Matemáticas universitarias — Grado 3 · Bachelor Year 3

12Los espacios Lp

La integral de Lebesgue se construyó para el análisis; los espacios $L^p$ es donde vive ese análisis. Son espacios de Banach (Riesz–Fischer) — el terminaciones que Ejercicio 7.1 mostró las funciones continuo faltaba — y apoyan una tecnología de suavizado, convolution against apaciguadores, que se aproxima a cualquier Función $L^p$ por $\mathcal C^\infty$ . Este capítulo demuestra las versiones integrales de Hölder y Minkowski, lo completo, los teoremas densidad y la máquina de regularización, terminando con la geografía de inclusión e interpolación del $L^p$ escala. En todo momento, $(X, \mathcal A, \mu)$ es un medir el espacio. y las funciones tienen valores complejos; en $\R^d$ , el medida es $\lambda_d$ .

12.1 Definición; Hölder y Minkowski

Definición 12.1

Para $1 \leq p < \infty$ , $\mathcal L^p(\mu)$ es el conjunto de mensurable $f$ con $\norm f_p = \bigl(\int\abs f^p\dd\mu\bigr)^{1/p} < \infty$ y $\mathcal L^\infty(\mu)$ el conjunto de $f$ acotado fuera de un conjunto nulo, con $\norm f_\infty$ el sup esencial — el menos $M$ con $\abs f \leq M$ a.e. (se alcanza la inf: intersecta el nulo conjuntos para $M + \frac1n$ ). Dado que $\norm f_p = 0$ solo fuerza a $f = 0$ a.e. (Ejercicio 10.5), definimos

L^p(\mu) = \mathcal L^p(\mu)/\{f = 0 \text{ a.e.}\} :

los elementos son clases de funciones conjuntos módulo nulo, y $\norm\cdot_p$ es una norma genuina en $L^p$ .

Teorema 12.2 (desigualdad de Hölder)

Vamos $1 \leq p, q \leq \infty$ con $\frac1p + \frac1q = 1$ (exponentes conjugados). Para mensurable $f, g$ :

\norm{fg}_1 \leq \norm f_p\,\norm g_q ,

con igualdad (para $1 < p < \infty$ , normas finitas, $f,g\ne0$ ) si $\abs f^p$ y $\abs g^q$ son proporcionales, e.g.

Demostración. Los casos $\{p, q\} = \{1, \infty\}$ son directos ( $\abs{fg} \leq \norm g_\infty\abs f$ a.e.). Sea $1 < p < \infty$ ; normalizar $\norm f_p = \norm g_q = 1$ (homogeneidad; cero o infinito las normas son triviales). Desigualdad de Young $ab \leq \frac{a^p}p + \frac{b^q}q$ ( $a, b \geq 0$ ; concavidad de $\ln$ , como en Problema 8.1) da $\abs{f g} \leq \frac{\abs f^p}p + \frac{\abs g^q}q$ puntual; integrar: $\norm{fg}_1 \leq \frac1p + \frac1q = 1$ . La igualdad obliga a.e. igualdad en Joven, es decir $\abs f^p = \abs g^q$ a.e. (después de la normalización; deshacerlo, proporcionalidad). ∎

Teorema 12.3 (desigualdad de Minkowski)

Para $1 \leq p \leq \infty$ : $\norm{f + g}_p \leq \norm f_p + \norm g_p$ .

Demostración. $p = 1, \infty$ : desigualdad puntual/a.e. triángulo. Para $1 < p < \infty$ , asuma $\norm{f+g}_p < \infty$ (de lo contrario utilice $\abs{f+g}^p \leq 2^{p-1}(\abs f^p + \abs g^p)$ , de convexidad de $t^p$ , para ver el lado izquierdo es finito cuando el derecho lo es). entonces

\norm{f{+}g}_p^p \leq \int\abs f\,\abs{f{+}g}^{p-1} + \int\abs g\,\abs{f{+}g}^{p-1} \leq \bigl(\norm f_p + \norm g_p\bigr)\, \bigl\|\abs{f{+}g}^{p-1}\bigr\|_q

por Hölder y $\norm{\abs{f+g}^{p-1}}_q = \norm{f+g}_p^{p/q}$ desde $(p-1)q = p$ ; dividir por $\norm{f+g}_p^{p/q}$ (si es distinto de cero; en caso contrario, trivial) y utilice $p - \frac pq = 1$ . ∎

12.2 La integridad y sus acompañantes.

Teorema 12.4 (Riesz–Fischer)

Para $1 \leq p \leq \infty$ , $L^p(\mu)$ es un espacio de Banach. Además, cada secuencia que converge en $L^p$ tiene una subsecuencia casi en todas partes convergente (con un dominador $L^p$ en el caso $p < \infty$ ).

Demostración. $p = \infty$ : una secuencia $\norm\cdot_\infty$ -Cauchy es, fuera de un conjunto nulo único (unión de muchos contables), uniformemente Cauchy: converge uniformemente fuera de él; hecho. Deje $p < \infty$ . Por Ejercicio 7.1(b) basta con sumar absolutamente Serie convergente: sea $\sum\norm{f_k}_p = M < \infty$ . conjunto $G_n = \sum_{k \leq n}\abs{f_k}$ y $G = \sum_k\abs{f_k}$ (puntualmente en $[0,\infty]$ ): por Minkowski $\norm{G_n}_p \leq M$ , y MCT ( $G_n^p \nearrow G^p$ ) da $\int G^p \leq M^p$ : $G < \infty$ a.e., por lo que la serie $\sum f_k(x)$ converge absolutamente para a.e. $x$ ; llame a la suma $S(x)$ (cualquier valor en el conjunto nulo). Luego $\abs{S - \sum_{k\leq n}f_k}^p \leq (2G)^p \in L^1$ y DCT da $\norm{S - \sum_{k\leq n}f_k}_p \to 0$ : la serie converge en $L^p$ .

La declaración de subsecuencia: si $f_n \to f$ en $L^p$ , elija $n_k$ con $\norm{f_{n_{k+1}} - f_{n_k}}_p \leq 2^{-k}$ ; la serie $\sum(f_{n_{k+1}} - f_{n_k})$ cae bajo el anterior argumento: converge absolutamente a.e., dominado por un $G \in L^p$ , por lo que $f_{n_k} \to f_{n_1} + \sum(\cdots)$ a.e., y esto a.e.-limit debe ser (un representante de) $f$ (ambos son $L^p$ límites). El dominador: $\abs{f_{n_k}} \leq \abs{f_{n_1}} + G$ . ∎

Observación 12.5

$L^p$ convergencia no implica convergencia a.e. (la secuencia máquina de escribir, Ejercicio 12.3), ni por el contrario (escapar de obstáculos): los dos modos están vinculados únicamente a través de subsecuencias y dominación. Manteniendo los contraejemplos de Ejercicio 12.3 en mente es la mejor vacuna.

12.3 Teoremas de densidad

Teorema 12.6

Deje $1 \leq p < \infty$ .

Funciones simples (con soportes medida finita) son denso en $L^p(\mu)$ .
En $L^p(\R^d)$ , el continuo admite de forma compacta Las funciones $\mathcal C_c(\R^d)$ son densas.
La traducción es continuo en $L^p(\R^d)$ : escritura $\tau_hf = f(\cdot - h)$ , $\norm{\tau_hf - f}_p \to 0$ como $h \to 0$ .

Ninguno de los tres es válido para $p = \infty$ .

Demostración. (1) Para $f \geq 0$ : el diádico $s_n \nearrow f$ de Teorema 10.4 satisface $\abs{f - s_n}^p \leq f^p \in L^1$ : DCT. (Cada $s_n \leq f$ se encuentra en $L^p$ , y sus conjuntos de niveles tienen medida finito donde el valor es positivo: $\mu(s_n \geq c) \leq c^{-p}\int f^p$ .) Dividir general $f$ en cuatro partes no negativas.

(2) Por (1) basta con aproximar $\mathbf 1_A$ , $A$ Borel con $\lambda_d(A) < \infty$ . Regularidad (prueba como en Teorema 9.13) da compacto $K \subseteq A \subseteq U$ abierto con $\lambda_d(U\setminus K) < \varepsilon$ ; Función de Urysohn

\varphi(x) = \frac{d(x, \R^d\setminus U)}{d(x, \R^d\setminus U) + d(x, K)}

es continuo, $1$ en $K$ , $0$ fuera de $U$ y se puede tomar compatible de forma compacta (reduzca $U$ a una apertura limitada primero). entonces $\norm{\mathbf 1_A - \varphi}_p^p \leq \lambda_d(U\setminus K) < \varepsilon$ .

(3) Para $g \in \mathcal C_c$ : uniforme continuidad da $\norm{\tau_hg - g}_\infty \to 0$ , con soportes en posición fija. compacto para $\abs h \leq 1$ : $\norm{\tau_hg - g}_p \to 0$ . Para general $f$ : elija $g \in \mathcal C_c$ con $\norm{f - g}_p < \varepsilon$ ; luego $\norm{\tau_hf - f}_p \leq 2\norm{f - g}_p + \norm{\tau_hg - g}_p$ (invariancia de traducción de la norma).

Para $p = \infty$ : la aproximación uniforme de las funciones $\mathbf 1_{\intoo0\infty}$ por continuo es imposible (saltar) y $\norm{\tau_h\mathbf 1_{\intoo0\infty} - \mathbf 1_{\intoo0\infty}}_\infty = 1$ para $h \neq 0$ . ∎

12.4 Convolución y regularización

Teorema 12.7 (Desigualdad de jóvenes)

Sea $1 \leq p \leq \infty$ , $f \in L^1(\R^d)$ , $g \in L^p(\R^d)$ . Entonces $f * g$ se define a.e., pertenece a $L^p$ , y

\norm{f * g}_p \leq \norm f_1\,\norm g_p .

