4Extensions de corps et théorie de Galois

Démonstration. Si l’un des degrés est infini, le produit l’est aussi (un $K$-espace de dimension finie ne peut contenir un sous-espace de dimension infinie, ni un quotient de dimension infinie). Si les deux sont finis, soit $(m_i)$ une $K$-base de $M$ et $(\ell_j)$ une $M$-base de $L$ : les produits $m_i\ell_j$ forment une $K$-base de $L$ (engendrer : tout $x \in L$ s’écrit $\sum a_j\ell_j$ avec $a_j \in M$, et chaque $a_j = \sum b_{ij}m_i$ ; indépendance : $\sum_{i,j} c_{ij}m_i\ell_j = 0$ se regroupe en $\sum_j\bigl(\sum_i c_{ij}m_i\bigr)\ell_j = 0$, d’où chaque coefficient $M$-linéaire s’annule, puis chaque $c_{ij}$). ∎

Démonstration. L’évaluation $K[X] \to K[\alpha]$, $P \mapsto P(\alpha)$, est un morphisme d’anneaux surjectif de noyau $(\mu_\alpha)$ : le premier théorème d’isomorphisme donne $K[\alpha] \cong K[X]/(\mu_\alpha)$. Comme $\mu_\alpha$ est irréductible, l’idéal $(\mu_\alpha)$ est maximal et $K[\alpha]$ est un corps : donc $K[\alpha] = K(\alpha)$. La base des puissances modulo un polynôme de degré $n$ donne la $K$-base annoncée. Réciproquement si $[K(\alpha):K] = n < \infty$, les $n+1$ éléments $1, \alpha, \dots, \alpha^n$ sont $K$-liés, d’où un polynôme annulateur. ∎

Démonstration. (a) Pour $\alpha \in L$, $K(\alpha) \subseteq L$ a degré fini, donc $\alpha$ est algébrique par le Théorème 4.4. (b) Si $\alpha, \beta$ sont algébriques, $K(\alpha, \beta) = K(\alpha)(\beta)$ a degré fini par la tour ($[K(\alpha):K] < \infty$ et $[K(\alpha,\beta):K(\alpha)] \leq \deg\mu_{\beta,K} < \infty$), donc tout élément de $K(\alpha, \beta)$ — en particulier $\alpha \pm \beta$, $\alpha\beta$, $\alpha^{-1}$ — est algébrique. (c) Pour $\alpha \in L$, $\mu_{\alpha, M} = X^n + a_{n-1}X^{n-1} + \dots + a_0$ a coefficients dans $M$, chacun algébrique sur $K$ ; le corps $F = K(a_0, \dots, a_{n-1}, \alpha)$ a degré fini sur $K$ (tour + adjonction de $\alpha$), donc $\alpha$ est algébrique sur $K$. ∎

Démonstration. Existence. Récurrence sur $n = \deg P$. Factoriser $P = P_1\cdots P_r$ en irréductibles ; adjoindre une racine $\alpha$ de $P_1$ via $K(\alpha) \cong K[X]/(P_1)$ ; dans $K(\alpha)[X]$, $P = (X - \alpha)Q$, et le corps de décomposition de $Q$ sur $K(\alpha)$ (récurrence) est un corps de décomposition de $P$ sur $K$.

Unicité. Soient $L, L'$ deux corps de décomposition, $P = c\prod(X - \alpha_i)$ dans $L$ et $P = c\prod(X - \alpha_i')$ dans $L'$. Un $K$-plongement $K(\alpha_1) \to L'$ envoyant $\alpha_1$ sur une racine $\alpha_j'$ de $P$ dans $L'$ (il en existe car $P$ a une racine dans $L'$) s’étend, par récurrence sur le nombre de racines, en un $K$-isomorphisme $L \to L'$ (les deux sont engendrés par les racines, et le plongement envoie racines sur racines).

