Física universitaria — segundo año · Bachelor Year 2

8Dispersión y paquetes de ondas

Tírese una piedra a un estanque y obsérvese el anillo de ondas: nacen crestas nuevas en su borde interior, lo recorren hacia fuera y mueren en su borde exterior — el anillo entero se mueve más despacio que las crestas que lo forman. Siéntese uno en una playa después de una tormenta lejana y el mar de fondo, largo y lento, llegará un día antes que el oleaje corto: el mar clasifica las ondas por su longitud de onda. El primer cable telegráfico transatlántico, en 1858, convertía puntos y rayas nítidos en un borrón que costaba minutos leer. En los tres casos la celeridad de una onda depende de su frecuencia: el medio es dispersivo. Este capítulo presenta la relación de dispersión, el número de onda complejo que lleva a la vez la propagación y la absorción, la velocidad de grupo a la que viaja realmente un paquete — y su energía, y su información — y la línea por la que han viajado la telegrafía, la televisión e internet: el cable coaxial.

8.1 La relación de dispersión

Definición 8.1 (Relación de dispersión; velocidad de fase)

Un medio lineal, homogéneo e invariante en el tiempo admite las ondas planas monocromáticas $\underline s = A\,\eu^{\iu(\omega t - kx)}$ (en notación compleja; la señal física es la parte real) siempre que $\omega$ y $k$ cumplan la relación de dispersión del medio, $\mathcal D(\omega, k) = 0$ , resuelta como $k(\omega)$ o como $\omega(k)$ . Para $k$ real la onda viaja sin deformarse a la velocidad de fase

v_\varphi = \frac\omega k .

El medio es no dispersivo cuando $v_\varphi$ no depende de $\omega$ (entonces $\omega = ck$ y toda señal se propaga sin deformarse — la ecuación de d’Alembert), y dispersivo en caso contrario.

Demostración. Sustituir $\eu^{\iu(\omega t - kx)}$ en una ecuación lineal de coeficientes constantes convierte cada $\partial_t$ en $\iu\omega$ y cada $\partial_x$ en $-\iu k$ , y deja una relación algebraica. La cuerda, la onda sonora y la barra dieron $\omega^2 = c^2k^2$ . ∎

Ejemplo 8.2 (Medios dispersivos y no dispersivos)

(i) Una cuerda sobre un lecho elástico (fuerza recuperadora $-Ky$ por unidad de longitud, o una cadena de péndulos), $\mu\partial_t^2y = T\partial_x^2y - Ky$ : $\omega^2 = \omega_c^2 + c^2k^2$ con $\omega_c = \sqrt{K/\mu}$ — la relación de Klein–Gordon, la misma que la de un plasma y la de una guía de ondas (Capítulos 14 y 16): $v_\varphi = c/\sqrt{1 - \omega_c^2/\omega^2} > c$ , y ningún $k$ real por debajo de la frecuencia de corte $\omega_c$ . (ii) Ondas de gravedad en aguas profundas: $\omega^2 = gk$ (admitida), $v_\varphi = \sqrt{g/k} = \sqrt{g\lambda/2\pi}$ : las ondas largas son más rápidas — $12.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ para $100\,\mathrm{m}$ y $40\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ para $1\,\mathrm{km}$ . (iii) La cadena de átomos, $\omega = 2\omega_0|\sin(ka/2)|$ (Capítulo 6). (iv) La luz en el vidrio, $k = n(\omega)\omega/c$ , y por eso un prisma despliega un espectro.

A la izquierda, tres relaciones de dispersión: una recta para un medio no dispersivo, la hipérbola de Klein–Gordon con su frecuencia de corte y la parábola de las ondas en aguas profundas. A la derecha, para la relación de Klein–Gordon la velocidad de fase supera a c y la velocidad de grupo se queda por debajo, con v_ v_g = c2. — A la izquierda, tres relaciones de dispersión: una recta para un medio no dispersivo, la hipérbola de Klein–Gordon con su frecuencia de corte y la parábola de las ondas en aguas profundas. A la derecha, para la relación de Klein–Gordon la velocidad de fase supera a $c$ y la velocidad de grupo se queda por debajo, con $v_\varphi v_g = c^2$ .

Definición 8.3 (Número de onda complejo: propagación y atenuación)

Cuando la relación de dispersión da, para $\omega$ real, un $\underline k = k' - \iu k''$ complejo, la onda vale

\underline s = A\,\eu^{-k''x}\,\eu^{\iu(\omega t - k'x)} :

se propaga a $v_\varphi = \omega/k'$ y su amplitud decae como $\eu^{-x/\delta}$ , con la longitud de atenuación $\delta = 1/k''$ (debe decaer en su sentido de propagación: $k'$ y $k''$ del mismo signo). Si $\underline k$ es imaginario puro, $\underline k = -\iu\kappa$ , la onda es evanescente: $A\,\eu^{-\kappa x}\eu^{\iu\omega t}$ , una oscilación estacionaria cuya amplitud muere en la distancia $1/\kappa$ sin propagar nada — el caso de un medio de Klein–Gordon por debajo de su corte, $\kappa = \sqrt{\omega_c^2 - \omega^2}/c$ , y el de un metal a frecuencias ópticas.

Ejemplo 8.4 (Una cuerda amortiguada)

Una cuerda en un fluido viscoso, $\mu\partial_t^2y + \alpha\partial_ty = T\partial_x^2y$ : $\underline k^2 = (\omega^2 - \iu\alpha\omega/\mu)/c^2$ . Con amortiguamiento débil ( $\alpha \ll \mu \omega$ ), $\underline k \approx \dfrac\omega c\Bigl(1 - \iu\dfrac{\alpha}{2\mu\omega}\Bigr)$ : la onda conserva su celeridad y pierde amplitud en $\delta = 2\mu c/\alpha = 2Z/\alpha$ , independiente de la frecuencia — una pérdida disipativa y no dispersiva, de $8.7\,\mathrm{dB}$ por cada longitud $\delta$ .

8.2 Paquetes de ondas y velocidad de grupo

Proposición 8.5 (Batidos; velocidad de grupo)

Dos ondas de igual amplitud y frecuencias vecinas $\omega \pm \delta\omega$ , con números de onda $k \pm \delta k$ , se superponen dando

s = 2A\cos(\delta\omega\,t - \delta k\,x)\cos(\omega t - kx) :

una portadora en $(\omega, k)$ que se mueve a $v_\varphi = \omega/k$ , modulada por una envolvente lenta que se mueve a $\delta\omega/\delta k$ . Un paquete de ondas — una superposición de ondas monocromáticas con números de onda en una banda estrecha en torno a $k_0$ — viaja, en conjunto, a la velocidad de grupo

v_g = \frac{\dd\omega}{\dd k}\Bigr|_{k_0} ,

que es la velocidad de su energía y de la información que transporta. En un medio no dispersivo $v_g = v_\varphi = c$ ; en caso contrario el paquete se deforma al avanzar (se ensancha), tanto más deprisa cuanto mayor sea $\dd^2\omega/\dd k^2$ y cuanto más estrecha sea su anchura espacial, complementaria de la de su espectro.

