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Matemática · Glossário

O que é extensão de Galois?

Também chamado de: grupo de Galois

Definição 4.18 Matemática universitária — Graduação 3 · Capítulo 4 — Extensões de corpos e teoria de Galois

Uma extensão finita L/KL/K é de Galois se é o corpo de decomposição de um polinômio separável sobre KK. Seu grupo de Galois é Gal⁡(L/K)=Aut⁡K(L)\operatorname{Gal}(L/K) = \operatorname{Aut}_K(L), o grupo dos automorfismos do corpo LL que fixam KK ponto a ponto.

A correspondência de Galois para o corpo de decomposição L de X3 - 2 sobre ℚ (j = 2 π/3): os subgrupos de Gal(L/ℚ) S_3 (à esquerda, em ordem invertida) correspondem aos corpos intermediários (à direita). O único subgrupo normal próprio (1\,2\,3) corresponde à única subextensão ℚ( √3)/ℚ que é de Galois; os três subgrupos conjugados (i\,j) correspondem aos três corpos cúbicos conjugados ℚ(jk√[3]2), nenhum deles normal sobre ℚ.
A correspondência de Galois para o corpo de decomposição LL de X3−2X^3 - 2 sobre Q\Q (j=e2iπ/3j = \eu^{2\iu\pi/3}): os subgrupos de Gal⁡(L/Q)≅S3\operatorname{Gal}(L/\Q) \cong S_3 (à esquerda, em ordem invertida) correspondem aos corpos intermediários (à direita). O único subgrupo normal próprio ⟨(1 2 3)⟩\langle(1\,2\,3)\rangle corresponde à única subextensão Q(i3)/Q\Q(\iu\sqrt3)/\Q que é de Galois; os três subgrupos conjugados ⟨(i j)⟩\langle(i\,j)\rangle correspondem aos três corpos cúbicos conjugados Q(jk23)\Q(j^k\sqrt[3]2), nenhum deles normal sobre Q\Q.
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