y = x^{4/3}$ cruza suavemente el origen manteniéndose por encima de su tangente $y = 0$ .

Ejercicio 18.6 ★★

Sea $\gamma$ un arco plano de velocidad unitaria con $\kappa(s) > 0$ para todo $s$ , y sea $c(s) = \gamma(s) + \frac{1}{\kappa(s)}N(s)$ el centro de curvatura (la curva $c$ es la evolucionar). Suponiendo que $\kappa$ es $\mathcal{C}^1$ , demuestre que $c'(s) = -\frac{\kappa'(s)}{\kappa(s)^2}N(s)$ : la evoluta es tangente a las líneas normales de $\gamma$ .

Solución

Solución de Ejercicio 18.6.

Diferenciar $c(s) = \gamma(s) + \dfrac{1}{\kappa(s)}N(s)$ usando las fórmulas del avión frenet (Teorema 18.13):

c'(s) = T(s) - \frac{\kappa'(s)}{\kappa(s)^2}N(s) + \frac{1}{\kappa(s)}\,\bigl(-\kappa(s)T(s)\bigr) = -\frac{\kappa'(s)}{\kappa(s)^2}\,N(s) ,

los términos tangentes se cancelan exactamente. Entonces la velocidad del La evoluta es llevada por $N(s)$ , que dirige la línea normal de $\gamma$ en $\gamma(s)$ — y el punto $c(s)$ radica en eso mismo Línea normal: la evoluta es la sobre of the normals. (Donde $\kappa' = 0$ la evoluta tiene un punto singular; esto es lo que produce las cúspides de la evolución de una elipse.)

Ejercicio 18.7 ★★★

Sea $A(s)$ una familia continuo de $3 \times 3$ antisimétrico matrices y $F' = F A$ una solución matricial con $F(s_0)$ ortogonal. Demuestre que $F(s)$ es ortogonal para todo $s$ . (Differentiate $G = F F^{\mathsf T}$ and use uniqueness in Cauchy–Lipschitz.) Explique la relevancia para el sistema Frenet.

Solución

Solución de Ejercicio 18.7.

Deje $G(s) = F(s)F(s)^{\mathsf T}$ . Luego, usando $F' = FA$ y $(F^{\mathsf T})' = (F')^{\mathsf T} = A^{\mathsf T}F^{\mathsf T}$ ,

G' = F'F^{\mathsf T} + F(F^{\mathsf T})' = FAF^{\mathsf T} + FA^{\mathsf T}F^{\mathsf T} = F(A + A^{\mathsf T})F^{\mathsf T} = 0

por antisimetría. Entonces $G$ es constante en el intervalo, igual a $G(s_0) = F(s_0)F(s_0)^{\mathsf T} = I$ : $F(s)$ es ortogonal para cada $s$ . (Alternativamente, sin calcular $G'$ a cero: ambos $G$ y la constante $I$ resuelven el sistema lineal $Y' = YA + A^{\mathsf T}Y$ con el mismo valor inicial, y Cauchy–Lipschitz unicidad para sistemas lineales, Capítulo 16, fuerzas $G \equiv I$ .)

Pertinencia: el sistema Frenet $(T, N, B)' = (T, N, B)\,A(s)$ tiene la matriz de coeficientes antisimétricos

A = \begin{pmatrix} 0 & -\kappa & 0\\ \kappa & 0 & -\tau\\ 0 & \tau & 0\end{pmatrix}

(columnas que expresan $T', N', B'$ ). El cálculo anterior muestra que un marco solución que comienza ortonormal corsé ortonormal — el paso clave en el teorema fundamental reconstruyendo una curva de $(\kappa, \tau)$ .

Ejercicio 18.8 ★★★

(Total curvatura de una curva convexa cerrada) Sea $\tilde\gamma$ un velocidad unitaria $\mathcal{C}^2$ arco plano cerrado de longitud $L$ (entonces $\tilde\gamma(s + L) = \tilde\gamma(s)$ ), atravesado una vez en sentido antihorario. Usando la función de ángulo $\varphi$ con $T = (\cos\varphi, \sin\varphi)$ de Teorema 18.20, explique por qué $\varphi(L) - \varphi(0)$ es un múltiplo de $2\pi$ y demuestre que $\int_0^L \kappa(s)\,\dd s = \varphi(L) - \varphi(0)$ . (Por un círculo de radio $R$ : $\int \kappa = \frac1R \cdot 2\pi R = 2\pi$ . El teorema de las tangentes de giro afirma el valor $2\pi$ para cada curva cerrada simple; no se le pide que lo demuestre).

Solución

Solución de Ejercicio 18.8.

Por Teorema 18.20 (parte de singularidad), hay un $\mathcal{C}^1$ función de ángulo $\varphi$ con $T(s) = (\cos\varphi(s), \sin\varphi(s))$ y $\varphi' = \kappa$ . Por lo tanto

\int_0^L \kappa(s)\,\dd s = \varphi(L) - \varphi(0) .

Dado que el arco está cerrado del período $L$ , $T(L) = T(0)$ : $(\cos\varphi(L), \sin\varphi(L)) = (\cos\varphi(0), \sin\varphi(0))$ , entonces $\varphi(L) - \varphi(0) \in 2\pi\Z$ . el Por lo tanto, el total curvatura de una curva cerrada es siempre un número entero. múltiplo de $2\pi$ — siendo el número entero el número de liquidación de la tangente (el número de vueltas completas que hace $T$ ). Para el círculo de radio $R$ : $\kappa = 1/R$ y $L = 2\pi R$ , total curvatura $2\pi$ , número de bobinado $1$ ; el teorema del giro Las tangentes indican que este valor es válido para toda curva cerrada simple.

