Matemáticas universitarias — Grado 2 · स्नातक वर्ष 2

18Curvas

La geometría se vuelve ahora diferencial. Una curva es un punto que se mueve por el espacio; el cálculo nos da su velocidad y su aceleración, y la geometría pregunta qué es intrínseco, es decir, independiente de la rapidez con que recorramos la trayectoria. Las respuestas son la longitud de arco, que mide la propia trayectoria, y la curvatura, que mide cuánto se dobla. En dimensión $3$ hay un segundo invariante, la torsión, que mide cuánto se retuerce la curva fuera de su plano. El instrumento contable de todo esto es el triedro de Frenet móvil.

18.1 Arcos parametrizados

Definición 18.1 (Arco parametrizado)

Un arco parametrizado de clase $\mathcal{C}^k$ ( $k \geq 1$ ) es una aplicación $\gamma \colon I \to \R^n$ de clase $\mathcal{C}^k$ sobre un intervalo $I$ . Un punto $\gamma(t)$ es regular si $\gamma'(t) \neq 0$ , y el arco es regular si lo son todos sus puntos. La recta que pasa por $\gamma(t)$ y tiene dirección $\gamma'(t)$ es la recta tangente en un punto regular.

Definición 18.2 (Cambio de parámetro)

Un cambio de parámetro de clase $\mathcal{C}^k$ es un difeomorfismo $\mathcal{C}^k$ $\theta \colon J \to I$ entre intervalos ( $\theta' \neq 0$ en todas partes). Los arcos $\gamma$ y $\gamma \circ \theta$ se llaman equivalentes; un arco geométrico (o curva) es una clase de equivalencia. Las nociones invariantes por cambio de parámetro —la trayectoria, la recta tangente, la longitud de arco, la curvatura— se llaman geométricas.

Observación 18.3

La trayectoria por sí sola no determina el arco geométrico: las parametrizaciones $t \mapsto (\cos t, \sin t)$ sobre $[0, 2\pi]$ y sobre $[0, 4\pi]$ tienen la misma imagen, pero recorren la circunferencia una y dos veces. Un arco geométrico recuerda la multiplicidad y la orientación del recorrido, no su rapidez.

Ejemplo 18.4 (La rapidez no cambia nada geométrico)

Parametricemos la circunferencia unidad mediante

\gamma(t) = (\cos t^2,\ \sin t^2), \qquad t \in \intcc0{\sqrt{2\pi}} .

La rapidez $\norm{\gamma'(t)} = 2t$ crece linealmente y, sin embargo,

L = \int_0^{\sqrt{2\pi}}2t\,\dd t = 2\pi ,

la misma longitud que a rapidez constante, como promete el Teorema 18.7 mediante el cambio de parámetro $t \mapsto t^2$ . La recta tangente, la curvatura calculada con la Proposición 18.17 y cualquier otra magnitud geométrica coinciden igualmente; solo $t = 0$ merece un vistazo, pues $\gamma'(0) = 0$ hace irregular esta parametrización aunque la trayectoria sea una circunferencia perfecta. Los enunciados geométricos toleran mal las malas parametrizaciones: primero reparametrizar, luego concluir.

Ejemplo 18.5

El arco $\gamma(t) = (t^2, t^3)$ es $\mathcal{C}^\infty$ pero no regular: $\gamma'(0) = (0, 0)$ . Su trayectoria, la parábola semicúbica $y^2 = x^3$ , tiene una cúspide en el origen: la regularidad de la parametrización no impide una singularidad geométrica donde se anula la velocidad. Por eso la hipótesis de regularidad $\gamma' \neq 0$ no es cosmética.

18.2 Longitud de arco

Definición 18.6 (Longitud de arco)

Sea $\gamma \colon [a, b] \to \R^n$ un arco $\mathcal{C}^1$ . Su longitud es

L(\gamma) = \int_a^b \norm{\gamma'(t)}\, \dd t ,

donde $\norm{\cdot}$ es la norma euclídea. La función longitud de arco basada en $t_0$ es $s(t) = \int_{t_0}^t \norm{\gamma'(u)}\,\dd u$ .

Teorema 18.7 (La longitud es geométrica; caracterización poligonal)

Si $\theta \colon [c, d] \to [a, b]$ es un cambio de parámetro $\mathcal{C}^1$ , entonces $L(\gamma \circ \theta) = L(\gamma)$ .
$L(\gamma)$ es el supremo de las longitudes de los polígonos inscritos:

$L(\gamma) = \sup\Bigl\{\, \sum_{i=1}^{m} \norm{\gamma(t_i) - \gamma(t_{i-1})} \;:\; a = t_0 < t_1 < \dots < t_m = b \,\Bigr\}.$

Demostración. 1. Por el cambio de variables $t = \theta(u)$ (volumen del primer año, válido porque $\theta$ es $\mathcal{C}^1$ y monótona),

\int_c^d \norm{(\gamma\circ\theta)'(u)}\,\dd u = \int_c^d \norm{\gamma'(\theta(u))}\,\abs{\theta'(u)}\,\dd u = \int_a^b \norm{\gamma'(t)}\,\dd t ,

donde hemos usado $(\gamma\circ\theta)' = \theta'\cdot (\gamma'\circ\theta)$ y, si $\theta$ es decreciente, el signo de $\theta'$ queda absorbido por la inversión de los límites.

2. Para toda subdivisión, $\gamma(t_i) - \gamma(t_{i-1}) = \int_{t_{i-1}}^{t_i}\gamma'(t)\,\dd t$ , de modo que, por la desigualdad triangular para integrales, $\norm{\gamma(t_i) - \gamma(t_{i-1})} \leq \int_{t_{i-1}}^{t_i}\norm{\gamma'}$ : todo polígono es más corto que $L(\gamma)$ , luego $\sup \leq L(\gamma)$ .

Para la desigualdad recíproca, sea $\varepsilon > 0$ . Como $\gamma'$ es continua sobre el compacto $[a,b]$ , es uniformemente continua: hay un $\delta > 0$ con $\norm{\gamma'(t) - \gamma'(u)} \leq \varepsilon$ siempre que $\abs{t - u} \leq \delta$ . Tómese una subdivisión de paso $\leq \delta$ . En cada trozo, para $t \in [t_{i-1}, t_i]$ ,

\gamma(t_i) - \gamma(t_{i-1}) = \int_{t_{i-1}}^{t_i}\gamma'(t)\,\dd t = (t_i - t_{i-1})\,\gamma'(t_{i-1}) + R_i, \qquad \norm{R_i} \leq \varepsilon\,(t_i - t_{i-1}),

pues $R_i = \int_{t_{i-1}}^{t_i}(\gamma'(t) - \gamma'(t_{i-1}))\,\dd t$ . De ahí,

\norm{\gamma(t_i) - \gamma(t_{i-1})} \geq (t_i - t_{i-1})\norm{\gamma'(t_{i-1})} - \varepsilon (t_i - t_{i-1}) .

Sumando, y comparando $\sum (t_i - t_{i-1})\norm{\gamma'(t_{i-1})}$ con $\int_a^b\norm{\gamma'}$ (una suma de Riemann de la función continua $\norm{\gamma'}$ , a distancia $\varepsilon(b - a)$ de la integral si $\delta$ es lo bastante pequeño, de nuevo por la continuidad uniforme), obtenemos un polígono de longitud $\geq L(\gamma) - 2\varepsilon(b - a)$ . Haciendo $\varepsilon \to 0$ queda demostrada la afirmación. ∎

Ejemplo 18.8 (Arquímedes y los polígonos inscritos)

Para la circunferencia unidad, el $n$ -ágono regular inscrito tiene longitud $L_n = 2n\sin\frac\pi n$ , y el desarrollo $\sin x = x - \frac{x^3}6 + O(x^5)$ da

L_n = 2\pi - \frac{\pi^3}{3n^2} + O\Bigl(\frac1{n^4}\Bigr) :

las longitudes poligonales del Teorema 18.7 convergen cuadráticamente. Numéricamente: $L_6 = 6$ (el hexágono, que da el burdo $\pi > 3$ ), mientras que $L_{96} = 192\sin\frac{\pi}{96} \approx 6.28206$ frente a $2\pi \approx 6.28319$ ; el error $0.00113$ concuerda con el $\pi^3/(3\cdot96^2) \approx 0.00112$ previsto. Por eso Arquímedes, duplicando el hexágono cinco veces hasta $96$ lados, pudo acotar $\pi$ con tres cifras a mano: cada duplicación divide el error entre cuatro. El supremo de la caracterización poligonal no solo se alcanza en el límite; se alcanza deprisa, porque una curva regular se separa de sus cuerdas solo a segundo orden.

Teorema 18.9 (Parametrización por longitud de arco)

Sea $\gamma \colon I \to \R^n$ un arco $\mathcal{C}^k$ regular ( $k \geq 1$ ). La función longitud de arco $s$ es un difeomorfismo $\mathcal{C}^k$ de $I$ sobre un intervalo $J$ , y $\tilde\gamma = \gamma \circ s^{-1}$ cumple $\norm{\tilde\gamma'} = 1$ en todas partes. Salvo traslación del parámetro y orientación, esta parametrización por longitud de arco (o de rapidez unidad) es única.

Demostración. $s'(t) = \norm{\gamma'(t)} > 0$ y $s'$ es $\mathcal{C}^{k-1}$ (composición de la aplicación $\mathcal{C}^{k-1}$ $\gamma'$ con la norma, regular fuera de $0$ ), de modo que $s$ es $\mathcal{C}^k$ , estrictamente creciente, una biyección sobre $J = s(I)$ , y su inversa es $\mathcal{C}^k$ por el teorema de la función inversa en dimensión $1$ (volumen del primer año). Entonces

\tilde\gamma'(\sigma) = \frac{\gamma'(t)}{s'(t)} = \frac{\gamma'(t)}{\norm{\gamma'(t)}}, \qquad t = s^{-1}(\sigma),

un vector unitario. Si $\hat\gamma = \gamma\circ\theta$ es otra parametrización de rapidez unidad, entonces $\abs{\theta'} = 1$ , luego $\theta' = \pm 1$ constante (por continuidad), es decir, $\theta(u) = \pm u + c$ . ∎

Observación 18.10

La longitud de arco es el parámetro que separa la geometría de la dinámica. Una trayectoria puede recorrerse con cualquier perfil de rapidez —la física del movimiento—, pero toda cuestión invariante por parametrización (forma, flexión, osculación) tiene un reloj canónico: la distancia recorrida. Por eso todas las fórmulas de curvatura de más abajo se definen a rapidez unidad y después se traducen a parametrizaciones arbitrarias mediante la regla de la cadena: los factores de traducción son potencias de $v = s'$ , y seguirles la pista correctamente es todo el contenido de la Proposición 18.17.

Ejemplo 18.11 (Circunferencia y hélice)

Para la circunferencia $\gamma(t) = (R\cos t, R\sin t)$ , $\norm{\gamma'} = R$ , luego $s = Rt$ y la longitud de una vuelta completa es $2\pi R$ . Para la hélice $\gamma(t) = (a\cos t,\ a\sin t,\ bt)$ con $a > 0$ , $\norm{\gamma'(t)} = \sqrt{a^2 + b^2}$ es constante: la hélice se recorre a rapidez constante, y $s = t\sqrt{a^2 + b^2}$ .

