¿Qué es Relación de dispersión; velocidad de fase? — Física

Definición 8.1 Física universitaria — segundo año · Capítulo 8 — Dispersión y paquetes de ondas

Un medio lineal, homogéneo e invariante en el tiempo admite las ondas planas monocromáticas $\underline s = A\,\eu^{\iu(\omega t - kx)}$ (en notación compleja; la señal física es la parte real) siempre que $\omega$ y $k$ cumplan la relación de dispersión del medio, $\mathcal D(\omega, k) = 0$ , resuelta como $k(\omega)$ o como $\omega(k)$ . Para $k$ real la onda viaja sin deformarse a la velocidad de fase

v_\varphi = \frac\omega k .

El medio es no dispersivo cuando $v_\varphi$ no depende de $\omega$ (entonces $\omega = ck$ y toda señal se propaga sin deformarse — la ecuación de d’Alembert), y dispersivo en caso contrario.

A la izquierda, tres relaciones de dispersión: una recta para un medio no dispersivo, la hipérbola de Klein–Gordon con su frecuencia de corte y la parábola de las ondas en aguas profundas. A la derecha, para la relación de Klein–Gordon la velocidad de fase supera a c y la velocidad de grupo se queda por debajo, con v_ v_g = c2. — A la izquierda, tres relaciones de dispersión: una recta para un medio no dispersivo, la hipérbola de Klein–Gordon con su frecuencia de corte y la parábola de las ondas en aguas profundas. A la derecha, para la relación de Klein–Gordon la velocidad de fase supera a $c$ y la velocidad de grupo se queda por debajo, con $v_\varphi v_g = c^2$ .

Ejemplos

Ejemplo 8.2 (Medios dispersivos y no dispersivos)

(i) Una cuerda sobre un lecho elástico (fuerza recuperadora $-Ky$ por unidad de longitud, o una cadena de péndulos), $\mu\partial_t^2y = T\partial_x^2y - Ky$ : $\omega^2 = \omega_c^2 + c^2k^2$ con $\omega_c = \sqrt{K/\mu}$ — la relación de Klein–Gordon, la misma que la de un plasma y la de una guía de ondas (Capítulos 14 y 16): $v_\varphi = c/\sqrt{1 - \omega_c^2/\omega^2} > c$ , y ningún $k$ real por debajo de la frecuencia de corte $\omega_c$ . (ii) Ondas de gravedad en aguas profundas: $\omega^2 = gk$ (admitida), $v_\varphi = \sqrt{g/k} = \sqrt{g\lambda/2\pi}$ : las ondas largas son más rápidas — $12.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ para $100\,\mathrm{m}$ y $40\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ para $1\,\mathrm{km}$ . (iii) La cadena de átomos, $\omega = 2\omega_0|\sin(ka/2)|$ (Capítulo 6). (iv) La luz en el vidrio, $k = n(\omega)\omega/c$ , y por eso un prisma despliega un espectro.

Ejemplo 8.7 (Klein–Gordon: más rápido que la luz, y no)

Para $\omega^2 = \omega_c^2 + c^2k^2$ : $v_\varphi = \omega/k$ y $v_g = c^2k/\omega$ , luego $v_\varphi v_g = c^2$ : la velocidad de fase supera a $c$ (en la ionosfera, las crestas de una onda de $10\,\mathrm{MHz}$ se mueven más deprisa que la luz), pero la velocidad de grupo, que es la que lleva la señal, se queda por debajo. Una velocidad de fase no transporta ni energía ni información — las crestas son como la mancha del haz de un faro que barre una nube lejana.

Leer en el capítulo →