Matemáticas universitarias — Grado 3 · Bachelor Year 3

12Los espacios Lp

La integral de Lebesgue se construyó para el análisis; los espacios $L^p$ son el lugar donde ese análisis vive. Son espacios de Banach (Riesz–Fischer) — los completados que, según el Ejercicio 7.1, les faltaban a las funciones continuas — y admiten una tecnología de suavizado, la convolución contra núcleos regularizantes, que aproxima cualquier función de $L^p$ por funciones $\mathcal C^\infty$ . Este capítulo demuestra las versiones integrales de Hölder y Minkowski, la completitud, los teoremas de densidad y la máquina de regularización, y termina con la geografía de inclusiones e interpolación de la escala $L^p$ . En todo el capítulo, $(X, \mathcal A, \mu)$ es un espacio de medida y las funciones toman valores complejos; sobre $\R^d$ , la medida es $\lambda_d$ .

12.1 Definición; Hölder y Minkowski

Definición 12.1

Para $1 \leq p < \infty$ , $\mathcal L^p(\mu)$ es el conjunto de las $f$ medibles con $\norm f_p = \bigl(\int\abs f^p\dd\mu\bigr)^{1/p} < \infty$ , y $\mathcal L^\infty(\mu)$ el conjunto de las $f$ acotadas fuera de un conjunto nulo, con $\norm f_\infty$ el supremo esencial — el menor $M$ con $\abs f \leq M$ en casi todo punto (el ínfimo se alcanza: interséquense los conjuntos nulos correspondientes a $M + \frac1n$ ). Como $\norm f_p = 0$ solo obliga a $f = 0$ en casi todo punto (el Ejercicio 10.5), definimos

L^p(\mu) = \mathcal L^p(\mu)/\{f = 0 \text{ en casi todo punto}\} :

sus elementos son clases de funciones módulo conjuntos nulos, y $\norm\cdot_p$ es una norma genuina sobre $L^p$ .

Teorema 12.2 (Desigualdad de Hölder)

Sean $1 \leq p, q \leq \infty$ con $\frac1p + \frac1q = 1$ (exponentes conjugados). Para $f, g$ medibles:

\norm{fg}_1 \leq \norm f_p\,\norm g_q ,

con igualdad (para $1 < p < \infty$ , normas finitas y $f,g\ne0$ ) si y solo si $\abs f^p$ y $\abs g^q$ son proporcionales en casi todo punto.

Demostración. Los casos $\{p, q\} = \{1, \infty\}$ son directos ( $\abs{fg} \leq \norm g_\infty\abs f$ en casi todo punto). Sea $1 < p < \infty$ ; normalícese $\norm f_p = \norm g_q = 1$ (homogeneidad; las normas nulas o infinitas son triviales). La desigualdad de Young $ab \leq \frac{a^p}p + \frac{b^q}q$ ( $a, b \geq 0$ ; concavidad de $\ln$ , como en el Problema 8.1) da puntualmente $\abs{f g} \leq \frac{\abs f^p}p + \frac{\abs g^q}q$ ; intégrese: $\norm{fg}_1 \leq \frac1p + \frac1q = 1$ . La igualdad obliga a la igualdad en casi todo punto en Young, es decir, $\abs f^p = \abs g^q$ en casi todo punto (tras la normalización; deshaciéndola, la proporcionalidad). ∎

Teorema 12.3 (Desigualdad de Minkowski)

Para $1 \leq p \leq \infty$ : $\norm{f + g}_p \leq \norm f_p + \norm g_p$ .

Demostración. $p = 1, \infty$ : desigualdad triangular puntual (o en casi todo punto). Para $1 < p < \infty$ , supóngase $\norm{f+g}_p < \infty$ (si no, úsese $\abs{f+g}^p \leq 2^{p-1}(\abs f^p + \abs g^p)$ , que se sigue de la convexidad de $t^p$ , para ver que el miembro izquierdo es finito cuando lo es el derecho). Entonces

\norm{f{+}g}_p^p \leq \int\abs f\,\abs{f{+}g}^{p-1} + \int\abs g\,\abs{f{+}g}^{p-1} \leq \bigl(\norm f_p + \norm g_p\bigr)\, \bigl\|\abs{f{+}g}^{p-1}\bigr\|_q

por Hölder, y $\norm{\abs{f+g}^{p-1}}_q = \norm{f+g}_p^{p/q}$ porque $(p-1)q = p$ ; divídase por $\norm{f+g}_p^{p/q}$ (si no es nulo; si lo es, es trivial) y úsese $p - \frac pq = 1$ . ∎

12.2 Completitud y sus compañeros

Teorema 12.4 (Riesz–Fischer)

Para $1 \leq p \leq \infty$ , $L^p(\mu)$ es un espacio de Banach. Además, toda sucesión convergente en $L^p$ tiene una subsucesión convergente en casi todo punto (con un dominador en $L^p$ si $p < \infty$ ).

Demostración. $p = \infty$ : una sucesión de Cauchy para $\norm\cdot_\infty$ es, fuera de un único conjunto nulo (unión de una cantidad numerable), uniformemente de Cauchy: converge uniformemente fuera de él; listo. Sea $p < \infty$ . Por el Ejercicio 7.1(b) basta sumar series absolutamente convergentes: sea $\sum\norm{f_k}_p = M < \infty$ . Póngase $G_n = \sum_{k \leq n}\abs{f_k}$ y $G = \sum_k\abs{f_k}$ (puntualmente en $[0,\infty]$ ): por Minkowski $\norm{G_n}_p \leq M$ , y la convergencia monótona ( $G_n^p \nearrow G^p$ ) da $\int G^p \leq M^p$ : $G < \infty$ en casi todo punto, de modo que la serie $\sum f_k(x)$ converge absolutamente para casi todo $x$ ; llámese $S(x)$ a la suma (con cualquier valor sobre el conjunto nulo). Entonces $\abs{S - \sum_{k\leq n}f_k}^p \leq (2G)^p \in L^1$ , y la convergencia dominada da $\norm{S - \sum_{k\leq n}f_k}_p \to 0$ : la serie converge en $L^p$ .

El enunciado sobre subsucesiones: si $f_n \to f$ en $L^p$ , tómense $n_k$ con $\norm{f_{n_{k+1}} - f_{n_k}}_p \leq 2^{-k}$ ; la serie $\sum(f_{n_{k+1}} - f_{n_k})$ cae bajo el argumento anterior: converge absolutamente en casi todo punto, dominada por una $G \in L^p$ , de modo que $f_{n_k} \to f_{n_1} + \sum(\cdots)$ en casi todo punto, y ese límite ha de ser (un representante de) $f$ (ambos son límites en $L^p$ ). El dominador: $\abs{f_{n_k}} \leq \abs{f_{n_1}} + G$ . ∎

Observación 12.5

La convergencia en $L^p$ no implica la convergencia en casi todo punto (la sucesión de la máquina de escribir, el Ejercicio 12.3), ni al revés (jorobas fugitivas): los dos modos solo están ligados a través de subsucesiones y de la dominación. Tener presentes los contraejemplos del Ejercicio 12.3 es la mejor vacuna.

12.3 Teoremas de densidad

Teorema 12.6

Sea $1 \leq p < \infty$ .

Las funciones simples (con soportes de medida finita) son densas en $L^p(\mu)$ .
En $L^p(\R^d)$ , las funciones continuas de soporte compacto $\mathcal C_c(\R^d)$ son densas.
La traslación es continua en $L^p(\R^d)$ : escribiendo $\tau_hf = f(\cdot - h)$ , $\norm{\tau_hf - f}_p \to 0$ cuando $h \to 0$ .

Ninguno de los tres se cumple para $p = \infty$ .

Demostración. (1) Para $f \geq 0$ : las $s_n \nearrow f$ diádicas del Teorema 10.4 cumplen $\abs{f - s_n}^p \leq f^p \in L^1$ : convergencia dominada. (Cada $s_n \leq f$ está en $L^p$ , y sus conjuntos de nivel tienen medida finita allí donde el valor es positivo: $\mu(s_n \geq c) \leq c^{-p}\int f^p$ .) Descompóngase una $f$ general en cuatro partes no negativas.

(2) Por (1) basta aproximar $\mathbf 1_A$ con $A$ de Borel y $\lambda_d(A) < \infty$ . La regularidad (demostración como en el Teorema 9.13) da compacto $K \subseteq A \subseteq U$ abierto con $\lambda_d(U\setminus K) < \varepsilon$ ; la función de Urysohn

\varphi(x) = \frac{d(x, \R^d\setminus U)}{d(x, \R^d\setminus U) + d(x, K)}

es continua, vale $1$ sobre $K$ y $0$ fuera de $U$ , y puede tomarse de soporte compacto (redúzcase primero $U$ a un abierto acotado). Entonces $\norm{\mathbf 1_A - \varphi}_p^p \leq \lambda_d(U\setminus K) < \varepsilon$ .

(3) Para $g \in \mathcal C_c$ : la continuidad uniforme da $\norm{\tau_hg - g}_\infty \to 0$ , con soportes en un compacto fijo para $\abs h \leq 1$ : $\norm{\tau_hg - g}_p \to 0$ . Para $f$ general: tómese $g \in \mathcal C_c$ con $\norm{f - g}_p < \varepsilon$ ; entonces $\norm{\tau_hf - f}_p \leq 2\norm{f - g}_p + \norm{\tau_hg - g}_p$ (invariancia por traslaciones de la norma).

Para $p = \infty$ : la aproximación uniforme de $\mathbf 1_{\intoo0\infty}$ por funciones continuas es imposible (el salto), y $\norm{\tau_h\mathbf 1_{\intoo0\infty} - \mathbf 1_{\intoo0\infty}}_\infty = 1$ para $h \neq 0$ . ∎

12.4 Convolución y regularización

Teorema 12.7 (Desigualdad de Young)

Sean $1 \leq p \leq \infty$ , $f \in L^1(\R^d)$ , $g \in L^p(\R^d)$ . Entonces $f * g$ está definida en casi todo punto, pertenece a $L^p$ y

\norm{f * g}_p \leq \norm f_1\,\norm g_p .