Ejemplo 18.12 (Longitud de arco en coordenadas polares)

Una curva polar $r = r(\theta)$ es el arco $\gamma(\theta) = (r\cos\theta,\ r\sin\theta)$ , con

\gamma'(\theta) = (r'\cos\theta - r\sin\theta,\ r'\sin\theta + r\cos\theta), \qquad \norm{\gamma'(\theta)}^2 = r'^2 + r^2

(los términos cruzados se cancelan): el elemento polar de longitud es $\sqrt{r^2 + r'^2}\,\dd\theta$ . Para la cardioide $r = 1 + \cos\theta$ :

r^2 + r'^2 = (1 + \cos\theta)^2 + \sin^2\theta = 2 + 2\cos\theta = 4\cos^2\tfrac\theta2,

y sobre $\intcc{-\pi}{\pi}$ el coseno del ángulo mitad es no negativo, así que

L = \int_{-\pi}^{\pi}2\cos\tfrac\theta2\,\dd\theta = \Bigl[4\sin\tfrac\theta2\Bigr]_{-\pi}^{\pi} = 4 - (-4) = 8 :

como el arco de cicloide del Ejercicio 18.1, una curva construida a partir de circunferencias tiene longitud racional, sin ningún $\pi$ por ninguna parte. La factorización con el ángulo mitad es el truco estándar para las longitudes de curvas generadas por circunferencias; cuando falla (la elipse), la longitud es una función genuinamente nueva: una integral elíptica, más allá de las formas cerradas elementales.

18.3 Curvatura en el plano

En toda esta sección, los arcos son $\mathcal{C}^2$ y regulares en el plano euclídeo orientado. Parametrizamos por longitud de arco y escribimos $T(s) = \tilde\gamma'(s)$ para la tangente unitaria, y $N(s)$ para el vector unitario directamente ortogonal a $T(s)$ (rotación de $T$ por $+\pi/2$ ).

Teorema 18.13 (Fórmulas de Frenet en el plano)

Sea $\tilde\gamma$ un arco $\mathcal{C}^2$ de rapidez unidad en el plano orientado. Existe una función continua $\kappa$ , la curvatura (algebraica), tal que

T'(s) = \kappa(s)\, N(s), \qquad N'(s) = -\kappa(s)\, T(s).

Demostración. Como $\norm{T(s)}^2 = 1$ para todo $s$ , derivar el producto escalar da $2\langle T'(s), T(s)\rangle = 0$ : $T'(s)$ es ortogonal a $T(s)$ , luego colineal con $N(s)$ (dimensión $2$ ); escríbase $T'(s) = \kappa(s) N(s)$ con $\kappa(s) = \langle T'(s), N(s)\rangle$ , continua. Igualmente, $N' \perp N$ , así que $N' = \lambda T$ ; y derivar $\langle T, N\rangle = 0$ da $\langle T', N\rangle + \langle T, N'\rangle = \kappa + \lambda = 0$ . ∎

Definición 18.14

Cuando $\kappa(s) \neq 0$ , el radio de curvatura es $R(s) = 1/\abs{\kappa(s)}$ y el centro de curvatura es $\tilde\gamma(s) + \frac{1}{\kappa(s)} N(s)$ ; la circunferencia con ese centro y radio $R(s)$ es la circunferencia osculatriz, la mejor aproximación circular de la curva en $\tilde\gamma(s)$ .

Ejemplo 18.15 (La circunferencia osculatriz de la exponencial)

Para $y = \eu^x$ en el punto $(0, 1)$ : $f'(0) = f''(0) = 1$ , así que, por la fórmula para grafos de más abajo,

\kappa(0) = \frac{1}{(1 + 1)^{3/2}} = \frac1{2\sqrt2}, \qquad R = 2\sqrt2 .

La tangente unitaria es $T = \frac{(1, 1)}{\sqrt2}$ , la normal directa $N = \frac{(-1, 1)}{\sqrt2}$ , y el centro de curvatura es

(0, 1) + 2\sqrt2\cdot\frac{(-1, 1)}{\sqrt2} = (-2,\ 3) :

la circunferencia osculatriz tiene ecuación $(x + 2)^2 + (y - 3)^2 = 8$ . Como comprobación de que es “la mejor aproximación circular”: resolver la ecuación de la circunferencia en $y$ cerca de $(0,1)$ y desarrollar da $y = 1 + x + \frac{x^2}2 + O(x^3)$ , exactamente el desarrollo de Taylor de segundo orden de $\eu^x$ . La circunferencia osculatriz ajusta el valor, la pendiente y la derivada segunda; una circunferencia tangente ordinaria solo ajustaría las dos primeras.

Ejemplo 18.16 (La evoluta de una circunferencia es su centro)

Para la circunferencia de radio $R$ recorrida en sentido antihorario, $\kappa = 1/R$ y $N$ apunta hacia el centro, de modo que el centro de curvatura $\tilde\gamma + \frac1\kappa N$ es el centro de la circunferencia, para todo $s$ : la circunferencia osculatriz de una circunferencia es ella misma, y el lugar de los centros de curvatura colapsa en un punto. Este caso degenerado calibra el Ejercicio 18.6: allí la velocidad de la evoluta es $-\frac{\kappa'}{\kappa^2}N$ , que se anula idénticamente justo cuando $\kappa$ es constante.

Proposición 18.17 (Curvatura en una parametrización arbitraria)

Para un arco plano $\mathcal{C}^2$ regular $\gamma(t) = (x(t), y(t))$ ,

\kappa(t) = \frac{x'(t)\,y''(t) - y'(t)\,x''(t)} {\bigl(x'(t)^2 + y'(t)^2\bigr)^{3/2}} ,

en particular $\kappa = \dfrac{y''}{(1 + y'^2)^{3/2}}$ para un grafo $y = f(x)$ .

Demostración. Escríbase $v(t) = \norm{\gamma'(t)} = s'(t)$ , de modo que $\gamma' = vT$ (componiendo los datos de rapidez unidad con $s$ ). Derivando,

\gamma'' = v'T + v\,T'\cdot s' = v'T + v^2\kappa N .

Tómese ahora el determinante (en la base canónica orientada) de $(\gamma', \gamma'')$ : como $\det(T, T) = 0$ y $\det(T, N) = 1$ ,

\det(\gamma', \gamma'') = \det(vT,\ v'T + v^2\kappa N) = v^3\kappa .

El miembro izquierdo es $x'y'' - y'x''$ , y $v^3 = (x'^2 + y'^2)^{3/2}$ . El caso del grafo es la parametrización $t \mapsto (t, f(t))$ . ∎

Ejemplo 18.18 (Circunferencia, recta, parábola)

Una recta tiene $\kappa = 0$ (y recíprocamente: $T' = 0$ significa $T$ constante, luego $\tilde\gamma(s) = \tilde\gamma(0) + sT$ , una recta). La circunferencia de radio $R$ recorrida en sentido antihorario tiene $\kappa = 1/R$ : con $\gamma(t) = (R\cos t, R\sin t)$ , la fórmula da $\kappa = R^2/R^3$ . Para la parábola $y = x^2/2$ : $\kappa(x) = 1/(1 + x^2)^{3/2}$ , máxima en el vértice; la parábola se dobla más bruscamente donde da la vuelta.

Observación 18.19 (Errores frecuentes en torno a la curvatura)

(i) La curvatura algebraica de un arco plano cambia de signo al invertir la orientación del arco o del plano: solo $\abs\kappa$ y $R = 1/\abs\kappa$ son puramente geométricos. Una circunferencia recorrida en sentido horario tiene $\kappa = -1/R$ . (ii) La fórmula para grafos $\kappa = f''/(1 + f'^2)^{3/2}$ elige en silencio la parametrización por $x$ ; aplicarla a una curva que no sea un grafo cerca del punto (tangente vertical) es el error clásico. (iii) En un punto donde $\gamma' = 0$ no hay nada definido —ni $T$ ni $\kappa$ — y la trayectoria puede romperse de verdad (Ejemplo 18.5); compruébese siempre la regularidad antes de derivar la tangente unitaria. (iv) En el espacio, $\kappa = \norm{T'} \geq 0$ por convenio: no hay signo que equivocar, pero tampoco signo que explotar; la información de tipo inflexión se traslada a la torsión. (v) Por último, $\kappa$ es una derivada respecto de la longitud de arco: para una parametrización que no sea de rapidez unidad, olvidar el factor $v^3$ de la Proposición 18.17 es el error más frecuente en la práctica.

La parábola y = x2/2, su triedro de Frenet móvil (T, N) y la circunferencia osculatriz en el vértice (de radio 1, pues (0) = 1). El triedro gira a medida que el punto se mueve; la curvatura es el ritmo de ese giro por unidad de longitud de arco. — **Figura 18.1.** La parábola $y = x^2/2$ , su triedro de Frenet móvil $(T, N)$ y la circunferencia osculatriz en el vértice (de radio $1$ , pues $\kappa(0) = 1$ ). El triedro gira a medida que el punto se mueve; la curvatura es el ritmo de ese giro por unidad de longitud de arco.

Teorema 18.20 (La curvatura determina la curva)

Sea $\kappa \colon J \to \R$ continua. Existe un arco $\mathcal{C}^2$ de rapidez unidad en el plano con curvatura $\kappa$ , y es único salvo isometría directa (una rotación seguida de una traslación).

Demostración. Existencia. Fíjese $s_0 \in J$ y póngase $\varphi(s) = \int_{s_0}^s \kappa(u)\,\dd u$ ; después,

\tilde\gamma(s) = \Bigl(\int_{s_0}^s \cos\varphi(u)\,\dd u,\ \int_{s_0}^s \sin\varphi(u)\,\dd u\Bigr).

Entonces $T(s) = (\cos\varphi(s), \sin\varphi(s))$ es un vector unitario, $N(s) = (-\sin\varphi, \cos\varphi)$ , y

T'(s) = \varphi'(s)\,(-\sin\varphi, \cos\varphi) = \kappa(s)\,N(s) :

el arco es de rapidez unidad y de curvatura $\kappa$ .

Unicidad. Sean $\gamma_1, \gamma_2$ arcos de rapidez unidad con la misma curvatura. Cada tangente unitaria se levanta a una función ángulo, mediante una construcción explícita: véase $T_j$ como el número complejo $z_j = a_j + \iu b_j$ de módulo $1$ , elíjase $\varphi_j(0)$ con $z_j(0) = \eu^{\iu\varphi_j(0)}$ y póngase

\varphi_j(s) = \varphi_j(0) + \int_0^s\det\bigl(T_j, T_j'\bigr)(u)\,\dd u .

De $\abs{z_j} = 1$ se sigue $\operatorname{Re}(\conj{z_j}\,z_j') = 0$ , luego $\conj{z_j}\,z_j' = \iu\det(T_j, T_j') = \iu\,\varphi_j'$ , es decir, $z_j' = \iu\varphi_j'z_j$ ; entonces

\bigl(z_j\,\eu^{-\iu\varphi_j}\bigr)' = \eu^{-\iu\varphi_j}\bigl(z_j' - \iu\varphi_j'z_j\bigr) = 0,

de modo que $z_j = \eu^{\iu\varphi_j}$ en todas partes: $T_j = (\cos\varphi_j, \sin\varphi_j)$ con $\varphi_j$ de clase $\mathcal C^1$ . Además, $\det(T_j, T_j') = \det(T_j, \kappa N_j) = \kappa$ , luego $\varphi_j' = \kappa$ . Por tanto, $\varphi_2 = \varphi_1 + c$ para una constante $c$ : $T_2$ es $T_1$ girado el ángulo fijo $c$ , de modo que, integrando, $\gamma_2 = \rho(\gamma_1) + w$ , donde $\rho$ es la rotación de ángulo $c$ y $w$ un vector constante. ∎

Observación 18.21

Este es el prototipo unidimensional de un teorema fundamental de la geometría: un conjunto completo de invariantes locales (aquí, una función) clasifica el objeto salvo movimiento rígido. La versión tridimensional de más abajo necesita dos invariantes.