Ejercicio 18.9 ★★★

Demuestre que una curva espacial biregular con constante $\kappa > 0$ y $\tau = 0$ es (un arco de) un círculo de radio $1/\kappa$ . (Use Proposición 18.27, then show the center $\gamma + \frac1\kappa N$ is constant.)

Solución

Solución de Ejercicio 18.9.

Desde $\tau \equiv 0$ , la curva se encuentra en un plano. (Proposición 18.27); trabajar en ese avión. Considere el centro de candidatos

c(s) = \gamma(s) + \frac{1}{\kappa}N(s) \qquad (\kappa \text{ constant}).

Diferenciando con las fórmulas de Frenet (aquí $N' = -\kappa T + \tau B = -\kappa T$ ):

c'(s) = T + \frac1\kappa(-\kappa T) = 0 ,

entonces $c$ es un punto constante $\Omega$ . Luego $\norm{\gamma(s) - \Omega} = \norm{-\frac1\kappa N(s)} = \frac1\kappa$ para todos los $s$ : la curva se encuentra en el círculo de centro $\Omega$ y radio $1/\kappa$ (en su plano), y siendo un arco no constante del mismo, es un arco de ese círculo.

Ejercicio 18.10 ★

Calcule el longitud del arco de la parábola $y = x^2/2$ sobre $\intcc0a$ y demostrar que es igual

\tfrac12\Bigl(a\sqrt{1 + a^2} + \ln\bigl(a + \sqrt{1 + a^2}\bigr)\Bigr).

Solución

Solución de Ejercicio 18.10.

Para el gráfico $\gamma(x) = (x, x^2/2)$ , $\norm{\gamma'(x)} = \sqrt{1 + x^2}$ , entonces $L = \int_0^a\sqrt{1+x^2}\,\dd x$ . Sustituyendo $x = \sinh u$ ( $\dd x = \cosh u\,\dd u$ , $u$ de $0$ a $u_a = \ln(a + \sqrt{1+a^2})$ ):

L = \int_0^{u_a}\cosh^2 u\,\dd u = \frac12\bigl[u + \sinh u\cosh u\bigr]_0^{u_a} = \frac12\Bigl(\ln\bigl(a + \sqrt{1+a^2}\bigr) + a\sqrt{1+a^2}\Bigr),

usando $\cosh^2 u = \frac{1 + \cosh 2u}2$ y $\sinh u_a = a$ , $\cosh u_a = \sqrt{1 + a^2}$ .

Ejercicio 18.11 ★★

Sea $\gamma$ un arco $\mathcal C^2$ normal en $\R^n$ todos cuyo rectas tangentes pasa por un punto fijo $P$ . demostrar que la trayectoria de $\gamma$ está contenida en una línea recta. (Parametrize by longitud del arco, write $\gamma(s) + \lambda(s)T(s) = P$ and differentiate.)

Solución

Solución de Ejercicio 18.11.

Parametrizar por longitud del arco (Teorema 18.9) y configure $\lambda(s) = \langle P - \gamma(s), T(s)\rangle$ , a $\mathcal C^1$ función; ya que $P$ se encuentra en recta tangente en $\gamma(s)$ , el vector $P - \gamma(s)$ es colineal con $T(s)$ , por lo que $P = \gamma(s) + \lambda(s)T(s)$ . diferenciando,

0 = T(s) + \lambda'(s)T(s) + \lambda(s)T'(s) = \bigl(1 + \lambda'(s)\bigr)T(s) + \lambda(s)T'(s),

y $T'(s) \perp T(s)$ (diferenciar $\norm T^2 = 1$ ), entonces ambos componentes desaparecen: $\lambda' = -1$ y $\lambda T' = 0$ . Entonces $\lambda(s) = c - s$ desaparece como máximo una vez, por lo que $T' = 0$ en un conjunto denso, por lo tanto en todas partes por continuidad: $T$ es un vector unitario constante y $\gamma(s) = \gamma(s_0) + (s - s_0)T$ : una línea recta (que pasa por $P$ , como debe ser).

Ejercicio 18.12 ★★★

(Teorema fundamental para curvas espaciales) Sean $\kappa > 0$ y $\tau$ ser continuo funciona en un intervalo $J$ . llevar a cabo el programa de la observación siguiente Ejemplo 18.29: (a) demuestre que el lineal sistema $F' = FA(s)$ , con $A(s)$ el Frenet antisimétrico matriz construida a partir de $\kappa, \tau$ y $F(s_0)$ un directo marco ortonormal, tiene una solución global única, que sigue siendo un marco ortonormal directo; (b) construir una unidad de velocidad curva biregular con curvatura $\kappa$ y torsión $\tau$ ; (c) demostrar la unicidad hasta una isometría directa de $\R^3$ .

Solución

Solución de Ejercicio 18.12.

(a) La matriz de Frenet

A(s) = \begin{pmatrix} 0 & -\kappa & 0\\ \kappa & 0 & -\tau\\ 0 & \tau & 0\end{pmatrix}

tiene entradas continuo, por lo que el sistema lineal $F' = FA(s)$ , $F(s_0) = F_0$ (una matriz ortonormal directa) tiene un único solución en todo $J$ (Teorema 16.4). Por Ejercicio 18.7, $F(s)$ es ortogonal para cada $s$ ; $\det F$ es continuo con valores en $\{\pm1\}$ y es igual $1$ en $s_0$ , por lo que $F(s)$ es directo para todos los $s$ .