Demostración. $p = \infty$ : cota directa. $p = 1$ : el Teorema 11.9. Sean $1 < p < \infty$ y $q$ conjugados. Descompóngase $\abs{f(y)} = \abs{f(y)}^{1/q}\cdot \abs{f(y)}^{1/p}$ y aplíquese Hölder:

\int\abs{f(y)}\,\abs{g(x{-}y)}\,\dd y \leq \Bigl(\int\abs f\Bigr)^{1/q} \Bigl(\int\abs{f(y)}\,\abs{g(x - y)}^p\,\dd y\Bigr)^{1/p} .

Elévese a la potencia $p$ e intégrese en $x$ ; Tonelli sobre el segundo factor da $\norm f_1^{p/q}\cdot\norm f_1\norm g_p^p$ , es decir, $\norm{f*g}_p^p \leq \norm f_1^{1 + p/q}\norm g_p^p = (\norm f_1\norm g_p)^p$ — y la finitud de la integral de Tonelli justifica la convergencia absoluta en casi todo punto, igual que en Teorema 11.9. ∎

Definición 12.8 (Núcleos regularizantes)

La función

\rho(x) = \begin{cases} c\,\exp\Bigl(-\dfrac{1}{1 - \norm x^2}\Bigr) & \norm x < 1,\\ 0 & \norm x \geq 1, \end{cases}

con $c$ normalizando $\int\rho = 1$ , es $\mathcal C^\infty$ en $\R^d$ : la clave es que $t \mapsto \eu^{-1/t}\mathbf 1_{t>0}$ es $\mathcal C^\infty$ en $\R$ , con todas sus derivadas nulas en $0^+$ , iguales a $0$ (cada derivada es $P(1/t)\eu^{-1/t}$ para cierto polinomio $P$ , que tiende a $0$ ; inducción). Para $\varepsilon > 0$ , póngase $\rho_\varepsilon(x) = \varepsilon^{-d}\rho(x/\varepsilon)$ : de soporte en $\bar B(0, \varepsilon)$ y todavía de integral $1$ .

Teorema 12.9 (Regularización)

Sean $1 \leq p < \infty$ y $f \in L^p(\R^d)$ . Entonces:

$f * \rho_\varepsilon \in \mathcal C^\infty(\R^d)$ , con $\partial^\alpha(f * \rho_\varepsilon) = f * \partial^\alpha\rho_\varepsilon$ ;
$\norm{f * \rho_\varepsilon - f}_p \to 0$ cuando $\varepsilon \to 0$ ;
en consecuencia, $\mathcal C^\infty_c(\R^d)$ es denso en $L^p(\R^d)$ .

Demostración. (1) Derivación bajo el signo integral (el Teorema 10.15) en $x$ : para $x$ en una bola $B$ , $\abs{\partial_{x_i}\rho_\varepsilon(x - y)} \leq C_\varepsilon\,\mathbf 1_{K}(y)$ con $K$ compacto ( $y$ a distancia $\varepsilon$ de $B$ ), y $\abs f\,\mathbf 1_K \in L^1$ (Hölder contra $\mathbf 1_K$ ): el teorema se aplica; itérese para las derivadas de orden superior.

(2) Como $\int\rho_\varepsilon = 1$ :

(f * \rho_\varepsilon)(x) - f(x) = \int \bigl(f(x - y) - f(x)\bigr)\rho_\varepsilon(y)\,\dd y ,

y la desigualdad integral de Minkowski — o directamente: Hölder o Jensen con la medida de probabilidad $\rho_\varepsilon\dd y$ , y Tonelli —

\norm{f*\rho_\varepsilon - f}_p^p \leq \int\Bigl(\int\abs{f(x-y) - f(x)}^p\dd x\Bigr)\rho_\varepsilon(y)\,\dd y = \int \norm{\tau_yf - f}_p^p\;\rho_\varepsilon(y)\,\dd y

(el paso intermedio: aplíquese la desigualdad de Jensen, el Ejercicio 12.10, a la integral interior en $y$ , y después Tonelli). El integrando tiene soporte en $\norm y \leq \varepsilon$ y tiende allí a $0$ uniformemente cuando $\varepsilon \to 0$ (el Teorema 12.6(3)): toda la expresión tiende a $0$ .

(3) Aproxímese $f$ por $g \in \mathcal C_c$ (el Teorema 12.6(2)) y después $g$ por $g * \rho_\varepsilon \in \mathcal C_c^\infty$ (soporte compacto: suma de soportes). ∎

Ejemplo 12.10 (Regularizar $\abs x$ , con velocidades)

Tómese $f(x) = \abs x$ en $\R$ (localmente $L^1$ ; el teorema se aplica en toda ventana acotada) y un núcleo regularizante simétrico $\rho_\varepsilon$ . Entonces

f_\varepsilon(x) = (f * \rho_\varepsilon)(x) = \int\abs{x - y}\,\rho_\varepsilon(y)\,\dd y

es $\mathcal C^\infty$ ; lejos del pico no pasa nada: para $\abs x \geq \varepsilon$ , $\abs{x - y}$ es lineal en $x$ sobre el soporte de $\rho_\varepsilon$ , luego $f_\varepsilon(x) = \abs x$ exactamente (la simetría anula la corrección). Cerca de $0$ , el suavizado cuesta exactamente

0 \leq f_\varepsilon(0) = \int\abs y\,\rho_\varepsilon(y)\,\dd y \leq \varepsilon, \qquad \norm{f_\varepsilon - f}_\infty \leq \varepsilon :

el error de aproximación queda confinado al entorno de tamaño $\varepsilon$ de la singularidad y es de su tamaño. Entretanto $f_\varepsilon'' \geq 0$ en todas partes ( $f$ es convexa, y la convolución contra $\rho_\varepsilon \geq 0$ conserva la convexidad), con $\int f_\varepsilon'' = f_\varepsilon'(\infty) - f_\varepsilon'(-\infty) = 2$ : la derivada segunda es una joroba de masa $2$ comprimida en una anchura $O(\varepsilon)$ , de modo que $\norm{f_\varepsilon''}_\infty \gtrsim \varepsilon^{-1}$ . El suavizado es un trueque: error uniforme $O(\varepsilon)$ frente a explosión de la derivada $O(\varepsilon^{-1})$ — el tipo de cambio exacto que el análisis cuantitativo (desigualdades de interpolación, el círculo de ideas del Problema 12.1) formaliza.

Corolario 12.11 (Lema fundamental del cálculo de variaciones)

Sea $f \in L^1_{\mathrm{loc}}(\R^d)$ (integrable sobre los compactos) con $\int f\varphi = 0$ para toda $\varphi \in \mathcal C^\infty_c(\R^d)$ . Entonces $f = 0$ en casi todo punto.

Demostración. Fíjese una bola $B = B(0, R)$ y sea $g = f\mathbf 1_{B(0, R+1)} \in L^1$ . Para $x \in B$ y $\varepsilon < 1$ : $(g * \rho_\varepsilon)(x) = \int f(y)\rho_\varepsilon(x - y)\dd y = 0$ , siendo la función de prueba $y \mapsto \rho_\varepsilon(x-y) \in \mathcal C_c^\infty$ . Pero $g * \rho_\varepsilon \to g$ en $L^1$ (el Teorema 12.9): $g = 0$ en casi todo punto de $B$ ; agótese $\R^d$ . ∎

12.5 La geografía de los espacios $L^p$

Proposición 12.12

(a) Si $\mu(X) < \infty$ y $1 \leq p \leq q \leq \infty$ , entonces $L^q \subseteq L^p$ con $\norm f_p \leq \mu(X)^{\frac1p - \frac1q}\,\norm f_q$ . (b) Sobre $\R^d$ (medida infinita) no hay inclusiones: para $p \neq q$ hay funciones en $L^p\setminus L^q$ . (c) (Interpolación) Si $p < r < q$ y $\alpha \in \intoo01$ está definido por $\frac1r = \frac\alpha p + \frac{1 - \alpha}q$ , entonces

\norm f_r \leq \norm f_p^{\alpha}\,\norm f_q^{1 - \alpha} ;

en particular, $L^p \cap L^q \subseteq L^r$ .

Demostración. (a) Hölder con los exponentes $\frac qp$ y su conjugado: $\int\abs f^p\cdot 1 \leq \norm{\abs f^p}_{q/p}\,\norm 1_{(q/p)'} = \norm f_q^p\,\mu(X)^{1 - p/q}$ ( $q = \infty$ directamente). (b) Cerca de $0$ y cerca de $\infty$ , las potencias $x^{-\alpha}$ calibran: el Ejercicio 12.2. (c) Escríbase $\abs f^r = \abs f^{r\alpha}\abs f^{r(1-\alpha)}$ y aplíquese Hölder con el par conjugado $\frac p{r\alpha}$ , $\frac q{r(1-\alpha)}$ (conjugados precisamente por la definición de $\alpha$ ): $\int\abs f^r \leq \norm f_p^{r\alpha}\norm f_q^{r(1 - \alpha)}$ . ∎

Método 12.13

El instrumental de $L^p$ , tal como se usa en todo lo que sigue: para demostrar una identidad o una desigualdad para todo $f \in L^p$ — demuéstrese sobre una clase densa ( $\mathcal C_c^\infty$ mediante el Teorema 12.9) y extiéndase por continuidad (el Teorema 7.2, siendo ambos miembros $L^p$ -continuos); para demostrar $f = 0$ , evalúese contra $\mathcal C_c^\infty$ (el Corolario 12.11); para ganar regularidad, convoluciónese; para cambiar de exponente, Hölder e interpolación. La teoría de Fourier del Capítulo 14 es una larga aplicación de este método.

12.6 Ejercicios

Ejercicio 12.1 ★

(a) Enunciar y demostrar la desigualdad de Cauchy–Schwarz en $L^2(\mu)$ como el caso $p = q = 2$ de Hölder. (b) Sobre un espacio de probabilidad, demostrar que $p \mapsto \norm f_p$ es no decreciente. (c) ¿Cuándo es Hölder una igualdad para $p = 1$ , $q = \infty$ ?