Ejemplo 18.22 (Curvatura constante significa circunferencia)

Tómese $\kappa \equiv \kappa_0 > 0$ en la fórmula de existencia: $\varphi(s) = \kappa_0 s$ y

\tilde\gamma(s) = \Bigl(\frac{\sin\kappa_0s}{\kappa_0},\ \frac{1 - \cos\kappa_0s}{\kappa_0}\Bigr) :

la circunferencia de radio $1/\kappa_0$ centrada en $(0, 1/\kappa_0)$ , recorrida a rapidez unidad. Por la mitad de unicidad del teorema, todo arco de rapidez unidad de curvatura constante $\kappa_0$ es un trozo de circunferencia de radio $1/\kappa_0$ (o una recta si $\kappa_0 = 0$ ): el recíproco del cálculo del Ejemplo 18.18, y el caso plano del Ejercicio 18.9.

Ejemplo 18.23 (Reconstruir una curva a partir de su curvatura)

¿Qué curva de rapidez unidad tiene radio de curvatura $R(s) = 1 + s^2$ ? Siguiendo la demostración de la existencia con $\kappa(s) = \frac1{1+s^2}$ y $s_0 = 0$ : $\varphi(s) = \arctan s$ , luego

T(s) = (\cos\arctan s,\ \sin\arctan s) = \Bigl(\frac{1}{\sqrt{1+s^2}},\ \frac{s}{\sqrt{1+s^2}}\Bigr),

e integrando,

\tilde\gamma(s) = \Bigl(\ln\bigl(s + \sqrt{1 + s^2}\bigr),\ \sqrt{1 + s^2} - 1\Bigr).

Poniendo $x = \ln(s + \sqrt{1+s^2})$ , es decir, $s = \sinh x$ , la segunda coordenada es $\cosh x - 1$ : la curva es la catenaria $y = \cosh x - 1$ . Esto cierra el círculo con el Ejercicio 18.3, donde calculamos $R = \cosh^2 x = 1 + \sinh^2 x = 1 + s^2$ directamente: el teorema fundamental garantiza que la catenaria es la única curva con este perfil de curvatura, salvo isometría directa.

Observación 18.24 (Dónde se usa la curvatura a continuación)

La descomposición $\gamma'' = v'T + v^2\kappa N$ obtenida en la demostración de la Proposición 18.17 es la cinemática de todo movimiento curvo: aceleración tangencial frente a centrípeta. La curvatura regresa con las superficies (Capítulo 19) a través de la curvatura de las curvas trazadas sobre ellas, y el cálculo de envolventes del problema de fin de semana de este capítulo —evolutas, cáusticas— es la óptica geométrica de los frentes de onda. El volumen del tercer año retoma el punto de vista intrínseco para las subvariedades de $\R^n$ .

18.4 Triedro de Frenet en el espacio

Sea ahora $\tilde\gamma \colon J \to \R^3$ un arco $\mathcal{C}^3$ de rapidez unidad y birregular: $T'(s) \neq 0$ para todo $s$ . Entonces $\kappa(s) = \norm{T'(s)} > 0$ define la curvatura (sin signo en el espacio: no hay orientación normal privilegiada), y ponemos:

N(s) = \frac{T'(s)}{\kappa(s)} \quad\text{(normal principal)}, \qquad B(s) = T(s) \wedge N(s) \quad\text{(binormal)} ,

de modo que $(T, N, B)$ es un triedro ortonormal directo, el triedro de Frenet. El plano que pasa por $\tilde\gamma(s)$ y está generado por $T, N$ es el plano osculador.

Teorema 18.25 (Fórmulas de Frenet en el espacio)

Existe una función continua $\tau$ , la torsión, con

T' = \kappa N, \qquad N' = -\kappa T + \tau B, \qquad B' = -\tau N .

Demostración. La primera fórmula es la definición de $N$ . Cada uno de los vectores $T, N, B$ tiene norma constante $1$ y son ortogonales dos a dos; derivar las seis relaciones $\langle X, Y\rangle = \delta_{XY}$ muestra que la matriz de $(T', N', B')$ en la base $(T, N, B)$ es antisimétrica: en efecto, $\langle X', Y\rangle + \langle X, Y'\rangle = 0$ y $\langle X', X\rangle = 0$ . Su entrada $(N, T)$ es $\langle N', T\rangle = -\langle N, T'\rangle = -\kappa$ , y la entrada de la columna $(T, B)$ es $\langle T', B\rangle = \kappa\langle N, B\rangle = 0$ . Llamando $\tau = \langle N', B\rangle$ a la entrada libre restante se obtienen exactamente las tres fórmulas mostradas: la antisimetría completa $\langle B', N\rangle = -\tau$ y $\langle B', T\rangle = 0$ . La continuidad de $\tau = \langle N', B\rangle$ es clara, pues $N'$ y $B$ son continuas ( $\tilde\gamma$ es $\mathcal{C}^3$ , luego $N = T'/\kappa$ es $\mathcal{C}^1$ ). ∎

Ejemplo 18.26 (El vector de Darboux)

Las tres fórmulas de Frenet se comprimen en una. Póngase $\omega(s) = \tau\,T + \kappa\,B$ (el vector de Darboux). Usando $B \wedge T = N$ , $T \wedge N = B$ , $N \wedge B = T$ :

\omega \wedge T = \kappa\,N = T', \qquad \omega \wedge N = \tau\,B - \kappa\,T = N', \qquad \omega \wedge B = -\tau\,N = B' :

cada vector del triedro evoluciona según $X' = \omega \wedge X$ , la firma cinemática de una rotación instantánea de vector de velocidad angular $\omega$ . El triedro gira a razón de $\norm\omega = \sqrt{\kappa^2 + \tau^2}$ en torno al eje móvil $\omega$ ; la curvatura es la componente del giro en torno a la binormal, y la torsión, la componente en torno a la tangente. Para la hélice, $\omega$ es un vector constante a lo largo del eje del cilindro, y por eso el triedro de la hélice precesa de manera uniforme. La antisimetría de la matriz de Frenet, explotada en el Ejercicio 18.7, es la forma matricial de este único hecho geométrico.

Proposición 18.27 (La torsión mide la planitud)

Un arco birregular está contenido en un plano si y solo si $\tau \equiv 0$ ; y en ese caso el plano es el plano osculador (constante).

Demostración. Si $\tau \equiv 0$ , entonces $B' = 0$ , luego $B$ es un vector unitario constante $B_0$ , y

\frac{\dd}{\dd s}\langle \tilde\gamma(s), B_0\rangle = \langle T(s), B_0\rangle = 0 :

$\langle \tilde\gamma, B_0\rangle$ es constante, de modo que el arco está en un plano ortogonal a $B_0$ . Recíprocamente, si el arco está en un plano $P$ , entonces $T$ y $T'$ (luego $N$ ) son paralelos a la dirección de $P$ para todo $s$ ; así que $B = T \wedge N$ es una de las dos normales unitarias de $P$ y, al ser continua, es constante; entonces $0 = B' = -\tau N$ con $N \neq 0$ fuerza $\tau \equiv 0$ . ∎

Ejemplo 18.28 (Una circunferencia inclinada tiene torsión nula)

El arco $\gamma(t) = \bigl(\cos t,\ \tfrac{\sin t}{\sqrt2},\ \tfrac{\sin t}{\sqrt2}\bigr)$ está en el plano $y = z$ y es la circunferencia unidad de ese plano (compruébese: $\norm{\gamma(t)} = 1$ , y la base ortonormal del plano $(1,0,0)$ , $(0, \tfrac1{\sqrt2}, \tfrac1{\sqrt2})$ exhibe la parametrización estándar). Sin ningún cálculo de Frenet, la Proposición 18.27 predice $\tau \equiv 0$ , y la binormal fija debe ser la normal unitaria del plano $\pm(0, \tfrac1{\sqrt2}, -\tfrac1{\sqrt2})$ . La torsión no mide estar “inclinado en el espacio”; mide abandonar un plano. Solo el $b$ no nulo de la hélice de más abajo produce torsión genuina.

Ejemplo 18.29 (La hélice)

Para la hélice $\gamma(t) = (a\cos t, a\sin t, bt)$ , con $a > 0$ , calculamos $s = ct$ con $c = \sqrt{a^2 + b^2}$ . Entonces

T = \frac1c(-a\sin t,\ a\cos t,\ b), \qquad T' \cdot \frac{\dd t}{\dd s} = \frac{1}{c^2}(-a\cos t, -a\sin t, 0),

luego $\kappa = a/c^2 = a/(a^2 + b^2)$ y $N = (-\cos t, -\sin t, 0)$ : la normal principal apunta horizontalmente hacia el eje. Después, $B = T \wedge N = \frac1c(b\sin t, -b\cos t, a)$ , y $B' \frac{\dd t}{\dd s} = \frac{b}{c^2}(\cos t, \sin t, 0) = -\tau N$ da

\boxed{\ \kappa = \frac{a}{a^2 + b^2}, \qquad \tau = \frac{b}{a^2 + b^2}. \ }

Ambos invariantes son constantes; y puede probarse, recíprocamente, que las únicas curvas birregulares con $\kappa > 0$ constante y $\tau$ constante son las hélices (circunferencias cuando $\tau = 0$ ). Obsérvense los signos: $b > 0$ da una hélice dextrógira, de torsión positiva.

Ejemplo 18.30 (Curvatura y torsión sin longitud de arco: la cúbica alabeada)

Reparametrizar por longitud de arco suele ser imposible en forma cerrada, así que los invariantes deben extraerse de las derivadas en bruto. Escríbase $v = \norm{\gamma'} = s'$ ; entonces $\gamma' = vT$ y, como en la demostración de la Proposición 18.17,

\gamma'' = v'T + v^2\kappa N, \qquad \gamma' \wedge \gamma'' = v^3\kappa\,(T \wedge N) = v^3\kappa\,B .

Tomando normas ( $\kappa \geq 0$ en el espacio):

\kappa = \frac{\norm{\gamma' \wedge \gamma''}}{v^3} .

Derivando $\gamma''$ una vez más y convirtiendo $N' = v(-\kappa T + \tau B)$ (regla de la cadena a través de $s$ ), la única componente en $B$ procede del último término:

\gamma''' = \bigl(v'' - v^3\kappa^2\bigr)T + \bigl(v'v\kappa + (v^2\kappa)'\bigr)N + v^3\kappa\tau\,B,

de modo que, emparejando con $\gamma' \wedge \gamma'' = v^3\kappa B$ ,

\det(\gamma', \gamma'', \gamma''') = \langle\gamma' \wedge \gamma'',\ \gamma'''\rangle = v^6\kappa^2\tau, \qquad\text{es decir,}\qquad \tau = \frac{\det(\gamma', \gamma'', \gamma''')}{\norm{\gamma' \wedge \gamma''}^2} .