Demostración. $p = \infty$ : encuadernación directa. $p = 1$ : Teorema 11.9. Dejar $1 < p < \infty$ , $q$ conjugar. Divida $\abs{f(y)} = \abs{f(y)}^{1/q}\cdot \abs{f(y)}^{1/p}$ y aplique Hölder:

\int\abs{f(y)}\,\abs{g(x{-}y)}\,\dd y \leq \Bigl(\int\abs f\Bigr)^{1/q} \Bigl(\int\abs{f(y)}\,\abs{g(x - y)}^p\,\dd y\Bigr)^{1/p} .

Elevar a la potencia $p$ e integrar en $x$ ; Tonelli en el el segundo factor da $\norm f_1^{p/q}\cdot\norm f_1\norm g_p^p$ , es decir $\norm{f*g}_p^p \leq \norm f_1^{1 + p/q}\norm g_p^p = (\norm f_1\norm g_p)^p$ — y la finitud del Tonelli integral justifica a.e. convergencia absoluta como en Teorema 11.9. ∎

Definición 12.8 (Mollificadores)

La función

\rho(x) = \begin{cases} c\,\exp\Bigl(-\dfrac{1}{1 - \norm x^2}\Bigr) & \norm x < 1,\\ 0 & \norm x \geq 1, \end{cases}

con $c$ normalizando $\int\rho = 1$ , está $\mathcal C^\infty$ encendido $\R^d$ : la cuestión es que $t \mapsto \eu^{-1/t}\mathbf 1_{t>0}$ es $\mathcal C^\infty$ sobre $\R$ , todos sus derivados en $0^+$ siendo $0$ (cada derivada es $P(1/t)\eu^{-1/t}$ para un polinomio $P$ , que tiende a $0$ ; inducción). Para $\varepsilon > 0$ conjunto $\rho_\varepsilon(x) = \varepsilon^{-d}\rho(x/\varepsilon)$ : compatible con $\bar B(0, \varepsilon)$ , aún de $1$ integral.

Teorema 12.9 (Regularización)

Sean $1 \leq p < \infty$ y $f \in L^p(\R^d)$ . Entonces:

$f * \rho_\varepsilon \in \mathcal C^\infty(\R^d)$ , con $\partial^\alpha(f * \rho_\varepsilon) = f * \partial^\alpha\rho_\varepsilon$ ;
$\norm{f * \rho_\varepsilon - f}_p \to 0$ como $\varepsilon \to 0$ ;
en consecuencia $\mathcal C^\infty_c(\R^d)$ es denso en $L^p(\R^d)$ .

Demostración. (1) Diferenciación bajo la integral (Teorema 10.15) en $x$ : para $x$ en una bola $B$ , $\abs{\partial_{x_i}\rho_\varepsilon(x - y)} \leq C_\varepsilon\,\mathbf 1_{K}(y)$ con $K$ compacto ( $y$ dentro $\varepsilon$ de $B$ ) y $\abs f\,\mathbf 1_K \in L^1$ (Hölder contra $\mathbf 1_K$ ): se aplica el teorema; iterar para obtener derivadas superiores.

(2) Desde $\int\rho_\varepsilon = 1$ :

(f * \rho_\varepsilon)(x) - f(x) = \int \bigl(f(x - y) - f(x)\bigr)\rho_\varepsilon(y)\,\dd y ,

y la desigualdad integral de Minkowski — o directamente: Hölder/Jensen con la probabilidad medida $\rho_\varepsilon\dd y$ y Tonelli —

\norm{f*\rho_\varepsilon - f}_p^p \leq \int\Bigl(\int\abs{f(x-y) - f(x)}^p\dd x\Bigr)\rho_\varepsilon(y)\,\dd y = \int \norm{\tau_yf - f}_p^p\;\rho_\varepsilon(y)\,\dd y

(el paso intermedio: aplicar la desigualdad de Jensen, Ejercicio 12.10, a la integral $y$ interna, luego Tonelli). El integrando es compatible con $\norm y \leq \varepsilon$ y tiende a $0$ allí uniformemente como $\varepsilon \to 0$ (Teorema 12.6(3)): toda la expresión tiende a $0$ .

(3) $f$ aproximado por $g \in \mathcal C_c$ (Teorema 12.6(2)), luego $g$ por $g * \rho_\varepsilon \in \mathcal C_c^\infty$ (compacto admite: suma de apoyos). ∎

Ejemplo 12.10 (Apaciguador $\abs x$ , con tarifas)

Tome $f(x) = \abs x$ en $\R$ (localmente $L^1$ ; el teorema se aplica en cada ventana delimitada) y un calmante simétrico $\rho_\varepsilon$ . entonces

f_\varepsilon(x) = (f * \rho_\varepsilon)(x) = \int\abs{x - y}\,\rho_\varepsilon(y)\,\dd y

es $\mathcal C^\infty$ ; lejos del problema, no pasa nada: para $\abs x \geq \varepsilon$ , $\abs{x - y}$ es lineal en $x$ sobre el soporte de $\rho_\varepsilon$ , entonces $f_\varepsilon(x) = \abs x$ exactamente (la simetría anula la corrección). Cerca de $0$ , suavizar los costos con precisión

0 \leq f_\varepsilon(0) = \int\abs y\,\rho_\varepsilon(y)\,\dd y \leq \varepsilon, \qquad \norm{f_\varepsilon - f}_\infty \leq \varepsilon :

el error de aproximación se limita a la $\varepsilon$ -barrio de la singularidad y es de su tamaño. Mientras tanto $f_\varepsilon'' \geq 0$ en todas partes ( $f$ es convexo y la convolución contra $\rho_\varepsilon \geq 0$ preserva la convexidad), con $\int f_\varepsilon'' = f_\varepsilon'(\infty) - f_\varepsilon'(-\infty) = 2$ : el La segunda derivada es un bulto de masa $2$ comprimido a lo ancho. $O(\varepsilon)$ , entonces $\norm{f_\varepsilon''}_\infty \gtrsim \varepsilon^{-1}$ . El suavizado es un oficio: error uniforme $O(\varepsilon)$ contra la explosión derivada $O(\varepsilon^{-1})$ — el tipo de cambio exacto que análisis cuantitativo (desigualdades de interpolación, Problema 12.1 círculo de ideas) se formaliza.

Corolario 12.11 (Lema fundamental del calculo de variaciones)

Dejar $f \in L^1_{\mathrm{loc}}(\R^d)$ (integrable en compactos) con $\int f\varphi = 0$ por cada $\varphi \in \mathcal C^\infty_c(\R^d)$ . Entonces $f = 0$ a.e.

Demostración. Fija una bola $B = B(0, R)$ y deja que $g = f\mathbf 1_{B(0, R+1)} \in L^1$ . Para $x \in B$ y $\varepsilon < 1$ : $(g * \rho_\varepsilon)(x) = \int f(y)\rho_\varepsilon(x - y)\dd y = 0$ , siendo la función de prueba $y \mapsto \rho_\varepsilon(x-y) \in \mathcal C_c^\infty$ . Pero $g * \rho_\varepsilon \to g$ en $L^1$ (Teorema 12.9): $g = 0$ a.e. en $B$ ; escape $\R^d$ . ∎

12.5 La geografía $L^p$

Proposición 12.12

(a) Si $\mu(X) < \infty$ y $1 \leq p \leq q \leq \infty$ , luego $L^q \subseteq L^p$ con $\norm f_p \leq \mu(X)^{\frac1p - \frac1q}\,\norm f_q$ . (b) En $\R^d$ (infinito medida) no hay inclusiones: para $p \neq q$ hay funciones en $L^p\setminus L^q$ . (c) (Interpolación) Si $p < r < q$ y $\alpha \in \intoo01$ está definido por $\frac1r = \frac\alpha p + \frac{1 - \alpha}q$ , entonces

\norm f_r \leq \norm f_p^{\alpha}\,\norm f_q^{1 - \alpha} ;

en particular $L^p \cap L^q \subseteq L^r$ .

Demostración. (a) Hölder con exponentes $\frac qp$ y su conjugado: $\int\abs f^p\cdot 1 \leq \norm{\abs f^p}_{q/p}\,\norm 1_{(q/p)'} = \norm f_q^p\,\mu(X)^{1 - p/q}$ ( $q = \infty$ directamente). (b) Cerca de $0$ y cerca de $\infty$ , potencias $x^{-\alpha}$ calibrar: Ejercicio 12.2. (c) Escriba $\abs f^r = \abs f^{r\alpha}\abs f^{r(1-\alpha)}$ y aplique Hölder con el par conjugado $\frac p{r\alpha}$ , $\frac q{r(1-\alpha)}$ (conjuga precisamente por la definición de $\alpha$ ): $\int\abs f^r \leq \norm f_p^{r\alpha}\norm f_q^{r(1 - \alpha)}$ . ∎

Método 12.13

El kit de herramientas $L^p$ , como se utiliza a continuación: para demostrar una identidad o desigualdad para todos $f \in L^p$ — demostrarlo en un clase densa ( $\mathcal C_c^\infty$ vía Teorema 12.9) y extender por continuidad (Teorema 7.2, ambos lados están $L^p$ -continuo); para probar $f = 0$ , pruebe con $\mathcal C_c^\infty$ (Corolario 12.11); para ganar suavidad, convolucionar; para intercambiar exponentes, Hölder e interpolación. el La teoría de Fourier de Capítulo 14 es larga. aplicación de este método.

12.6 Ceremonias

Ejercicio 12.1 ★

(a) Enuncie y demuestre la desigualdad de Cauchy-Schwarz en $L^2(\mu)$ como el caso $p = q = 2$ de Hölder. (b) En un espacio probabilidad, muestre $p \mapsto \norm f_p$ es no decreciente. (c) ¿Cuándo Hölder es una igualdad para $p = 1$ , $q = \infty$ ?