(b) Lea las filas $T, N, B$ de $F$ (de modo que $T' = \kappa N$ , $N' = -\kappa T + \tau B$ , $B' = -\tau N$ ) y establezca $\gamma(s) = \gamma_0 + \int_{s_0}^s T(u)\,\dd u$ . entonces $\gamma' = T$ es un vector unitario: velocidad unitaria; $T' = \kappa N$ con unidades $\kappa > 0$ y $N$ ortogonales a $T$ , por lo que $\gamma$ es biregular con curvatura $\norm{T'} = \kappa$ y principal normal $N$ ; el binormal es $T \wedge N = B$ (marco ortonormal directo), y $B' = -\tau N$ identifica el torsión como $\tau$ .

(c) Sean $\gamma_1, \gamma_2$ curvas biregulares de velocidad unitaria con el mismo $(\kappa, \tau)$ . Hay un directo único. envío de isometría $\Phi = \rho + w$ ( $\rho \in SO(3)$ ) $\gamma_1(s_0)$ a $\gamma_2(s_0)$ y la trama Frenet de $\gamma_1$ en $s_0$ al de $\gamma_2$ en $s_0$ . la curva $\Phi\circ\gamma_1$ es unidad de velocidad con los mismos invariantes (su marco es $\rho$ aplicado al de $\gamma_1$ , y $\rho$ conserva productos cruzados, siendo directo). Ahora el Los fotogramas de $\Phi\circ\gamma_1$ y $\gamma_2$ resuelven $F' = FA(s)$ con el mismo valor inicial, por lo que coinciden por unicidad; en particular las tangentes concuerdan, e integrando desde el punto común $s_0$ : $\Phi\circ\gamma_1 = \gamma_2$ .

18.7 Problema: envolturas — el astroide, dos evoluciones y un cáustico

Una escalera de longitud 1 deslizándose por una pared (azul posiciones) nunca cruza el astroide x2/3 + y2/3 = 1 (rojo): el astroide es el sobre de la familia de segmentos, tangentes a cada uno de ellos. — Una escalera de longitud $1$ deslizándose por una pared (azul posiciones) nunca cruza el astroide $x^{2/3} + y^{2/3} = 1$ (rojo): el astroide es el *sobre* de la familia de segmentos, tangentes a cada uno de ellos.

Problema 18.1

Problema del fin de semana — la máquina de sobres y cuatro curvas clásicas

Una familia de líneas de un solo parámetro generalmente no cubre la plano uniformemente: las líneas se acumulan a lo largo de una curva tangente a todas de ellos, su sobre. rayos de luz hacer que sobres sea visible como cáusticos — el brillante curva cúspide en una taza de café. Este problema construye el máquina general sobre, luego la ejecuta cuatro veces: el deslizamiento escalera (astroide), las normales de la parábola y de la cicloide (evoluta, con el péndulo de Huygens al final), y la Cáustico para taza de café (nefroide). En todo momento, $D_t$ denota el línea de ecuación $a(t)\,x + b(t)\,y = c(t)$ , donde $a, b, c$ son funciones $\mathcal C^2$ con $(a(t), b(t)) \neq (0,0)$ , y $\Delta(t) = a(t)b'(t) - a'(t)b(t)$ .

Parte I — The sobre machine.

Supongamos que $\Delta(t) \neq 0$ . Demuestre que el sistema caracteristico

$\begin{cases} a(t)\,x + b(t)\,y = c(t)\\ a'(t)\,x + b'(t)\,y = c'(t)\end{cases}$

tiene una solución única $E(t) = (x(t), y(t))$ , dada por $x = \dfrac{cb' - c'b}{\Delta}$ , $y = \dfrac{ac' - a'c}{\Delta}$ .
Supongamos además que $E$ es $\mathcal C^1$ cerca de $t$ con $E'(t) \neq 0$ . Diferenciando el primero ecuación del sistema, muestre $a(t)\,x'(t) + b(t)\,y'(t) = 0$ y concluya que la curva $E$ pasa por un punto de $D_t$ con el dirección de $D_t$ : la familia es tangente a $E$ , que se llama sobre.
Control de cordura: el rectas tangentes de la parábola $y = x^2/2$ en los puntos $(t, t^2/2)$ son $tx - y = t^2/2$ . Verifique que la máquina sobre devuelva el parábola misma.
(Sobre de las normales) Sea $\gamma$ la unidad de velocidad con $\kappa(s) \neq 0$ . La línea normal en $\gamma(s)$ es $\{M : \langle M - \gamma(s), T(s) \rangle = 0\}$ . Demuestre que su sistema característico fuerzas $\langle M - \gamma(s), N(s)\rangle = 1/\kappa(s)$ , por lo que el punto característico es el centro de curvatura: the sobre of the normals is the evolute, recuperando Ejercicio 18.6. Consulte $\Delta(s) = \kappa(s)$ .
Dos degeneraciones. Para el lápiz $D_\theta : x\cos \theta + y\sin\theta = 0$ , demuestre que el El punto característico es el origen de cada $\theta$ . (el “sobre” colapsa hasta un punto, y $E' = 0$ : la pregunta 2 no se aplica). Para una familia de paralelo líneas (constante $a, b$ ), muestra $\Delta \equiv 0$ y que el sistema característico es en general inconsistente: no sobre.