Aplicación a la cúbica alabeada $\gamma(t) = (t,\ t^2,\ t^3)$ en $t = 0$ : $\gamma' = (1, 0, 0)$ , $\gamma'' = (0, 2, 0)$ , $\gamma''' = (0, 0, 6)$ , luego $v = 1$ ,

\gamma' \wedge \gamma'' = (0, 0, 2), \qquad \kappa(0) = 2, \qquad \det(\gamma', \gamma'', \gamma''') = 12, \qquad \tau(0) = \frac{12}{4} = 3 .

Moraleja: ambas fórmulas son cocientes en los que la rapidez $v$ se cancela exactamente en el grado necesario — $\kappa$ escala como una derivada segunda por unidad de longitud, y $\tau$ como el volumen mixto de tres derivadas por área al cuadrado—, y por eso son geométricas mientras que $\gamma''$ no lo es.

Observación 18.31 (Teorema fundamental para las curvas del espacio)

Como en el plano, el par $(\kappa, \tau)$ con $\kappa > 0$ determina un arco birregular salvo isometría directa de $\R^3$ : las fórmulas de Frenet forman un sistema diferencial lineal para el triedro $(T, N, B)$ , al que se aplica la teoría de Cauchy–Lipschitz del Capítulo 16; la ortonormalidad del triedro solución se conserva porque la matriz de coeficientes es antisimétrica (el mismo argumento de la matriz de Gram del Ejercicio 18.7), y la curva se recupera integrando $T$ . Dejamos los detalles al lector como ejercicio sustancial pero instructivo.

18.5 Estudio local: posición respecto de la tangente

Proposición 18.32 (Forma local en un punto regular)

Sea $\gamma$ un arco plano de clase $\mathcal{C}^k$ en $t_0$ , con $p$ el menor índice tal que $\gamma^{(p)}(t_0) \neq 0$ y $q$ el menor índice $> p$ tal que $\gamma^{(q)}(t_0)$ no sea colineal con $\gamma^{(p)}(t_0)$ (suponiendo que ambos existen, $q \leq k$ ). En la base $(u, v) = (\gamma^{(p)}(t_0), \gamma^{(q)}(t_0))$ centrada en $\gamma(t_0)$ , Taylor–Young da las coordenadas

X(t) \sim \frac{(t - t_0)^p}{p!}, \qquad Y(t) \sim \frac{(t - t_0)^q}{q!} .

La imagen local depende solo de las paridades de $p$ y $q$ :

$p$ impar, $q$ par	punto ordinario	la curva no cruza ninguna recta, queda a un lado de la tangente
$p$ impar, $q$ impar	punto de inflexión	la curva cruza su tangente
$p$ par, $q$ impar	cúspide de primera especie	las dos ramas a lados opuestos de la tangente
$p$ par, $q$ par	cúspide de segunda especie	las dos ramas al mismo lado

Demostración. Taylor–Young de orden $q$ (la función $\gamma$ es $\mathcal{C}^q$ cerca de $t_0$ ):

\gamma(t) - \gamma(t_0) = \sum_{j=p}^{q} \frac{(t-t_0)^j}{j!}\,\gamma^{(j)}(t_0) + o\bigl((t-t_0)^q\bigr).

Por la elección de $p$ y $q$ , cada $\gamma^{(j)}(t_0)$ con $p \leq j < q$ es colineal con $u$ ; recogiendo componentes en la base $(u, v)$ : $X(t) = \frac{(t-t_0)^p}{p!}(1 + o(1))$ e $Y(t) = \frac{(t-t_0)^q}{q!}(1 + o(1))$ . La tabla de signos de $X$ e $Y$ para $t \gtrless t_0$ —gobernada exactamente por las paridades— da las cuatro imágenes: por ejemplo, si $p$ es par, $X > 0$ a ambos lados (las dos ramas salen en la dirección $+u$ : una cúspide), y el lado de la recta tangente ( $\operatorname{signo} Y$ ) se invierte con $q$ impar. ∎

Ejemplo 18.33

Para $\gamma(t) = (t^2, t^3)$ en $t_0 = 0$ (Ejemplo 18.5): $\gamma'' (0)= (2, 0)$ , $\gamma'''(0) = (0, 6)$ , luego $p = 2$ , $q = 3$ : una cúspide de primera especie, la imagen familiar de la parábola semicúbica. Para $\gamma(t) = (t, t^3)$ en $0$ : $p = 1$ , $q = 3$ : inflexión; la cúbica cruza su tangente.

Observación 18.34 (Perspectivas dentro de este volumen)

Las curvas alimentan los capítulos siguientes de tres maneras. Trazadas sobre una superficie, definen sus planos tangentes y su primera forma fundamental (Capítulo 19), y sus longitudes se calculan restringiendo la métrica ambiente: el capítulo que viene es, en buena medida, este capítulo relativizado. El cálculo de envolventes del problema de fin de semana se encuentra con las integrales dobles en el Capítulo 20, donde el área de la astroide se recalcula con la fórmula de Green (Ejercicio 20.5): una curva, dos teorías, respuestas que coinciden. Y el sistema de Frenet ya usó las ecuaciones diferenciales lineales del Capítulo 16 (existencia, unicidad y el argumento de conservación de la ortogonalidad del Ejercicio 18.7): el teorema fundamental de las curvas es un teorema de ecuaciones diferenciales vestido de geometría.

Observación 18.35 (Método: ejecutar el estudio local)

En la práctica, la clasificación es una rutina de cuatro pasos. Uno, derívese en $t_0$ hasta que aparezca la primera derivada no nula: su índice es $p$ y su valor el vector $u$ . Dos, sígase derivando hasta que aparezca una derivada no colineal con $u$ : índice $q$ , vector $v$ . Tres, léanse las paridades $(p, q)$ en la tabla. Cuatro, dibújese: la curva sale a lo largo de $+u$ si $p$ es impar (a lo largo de $u$ y luego de vuelta a lo largo de $u$ si $p$ es par), al lado de $v$ que dicte el signo de $Y$ . Dos advertencias. La base $(u, v)$ en general no es ortonormal: la tabla describe posiciones relativas a la recta tangente, no ángulos ni distancias, así que no se lea la curvatura en el dibujo. Y se permiten derivadas intermedias colineales con $u$ entre los rangos $p$ y $q$ (solo desplazan el desarrollo de $X$ ); lo que no debe hacerse es detenerse en la primera derivada no nula y suponer $q = p + 1$ : para $\gamma(t) = (t^2, t^4 + t^5)$ , la suposición ingenua $q = 3$ es falsa, pues $\gamma^{(3)}(0)$ sigue siendo colineal con $\gamma''(0)$ ; esto es precisamente el Ejercicio 18.5.

18.6 Ejercicios

Ejercicio 18.1 ★

Calcula la longitud de un arco de la cicloide $\gamma(t) = (t - \sin t,\ 1 - \cos t)$ , $t \in [0, 2\pi]$ . (Usa $1 - \cos t = 2\sin^2(t/2)$ .)

Solución

Solución de Ejercicio 18.1.

$\gamma'(t) = (1 - \cos t,\ \sin t)$ , de modo que

\norm{\gamma'(t)}^2 = (1 - \cos t)^2 + \sin^2 t = 2 - 2\cos t = 4\sin^2\tfrac t2 ,

y $\norm{\gamma'(t)} = 2\sin\frac t2$ (no negativo sobre $[0, 2\pi]$ ). De ahí,

L = \int_0^{2\pi} 2\sin\tfrac t2\,\dd t = \Bigl[-4\cos\tfrac t2\Bigr]_0^{2\pi} = 8 :

un arco de cicloide tiene longitud $8$ (para una rueda de radio $1$ ); un resultado famoso de Wren, sin ningún $\pi$ a la vista.

Ejercicio 18.2 ★

Calcula la curvatura de la elipse $\gamma(t) = (a\cos t,\ b\sin t)$ ( $a > b > 0$ ) y localiza los puntos de curvatura máxima y mínima.

Solución

Solución de Ejercicio 18.2.

Con $x = a\cos t$ , $y = b\sin t$ : $x' = -a\sin t$ , $y' = b\cos t$ , $x'' = -a\cos t$ , $y'' = -b\sin t$ , de modo que, por la Proposición 18.17,

\kappa(t) = \frac{x'y'' - y'x''}{(x'^2 + y'^2)^{3/2}} = \frac{ab\sin^2 t + ab\cos^2 t} {(a^2\sin^2 t + b^2\cos^2 t)^{3/2}} = \frac{ab}{(a^2\sin^2 t + b^2\cos^2 t)^{3/2}} .

El denominador es mínimo cuando $\sin t = 0$ (valor $b^3$ , puntos $(\pm a, 0)$ ) y máximo cuando $\cos t = 0$ (valor $a^3$ , puntos $(0, \pm b)$ ), pues $a > b$ . Así pues, $\kappa$ es máxima en los extremos del eje mayor, $\kappa_{\max} = a/b^2$ , y mínima en los extremos del eje menor, $\kappa_{\min} = b/a^2$ : la elipse se dobla más bruscamente en las puntas de su eje largo.

Ejercicio 18.3 ★

Prueba que la longitud de arco del grafo de $f(x) = \cosh x$ sobre $[0, x]$ vale $\sinh x$ , y calcula la curvatura de esa curva (la catenaria). Comprueba que $R(x) = 1/\kappa(x) = \cosh^2 x$ .

Solución

Solución de Ejercicio 18.3.

Para el grafo $\gamma(x) = (x, \cosh x)$ : $\norm{\gamma'(x)} = \sqrt{1 + \sinh^2 x} = \cosh x$ , luego la longitud de arco de $0$ a $x$ es $\int_0^x \cosh u\,\dd u = \sinh x$ . Curvatura de un grafo (Proposición 18.17):

\kappa(x) = \frac{f''(x)}{(1 + f'(x)^2)^{3/2}} = \frac{\cosh x}{\cosh^3 x} = \frac{1}{\cosh^2 x} ,

así que $R(x) = \cosh^2 x$ , como se anunciaba. Obsérvese la coincidencia elegante $R(x) = 1 + s(x)^2$ con $s = \sinh x$ la longitud de arco: el radio de curvatura de la catenaria crece con el cuadrado de la longitud de arco desde el vértice.

Ejercicio 18.4 ★★

(Espiral logarítmica) Sea $\gamma(t) = e^{t}(\cos t,\ \sin t)$ , $t \in \R$ . Prueba que el ángulo entre $\gamma(t)$ y $\gamma'(t)$ es constante, calcula la longitud de arco de $\gamma$ sobre $(-\infty, 0]$ (¡finita!) y la curvatura.

Solución

Solución de Ejercicio 18.4.

