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Matemáticas · Glosario

¿Qué es extensión de Galois?

También llamado: grupo de Galois

Definición 4.18 Matemáticas universitarias — Grado 3 · Capítulo 4 — Extensiones de cuerpos y teoría de Galois

Una extensión finita $L/K$ es de Galois si es el cuerpo de descomposición de un polinomio separable sobre $K$ . Su grupo de Galois es $\operatorname{Gal}(L/K) = \operatorname{Aut}_K(L)$ , el grupo de los automorfismos de cuerpo de $L$ que fijan $K$ punto a punto.

La correspondencia de Galois para el cuerpo de descomposición L de X3 - 2 sobre ℚ (j = 2 π/3): los subgrupos de Gal(L/ℚ) S_3 (a la izquierda, con el orden invertido) se corresponden con los cuerpos intermedios (a la derecha). El único subgrupo normal propio (1\,2\,3) corresponde a la única subextensión ℚ( √3)/ℚ que es de Galois; los tres subgrupos conjugados (i\,j) corresponden a los tres cuerpos cúbicos conjugados ℚ(jk√[3]2), ninguno de los cuales es normal sobre ℚ. — La correspondencia de Galois para el cuerpo de descomposición $L$ de $X^3 - 2$ sobre $\Q$ ( $j = \eu^{2\iu\pi/3}$ ): los subgrupos de $\operatorname{Gal}(L/\Q) \cong S_3$ (a la izquierda, con el orden invertido) se corresponden con los cuerpos intermedios (a la derecha). El único subgrupo normal propio $\langle(1\,2\,3)\rangle$ corresponde a la única subextensión $\Q(\iu\sqrt3)/\Q$ que es de Galois; los tres subgrupos conjugados $\langle(i\,j)\rangle$ corresponden a los tres cuerpos cúbicos conjugados $\Q(j^k\sqrt[3]2)$ , ninguno de los cuales es normal sobre $\Q$ .

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