Parte II — The sliding ladder and the astroide. Un segmento de longitud $1$ se desliza con un extremo $P_t = (\cos t, 0)$ en el suelo y el otro $Q_t = (0, \sin t)$ en la pared, $t \in \intoo0{\pi/2}$ .

Demuestre que la línea $(P_tQ_t)$ tiene la ecuación $x\sin t + y\cos t = \sin t\cos t$ y que la máquina sobre da el punto característico

$E(t) = (\cos^3 t,\ \sin^3 t) :$

el astroide, de implícito ecuación $x^{2/3} + y^{2/3} = 1$ (extendida a la otros cuadrantes por simetría).
Muestre que $E'(0) = 0$ y, utilizando el local clasificación (Proposición 18.32), que el astroide tiene una cúspide del primer tipo en $(1, 0)$ — y lo mismo en sus cuatro puntos del eje.
Calcular $\norm{E'(t)} = \tfrac32\abs{\sin 2t}$ y deducir que el total longitud del astroide es $6$ .
¿Dónde toca la escalera el astroide? Mostrar $E(t) = P_t + \sin^2 t\,(Q_t - P_t)$ : el punto de contacto divide la escalera en la proporción $\sin^2 t : \cos^2 t$ , barriéndola de un extremo al otro a medida que toboganes de escalera.
Calcule el área encerrada por astroide: demuestre que el área del primer cuadrante es $3\int_0^{\pi/2}\sin^4 t\cos^2 t\,\dd t$ , evalúe la integral mediante linealización ( $\sin^2 2t = \tfrac{1 - \cos 4t}2$ ), y concluir que el área total es $3\pi/8$ .

Parte III — The evolute of the parabola. Deje $\gamma(t) = (t, t^2/2)$ .

Demuestre que la recta normal en $\gamma(t)$ tiene la ecuación $x + t\,y = t + t^3/2$ .
Ejecute la máquina sobre: muestre que el sobre de lo normal es

$E(t) = \Bigl(-t^3,\ 1 + \tfrac32 t^2\Bigr),$

con ecuación implícita $x^2 = \tfrac8{27}(y - 1)^3$ : una parábola semicúbica.
Verifique con la pregunta 4: calcule el centro de curvatura $\gamma(t) + \frac1{\kappa(t)}N(t)$ a partir de $\kappa(t) = (1 + t^2)^{-3/2}$ (Ejemplo 18.18) y recuperar el mismo punto.
Demuestre que la evoluta tiene una cúspide de primer tipo en $(0, 1)$ , el centro de curvatura en el vértice — el punto donde $\kappa$ es extremo, como lo predice la fórmula $c' = -\frac{\kappa'}{\kappa^2}N$ de Ejercicio 18.6.
¿Cuántas normales de la parábola pasan por un determinado punto $(x_0, y_0)$ ? Mostrar que la respuesta se rige por el cúbico $\tfrac{t^3}2 + (1 - y_0)\,t - x_0 = 0$ ; tratar el caso del eje $x_0 = 0$ por completo (uno normal para $y_0 < 1$ , tres para $y_0 > 1$ ), e interpreta la evolución como curva de transición.

Parte IV — The coffee-cup caustic. Paralelo Los rayos de dirección $(1, 0)$ inciden en el interior del espejo. círculo $x^2 + y^2 = 1$ ; el rayo que incide en $P_\theta = (\cos\theta, \sin\theta)$ se refleja según la ley de reflexión.

A partir de la simetría especular en la normal (el radio), justifique que la dirección reflejada es $v = u - 2\langle u, n\rangle n$ con $u = (1,0)$ , $n = (\cos\theta, \sin\theta)$ y calcule $v = -(\cos2\theta, \sin2\theta)$ .
Demuestre que el rayo reflejado se encuentra en la recta

$x\sin 2\theta - y\cos 2\theta = \sin\theta .$
Ejecute la máquina sobre ( $\Delta = 2$ ): muestre que la cáustica es

$E(\theta) = \Bigl(\tfrac{3\cos\theta - \cos3\theta}4,\ \tfrac{3\sin\theta - \sin3\theta}4\Bigr),$

el nefroide.
Calcular $E'(\theta) = \tfrac32\sin\theta\, (\cos2\theta, \sin2\theta)$ ; comprobar que la tangente La dirección es la dirección del rayo reflejado (pregunta). 16), localice las dos cúspides $(\pm\tfrac12, 0)$ , y mostrar que el rayo reflejado cruza el eje $y = 0$ en $x = \frac1{2\cos\theta}$ — rayos casi axiales enfocar en $x = \tfrac12$ : el longitud $R/2$ focal de un espejo de radio $R$ .
Demuestre que el nefroide tiene un total de longitud $6$ y que cerca de $\theta = 0$ ,

$E(\theta) - \bigl(\tfrac12, 0\bigr) = \bigl(\tfrac34\theta^2 + o(\theta^2),\ \theta^3 + o(\theta^3)\bigr) :$

una cúspide del primer tipo, apuntando a lo largo del eje.
Explique en un párrafo por qué la cáustica es brillante: a través de cada punto justo fuera del paso cáustico dos rayos reflejados, a través de cada punto en él los rayos están "infinitamente concentrados" (el mapa $(\theta, \text{distance along ray}) \mapsto \R^2$ tiene un punto crítico exactamente en el sobre).