Solución

Solución de Ejercicio 12.1.

(a) $p = q = 2$ en Teorema 12.2: $\abs{\int f\bar g\,\dd\mu} \leq \int\abs{fg} \leq \norm f_2\norm g_2$ — Cauchy–Schwarz, con igualdad si $\abs f, \abs g$ proporcional y las fases alineadas.

(b) En un espacio de probabilidad, para $p \leq q$ : aplicar Jensen (Ejercicio 12.10) con el convexo $\Phi(t) = \abs t^{q/p}$ a la función $\abs f^p$ : $\bigl(\int\abs f^p\bigr)^{q/p} \leq \int\abs f^q$ , es decir $\norm f_p \leq \norm f_q$ .

(c) $\int\abs{fg} = \norm f_1\norm g_\infty$ si $\abs{g} = \norm g_\infty$ a.e. en $\{f \neq 0\}$ (la desigualdad $\abs{fg} \leq \abs f\norm g_\infty$ debe ser un ae igualdad).

Ejercicio 12.2 ★

¿A qué pertenece $p \in \intco1\infty$ lo siguiente? $L^p$ ?

x^{-1/2}\mathbf 1_{\intoo01},\qquad x^{-1/2}\mathbf 1_{\intoo1\infty},\qquad \frac{1}{x^{1/2}(1 + \abs{\ln x})}\ \text{on } \intoo01, \qquad \frac1{1 + \abs x}\ \text{on } \R .

Concluir: en $\intoo01$ pequeño $p$ es más fácil, en $\intoo1\infty$ grande $p$ es más fácil y ningún $L^p$ contiene otro en $\R$ .

Solución

Solución de Ejercicio 12.2.

$\int_0^1 x^{-p/2}\dd x < \infty$ y si $p < 2$ : el primero está en $L^p$ para $p \in \intco12$ . $\int_1^\infty x^{-p/2}\dd x < \infty$ y si $p > 2$ : el segundo para $p \in \intoo2\infty$ (y $p = \infty$ : está acotado — incluirlo). Tercero: para $p < 2$ , dominado por $x^{-p/2}$ : integrable; para $p = 2$ , sustituir $u = -\ln x$ : $\int_0^1\frac{\dd x}{x(1 + \abs{\ln x})^2} = \int_0^\infty\frac{\dd u}{(1 + u)^2} < \infty$ ; para $p > 2$ el poder domina: divergente. Entonces $p \in \intcc12$ . Cuarto: $\int_\R\frac{\dd x}{(1 + \abs x)^p} < \infty$ y si $p > 1$ ; acotado, así también $L^\infty$ : $p \in \intoc1\infty$ . Moraleja: integrabilidad en $0$ le gusta el pequeño $p$ , en $\infty$ grande $p$ ; combinando ambas obstrucciones, sin inclusión entre espacios $L^p(\R)$ .

Ejercicio 12.3 ★★

(La máquina de escribir) Enumere los intervalos diádicos $I_1 = \intcc01$ , $I_2 = \intcc0{\frac12}$ , $I_3 = \intcc{\frac12}1$ , $I_4 = \intcc0{\frac14}$ , … y deje $f_n = \mathbf 1_{I_n}$ . (a) Mostrar $f_n \to 0$ en cada $L^p(\intcc01)$ , $p < \infty$ , pero $(f_n(x))$ diverge para cada $x \in \intcc01$ . (b) Exhibir la subsecuencia ae-convergente prometida por Teorema 12.4. (c) Por el contrario, proporcione una secuencia convergente a.e. pero no en $L^1$ , y uno convergente en $L^1$ pero no en $L^p$ , $p > 1$ .

Solución

Solución de Ejercicio 12.3.

(a) $\norm{f_n}_p^p = \lambda(I_n) \to 0$ (en el nivel diádico $k$ la longitud es $2^{-k}$ ). Pero cada $x$ se encuentra en un intervalo de cada nivel diádico: $f_n(x) = 1$ infinitamente frecuente y $= 0$ infinitamente frecuente (intervalos del mismo nivel que no contienen $x$ ): no hay convergencia en ningún punto.

(b) $f_{n_k} = \mathbf 1_{\intcc0{2^{-k}}}$ (el primer intervalo de cada nivel) converge a $0$ en cada $x > 0$ : a.e.

(c) a.e. pero no $L^1$ : $n\mathbf 1_{\intoo0{1/n}} \to 0$ es decir, integral $1$ . En $L^1$ pero en ningún $L^p$ ( $p > 1$ ): $g_n = \eu^n\,\mathbf 1_{(0,\ \eu^{-n}/n)}$ : $\norm{g_n}_1 = \frac1n \to 0$ , mientras que $\norm{g_n}_p^p = \eu^{(p-1)n}/n \to \infty$ para cada $p > 1$ .

Ejercicio 12.4 ★★

Sean $\mu(X) < \infty$ y $f \in L^\infty(\mu)$ , $f \neq 0$ . Muestre que $\norm f_p \to \norm f_\infty$ como $p \to \infty$ . (Upper bound by (a) of Proposición 12.12; lower bound by integrating over $\{\abs f > \norm f_\infty - \varepsilon\}$ , of positive medida.)

Solución

Solución de Ejercicio 12.4.

Superior: $\norm f_p \leq \mu(X)^{1/p}\norm f_\infty$ (Proposición 12.12(a) con $q = \infty$ ), y $\mu(X)^{1/p} \to 1$ . Inferior: para $\varepsilon > 0$ , $A = \{\abs f > \norm f_\infty - \varepsilon\}$ tiene $\mu(A) > 0$ (definición del sup esencial), y

\norm f_p \geq \Bigl(\int_A \abs f^p\Bigr)^{1/p} \geq (\norm f_\infty - \varepsilon)\,\mu(A)^{1/p} \xrightarrow[p\to\infty]{} \norm f_\infty - \varepsilon .

Ejercicio 12.5 ★★

(a) ¿Dónde se encuentra exactamente la prueba de Teorema 12.6(3) utiliza $p < \infty$ ? (b) Demuestre que $f \in L^\infty(\R)$ satisface $\norm{\tau_hf - f}_\infty \to 0$ si y si $f$ tiene un continuo uniforme representante.

Solución

Solución de Ejercicio 12.5.

(a) Dos veces: la conversión $\norm{\tau_hg - g}_p \leq C^{1/p}\norm{\tau_hg - g}_\infty$ (compatible con medida finita) degenera para $p = \infty$ solo porque el densidad of $\mathcal C_c$ falla allí — esa es la verdadera brecha: paso (2) de Teorema 12.6 no tiene análogo $L^\infty$ .

(b) Si $f$ tiene un representante continuo uniformemente $g$ : $\norm{\tau_hf - f}_\infty = \sup_x\abs{g(x - h) - g(x)} \to 0$ . Por el contrario, supongamos $\norm{\tau_hf - f}_\infty \to 0$ . el las dulcificaciones $f_\varepsilon = f * \rho_\varepsilon$ son continuo, y

\norm{f_\varepsilon - f}_\infty \leq \sup_{\norm y \leq \varepsilon}\norm{\tau_yf - f}_\infty \longrightarrow 0

(la convolución es un promedio de traducciones). cada uno $f_\varepsilon$ es uniformemente continuo ( $\norm{\tau_hf_\varepsilon - f_\varepsilon}_\infty \leq \norm{\tau_hf - f}_\infty$ , por promedio), y un límite uniforme de funciones uniformemente continuo es una: $f$ acepta a.e. con una función uniforme continuo.

Ejercicio 12.6 ★★

Sea $p, q$ conjugado, $f \in L^p(\R^d)$ , $g \in L^q(\R^d)$ . Demuestre que $f * g$ está definido como en todos lados, acotado, con $\norm{f*g}_\infty \leq \norm f_p\norm g_q$ , y uniformly continuo. (Continuidad of translation in $L^p$ ; treat $p \in \{1, \infty\}$ separately — for $p = \infty$ use translation continuidad on the $L^1$ factor.)

Solución

Solución de Ejercicio 12.6.

Por Hölder, para cada $x$ el integrando $y \mapsto f(x - y)g(y)$ está en $L^1$ con $\abs{(f*g)(x)} \leq \norm f_p\norm g_q$ : definido y acotado en todas partes. Uniforme continuidad ( $p < \infty$ ):

\abs{(f*g)(x + h) - (f*g)(x)} = \Bigl|\int\bigl(\tau_{-h}f - f\bigr)(x - y)\,g(y)\dd y\Bigr| \leq \norm{\tau_{-h}f - f}_p\,\norm g_q \xrightarrow[h\to0]{} 0,

uniformemente en $x$ (Teorema 12.6(3)). Si $p = \infty$ , entonces $q = 1$ : escriba $f * g = g * f$ y ejecute lo mismo enlazado con la traducción que actúa en $g \in L^1$ .

Ejercicio 12.7 ★★

Deje $f \in L^1_{\mathrm{loc}}(\intoo ab)$ con $\int f\varphi' = 0$ por cada $\varphi \in \mathcal C^\infty_c(\intoo ab)$ . Demuestre que $f$ es a.e. igual a a constante. (Fix $\chi \in \mathcal C_c^\infty$ with $\int\chi = 1$ ; any $\psi \in \mathcal C_c^\infty$ with $\int\psi = 0$ is a $\varphi'$ ; write a general test function as $\psi + (\int\psi)\chi$ and apply Corolario 12.11 to $f - c$ with $c = \int f\chi$ .)

Solución

Solución de Ejercicio 12.7.