Solución

Solución de Ejercicio 12.1.

(a) $p = q = 2$ en el Teorema 12.2: $\abs{\int f\bar g\,\dd\mu} \leq \int\abs{fg} \leq \norm f_2\norm g_2$ — Cauchy–Schwarz, con igualdad si y solo si $\abs f, \abs g$ son proporcionales y las fases están alineadas.

(b) Sobre un espacio de probabilidad, para $p \leq q$ : aplíquese Jensen (el Ejercicio 12.10) con la función convexa $\Phi(t) = \abs t^{q/p}$ a la función $\abs f^p$ : $\bigl(\int\abs f^p\bigr)^{q/p} \leq \int\abs f^q$ , i.e. $\norm f_p \leq \norm f_q$ .

(c) $\int\abs{fg} = \norm f_1\norm g_\infty$ si y solo si $\abs{g} = \norm g_\infty$ en casi todo punto de $\{f \neq 0\}$ (la desigualdad $\abs{fg} \leq \abs f\norm g_\infty$ ha de ser una igualdad en casi todo punto).

Ejercicio 12.2 ★

¿Para qué $p \in \intco1\infty$ pertenecen las siguientes funciones a $L^p$ ?

x^{-1/2}\mathbf 1_{\intoo01},\qquad x^{-1/2}\mathbf 1_{\intoo1\infty},\qquad \frac{1}{x^{1/2}(1 + \abs{\ln x})}\ \text{en } \intoo01, \qquad \frac1{1 + \abs x}\ \text{en } \R .

Conclúyase: en $\intoo01$ , $p$ pequeño es más fácil; en $\intoo1\infty$ , $p$ grande es más fácil; y ningún $L^p$ contiene a otro en $\R$ .

Solución

Solución de Ejercicio 12.2.

$\int_0^1 x^{-p/2}\dd x < \infty$ si y solo si $p < 2$ : la primera está en $L^p$ para $p \in \intco12$ . $\int_1^\infty x^{-p/2}\dd x < \infty$ si y solo si $p > 2$ : la segunda, para $p \in \intoo2\infty$ (y $p = \infty$ : está acotada — inclúyase). Tercera: para $p < 2$ , dominada por $x^{-p/2}$ : integrable; para $p = 2$ , sustitúyase $u = -\ln x$ : $\int_0^1\frac{\dd x}{x(1 + \abs{\ln x})^2} = \int_0^\infty\frac{\dd u}{(1 + u)^2} < \infty$ ; para $p > 2$ la potencia domina: divergente. Luego $p \in \intcc12$ . Cuarta: $\int_\R\frac{\dd x}{(1 + \abs x)^p} < \infty$ si y solo si $p > 1$ ; y está acotada, luego también $L^\infty$ : $p \in \intoc1\infty$ . Moraleja: la integrabilidad en $0$ prefiere $p$ pequeño y en $\infty$ prefiere $p$ grande; combinando ambas obstrucciones, no hay inclusión entre espacios $L^p(\R)$ .

Ejercicio 12.3 ★★

(La máquina de escribir) Enumérense los intervalos diádicos $I_1 = \intcc01$ , $I_2 = \intcc0{\frac12}$ , $I_3 = \intcc{\frac12}1$ , $I_4 = \intcc0{\frac14}$ , … y sea $f_n = \mathbf 1_{I_n}$ . (a) Demostrar que $f_n \to 0$ en todo $L^p(\intcc01)$ , $p < \infty$ , pero que $(f_n(x))$ diverge para todo $x \in \intcc01$ . (b) Exhibir la subsucesión convergente en casi todo punto que promete el Teorema 12.4. (c) Recíprocamente, dese una sucesión que converja en casi todo punto pero no en $L^1$ , y otra que converja en $L^1$ pero en ningún $L^p$ , $p > 1$ .

Solución

Solución de Ejercicio 12.3.

(a) $\norm{f_n}_p^p = \lambda(I_n) \to 0$ (en el nivel diádico $k$ la longitud es $2^{-k}$ ). Pero todo $x$ está en un intervalo de cada nivel diádico: $f_n(x) = 1$ infinitas veces y $= 0$ infinitas veces (intervalos del mismo nivel que no contienen $x$ ): no hay convergencia en ningún punto.

(b) $f_{n_k} = \mathbf 1_{\intcc0{2^{-k}}}$ (el primer intervalo de cada nivel) converge a $0$ en todo $x > 0$ : en casi todo punto.

(c) En casi todo punto pero no en $L^1$ : $n\mathbf 1_{\intoo0{1/n}} \to 0$ en casi todo punto, con integral $1$ . En $L^1$ pero en ningún $L^p$ ( $p > 1$ ): $g_n = \eu^n\,\mathbf 1_{(0,\ \eu^{-n}/n)}$ : $\norm{g_n}_1 = \frac1n \to 0$ , mientras que $\norm{g_n}_p^p = \eu^{(p-1)n}/n \to \infty$ para todo $p > 1$ .

Ejercicio 12.4 ★★

Sean $\mu(X) < \infty$ y $f \in L^\infty(\mu)$ , $f \neq 0$ . Demostrar que $\norm f_p \to \norm f_\infty$ cuando $p \to \infty$ . (Cota superior por (a) de la Proposición 12.12; cota inferior integrando sobre $\{\abs f > \norm f_\infty - \varepsilon\}$ , de medida positiva.)

Solución

Solución de Ejercicio 12.4.

Superior: $\norm f_p \leq \mu(X)^{1/p}\norm f_\infty$ (la Proposición 12.12(a) con $q = \infty$ ), y $\mu(X)^{1/p} \to 1$ . Inferior: para $\varepsilon > 0$ , $A = \{\abs f > \norm f_\infty - \varepsilon\}$ cumple $\mu(A) > 0$ (definición del supremo esencial), y

\norm f_p \geq \Bigl(\int_A \abs f^p\Bigr)^{1/p} \geq (\norm f_\infty - \varepsilon)\,\mu(A)^{1/p} \xrightarrow[p\to\infty]{} \norm f_\infty - \varepsilon .

Ejercicio 12.5 ★★

(a) ¿Dónde usa exactamente la demostración del Teorema 12.6(3) que $p < \infty$ ? (b) Demostrar que $f \in L^\infty(\R)$ cumple $\norm{\tau_hf - f}_\infty \to 0$ si y solo si $f$ tiene un representante uniformemente continuo.

Solución

Solución de Ejercicio 12.5.

(a) Dos veces: la conversión $\norm{\tau_hg - g}_p \leq C^{1/p}\norm{\tau_hg - g}_\infty$ (soporte de medida finita) degenera para $p = \infty$ únicamente en que allí falla la densidad de $\mathcal C_c$ — esa es la laguna real: el paso (2) del Teorema 12.6 no tiene análogo $L^\infty$ .

(b) Si $f$ tiene un representante uniformemente continuo $g$ : $\norm{\tau_hf - f}_\infty = \sup_x\abs{g(x - h) - g(x)} \to 0$ . Recíprocamente, supóngase $\norm{\tau_hf - f}_\infty \to 0$ . Las regularizaciones $f_\varepsilon = f * \rho_\varepsilon$ son continuas, y

\norm{f_\varepsilon - f}_\infty \leq \sup_{\norm y \leq \varepsilon}\norm{\tau_yf - f}_\infty \longrightarrow 0

(la convolución es un promedio de trasladadas). Cada $f_\varepsilon$ es uniformemente continua ( $\norm{\tau_hf_\varepsilon - f_\varepsilon}_\infty \leq \norm{\tau_hf - f}_\infty$ , promediando), y un límite uniforme de funciones uniformemente continuas lo es: $f$ coincide en casi todo punto con una función uniformemente continua.

Ejercicio 12.6 ★★

Sean $p, q$ conjugados, $f \in L^p(\R^d)$ , $g \in L^q(\R^d)$ . Demostrar que $f * g$ está definida en todo punto, es acotada, con $\norm{f*g}_\infty \leq \norm f_p\norm g_q$ , y uniformemente continua. (Continuidad de la traslación en $L^p$ ; trátese $p \in \{1, \infty\}$ aparte — para $p = \infty$ , úsese la continuidad de la traslación sobre el factor $L^1$ .)

Solución

Solución de Ejercicio 12.6.

Por Hölder, para todo $x$ el integrando $y \mapsto f(x - y)g(y)$ está en $L^1$ con $\abs{(f*g)(x)} \leq \norm f_p\norm g_q$ : definida en todo punto y acotada. Continuidad uniforme ( $p < \infty$ ):

\abs{(f*g)(x + h) - (f*g)(x)} = \Bigl|\int\bigl(\tau_{-h}f - f\bigr)(x - y)\,g(y)\dd y\Bigr| \leq \norm{\tau_{-h}f - f}_p\,\norm g_q \xrightarrow[h\to0]{} 0,

uniformemente en $x$ (el Teorema 12.6(3)). Si $p = \infty$ , entonces $q = 1$ : escríbase $f * g = g * f$ y repítase la misma cota con la traslación actuando sobre $g \in L^1$ .

Ejercicio 12.7 ★★

Sea $f \in L^1_{\mathrm{loc}}(\intoo ab)$ con $\int f\varphi' = 0$ para toda $\varphi \in \mathcal C^\infty_c(\intoo ab)$ . Demostrar que $f$ es igual en casi todo punto a una constante. (Fíjese $\chi \in \mathcal C_c^\infty$ con $\int\chi = 1$ ; toda $\psi \in \mathcal C_c^\infty$ con $\int\psi = 0$ es una $\varphi'$ ; escríbase una función de prueba general como $\psi + (\int\psi)\chi$ y aplíquese el Corolario 12.11 a $f - c$ con $c = \int f\chi$ .)

Solución

Solución de Ejercicio 12.7.

