Mathématiques du lycée · Grades 10–12

2Algèbre : équations et inéquations

L’algèbre est l’art de calculer avec des lettres. Ce chapitre revoit et affine les deux gestes de base — développer et factoriser — et les utilise pour résoudre systématiquement des équations et des inéquations, avec le tableau de signes comme outil central.

2.1 Développer et factoriser

Définition 2.1 (Développement, factorisation)

Développer une expression, c’est transformer des produits en sommes ; factoriser, c’est l’opération inverse, transformer une somme en un produit. La règle de base est la distributivité :

k(a + b) = ka + kb, \qquad (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd .

Exemple 2.2

Développer $(2x + 3)(x - 5)$ étape par étape :

\begin{align*} (2x + 3)(x - 5) &= 2x \times x + 2x \times (-5) + 3 \times x + 3 \times (-5) \\ &= 2x^2 - 10x + 3x - 15 \\ &= 2x^2 - 7x - 15 . \end{align*}

Théorème 2.3 (Identités remarquables)

Pour tous nombres réels $a$ et $b$ :

(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2, \qquad (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2, \qquad (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 .

Démonstration. Chacune est un développement direct. Pour la première :

(a+b)^2 = (a+b)(a+b) = a^2 + ab + ba + b^2 = a^2 + 2ab + b^2 .

La deuxième s’obtient en remplaçant $b$ par $-b$ : $(a-b)^2 = a^2 + 2a(-b) + (-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ . Pour la troisième : $(a+b)(a-b) = a^2 - ab + ba - b^2 = a^2 - b^2$ . ∎

Pourquoi (a+b)2 = a2 + 2ab + b2 : un carré de côté a + b se découpe en un carré de côté a, un carré de côté b, et deux rectangles a × b. — Pourquoi $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ : un carré de côté $a + b$ se découpe en un carré de côté $a$ , un carré de côté $b$ , et deux rectangles $a \times b$ .

Exemple 2.4

Utilisées dans le sens direct (développer) et inverse (factoriser) :

\begin{align*} (3x + 2)^2 &= 9x^2 + 12x + 4, & x^2 - 25 &= (x+5)(x-5), \\ (x - 4)^2 &= x^2 - 8x + 16, & 4x^2 + 4x + 1 &= (2x + 1)^2 . \end{align*}

Le calcul mental en profite aussi : $101 \times 99 = (100+1)(100-1) = 10000 - 1 = 9999$ .

Méthode 2.5 (Factoriser une expression)

Essayer, dans cet ordre :

Facteur commun : repérer un facteur présent dans chaque terme et le sortir, par exemple $6x^2 + 4x = 2x(3x + 2)$ . Le facteur commun peut être une parenthèse entière : $(x+1)(2x-3) + (x+1)(x+7) = (x+1)(3x+4)$ .
Identité remarquable : reconnaître $a^2 - b^2$ , ou $a^2 \pm 2ab + b^2$ , par exemple $9x^2 - 16 = (3x)^2 - 4^2 = (3x+4)(3x-4)$ .
Combiner les deux, et vérifier le résultat en le redéveloppant.

Exemple 2.6

Factoriser $E = (2x + 1)^2 - (x - 3)^2$ . C’est une différence de deux carrés $a^2 - b^2$ avec $a = 2x+1$ et $b = x-3$ :

\begin{align*} E &= \bigl[(2x+1) + (x-3)\bigr] \times \bigl[(2x+1) - (x-3)\bigr] \\ &= (3x - 2)(2x + 1 - x + 3) \\ &= (3x - 2)(x + 4). \end{align*}

Attention à la seconde parenthèse : soustraire $x - 3$ , c’est soustraire $x$ et ajouter $3$ .

2.2 Équations

Définition 2.7 (Équation, solution)

Une équation est une égalité contenant un nombre inconnu $x$ ; une solution est une valeur de $x$ qui rend l’égalité vraie. Résoudre l’équation, c’est trouver toutes ses solutions.

Deux équations sont équivalentes lorsqu’elles ont exactement les mêmes solutions. Ajouter le même nombre aux deux membres, ou multiplier les deux membres par le même nombre non nul, produit une équation équivalente.

Exemple 2.8 (Équation du premier degré)

Résoudre $5x - 7 = 2x + 8$ , une opération à la fois :

\begin{align*} 5x - 7 &= 2x + 8 \\ 5x - 2x &= 8 + 7 && \text{(ajouter $7 - 2x$ aux deux membres)} \\ 3x &= 15 \\ x &= 5 && \text{(diviser les deux membres par $3$).} \end{align*}

L’unique solution est $5$ . Vérification : $5 \times 5 - 7 = 18$ et $2 \times 5 + 8 = 18$ .