Demostración. La transformación de suma en producto da los batidos. Para un paquete, escríbase $s = \int a(k)\eu^{\iu(\omega(k)t - kx)}\dd k$ (una superposición de Fourier — la integral de Fourier se estudia en el volumen de matemáticas del Año 3; aquí solo se usa su interpretación como suma continua de sinusoides), con $a(k)$ concentrada en torno a $k_0$ . Desarróllese $\omega(k) \approx \omega_0 + v_g(k - k_0)$ : entonces $s \approx \eu^{\iu(\omega_0t - k_0x)}\int a(k)\eu^{\iu(k - k_0)(v_gt - x)}\dd k$ , una portadora por una envolvente que es función solo de $x - v_gt$ — la envolvente se mueve a $v_g$ . El término siguiente, $\tfrac12\omega''(k_0)(k - k_0)^2t$ , desfasa las componentes con el tiempo y ensancha la envolvente. La energía de un paquete está donde está su envolvente; y lo mismo toda señal. ∎

Batidos: dos frecuencias vecinas producen una portadora rápida (que se mueve a la velocidad de fase) bajo una envolvente lenta (que se mueve a la velocidad de grupo); en un medio dispersivo las dos celeridades difieren y las crestas se deslizan por dentro de la envolvente.

Ejemplo 8.6 (Aguas profundas: las crestas adelantan al grupo)

$\omega = \sqrt{gk}$ : $v_g = \tfrac12\sqrt{g/k} = \tfrac12v_\varphi$ . Un grupo de mar de fondo se mueve a la mitad de la celeridad de sus crestas: al mirar un tren de olas se ven crestas que aparecen por detrás del grupo, lo recorren y se desvanecen por delante — exactamente el anillo del estanque. Una tormenta a $3000\,\mathrm{km}$ manda su mar de fondo de $15\,\mathrm{s}$ ( $\lambda = gT^2/2\pi = 350\,\mathrm{m}$ , $v_g = gT/4\pi = 11.7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ) en tres días, y sus olas de $8\,\mathrm{s}$ ( $v_g = 6.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ) en cinco y medio: de los tiempos de llegada de los distintos periodos, los oceanógrafos localizan la tormenta.

La estela de una lancha en un lago en calma: el dibujo en pluma se mantiene dentro de una cuña de ángulo fijo porque la energía de cada onda de agua viaja a la mitad de la celeridad de sus crestas — la dispersión hecha visible.

Ejemplo 8.7 (Klein–Gordon: más rápido que la luz, y no)

Para $\omega^2 = \omega_c^2 + c^2k^2$ : $v_\varphi = \omega/k$ y $v_g = c^2k/\omega$ , luego $v_\varphi v_g = c^2$ : la velocidad de fase supera a $c$ (en la ionosfera, las crestas de una onda de $10\,\mathrm{MHz}$ se mueven más deprisa que la luz), pero la velocidad de grupo, que es la que lleva la señal, se queda por debajo. Una velocidad de fase no transporta ni energía ni información — las crestas son como la mancha del haz de un faro que barre una nube lejana.

Observación 8.8 (El ensanchamiento)

Un paquete de anchura espacial $\Delta x$ contiene números de onda en un intervalo $\Delta k \sim 1/\Delta x$ (la reciprocidad de Fourier, admitida); las velocidades de grupo de sus componentes difieren en $\Delta v_g \approx |\omega''|\Delta k$ , de modo que al cabo de un tiempo $t$ se ha ensanchado en $|\omega''|\Delta k\,t$ : duplica su anchura tras $t_{\text{ens}} \sim \Delta x^2/|\omega''|$ . Un paquete de diez ondas de aguas profundas de $100\,\mathrm{m}$ ( $\Delta x \approx 1\,\mathrm{km}$ , $\omega'' = -\tfrac14\sqrt{g/k^3} = -50\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ ) se duplica en unas seis horas; un pulso de luz de $1\,\mathrm{ns}$ en una fibra óptica se ensancha decenas de picosegundos por kilómetro — el límite del caudal binario de los enlaces largos. El paquete de ondas cuántico de Capítulo 30 se ensancha por la misma razón.

8.3 El cable coaxial

Proposición 8.9 (Ecuaciones del telegrafista; línea sin pérdidas)

Un cable coaxial (o cualquier línea de dos conductores) tiene, por unidad de longitud, una inductancia $\Lambda$ y una capacidad $\Gamma$ . La tensión $v(x, t)$ entre los conductores y la intensidad $i(x, t)$ en el conductor interior obedecen las ecuaciones del telegrafista

\frac{\partial v}{\partial x} = -\Lambda\frac{\partial i}{\partial t} , \qquad \frac{\partial i}{\partial x} = -\Gamma\frac{\partial v}{\partial t} ,

de donde la ecuación de d’Alembert para $v$ y para $i$ con

c = \frac1{\sqrt{\Lambda\Gamma}} , \qquad v = Z_c\,i \ \text{para una onda hacia } +x, \quad Z_c = \sqrt{\frac\Lambda\Gamma} ,

siendo $Z_c$ la impedancia característica de la línea. Para un cable coaxial de radios $a < b$ relleno de un dieléctrico de permitividad relativa $\varepsilon_r$ , $\Lambda = \dfrac{\mu_0}{2\pi}\ln\dfrac ba$ , $\Gamma = \dfrac{2\pi\varepsilon_0\varepsilon_r}{\ln(b/a)}$ , luego $c = c_0/\sqrt{\varepsilon_r}$ (unos $2 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , dos tercios de la velocidad de la luz) y $Z_c = \dfrac{60\,\Omega} {\sqrt{\varepsilon_r}}\ln\dfrac ba$ : $50\,\Omega$ o $75\,\Omega$ en los cables habituales.