Repare $\chi \in \mathcal C_c^\infty(\intoo ab)$ con $\int\chi = 1$ y configure $c = \int f\chi$ . Sea $\varphi \in \mathcal C_c^\infty$ arbitrario y $\psi = \varphi - \bigl(\int\varphi\bigr)\chi$ : luego $\int\psi = 0$ , por lo que $\Phi(x) = \int_a^x\psi$ define $\Phi \in \mathcal C_c^\infty(\intoo ab)$ (desaparece cerca de ambos extremos: cerca de $a$ de manera trivial, cerca de $b$ porque la integral total es $0$ ) con $\Phi' = \psi$ . el la hipótesis da $\int f\psi = \int f\Phi' = 0$ , por lo tanto

\int f\varphi = \Bigl(\int\varphi\Bigr)\int f\chi = \int c\,\varphi \quad\text{for every } \varphi: \qquad \int(f - c)\varphi = 0 .

Por Corolario 12.11 (localizado en $\intoo ab$ ), $f = c$ a.e.

Ejercicio 12.8 ★★★

(Suave Urysohn) Deje $K \subseteq U \subseteq \R^d$ , $K$ compacto, $U$ abierto. Construya $\varphi \in \mathcal C^\infty_c(\R^d)$ con $0 \leq \varphi \leq 1$ , $\varphi = 1$ en $K$ , $\operatorname{supp}\varphi \subseteq U$ . (Mollify the indicator of the $\delta$ -neighborhood $K_\delta$ of $K$ with $\rho_{\delta/2}$ , for $\delta$ small.) Deduzca una declaración de partición de unidad $\mathcal C^\infty$ para un compacto cubierto por un número finito de conjuntos abiertos.

Solución

Solución de Ejercicio 12.8.

Sea $3\delta < d(K, \R^d\setminus U)$ (positivo: Ejercicio 6.6(b); si $U = \R^d$ cualquier $\delta$ funciona), $K_\delta = \{x : d(x, K) \leq \delta\}$ , y

\varphi = \mathbf 1_{K_\delta} * \rho_{\delta/2} .

Entonces $\varphi \in \mathcal C^\infty$ (Teorema 12.9(1); el indicador es $L^1$ ), $0 \leq \varphi \leq 1$ ( $\int\rho = 1$ ), $\varphi = 1$ en $K$ (para $x \in K$ , $\bar B(x, \delta/2) \subseteq K_\delta$ , entonces la convolución integra $\rho$ completamente), y $\operatorname{supp}\varphi \subseteq K_{3\delta/2} \subseteq U$ : compatible de forma compacta ( $K_\delta$ está limitado). Partición de unidad: dado $K \subseteq U_1\cup\dots\cup U_m$ , elija (por compacidad) compactos $K_i \subseteq U_i$ con $K \subseteq \bigcup \mathring K_i$ , tome $\varphi_i$ como arriba para $(K_i, U_i)$ y configure $\psi_i = \varphi_i\prod_{j <i}(1 - \varphi_j)$ : cada $\psi_i \in \mathcal C_c^\infty(U_i)$ , y $\sum_i\psi_i = 1 - \prod_i(1 - \varphi_i) = 1$ en $K$ .

Ejercicio 12.9 ★★

Usando interpolación (Proposición 12.12(c)): (a) demostrar que $L^1(\R)\cap L^\infty(\R) \subseteq L^p(\R)$ para todos $p$ , con $\norm f_p \leq \norm f_1^{1/p}\norm f_\infty^{1 - 1/p}$ ; (b) demostrar que $f \mapsto \norm f_p$ es, para $f$ fijo, log-convexo en $\frac1p$ y dé un ejemplo donde $f \in L^p$ exactamente para $p$ en un intervalo dado $(p_0, p_1)$ .

Solución

Solución de Ejercicio 12.9.

(a) El exponente de interpolación para $(p_0, q_0) = (1, \infty)$ en $r = p$ es $\alpha = \frac1p$ : Proposición 12.12(c) da $\norm f_p \leq \norm f_1^{1/p}\norm f_\infty^{1 - 1/p}$ .

(b) Tomando logaritmos en Proposición 12.12(c): $\ln\norm f_r \leq \alpha\ln\norm f_p + (1-\alpha)\ln\norm f_q$ donde $\frac1r$ es la misma combinación convexa de $\frac1p, \frac1q$ : $\frac1p \mapsto \ln\norm f_p$ es convexa. Ejemplo con membresía $L^p$ exactamente en $\intoo{p_0}{p_1}$ :

f(x) = x^{-1/p_1}\,\mathbf 1_{\intoo01}(x) + x^{-1/p_0}\,\mathbf 1_{\intco1\infty}(x):

el primer término es $L^p$ si es $p < p_1$ , el segundo si es $p > p_0$ .

Ejercicio 12.10 ★★

(Jensen) Sea $\mu$ un probabilidad medida, un $f \in L^1(\mu)$ real y un $\Phi \colon \R \to \R$ convexo. Mostrar

\Phi\Bigl(\int f\,\dd\mu\Bigr) \leq \int \Phi\circ f\,\dd\mu

(support line of $\Phi$ at the point $m = \int f$ ). Deduzca la desigualdad aritmética-geométrica y la monotonicidad de $p \mapsto \norm f_p$ de Ejercicio 12.1(b).

Solución

Solución de Ejercicio 12.10.

Deje $m = \int f\,\dd\mu \in \R$ . La convexidad proporciona un soporte. línea en $m$ : hay $s$ con $\Phi(t) \geq \Phi(m) + s(t - m)$ para todos los $t$ (tome $s$ entre las derivadas unilaterales, que existen para funciones convexas). Sustituya $t = f(x)$ y integrar contra la probabilidad $\mu$ :

\int\Phi\circ f\,\dd\mu \geq \Phi(m) + s\Bigl(\int f - m\Bigr) = \Phi\Bigl(\int f\,\dd\mu\Bigr)

(mensurabilidad: $\Phi$ es continuo; integrabilidad del La parte negativa de $\Phi\circ f$ está garantizada por el soporte. línea). AM–GM: en un conjunto finito con pesos $w_i$ , tomar $\Phi = \exp$ y $f = \sum(\ln a_i)\mathbf 1_i$ : $\exp\bigl(\sum w_i\ln a_i\bigr) \leq \sum w_ia_i$ , es decir $\prod a_i^{w_i} \leq \sum w_ia_i$ . La monotonicidad normal es Ejercicio 12.1(b).

Ejercicio 12.11 ★★★

(Desigualdad de convolución de Young) Sea $1 \leq p, q, r \leq \infty$ con $\frac1p + \frac1q = 1 + \frac1r$ y $f \in L^p(\R^d)$ , $g \in L^q(\R^d)$ . (a) Demuestre $\norm{f * g}_r \leq \norm f_p\,\norm g_q$ . (Write, for conjugate exponents worked out from $p, q, r$ , $\abs{f(y)g(x-y)} = \bigl(\abs f^p\abs g^q\bigr)^{1/r} \cdot\abs f^{\,p(1/p - 1/r)}\cdot\abs g^{\,q(1/q - 1/r)},$ and apply the three-factor Hölder inequality with exponents $r$ , $\frac{pr}{r - p}$ , $\frac{qr}{r - q}$ ; then integrate in $x$ by Tonelli.) (b) Marque los tres casos especiales ya conocidos: $r = \infty$ (Hölder, Ejercicio 12.6); $q = 1$ ( $L^p$ : estabilidad de la convolución mediante un núcleo integrable); $p = q = 1$ ( $L^1$ es un álgebra de convolución, Teorema 11.9). (c) ¿Por qué no hay desigualdad con $\frac1p + \frac1q < 1 + \frac1r$ ? (Test on dilations $f_\lambda(x) = f(\lambda x)$ and compare the scalings of both sides.)

Solución

Solución de Ejercicio 12.11.

(a) Suponga primero $p, q, r < \infty$ y $f, g \geq 0$ (reemplazar por valores absolutos). Los tres exponentes $r$ , $\alpha = \frac{pr}{r-p}$ , $\beta = \frac{qr}{r-q}$ satisfacer $\frac1r + \frac1\alpha + \frac1\beta = \frac1r + \frac1p - \frac1r + \frac1q - \frac1r = 1$ (la escala relación). Dividido, para fijo $x$ ,

f(y)g(x-y) = \bigl[f(y)^pg(x-y)^q\bigr]^{1/r}\cdot f(y)^{1 - p/r}\cdot g(x-y)^{1 - q/r},

y Hölder con los tres exponentes da

(f*g)(x) \leq \Bigl(\int f^pg(x-\cdot)^q\Bigr)^{1/r} \norm f_p^{\,p/\alpha\cdot\alpha/p}\cdots

más precisamente: el segundo factor es $\bigl(\int f^{(1-p/r)\alpha}\bigr)^{1/\alpha} = \norm f_p^{p(1/p - 1/r)}$ desde $(1 - \frac pr)\alpha = p$ , y así mismo el tercero es $\norm g_q^{q(1/q - 1/r)}$ . elevar a la $r$ -ésima potencia e integrar en $x$ (Tonelli en el primer factor):

\norm{f*g}_r^r \leq \norm f_p^p\,\norm g_q^q\cdot \norm f_p^{\,rp(1/p - 1/r)}\,\norm g_q^{\,rq(1/q - 1/r)} = \norm f_p^r\,\norm g_q^r .

Los casos de punto final ( $r = \infty$ o un exponente igual a su límite) son estimaciones simples Hölder más antiguas o directas.

(b) $r = \infty$ fuerza a $q = p'$ : $\abs{f*g(x)} \leq \norm f_p\norm g_{p'}$ — Hölder después de la traducción-reflexión. $q = 1$ ofrece $r = p$ : $\norm{f*g}_p \leq \norm g_1\norm f_p$ , el caballo de batalla de la apaciguamiento (Motor de Teorema 12.9). $p = q = 1$ da $r = 1$ : el álgebra de convolución (Teorema 11.9).