Part V — Huygens: the cycloid is its own evolute. Sean $\gamma(t) = (t - \sin t,\ 1 - \cos t)$ , $t \in \intoo0{2\pi}$ , un arco de la cicloide.

Calcular $\kappa(t) = -\dfrac1{4\sin(t/2)}$ y el centro de curvatura; Demuestre que la evolución es

$c(t) = (t + \sin t,\ \cos t - 1),$

y que la sustitución $t = u + \pi$ lo exhibe como la cicloide original traducida por $(\pi, -2)$ : la evolución de una cicloide es congruente cicloide (Huygens).
Verifique que radio de curvatura en el ápice $t = \pi$ sea igual a $4$ , que es la mitad de longitud $8$ de uno arco (Ejercicio 18.1); localizar la cúspide de la evolucionan directamente debajo del ápice, a la distancia $4$ .
(La propiedad de cadena) Sea $\gamma$ la unidad de velocidad con $\kappa > 0$ , $\kappa$ de clase $\mathcal C^1$ y $R = 1/\kappa$ estrictamente monótono. Usando $c' = R'N$ , mostrar que el longitud del arco de la evolución entre $c(s_0)$ y $c(s_1)$ es $\abs{R(s_1) - R(s_0)}$ . Interpretar: una cuerda tensa desenrollada de la evoluta, de longitud $R(s_0)$ al inicio, tiene su extremo libre trazar la curva original — entonces un péndulo oscilando entre dos mejillas cicloidales del reloj de Huygens describe una cicloide.
Síntesis. La máquina de la Parte I produjo el astroide, una parábola semicúbica, una nefroide y una cicloide. Para cada una de las cuatro familias, indique en una oración donde se cumplen las hipótesis $\Delta \neq 0$ y $E' \neq 0$ se celebró o falló, y qué evento geométrico (cúspide, foco, degeneración) cada falla de $E' \neq 0$ señalizado. ¿Dónde deben aparecer los extremos de curvatura? el sobre de los normales, ¿y por qué?

Solución

Solución de Problema 18.1.

1. El sistema es lineal en $(x, y)$ con determinante $\Delta(t) = a b' - a'b \neq 0$ : La regla de Cramer da la solución única

x = \frac{c b' - c' b}{\Delta}, \qquad y = \frac{a c' - a' c}{\Delta}.

2. Desde $a(t)x(t) + b(t)y(t) = c(t)$ de manera idéntica, diferenciando da $a'x + b'y + ax' + by' = c'$ ; el La segunda ecuación característica mata a $a'x + b'y - c'$ , por lo que $a(t)x'(t) + b(t)y'(t) = 0$ : $E'(t)$ es ortogonal a $(a, b)$ , por lo tanto paralelo a $(-b, a)$ , la dirección de $D_t$ . como $E(t) \in D_t$ (primera ecuación) y $E'(t) \neq 0$ , la línea $D_t$ es exactamente el recta tangente de la curva $E$ en $E(t)$ .

3. Aquí $(a, b, c) = (t, -1, t^2/2)$ , entonces $\Delta = t\cdot0 - 1\cdot(-1) = 1$ y

x = \frac{c b' - c' b}{\Delta} = \tfrac{t^2}2\cdot 0 + t = t, \qquad y = \frac{a c' - a' c}{\Delta} = t\cdot t - \tfrac{t^2}2 = \tfrac{t^2}2 :

el sobre del rectas tangentes de la parábola es el parábola, como debería ser.

4. La línea normal es $\langle M, T(s)\rangle = \langle\gamma(s), T(s)\rangle$ : coeficientes $a = T_1$ , $b = T_2$ , $c = \langle\gamma, T\rangle$ . Diferenciando con Frenet ( $T' = \kappa N$ ): $a' = \kappa N_1$ , $b' = \kappa N_2$ y $c' = \langle T, T\rangle + \langle\gamma, \kappa N\rangle = 1 + \kappa\langle\gamma, N\rangle$ . el segundo La ecuación característica $\kappa\langle M, N\rangle = 1 + \kappa\langle\gamma, N\rangle$ lee $\kappa\langle M - \gamma, N\rangle = 1$ . El primero dice $M - \gamma \perp T$ , entonces $M - \gamma = \mu N$ con $\mu = 1/\kappa$ : el El punto característico es $\gamma + \frac1\kappa N$ , el centro de curvatura y el sobre de los normales es la evoluta. de Ejercicio 18.6. Finalmente $\Delta = T_1\kappa N_2 - \kappa N_1 T_2 = \kappa\det(T, N) = \kappa \neq 0$ .

5. Lápiz: el sistema $x\cos\theta + y\sin\theta = 0$ , $-x\sin\theta + y\cos\theta = 0$ tiene determinante $1$ y solución $(0,0)$ para cada $\theta$ : $E \equiv (0,0)$ , $E' \equiv 0$ , y no hay curva — simplemente el punto común de todas las líneas. Familia paralela: $a' = b' = 0$ da $\Delta \equiv 0$ y la segunda ecuación $0 = c'(t)$ , que falla tan pronto como la familia se muda: ninguna característica punto, y de hecho una familia de líneas paralelas no toca curva a lo largo de todos sus miembros.

