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Matemáticas · 术语表

什么是 Mínimo común múltiplo？

Definición 6.10 Matemáticas universitarias — Grado 1 · 第 6 章 — Aritmética de los enteros

$\operatorname{lcm}(a, b)$ es el generador en $\N$ del subgrupo $a\Z \cap b\Z$ : es un múltiplo común de $a$ y $b$ que divide a todo múltiplo común y, para $a, b \in \N^*$ ,

\gcd(a,b) \times \operatorname{lcm}(a,b) = ab \qquad (\text{demostración en el } \text{Ejercicio 6.5}).

示例

Ejemplo 6.11 (Los problemas de coincidencia son problemas de mcm)

Dos ruedas dentadas engranadas tienen $84$ y $36$ dientes. ¿Tras cuántos dientes de movimiento común vuelven las dos a su posición inicial? La configuración se repite cuando el número de dientes transcurridos es un múltiplo común de $84$ y $36$ ; la primera vez es

\operatorname{lcm}(84, 36) = \frac{84 \times 36}{\gcd(84, 36)} = \frac{3024}{12} = 252

dientes — es decir, $3$ vueltas de la rueda grande y $7$ de la pequeña ( $252/84$ y $252/36$ ). Obsérvese la vía práctica: calcúlese primero el mcd (Euclides: $84 = 2\times36 + 12$ , $36 = 3\times12$ ) y divídase después — nunca se construya el mcm enumerando múltiplos. Toda cuestión de coincidencias periódicas (engranajes, alineaciones planetarias, decimales periódicos que se encuentran) se reduce a este único cálculo.

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