(c) Reemplazar $f, g$ por $f_\lambda = f(\lambda\cdot)$ , $g_\lambda = g(\lambda\cdot)$ : luego $f_\lambda*g_\lambda = \lambda^{-d}(f*g)(\lambda\cdot)$ , y comparando normas,

\text{LHS} \sim \lambda^{-d - d/r}, \qquad \text{RHS} \sim \lambda^{-d/p - d/q} :

una desigualdad válida para todos $f, g$ obliga a los dos escalamientos exponentes para que coincidan, es decir, $1 + \frac1r = \frac1p + \frac1q$ exactamente. Cualquier otra combinación muere en $\lambda \to 0$ o $\infty$ : La relación de Young no es una conveniencia sino una ley de escalamiento.

Ejercicio 12.12 ★★

(Casos de igualdad) (a) En desigualdad de Hölder $\int\abs{fg} \leq \norm f_p\norm g_q$ ( $1 < p < \infty$ ), mostrar que la igualdad se cumple si $\abs f^p$ y $\abs g^q$ son proporcional e.e. (Track the equality case of Young’s inequality $ab \leq \frac{a^p}p + \frac{b^q}q$ , which is $a^p = b^q$ .) (b) En la desigualdad de Minkowski $\norm{f + g}_p \leq \norm f_p + \norm g_p$ ( $1 < p < \infty$ ), demuestre que la igualdad con $f, g \neq 0$ fuerza a $g = cf$ a.e. con $c > 0$ . (c) Contraste con $p = 1$ y $p = \infty$ : describa el (mucho más grandes) casos de igualdad allí, en ejemplos.

Solución

Solución de Ejercicio 12.12.

(a) Normalice $\norm f_p = \norm g_q = 1$ . la prueba de Hölder integra la desigualdad de Young $\abs{fg} \leq \frac{\abs f^p}p + \frac{\abs g^q}q$ ; igualdad de la integrales fuerza la igualdad a.e. en Young, que (estricta convexidad de $\exp$ ; igualdad si $a^p = b^q$ ) significa $\abs f^p = \abs g^q$ a.e. Deshacer la normalización: $\abs f^p\norm g_q^q = \abs g^q\norm f_p^p$ ae — proporcionalidad.

(b) Minkowski tiene dos Hölder mayores aplicados a $\abs{f + g}^{p-1} \abs f$ y $\abs{f+g}^{p-1}\abs g$ ; fuerzas de igualdad (a) proporcionalidad en ambos: $\abs f^p$ y $\abs g^p$ cada uno proporcional a $\abs{f+g}^{(p-1)q} = \abs{f+g}^p$ , entonces $\abs g = t\abs f$ a.e. para una constante $t \geq 0$ ; y el La desigualdad inicial del triángulo puntual $\abs{f + g} \leq \abs f + \abs g$ también debe ser una igualdad ae que para valores complejos significa que $f$ y $g$ tienen a.e. el mismo argumento donde ambos son distintos de cero. Combinando: $g = tf$ a.e., $t > 0$ (ambos distintos de cero).

(c) $p = 1$ : la igualdad en $\int\abs{f + g} = \int\abs f + \int\abs g$ se mantiene siempre que $f, g$ tenga el mismo signo patrón (mismo argumento a.e.) — no se necesita proporcionalidad: $f = \mathbf 1_{\intcc01}$ y $g = \mathbf 1_{\intcc02}$ trabajo. $p = \infty$ : $\norm{f+g}_\infty = \norm f_\infty + \norm g_\infty$ tan pronto como las dos funciones alcanzan su punto máximo compatiblemente en un punto común (o a lo largo de una secuencia común): $f = g\,$ cerca de un punto es suficiente independientemente del comportamiento en otro lugar. La convexidad estricta de las bolas $L^p$ para $1 < p < \infty$ — y su falla en los puntos finales — es exactamente lo que estos casos de igualdad atestiguan.

12.7 Problema: la desigualdad de Hardy

Problema 12.1

Problema del fin de semana — Desigualdad de Hardy y su constante aguda

Para $f \in L^p(\intoo0{+\infty})$ , $1 < p < \infty$ , defina el operador resistente

(Hf)(x) = \frac1x\int_0^x f(t)\,\dd t .

La desigualdad de Hardy (1920) afirma

\norm{Hf}_p \;\leq\; \frac{p}{p-1}\,\norm f_p ,

y la constante $\frac p{p-1}$ es óptima y no se alcanza. Este problema lo prueba todo y luego se extiende a la serie.

Parte I — The inequality. Suponga primero $f \geq 0$ continuo con soporte compacto en $\intoo0{+\infty}$ y deja que $F(x) = \int_0^xf$ .

Muestre que $Hf \in L^p$ : cerca de $0$ , $F$ desaparece en un entorno de $0$ ; cerca de $\infty$ , $F$ está limitado, por lo que $(Hf)(x) = O(1/x)$ y $x \mapsto \frac1x$ pertenecen a $L^p(\intoo1{+\infty})$ para $p > 1$ .
Integrar por partes para mostrar

$\int_0^\infty \Bigl(\frac Fx\Bigr)^p\dd x = \frac{p}{p-1}\int_0^\infty\Bigl(\frac Fx\Bigr)^{p-1}f(x)\,\dd x .$

(Differentiate $x^{1-p}F^p$ ; boundary terms vanish — justify both ends.)
Aplique Hölder al lado derecho y deduzca $\norm{Hf}_p \leq \frac p{p-1}\norm f_p$ para tal $f$ .
Extender a todo $L^p$ : para $f \geq 0$ , construir $f_n$ continuo con soporte compacto en $\intoo0{+\infty}$ , $0 \leq f_n \nearrow f$ a.e. (truncar, luego aproximar monótonamente — justificar la construcción); entonces $Hf_n \nearrow Hf$ puntualmente (MCT dentro del promedio) y MCT pasa el desigualdad hasta el límite. Para $f$ firmado o complejo, concluir con $\abs{Hf} \leq H\abs f$ .

Parte II — Optimality.

Para $A > 1$ sea $f_A(t) = t^{-1/p}\,\mathbf 1_{\intcc1A}(t)$ . Calcular $\norm{f_A}_p^p = \ln A$ y, para $1 \leq x \leq A$ ,

$(Hf_A)(x) = \frac p{p-1}\;x^{-1/p}\, \bigl(1 - x^{-(1 - 1/p)}\bigr).$
Deduzca $\liminf_{A\to\infty} \norm{Hf_A}_p/ \norm{f_A}_p \geq \frac{p}{p-1}$ y concluya que la constante es óptima.
Demuestre que la igualdad $\norm{Hf}_p = \frac p{p-1}\norm f_p$ con $f \neq 0$ es imposible. (Track the equality case of Hölder in question 3: it would force $f = cx^{-1/p}$ -type behavior, which is not in $L^p$ .)

Parte III — The discrete inequality.

Para un $g \geq 0$ no creciente en $(0,\infty)$ y $a_n = g(n)$ , compare $\sum a_n^p$ y $\int g^p$ , y $H$ -promedios en consecuencia, a deducir de la Parte I La desigualdad discreta de Hardy: para $a_n \geq 0$ ,

$\sum_{n\geq1}\Bigl(\frac{a_1 + \dots + a_n}{n}\Bigr)^{p} \;\leq\; \Bigl(\frac{p}{p-1}\Bigr)^{p}\,\sum_{n\geq1}a_n^p$

— pruébelo primero para $(a_n)$ no creciente a través del comparación anterior, luego reduzca el caso general a la uno no creciente por reordenamiento (admite, con una justificación de una línea, que ordenar $(a_n)$ en El orden decreciente solo puede aumentar el lado izquierdo mientras arreglando el derecho).
Deducir: si $\sum a_n^p < \infty$ entonces el Cesàro medios de $(a_n)$ son nuevamente $\ell^p$ — y dan un ejemplo ( $p = 2$ ) donde $(a_n) \in \ell^2$ pero $a_n$ No es sumable, pero Hardy aún controla los medios.

Parte IV — Epilogue.

Demuestre que la desigualdad de Hardy falla para $p = 1$ : con $f = \mathbf 1_{\intcc01}$ , calcule $Hf$ y observe $Hf \notin L^1$ . ¿Dónde se rompe la prueba?

Part V — The maximal function, and Lebesgue’s differentiation theorem. Promedios resistentes del origen; Hardy–promedio de Littlewood alrededor de cada punto. Para $f \in L^1(\R)$ defina

Mf(x) = \sup_{r>0}\ \frac1{2r}\int_{x-r}^{x+r}\abs f\,\dd\lambda .