Demostración. Modélese la rodaja $[x, x + \dd x]$ como una inductancia en serie $\Lambda\dd x$ y una capacidad en paralelo $\Gamma\dd x$ : la caída de tensión a lo largo de la rodaja vale $\Lambda\dd x\,\partial_ti$ , y la corriente que se escapa por la capacidad es $\Gamma\dd x \,\partial_tv$ . Derívense cruzadamente. Para $v = f(x - ct)$ , la primera ecuación da $i = f(x - ct)/\Lambda c = v/\sqrt{\Lambda/\Gamma}$ . Los valores de $\Lambda$ y de $\Gamma$ son los del condensador cilíndrico y los de la bobina coaxial calculados en el volumen del Año 1. ∎

A la izquierda, el circuito equivalente de una rodaja x de una línea sin pérdidas — inductancia en serie, capacidad en paralelo — del que se siguen las ecuaciones del telegrafista. A la derecha, un cable coaxial en sección; su y su dependen solo del cociente de radios y del dieléctrico. — A la izquierda, el circuito equivalente de una rodaja $\dd x$ de una línea sin pérdidas — inductancia en serie, capacidad en paralelo — del que se siguen las ecuaciones del telegrafista. A la derecha, un cable coaxial en sección; su $\Lambda$ y su $\Gamma$ dependen solo del cociente de radios y del dieléctrico.

Un cable coaxial: alma interior, dieléctrico y conductor exterior trenzado — una línea de transmisión cuya inductancia y cuya capacidad por metro fijan su celeridad y su impedancia característica.

Proposición 8.10 (Línea con pérdidas; la condición de no distorsión)

Con una resistencia en serie $R$ y una conductancia en paralelo $G$ por unidad de longitud, las ecuaciones pasan a ser $\partial_xv = -\Lambda\partial_ti - Ri$ , $\partial_xi = -\Gamma\partial_tv - Gv$ , y la relación de dispersión $\underline k^2 = (\Lambda\omega - \iu R)(\Gamma\omega - \iu G)$ : la línea es dispersiva y atenuante. Dos límites: (i) $R/\Lambda = G/\Gamma$ (condición de Heaviside, que se alcanza añadiendo inductancia): $\underline k = \omega\sqrt{\Lambda\Gamma} - \iu\sqrt{RG}$ , toda frecuencia viaja a la misma celeridad con la misma atenuación — la línea atenúa pero no distorsiona. (ii) $\Lambda \approx 0$ , $G \approx 0$ (los primeros cables submarinos): $\partial_x^2v = R\Gamma\,\partial_tv$ , una ecuación de difusión — un pulso no se propaga, sino que se difumina y alcanza la distancia $L$ tras un tiempo $\sim R\Gamma L^2$ (la ley de los cuadrados de Kelvin), cien veces mayor para un cable diez veces más largo.

Demostración. Sustitúyase $\eu^{\iu(\omega t - kx)}$ : $-\iu kv = -(\iu\omega\Lambda + R)i$ , $-\iu ki = -(\iu \omega\Gamma + G)v$ ; multiplíquense. Bajo la condición de Heaviside el producto es un cuadrado perfecto. El límite difusivo suprime los términos $\iu\omega\Lambda$ y $G$ . ∎

Ejemplo 8.11 (Tres cables)

El cable transatlántico de 1858: un solo hilo de cobre en gutapercha, $R \approx 3\,\Omega/\mathrm{km}$ , $\Gamma \approx 0.3\,\text{µ}\mathrm{F}/\mathrm{km}$ , $L = 3000\,\mathrm{km}$ : $R\Gamma = 9 \times 10^{-10}\,\mathrm{s}/\mathrm{m}^{2}$ y $R\Gamma L^2 \approx 8\,\mathrm{s}$ por punto: una palabra por minuto, y los intentos de los operadores de forzar la señal con $2\,\mathrm{kV}$ destruyeron el aislamiento en unas semanas. Una línea telefónica cargada con bobinas cada $2\,\mathrm{km}$ para cumplir la condición de Heaviside (1900): habla nítida a lo largo de cientos de kilómetros. Un cable coaxial moderno de $50\,\Omega$ : $c = 2 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $\Lambda = 0.25\,\text{µ}\mathrm{H}/\mathrm{m}$ , $\Gamma = 100\,\mathrm{pF}/\mathrm{m}$ , y una atenuación, debida al efecto pelicular en los conductores (Capítulo 14), que crece como $\sqrt f$ : unos pocos decibelios por cada cien metros a $100\,\mathrm{MHz}$ .

Método 8.12 (Cómo leer una relación de dispersión)

(1) Escríbase la ecuación de ondas del medio en notación compleja y despéjese $\underline k(\omega)$ . (2) Si $k$ es real: calcúlense $v_\varphi = \omega/k$ y $v_g = \dd\omega/\dd k$ (o $1/(\dd k/\dd\omega)$ ) y compárense: dispersivo o no, normal ( $v_g < v_\varphi$ ) o anómalo. (3) Si $k$ es complejo: sepárese en propagación ( $k'$ ) y atenuación ( $k''$ , de longitud $1/k''$ ); imaginario puro significa evanescente, sin transporte. (4) Una frecuencia de corte separa una banda propagante de otra evanescente. (5) Para una señal, razónese sobre la envolvente a $v_g$ , nunca sobre las crestas.

8.4 Ejercicios

Ejercicio 8.1 ★

Ondas en aguas profundas, $\omega^2 = gk$ . (a) Velocidad de fase, velocidad de grupo y periodo de un mar de fondo de $100\,\mathrm{m}$ . (b) Un mar de fondo de periodo $14\,\mathrm{s}$ : longitud de onda, $v_\varphi$ , $v_g$ ; tiempo que tarda su energía en recorrer $5000\,\mathrm{km}$ . (c) ¿Por qué no llega en absoluto el oleaje corto de periodo $2\,\mathrm{s}$ ?

Solución

Solución de Ejercicio 8.1.

(a) $k = 0.063\,\mathrm{rad}/\mathrm{m}$ , $\omega = \sqrt{gk} = 0.79\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ , $T = 8.0\,\mathrm{s}$ ; $v_\varphi = 12.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $v_g = 6.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . (b) $\omega = 0.45\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ , $k = \omega^2 /g = 0.021\,\mathrm{rad}/\mathrm{m}$ , $\lambda = 310\,\mathrm{m}$ ; $v_\varphi = gT/2\pi = 22\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $v_g = 11\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $5 \times 10^6/11 = 4.6 \times 10^{5}\,\mathrm{s} = 5.3$ días. (c) $\lambda = 6\,\mathrm{m}$ , $v_g = 1.6\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : necesitaría cinco semanas, y las ondas cortas las amortigua la viscosidad y las rompe el viento mucho antes.

Ejercicio 8.2 ★

Un medio obedece $\omega^2 = \omega_c^2 + c^2k^2$ con $\omega_c = 2\pi \times 1 \times 10^{7}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ y $c = 3 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Para $f = 20\,\mathrm{MHz}$ : $k$ , $v_\varphi$ , $v_g$ y su producto. Para $f = 5\,\mathrm{MHz}$ : $\kappa$ y la profundidad de penetración.