Fíjese $\chi \in \mathcal C_c^\infty(\intoo ab)$ con $\int\chi = 1$ y póngase $c = \int f\chi$ . Sea $\varphi \in \mathcal C_c^\infty$ arbitraria y $\psi = \varphi - \bigl(\int\varphi\bigr)\chi$ : entonces $\int\psi = 0$ , de modo que $\Phi(x) = \int_a^x\psi$ define $\Phi \in \mathcal C_c^\infty(\intoo ab)$ (se anula cerca de ambos extremos: cerca de $a$ trivialmente, y cerca de $b$ porque la integral total es $0$ ) con $\Phi' = \psi$ . La hipótesis da $\int f\psi = \int f\Phi' = 0$ , luego

\int f\varphi = \Bigl(\int\varphi\Bigr)\int f\chi = \int c\,\varphi \quad\text{para todo } \varphi: \qquad \int(f - c)\varphi = 0 .

Por el Corolario 12.11 (localizado en $\intoo ab$ ), $f = c$ en casi todo punto.

Ejercicio 12.8 ★★★

(Urysohn regular) Sean $K \subseteq U \subseteq \R^d$ , $K$ compacto y $U$ abierto. Constrúyase $\varphi \in \mathcal C^\infty_c(\R^d)$ con $0 \leq \varphi \leq 1$ , $\varphi = 1$ sobre $K$ y $\operatorname{supp}\varphi \subseteq U$ . (Regularícese el indicador del entorno $K_\delta$ de tamaño $\delta$ de $K$ con $\rho_{\delta/2}$ , para $\delta$ pequeño.) Dedúzcase un enunciado de partición de la unidad $\mathcal C^\infty$ para un compacto recubierto por un número finito de abiertos.

Solución

Solución de Ejercicio 12.8.

Sean $3\delta < d(K, \R^d\setminus U)$ (positiva: el Ejercicio 6.6(b); si $U = \R^d$ , sirve cualquier $\delta$ ), $K_\delta = \{x : d(x, K) \leq \delta\}$ y

\varphi = \mathbf 1_{K_\delta} * \rho_{\delta/2} .

Entonces $\varphi \in \mathcal C^\infty$ (el Teorema 12.9(1); el indicador es $L^1$ ), $0 \leq \varphi \leq 1$ ( $\int\rho = 1$ ), $\varphi = 1$ sobre $K$ (para $x \in K$ , $\bar B(x, \delta/2) \subseteq K_\delta$ , de modo que la convolución integra $\rho$ por completo) y $\operatorname{supp}\varphi \subseteq K_{3\delta/2} \subseteq U$ : de soporte compacto ( $K_\delta$ está acotado). Partición de la unidad: dado $K \subseteq U_1\cup\dots\cup U_m$ , elíjanse (por compacidad) compactos $K_i \subseteq U_i$ con $K \subseteq \bigcup \mathring K_i$ , tómense $\varphi_i$ como arriba para $(K_i, U_i)$ y póngase $\psi_i = \varphi_i\prod_{j <i}(1 - \varphi_j)$ : cada $\psi_i \in \mathcal C_c^\infty(U_i)$ , y $\sum_i\psi_i = 1 - \prod_i(1 - \varphi_i) = 1$ sobre $K$ .

Ejercicio 12.9 ★★

Usando la interpolación (la Proposición 12.12(c)): (a) demuéstrese que $L^1(\R)\cap L^\infty(\R) \subseteq L^p(\R)$ para todo $p$ , con $\norm f_p \leq \norm f_1^{1/p}\norm f_\infty^{1 - 1/p}$ ; (b) demuéstrese que $f \mapsto \norm f_p$ es, para $f$ fija, logarítmicamente convexa en $\frac1p$ , y dese un ejemplo en el que $f \in L^p$ exactamente para $p$ en un intervalo dado $(p_0, p_1)$ .

Solución

Solución de Ejercicio 12.9.

(a) El exponente de interpolación de $(p_0, q_0) = (1, \infty)$ en $r = p$ es $\alpha = \frac1p$ : la Proposición 12.12(c) da $\norm f_p \leq \norm f_1^{1/p}\norm f_\infty^{1 - 1/p}$ .

(b) Tomando logaritmos en la Proposición 12.12(c): $\ln\norm f_r \leq \alpha\ln\norm f_p + (1-\alpha)\ln\norm f_q$ , donde $\frac1r$ es la misma combinación convexa de $\frac1p, \frac1q$ : $\frac1p \mapsto \ln\norm f_p$ es convexa. Ejemplo con pertenencia a $L^p$ exactamente en $\intoo{p_0}{p_1}$ :

f(x) = x^{-1/p_1}\,\mathbf 1_{\intoo01}(x) + x^{-1/p_0}\,\mathbf 1_{\intco1\infty}(x):

el primer término está en $L^p$ si y solo si $p < p_1$ , y el segundo si y solo si $p > p_0$ .

Ejercicio 12.10 ★★

(Jensen) Sean $\mu$ una medida de probabilidad, $f \in L^1(\mu)$ real y $\Phi \colon \R \to \R$ convexa. Demostrar

\Phi\Bigl(\int f\,\dd\mu\Bigr) \leq \int \Phi\circ f\,\dd\mu

(recta de apoyo de $\Phi$ en el punto $m = \int f$ ). Dedúzcanse la desigualdad entre las medias aritmética y geométrica y la monotonía de $p \mapsto \norm f_p$ del Ejercicio 12.1(b).

Solución

Solución de Ejercicio 12.10.

Sea $m = \int f\,\dd\mu \in \R$ . La convexidad proporciona una recta de apoyo en $m$ : existe $s$ con $\Phi(t) \geq \Phi(m) + s(t - m)$ para todo $t$ (tómese $s$ entre las derivadas laterales, que existen para las funciones convexas). Sustitúyase $t = f(x)$ e intégrese contra la probabilidad $\mu$ :

\int\Phi\circ f\,\dd\mu \geq \Phi(m) + s\Bigl(\int f - m\Bigr) = \Phi\Bigl(\int f\,\dd\mu\Bigr)

(medibilidad: $\Phi$ es continua; y la integrabilidad de la parte negativa de $\Phi\circ f$ la garantiza la recta de apoyo). Medias aritmética y geométrica: sobre un conjunto finito con pesos $w_i$ , tómense $\Phi = \exp$ y $f = \sum(\ln a_i)\mathbf 1_i$ : $\exp\bigl(\sum w_i\ln a_i\bigr) \leq \sum w_ia_i$ , i.e. $\prod a_i^{w_i} \leq \sum w_ia_i$ . La monotonía de las normas es Ejercicio 12.1(b).

Ejercicio 12.11 ★★★

(Desigualdad de Young para la convolución) Sean $1 \leq p, q, r \leq \infty$ con $\frac1p + \frac1q = 1 + \frac1r$ , y $f \in L^p(\R^d)$ , $g \in L^q(\R^d)$ . (a) Demostrar $\norm{f * g}_r \leq \norm f_p\,\norm g_q$ . (Escríbase, con los exponentes conjugados deducidos de $p, q, r$ , $\abs{f(y)g(x-y)} = \bigl(\abs f^p\abs g^q\bigr)^{1/r} \cdot\abs f^{\,p(1/p - 1/r)}\cdot\abs g^{\,q(1/q - 1/r)},$ y aplíquese la desigualdad de Hölder con tres factores y exponentes $r$ , $\frac{pr}{r - p}$ , $\frac{qr}{r - q}$ ; intégrese después en $x$ por Tonelli.) (b) Compruébense los tres casos especiales ya conocidos: $r = \infty$ (Hölder, el Ejercicio 12.6); $q = 1$ (estabilidad $L^p$ de la convolución por un núcleo integrable); $p = q = 1$ ( $L^1$ es un álgebra para la convolución, Teorema 11.9). (c) ¿Por qué no hay ninguna desigualdad con $\frac1p + \frac1q < 1 + \frac1r$ ? (Evalúese en las dilataciones $f_\lambda(x) = f(\lambda x)$ y compárense los cambios de escala de ambos miembros.)

Solución

Solución de Ejercicio 12.11.

(a) Supóngase primero $p, q, r < \infty$ y $f, g \geq 0$ (sustitúyanse por sus valores absolutos). Los tres exponentes $r$ , $\alpha = \frac{pr}{r-p}$ , $\beta = \frac{qr}{r-q}$ cumplen $\frac1r + \frac1\alpha + \frac1\beta = \frac1r + \frac1p - \frac1r + \frac1q - \frac1r = 1$ (la relación de escala). Descompóngase, para $x$ fijo,

f(y)g(x-y) = \bigl[f(y)^pg(x-y)^q\bigr]^{1/r}\cdot f(y)^{1 - p/r}\cdot g(x-y)^{1 - q/r},

y Hölder con los tres exponentes da

(f*g)(x) \leq \Bigl(\int f^pg(x-\cdot)^q\Bigr)^{1/r} \norm f_p^{\,p/\alpha\cdot\alpha/p}\cdots

con más precisión: el segundo factor es $\bigl(\int f^{(1-p/r)\alpha}\bigr)^{1/\alpha} = \norm f_p^{p(1/p - 1/r)}$ porque $(1 - \frac pr)\alpha = p$ , y análogamente el tercero es $\norm g_q^{q(1/q - 1/r)}$ . Elévese a la potencia $r$ e intégrese en $x$ (Tonelli sobre el primer factor):

\norm{f*g}_r^r \leq \norm f_p^p\,\norm g_q^q\cdot \norm f_p^{\,rp(1/p - 1/r)}\,\norm g_q^{\,rq(1/q - 1/r)} = \norm f_p^r\,\norm g_q^r .

Los casos límite ( $r = \infty$ , o algún exponente igual a su cota) son Hölder simple o estimaciones directas.

(b) $r = \infty$ obliga a $q = p'$ : $\abs{f*g(x)} \leq \norm f_p\norm g_{p'}$ — Hölder tras trasladar y reflejar. $q = 1$ da $r = p$ : $\norm{f*g}_p \leq \norm g_1\norm f_p$ , el caballo de batalla de la regularización (el motor del Teorema 12.9). $p = q = 1$ da $r = 1$ : el álgebra de convolución (Teorema 11.9).