(Vitali, versión finita) Sea $B_1, \dots, B_N$ intervalos abiertos. Mostrar que hay una subfamilia separada $B_{i_1}, \dots, B_{i_k}$ con $\bigcup_jB_j \subseteq \bigcup_l3B_{i_l}$ , donde $3B$ denota el intervalo con el mismo centro y triple longitud (codicioso: elige repetidamente el intervalo más largo separados de los ya elegidos).
(tipo débil $(1,1)$ ) Muestre que por cada $t > 0$ ,

$\lambda\bigl(\{Mf > t\}\bigr) \;\leq\; \frac3t\,\norm f_1 :$

cada $x$ con $Mf(x) > t$ posee un intervalo centrado $B_x$ con $\int_{B_x}\abs f > t\,\lambda(B_x)$ ; tomar a compacto $K \subseteq \{Mf > t\}$ (regularidad interna), cubrirlo por un número finito de $B_x$ , aplicar la pregunta 11, y escape.
Calcular $M\mathbf 1_{\intcc01}(x)$ para $x > 1$ y deducir que $Mf \notin L^1$ por cada $f \neq 0$ ( $Mf(x) \geq \frac c{\abs x}$ en infinito): en $p = 1$ , la desigualdad débil de la pregunta 12 es la mejor posible enunciado.
(tipo fuerte para $p > 1$ ) Para $f \in L^p$ : divida $f = f\,\mathbf 1_{\abs f > t/2} + f\,\mathbf 1_{\abs f \leq t/2}$ , observe $Mf \leq M\bigl(f\mathbf 1_{\abs f > t/2}\bigr) + \frac t2$ y combine la pregunta 12 con la fórmula del pastel de capas (Proposición 11.8) y Tonelli a probar

$\norm{Mf}_p^p \;\leq\; \frac{6p\,2^{p-1}}{p-1}\,\norm f_p^p .$

(La ampliación como $p \downarrow 1$ es la pregunta 13 fracaso, cuantificado.)
(teorema de diferenciación de Lebesgue) Demuestre: para $f \in L^1(\R)$ ,

$\frac1{2r}\int_{x-r}^{x+r}f\,\dd\lambda \;\longrightarrow\; f(x) \qquad (r \to 0)\quad\text{for a.e.\ }x .$

(Clear for continuo $f$ . In general write $f = g + h$ , $g$ continuo with compacto support, $\norm h_1 < \varepsilon$ (Teorema 12.6); the set where $\limsup_{r\to0}$ of the averaged oscillation exceeds $\delta$ sits inside $\{Mh > \delta/2\} \cup \{\abs h > \delta/2\}$ , of medida $O(\varepsilon/\delta)$ ; let $\varepsilon \to 0$ , then $\delta \to 0$ along a sequence.)
Deduzca: (a) casi todos los puntos son Lebesgue punto de $f$ ; (b) para $f \in L^1$ , la primitiva $F(x) = \int_0^xf$ es diferenciable a.e. con $F' = f$ a.e. — la mitad integral de la fundamental teorema de cálculo en el mundo de Lebesgue, cierre el círculo abierto por la escalera (Problema 9.1), que mostró lo contrario la mitad puede fallar.
(puntos Densidad) Para mensurable $A \subseteq \R$ , muestran que casi todos los $x \in A$ satisfacen $\frac{\lambda(A\cap\intcc{x-r}{x+r})}{2r} \to 1$ : mensurable los conjuntos están localmente llenos en casi todos sus puntos. Dibuja, en dos líneas, cómo se obtiene esto. Otra prueba más del teorema de Steinhaus. (Ejercicio 9.8).

Part VI — Variations on the theme of averaging.

(resistente ponderado) Para $\alpha < p - 1$ y $f \geq 0$ , mostrar

$\int_0^\infty\Bigl(\frac{F(x)}x\Bigr)^{p} x^{\alpha}\,\dd x \;\leq\; \Bigl(\frac{p}{p - 1 - \alpha}\Bigr)^{p} \int_0^\infty f(x)^p\,x^{\alpha}\,\dd x$

por la misma integración por partes, y comprobar que la límite $\alpha = p - 1$ está realmente prohibido (adapte el contraejemplo de la pregunta 10).
(El adjunto) Deje $H^*f(x) = \int_x^{\infty}\frac{f(t)}t\,\dd t$ . Mostrar $\langle Hf, g\rangle = \langle f, H^*g\rangle$ para $f, g$ (Tonelli) no negativo y demostrar $\norm{H^*f}_p \leq p\,\norm f_p$ (directamente por partes, o de Hardy en el exponente conjugado por dualidad — tenga en cuenta qué exponente recoge cuál constante).
(Una desigualdad de tipo Hilbert) Deduce que para no negativo $f \in L^p$ , $g \in L^q$ :

$\int_0^\infty\!\!\int_0^\infty \frac{f(x)\,g(y)}{\max(x,y)}\,\dd x\,\dd y \;\leq\; (p + q)\,\norm f_p\,\norm g_q$

(split along $y < x$ / $y \geq x$ : each half is a pairing of one function against a Hardy transform of the other).
(Optimidad, discreta) Demuestre que la constante $\bigl(\frac p{p-1}\bigr)^p$ de la pregunta 8 también es óptimo: pruebe en $a_n = n^{-1/p}\,\mathbf 1_{n \leq N}$ , compare ambos lados con integrales y deje $N \to \infty$ (el espejo discreto de la Parte II).
(Síntesis) Aparecieron tres operadores promediadores en este problema: $H$ de Hardy, el discreto Cesàro media y el operador máximo $M$ . estado en uno línea cada uno lo que dice su delimitación, observe que todos tres fallan exactamente en $p = 1$ y explica por qué es el mismo fallo tres veces (la cola armónica $\frac1x$ ).

Part VII — Carleman’s inequality, and how sharp is sharp.

(Desigualdad de Carleman) Sea $a_n \geq 0$ con $\sum a_n < \infty$ . Aplicar la desigualdad discreta de Hardy de pregunta 8 a $b_n = a_n^{1/p}$ , utilice el desigualdad media aritmética-geométrica, y sea $p \to \infty$ (muestre que $p \mapsto \bigl(\frac p{p-1}\bigr)^p$ disminuye a $\eu$ ) para obtener

$\sum_{n\geq1}\bigl(a_1a_2\cdots a_n\bigr)^{1/n} \;\leq\; \eu\,\sum_{n\geq1}a_n :$

las medias geométricas de una secuencia sumable son sumable, con un coste como máximo $\eu$ .
(La constante $\eu$ es óptima) Prueba $a_n = \frac1n\,\mathbf 1_{n\leq N}$ : usando Stirling horquillado de Problema 11.1, mostrar $(n!)^{-1/n} = \frac\eu n\bigl(1 + O\bigl(\frac{\ln n}n\bigr)\bigr)$ , deduce que ambos lados de Carleman crecen como $\eu\ln N$ , y concluyen que ninguna constante menor que $\eu$ puede funcionar. (Observar el patrón: los optimizadores de Hardy y de Carleman son ambas secuencias de tipo armónico que simplemente no logran estar en el espacio.)
(¿Con qué lentitud se acerca "nítido"?) Tome $p = 2$ . Para $f = \mathbf 1_{\intcc01}$ , calcule $\norm{Hf}_2/\norm f_2 = \sqrt2$ , contra el atado $2$ . Para los casi optimizadores $f_A$ de la pregunta 5, demostrar la identidad exacta

$\norm{Hf_A}_2^2 = 4\ln A - 8 + \frac{8}{\sqrt A}, \qquad\text{so}\qquad \frac{\norm{Hf_A}_2^2}{\norm{f_A}_2^2} = 4 - \frac{8 - 8A^{-1/2}}{\ln A} .$

Evaluar en $A = \eu^{10}$ (relación $\approx 1.790$ ) y comenta: el supremo $2$ se acerca a gran velocidad $1/\ln A$ solamente — una constante óptima puede ser casi invisible numéricamente.

Solución

Solución de Problema 12.1.

1. $f$ tiene soporte en algún $[\alpha, \beta] \subseteq \intoo0\infty$ , por lo que $F = 0$ en $[0, \alpha]$ y $F \equiv F(\beta)$ en $[\beta, \infty)$ : $Hf$ se anula cerca de $0$ y es $O(1/x)$ en el infinito; $\int_1^\infty x^{-p}\dd x < \infty$ para $p > 1$ y $Hf$ es continuo: $Hf \in L^p$ .

2. $\bigl(x^{1-p}F(x)^p\bigr)' = (1-p)x^{-p}F^p + p\,x^{1-p}F^{p-1}f$ . Ambos valores límite desaparecen: en $0$ porque $F = 0$ cerca de $0$ ; en $\infty$ porque $x^{1-p}F^p \leq F(\beta)^p x^{1-p} \to 0$ ( $p > 1$ ). Integrando la identidad sobre $\intoo0\infty$ :

0 = (1 - p)\int_0^\infty\Bigl(\frac Fx\Bigr)^p\dd x + p\int_0^\infty\Bigl(\frac Fx\Bigr)^{p-1}f(x)\,\dd x,

cuál es la relación mostrada.

3. Hölder con exponentes $q = \frac p{p-1}$ y $p$ :

\int\Bigl(\frac Fx\Bigr)^{p-1}f \leq \Bigl(\int\Bigl(\frac Fx\Bigr)^{p}\Bigr)^{1 - 1/p}\,\norm f_p ,

entonces $\norm{Hf}_p^p \leq \frac p{p-1}\norm{Hf}_p^{p-1}\norm f_p$ ; dividir (finito por la pregunta 1, y si $0$ hay nada que demostrar).

4. Vamos $f \in L^p$ , $f \geq 0$ . Elija $\varphi_k \in \mathcal C_c(\intoo0\infty)$ con $\varphi_k \to f$ en $L^p$ (Teorema 12.6(2), intersección con la vía abierta media línea — aproximado $f\mathbf 1_{[1/k, k]}$ y diagonalizar) y reemplazar $\varphi_k$ por $\abs{\varphi_k}$ (aún continuo y más cercano a $f \geq 0$ ). Por cada fijo $x > 0$ , Hölder en $\intoo0x$ da

\abs{H\varphi_k(x) - Hf(x)} \leq \frac1x\,x^{1 - 1/p}\,\norm{\varphi_k - f}_p \to 0 :

$H\varphi_k \to Hf$ puntualmente. Fatou y la pregunta 3:

\int (Hf)^p \leq \liminf_k\int(H\varphi_k)^p \leq \Bigl(\frac p{p-1}\Bigr)^p\liminf_k\norm{\varphi_k}_p^p = \Bigl(\frac p{p-1}\Bigr)^p\norm f_p^p .

Para $f$ firmado o complejo: $\abs{Hf} \leq H\abs f$ puntual, y el caso no negativo se aplica a $\abs f$ .