Théorème 2.9 (Règle du produit nul)

Un produit de nombres réels est nul si et seulement si l’un au moins de ses facteurs est nul :

A \times B = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad A = 0 \ \text{ ou } \ B = 0 .

Démonstration. Si $A = 0$ ou $B = 0$ , le produit est clairement $0$ . Réciproquement, supposons $AB = 0$ et $A \neq 0$ . Diviser les deux membres par $A$ donne $B = 0$ . ∎

Méthode 2.10 (Résoudre par factorisation)

Pour résoudre une équation dont le second membre est $0$ et dont le premier membre peut se factoriser :

tout ramener à gauche pour que l’équation s’écrive $E = 0$ ;
factoriser $E$ en un produit de facteurs du premier degré ;
appliquer la règle du produit nul et résoudre chaque petite équation ;
rassembler toutes les solutions trouvées.

Exemple 2.11

Résoudre $(x - 2)(3x + 6) = 0$ : soit $x - 2 = 0$ , d’où $x = 2$ , soit $3x + 6 = 0$ , d’où $x = -2$ . Solutions : $-2$ et $2$ .

Résoudre $x^2 = 9x$ . Ne pas diviser par $x$ (il pourrait être nul !) ; tout ramener d’un côté et factoriser :

x^2 - 9x = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad x(x - 9) = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad x = 0 \ \text{ ou } \ x = 9 .

Exemple 2.12 (Équation quotient)

Résoudre $\dfrac{x - 1}{x + 2} = 0$ . Un quotient est nul exactement lorsque son numérateur est nul et son dénominateur ne l’est pas. Ici $x - 1 = 0$ donne $x = 1$ , et $1 + 2 = 3 \neq 0$ : l’unique solution est $1$ . La valeur $x = -2$ est interdite (division par zéro) et doit toujours être exclue en premier.

2.3 Inéquations et tableaux de signes

Proposition 2.13 (Règles pour les inégalités)

Soit $a \leq b$ .

Pour tout $c$ : $a + c \leq b + c$ (ajouter préserve l’ordre).
Si $c > 0$ : $ac \leq bc$ (multiplier par un nombre positif préserve l’ordre).
Si $c < 0$ : $ac \geq bc$ (multiplier par un nombre négatif inverse l’ordre).

Démonstration. 1. $(b + c) - (a + c) = b - a \geq 0$ . 2. $bc - ac = (b-a)c$ est le produit de deux nombres positifs ou nuls, donc $bc \geq ac$ . 3. À présent $(b-a)c \leq 0$ comme produit d’un nombre positif ou nul et d’un nombre négatif, donc $bc \leq ac$ . ∎

Exemple 2.14

Résoudre $-2x + 3 > 9$ :

\begin{align*} -2x + 3 &> 9 \\ -2x &> 6 && \text{(soustraire $3$)} \\ x &< -3 && \text{(diviser par $-2 < 0$~: inverser l'inégalité).} \end{align*}

L’ensemble des solutions est $\intoo{-\infty}{-3}$ .

Définition 2.15 (Tableau de signes)

Un tableau de signes enregistre, une ligne par facteur, le signe ( $+$ ou $-$ ) de chaque facteur d’une expression lorsque $x$ parcourt $\R$ , avec un $0$ à chaque valeur où le facteur s’annule ; une dernière ligne donne le signe du produit, en appliquant la règle des signes colonne par colonne.

Exemple 2.16

Signe de $P(x) = (x - 2)(3 - x)$ . Le facteur $x - 2$ s’annule en $2$ et est positif après ; le facteur $3 - x$ s’annule en $3$ et est positif avant :

$x$	$-\infty$	$2$		$3$	$+\infty$
$x - 2$	$-$	$0$	$+$		$+$
$3 - x$	$+$		$+$	$0$	$-$
$P(x)$	$-$	$0$	$+$	$0$	$-$

Donc $P(x) > 0$ exactement sur $\intoo{2}{3}$ , et $P(x) \leq 0$ sur $\intoc{-\infty}{2} \cup \intco{3}{+\infty}$ .

Le graphique de P(x) = (x-2)(3-x) confirme le tableau de signes : positif entre les racines 2 et 3, négatif à l’extérieur. — Le graphique de $P(x) = (x-2)(3-x)$ confirme le tableau de signes : positif entre les racines $2$ et $3$ , négatif à l’extérieur.