Borne de degré. À chaque étape d’adjonction d’une racine d’un facteur irréductible de degré $d$, le degré croît d’un facteur $d \leq n$ ; en $n$ étapes, $[L:K] \leq n!$. ∎

Démonstration. Existence (construction d’Artin). Soit $R = K[(X_f)_f]$ l’anneau des polynômes en une indéterminée $X_f$ par monique non constant $f \in K[X]$, et $I$ l’idéal engendré par tous les $f(X_f)$. $I$ est propre : une relation $1 = \sum_{i=1}^r g_i\, f_i(X_{f_i})$ n’implique qu’un nombre fini de polynômes ; dans un corps de décomposition commun $E$ de $f_1\cdots f_r$ choisir des racines $\alpha_i$ de $f_i$ et évaluer $X_{f_i} \mapsto \alpha_i$ (les autres variables $\mapsto 0$) : $1 = 0$, absurde. Soit $\mathfrak m \supseteq I$ maximal (Théorème 2.8 ; Zorn) et $K_1 = R/\mathfrak m$ : une extension de corps de $K$ dans laquelle tout $f \in K[X]$ non constant a une racine, à savoir $\bar X_f$, et qui est algébrique sur $K$ (engendrée par les $\bar X_f$, chacun algébrique). Itérer : $K \subseteq K_1 \subseteq K_2 \subseteq \cdots$, où $K_{n+1}$ fait à $K_n$ ce que $K_1$ a fait à $K$, et poser $\Omega = \bigcup_n K_n$, un corps. Tout $g \in \Omega[X]$ non constant a ses coefficients finiment nombreux dans un certain $K_n$ ; un facteur irréductible de $g$ sur $K_n$ a une racine dans $K_{n+1} \subseteq \Omega$ : $\Omega$ est algébriquement clos, et algébrique sur $K$ (chaque $K_n$ l’est, par transitivité, Corollaire 4.5) : $\Omega$ est une clôture algébrique.

Unicité. Soient $\Omega, \Omega'$ deux clôtures algébriques. Considérer l’ensemble des paires $(E, \tau)$ où $K \subseteq E \subseteq \Omega$ et $\tau\colon E \to \Omega'$ est un $K$-plongement, ordonné par extension ; il est non vide ($(K, \mathrm{id})$) et inductif (réunion d’une chaîne), donc Zorn donne un maximal $(E_0, \tau_0)$. Si $E_0 \neq \Omega$, choisir $\alpha \in \Omega\setminus E_0$ : $\pi_{\alpha/E_0}$ s’envoie sur un polynôme sur $\tau_0(E_0)$ ayant une racine $\beta$ dans l’algébriquement clos $\Omega'$, et $\tau_0$ s’étend à $E_0(\alpha) \to \Omega'$ ($\alpha \mapsto \beta$), contredisant la maximalité. Donc il existe un $K$-plongement $\tau \colon \Omega \to \Omega'$ ; son image, isomorphe à $\Omega$, est algébriquement close, et $\Omega'$ est algébrique sur elle : pour $x \in \Omega'$, $\pi_{x/\tau(\Omega)}$ se scinde sur $\tau(\Omega)$, donc $x \in \tau(\Omega)$. Ainsi $\tau$ est surjectif : un isomorphisme. ∎

Démonstration. (1) Un corps fini $E$ a caractéristique $p > 0$ et est un $\mathbb F_p$-espace vectoriel de dimension finie : $\abs E = p^n$. Son groupe multiplicatif a ordre $q - 1$, donc tout $x \in E$ vérifie $x^q = x$ : $E$ consiste en $q$ racines de $X^q - X$, d’où c’est un corps de décomposition de celui-ci sur $\mathbb F_p$ — déterminant $E$ à isomorphisme près (Théorème 4.7). Réciproquement, dans un corps de décomposition $L$ de $X^q - X$, l’ensemble $E$ de ses racines est un sous-corps : $(x + y)^q = x^q + y^q$ en itérant le rêve du débutant $(a+b)^p = a^p + b^p$ ($p \mid \binom pk$), et $(xy)^q = x^qy^q$, $(x^{-1})^q = (x^q)^{-1}$ ; il a exactement $q$ éléments car $X^q - X$ est séparable : sa dérivée est $qX^{q-1} - 1 = -1$ (car $p \mid q$), première avec lui, donc pas de racines multiples. Ainsi $L = E$ a $q$ éléments.