Solución

Solución de Ejercicio 8.2.

$\omega = 1.26 \times 10^{8}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ , $\omega_c = 6.3 \times 10^{7}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ : $k = \sqrt{\omega^2 - \omega_c^2}/c = 0.36\,\mathrm{rad}/\mathrm{m}$ , $v_\varphi = 3.5 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $v_g = c^2k/\omega = 2.6 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , con producto $c^2$ . A $5\,\mathrm{MHz}$ , $\omega < \omega_c$ : $\kappa = \sqrt{\omega_c^2 - \omega^2}/c = 0.18\,\mathrm{m}^{-1}$ , profundidad $5.5\,\mathrm{m}$ .

Ejercicio 8.3 ★

Dos diapasones a $440\,\mathrm{Hz}$ y $444\,\mathrm{Hz}$ : frecuencia de batido y periodo de las variaciones de intensidad sonora. Dos ondas de agua de longitudes $100\,\mathrm{m}$ y $110\,\mathrm{m}$ : frecuencias, longitud de onda y celeridad de la envolvente; compárese con $v_g$ a $105\,\mathrm{m}$ .

Solución

Solución de Ejercicio 8.3.

Batido a $4\,\mathrm{Hz}$ , periodo de la sonoridad $0.25\,\mathrm{s}$ . Agua: $f = 0.125$ y $0.119\,\mathrm{Hz}$ ; envolvente $\cos(\delta\omega t - \delta kx)$ con $\delta k = 2.9 \times 10^{-3}\,\mathrm{rad}/\mathrm{m}$ (batidos separados $1.1\,\mathrm{km}$ ) y celeridad $\delta\omega/\delta k = 6.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — la velocidad de grupo a $105\,\mathrm{m}$ , $\tfrac12\sqrt{g\lambda/2\pi} = 6.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

Ejercicio 8.4 ★

Un cable coaxial: conductor interior de $0.9\,\mathrm{mm}$ de diámetro y exterior de $3.0\,\mathrm{mm}$ , con polietileno ( $\varepsilon_r = 2.3$ ). $\Lambda$ , $\Gamma$ , celeridad de las ondas, impedancia característica y retardo por metro; longitud de cable equivalente a un retardo de $10\,\mathrm{ns}$ . El mismo cable con aire en lugar de polietileno.

Solución

Solución de Ejercicio 8.4.

$\ln(b/a) = 1.20$ : $\Lambda = 0.24\,\text{µ}\mathrm{H}/\mathrm{m}$ , $\Gamma = 106\,\mathrm{pF}/\mathrm{m}$ , $c = 1/ \sqrt{\Lambda\Gamma} = 2.0 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $Z_c = 48\,\Omega$ , $5.0\,\mathrm{ns}/\mathrm{m}$ ; $10\,\mathrm{ns}$ $\leftrightarrow$ $2.0\,\mathrm{m}$ . Con aire: $\Gamma = 46\,\mathrm{pF}/\mathrm{m}$ , $c = c_0$ , $Z_c = 72\,\Omega$ .

Ejercicio 8.5 ★★

La cuerda rígida. Una cuerda de piano real obedece $\mu\partial_t^2y = T\partial_x^2y - EI\,\partial_x^4y$ (siendo $EI$ la rigidez a flexión). (a) Relación de dispersión y velocidades de fase y de grupo. (b) Para la cuerda la $_4$ de Capítulo 6 ( $T = 685\,\mathrm{N}$ , $\mu = 6.1\,\mathrm{g}/\mathrm{m}$ , $EI = 9.8 \times 10^{-3}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{2}$ ), aumento relativo de $v_\varphi$ para el octavo armónico ( $k = 8\pi/L$ , $L = 0.38\,\mathrm{m}$ ); compruébese con la inarmonicidad hallada allí. (c) ¿Es la dispersión normal o anómala? ¿Qué aspecto tiene un pulsado seco tras unas cuantas idas y vueltas?

Solución

Solución de Ejercicio 8.5.

(a) $\omega^2 = c^2k^2 + (EI/\mu)k^4$ ; $v_\varphi = \sqrt{c^2 + (EI/\mu)k^2}$ ; $v_g = (c^2k + 2(EI/\mu)k^3)/\omega$ . (b) $c^2 = 1.12 \times 10^{5}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}^{2}$ , $k = 66\,\mathrm{rad}/\mathrm{m}$ , $(EI/\mu)k^2 = 7.0 \times 10^{3}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}^{2}$ : $v_\varphi/c = \sqrt{1.063} = 1.031$ , $+3.1\%$ — los $53$ cents de Capítulo 6. (c) $v_g > v_\varphi$ : anómala; los armónicos agudos se adelantan y el ataque de un pulsado se convierte en un breve gorjeo descendente.

Ejercicio 8.6 ★★

Cuerda amortiguada. $\mu\partial_t^2y + \alpha\partial_ty = T\partial_x^2y$ . (a) Dedúzcase la relación de dispersión. (b) Para $\alpha \ll \mu\omega$ , muéstrese que $k' \approx \omega/c$ y $k'' \approx \alpha/2Z$ ; atenuación en decibelios por metro. (c) Valores: $\mu = 5\,\mathrm{g}/\mathrm{m}$ , $T = 50\,\mathrm{N}$ , $\alpha = 0.02\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{s}^{-1}$ , $f = 100\,\mathrm{Hz}$ : compruébese la aproximación y dese $\delta$ . (d) ¿Es dispersiva la cuerda amortiguada? ¿En qué régimen de $\alpha$ lo sería?

Solución

Solución de Ejercicio 8.6.

(a) $-\mu\omega^2 + \iu\alpha\omega = -Tk^2$ : $\underline k^2 = (\omega^2/c^2)(1 - \iu\alpha/\mu\omega)$ . (b) $\underline k \approx (\omega/c)(1 - \iu\alpha/2\mu\omega)$ : $k' = \omega/c$ , $k'' = \alpha/2\mu c = \alpha/2Z$ ; $8.7k''$ dB/m. (c) $c = 100\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $Z = 0.5\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$ , $\mu\omega = 3.1 \gg 0.02$ : $k'' = 0.02\,\mathrm{m}^{-1}$ , $\delta = 50\,\mathrm{m}$ , $0.17\,\mathrm{dB}/\mathrm{m}$ . (d) No en este límite ( $k' = \omega/c$ ); cuando $\alpha \gtrsim \mu\omega$ la raíz ya no se linealiza y $k'$ depende de $\omega$ de forma no lineal: dispersiva (el límite difusivo del cable).