$\gamma'(t) = e^t(\cos t - \sin t,\ \sin t + \cos t)$ , luego

\langle \gamma(t), \gamma'(t)\rangle = e^{2t} \bigl(\cos t(\cos t - \sin t) + \sin t(\sin t + \cos t)\bigr) = e^{2t},

mientras que $\norm{\gamma(t)} = e^t$ y $\norm{\gamma'(t)} = e^t\sqrt 2$ . Por tanto,

\cos\angle\bigl(\gamma, \gamma'\bigr) = \frac{e^{2t}}{e^t \cdot e^t\sqrt2} = \frac{1}{\sqrt2} :

la tangente forma siempre un ángulo $\pi/4$ con el radio; la propiedad equiangular de la espiral logarítmica. Longitud de arco sobre $(-\infty, 0]$ :

\int_{-\infty}^0 \norm{\gamma'(t)}\,\dd t = \sqrt2\int_{-\infty}^0 e^t\,\dd t = \sqrt 2 ,

finita aunque la espiral dé infinitas vueltas alrededor del origen. Curvatura: con $x'y'' - y'x''$ calculado a partir de $\gamma'' = e^t(-2\sin t,\ 2\cos t)$ ,

x'y'' - y'x'' = e^{2t}\bigl(2\cos t(\cos t - \sin t) + 2\sin t(\sin t + \cos t)\bigr) = 2e^{2t},

luego $\kappa(t) = \dfrac{2e^{2t}}{(e^t\sqrt2)^3} = \dfrac{1}{e^t\sqrt2}$ : la curvatura es $1/(\sqrt2\, \norm{\gamma})$ , y decae a medida que la espiral crece.

Ejercicio 18.5 ★★

Determina $p$ , $q$ y la forma local (ordinaria, inflexión, cúspide) de $\gamma(t) = (t^2,\ t^4 + t^5)$ en $t = 0$ , y de $\gamma(t) = (t^3,\ t^4)$ en $t = 0$ .

Solución

Solución de Ejercicio 18.5.

Primer arco: $\gamma(t) = (t^2,\ t^4 + t^5)$ . Derivadas en $0$ : $\gamma'' = (2, 0) \neq 0$ , luego $p = 2$ . Después, $\gamma^{(3)}(0) = (0, 0)$ y $\gamma^{(4)}(0) = (0, 24)$ , no colineal con $(2, 0)$ : $q = 4$ . Ambos pares: cúspide de segunda especie; las dos ramas salen en la dirección $+u = (1,0)$ y se quedan al mismo lado de la tangente. (En efecto, $y = x^2 \pm x^{5/2}$ en las dos ramas: mismo signo para $x$ pequeño.)

Segundo arco: $\gamma(t) = (t^3, t^4)$ . $\gamma'(0) = \gamma''(0) = 0$ y $\gamma^{(3)}(0) = (6, 0)$ : $p = 3$ , impar. Después, $\gamma^{(4)}(0) = (0, 24)$ : $q = 4$ , par. Impar-par: punto ordinario; pese a anularse la velocidad, la trayectoria $y = x^{4/3}$ cruza el origen suavemente y se queda por encima de su tangente $y = 0$ .

Ejercicio 18.6 ★★

Sea $\gamma$ un arco plano de rapidez unidad con $\kappa(s) > 0$ para todo $s$ , y sea $c(s) = \gamma(s) + \frac{1}{\kappa(s)}N(s)$ el centro de curvatura (la curva $c$ es la evoluta). Suponiendo que $\kappa$ es $\mathcal{C}^1$ , prueba que $c'(s) = -\frac{\kappa'(s)}{\kappa(s)^2}N(s)$ : la evoluta es tangente a las rectas normales de $\gamma$ .

Solución

Solución de Ejercicio 18.6.

Derívese $c(s) = \gamma(s) + \dfrac{1}{\kappa(s)}N(s)$ usando las fórmulas de Frenet en el plano (Teorema 18.13):

c'(s) = T(s) - \frac{\kappa'(s)}{\kappa(s)^2}N(s) + \frac{1}{\kappa(s)}\,\bigl(-\kappa(s)T(s)\bigr) = -\frac{\kappa'(s)}{\kappa(s)^2}\,N(s) ,

pues los términos tangenciales se cancelan exactamente. Así pues, la velocidad de la evoluta la lleva $N(s)$ , que dirige la recta normal de $\gamma$ en $\gamma(s)$ ; y el punto $c(s)$ está sobre esa misma recta normal: la evoluta es la envolvente de las normales. (Donde $\kappa' = 0$ , la evoluta tiene un punto singular; esto es lo que produce las cúspides de la evoluta de una elipse.)

Ejercicio 18.7 ★★★

Sea $A(s)$ una familia continua de matrices antisimétricas $3 \times 3$ y sea $F' = F A$ una solución matricial con $F(s_0)$ ortogonal. Prueba que $F(s)$ es ortogonal para todo $s$ . (Deriva $G = F F^{\mathsf T}$ y usa la unicidad en Cauchy–Lipschitz.) Explica su relevancia para el sistema de Frenet.

Solución

Solución de Ejercicio 18.7.

Sea $G(s) = F(s)F(s)^{\mathsf T}$ . Entonces, usando $F' = FA$ y $(F^{\mathsf T})' = (F')^{\mathsf T} = A^{\mathsf T}F^{\mathsf T}$ ,

G' = F'F^{\mathsf T} + F(F^{\mathsf T})' = FAF^{\mathsf T} + FA^{\mathsf T}F^{\mathsf T} = F(A + A^{\mathsf T})F^{\mathsf T} = 0

por la antisimetría. Así pues, $G$ es constante sobre el intervalo e igual a $G(s_0) = F(s_0)F(s_0)^{\mathsf T} = I$ : $F(s)$ es ortogonal para todo $s$ . (Alternativamente, sin calcular que $G'$ es nula: tanto $G$ como la constante $I$ resuelven el sistema lineal $Y' = YA + A^{\mathsf T}Y$ con el mismo valor inicial, y la unicidad de Cauchy–Lipschitz para sistemas lineales, Capítulo 16, fuerza $G \equiv I$ .)

Relevancia: el sistema de Frenet $(T, N, B)' = (T, N, B)\,A(s)$ tiene la matriz de coeficientes antisimétrica

A = \begin{pmatrix} 0 & -\kappa & 0\\ \kappa & 0 & -\tau\\ 0 & \tau & 0\end{pmatrix}

(cuyas columnas expresan $T', N', B'$ ). El cálculo anterior muestra que un triedro solución que empieza siendo ortonormal sigue siéndolo: el paso clave del teorema fundamental que reconstruye una curva a partir de $(\kappa, \tau)$ .

Ejercicio 18.8 ★★★

(Curvatura total de una curva cerrada convexa) Sea $\tilde\gamma$ un arco plano cerrado $\mathcal{C}^2$ de rapidez unidad y de longitud $L$ (de modo que $\tilde\gamma(s + L) = \tilde\gamma(s)$ ), recorrido una vez en sentido antihorario. Usando la función ángulo $\varphi$ con $T = (\cos\varphi, \sin\varphi)$ del Teorema 18.20, explica por qué $\varphi(L) - \varphi(0)$ es un múltiplo de $2\pi$ , y prueba que $\int_0^L \kappa(s)\,\dd s = \varphi(L) - \varphi(0)$ . (Para una circunferencia de radio $R$ : $\int \kappa = \frac1R \cdot 2\pi R = 2\pi$ . El teorema de las tangentes giratorias afirma el valor $2\pi$ para toda curva cerrada simple; no se pide demostrarlo.)

Solución

Solución de Ejercicio 18.8.

Por el Teorema 18.20 (parte de unicidad), hay una función ángulo $\mathcal{C}^1$ $\varphi$ con $T(s) = (\cos\varphi(s), \sin\varphi(s))$ y $\varphi' = \kappa$ . De ahí,

\int_0^L \kappa(s)\,\dd s = \varphi(L) - \varphi(0) .

Como el arco es cerrado de periodo $L$ , $T(L) = T(0)$ : $(\cos\varphi(L), \sin\varphi(L)) = (\cos\varphi(0), \sin\varphi(0))$ , luego $\varphi(L) - \varphi(0) \in 2\pi\Z$ . La curvatura total de una curva cerrada es, por tanto, siempre un múltiplo entero de $2\pi$ ; el entero es el índice de giro de la tangente (el número de vueltas completas que da $T$ ). Para la circunferencia de radio $R$ : $\kappa = 1/R$ y $L = 2\pi R$ , curvatura total $2\pi$ e índice $1$ ; el teorema de las tangentes giratorias afirma que ese valor vale para toda curva cerrada simple.

Ejercicio 18.9 ★★★

Prueba que una curva birregular del espacio con $\kappa > 0$ constante y $\tau = 0$ es (un arco de) una circunferencia de radio $1/\kappa$ . (Usa la Proposición 18.27 y prueba después que el centro $\gamma + \frac1\kappa N$ es constante.)

Solución

Solución de Ejercicio 18.9.

Como $\tau \equiv 0$ , la curva está en un plano (Proposición 18.27); trabajemos en ese plano. Consideremos el centro candidato

c(s) = \gamma(s) + \frac{1}{\kappa}N(s) \qquad (\kappa \text{ constante}).

Derivando con las fórmulas de Frenet ( $N' = -\kappa T + \tau B = -\kappa T$ aquí):

c'(s) = T + \frac1\kappa(-\kappa T) = 0 ,

de modo que $c$ es un punto constante $\Omega$ . Entonces $\norm{\gamma(s) - \Omega} = \norm{-\frac1\kappa N(s)} = \frac1\kappa$ para todo $s$ : la curva está sobre la circunferencia de centro $\Omega$ y radio $1/\kappa$ (en su plano) y, al ser un arco no constante de ella, es un arco de esa circunferencia.

Ejercicio 18.10 ★

Calcula la longitud de arco de la parábola $y = x^2/2$ sobre $\intcc0a$ y prueba que vale

\tfrac12\Bigl(a\sqrt{1 + a^2} + \ln\bigl(a + \sqrt{1 + a^2}\bigr)\Bigr).

Solución

Solución de Ejercicio 18.10.

Para el grafo $\gamma(x) = (x, x^2/2)$ , $\norm{\gamma'(x)} = \sqrt{1 + x^2}$ , luego $L = \int_0^a\sqrt{1+x^2}\,\dd x$ . Sustituyendo $x = \sinh u$ ( $\dd x = \cosh u\,\dd u$ , con $u$ de $0$ a $u_a = \ln(a + \sqrt{1+a^2})$ ):

L = \int_0^{u_a}\cosh^2 u\,\dd u = \frac12\bigl[u + \sinh u\cosh u\bigr]_0^{u_a} = \frac12\Bigl(\ln\bigl(a + \sqrt{1+a^2}\bigr) + a\sqrt{1+a^2}\Bigr),

usando $\cosh^2 u = \frac{1 + \cosh 2u}2$ , $\sinh u_a = a$ y $\cosh u_a = \sqrt{1 + a^2}$ .

Ejercicio 18.11 ★★

Sea $\gamma$ un arco $\mathcal C^2$ regular de $\R^n$ cuyas rectas tangentes pasan todas por un punto fijo $P$ . Demuestra que la trayectoria de $\gamma$ está contenida en una recta. (Parametriza por longitud de arco, escribe $\gamma(s) + \lambda(s)T(s) = P$ y deriva.)

Solución

Solución de Ejercicio 18.11.

Parametrícese por longitud de arco (Teorema 18.9) y póngase $\lambda(s) = \langle P - \gamma(s), T(s)\rangle$ , una función $\mathcal C^1$ ; como $P$ está sobre la recta tangente en $\gamma(s)$ , el vector $P - \gamma(s)$ es colineal con $T(s)$ , luego $P = \gamma(s) + \lambda(s)T(s)$ . Derivando,

0 = T(s) + \lambda'(s)T(s) + \lambda(s)T'(s) = \bigl(1 + \lambda'(s)\bigr)T(s) + \lambda(s)T'(s),

y $T'(s) \perp T(s)$ (derívese $\norm T^2 = 1$ ), así que ambas componentes se anulan: $\lambda' = -1$ y $\lambda T' = 0$ . Entonces $\lambda(s) = c - s$ se anula a lo sumo una vez, luego $T' = 0$ sobre un conjunto denso y, por continuidad, en todas partes: $T$ es un vector unitario constante y $\gamma(s) = \gamma(s_0) + (s - s_0)T$ : una recta (que pasa por $P$ , como debe ser).

