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Mathématiques · Glossaire

Qu'est-ce que « extension galoisienne » ?

Aussi appelé : groupe de Galois

Définition 4.18 Mathématiques universitaires — Licence 3 · Chapitre 4 — Extensions de corps et théorie de Galois

Une extension finie L/KL/K est galoisienne (ou normale et séparable) si elle est séparable et si tout polynôme irréductible de K[X]K[X] ayant une racine dans LL se scinde entièrement dans LL (normalité). Le groupe de Galois est

Gal⁡(L/K)={σ ⁣:L→L:σ automorphisme, σ∣K=id}.\operatorname{Gal}(L/K) = \{\sigma \colon L \to L : \sigma \text{ automorphisme, } \sigma|_K = \mathrm{id}\}.
La correspondance de Galois renverse les inclusions : aux sous-corps K ⊂eq M_i ⊂eq L répondent les sous-groupes \e\ ⊂eq H_i = Gal(L/M_i) ⊂eq G = Gal(L/K), avec [L:M_i] = |H_i| et [M_i:K] = [G:H_i].
La correspondance de Galois renverse les inclusions : aux sous-corps K⊆Mi⊆LK \subseteq M_i \subseteq L répondent les sous-groupes {e}⊆Hi=Gal⁡(L/Mi)⊆G=Gal⁡(L/K)\{e\} \subseteq H_i = \operatorname{Gal}(L/M_i) \subseteq G = \operatorname{Gal}(L/K), avec [L:Mi]=∣Hi∣[L:M_i] = |H_i| et [Mi:K]=[G:Hi][M_i:K] = [G:H_i].
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