Ejercicio 8.7 ★★

Rizos. Las ondas de agua cortas las gobierna la tensión superficial: $\omega^2 = \gamma k^3/\rho$ ( $\gamma = 0.072\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ ); la relación completa es $\omega^2 = gk + \gamma k^3/\rho$ . (a) $v_\varphi$ y $v_g$ para ondas capilares puras; ¿cuál es mayor? (b) Muéstrese que la velocidad de fase de la relación completa es mínima en $\lambda_m = 2\pi\sqrt{\gamma/\rho g}$ y calcúlense $\lambda_m$ y $v_{\min}$ . (c) Una barca más lenta que $v_{\min}$ no deja estela: ¿por qué? (d) Las gotas de lluvia sobre un estanque forman anillos cuyas crestas van por detrás del anillo: ¿en qué régimen?

Solución

Solución de Ejercicio 8.7.

(a) $v_\varphi = \sqrt{\gamma k/\rho}$ , $v_g = \tfrac32v_\varphi$ : el grupo adelanta a las crestas. (b) $v_\varphi^2 = g/k + \gamma k/\rho$ es mínimo en $k_m = \sqrt{\rho g/\gamma}$ : $\lambda_m = 2\pi\sqrt{\gamma/\rho g} = 1.7\,\mathrm{cm}$ , $v_{\min} = (4g\gamma/\rho)^{1/4} = 23\,\mathrm{cm}/\mathrm{s}$ . (c) Una estela es un dibujo estacionario respecto de la barca, formado por ondas cuya velocidad de fase iguala a su celeridad; ninguna es más lenta que $23\,\mathrm{cm}/\mathrm{s}$ . (d) Régimen capilar, $v_g > v_\varphi$ : las crestas nacen en el frente del anillo y mueren en su parte trasera.

Ejercicio 8.8 ★★

Ensanchamiento. Un paquete de anchura inicial $\Delta x_0$ duplica su anchura tras $t_{\text{ens}} \approx \Delta x_0^2/|\omega''(k_0)|$ . (a) Un grupo de ondas en aguas profundas, $\lambda = 50\,\mathrm{m}$ , $\Delta x_0 = 500\,\mathrm{m}$ . (b) Un pulso de luz en una fibra de vidrio: $\omega'' \approx -0.16\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ ; un pulso de $10\,\mathrm{ps}$ ( $\Delta x_0 = 2\,\mathrm{mm}$ ): tiempo de ensanchamiento y distancia recorrida entretanto; lo mismo para un pulso de $1\,\mathrm{ns}$ . ¿Por qué los enlaces ópticos largos usan pulsos más largos o fibra compensadora de dispersión?

Solución

Solución de Ejercicio 8.8.

(a) $k = 0.126\,\mathrm{rad}/\mathrm{m}$ , $\omega'' = -\tfrac14\sqrt{g/k^3} = -18\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ : $t_{\text{ens}} = 2.5 \times 10^5/18 = 1.4 \times 10^{4}\,\mathrm{s}$ , cuatro horas. (b) $10\,\mathrm{ps}$ : $t_{\text{ens}} = 4 \times 10^{-6}/0.16 = 25\,\text{µ}\mathrm{s}$ , $5\,\mathrm{km}$ a $2 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $1\,\mathrm{ns}$ : $0.04/0.16 = 0.25\,\mathrm{s}$ , $50\,000\,\mathrm{km}$ . Los pulsos cortos (los caudales binarios altos) se ensanchan en unos kilómetros: los enlaces largos usan fibra compensadora o ritmos moderados.

Ejercicio 8.9 ★★

El cable submarino. $R = 3\,\Omega/\mathrm{km}$ , $\Gamma = 0.3\,\text{µ}\mathrm{F}/\mathrm{km}$ , con $\Lambda$ y $G$ despreciables. (a) Muéstrese que $v$ obedece una ecuación de difusión y dese su difusividad. (b) Relación de dispersión $\underline k(\omega)$ ; velocidad de fase y longitud de atenuación a $1\,\mathrm{Hz}$ y a $10\,\mathrm{Hz}$ . (c) Tiempo que tarda una señal en “llegar” a $3000\,\mathrm{km}$ ( $\sim R\Gamma L^2$ ); palabras por minuto. (d) El remedio de Heaviside: inductancia por kilómetro necesaria para $R/\Lambda = G/\Gamma$ si $G = 1 \times 10^{-7}\,\mathrm{S}/\mathrm{km}$ ; ¿por qué era difícil añadirla?

Solución

Solución de Ejercicio 8.9.

(a) $\partial_x^2v = R\Gamma\,\partial_tv$ , $D = 1/R\Gamma = 1.1 \times 10^{12}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ . (b) $\underline k^2 = -\iu R\Gamma\omega$ : $k' = k'' = \sqrt{R\Gamma\omega/2}$ ; a $1\,\mathrm{Hz}$ : $k = 1.7 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{-1}$ , $v_\varphi = 3.7 \times 10^{6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $\delta = 600\,\mathrm{km}$ ; a $10\,\mathrm{Hz}$ : $v_\varphi = 1.2 \times 10^{7}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $\delta = 190\,\mathrm{km}$ . (c) $R\Gamma L^2 = 9 \times 10^{-13} \times 9 \times 10^{12} = 8\,\mathrm{s}$ por punto: alrededor de una palabra por minuto. (d) $\Lambda = R\Gamma/G = 9\,\mathrm{H}/\mathrm{km}$ — una inductancia absurda para un cable submarino; las bobinas de carga sí servían en las líneas telefónicas terrestres, cuyos $G$ y $R\Gamma$ eran distintos.

Ejercicio 8.10 ★★★

La energía viaja a la velocidad de grupo. Cuerda sobre un lecho elástico: $\mu\partial_t^2y = T\partial_x^2y - Ky$ , con la onda $y = A\cos(\omega t - kx)$ y $\omega^2 = \omega_c^2 + c^2k^2$ . (a) Densidad de energía $e = \tfrac12\mu(\partial_ty)^2 + \tfrac12T (\partial_xy)^2 + \tfrac12Ky^2$ y flujo $\mathcal P = -T\partial_xy\,\partial_ty$ : compruébese $\partial_te + \partial_x\mathcal P = 0$ . (b) Promedios temporales $\langle e\rangle$ y $\langle\mathcal P\rangle$ para la onda. (c) Muéstrese que $\langle\mathcal P\rangle/ \langle e\rangle = c^2k/\omega = v_g$ , y no $v_\varphi$ . (d) ¿Qué le ocurre al flujo de energía por debajo de la frecuencia de corte?

Solución

Solución de Ejercicio 8.10.