Ejercicio 18.12 ★★★

(Teorema fundamental para las curvas del espacio) Sean $\kappa > 0$ y $\tau$ funciones continuas sobre un intervalo $J$ . Lleva a cabo el programa de la observación que sigue al Ejemplo 18.29: (a) prueba que el sistema lineal $F' = FA(s)$ , con $A(s)$ la matriz antisimétrica de Frenet construida a partir de $\kappa, \tau$ y $F(s_0)$ un triedro ortonormal directo, tiene una única solución global, que sigue siendo un triedro ortonormal directo; (b) construye una curva birregular de rapidez unidad con curvatura $\kappa$ y torsión $\tau$ ; (c) demuestra la unicidad salvo isometría directa de $\R^3$ .

Solución

Solución de Ejercicio 18.12.

(a) La matriz de Frenet

A(s) = \begin{pmatrix} 0 & -\kappa & 0\\ \kappa & 0 & -\tau\\ 0 & \tau & 0\end{pmatrix}

tiene entradas continuas, de modo que el sistema lineal $F' = FA(s)$ , $F(s_0) = F_0$ (una matriz ortonormal directa) tiene una única solución sobre todo $J$ (Teorema 16.4). Por el Ejercicio 18.7, $F(s)$ es ortogonal para todo $s$ ; y $\det F$ es continuo con valores en $\{\pm1\}$ y vale $1$ en $s_0$ , luego $F(s)$ es directa para todo $s$ .

(b) Léanse las filas $T, N, B$ de $F$ (de modo que $T' = \kappa N$ , $N' = -\kappa T + \tau B$ , $B' = -\tau N$ ) y póngase $\gamma(s) = \gamma_0 + \int_{s_0}^s T(u)\,\dd u$ . Entonces $\gamma' = T$ es un vector unitario: rapidez unidad; $T' = \kappa N$ con $\kappa > 0$ y $N$ unitario ortogonal a $T$ , de modo que $\gamma$ es birregular con curvatura $\norm{T'} = \kappa$ y normal principal $N$ ; la binormal es $T \wedge N = B$ (triedro ortonormal directo), y $B' = -\tau N$ identifica la torsión como $\tau$ .

(c) Sean $\gamma_1, \gamma_2$ curvas birregulares de rapidez unidad con los mismos $(\kappa, \tau)$ . Hay una única isometría directa $\Phi = \rho + w$ ( $\rho \in SO(3)$ ) que lleva $\gamma_1(s_0)$ a $\gamma_2(s_0)$ y el triedro de Frenet de $\gamma_1$ en $s_0$ al de $\gamma_2$ en $s_0$ . La curva $\Phi\circ\gamma_1$ es de rapidez unidad y tiene los mismos invariantes (su triedro es $\rho$ aplicado al de $\gamma_1$ , y $\rho$ conserva los productos vectoriales por ser directa). Ahora bien, los triedros de $\Phi\circ\gamma_1$ y de $\gamma_2$ resuelven ambos $F' = FA(s)$ con el mismo valor inicial, así que coinciden por unicidad; en particular, las tangentes coinciden y, integrando desde el punto común $s_0$ : $\Phi\circ\gamma_1 = \gamma_2$ .

18.7 Problema: envolventes — la astroide, dos evolutas y una cáustica

Una escalera de longitud 1 que resbala por una pared (posiciones en azul) nunca cruza la astroide x2/3 + y2/3 = 1 (en rojo): la astroide es la envolvente de la familia de segmentos, tangente a todos ellos. — Una escalera de longitud $1$ que resbala por una pared (posiciones en azul) nunca cruza la astroide $x^{2/3} + y^{2/3} = 1$ (en rojo): la astroide es la *envolvente* de la familia de segmentos, tangente a todos ellos.

Problema 18.1

Problema de fin de semana — la máquina de envolventes y cuatro curvas clásicas

Una familia uniparamétrica de rectas no suele cubrir el plano de manera uniforme: las rectas se amontonan a lo largo de una curva tangente a todas ellas, su envolvente. Los rayos de luz hacen visibles las envolventes en forma de cáusticas: la curva brillante con cúspides que se ve en una taza de café. Este problema construye la máquina general de envolventes y después la ejecuta cuatro veces: la escalera que resbala (astroide), las normales de la parábola y de la cicloide (evolutas, con el péndulo de Huygens al final) y la cáustica de la taza de café (nefroide). En todo el problema, $D_t$ denota la recta de ecuación $a(t)\,x + b(t)\,y = c(t)$ , donde $a, b, c$ son funciones $\mathcal C^2$ con $(a(t), b(t)) \neq (0,0)$ , y $\Delta(t) = a(t)b'(t) - a'(t)b(t)$ .

Parte I — La máquina de envolventes.

Supongamos $\Delta(t) \neq 0$ . Prueba que el sistema característico

$\begin{cases} a(t)\,x + b(t)\,y = c(t)\\ a'(t)\,x + b'(t)\,y = c'(t)\end{cases}$

tiene una única solución $E(t) = (x(t), y(t))$ , dada por $x = \dfrac{cb' - c'b}{\Delta}$ , $y = \dfrac{ac' - a'c}{\Delta}$ .
Supongamos además que $E$ es $\mathcal C^1$ cerca de $t$ con $E'(t) \neq 0$ . Derivando la primera ecuación del sistema, prueba que $a(t)\,x'(t) + b(t)\,y'(t) = 0$ , y concluye que la curva $E$ pasa por un punto de $D_t$ con la dirección de $D_t$ : la familia es tangente a $E$ , que se llama su envolvente.
Comprobación de sensatez: las rectas tangentes de la parábola $y = x^2/2$ en los puntos $(t, t^2/2)$ son $tx - y = t^2/2$ . Verifica que la máquina de envolventes devuelve la propia parábola.
(Envolvente de las normales) Sea $\gamma$ de rapidez unidad con $\kappa(s) \neq 0$ . La recta normal en $\gamma(s)$ es $\{M : \langle M - \gamma(s), T(s) \rangle = 0\}$ . Prueba que su sistema característico fuerza $\langle M - \gamma(s), N(s)\rangle = 1/\kappa(s)$ , y por tanto que el punto característico es el centro de curvatura: la envolvente de las normales es la evoluta, lo que recupera el Ejercicio 18.6. Comprueba que $\Delta(s) = \kappa(s)$ .
Dos degeneraciones. Para el haz $D_\theta : x\cos \theta + y\sin\theta = 0$ , prueba que el punto característico es el origen para todo $\theta$ (la “envolvente” colapsa en un punto, y $E' = 0$ : la pregunta 2 no se aplica). Para una familia de rectas paralelas ( $a, b$ constantes), prueba que $\Delta \equiv 0$ y que el sistema característico es en general incompatible: no hay envolvente.

Parte II — La escalera que resbala y la astroide. Un segmento de longitud $1$ resbala con un extremo $P_t = (\cos t, 0)$ sobre el suelo y el otro $Q_t = (0, \sin t)$ sobre la pared, $t \in \intoo0{\pi/2}$ .

Prueba que la recta $(P_tQ_t)$ tiene ecuación $x\sin t + y\cos t = \sin t\cos t$ , y que la máquina de envolventes da el punto característico

$E(t) = (\cos^3 t,\ \sin^3 t) :$

la astroide, de ecuación implícita $x^{2/3} + y^{2/3} = 1$ (extendida a los demás cuadrantes por simetría).
Prueba que $E'(0) = 0$ y, usando la clasificación local (Proposición 18.32), que la astroide tiene una cúspide de primera especie en $(1, 0)$ , y lo mismo en sus cuatro puntos sobre los ejes.
Calcula $\norm{E'(t)} = \tfrac32\abs{\sin 2t}$ y deduce que la longitud total de la astroide es $6$ .
¿Dónde toca la escalera a la astroide? Prueba que $E(t) = P_t + \sin^2 t\,(Q_t - P_t)$ : el punto de contacto divide la escalera en la razón $\sin^2 t : \cos^2 t$ , y la recorre de un extremo al otro a medida que la escalera resbala.
Calcula el área encerrada por la astroide: prueba que el área del primer cuadrante es $3\int_0^{\pi/2}\sin^4 t\cos^2 t\,\dd t$ , evalúa la integral por linealización ( $\sin^2 2t = \tfrac{1 - \cos 4t}2$ ) y concluye que el área total es $3\pi/8$ .

Parte III — La evoluta de la parábola. Sea $\gamma(t) = (t, t^2/2)$ .

Prueba que la recta normal en $\gamma(t)$ tiene ecuación $x + t\,y = t + t^3/2$ .
Ejecuta la máquina de envolventes: prueba que la envolvente de las normales es

$E(t) = \Bigl(-t^3,\ 1 + \tfrac32 t^2\Bigr),$

de ecuación implícita $x^2 = \tfrac8{27}(y - 1)^3$ : una parábola semicúbica.
Contrasta con la pregunta 4: calcula el centro de curvatura $\gamma(t) + \frac1{\kappa(t)}N(t)$ a partir de $\kappa(t) = (1 + t^2)^{-3/2}$ (Ejemplo 18.18) y recupera el mismo punto.
Prueba que la evoluta tiene una cúspide de primera especie en $(0, 1)$ , el centro de curvatura en el vértice: el punto donde $\kappa$ es extremal, como predice la fórmula $c' = -\frac{\kappa'}{\kappa^2}N$ del Ejercicio 18.6.
¿Cuántas normales de la parábola pasan por un punto dado $(x_0, y_0)$ ? Prueba que la respuesta la gobierna la cúbica $\tfrac{t^3}2 + (1 - y_0)\,t - x_0 = 0$ ; trata por completo el caso del eje $x_0 = 0$ (una normal para $y_0 < 1$ , tres para $y_0 > 1$ ) e interpreta la evoluta como la curva de transición.

Parte IV — La cáustica de la taza de café. Unos rayos paralelos de dirección $(1, 0)$ inciden sobre el interior de la circunferencia espejo $x^2 + y^2 = 1$ ; el rayo que llega a $P_\theta = (\cos\theta, \sin\theta)$ se refleja según la ley de la reflexión.