6. La línea que pasa por $(\cos t, 0)$ y $(0, \sin t)$ es $\frac x{\cos t} + \frac y{\sin t} = 1$ , es decir, $x\sin t + y\cos t = \sin t\cos t$ . Con $(a, b, c) = (\sin t, \cos t, \sin t\cos t)$ : $a' = \cos t$ , $b' = -\sin t$ , $c' = \cos 2t$ , $\Delta = -\sin^2 t - \cos^2 t = -1$ . Cramer:

\begin{align*} x &= \frac{cb' - c'b}{-1} = \sin^2 t\cos t + \cos 2t\cos t = \cos t\,(\sin^2 t + \cos^2 t - \sin^2 t) = \cos^3 t,\\ y &= \frac{ac' - a'c}{-1} = \sin t\cos^2 t - \sin t\cos 2t = \sin t\,(\cos^2 t - \cos^2 t + \sin^2 t) = \sin^3 t . \end{align*}

Y $(\cos^3t)^{2/3} + (\sin^3t)^{2/3} = 1$ : el astroide.

7. $E'(t) = 3(-\cos^2 t\sin t,\ \sin^2 t\cos t)$ desaparece en $t = 0$ . Allí $E''(0) = (-3, 0) \neq 0$ da $p = 2$ ; el componente $x$ de $E$ está incluso en $t$ , por lo que $E'''(0) = (0, 6)$ , no colineal: $q = 3$ . Par-impar: cúspide del primer tipo en $(1, 0)$ (Proposición 18.32), con tangente a lo largo del $x$ -eje. Las simetrías $x \mapsto -x$ , $y \mapsto -y$ , $(x, y) \mapsto (y, x)$ del astroide transportan la cúspide a $(-1, 0)$ y $(0, \pm1)$ .

8. $E'(t) = 3\sin t\cos t\,(-\cos t, \sin t)$ , entonces $\norm{E'(t)} = 3\abs{\sin t\cos t} = \tfrac32\abs{\sin 2t}$ . Un cuadrante: $\int_0^{\pi/2}\tfrac32\sin 2t\,\dd t = \tfrac32$ , y por simetría el total longitud es $4 \cdot \tfrac32 = 6$ .

9. $E(t) - P_t = (\cos^3 t - \cos t,\ \sin^3 t) = \sin^2 t\,(-\cos t,\ \sin t) = \sin^2 t\,(Q_t - P_t)$ . Entonces el punto de contacto es el baricentro de $(P_t, \cos^2 t)$ y $(Q_t, \sin^2 t)$ : como $t$ va de $0$ a $\pi/2$ se desliza desde el extremo del piso hasta el extremo de la pared de la escalera.

10. En el primer cuadrante la región bajo el astroide tiene área $\int_0^1 y\,\dd x$ con $x = \cos^3 t$ disminuyendo de $1$ a $0$ a medida que $t$ pasa de $0$ a $\pi/2$ :

\int_0^1 y\,\dd x = \int_{\pi/2}^{0}\sin^3 t\,(-3\cos^2 t\sin t)\,\dd t = 3\int_0^{\pi/2}\sin^4 t\cos^2 t\,\dd t .

Linealizar: $\sin^4 t\cos^2 t = (\sin t\cos t)^2\sin^2 t = \tfrac18\bigl(\sin^2 2t - \sin^2 2t\cos 2t\bigr)$ , y $\int_0^{\pi/2}\sin^2 2t\,\dd t = \tfrac\pi4$ mientras $\int_0^{\pi/2}\sin^2 2t\cos 2t\,\dd t = \bigl[\tfrac{\sin^3 2t}6\bigr]_0^{\pi/2} = 0$ . Entonces el integral es $\tfrac\pi{32}$ , el área del cuadrante $\tfrac{3\pi}{32}$ y el área cerrada $4 \cdot \tfrac{3\pi}{32} = \tfrac{3\pi}8$ .

11. La tangente en $\gamma(t) = (t, t^2/2)$ es dirigido por $(1, t)$ , por lo que la línea normal es $\{(x, y) : (x - t) + t\,(y - t^2/2) = 0\}$ , es decir $x + t\,y = t + \tfrac{t^3}2$ .

12. $(a, b, c) = (1, t, t + t^3/2)$ : $a' = 0$ , $b' = 1$ , $c' = 1 + \tfrac32 t^2$ , $\Delta = 1$ . Entonces $y = ac' - a'c = 1 + \tfrac32t^2$ y

x = cb' - c'b = t + \tfrac{t^3}2 - t\Bigl(1 + \tfrac32t^2\Bigr) = -t^3 .

Eliminando $t$ : $t^2 = \tfrac23(y - 1)$ y $x^2 = t^6 = \tfrac8{27}(y - 1)^3$ : una parábola semicúbica con vértice $(0, 1)$ .

13. $T = (1, t)/\sqrt{1+t^2}$ , $N = (-t, 1)/\sqrt{1+t^2}$ y $\kappa = (1+t^2)^{-3/2}$ , por lo que

\gamma + \frac1\kappa N = (t, \tfrac{t^2}2) + (1+t^2)\,(-t, 1) = \Bigl(-t^3,\ 1 + \tfrac32t^2\Bigr),

la misma curva: el sobre de las normales es el lugar geométrico de los centros de curvatura, como prometió la pregunta 4.

14. $E'(t) = (-3t^2, 3t)$ desaparece en $t = 0$ ; $E''(0) = (0, 3) \neq 0$ da $p = 2$ y $E'''(0) = (-6, 0)$ da $q = 3$ : una cúspide del primer tipo en $(0, 1)$ . el el vértice es donde $\kappa = (1+t^2)^{-3/2}$ es máximo, entonces $\kappa'(0) = 0$ y la velocidad de la evoluta. $-\frac{\kappa'}{\kappa^2}N$ se desvanece exactamente allí: cúspides de la evoluta se sienta en los extremos de curvatura.