(a) $\partial_te = \dot y(\mu\ddot y + Ky) + Ty'\dot y' = \dot yTy'' + Ty'\dot y' = \partial_x (Ty'\dot y) = -\partial_x\mathcal P$ . (b) $\langle e\rangle = \tfrac14A^2(\mu\omega^2 + Tk^2 + K) = \tfrac12\mu\omega^2A^2$ (usando $\mu\omega^2 = Tk^2 + K$ ); $\langle\mathcal P\rangle = \tfrac12Tk\omega A^2$ . (c) Cociente $Tk/\mu\omega = c^2k/\omega = v_g$ . (d) $y = A\eu^{-\kappa x}\cos\omega t$ : $\mathcal P \propto \sin2\omega t$ , de media nula — ninguna energía atraviesa el medio.

Ejercicio 8.11 ★★★

Mar de fondo y tsunami. Las ondas de agua de longitud de onda $\lambda$ sobre una profundidad $h$ obedecen $\omega^2 = gk\tanh kh$ (admitida). (a) Recupérense los límites de aguas profundas y de aguas someras ( $kh \ll 1$ ); celeridad de las ondas en aguas someras; ¿son dispersivas? (b) Un tsunami de $\lambda = 200\,\mathrm{km}$ sobre $4\,\mathrm{km}$ de océano: ¿qué límite?, celeridad, periodo; tiempo para cruzar $8000\,\mathrm{km}$ . (c) Su amplitud en mar abierto es $0.5\,\mathrm{m}$ : energía por unidad de longitud de cresta (admítase $E = \tfrac12\rho gA^2$ por unidad de área) para un frente de $1000\,\mathrm{km}$ ; ¿qué ocurre cuando la profundidad baja a $10\,\mathrm{m}$ , si el flujo de energía $Ev_g$ se conserva (ley de Green, $A \propto h^{-1/4}$ )? (d) Un mar de fondo de $100\,\mathrm{m}$ que llega a una playa: ¿a qué profundidad empieza a sentir el fondo y por qué giran sus crestas hasta ponerse paralelas a la orilla?

Solución

Solución de Ejercicio 8.11.

(a) $\tanh kh \to 1$ : $\omega^2 = gk$ ; si $kh \ll 1$ : $\omega = \sqrt{gh}\,k$ , celeridad $\sqrt{gh}$ , no dispersiva. (b) $kh = 0.13$ : aguas someras; $c = \sqrt{9.81 \times 4000} = 198\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $T = 17\,\mathrm{min}$ ; $8000\,\mathrm{km}$ en $11\,\mathrm{h}$ . (c) $\tfrac12\rho gA^2 = 1.2\,\mathrm{kJ}/\mathrm{m}^{2}$ sobre $200 \times 1000$ km $^2$ : $2.5 \times 10^{14}\,\mathrm{J}$ . Green: $A \propto h^{-1/4}$ , $(4000/10)^{1/4} = 4.5$ : $2.2\,\mathrm{m}$ , antes del empinamiento y del remonte. (d) A $h \approx \lambda/2 = 50\,\mathrm{m}$ ; la parte de la cresta que está en aguas menos profundas se frena, de modo que la cresta gira hasta ponerse paralela a las curvas de nivel del fondo — refracción.

Ejercicio 8.12 ★★★

Un pulso en una línea. Un cable de $50\,\Omega$ y longitud $\ell = 100\,\mathrm{m}$ ( $c = 2 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ) se alimenta en $x = 0$ con un generador de resistencia interna $50\,\Omega$ y termina en $x = \ell$ con una carga $R_L$ . (a) Muéstrese que una onda que llega al extremo se refleja con el coeficiente en tensión $r = (R_L - Z_c)/(R_L + Z_c)$ (escríbanse $v$ e $i$ como suma de onda incidente y reflejada e impóngase la ley de Ohm en la carga). (b) Valores para $R_L = 50$ , $0$ , $\infty$ , $150\,\Omega$ . (c) Se envía un pulso de $1\,\mathrm{ns}$ y $1\,\mathrm{V}$ : qué muestra el osciloscopio situado en el generador, y cuándo, para cada carga; por qué importan los $50\,\Omega$ del generador. (d) Un fallo en un cable enterrado devuelve un eco al cabo de $1.8\,\text{µ}\mathrm{s}$ : ¿dónde está? (Reflectometría en el dominio del tiempo.)

Solución

Solución de Ejercicio 8.12.

(a) En $x = \ell$ : $v = v_i + v_r$ , $i = (v_i - v_r)/Z_c$ , $v = R_Li$ : $r = (R_L - Z_c)/(R_L + Z_c)$ . (b) $0$ , $-1$ , $+1$ , $0.5$ . (c) La entrada de la línea se ve como $Z_c$ , de modo que el osciloscopio ve $0.5\,\mathrm{V}$ en $t = 0$ y luego el eco de $0.5r$ V en $2\ell/c = 1\,\text{µ}\mathrm{s}$ : nada, $-0.5\,\mathrm{V}$ , $+0.5\,\mathrm{V}$ , $+0.25\,\mathrm{V}$ ; el generador adaptado absorbe el eco, así que no hay un segundo. (d) $\tfrac12 \times 2 \times 10^8 \times 1.8 \times 10^{-6} = 180\,\mathrm{m}$ .

8.5 Problema: el cable y el mar

Problema 8.1

Problema de fin de semana — la dispersión en acción: el cable telegráfico que difuminaba los puntos, el mar de fondo que anuncia una tormenta, el tsunami que cruza un océano y el paquete que se ensancha

Parte I — El cable telegráfico. El cable transatlántico de 1866: $R = 2.0\,\Omega/\mathrm{km}$ , $\Gamma = 0.25\,\text{µ}\mathrm{F}/\mathrm{km}$ , $\Lambda = 0.5\,\mathrm{mH}/\mathrm{km}$ , $G$ despreciable, longitud $L = 3500\,\mathrm{km}$ .