(2) $F$ est un morphisme de corps (même rêve du débutant) et injectif (noyau trivial), donc un automorphisme sur le fini $\mathbb F_q$. Les points fixes de $F^k$ sont les racines de $X^{p^k} - X$, au nombre de $p^k$ : $F$ a ordre exactement $n$ dans $\operatorname{Aut}(\mathbb F_q)$. Or $\abs{\operatorname {Aut}(\mathbb F_q)} \leq n$ (un automorphisme est déterminé par l’image d’un générateur primitif de l’extension de degré $n$ sur $\mathbb F_p$) : le groupe est exactement $\langle F \rangle$, cyclique d’ordre $n$.

(3) $\mathbb F_{p^m} \subseteq \mathbb F_{p^n}$ ssi $X^{p^m} - X$ divise $X^{p^n} - X$ ssi $m \mid n$ (critère de divisibilité des polynômes $X^{p^a} - X$ : écrire $n = mq + r$ et comparer les cardinaux des corps fixes de $F^m$ et $F^n$). ∎

Démonstration. Soit $G = \mathbb F_q^\times$, d’ordre $q - 1$. Par le théorème de structure (Corollaire 3.13), $G \cong \Z/d_1\Z \times \cdots \times \Z/d_s\Z$ avec $d_1 \mid \dots \mid d_s$. L’exposant de $G$ est $d_s$ : tout élément vérifie $x^{d_s} = 1$. Mais le polynôme $X^{d_s} - 1$ a au plus $d_s$ racines dans un corps, et $G$ en fournit $q - 1 = |G| = d_1\cdots d_s$ ; donc $d_1\cdots d_s \leq d_s$, forçant $s = 1$ et $G$ cyclique. (C’est le critère de Exercice 3.11.) ∎

Démonstration. Si $P$ irréductible a une racine multiple, alors $\gcd(P, P') = P$ (car $\gcd$ est non trivial et $P$ irréductible), donc $P' = 0$. En caractéristique $0$, $P' = 0$ force $P$ constant. En caractéristique $p$, $P' = 0$ ssi $P \in K[X^p]$ : $P = \sum a_i X^{ip}$. Si le Frobenius est surjectif, $a_i = b_i^p$ et $P = (\sum b_i X^i)^p$, contredisant l’irréductibilité sauf si $\deg = 0$. Les corps finis ont un Frobenius bijectif (corps fini). Réciproquement, si $a \in K$ n’est pas une puissance $p$-ième, $X^p - a$ est irréductible (ou une puissance d’un irréductible inséparable) : $K$ n’est pas parfait. ∎

Démonstration. Récurrence sur $n$. Pour $L = K(\alpha)$ séparable de degré $d$, les $K$-plongements $L \hookrightarrow \overline K$ correspondent bijectivement aux racines de $\mu_\alpha$ dans $\overline K$ : il y en a $d = [L:K]$ (séparabilité : $d$ racines distinctes, chacune définit un unique plongement par $\alpha \mapsto$ cette racine). En général, $L = M(\alpha_n)$ avec $M = K(\alpha_1, \dots, \alpha_{n-1})$ ; par récurrence $M$ a $[M:K]$ plongements dans $\overline K$. Chacun de ces plongements $\tau \colon M \to \overline K$ s’étend en $[L:M]$ plongements de $L$ : appliquer le cas simple à $\mu_{\alpha_n, M}$ sur le corps $\tau(M)$, qui reste séparable (même polynôme minimal, ou conjugué). Total : $[L:M][M:K] = [L:K]$ par la tour des degrés. ∎

