¿Qué es Grupo?

Ejemplo 7.4

$(\Z, +)$, $(\Q, +)$, $(\R, +)$, $(\C, +)$; $(\Q^*, \times)$, $(\R^*, \times)$, $(\C^*, \times)$, $(\mathbb{U}_n, \times)$ (raíces de la unidad, Definición 3.17); el conjunto $\mathfrak{S}(E)$ de las biyecciones de un conjunto $E$ en sí mismo, con la composición — el grupo simétrico de $E$, no abeliano en cuanto $\abs E \geq 3$. No son grupos: $(\N, +)$ (faltan inversos), $(\Z, \times)$ (solo $\pm 1$ es invertible).

Ejemplo 7.6 (Las simetrías de un rectángulo)

Un rectángulo (no cuadrado) admite exactamente cuatro isometrías en sí mismo: la identidad $e$, la simetría respecto del eje horizontal $h$, la simetría respecto del eje vertical $v$ y el giro de media vuelta $r$ alrededor del centro. La composición hace de este conjunto de cuatro elementos un grupo: cada elemento es su propio inverso ($h^2 = v^2 = r^2 = e$) y el producto de dos elementos distintos y distintos del neutro es el tercero ($hv = vh = r$: reflejar en los dos ejes es el giro de media vuelta). La tabla completa es simétrica, luego el grupo es abeliano — y, sin embargo, no es el mismo grupo que las rotaciones $\mathbb U_4$ del Ejemplo 7.15: allí $\iu$ tiene orden $4$, mientras que aquí todo elemento tiene orden $\leq 2$. Dos grupos del mismo tamaño pueden, pues, tener estructuras multiplicativas genuinamente distintas — la figura de más abajo muestra las dos tablas una al lado de la otra. Este grupo de cuatro elementos vuelve como $\{\pm1\} \times \{\pm1\}$, y el Ejercicio 7.7 explica por qué todo grupo con todos los cuadrados triviales debe ser, como este, abeliano.

Ejemplo 7.13 (El morfismo del signo)

La aplicación $s \colon (\R^*, \times) \to (\{\pm1\}, \times)$ que envía $x$ a su signo es un morfismo: el signo de un producto es el producto de los signos. Su núcleo es $\intoo0{+\infty}$ (un subgrupo, como promete la Definición 7.10) y su imagen es todo $\{\pm1\}$: sobreyectivo y masivamente no inyectivo. Dos lecciones generales en miniatura. Primera: un morfismo puede aplastar información; $s$ no recuerda nada de $x$ salvo un bit, y esa es su virtud — los argumentos de signo son exactamente los cálculos que pasan por $s$. Segunda: los morfismos en $\{\pm1\}$ son los «invariantes» más simples; la signatura de las permutaciones, construida en el problema del fin de semana de este capítulo, es el mismo fenómeno sobre el grupo $\mathfrak S_n$, y todos los argumentos de paridad que mueve descienden por un morfismo bivaluado así.