Escríbanse las ecuaciones del telegrafista con $R$ y dedúzcase la relación de dispersión $\underline k^2 = \Gamma\omega(\Lambda\omega - \iu R)$ .
¿A qué frecuencia iguala $\Lambda\omega$ a $R$ ? Conclúyase que a las frecuencias telegráficas (unos pocos hercios) la línea está en régimen difusivo.
En ese régimen, $\underline k = \sqrt{-\iu R\Gamma\omega}$ : dense $k'$ y $k''$ (recuérdese que $\sqrt{-\iu} = (1 - \iu)/\sqrt2$ ); velocidad de fase y longitud de atenuación a $1\,\mathrm{Hz}$ y a $4\,\mathrm{Hz}$ .
Atenuación en decibelios a lo largo de todo el cable a $1\,\mathrm{Hz}$ y a $4\,\mathrm{Hz}$ . ¿Qué frecuencia sobrevive? ¿Qué le hace eso a un punto seco?
Estimación de Kelvin del tiempo de tránsito, $R\Gamma L^2$ ; ritmo práctico del cable en palabras por minuto si una palabra son unos $10$ puntos y rayas y los puntos no deben solaparse.
Heaviside propuso subir $\Lambda$ : ¿qué valor hace $\Lambda\omega = R$ a $4\,\mathrm{Hz}$ , y cuáles serían entonces la celeridad y la atenuación (tómese $G = 0$ , de modo que la condición $R/\Lambda = G/\Gamma$ no puede cumplirse exactamente: úsese la relación general a esa frecuencia)?
Una fibra óptica moderna transporta $1 \times 10^{10}\,\mathrm{bit}/\mathrm{s}$ : compárese con la pregunta 5, en potencias de diez.

Parte II — El mar de fondo. Aguas profundas: $\omega^2 = gk$ .

Velocidades de fase y de grupo en función del periodo $T$ .
Una tormenta a $4000\,\mathrm{km}$ de una costa genera olas de periodos entre $6\,\mathrm{s}$ y $18\,\mathrm{s}$ : instante de llegada de cada extremo; duración del episodio de mar de fondo.
Muéstrese que en una costa situada a la distancia $D$ el periodo que llega cumple $1/T = gt/4\pi D$ , contando $t$ desde la tormenta: $1/T$ crece linealmente con el tiempo. Una boya registra $T = 16\,\mathrm{s}$ un día a mediodía y $T = 12\,\mathrm{s}$ exactamente $24\,\mathrm{h}$ después: distancia de la tormenta.
La energía por unidad de área de un mar de fondo de amplitud $A$ vale $\tfrac12\rho gA^2$ ; potencia que atraviesa una línea de $1\,\mathrm{m}$ de cresta, para $A = 1.5\,\mathrm{m}$ y $T = 12\,\mathrm{s}$ . (Úsese la velocidad de grupo: ¿por qué?)
Un parque undimotriz de $1\,\mathrm{km}$ de frente con un rendimiento del $30\%$ : potencia eléctrica; compárese con un aerogenerador ( $3\,\mathrm{MW}$ ).
Una barca a $5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ en aguas profundas deja tras de sí una estela estacionaria: ¿qué longitud de onda tiene una velocidad de fase igual a la celeridad de la barca y la sigue por tanto? ¿Por qué el dibujo se arrastra en forma de V, más estrecha de lo que sugeriría la propia apertura de las crestas (piénsese en $v_g = v_\varphi/2$ )?
Observando un grupo de mar de fondo desde un acantilado, descríbase qué hace una cresta concreta mientras el grupo pasa por una boya fija; cuántas crestas contiene un grupo de duración $2\,\mathrm{min}$ con $T = 12\,\mathrm{s}$ , y a cuántas “vidas” de cresta corresponde eso.

Parte III — El tsunami. $\omega^2 = gk\tanh kh$ ; profundidad del Pacífico $h = 4.0\,\mathrm{km}$ .

Un terremoto levanta $2\,\mathrm{m}$ una zona del fondo marino de $100\,\mathrm{km}$ ; la onda tiene $\lambda \approx 200\,\mathrm{km}$ : compruébese que es una onda de aguas someras y dense su celeridad, su periodo y el tiempo que tarda en llegar a una costa situada a $6000\,\mathrm{km}$ .
¿Es dispersiva? Compárese con el mar de fondo de la parte II: ¿llega antes o después de lo que llegaría este? ¿Cuál llega como un único pulso?
Su altura en mar abierto es $0.6\,\mathrm{m}$ : energía por metro cuadrado; energía total de un frente de $500\,\mathrm{km}$ de largo repartida sobre una longitud de onda; compárese con una explosión de $1\,\mathrm{Mt}$ ( $4.2 \times 10^{15}\,\mathrm{J}$ ).
Ley de Green: altura cuando la profundidad baja a $20\,\mathrm{m}$ cerca de la orilla (con el flujo de energía $\tfrac12\rho gA^2v_g$ conservado y $v_g = \sqrt{gh}$ ); celeridad y longitud de onda allí; por qué la onda se empina entonces y rompe como un muro.
Un barco en alta mar no nota el paso del tsunami: ¿por qué?
Dos mareógrafos separados $6000\,\mathrm{km}$ registran la onda: qué da el tiempo de viaje y por qué la celeridad medida es algo menor que $\sqrt{gh}$ sobre un océano de profundidad variable.

Parte IV — El paquete que se ensancha.

Para aguas profundas, calcúlese $\omega''(k) = \dd^2\omega/\dd k^2$ y su valor para $\lambda = 100\,\mathrm{m}$ .
Se suelta un paquete de $10\,$ de esas ondas ( $\Delta x_0 \approx 1\,\mathrm{km}$ ): tiempo de ensanchamiento $\Delta x_0^2/|\omega''|$ ; distancia recorrida entretanto por el paquete.
Explíquese con palabras por qué un paquete de espectro más estrecho (un tren más largo) se ensancha más despacio, y por qué el tsunami de la parte III apenas se ensancha.
La misma estimación para un electrón de longitud de onda $0.1\,\mathrm{nm}$ localizado en $1\,\mathrm{nm}$ , con $\omega = \hbar k^2/2m$ ( $\hbar = 1.05 \times 10^{-34}\,\mathrm{J}\,\mathrm{s}$ , $m = 9.1 \times 10^{-31}\,\mathrm{kg}$ ): tiempo de ensanchamiento y distancia recorrida — el primer contacto con el paquete de ondas cuántico de Capítulo 30.
Resúmase en una tabla: para el cable, el mar de fondo, el tsunami y el electrón, la relación de dispersión, $v_\varphi$ , $v_g$ y si el medio ensancha o solo atenúa.

Solución

Solución de Problema 8.1.

1. $\partial_xv = -\Lambda\partial_ti - Ri$ , $\partial_xi = -\Gamma\partial_tv$ ; con $\eu^{\iu(\omega t - kx)}$ : $\iu kv = (\iu\omega\Lambda + R)i$ , $\iu ki = \iu\omega\Gamma v$ , luego $k^2 = \omega\Gamma(\omega\Lambda - \iu R)$ .

2. $\omega = R/\Lambda = 4000\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ , $640\,\mathrm{Hz}$ : a unos pocos hercios $\Lambda\omega \ll R$ , régimen difusivo.