Démonstration. Si $K$ est infini : il suffit de traiter $L = K(\alpha, \beta)$. Soit $\mu_\alpha, \mu_\beta$ les minimaux, de racines $\alpha = \alpha_1, \dots, \alpha_r$ et $\beta = \beta_1, \dots, \beta_s$ dans $\overline K$ (distinctes par séparabilité). Choisir $c \in K$ évitant les finiement nombreuses valeurs $(\alpha_i - \alpha_1)/(\beta_1 - \beta_j)$ pour $i \geq 1$, $j \geq 2$ ; poser $\gamma = \alpha + c\beta$. Alors $K(\gamma) \subseteq K(\alpha, \beta)$, et $\beta$ est la seule racine commune de $\mu_\beta(Y)$ et $\mu_\alpha(\gamma - cY)$ (toute autre $\beta_j$ donnerait $\gamma - c\beta_j = \alpha_i$ pour un $i$, d’où $c = (\alpha_i - \alpha)/(\beta - \beta_j)$ interdit) : donc $\mu_{\beta, K(\gamma)}$ divise un polynôme de degré $1$, $\beta \in K(\gamma)$, $\alpha = \gamma - c\beta \in K(\gamma)$. Si $K$ est fini, $L$ aussi, et $L^\times$ est cyclique (Théorème 4.12) : un générateur $\alpha$ vérifie $L = K(\alpha)$. ∎

Démonstration. (i)$\Rightarrow$(ii) : par l’élément primitif, $L = K(\alpha)$ ; $\mu_\alpha$ est séparable et se scinde dans $L$ (normalité, une racine $\alpha \in L$), et $L$ est engendré par les racines (les conjugués de $\alpha$ engendrent la même extension). (ii)$\Rightarrow$(iii) : tout $K$-plongement $L \hookrightarrow \overline K$ envoie racines sur racines, donc stabilise $L$ : c’est un élément de $\operatorname{Gal}(L/K)$. Par la Proposition 4.16 il y en a $[L:K]$. (iii)$\Rightarrow$(iv) : $K \subseteq L^G$ toujours ; $L/L^G$ est galoisienne de groupe $G$ (tout $\sigma \in G$ fixe $L^G$), donc $|G| = [L:L^G]$ par le sens (ii)$\Rightarrow$(iii) déjà prouvé pour le corps de décomposition — plus proprement : par Artin ci-dessous, $[L:L^G] = |G|$ ; donc si $|G| = [L:K]$ alors $L^G = K$. (iv)$\Rightarrow$(i) : séparabilité de $L/K$ : pour $\alpha \in L$, le polynôme $\prod_{\sigma \in G/\operatorname{Stab}(\alpha)} (X - \sigma\alpha)$ est dans $K[X]$ (coefficients fixes par $G$, donc dans $L^G = K$), annule $\alpha$, et est séparable ; donc $\mu_\alpha$ est séparable. Normalité : un $K$-plongement de $L$ dans $\overline K$ envoie $\alpha$ sur un conjugué $\sigma\alpha \in L$, donc stabilise $L$. ∎

Démonstration. Pour $\alpha \in L$, le polynôme $P = \prod_{\sigma \in G/\operatorname{Stab}(\alpha)}(X - \sigma\alpha)$ est dans $K[X]$ (les coefficients sont $G$-invariants), monique, séparable, et annule $\alpha$ : $L/K$ est algébrique séparable. De plus $L$ est normale sur $K$ (tout $K$-plongement envoie $\alpha$ sur un conjugué $\sigma\alpha \in L$). Ainsi $L/K$ est galoisienne. Or $G \subseteq \operatorname{Gal}(L/K)$, donc $|G| \leq |\operatorname{Gal}(L/K)| = [L:K]$.