5. $\norm{f_A}_p^p = \int_1^A t^{-1}\dd t = \ln A$ . Para $1 \leq x \leq A$ :

(Hf_A)(x) = \frac1x\int_1^x t^{-1/p}\dd t = \frac{x^{1 - 1/p} - 1}{(1 - \tfrac1p)\,x} = \frac p{p-1}\,x^{-1/p}\bigl(1 - x^{-(1 - 1/p)}\bigr).

6. Repare $\varepsilon > 0$ y $X_0$ con $(1 - x^{-(1-1/p)})^p \geq 1 - \varepsilon$ para $x \geq X_0$ . entonces

\norm{Hf_A}_p^p \geq \int_{X_0}^A\Bigl(\frac p{p-1}\Bigr)^p\frac{1 - \varepsilon}{x}\,\dd x = \Bigl(\frac p{p-1}\Bigr)^p(1 - \varepsilon)\,(\ln A - \ln X_0),

entonces $\dfrac{\norm{Hf_A}_p^p}{\norm{f_A}_p^p} \geq \bigl(\frac p{p-1}\bigr)^p(1 - \varepsilon)\bigl(1 - \frac{\ln X_0}{\ln A}\bigr) \to \bigl(\frac p{p-1}\bigr)^p(1 - \varepsilon)$ como $A \to \infty$ : la constante no se puede mejorar.

7. La igualdad en la pregunta 3 obliga a la igualdad en Hölder: $f^p$ proporcional a $\bigl(\frac Fx\bigr)^{(p-1)q} = \bigl(\frac Fx\bigr)^p$ a.e., es decir $f = \gamma\,\frac Fx$ a.e. para algunos $\gamma \geq 0$ . Dado que $F(x) = \int_0^xf$ es absolutamente continuo con $F' = f$ a.e., $F$ resuelve $F' = \gamma F/x$ : en cualquier intervalo donde $F > 0$ , $(\ln F)' = \gamma/x$ , entonces $F = c\,x^{\gamma}$ y $f = c\gamma x^{\gamma - 1}$ están allí. Pero no hay potencia distinta de cero $x^{\gamma-1}$ pertenece a $L^p(\intoo0\infty)$ (se necesita $p(\gamma - 1) < -1$ en $\infty$ y $> -1$ en $0$ : incompatible), y $F$ no puede desaparecen de forma idéntica a menos que $f = 0$ . Entonces la igualdad exige $f = 0$ .

8. Dado $(a_n)$ $\geq 0$ no creciente, defina el función de paso $g(t) = a_{\lceil t\rceil}$ activada $\intoo0{+\infty}$ : no creciente, con $\int_0^\infty g^p = \sum_na_n^p$ y $\int_0^ng = a_1 + \dots + a_n$ , entonces $(Hg)(n) = \frac{a_1 + \dots + a_n}n$ . El promedio de un la función no creciente no es creciente, por lo que $Hg$ lo es, y

\sum_{n\geq1}\Bigl(\frac{a_1{+}\dots{+}a_n}n\Bigr)^p = \sum_{n\geq1}(Hg)(n)^p \leq \sum_{n\geq1}\int_{n-1}^n (Hg)(t)^p\,\dd t = \norm{Hg}_p^p \leq \Bigl(\frac p{p-1}\Bigr)^p\sum_n a_n^p

por la Parte I. Para una secuencia general no negativa, sea $(a_n^*)$ ser su reordenamiento no creciente (posible cuando $a_n \to 0$ , lo cual podemos suponer — de lo contrario ambos lados son infinitos): el lado derecho no cambia y cada suma parcial $a_1 + \dots + a_n$ es como máximo $a_1^* + \dots + a_n^*$ (el $n$ más grande términos): el lado izquierdo sólo crece. De ahí la desigualdad para todos. $(a_n)$ .

9. Si $(a_n) \in \ell^p$ , la secuencia de Cesàro significa está en $\ell^p$ con norma $\leq \frac p{p-1}\norm a_p$ . Ejemplo ( $p = 2$ ): $a_n = \frac1{\sqrt n\,\ln n}$ ( $n \geq 2$ ): $\sum a_n^2 = \sum\frac1{n\ln^2n} < \infty$ , todavía $\sum a_n = \infty$ (prueba integral); Hardy todavía garantiza $\sum_n\bigl(\frac{a_1 + \dots + a_n}n\bigr)^2 < \infty$ .

10. Para $f = \mathbf 1_{\intcc01}$ : $Hf(x) = 1$ en $\intoc01$ y $= \frac1x$ para $x \geq 1$ : $\int_0^\infty Hf = 1 + \int_1^\infty\frac{\dd x}x = \infty$ , mientras que $\norm f_1 = 1$ . La prueba colapsa en dos puntos: la constante $\frac p{p-1}$ explota como $p \to 1$ y el término límite $x^{1-p}F^p$ ya no desaparece en el infinito para $p = 1$ . La desigualdad de Hardy es un fenómeno honesto $p > 1$ .

11. Elija el intervalo más largo $B_{i_1}$ ; descartar cada intervalo que lo cumpla; elige al superviviente más largo $B_{i_2}$ ; iterar (un finito de intervalos). los elegidos están separados por construcción, y cada $B$ descartado cumplió con un intervalo elegido al menos tan largo: un intervalo que cumple con un uno más largo o igual está contenido en su triple, $B \subseteq 3B_{i_l}$ .

12. $\{Mf > t\}$ está abierto: cada $x \mapsto \frac1{2r}\int_{x-r}^{x+r}\abs f$ promedio es continuo (dominado convergencia en $x$ ), y un supremo de funciones continuo es semicontinuo inferior. Cada $x$ posee $B_x = \intoo{x-r_x}{x+r_x}$ con $\int_{B_x}\abs f > t\,\lambda(B_x)$ . Para compacto $K \subseteq \{Mf > t\}$ : un número finito de extractos de $B_x$ cubren $K$ , Vitali (pregunta 11) $B_1', \dots, B_k'$ disjunto con $K \subseteq \bigcup_l3B_l'$ , por lo que

\lambda(K) \leq 3\sum_l\lambda(B_l') < \frac3t\sum_l\int_{B_l'}\abs f \leq \frac3t\,\norm f_1

por desunión; regularidad interior (Teorema 9.13) concluye.

13. Para $x > 1$ : con $r \in \intcc{x-1}x$ el el promedio es $\frac{r - x + 1}{2r}$ , aumentando en $r$ ; para $r \geq x$ es $\frac1{2r}$ , decreciente: el supremo es $\frac1{2x}$ , obtenido en $r = x$ . Entonces $M\mathbf 1_{\intcc01} \notin L^1$ . En general, si $\int_I\abs f = c > 0$ en un intervalo acotado $I \subseteq \intcc{-C}C$ , luego $Mf(x) \geq \frac{c}{2(\abs x + C)}$ para todos los $x$ : nunca integrable a menos que $f = 0$ a.e.

14. Con $f_t = f\,\mathbf 1_{\abs f > t/2}$ : $M(f - f_t) \leq \frac t2$ , entonces $\{Mf > t\} \subseteq \{Mf_t > \frac t2\}$ y la pregunta 12 dan $\lambda(Mf > t) \leq \frac6t\int_{\abs f > t/2}\abs f$ . pastel de capas (Proposición 11.8) y Tonelli:

\norm{Mf}_p^p = p\int_0^\infty t^{p-1}\lambda(Mf > t)\dd t \leq 6p\int\abs f\int_0^{2\abs f}t^{p-2}\,\dd t\,\dd\lambda = \frac{6p\,2^{p-1}}{p-1}\,\norm f_p^p .

15. Escribe $A_rf(x) = \frac1{2r}\int_{x-r}^{x+r}f$ . Para continuo $g$ : $A_rg(x) \to g(x)$ en todas partes. dado $\varepsilon > 0$ , dividir $f = g + h$ con $g$ continuo de Soporte compacto y $\norm h_1 < \varepsilon$ (Teorema 12.6); entonces

\limsup_{r\to0}\,\abs{A_rf(x) - f(x)} \leq Mh(x) + \abs{h(x)},

entonces $\Omega_\delta = \{\limsup_r\abs{A_rf - f} > \delta\} \subseteq \{Mh > \tfrac\delta2\} \cup \{\abs h > \tfrac\delta2\}$ tiene medida $\leq \frac{6\varepsilon}\delta + \frac{2\varepsilon}\delta$ (pregunta 12; Markov). $\varepsilon$ arbitrario: $\lambda(\Omega_\delta) = 0$ ; unión sobre $\delta = \frac1k$ : $A_rf \to f$ a.e.

16. (a) Para cada $q \in \Q$ , la pregunta 15 se aplicó a $\abs{f - q}$ da $A_r\abs{f - q}(x) \to \abs{f(x) - q}$ ae; en la intersección de estos conjuntos medida completa, elija $q$ con $\abs{f(x) - q} < \eta$ : $\limsup_rA_r\abs{f - f(x)}(x) \leq 2\eta$ por cada $\eta$ : casi todos los $x$ son un punto Lebesgue. (b) En un Lebesgue punto,

\Bigl|\frac{F(x + h) - F(x)}h - f(x)\Bigr| = \Bigl|\frac1h\int_x^{x+h}\bigl(f - f(x)\bigr)\Bigr| \leq 2\,A_{\abs h}\abs{f - f(x)}(x) \to 0 :

$F' = f$ a.e. — las primitivas de las funciones $L^1$ no diferenciar de nuevo; la escalera (Problema 9.1) es el contraejemplo de la dirección conversar únicamente.