(c) Sustitúyanse $f, g$ por $f_\lambda = f(\lambda\cdot)$ , $g_\lambda = g(\lambda\cdot)$ : entonces $f_\lambda*g_\lambda = \lambda^{-d}(f*g)(\lambda\cdot)$ y, comparando normas,

\text{MI} \sim \lambda^{-d - d/r}, \qquad \text{MD} \sim \lambda^{-d/p - d/q} :

una desigualdad válida para todo $f, g$ obliga a que los dos exponentes de escala coincidan, es decir, a $1 + \frac1r = \frac1p + \frac1q$ exactamente. Cualquier otra combinación muere en $\lambda \to 0$ o en $\infty$ : la relación de Young no es una comodidad, sino una ley de escala.

Ejercicio 12.12 ★★

(Casos de igualdad) (a) En la desigualdad de Hölder $\int\abs{fg} \leq \norm f_p\norm g_q$ ( $1 < p < \infty$ ), demuéstrese que hay igualdad si y solo si $\abs f^p$ y $\abs g^q$ son proporcionales en casi todo punto. (Sígase el caso de igualdad de la desigualdad de Young $ab \leq \frac{a^p}p + \frac{b^q}q$ , que es $a^p = b^q$ .) (b) En la desigualdad de Minkowski $\norm{f + g}_p \leq \norm f_p + \norm g_p$ ( $1 < p < \infty$ ), demuéstrese que la igualdad con $f, g \neq 0$ obliga a $g = cf$ en casi todo punto con $c > 0$ . (c) Contrástese con $p = 1$ y $p = \infty$ : descríbanse los casos de igualdad (mucho más amplios) allí, con ejemplos.

Solución

Solución de Ejercicio 12.12.

(a) Normalícese $\norm f_p = \norm g_q = 1$ . La demostración de Hölder integra la desigualdad de Young $\abs{fg} \leq \frac{\abs f^p}p + \frac{\abs g^q}q$ ; la igualdad de las integrales obliga a la igualdad en casi todo punto en Young, lo cual (convexidad estricta de $\exp$ ; igualdad si y solo si $a^p = b^q$ ) significa $\abs f^p = \abs g^q$ en casi todo punto. Deshaciendo la normalización: $\abs f^p\norm g_q^q = \abs g^q\norm f_p^p$ a.e. — proporcionalidad.

(b) Minkowski son dos Hölder aplicados a $\abs{f + g}^{p-1} \abs f$ y $\abs{f+g}^{p-1}\abs g$ ; la igualdad obliga a la proporcionalidad de (a) en ambos: $\abs f^p$ y $\abs g^p$ son cada una proporcional a $\abs{f+g}^{(p-1)q} = \abs{f+g}^p$ , de modo que $\abs g = t\abs f$ en casi todo punto para cierta constante $t \geq 0$ ; y la desigualdad triangular puntual inicial $\abs{f + g} \leq \abs f + \abs g$ ha de ser también una igualdad en casi todo punto, lo que para valores complejos significa que $f$ y $g$ tienen en casi todo punto el mismo argumento allí donde ambas son no nulas. Combinando: $g = tf$ en casi todo punto, con $t > 0$ (ambas no nulas).

(c) $p = 1$ : hay igualdad en $\int\abs{f + g} = \int\abs f + \int\abs g$ siempre que $f, g$ tengan el mismo patrón de signos (el mismo argumento en casi todo punto) — sin necesidad de proporcionalidad: $f = \mathbf 1_{\intcc01}$ y $g = \mathbf 1_{\intcc02}$ sirven. $p = \infty$ : $\norm{f+g}_\infty = \norm f_\infty + \norm g_\infty$ en cuanto las dos funciones alcancen picos compatibles en un punto común (o a lo largo de una sucesión común): basta $f = g\,$ cerca de un punto, con independencia del comportamiento en el resto. La convexidad estricta de las bolas $L^p$ para $1 < p < \infty$ — y su fallo en los extremos — es exactamente lo que atestiguan estos casos de igualdad.

12.7 Problema: la desigualdad de Hardy

Problema 12.1

Problema de fin de semana — la desigualdad de Hardy y su constante óptima

Para $f \in L^p(\intoo0{+\infty})$ , $1 < p < \infty$ , defínase el operador de Hardy

(Hf)(x) = \frac1x\int_0^x f(t)\,\dd t .

La desigualdad de Hardy (1920) afirma que

\norm{Hf}_p \;\leq\; \frac{p}{p-1}\,\norm f_p ,

y que la constante $\frac p{p-1}$ es óptima y no se alcanza. Este problema lo demuestra todo y extiende después el resultado a series.

Parte I — La desigualdad. Supóngase primero $f \geq 0$ continua de soporte compacto en $\intoo0{+\infty}$ , y sea $F(x) = \int_0^xf$ .

Demostrar que $Hf \in L^p$ : cerca de $0$ , $F$ se anula en un entorno de $0$ ; cerca de $\infty$ , $F$ está acotada, luego $(Hf)(x) = O(1/x)$ , y $x \mapsto \frac1x$ pertenece a $L^p(\intoo1{+\infty})$ para $p > 1$ .
Intégrese por partes para demostrar

$\int_0^\infty \Bigl(\frac Fx\Bigr)^p\dd x = \frac{p}{p-1}\int_0^\infty\Bigl(\frac Fx\Bigr)^{p-1}f(x)\,\dd x .$

(Derívese $x^{1-p}F^p$ ; los términos de frontera se anulan — justifíquense ambos extremos.)
Aplíquese Hölder al miembro derecho y dedúzcase $\norm{Hf}_p \leq \frac p{p-1}\norm f_p$ para tales $f$ .
Extiéndase a todo $L^p$ : para $f \geq 0$ , constrúyanse $f_n$ continuas de soporte compacto en $\intoo0{+\infty}$ , $0 \leq f_n \nearrow f$ a.e. (trúnquese y aproxímese después monótonamente — justifíquese la construcción); entonces $Hf_n \nearrow Hf$ puntualmente (convergencia monótona dentro del promedio) y la convergencia monótona pasa la desigualdad al límite. Para $f$ con signo o compleja, concluir con $\abs{Hf} \leq H\abs f$ .

Parte II — Optimalidad.

Para $A > 1$ , sea $f_A(t) = t^{-1/p}\,\mathbf 1_{\intcc1A}(t)$ . Calcúlese $\norm{f_A}_p^p = \ln A$ y, para $1 \leq x \leq A$ ,

$(Hf_A)(x) = \frac p{p-1}\;x^{-1/p}\, \bigl(1 - x^{-(1 - 1/p)}\bigr).$
Deducir $\liminf_{A\to\infty} \norm{Hf_A}_p/ \norm{f_A}_p \geq \frac{p}{p-1}$ y concluir que la constante es óptima.
Demostrar que la igualdad $\norm{Hf}_p = \frac p{p-1}\norm f_p$ con $f \neq 0$ es imposible. (Sígase el caso de igualdad de Hölder en la pregunta 3: forzaría un comportamiento de tipo $f = cx^{-1/p}$ , que no está en $L^p$ .)

Parte III — La desigualdad discreta.

Para $g \geq 0$ no creciente sobre $(0,\infty)$ y $a_n = g(n)$ , compárense $\sum a_n^p$ y $\int g^p$ , y los promedios $H$ en consecuencia, para deducir de la Parte I la desigualdad discreta de Hardy: para $a_n \geq 0$ ,

$\sum_{n\geq1}\Bigl(\frac{a_1 + \dots + a_n}{n}\Bigr)^{p} \;\leq\; \Bigl(\frac{p}{p-1}\Bigr)^{p}\,\sum_{n\geq1}a_n^p$

— demuéstrese primero para $(a_n)$ no creciente mediante la comparación anterior, y redúzcase después el caso general al no creciente por reordenación (admítase, con una justificación de una línea, que ordenar $(a_n)$ de forma decreciente solo puede aumentar el miembro izquierdo dejando fijo el derecho).
Deducir: si $\sum a_n^p < \infty$ , entonces las medias de Cesàro de $(a_n)$ están de nuevo en $\ell^p$ — y dese un ejemplo ( $p = 2$ ) en el que $(a_n) \in \ell^2$ pero $a_n$ no sea sumable, y Hardy siga controlando las medias.

Parte IV — Epílogo.

Demostrar que la desigualdad de Hardy falla para $p = 1$ : con $f = \mathbf 1_{\intcc01}$ , calcúlese $Hf$ y obsérvese que $Hf \notin L^1$ . ¿Dónde se rompe la demostración?

Parte V — La función maximal y el teorema de derivación de Lebesgue. Hardy promedia desde el origen; Hardy–Littlewood promedian alrededor de cada punto. Para $f \in L^1(\R)$ , defínase

Mf(x) = \sup_{r>0}\ \frac1{2r}\int_{x-r}^{x+r}\abs f\,\dd\lambda .