Pour l’autre inégalité, on invoque l’indépendance des caractères de Dedekind : des morphismes de groupes distincts $\chi_i \colon L^\times \to L^\times$ sont $L$-linéairement indépendants comme applications $L \to L$. En particulier les $|G|$ automorphismes de $G$ sont $K$-linéairement indépendants, donc $\dim_K L \geq |G|$. Combinant les deux inégalités : $[L:K] = |G|$ et $G = \operatorname{Gal}(L/K)$. ∎

Démonstration. Pour $H \leq G$, le lemme d’Artin donne $\operatorname{Gal}(L/L^H) = H$ et $[L:L^H] = |H|$. Pour un sous-corps $M$, $L/M$ est galoisienne : séparable (sous-extension d’une séparable) et normale (tout $M$-plongement de $L$ dans $\overline K$ est un $K$-plongement, donc un élément de $G$, qui stabilise $L$). Le groupe $\operatorname{Gal}(L/M) \leq G$ a pour corps fixe $M$ par la Proposition 4.19(iv). Les deux applications sont donc mutuellement inverses.

(1) est clair par construction. (2) : $[L:L^H] = |H|$ et la tour des degrés donnent $[L^H:K] = [L:K]/[L:L^H] = |G|/|H| = [G:H]$. (3) : pour $\sigma \in G$, le conjugué $\sigma(L^H) = L^{\sigma H\sigma^{-1}}$. Donc $H$ est normal dans $G$ ssi $\sigma(L^H) = L^H$ pour tout $\sigma$ ssi tout $K$-plongement de $L^H$ (restriction d’un élément de $G$) stabilise $L^H$ ssi $L^H/K$ est normale (la séparabilité est automatique). Alors le morphisme de restriction $G \to \operatorname{Gal}(L^H/K)$ est surjectif (tout automorphisme de $L^H/K$ s’étend à $L$ car $L/L^H$ est galoisienne) de noyau $\operatorname{Gal}(L/L^H) = H$, d’où $\operatorname{Gal}(L^H/K) \cong G/H$. ∎

Démonstration. $X^n - 1 = \prod_{d \mid n} \Phi_d(X)$ (partition des racines selon l’ordre). Par récurrence de Möbius, $\Phi_n \in \Z[X]$ (diviser dans $\Z[X]$ par les $\Phi_d$ unitaires pour $d < n$). Irréductibilité : soit $P$ le facteur irréductible unitaire de $\Phi_n$ dans $\Z[X]$ annulant $\zeta = \zeta_n$, et $q$ un premier ne divisant pas $n$. On montre que $\zeta^q$ est aussi racine de $P$. Sinon $P$ et $\Phi_n$ donneraient, modulo $q$, un facteur commun avec $X^n - 1$ et sa dérivée $nX^{n-1}$ (via $(\zeta^q$ racine de $\Phi_n/P$), d’où une racine multiple de $X^n - 1$ mod $q$, impossible car $q \nmid n$. Donc tous les $\zeta^k$ avec $\gcd(k,n)=1$ (produits de tels premiers) sont racines de $P$ : $P = \Phi_n$.

Galois : $\Q(\zeta_n)$ est le corps de décomposition de $X^n - 1$ (séparable, $nX^{n-1}$ premier à $X^n-1$ en caractéristique $0$). Le groupe de Galois s’injecte dans $(\Z/n\Z)^\times$ via $\sigma(\zeta_n) = \zeta_n^{k(\sigma)}$, et l’ordre $[\Q(\zeta_n):\Q] = \deg\Phi_n = \varphi(n) = |(\Z/n\Z)^\times|$ force la surjectivité. ∎

Démonstration. ($\Rightarrow$) Les coordonnées de l’intersection de deux droites passant par des points à coordonnées dans un sous-corps $F \subseteq \R$ résolvent un système linéaire sur $F$ : elles restent dans $F$. Les intersections droite–cercle et cercle–cercle conduisent, après élimination de la partie linéaire (soustraire les deux équations de cercles donne une droite), à une équation quadratique sur $F$ : les nouvelles coordonnées vivent dans $F$ ou dans $F(\sqrt d)$ pour un $d \in F$, $d > 0$. Par récurrence, tout point construit a ses coordonnées dans une tour d’extensions quadratiques de $\Q$ ; et $z = x + \iu y$ est dans une tour quadratique aussi (adjoindre $\iu$ : une étape quadratique de plus). Conséquence sur le degré : $[\Q(z):\Q]$ divise $[F_r : \Q] = 2^r$ (loi de la tour).