15. La normal en el parámetro $t$ pasa por $(x_0, y_0)$ y si $x_0 + t\,y_0 = t + \tfrac{t^3}2$ , es decir

\frac{t^3}2 + (1 - y_0)\,t - x_0 = 0 ,

un cúbico en $t$ : una o tres raíces reales (contadas sin multiplicidad, para puntos genéricos). En el eje $x_0 = 0$ se factores como $t\bigl(\tfrac{t^2}2 + 1 - y_0\bigr) = 0$ : el raíz $t = 0$ (el eje es la normal en el vértice), más $t = \pm\sqrt{2(y_0 - 1)}$ cuando $y_0 > 1$ . Entonces: uno normal para $y_0 < 1$ , tres para $y_0 > 1$ y en $y_0 = 1$ el La raíz triple marca la cúspide de la evoluta. En general un doble raíz de la cúbica significa que el punto satisface tanto ecuación lineal y su derivada $t$ — se encuentra on the sobre: la evoluta es precisamente el límite entre regiones de una normal y tres normales.

16. El reflejo en el espejo invierte lo normal. componente de la dirección y mantiene la tangencial: escribiendo $u = \langle u, n\rangle n + u_{\mathrm{tan}}$ , el La dirección reflejada es $u_{\mathrm{tan}} - \langle u, n\rangle n = u - 2\langle u, n\rangle n$ . Aquí $\langle u, n\rangle = \cos\theta$ , entonces

v = (1, 0) - 2\cos\theta\,(\cos\theta, \sin\theta) = (1 - 2\cos^2\theta,\ -2\sin\theta\cos\theta) = -(\cos2\theta,\ \sin2\theta).

17. El rayo reflejado pasa por $P_\theta = (\cos\theta, \sin\theta)$ con dirección $(\cos2\theta, \sin2\theta)$ ; un vector normal es $(-\sin2\theta, \cos2\theta)$ , por lo que la línea es

-\sin2\theta\,(x - \cos\theta) + \cos2\theta\,(y - \sin\theta) = 0,

y la constante es $-\sin2\theta\cos\theta + \cos2\theta\sin\theta = -\sin\theta$ : multiplicando por $-1$ , $x\sin2\theta - y\cos2\theta = \sin\theta$ .

18. $(a, b, c) = (\sin2\theta, -\cos2\theta, \sin\theta)$ : $a' = 2\cos2\theta$ , $b' = 2\sin2\theta$ , $c' = \cos\theta$ , $\Delta = 2\sin^22\theta + 2\cos^22\theta = 2$ . Cramer, luego fórmulas de producto a suma:

\begin{align*} x &= \frac{2\sin\theta\sin2\theta + \cos\theta\cos2\theta}{2} = \frac{(\cos\theta - \cos3\theta) + \frac12(\cos\theta + \cos3\theta)}{2} = \frac{3\cos\theta - \cos3\theta}4,\\ y &= \frac{\sin2\theta\cos\theta - 2\cos2\theta\sin\theta}2 = \frac{\frac12(\sin3\theta + \sin\theta) - (\sin3\theta - \sin\theta)}2 = \frac{3\sin\theta - \sin3\theta}4 : \end{align*}

el nefroide, una curva cerrada con dos cúspides.

19. Diferenciar y factorizar con $\sin3\theta - \sin\theta = 2\cos2\theta\sin\theta$ , $\cos\theta - \cos3\theta = 2\sin2\theta\sin\theta$ :

E'(\theta) = \tfrac34\bigl(\sin3\theta - \sin\theta,\ \cos\theta - \cos3\theta\bigr) = \tfrac32\sin\theta\,(\cos2\theta, \sin2\theta),

paralelo a la dirección reflejada en la pregunta 16: cada El rayo reflejado es tangente a la cáustica, como el sobre. demandas de propiedad. $E' = 0$ exactamente en $\sin\theta = 0$ : $E(0) = (\tfrac12, 0)$ y $E(\pi) = (-\tfrac12, 0)$ , los dos cúspides. Configurando $y = 0$ en la ecuación de línea: $x\sin2\theta = \sin\theta$ , entonces $x = \frac1{2\cos\theta} \to \frac12$ como $\theta \to 0$ : los rayos paraxiales se enfocan a la distancia $R/2$ de el centro — el focal longitud del espejo esférico.

20. $\norm{E'(\theta)} = \tfrac32\abs{\sin\theta}$ , entonces el longitud es $\tfrac32\int_0^{2\pi}\abs{\sin\theta}\, \dd\theta = \tfrac32\cdot4 = 6$ . Cerca de $\theta = 0$ , con $\cos k\theta = 1 - \tfrac{k^2\theta^2}2 + O(\theta^4)$ y $\sin k\theta = k\theta - \tfrac{k^3\theta^3}6 + O(\theta^5)$ :

x - \tfrac12 = \frac{3\theta^2 + O(\theta^4)}{4} = \tfrac34\theta^2 + O(\theta^4), \qquad y = \frac{4\theta^3 + O(\theta^5)}{4} = \theta^3 + O(\theta^5) :

$p = 2$ , $q = 3$ , una cúspide del primer tipo que apunta a lo largo del eje — el punto brillante de la cáustica de la taza de café.