(Vitali, versión finita) Sean $B_1, \dots, B_N$ intervalos abiertos. Demostrar que existe una subfamilia disjunta $B_{i_1}, \dots, B_{i_k}$ con $\bigcup_jB_j \subseteq \bigcup_l3B_{i_l}$ , donde $3B$ denota el intervalo del mismo centro y longitud triple (voraz: tómese repetidamente el intervalo más largo disjunto de los ya tomados).
(Tipo débil $(1,1)$ ) Demostrar que, para todo $t > 0$ ,

$\lambda\bigl(\{Mf > t\}\bigr) \;\leq\; \frac3t\,\norm f_1 :$

cada $x$ con $Mf(x) > t$ posee un intervalo centrado $B_x$ con $\int_{B_x}\abs f > t\,\lambda(B_x)$ ; tómese un compacto $K \subseteq \{Mf > t\}$ (regularidad interior), recúbrase por un número finito de $B_x$ , aplíquese la pregunta 11 y agótese.
Calcúlese $M\mathbf 1_{\intcc01}(x)$ para $x > 1$ y dedúzcase que $Mf \notin L^1$ para todo $f \neq 0$ ( $Mf(x) \geq \frac c{\abs x}$ en el infinito): en $p = 1$ , la desigualdad débil de la pregunta 12 es el mejor enunciado posible.
(Tipo fuerte para $p > 1$ ) Para $f \in L^p$ : descompóngase $f = f\,\mathbf 1_{\abs f > t/2} + f\,\mathbf 1_{\abs f \leq t/2}$ , obsérvese que $Mf \leq M\bigl(f\mathbf 1_{\abs f > t/2}\bigr) + \frac t2$ , y combínese la pregunta 12 con la fórmula de las capas (la Proposición 11.8) y Tonelli para demostrar

$\norm{Mf}_p^p \;\leq\; \frac{6p\,2^{p-1}}{p-1}\,\norm f_p^p .$

(La explosión cuando $p \downarrow 1$ es el fallo de la pregunta 13, cuantificado.)
(Teorema de derivación de Lebesgue) Demostrar que, para $f \in L^1(\R)$ ,

$\frac1{2r}\int_{x-r}^{x+r}f\,\dd\lambda \;\longrightarrow\; f(x) \qquad (r \to 0)\quad\text{para casi todo }x .$

(Claro para $f$ continua. En general, escríbase $f = g + h$ con $g$ continua de soporte compacto, $\norm h_1 < \varepsilon$ (el Teorema 12.6); el conjunto donde $\limsup_{r\to0}$ de la oscilación promediada supera $\delta$ está dentro de $\{Mh > \delta/2\} \cup \{\abs h > \delta/2\}$ , de medida $O(\varepsilon/\delta)$ ; hágase $\varepsilon \to 0$ y después $\delta \to 0$ a lo largo de una sucesión.)
Dedúzcase: (a) casi todo punto es un punto de Lebesgue de $f$ ; (b) para $f \in L^1$ , la primitiva $F(x) = \int_0^xf$ es derivable en casi todo punto con $F' = f$ en casi todo punto — la mitad integral del teorema fundamental del cálculo en el mundo de Lebesgue, que cierra el círculo abierto por la escalera (el Problema 9.1), la cual mostraba que la otra mitad puede fallar.
(Puntos de densidad) Para $A \subseteq \R$ medible, demuéstrese que casi todo $x \in A$ cumple $\frac{\lambda(A\cap\intcc{x-r}{x+r})}{2r} \to 1$ : los conjuntos medibles son localmente llenos en casi todos sus puntos. Esbócese en dos líneas cómo esto da una demostración más del teorema de Steinhaus (Ejercicio 9.8).

Parte VI — Variaciones sobre el tema del promedio.

(Hardy con peso) Para $\alpha < p - 1$ y $f \geq 0$ , demostrar

$\int_0^\infty\Bigl(\frac{F(x)}x\Bigr)^{p} x^{\alpha}\,\dd x \;\leq\; \Bigl(\frac{p}{p - 1 - \alpha}\Bigr)^{p} \int_0^\infty f(x)^p\,x^{\alpha}\,\dd x$

mediante la misma integración por partes, y compruébese que el caso límite $\alpha = p - 1$ está genuinamente prohibido (adáptese el contraejemplo de la pregunta 10).
(El adjunto) Sea $H^*f(x) = \int_x^{\infty}\frac{f(t)}t\,\dd t$ . Demostrar $\langle Hf, g\rangle = \langle f, H^*g\rangle$ para $f, g$ no negativas (Tonelli) y demostrar $\norm{H^*f}_p \leq p\,\norm f_p$ (directamente por partes, o a partir de Hardy en el exponente conjugado por dualidad — atención a qué exponente se lleva qué constante).
(Una desigualdad de tipo Hilbert) Dedúzcase que, para $f \in L^p$ no negativas, $g \in L^q$ :

$\int_0^\infty\!\!\int_0^\infty \frac{f(x)\,g(y)}{\max(x,y)}\,\dd x\,\dd y \;\leq\; (p + q)\,\norm f_p\,\norm g_q$

(sepárese según $y < x$ / $y \geq x$ : cada mitad es un emparejamiento de una función contra la transformada de Hardy de la otra).
(Optimalidad, caso discreto) Demostrar que la constante $\bigl(\frac p{p-1}\bigr)^p$ de la pregunta 8 también es óptima: evalúese en $a_n = n^{-1/p}\,\mathbf 1_{n \leq N}$ , compárense ambos miembros con integrales y hágase $N \to \infty$ (el espejo discreto de la Parte II).
(Síntesis) En este problema han aparecido tres operadores de promedio: el $H$ de Hardy, la media discreta de Cesàro y el operador maximal $M$ . Enúnciese en una línea qué dice la acotación de cada uno, obsérvese que los tres fallan exactamente en $p = 1$ y explíquese por qué se trata del mismo fallo tres veces (la cola armónica $\frac1x$ ).

Parte VII — La desigualdad de Carleman, y cuán óptimo es lo óptimo.

(Desigualdad de Carleman) Sea $a_n \geq 0$ con $\sum a_n < \infty$ . Aplíquese la desigualdad discreta de Hardy de la pregunta 8 a $b_n = a_n^{1/p}$ , úsese la desigualdad entre las medias aritmética y geométrica y hágase $p \to \infty$ (demuéstrese que $p \mapsto \bigl(\frac p{p-1}\bigr)^p$ decrece hacia $\eu$ ) para obtener

$\sum_{n\geq1}\bigl(a_1a_2\cdots a_n\bigr)^{1/n} \;\leq\; \eu\,\sum_{n\geq1}a_n :$

las medias geométricas de una sucesión sumable son sumables, a un coste de a lo sumo $\eu$ .
(La constante $\eu$ es óptima) Evalúese en $a_n = \frac1n\,\mathbf 1_{n\leq N}$ : usando el encaje de Stirling del Problema 11.1, demuéstrese $(n!)^{-1/n} = \frac\eu n\bigl(1 + O\bigl(\frac{\ln n}n\bigr)\bigr)$ , dedúzcase que ambos miembros de Carleman crecen como $\eu\ln N$ y concluir que ninguna constante menor que $\eu$ puede servir. (Obsérvese el patrón: los optimizadores de Hardy y de Carleman son ambos las sucesiones de tipo armónico que están justo fuera del espacio.)
(¿Con qué lentitud se aproxima lo «óptimo»?) Tómese $p = 2$ . Para $f = \mathbf 1_{\intcc01}$ , calcúlese $\norm{Hf}_2/\norm f_2 = \sqrt2$ , frente a la cota $2$ . Para los casi optimizadores $f_A$ de la pregunta 5, demuéstrese la identidad exacta

$\norm{Hf_A}_2^2 = 4\ln A - 8 + \frac{8}{\sqrt A}, \qquad\text{luego}\qquad \frac{\norm{Hf_A}_2^2}{\norm{f_A}_2^2} = 4 - \frac{8 - 8A^{-1/2}}{\ln A} .$

Evalúese en $A = \eu^{10}$ (cociente $\approx 1.790$ ) y coméntese: el supremo $2$ se aproxima solo a velocidad $1/\ln A$ — una constante óptima puede ser prácticamente invisible desde el punto de vista numérico.

Solución

Solución de Problema 12.1.

1. $f$ tiene soporte en cierto $[\alpha, \beta] \subseteq \intoo0\infty$ , de modo que $F = 0$ sobre $[0, \alpha]$ y $F \equiv F(\beta)$ sobre $[\beta, \infty)$ : $Hf$ se anula cerca de $0$ y es $O(1/x)$ en el infinito; $\int_1^\infty x^{-p}\dd x < \infty$ para $p > 1$ , y $Hf$ es continua: $Hf \in L^p$ .

2. $\bigl(x^{1-p}F(x)^p\bigr)' = (1-p)x^{-p}F^p + p\,x^{1-p}F^{p-1}f$ . Ambos valores de frontera se anulan: en $0$ porque $F = 0$ cerca de $0$ ; y en $\infty$ porque $x^{1-p}F^p \leq F(\beta)^p x^{1-p} \to 0$ ( $p > 1$ ). Integrando la identidad sobre $\intoo0\infty$ :

0 = (1 - p)\int_0^\infty\Bigl(\frac Fx\Bigr)^p\dd x + p\int_0^\infty\Bigl(\frac Fx\Bigr)^{p-1}f(x)\,\dd x,

que es la relación indicada.

3. Hölder con los exponentes $q = \frac p{p-1}$ y $p$ :

\int\Bigl(\frac Fx\Bigr)^{p-1}f \leq \Bigl(\int\Bigl(\frac Fx\Bigr)^{p}\Bigr)^{1 - 1/p}\,\norm f_p ,

luego $\norm{Hf}_p^p \leq \frac p{p-1}\norm{Hf}_p^{p-1}\norm f_p$ ; divídase (es finito por la pregunta 1, y si $0$ no hay nada que demostrar).

4. Sean $f \in L^p$ , $f \geq 0$ . Elíjanse $\varphi_k \in \mathcal C_c(\intoo0\infty)$ con $\varphi_k \to f$ en $L^p$ (el Teorema 12.6(2), intersecado con la semirrecta abierta — aproxímese $f\mathbf 1_{[1/k, k]}$ y diagonalícese) y sustitúyase $\varphi_k$ por $\abs{\varphi_k}$ (que sigue siendo continua y está más cerca de $f \geq 0$ ). Para todo $x > 0$ fijo, Hölder sobre $\intoo0x$ da

\abs{H\varphi_k(x) - Hf(x)} \leq \frac1x\,x^{1 - 1/p}\,\norm{\varphi_k - f}_p \to 0 :

$H\varphi_k \to Hf$ puntualmente. Fatou y la pregunta 3:

\int (Hf)^p \leq \liminf_k\int(H\varphi_k)^p \leq \Bigl(\frac p{p-1}\Bigr)^p\liminf_k\norm{\varphi_k}_p^p = \Bigl(\frac p{p-1}\Bigr)^p\norm f_p^p .