Méthode 2.17 (Résoudre une inéquation avec un tableau de signes)

Pour résoudre une inéquation du type $E(x) \geq 0$ ou $E(x) < 0$ :

tout ramener au premier membre, pour que le second membre soit $0$ (ne jamais multiplier les deux membres par une expression dont le signe est inconnu) ;
factoriser le premier membre, ou le mettre sur un dénominateur commun s’il s’agit d’un quotient ;
construire le tableau de signes avec une ligne par facteur (pour un quotient, marquer les valeurs interdites d’une double barre dans la dernière ligne) ;
lire les intervalles où le signe demandé est réalisé, en vérifiant si chaque borne est incluse.

Exemple 2.18

Résoudre $\dfrac{x + 1}{x - 3} \leq 0$ . Le numérateur s’annule en $-1$ , le dénominateur en $3$ (valeur interdite). Le quotient est négatif lorsque les deux ont des signes opposés, ce qui arrive pour $x$ entre $-1$ et $3$ . En incluant la borne où le numérateur s’annule mais en excluant la valeur interdite : l’ensemble des solutions est $\intco{-1}{3}$ .

2.4 Exercices

Exercice 2.1 ★

Développer et simplifier :

3(2x - 5) - 2(x - 7), \qquad (x + 4)(2x - 1), \qquad (3x - 2)^2, \qquad (5 - x)(5 + x).

Solution

Solution de Exercice 2.1.

$3(2x-5) - 2(x-7) = 6x - 15 - 2x + 14 = 4x - 1$ .

$(x+4)(2x-1) = 2x^2 - x + 8x - 4 = 2x^2 + 7x - 4$ .

$(3x-2)^2 = 9x^2 - 12x + 4$ .

$(5-x)(5+x) = 25 - x^2$ .

Exercice 2.2 ★

Factoriser :

x^2 - 49, \qquad x^2 + 10x + 25, \qquad 7x^2 - 14x, \qquad 16x^2 - 8x + 1 .

Solution

Solution de Exercice 2.2.

$x^2 - 49 = (x+7)(x-7)$ (différence de carrés).

$x^2 + 10x + 25 = (x+5)^2$ .

$7x^2 - 14x = 7x(x - 2)$ (facteur commun).

$16x^2 - 8x + 1 = (4x - 1)^2$ .

Exercice 2.3 ★

Résoudre :

4x + 9 = x - 3, \qquad \frac{2x - 1}{3} = 5, \qquad 2(x - 3) = 2x + 1 .

(L’une d’elles n’a pas de solution — expliquer pourquoi.)

Solution

Solution de Exercice 2.3.

$4x + 9 = x - 3$ : $3x = -12$ , donc $x = -4$ .

$\frac{2x-1}{3} = 5$ : $2x - 1 = 15$ , donc $x = 8$ .

$2(x-3) = 2x + 1$ se développe en $2x - 6 = 2x + 1$ , c’est-à-dire $-6 = 1$ : faux pour tout $x$ . Aucune solution — les deux membres définissent des droites parallèles qui ne se rencontrent jamais.

Exercice 2.4 ★

Résoudre en utilisant la règle du produit nul :

(x + 5)(2x - 8) = 0, \qquad x^2 - 16 = 0, \qquad x^2 + 6x + 9 = 0 .

Solution

Solution de Exercice 2.4.

$(x+5)(2x-8) = 0$ : $x = -5$ ou $x = 4$ .

$x^2 - 16 = (x-4)(x+4) = 0$ : $x = 4$ ou $x = -4$ .

$x^2 + 6x + 9 = (x+3)^2 = 0$ : l’unique solution $x = -3$ .

Exercice 2.5 ★

Résoudre les inéquations et écrire les ensembles de solutions comme intervalles :

3x - 5 \leq 7, \qquad -4x + 1 > 9, \qquad 2(x - 1) \geq 5x + 4 .

Solution

Solution de Exercice 2.5.

$3x - 5 \leq 7$ : $3x \leq 12$ , donc $x \leq 4$ : ensemble des solutions $\intoc{-\infty}{4}$ .

$-4x + 1 > 9$ : $-4x > 8$ , diviser par $-4$ inverse l’inégalité : $x < -2$ : ensemble des solutions $\intoo{-\infty}{-2}$ .

$2(x-1) \geq 5x + 4$ : $2x - 2 \geq 5x + 4$ , donc $-3x \geq 6$ , donc $x \leq -2$ : ensemble des solutions $\intoc{-\infty}{-2}$ .