21. Parametrizar los puntos iluminados mediante $\Phi(\theta, r) = P_\theta + r\,v_\theta$ (posición a lo largo cada rayo reflejado). El jacobiano determinante $\det(\partial_\theta\Phi, \partial_r\Phi) = \det(P_\theta' + rv_\theta', v_\theta)$ es afín en $r$ y desaparece exactamente por un $r = r_*(\theta)$ — y $\Phi(\theta, r_*(\theta))$ es el punto característico, ya que allí la dirección del rayo y la variación de la familia se vuelven dependiente. Fuera del sobre, el mapa es un difeomorfismo local, y un punto justo dentro de la cáustica es alcanzado por dos rayos cercanos (dos soluciones $\theta$ ), un punto fuera de ninguno de ese parte de la familia; en la cáustica los dos se fusionan. Luz La intensidad es inversamente proporcional a la absoluta del jacobiano. valor, por lo que explota a lo largo del sobre: la cáustica es la curva brillante, más brillante de todas en la cúspide, donde la degeneración es peor.

22. $x' = 1 - \cos t$ , $y' = \sin t$ , $x'' = \sin t$ , $y'' = \cos t$ , entonces $x'y'' - y'x'' = \cos t - 1$ y $\norm{\gamma'}^2 = 2(1 - \cos t) = 4\sin^2\tfrac t2$ ; por Proposición 18.17,

\kappa(t) = \frac{-(1 - \cos t)}{8\sin^3\tfrac t2} = \frac{-2\sin^2\tfrac t2}{8\sin^3\tfrac t2} = -\frac1{4\sin\tfrac t2} \qquad (0 < t < 2\pi).

Con $T = (\sin\tfrac t2, \cos\tfrac t2)$ (dividir $\gamma'$ por $2\sin\tfrac t2$ ) y $N = (-\cos\tfrac t2, \sin\tfrac t2)$ :

\gamma + \frac1\kappa N = \gamma - 4\sin\tfrac t2\,\Bigl(-\cos\tfrac t2,\ \sin\tfrac t2\Bigr) = \bigl(t - \sin t + 2\sin t,\ 1 - \cos t - 2(1 - \cos t)\bigr),

es decir, $c(t) = (t + \sin t,\ \cos t - 1)$ . Sustituyendo $t = u + \pi$ :

c = \bigl(u + \pi - \sin u,\ -\cos u - 1\bigr) = \bigl((u - \sin u) + \pi,\ (1 - \cos u) - 2\bigr) :

la cicloide $\gamma(u)$ traducida por $(\pi, -2)$ . el La evolución de una cicloide es una cicloide congruente, colgando una. nivel inferior.

23. $R(t) = 1/\abs{\kappa(t)} = 4\sin\tfrac t2$ , entonces $R(\pi) = 4$ : mitad del arco longitud $8$ calculado en Ejercicio 18.1. La velocidad de la evoluta $c'(t) = (1 + \cos t, -\sin t)$ desaparece en $t = \pi$ : la cúspide es $c(\pi) = (\pi, -2)$ , directamente debajo del ápice $\gamma(\pi) = (\pi, 2)$ , a la distancia $4 = R(\pi)$ , exactamente la longitud de la radio de osculación allí.

24. De Ejercicio 18.6, $c'(s) = -\frac{\kappa'(s)}{\kappa(s)^2}N(s) = R'(s)\,N(s)$ , entonces $\norm{c'(s)} = \abs{R'(s)}$ y, para monótono $R$ ,

\int_{s_0}^{s_1}\norm{c'(s)}\,\dd s = \Bigl|\int_{s_0}^{s_1}R'(s)\,\dd s\Bigr| = \abs{R(s_1) - R(s_0)} .

Digamos que $R$ disminuye. Una cuerda tendida a lo largo de la evolución más allá $c(s_0)$ y prolongado por el segmento de $c(s_0)$ a $\gamma(s_0)$ (que es tangente a la evoluta, por pregunta 4) tiene, cuando se despega hasta $c(s)$ y se estira tenso, recto parte de longitud $R(s_0) - \bigl(R(s_0) - R(s)\bigr) = R(s)$ apuntando desde $c(s)$ a lo largo de la normal — aterrizando exactamente en $\gamma(s)$ : el extremo libre traza la curva original (“involuta”). Huygens colgó un péndulo entre dos cicloidales mejillas: el cordón se enrolla en la evoluta, por lo que la sacudida describe un cicloide: la tautocrona, cuyo período de oscilación no no depende de la amplitud.

25. Tangentes de la parábola: $\Delta = 1$ y $E' = (1, t) \neq 0$ en todas partes — suave sobre (la parábola mismo). Escalera corredera: $\Delta = -1$ , pero $E' = \tfrac32\sin 2t\,(-\cos t, \sin t)$ desaparece en el cuadrante termina — las cuatro cúspides del astroide. normales de la parábola y de la cicloide: $\Delta = \kappa \neq 0$ , y $E' = R'N$ desaparece exactamente donde el curvatura es extremo — cúspides de las evoluciones en $(0,1)$ y $(\pi, -2)$ . Cáustico: $\Delta = 2$ y $E' = \tfrac32\sin\theta\,(\cos2\theta, \sin2\theta)$ desaparecen en $\theta = 0, \pi$ — las dos cúspides del nefroide, los puntos focales del espejo. extremos de curvatura debe produce cúspides en el sobre del normales, ya que la velocidad de la evoluta es $R'N$ : por eso la evolución de la elipse tiene cuatro cúspides (cuatro vértices), y las familias degeneradas (lápiz, paralelos) son los casos donde la máquina genera un punto o nada en absoluto.