3. $k' = k'' = \sqrt{R\Gamma\omega/2}$ con $R\Gamma = 5 \times 10^{-13}\,\mathrm{s}/\mathrm{m}^{2}$ ; a $1\,\mathrm{Hz}$ : $1.25 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{-1}$ , $v_\varphi = 5 \times 10^{6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $\delta = 800\,\mathrm{km}$ ; a $4\,\mathrm{Hz}$ : $2.5 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{-1}$ , $1 \times 10^{7}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $400\,\mathrm{km}$ .

4. $8.7L/\delta$ : $38\,\mathrm{dB}$ a $1\,\mathrm{Hz}$ y $76\,\mathrm{dB}$ a $4\,\mathrm{Hz}$ : solo sobreviven las componentes más lentas; un punto seco llega como una joroba larga y baja.

5. $R\Gamma L^2 = 5 \times 10^{-13} \times 1.2 \times 10^{13} = 6\,\mathrm{s}$ : un punto cada seis segundos, una palabra por minuto (el cable real, con galvanómetros de espejo sensibles, llegaba a unas pocas más).

6. $\Lambda = R/\omega = 80\,\mathrm{mH}/\mathrm{km}$ . Entonces $k^2 = \Gamma R\omega(1 - \iu)$ , $k = \sqrt{\Gamma R\omega} \,2^{1/4}\eu^{-\iu\pi/8}$ : $k' = 3.9 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{-1}$ , $k'' = 1.6 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{-1}$ : $v_\varphi = 6.4 \times 10^{6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $\delta = 620\,\mathrm{km}$ , $49\,\mathrm{dB}$ en todo el cable en lugar de $76\,\mathrm{dB}$ .

7. Un punto cada $6\,\mathrm{s}$ son unos $0.2\,\mathrm{bit}/\mathrm{s}$ : la fibra es de $10^{10}$ a $10^{11}$ veces más rápida.

8. $v_\varphi = gT/2\pi$ , $v_g = gT/4\pi$ .

9. $18\,\mathrm{s}$ : $v_g = 14.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $4 \times 10^6/14.1 = 3.3\,\mathrm{d}$ ; $6\,\mathrm{s}$ : $4.7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $9.9\,\mathrm{d}$ : el episodio de mar de fondo dura más de seis días.

10. $t = D/v_g = 4\pi D/gT$ , luego $1/T = gt/4\pi D$ . $\Delta(1/T) = 1/12 - 1/16 = 0.0208\,\mathrm{Hz}$ en $86\,400\,\mathrm{s}$ : $g/4\pi D = 2.4 \times 10^{-7}\,\mathrm{s}^{-2}$ , $D = 3200\,\mathrm{km}$ .

11. $\tfrac12\rho gA^2 = 11\,\mathrm{kJ}/\mathrm{m}^{2}$ ; la energía se mueve a $v_g = gT/4\pi = 9.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : $103\,\mathrm{kW}$ por metro de cresta.

12. $10^3 \times 103 \times 0.3 = 31\,\mathrm{MW}$ : diez aerogeneradores.

13. $\lambda = 2\pi U^2/g = 16\,\mathrm{m}$ . La energía de cada componente viaja a la mitad de su celeridad de fase, de modo que el dibujo queda confinado en una cuña tras la barca (de semiángulo $19.5{}^{\circ}$ , sea cual sea su celeridad).

14. Una cresta nace en la parte trasera del grupo, lo adelanta (las crestas se mueven a $2v_g$ respecto del agua y a $v_g$ respecto del grupo) y muere en el frente. El grupo mide $120 \times 9.4 = 1.1\,\mathrm{km}$ de largo, cinco longitudes de onda ( $\lambda = gT^2/2\pi = 225\,\mathrm{m}$ ); pasan diez crestas por la boya, cada una tras vivir unos dos minutos.

15. $kh = 0.13$ : aguas someras. $c = 198\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $T = \lambda/c = 17\,\mathrm{min}$ , $8.4\,\mathrm{h}$ .

16. No dispersiva: todas las componentes a $198\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , que llegan juntas como un único pulso (el mar de fondo, a $\sim10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ y clasificado por periodos, tardaría una semana).

17. $\tfrac12\rho gA^2 = 1.8\,\mathrm{kJ}/\mathrm{m}^{2}$ sobre $500 \times 200$ km $^2$ : $1.8 \times 10^{14}\,\mathrm{J}$ , el $4\%$ de una megatonelada.

18. $A = 0.6(4000/20)^{1/4} = 2.3\,\mathrm{m}$ ; $c = \sqrt{gh} = 14\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $\lambda = cT = 14\,\mathrm{km}$ . La cresta, en aguas más profundas que el valle que tiene delante, viaja más deprisa y lo alcanza: el frente se empina hasta formar un muro.

19. Una subida de $0.6\,\mathrm{m}$ a lo largo de un cuarto de hora, con una pendiente de $10^{-5}$ : nada perceptible.

20. La celeridad media, $\sqrt{gh}$ para la profundidad media; como $\sqrt h$ es cóncava, los tramos someros frenan la onda más de lo que la aceleran los profundos, y el promedio a lo largo del camino queda por debajo de $\sqrt{g\bar h}$ .

21. $\omega' = \tfrac12\sqrt{g/k}$ , $\omega'' = -\tfrac14\sqrt{g/k^3}$ ; $k = 0.063\,\mathrm{rad}/\mathrm{m}$ : $\omega'' = -50\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ .

22. $t_{\text{ens}} = 10^6/50 = 2 \times 10^{4}\,\mathrm{s}$ , $5.6\,\mathrm{h}$ ; el paquete ha recorrido $v_gt = 6.25 \times 2 \times 10^4 = 125\,\mathrm{km}$ .

23. Un tren largo contiene una banda estrecha de $k$ , cuyas velocidades de grupo casi coinciden: las componentes siguen juntas más tiempo. El medio del tsunami es no dispersivo: celeridades iguales, sin ensanchamiento.

24. $\omega'' = \hbar/m = 1.2 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ : $t_{\text{ens}} = 10^{-18}/1.2 \times 10^{-4} = 9 \times 10^{-15}\,\mathrm{s}$ ; $v_g = \hbar k/m = 7.3 \times 10^{6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : $60\,\mathrm{nm}$ .

25. Cable: $k^2 = -\iu R\Gamma\omega$ , $v_\varphi = \sqrt{2\omega/R\Gamma}$ , sin $v_g$ limpia, atenúa y difumina. Mar de fondo: $\omega^2 = gk$ , $v_\varphi = 2v_g$ , se ensancha. Tsunami: $\omega = \sqrt{gh}\,k$ , $v_\varphi = v_g$ , ninguna de las dos cosas. Electrón: $\omega = \hbar k^2/2m$ , $v_g = 2v_\varphi$ , se ensancha.

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