A partir de la simetría especular respecto de la normal (el radio), justifica que la dirección reflejada es $v = u - 2\langle u, n\rangle n$ con $u = (1,0)$ y $n = (\cos\theta, \sin\theta)$ , y calcula $v = -(\cos2\theta, \sin2\theta)$ .
Prueba que el rayo reflejado está sobre la recta

$x\sin 2\theta - y\cos 2\theta = \sin\theta .$
Ejecuta la máquina de envolventes ( $\Delta = 2$ ): prueba que la cáustica es

$E(\theta) = \Bigl(\tfrac{3\cos\theta - \cos3\theta}4,\ \tfrac{3\sin\theta - \sin3\theta}4\Bigr),$

la nefroide.
Calcula $E'(\theta) = \tfrac32\sin\theta\, (\cos2\theta, \sin2\theta)$ ; comprueba que la dirección tangente es la dirección del rayo reflejado (pregunta 16), localiza las dos cúspides $(\pm\tfrac12, 0)$ y prueba que el rayo reflejado corta el eje $y = 0$ en $x = \frac1{2\cos\theta}$ : los rayos casi axiales enfocan, pues, en $x = \tfrac12$ , la distancia focal $R/2$ de un espejo de radio $R$ .
Prueba que la nefroide tiene longitud total $6$ y que cerca de $\theta = 0$ ,

$E(\theta) - \bigl(\tfrac12, 0\bigr) = \bigl(\tfrac34\theta^2 + o(\theta^2),\ \theta^3 + o(\theta^3)\bigr) :$

una cúspide de primera especie, apuntando a lo largo del eje.
Explica en un párrafo por qué la cáustica es brillante: por cada punto justo fuera de la cáustica pasan dos rayos reflejados, y en cada punto de ella los rayos están “infinitamente concentrados” (la aplicación $(\theta, \text{distancia a lo largo del rayo}) \mapsto \R^2$ tiene un punto crítico exactamente sobre la envolvente).

Parte V — Huygens: la cicloide es su propia evoluta. Sea $\gamma(t) = (t - \sin t,\ 1 - \cos t)$ , $t \in \intoo0{2\pi}$ , un arco de cicloide.

Calcula $\kappa(t) = -\dfrac1{4\sin(t/2)}$ y el centro de curvatura; prueba que la evoluta es

$c(t) = (t + \sin t,\ \cos t - 1),$

y que la sustitución $t = u + \pi$ la exhibe como la cicloide original trasladada por $(\pi, -2)$ : la evoluta de una cicloide es una cicloide congruente (Huygens).
Comprueba que el radio de curvatura en el ápice $t = \pi$ vale $4$ , la mitad de la longitud $8$ de un arco (Ejercicio 18.1); localiza la cúspide de la evoluta directamente bajo el ápice, a distancia $4$ .
(La propiedad del hilo) Sea $\gamma$ de rapidez unidad con $\kappa > 0$ , $\kappa$ de clase $\mathcal C^1$ y $R = 1/\kappa$ estrictamente monótona. Usando $c' = R'N$ , prueba que la longitud de arco de la evoluta entre $c(s_0)$ y $c(s_1)$ vale $\abs{R(s_1) - R(s_0)}$ . Interpretación: un hilo tenso desenrollado de la evoluta, de longitud $R(s_0)$ al principio, hace que su extremo libre trace la curva original; de ahí que un péndulo que oscile entre dos mejillas cicloidales del reloj de Huygens describa una cicloide.
Síntesis. La máquina de la parte I produjo la astroide, una parábola semicúbica, una nefroide y una cicloide. Para cada una de las cuatro familias, indica en una frase dónde se cumplieron o fallaron las hipótesis $\Delta \neq 0$ y $E' \neq 0$ , y qué acontecimiento geométrico (cúspide, foco, degeneración) señalaba cada fallo de $E' \neq 0$ . ¿Dónde han de aparecer los extremos de la curvatura sobre la envolvente de las normales, y por qué?

Solución

Solución de Problema 18.1.

1. El sistema es lineal en $(x, y)$ con determinante $\Delta(t) = a b' - a'b \neq 0$ : la regla de Cramer da la única solución

x = \frac{c b' - c' b}{\Delta}, \qquad y = \frac{a c' - a' c}{\Delta}.

2. Como $a(t)x(t) + b(t)y(t) = c(t)$ idénticamente, derivar da $a'x + b'y + ax' + by' = c'$ ; la segunda ecuación característica mata $a'x + b'y - c'$ , luego $a(t)x'(t) + b(t)y'(t) = 0$ : $E'(t)$ es ortogonal a $(a, b)$ y, por tanto, paralelo a $(-b, a)$ , la dirección de $D_t$ . Como $E(t) \in D_t$ (primera ecuación) y $E'(t) \neq 0$ , la recta $D_t$ es exactamente la recta tangente de la curva $E$ en $E(t)$ .

3. Aquí $(a, b, c) = (t, -1, t^2/2)$ , luego $\Delta = t\cdot0 - 1\cdot(-1) = 1$ y

x = \frac{c b' - c' b}{\Delta} = \tfrac{t^2}2\cdot 0 + t = t, \qquad y = \frac{a c' - a' c}{\Delta} = t\cdot t - \tfrac{t^2}2 = \tfrac{t^2}2 :

la envolvente de las rectas tangentes de la parábola es la parábola, como debía ser.

4. La recta normal es $\langle M, T(s)\rangle = \langle\gamma(s), T(s)\rangle$ : coeficientes $a = T_1$ , $b = T_2$ , $c = \langle\gamma, T\rangle$ . Derivando con Frenet ( $T' = \kappa N$ ): $a' = \kappa N_1$ , $b' = \kappa N_2$ y $c' = \langle T, T\rangle + \langle\gamma, \kappa N\rangle = 1 + \kappa\langle\gamma, N\rangle$ . La segunda ecuación característica $\kappa\langle M, N\rangle = 1 + \kappa\langle\gamma, N\rangle$ se lee $\kappa\langle M - \gamma, N\rangle = 1$ . La primera dice que $M - \gamma \perp T$ , así que $M - \gamma = \mu N$ con $\mu = 1/\kappa$ : el punto característico es $\gamma + \frac1\kappa N$ , el centro de curvatura, y la envolvente de las normales es la evoluta del Ejercicio 18.6. Por último, $\Delta = T_1\kappa N_2 - \kappa N_1 T_2 = \kappa\det(T, N) = \kappa \neq 0$ .

5. Haz: el sistema $x\cos\theta + y\sin\theta = 0$ , $-x\sin\theta + y\cos\theta = 0$ tiene determinante $1$ y solución $(0,0)$ para todo $\theta$ : $E \equiv (0,0)$ , $E' \equiv 0$ , y no hay curva alguna, sino el mero punto común de todas las rectas. Familia paralela: $a' = b' = 0$ da $\Delta \equiv 0$ y la segunda ecuación $0 = c'(t)$ , que falla en cuanto la familia se mueve de verdad: no hay punto característico y, en efecto, una familia de rectas paralelas no toca ninguna curva a lo largo de todos sus miembros.

6. La recta que pasa por $(\cos t, 0)$ y $(0, \sin t)$ es $\frac x{\cos t} + \frac y{\sin t} = 1$ , es decir, $x\sin t + y\cos t = \sin t\cos t$ . Con $(a, b, c) = (\sin t, \cos t, \sin t\cos t)$ : $a' = \cos t$ , $b' = -\sin t$ , $c' = \cos 2t$ , $\Delta = -\sin^2 t - \cos^2 t = -1$ . Cramer:

\begin{align*} x &= \frac{cb' - c'b}{-1} = \sin^2 t\cos t + \cos 2t\cos t = \cos t\,(\sin^2 t + \cos^2 t - \sin^2 t) = \cos^3 t,\\ y &= \frac{ac' - a'c}{-1} = \sin t\cos^2 t - \sin t\cos 2t = \sin t\,(\cos^2 t - \cos^2 t + \sin^2 t) = \sin^3 t . \end{align*}

Y $(\cos^3t)^{2/3} + (\sin^3t)^{2/3} = 1$ : la astroide.

7. $E'(t) = 3(-\cos^2 t\sin t,\ \sin^2 t\cos t)$ se anula en $t = 0$ . Allí, $E''(0) = (-3, 0) \neq 0$ da $p = 2$ ; la componente $x$ de $E$ es par en $t$ , así que $E'''(0) = (0, 6)$ , no colineal: $q = 3$ . Par-impar: cúspide de primera especie en $(1, 0)$ (Proposición 18.32), con tangente a lo largo del eje $x$ . Las simetrías $x \mapsto -x$ , $y \mapsto -y$ y $(x, y) \mapsto (y, x)$ de la astroide transportan la cúspide a $(-1, 0)$ y a $(0, \pm1)$ .

8. $E'(t) = 3\sin t\cos t\,(-\cos t, \sin t)$ , luego $\norm{E'(t)} = 3\abs{\sin t\cos t} = \tfrac32\abs{\sin 2t}$ . Un cuadrante: $\int_0^{\pi/2}\tfrac32\sin 2t\,\dd t = \tfrac32$ , y por simetría la longitud total es $4 \cdot \tfrac32 = 6$ .

9. $E(t) - P_t = (\cos^3 t - \cos t,\ \sin^3 t) = \sin^2 t\,(-\cos t,\ \sin t) = \sin^2 t\,(Q_t - P_t)$ . Así pues, el punto de contacto es el baricentro de $(P_t, \cos^2 t)$ y $(Q_t, \sin^2 t)$ : cuando $t$ recorre de $0$ a $\pi/2$ , se desliza del extremo del suelo al extremo de la pared de la escalera.

10. En el primer cuadrante, la región bajo la astroide tiene área $\int_0^1 y\,\dd x$ , con $x = \cos^3 t$ decreciendo de $1$ a $0$ cuando $t$ va de $0$ a $\pi/2$ :

\int_0^1 y\,\dd x = \int_{\pi/2}^{0}\sin^3 t\,(-3\cos^2 t\sin t)\,\dd t = 3\int_0^{\pi/2}\sin^4 t\cos^2 t\,\dd t .

Linealícese: $\sin^4 t\cos^2 t = (\sin t\cos t)^2\sin^2 t = \tfrac18\bigl(\sin^2 2t - \sin^2 2t\cos 2t\bigr)$ , y $\int_0^{\pi/2}\sin^2 2t\,\dd t = \tfrac\pi4$ , mientras que $\int_0^{\pi/2}\sin^2 2t\cos 2t\,\dd t = \bigl[\tfrac{\sin^3 2t}6\bigr]_0^{\pi/2} = 0$ . La integral vale, pues, $\tfrac\pi{32}$ , el área del cuadrante $\tfrac{3\pi}{32}$ y el área encerrada $4 \cdot \tfrac{3\pi}{32} = \tfrac{3\pi}8$ .

11. La tangente en $\gamma(t) = (t, t^2/2)$ tiene dirección $(1, t)$ , de modo que la recta normal es $\{(x, y) : (x - t) + t\,(y - t^2/2) = 0\}$ , es decir, $x + t\,y = t + \tfrac{t^3}2$ .

12. $(a, b, c) = (1, t, t + t^3/2)$ : $a' = 0$ , $b' = 1$ , $c' = 1 + \tfrac32 t^2$ , $\Delta = 1$ . Entonces $y = ac' - a'c = 1 + \tfrac32t^2$ y

x = cb' - c'b = t + \tfrac{t^3}2 - t\Bigl(1 + \tfrac32t^2\Bigr) = -t^3 .

Eliminando $t$ : $t^2 = \tfrac23(y - 1)$ y $x^2 = t^6 = \tfrac8{27}(y - 1)^3$ : una parábola semicúbica de vértice $(0, 1)$ .

13. $T = (1, t)/\sqrt{1+t^2}$ , $N = (-t, 1)/\sqrt{1+t^2}$ y $\kappa = (1+t^2)^{-3/2}$ , luego

\gamma + \frac1\kappa N = (t, \tfrac{t^2}2) + (1+t^2)\,(-t, 1) = \Bigl(-t^3,\ 1 + \tfrac32t^2\Bigr),

la misma curva: la envolvente de las normales es el lugar de los centros de curvatura, como prometía la pregunta 4.