17. Aplicar la pregunta 15 a $\mathbf 1_{A\cap[-n,n]}$ y dejar crecer $n$ : para a.e. $x \in A$ el densidad $\frac{\lambda(A\cap\intcc{x-r}{x+r})}{2r} \to 1$ . Steinhaus: alrededor de un punto densidad tomar $r$ con densidad $> \frac34$ ; para $\abs t < \frac r2$ , $A$ y $A + t$ cada uno llena más de $\frac32r$ de un intervalo de longitud $\leq \frac52r$ , por lo tanto intersección: $\intoo{-r/2}{r/2} \subseteq A - A$ .

18. Deja que $G(x) = x^{\alpha+1-p}F(x)^p$ : $G$ desaparezca en $0$ ( $F$ desaparece cerca de $0$ ) y en $\infty$ ( $F$ acotado, $\alpha + 1 - p < 0$ ), entonces $\int_0^\infty G' = 0$ con

G' = (\alpha + 1 - p)\,x^{\alpha-p}F^p + p\,x^{\alpha+1-p}F^{p-1}f = (\alpha + 1 - p)\Bigl(\frac Fx\Bigr)^px^\alpha + p\Bigl(\frac Fx\Bigr)^{p-1}f\,x^\alpha .

Por lo tanto $\int(F/x)^px^\alpha = \frac{p}{p-1-\alpha} \int(F/x)^{p-1}f\,x^\alpha$ ; Hänterior para el medida $x^\alpha\dd x$ (exponentes $\frac p{p-1}$ y $p$ ) termina como en la pregunta 3. Límite $\alpha = p - 1$ : con $f(t) = \frac1t\mathbf 1_{\intcc1A}$ , el lado derecho es $\ln A$ mientras que la izquierda contiene $\int_1^A\frac{(\ln x)^p}x\dd x = \frac{(\ln A)^{p+1}}{p+1}$ : ninguna constante sobrevive a $A \to \infty$ .

19. Tonelli en $\{0 < t < x\}$ :

\langle Hf, g\rangle = \int_0^\infty\frac{g(x)}x\int_0^xf(t)\,\dd t\,\dd x = \int_0^\infty f(t)\int_t^\infty\frac{g(x)}x\,\dd x\,\dd t = \langle f, H^*g\rangle .

Dualidad: $\norm{H^*f}_p = \sup\{\langle f, Hg\rangle : g \geq 0, \norm g_q \leq 1\} \leq \norm f_p\cdot \sup\norm{Hg}_q \leq \frac q{q-1}\norm f_p = p\,\norm f_p$ , Hardy siendo invocado en $L^q$ , cuya constante $\frac q{q-1}$ es igual a $p$ .

20. Dividir a lo largo de la diagonal (nula). En $\{y \leq x\}$ :

\iint_{y\leq x}\frac{f(x)g(y)}{x}\,\dd y\,\dd x = \int f(x)\,(Hg)(x)\,\dd x \leq \norm f_p\,\norm{Hg}_q \leq p\,\norm f_p\norm g_q,

ya que Hardy en $L^q$ lleva la constante $\frac q{q-1} = p$ . Simétricamente, $\iint_{y>x} = \int g\,(Hf) \leq \norm g_q\norm{Hf}_p \leq q\,\norm f_p\norm g_q$ ( $\frac p{p-1} = q$ ). Total: $(p + q)\,\norm f_p\norm g_q$ .

21. Para $a_n = n^{-1/p}$ , $n \leq N$ : el derecho El lado es $\bigl(\frac p{p-1}\bigr)^p\sum_{n\leq N}\frac1n = \bigl(\frac p{p-1}\bigr)^p\ln N + O(1)$ . A la izquierda, para $n \leq N$ : $a_1 + \dots + a_n \geq \int_1^{n+1}t^{-1/p}\dd t = \frac{p}{p-1}\bigl((n+1)^{1-1/p} - 1\bigr)$ , por lo que $n$ -ésimo La media de Cesàro es $\geq \frac p{p-1}n^{-1/p}(1 - o(1))$ uniformemente para $n$ en cualquier rango $n \geq n_0(\eta)$ ; elevando al $p$ y sumando, el lado izquierdo es $\geq \bigl(\frac p{p-1}\bigr)^p(1 - \eta)\ln N + O_\eta(1)$ . Dividiendo y dejando $N \to \infty$ , luego $\eta \to 0$ : no Una constante menor que $\bigl(\frac p{p-1}\bigr)^p$ puede funcionar.

22. $H$ acotado a $L^p$ : los promedios acumulados no no inflar $p$ -normas (constante $\frac p{p-1}$ ); Cesàro en $\ell^p$ : igual, discretizado; $M$ acotado en $L^p$ : par el mejor promedio local se mantiene bajo control (constante $O(\frac1{p-1})$ ). Los tres fallan en $p = 1$ , y por uno razón: promediar una unidad concentrada de masa produce una $\frac1x$ cola (preguntas 10 y 13), y $\frac1x$ pertenece a cada $L^p$ cerca del infinito excepto $L^1$ . Suavizado de diferenciales masa exactamente a la frontera armónica de integrabilidad.

23. Configure $b_n = a_n^{1/p}$ , por lo que $\sum b_n^p = \sum a_n$ . La pregunta 8 da

\sum_{n\geq1}\Bigl(\frac{b_1 + \dots + b_n}n\Bigr)^{p} \leq \Bigl(\frac p{p-1}\Bigr)^{p}\sum_{n\geq1}a_n,

y AM–GM limita cada sumando desde abajo:

\Bigl(\frac{b_1 + \dots + b_n}n\Bigr)^{p} \geq \bigl(b_1\cdots b_n\bigr)^{p/n} = \bigl(a_1\cdots a_n\bigr)^{1/n}.

Por lo tanto $\sum(a_1\cdots a_n)^{1/n} \leq \bigl(\frac p{p-1}\bigr)^p\sum a_n$ para cada $p > 1$ . Con $m = p - 1$ ,

\Bigl(\frac p{p-1}\Bigr)^{p} = \Bigl(1 + \frac1m\Bigr)^{m+1},

que disminuye a $\eu$ como $m \to \infty$ (el clásico secuencia superior monótona para $\eu$ ). Tomando el control del mínimo $p$ da la desigualdad de Carleman con constante $\eu$ .

24. Para $a_n = \frac1n$ , $(a_1\cdots a_n)^{1/n} = (n!)^{-1/n}$ . El bracketing de Problema 11.1 da $\sqrt{2\pi n}\,(n/\eu)^n \leq n! \leq \sqrt{2\pi n}\,(n/\eu)^n\eu^{1/(12n)}$ , entonces

(n!)^{1/n} = \frac n\eu\,(2\pi n)^{1/(2n)} \eu^{O(1/n^2)} = \frac n\eu\Bigl(1 + O\Bigl(\frac{\ln n}{n}\Bigr)\Bigr),

desde $(2\pi n)^{1/(2n)} = \exp\bigl(\frac{\ln(2\pi n)}{2n}\bigr)$ . Invirtiendo, $(n!)^{-1/n} = \frac\eu n(1 + O(\frac{\ln n}n))$ y sumando $n \leq N$ :

\sum_{n\leq N}(n!)^{-1/n} = \eu\ln N + O(1), \qquad \eu\sum_{n\leq N}\frac1n = \eu\ln N + O(1)

(la serie de errores $\sum\frac{\ln n}{n^2}$ converge). un La desigualdad de Carleman con $c$ constante forzaría a $\eu\ln N + O(1) \leq c\,(\ln N + O(1))$ , por lo tanto $c \geq \eu$ a dividiendo por $\ln N$ . Las secuencias de optimización se alinean: $n^{-1/p}$ (pregunta 21) aborda la constante de Hardy, Carleman por $n^{-1}$ — en cada caso el tipo armónico secuencia que se encuentra justo fuera del espacio que se está promediando.

25. Para $f = \mathbf 1_{\intcc01}$ : $Hf(x) = 1$ en $\intoc01$ y $Hf(x) = \frac1x$ para $x > 1$ , entonces $\norm{Hf}_2^2 = 1 + \int_1^\infty x^{-2}\dd x = 2$ y el La relación es $\sqrt2 \approx 1.414$ , aproximadamente $71\%$ del agudo atado. Para $f_A$ ( $p = 2$ ): $F(x) = 2(\sqrt x - 1)$ en $\intcc1A$ , entonces en ese rango $Hf_A = 2x^{-1/2} - 2x^{-1}$ y, para $x > A$ , $Hf_A(x) = 2(\sqrt A - 1)/x$ . cuadratura e integrando,

\begin{align*} \int_1^A\bigl(2x^{-1/2} - 2x^{-1}\bigr)^2\dd x &= 4\ln A - 12 + \frac{16}{\sqrt A} - \frac4A,\\ \int_A^{\infty}\frac{4(\sqrt A - 1)^2}{x^2}\,\dd x &= 4 - \frac{8}{\sqrt A} + \frac4A, \end{align*}

de donde $\norm{Hf_A}_2^2 = 4\ln A - 8 + 8A^{-1/2}$ ; dividiendo por $\norm{f_A}_2^2 = \ln A$ proporciona la identidad indicada. En $A = \eu^{10}$ : $4 - \frac{8(1 - \eu^{-5})}{10} = 3.2054$ , entonces la relación es $\sqrt{3.2054} \approx 1.790 < 2$ . el defecto $4 - \norm{Hf_A}_2^2/\norm{f_A}_2^2 \sim 8/\ln A$ decae sólo logarítmicamente: para alcanzar la relación $1.99$ se necesitaría $\ln A \approx 200$ , es decir $A \approx 10^{87}$ . Afilado Las constantes son teoremas, no experimentos.

12.1 Definición; Hölder y Minkowski

12.2 La integridad y sus acompañantes.

12.3 Teoremas de densidad

12.4 Convolución y regularización

12.5 La geografía LpL^pLp

12.6 Ceremonias

12.7 Problema: la desigualdad de Hardy

12.5 La geografía $L^p$