Para $f$ con signo o compleja: $\abs{Hf} \leq H\abs f$ puntualmente, y el caso no negativo se aplica a $\abs f$ .

5. $\norm{f_A}_p^p = \int_1^A t^{-1}\dd t = \ln A$ . Para $1 \leq x \leq A$ :

(Hf_A)(x) = \frac1x\int_1^x t^{-1/p}\dd t = \frac{x^{1 - 1/p} - 1}{(1 - \tfrac1p)\,x} = \frac p{p-1}\,x^{-1/p}\bigl(1 - x^{-(1 - 1/p)}\bigr).

6. Fíjense $\varepsilon > 0$ y $X_0$ con $(1 - x^{-(1-1/p)})^p \geq 1 - \varepsilon$ para $x \geq X_0$ . Entonces

\norm{Hf_A}_p^p \geq \int_{X_0}^A\Bigl(\frac p{p-1}\Bigr)^p\frac{1 - \varepsilon}{x}\,\dd x = \Bigl(\frac p{p-1}\Bigr)^p(1 - \varepsilon)\,(\ln A - \ln X_0),

luego $\dfrac{\norm{Hf_A}_p^p}{\norm{f_A}_p^p} \geq \bigl(\frac p{p-1}\bigr)^p(1 - \varepsilon)\bigl(1 - \frac{\ln X_0}{\ln A}\bigr) \to \bigl(\frac p{p-1}\bigr)^p(1 - \varepsilon)$ cuando $A \to \infty$ : la constante no puede mejorarse.

7. La igualdad en la pregunta 3 obliga a la igualdad en Hölder: $f^p$ proporcional a $\bigl(\frac Fx\bigr)^{(p-1)q} = \bigl(\frac Fx\bigr)^p$ en casi todo punto, es decir, $f = \gamma\,\frac Fx$ en casi todo punto para cierto $\gamma \geq 0$ . Como $F(x) = \int_0^xf$ es absolutamente continua con $F' = f$ en casi todo punto, $F$ resuelve $F' = \gamma F/x$ : en todo intervalo donde $F > 0$ , $(\ln F)' = \gamma/x$ , luego $F = c\,x^{\gamma}$ y $f = c\gamma x^{\gamma - 1}$ allí. Pero ninguna potencia no nula $x^{\gamma-1}$ pertenece a $L^p(\intoo0\infty)$ (haría falta $p(\gamma - 1) < -1$ en $\infty$ y $> -1$ en $0$ : incompatible), y $F$ no puede anularse idénticamente salvo que $f = 0$ . Así que la igualdad exige $f = 0$ .

8. Dada $(a_n)$ no creciente $\geq 0$ , defínase la función escalonada $g(t) = a_{\lceil t\rceil}$ sobre $\intoo0{+\infty}$ : es no creciente, con $\int_0^\infty g^p = \sum_na_n^p$ y $\int_0^ng = a_1 + \dots + a_n$ , luego $(Hg)(n) = \frac{a_1 + \dots + a_n}n$ . El promedio de una función no creciente es no creciente, de modo que $Hg$ lo es, y

\sum_{n\geq1}\Bigl(\frac{a_1{+}\dots{+}a_n}n\Bigr)^p = \sum_{n\geq1}(Hg)(n)^p \leq \sum_{n\geq1}\int_{n-1}^n (Hg)(t)^p\,\dd t = \norm{Hg}_p^p \leq \Bigl(\frac p{p-1}\Bigr)^p\sum_n a_n^p

por la Parte I. Para una sucesión no negativa general, sea $(a_n^*)$ su reordenación no creciente (posible cuando $a_n \to 0$ , que podemos suponer — si no, ambos miembros son infinitos): el miembro derecho no cambia, y cada suma parcial $a_1 + \dots + a_n$ es a lo sumo $a_1^* + \dots + a_n^*$ (los $n$ términos mayores): el miembro izquierdo solo crece. De ahí la desigualdad para todo $(a_n)$ .

9. Si $(a_n) \in \ell^p$ , la sucesión de medias de Cesàro está en $\ell^p$ con norma $\leq \frac p{p-1}\norm a_p$ . Ejemplo ( $p = 2$ ): $a_n = \frac1{\sqrt n\,\ln n}$ ( $n \geq 2$ ): $\sum a_n^2 = \sum\frac1{n\ln^2n} < \infty$ , y sin embargo $\sum a_n = \infty$ (criterio integral); Hardy sigue garantizando $\sum_n\bigl(\frac{a_1 + \dots + a_n}n\bigr)^2 < \infty$ .

10. Para $f = \mathbf 1_{\intcc01}$ : $Hf(x) = 1$ en $\intoc01$ y $= \frac1x$ para $x \geq 1$ : $\int_0^\infty Hf = 1 + \int_1^\infty\frac{\dd x}x = \infty$ , mientras que $\norm f_1 = 1$ . La demostración se hunde por dos sitios: la constante $\frac p{p-1}$ explota cuando $p \to 1$ , y el término de frontera $x^{1-p}F^p$ ya no se anula en el infinito para $p = 1$ . La desigualdad de Hardy es un fenómeno honestamente $p > 1$ .

11. Tómese el intervalo más largo $B_{i_1}$ ; descártese todo intervalo que lo corte; tómese el superviviente más largo $B_{i_2}$ ; itérese (hay finitos intervalos). Los elegidos son disjuntos por construcción, y todo $B$ descartado cortaba a un intervalo elegido al menos igual de largo: un intervalo que corta a otro de longitud mayor o igual está contenido en su triple, $B \subseteq 3B_{i_l}$ .

12. $\{Mf > t\}$ es abierto: cada promedio $x \mapsto \frac1{2r}\int_{x-r}^{x+r}\abs f$ es continuo (convergencia dominada en $x$ ) y un supremo de funciones continuas es semicontinuo inferiormente. Cada $x$ suyo posee $B_x = \intoo{x-r_x}{x+r_x}$ con $\int_{B_x}\abs f > t\,\lambda(B_x)$ . Para $K \subseteq \{Mf > t\}$ compacto: un número finito de $B_x$ recubre $K$ , Vitali (pregunta 11) extrae $B_1', \dots, B_k'$ disjuntos con $K \subseteq \bigcup_l3B_l'$ , luego

\lambda(K) \leq 3\sum_l\lambda(B_l') < \frac3t\sum_l\int_{B_l'}\abs f \leq \frac3t\,\norm f_1

por disjunción; la regularidad interior (el Teorema 9.13) concluye.

13. Para $x > 1$ : con $r \in \intcc{x-1}x$ el promedio es $\frac{r - x + 1}{2r}$ , creciente en $r$ ; para $r \geq x$ es $\frac1{2r}$ , decreciente: el supremo es $\frac1{2x}$ , alcanzado en $r = x$ . Luego $M\mathbf 1_{\intcc01} \notin L^1$ . En general, si $\int_I\abs f = c > 0$ sobre un intervalo acotado $I \subseteq \intcc{-C}C$ , entonces $Mf(x) \geq \frac{c}{2(\abs x + C)}$ para todo $x$ : nunca integrable salvo que $f = 0$ en casi todo punto.

14. Con $f_t = f\,\mathbf 1_{\abs f > t/2}$ : $M(f - f_t) \leq \frac t2$ , luego $\{Mf > t\} \subseteq \{Mf_t > \frac t2\}$ y la pregunta 12 da $\lambda(Mf > t) \leq \frac6t\int_{\abs f > t/2}\abs f$ . Fórmula de las capas (la Proposición 11.8) y Tonelli:

\norm{Mf}_p^p = p\int_0^\infty t^{p-1}\lambda(Mf > t)\dd t \leq 6p\int\abs f\int_0^{2\abs f}t^{p-2}\,\dd t\,\dd\lambda = \frac{6p\,2^{p-1}}{p-1}\,\norm f_p^p .

15. Escríbase $A_rf(x) = \frac1{2r}\int_{x-r}^{x+r}f$ . Para $g$ continua: $A_rg(x) \to g(x)$ en todo punto. Dado $\varepsilon > 0$ , descompóngase $f = g + h$ con $g$ continua de soporte compacto y $\norm h_1 < \varepsilon$ (el Teorema 12.6); entonces

\limsup_{r\to0}\,\abs{A_rf(x) - f(x)} \leq Mh(x) + \abs{h(x)},

de modo que $\Omega_\delta = \{\limsup_r\abs{A_rf - f} > \delta\} \subseteq \{Mh > \tfrac\delta2\} \cup \{\abs h > \tfrac\delta2\}$ tiene medida $\leq \frac{6\varepsilon}\delta + \frac{2\varepsilon}\delta$ (pregunta 12; Markov). $\varepsilon$ arbitrario: $\lambda(\Omega_\delta) = 0$ ; y uniendo sobre $\delta = \frac1k$ : $A_rf \to f$ en casi todo punto.

16. (a) Para cada $q \in \Q$ , la pregunta 15 aplicada a $\abs{f - q}$ da $A_r\abs{f - q}(x) \to \abs{f(x) - q}$ en casi todo punto; sobre la intersección de estos conjuntos de medida total, elíjase $q$ con $\abs{f(x) - q} < \eta$ : $\limsup_rA_r\abs{f - f(x)}(x) \leq 2\eta$ para todo $\eta$ : casi todo $x$ es un punto de Lebesgue. (b) En un punto de Lebesgue,

\Bigl|\frac{F(x + h) - F(x)}h - f(x)\Bigr| = \Bigl|\frac1h\int_x^{x+h}\bigl(f - f(x)\bigr)\Bigr| \leq 2\,A_{\abs h}\abs{f - f(x)}(x) \to 0 :

$F' = f$ en casi todo punto — las primitivas de funciones $L^1$ sí se derivan de vuelta; la escalera (el Problema 9.1) es contraejemplo únicamente del sentido recíproco.