14. $E'(t) = (-3t^2, 3t)$ se anula en $t = 0$ ; $E''(0) = (0, 3) \neq 0$ da $p = 2$ , y $E'''(0) = (-6, 0)$ da $q = 3$ : una cúspide de primera especie en $(0, 1)$ . El vértice es donde $\kappa = (1+t^2)^{-3/2}$ es máxima, así que $\kappa'(0) = 0$ y la velocidad de la evoluta $-\frac{\kappa'}{\kappa^2}N$ se anula justo ahí: las cúspides de la evoluta se sitúan en los extremos de la curvatura.

15. La normal de parámetro $t$ pasa por $(x_0, y_0)$ si y solo si $x_0 + t\,y_0 = t + \tfrac{t^3}2$ , es decir,

\frac{t^3}2 + (1 - y_0)\,t - x_0 = 0 ,

una cúbica en $t$ : una o tres raíces reales (contadas sin multiplicidad, para puntos genéricos). Sobre el eje $x_0 = 0$ se factoriza como $t\bigl(\tfrac{t^2}2 + 1 - y_0\bigr) = 0$ : la raíz $t = 0$ (el eje es la normal en el vértice), más $t = \pm\sqrt{2(y_0 - 1)}$ cuando $y_0 > 1$ . Así pues: una normal para $y_0 < 1$ , tres para $y_0 > 1$ , y en $y_0 = 1$ la raíz triple marca la cúspide de la evoluta. En general, una raíz doble de la cúbica significa que el punto satisface a la vez la ecuación de la recta y su derivada respecto de $t$ : está sobre la envolvente; la evoluta es precisamente la frontera entre las regiones de una y de tres normales.

16. La reflexión en el espejo invierte la componente normal de la dirección y conserva la tangencial: escribiendo $u = \langle u, n\rangle n + u_{\mathrm{tan}}$ , la dirección reflejada es $u_{\mathrm{tan}} - \langle u, n\rangle n = u - 2\langle u, n\rangle n$ . Aquí $\langle u, n\rangle = \cos\theta$ , luego

v = (1, 0) - 2\cos\theta\,(\cos\theta, \sin\theta) = (1 - 2\cos^2\theta,\ -2\sin\theta\cos\theta) = -(\cos2\theta,\ \sin2\theta).

17. El rayo reflejado pasa por $P_\theta = (\cos\theta, \sin\theta)$ con dirección $(\cos2\theta, \sin2\theta)$ ; un vector normal es $(-\sin2\theta, \cos2\theta)$ , de modo que la recta es

-\sin2\theta\,(x - \cos\theta) + \cos2\theta\,(y - \sin\theta) = 0,

y la constante es $-\sin2\theta\cos\theta + \cos2\theta\sin\theta = -\sin\theta$ : multiplicando por $-1$ , $x\sin2\theta - y\cos2\theta = \sin\theta$ .

18. $(a, b, c) = (\sin2\theta, -\cos2\theta, \sin\theta)$ : $a' = 2\cos2\theta$ , $b' = 2\sin2\theta$ , $c' = \cos\theta$ , $\Delta = 2\sin^22\theta + 2\cos^22\theta = 2$ . Cramer y después las fórmulas de producto a suma:

\begin{align*} x &= \frac{2\sin\theta\sin2\theta + \cos\theta\cos2\theta}{2} = \frac{(\cos\theta - \cos3\theta) + \frac12(\cos\theta + \cos3\theta)}{2} = \frac{3\cos\theta - \cos3\theta}4,\\ y &= \frac{\sin2\theta\cos\theta - 2\cos2\theta\sin\theta}2 = \frac{\frac12(\sin3\theta + \sin\theta) - (\sin3\theta - \sin\theta)}2 = \frac{3\sin\theta - \sin3\theta}4 : \end{align*}

la nefroide, una curva cerrada con dos cúspides.

19. Derivando y factorizando con $\sin3\theta - \sin\theta = 2\cos2\theta\sin\theta$ y $\cos\theta - \cos3\theta = 2\sin2\theta\sin\theta$ :

E'(\theta) = \tfrac34\bigl(\sin3\theta - \sin\theta,\ \cos\theta - \cos3\theta\bigr) = \tfrac32\sin\theta\,(\cos2\theta, \sin2\theta),

paralelo a la dirección reflejada de la pregunta 16: cada rayo reflejado es tangente a la cáustica, como exige la propiedad de envolvente. $E' = 0$ exactamente cuando $\sin\theta = 0$ : $E(0) = (\tfrac12, 0)$ y $E(\pi) = (-\tfrac12, 0)$ , las dos cúspides. Poniendo $y = 0$ en la ecuación de la recta: $x\sin2\theta = \sin\theta$ , luego $x = \frac1{2\cos\theta} \to \frac12$ cuando $\theta \to 0$ : los rayos paraxiales enfocan a distancia $R/2$ del centro, la distancia focal del espejo esférico.

20. $\norm{E'(\theta)} = \tfrac32\abs{\sin\theta}$ , así que la longitud es $\tfrac32\int_0^{2\pi}\abs{\sin\theta}\, \dd\theta = \tfrac32\cdot4 = 6$ . Cerca de $\theta = 0$ , con $\cos k\theta = 1 - \tfrac{k^2\theta^2}2 + O(\theta^4)$ y $\sin k\theta = k\theta - \tfrac{k^3\theta^3}6 + O(\theta^5)$ :

x - \tfrac12 = \frac{3\theta^2 + O(\theta^4)}{4} = \tfrac34\theta^2 + O(\theta^4), \qquad y = \frac{4\theta^3 + O(\theta^5)}{4} = \theta^3 + O(\theta^5) :

$p = 2$ , $q = 3$ , una cúspide de primera especie apuntando a lo largo del eje: el punto brillante de la cáustica de la taza de café.

21. Parametrícense los puntos iluminados mediante $\Phi(\theta, r) = P_\theta + r\,v_\theta$ (la posición a lo largo de cada rayo reflejado). El determinante jacobiano $\det(\partial_\theta\Phi, \partial_r\Phi) = \det(P_\theta' + rv_\theta', v_\theta)$ es afín en $r$ y se anula para exactamente un $r = r_*(\theta)$ ; y $\Phi(\theta, r_*(\theta))$ es el punto característico, pues ahí la dirección del rayo y la variación de la familia se vuelven dependientes. Fuera de la envolvente, la aplicación es un difeomorfismo local, y un punto justo dentro de la cáustica recibe dos rayos próximos (dos soluciones $\theta$ ), y uno de fuera, ninguno de esa parte de la familia; sobre la cáustica, los dos se funden. La intensidad luminosa es inversamente proporcional al valor absoluto del jacobiano, de modo que estalla a lo largo de la envolvente: la cáustica es la curva brillante, y lo es aún más en la cúspide, donde la degeneración es peor.

22. $x' = 1 - \cos t$ , $y' = \sin t$ , $x'' = \sin t$ , $y'' = \cos t$ , luego $x'y'' - y'x'' = \cos t - 1$ y $\norm{\gamma'}^2 = 2(1 - \cos t) = 4\sin^2\tfrac t2$ ; por la Proposición 18.17,

\kappa(t) = \frac{-(1 - \cos t)}{8\sin^3\tfrac t2} = \frac{-2\sin^2\tfrac t2}{8\sin^3\tfrac t2} = -\frac1{4\sin\tfrac t2} \qquad (0 < t < 2\pi).

Con $T = (\sin\tfrac t2, \cos\tfrac t2)$ (divídase $\gamma'$ entre $2\sin\tfrac t2$ ) y $N = (-\cos\tfrac t2, \sin\tfrac t2)$ :

\gamma + \frac1\kappa N = \gamma - 4\sin\tfrac t2\,\Bigl(-\cos\tfrac t2,\ \sin\tfrac t2\Bigr) = \bigl(t - \sin t + 2\sin t,\ 1 - \cos t - 2(1 - \cos t)\bigr),

es decir, $c(t) = (t + \sin t,\ \cos t - 1)$ . Sustituyendo $t = u + \pi$ :

c = \bigl(u + \pi - \sin u,\ -\cos u - 1\bigr) = \bigl((u - \sin u) + \pi,\ (1 - \cos u) - 2\bigr) :

la cicloide $\gamma(u)$ trasladada por $(\pi, -2)$ . La evoluta de una cicloide es una cicloide congruente, colgada un nivel más abajo.

23. $R(t) = 1/\abs{\kappa(t)} = 4\sin\tfrac t2$ , así que $R(\pi) = 4$ : la mitad de la longitud $8$ del arco calculada en el Ejercicio 18.1. La velocidad de la evoluta $c'(t) = (1 + \cos t, -\sin t)$ se anula en $t = \pi$ : la cúspide es $c(\pi) = (\pi, -2)$ , directamente bajo el ápice $\gamma(\pi) = (\pi, 2)$ , a distancia $4 = R(\pi)$ , exactamente la longitud del radio osculador allí.

24. Por el Ejercicio 18.6, $c'(s) = -\frac{\kappa'(s)}{\kappa(s)^2}N(s) = R'(s)\,N(s)$ , luego $\norm{c'(s)} = \abs{R'(s)}$ y, para $R$ monótona,

\int_{s_0}^{s_1}\norm{c'(s)}\,\dd s = \Bigl|\int_{s_0}^{s_1}R'(s)\,\dd s\Bigr| = \abs{R(s_1) - R(s_0)} .

Digamos que $R$ decrece. Un hilo tendido a lo largo de la evoluta más allá de $c(s_0)$ y prolongado por el segmento de $c(s_0)$ a $\gamma(s_0)$ (tangente a la evoluta, por la pregunta 4) tiene, al despegarlo hasta $c(s)$ y tensarlo, una parte recta de longitud $R(s_0) - \bigl(R(s_0) - R(s)\bigr) = R(s)$ que apunta desde $c(s)$ a lo largo de la normal, y aterriza exactamente en $\gamma(s)$ : el extremo libre traza la curva original (la “involuta”). Huygens colgó un péndulo entre dos mejillas cicloidales: la cuerda se enrolla sobre la evoluta, así que la lenteja describe una cicloide, la tautócrona, cuyo periodo de oscilación no depende de la amplitud.

25. Tangentes de la parábola: $\Delta = 1$ y $E' = (1, t) \neq 0$ en todas partes; envolvente regular (la propia parábola). Escalera que resbala: $\Delta = -1$ , pero $E' = \tfrac32\sin 2t\, (-\cos t, \sin t)$ se anula en los extremos de los cuadrantes: las cuatro cúspides de la astroide. Normales de la parábola y de la cicloide: $\Delta = \kappa \neq 0$ , y $E' = R'N$ se anula exactamente donde la curvatura es extremal: las cúspides de las evolutas en $(0,1)$ y $(\pi, -2)$ . Cáustica: $\Delta = 2$ , y $E' = \tfrac32\sin\theta\,(\cos2\theta, \sin2\theta)$ se anula en $\theta = 0, \pi$ : las dos cúspides de la nefroide, los puntos focales del espejo. Los extremos de la curvatura tienen que producir cúspides en la envolvente de las normales, pues la velocidad de la evoluta es $R'N$ : por eso la evoluta de la elipse tiene cuatro cúspides (cuatro vértices), y las familias degeneradas (haz, paralelas) son los casos en que la máquina devuelve un punto o directamente nada.

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