Exercice 2.6 ★★

Factoriser $E = (x - 1)(x + 3) - (x - 1)(2x - 5)$ , puis résoudre $E = 0$ .

Solution

Solution de Exercice 2.6.

Le facteur commun est $(x-1)$ :

E = (x-1)\bigl[(x+3) - (2x - 5)\bigr] = (x-1)(x + 3 - 2x + 5) = (x-1)(8 - x).

Alors $E = 0$ lorsque $x = 1$ ou $x = 8$ (règle du produit nul).

Exercice 2.7 ★★

Résoudre $x^2 = 5x$ , puis $(2x + 1)^2 = (x - 4)^2$ . (Pour la seconde, tout ramener à gauche et factoriser la différence de carrés.)

Solution

Solution de Exercice 2.7.

$x^2 = 5x$ : $x^2 - 5x = x(x - 5) = 0$ , donc $x = 0$ ou $x = 5$ (ne jamais diviser par $x$ : la solution $0$ serait perdue).

$(2x+1)^2 = (x-4)^2$ : tout ramener à gauche et factoriser la différence de carrés :

(2x+1)^2 - (x-4)^2 = \bigl[(2x+1) + (x-4)\bigr]\bigl[(2x+1) - (x-4)\bigr] = (3x - 3)(x + 5).

Règle du produit nul : $x = 1$ ou $x = -5$ .

Exercice 2.8 ★★

À l’aide d’un tableau de signes, résoudre

(x + 2)(4 - x) > 0, \qquad \frac{2x - 6}{x + 1} \geq 0 .

Solution

Solution de Exercice 2.8.

$(x+2)(4-x) > 0$ : le facteur $x + 2$ s’annule en $-2$ (positif après), $4 - x$ s’annule en $4$ (positif avant). Le produit est positif exactement lorsque les deux facteurs sont positifs, c’est-à-dire sur $\intoo{-2}{4}$ .

$\frac{2x-6}{x+1} \geq 0$ : numérateur nul en $3$ , dénominateur nul en $-1$ (interdit). Tableau de signes : le quotient est positif lorsque les deux parties ont le même signe, c’est-à-dire pour $x < -1$ ou $x > 3$ ; il s’annule en $x = 3$ . Ensemble des solutions : $\intoo{-\infty}{-1} \cup \intco{3}{+\infty}$ .

Exercice 2.9 ★★

Un service de streaming coûte $9$ par mois, plus des frais d’inscription uniques de $15$ ; un concurrent coûte $12$ par mois sans frais. Au bout de combien de mois le premier service devient-il le moins cher au total ? Mettre en équation et résoudre une inéquation.

Solution

Solution de Exercice 2.9.

Après $x$ mois le premier service coûte $9x + 15$ et le second $12x$ . Le premier est moins cher lorsque

9x + 15 < 12x \ \Longleftrightarrow\ 15 < 3x \ \Longleftrightarrow\ x > 5 .

À partir du $6$ -ième mois, le premier service est le choix le moins cher au total.

Exercice 2.10 ★★

Résoudre $\dfrac{x+3}{x-1} = 2$ . (Multiplier les deux membres par $x - 1$ après avoir exclu la valeur interdite, ou tout ramener à gauche sur un dénominateur commun.)

Solution

Solution de Exercice 2.10.

Valeur interdite : $x = 1$ . Pour $x \neq 1$ , multiplier les deux membres par $x - 1$ :

x + 3 = 2(x - 1) = 2x - 2 \ \Longleftrightarrow\ x = 5 .

Comme $5 \neq 1$ , la solution est $x = 5$ . Vérification : $\frac{5+3}{5-1} = \frac84 = 2$ .

Exercice 2.11 ★★★

Soit $n$ un entier. Montrer que $(n + 1)^2 - n^2$ est toujours impair, et que la différence des carrés de deux nombres impairs consécutifs est toujours un multiple de $8$ .

Solution

Solution de Exercice 2.11.

$(n+1)^2 - n^2 = n^2 + 2n + 1 - n^2 = 2n + 1$ , qui est impair pour tout entier $n$ .

Deux nombres impairs consécutifs s’écrivent $2n - 1$ et $2n + 1$ . Alors

(2n+1)^2 - (2n-1)^2 = \bigl[(2n+1)+(2n-1)\bigr]\bigl[(2n+1)-(2n-1)\bigr] = 4n \times 2 = 8n,

un multiple de $8$ .