17. Aplíquese la pregunta 15 a $\mathbf 1_{A\cap[-n,n]}$ y hágase crecer $n$ : para casi todo $x \in A$ , la densidad $\frac{\lambda(A\cap\intcc{x-r}{x+r})}{2r} \to 1$ . Steinhaus: alrededor de un punto de densidad, tómese $r$ con densidad $> \frac34$ ; para $\abs t < \frac r2$ , $A$ y $A + t$ llenan cada uno más de $\frac32r$ de un intervalo de longitud $\leq \frac52r$ y, por tanto, se cortan: $\intoo{-r/2}{r/2} \subseteq A - A$ .

18. Sea $G(x) = x^{\alpha+1-p}F(x)^p$ : $G$ se anula en $0$ ( $F$ se anula cerca de $0$ ) y en $\infty$ ( $F$ acotada, $\alpha + 1 - p < 0$ ), de modo que $\int_0^\infty G' = 0$ con

G' = (\alpha + 1 - p)\,x^{\alpha-p}F^p + p\,x^{\alpha+1-p}F^{p-1}f = (\alpha + 1 - p)\Bigl(\frac Fx\Bigr)^px^\alpha + p\Bigl(\frac Fx\Bigr)^{p-1}f\,x^\alpha .

Por tanto $\int(F/x)^px^\alpha = \frac{p}{p-1-\alpha} \int(F/x)^{p-1}f\,x^\alpha$ ; Hölder para la medida $x^\alpha\dd x$ (exponentes $\frac p{p-1}$ y $p$ ) remata como en la pregunta 3. Caso límite $\alpha = p - 1$ : con $f(t) = \frac1t\mathbf 1_{\intcc1A}$ , el miembro derecho es $\ln A$ mientras que el izquierdo contiene $\int_1^A\frac{(\ln x)^p}x\dd x = \frac{(\ln A)^{p+1}}{p+1}$ : ninguna constante sobrevive a $A \to \infty$ .

19. Tonelli sobre $\{0 < t < x\}$ :

\langle Hf, g\rangle = \int_0^\infty\frac{g(x)}x\int_0^xf(t)\,\dd t\,\dd x = \int_0^\infty f(t)\int_t^\infty\frac{g(x)}x\,\dd x\,\dd t = \langle f, H^*g\rangle .

Dualidad: $\norm{H^*f}_p = \sup\{\langle f, Hg\rangle : g \geq 0, \norm g_q \leq 1\} \leq \norm f_p\cdot \sup\norm{Hg}_q \leq \frac q{q-1}\norm f_p = p\,\norm f_p$ , invocándose Hardy en $L^q$ , cuya constante $\frac q{q-1}$ vale $p$ .

20. Sepárese a lo largo de la diagonal (nula). En $\{y \leq x\}$ :

\iint_{y\leq x}\frac{f(x)g(y)}{x}\,\dd y\,\dd x = \int f(x)\,(Hg)(x)\,\dd x \leq \norm f_p\,\norm{Hg}_q \leq p\,\norm f_p\norm g_q,

puesto que Hardy en $L^q$ lleva la constante $\frac q{q-1} = p$ . Simétricamente, $\iint_{y>x} = \int g\,(Hf) \leq \norm g_q\norm{Hf}_p \leq q\,\norm f_p\norm g_q$ ( $\frac p{p-1} = q$ ). En total: $(p + q)\,\norm f_p\norm g_q$ .

21. Para $a_n = n^{-1/p}$ , $n \leq N$ : el miembro derecho es $\bigl(\frac p{p-1}\bigr)^p\sum_{n\leq N}\frac1n = \bigl(\frac p{p-1}\bigr)^p\ln N + O(1)$ . En el izquierdo, para $n \leq N$ : $a_1 + \dots + a_n \geq \int_1^{n+1}t^{-1/p}\dd t = \frac{p}{p-1}\bigl((n+1)^{1-1/p} - 1\bigr)$ , de modo que la $n$ -ésima media de Cesàro es $\geq \frac p{p-1}n^{-1/p}(1 - o(1))$ uniformemente para $n$ en cualquier rango $n \geq n_0(\eta)$ ; elevando a $p$ y sumando, el miembro izquierdo es $\geq \bigl(\frac p{p-1}\bigr)^p(1 - \eta)\ln N + O_\eta(1)$ . Dividiendo y haciendo $N \to \infty$ , y después $\eta \to 0$ : ninguna constante menor que $\bigl(\frac p{p-1}\bigr)^p$ puede servir.

22. $H$ acotado en $L^p$ : los promedios acumulados no inflan las normas $p$ (constante $\frac p{p-1}$ ); Cesàro en $\ell^p$ : lo mismo, discretizado; $M$ acotado en $L^p$ : incluso el mejor promedio local queda bajo control (constante $O(\frac1{p-1})$ ). Los tres fallan en $p = 1$ , y por una sola razón: promediar una unidad de masa concentrada produce una cola $\frac1x$ (preguntas 10 y 13), y $\frac1x$ pertenece cerca del infinito a todo $L^p$ salvo a $L^1$ . El suavizado esparce la masa exactamente hasta la frontera armónica de la integrabilidad.

23. Póngase $b_n = a_n^{1/p}$ , de modo que $\sum b_n^p = \sum a_n$ . La pregunta 8 da

\sum_{n\geq1}\Bigl(\frac{b_1 + \dots + b_n}n\Bigr)^{p} \leq \Bigl(\frac p{p-1}\Bigr)^{p}\sum_{n\geq1}a_n,

y la desigualdad entre las medias aritmética y geométrica acota cada sumando por abajo:

\Bigl(\frac{b_1 + \dots + b_n}n\Bigr)^{p} \geq \bigl(b_1\cdots b_n\bigr)^{p/n} = \bigl(a_1\cdots a_n\bigr)^{1/n}.

Por tanto, $\sum(a_1\cdots a_n)^{1/n} \leq \bigl(\frac p{p-1}\bigr)^p\sum a_n$ para todo $p > 1$ . Con $m = p - 1$ ,

\Bigl(\frac p{p-1}\Bigr)^{p} = \Bigl(1 + \frac1m\Bigr)^{m+1},

que decrece hacia $\eu$ cuando $m \to \infty$ (la clásica sucesión monótona superior de $\eu$ ). Tomando el ínfimo sobre $p$ se obtiene la desigualdad de Carleman con constante $\eu$ .

24. Para $a_n = \frac1n$ , $(a_1\cdots a_n)^{1/n} = (n!)^{-1/n}$ . El encaje del Problema 11.1 da $\sqrt{2\pi n}\,(n/\eu)^n \leq n! \leq \sqrt{2\pi n}\,(n/\eu)^n\eu^{1/(12n)}$ , luego

(n!)^{1/n} = \frac n\eu\,(2\pi n)^{1/(2n)} \eu^{O(1/n^2)} = \frac n\eu\Bigl(1 + O\Bigl(\frac{\ln n}{n}\Bigr)\Bigr),

puesto que $(2\pi n)^{1/(2n)} = \exp\bigl(\frac{\ln(2\pi n)}{2n}\bigr)$ . Invirtiendo, $(n!)^{-1/n} = \frac\eu n(1 + O(\frac{\ln n}n))$ , y sumando sobre $n \leq N$ :

\sum_{n\leq N}(n!)^{-1/n} = \eu\ln N + O(1), \qquad \eu\sum_{n\leq N}\frac1n = \eu\ln N + O(1)

(la serie de errores $\sum\frac{\ln n}{n^2}$ converge). Una desigualdad de Carleman con constante $c$ obligaría a $\eu\ln N + O(1) \leq c\,(\ln N + O(1))$ y, por tanto, a $c \geq \eu$ tras dividir por $\ln N$ . Las sucesiones optimizadoras se alinean: la constante de Hardy se aproxima con $n^{-1/p}$ (pregunta 21) y la de Carleman con $n^{-1}$ — en cada caso, la sucesión de tipo armónico que queda justo fuera del espacio que se promedia.

25. Para $f = \mathbf 1_{\intcc01}$ : $Hf(x) = 1$ en $\intoc01$ y $Hf(x) = \frac1x$ para $x > 1$ , luego $\norm{Hf}_2^2 = 1 + \int_1^\infty x^{-2}\dd x = 2$ y el cociente es $\sqrt2 \approx 1.414$ , aproximadamente el $71\%$ de la cota óptima. Para $f_A$ ( $p = 2$ ): $F(x) = 2(\sqrt x - 1)$ en $\intcc1A$ , de modo que en ese rango $Hf_A = 2x^{-1/2} - 2x^{-1}$ y, para $x > A$ , $Hf_A(x) = 2(\sqrt A - 1)/x$ . Elevando al cuadrado e integrando,

\begin{align*} \int_1^A\bigl(2x^{-1/2} - 2x^{-1}\bigr)^2\dd x &= 4\ln A - 12 + \frac{16}{\sqrt A} - \frac4A,\\ \int_A^{\infty}\frac{4(\sqrt A - 1)^2}{x^2}\,\dd x &= 4 - \frac{8}{\sqrt A} + \frac4A, \end{align*}

de donde $\norm{Hf_A}_2^2 = 4\ln A - 8 + 8A^{-1/2}$ ; dividiendo por $\norm{f_A}_2^2 = \ln A$ se obtiene la identidad enunciada. En $A = \eu^{10}$ : $4 - \frac{8(1 - \eu^{-5})}{10} = 3.2054$ , luego el cociente es $\sqrt{3.2054} \approx 1.790 < 2$ . El defecto $4 - \norm{Hf_A}_2^2/\norm{f_A}_2^2 \sim 8/\ln A$ decae solo logarítmicamente: para alcanzar el cociente $1.99$ haría falta $\ln A \approx 200$ , es decir, $A \approx 10^{87}$ . Las constantes óptimas son teoremas, no experimentos.

Términos definidos en este capítulo

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12.1 Definición; Hölder y Minkowski

12.2 Completitud y sus compañeros

12.3 Teoremas de densidad

12.4 Convolución y regularización

12.5 La geografía de los espacios LpL^pLp

12.6 Ejercicios

12.7 Problema: la desigualdad de Hardy

Términos definidos en este capítulo

12.5 La geografía de los espacios $L^p$