($\Leftarrow$) Les nombres constructibles forment un corps : sommes et différences par parallélogrammes (les parallèles sont constructibles : abaisser et relever deux perpendiculaires — la perpendiculaire classique par un point utilise un cercle et deux arcs) ; produits et quotients par des configurations d’intercept de Thalès (données les longueurs $a, b$, construire $ab$ et $a/b$ avec des triangles semblables sur deux rayons). Et le corps est stable par racines carrées : pour $a > 0$, le cercle de diamètre $1 + a$ et la perpendiculaire au point de jonction se rencontrent à hauteur $\sqrt a$ (relation altitude–moyenne géométrique dans un triangle rectangle) ; pour un complexe $w = \rho\eu^{\iu\theta}$, construire $\sqrt\rho$ et bissecter $\theta$ (la bissection d’angle est une construction au compas). Les parties réelle et imaginaire des membres d’une tour quadratique sont donc constructibles par récurrence sur la tour : chaque étape adjoint des racines d’une quadratique, exprimables par opérations de corps et une racine carrée d’un nombre déjà construit (la formule quadratique ; en caractéristique $0$). ∎

Démonstration. (1) $X^3 - 2$ est irréductible (Eisenstein). (2) De $\cos 3\theta = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta$ avec $3\theta = 60^\circ$ : $8c^3 - 6c = 1$ pour $c = \cos 20^\circ$ ; le cubique $8X^3 - 6X - 1$ n’a pas de racine rationnelle (les candidats $\pm1, \pm\frac12, \pm\frac14, \pm\frac18$ échouent), donc est irréductible : degré $3$. Un angle de $60^\circ$ général est constructible, donc un trisecteur construirait $c$. (3) Si $\sqrt\pi$ était constructible, il serait algébrique, donc aussi $\pi$. L’énoncé sur le $n$-gone : le degré de $\zeta_n$ est $\varphi(n)$ (Théorème 4.23) ; la nécessité suit de Wantzel ; pour la suffisance, le groupe de Galois, abélien d’ordre $2^m$, admet une chaîne de sous-groupes d’indice $2$ (un $2$-groupe fini le fait : Exercice 1.10), dont les corps fixes forment une tour quadratique aboutissant à $\Q(\zeta_n)$ (Théorème 4.21) ; conclure par le Théorème 4.25. ∎

Démonstration. $X^n - a$ est séparable ($\gcd$ avec $nX^{n-1}$ : $a \neq 0$) et se scinde dans $K(\alpha)$, $\alpha^n = a$ : ses racines sont les $\zeta^k\alpha \in K(\alpha)$. Donc $K(\alpha)/K$ est galoisienne ; l’application $\sigma \mapsto \sigma(\alpha)/\alpha \in \mu_n = \langle \zeta\rangle$ est un morphisme injectif ($\sigma\tau(\alpha) = \sigma(\tau(\alpha)/\alpha \cdot \alpha) = (\sigma(\alpha)/\alpha)\,(\tau(\alpha)/\alpha)\,\alpha$), donc $G$ s’injecte dans un groupe cyclique : il est cyclique. L’extension cyclotomique $K(\zeta_n)/K$ est le corps de décomposition de $X^n - 1$, séparable en caractéristique $0$ ; un automorphisme envoie $\zeta_n$ sur $\zeta_n^k$ avec $\gcd(k, n) = 1$, et la composition des morphismes $k$ est multiplicative : le groupe s’injecte dans $(\Z/n\Z)^\times$, abélien. ∎