Over GitHub Coach Inloggen Begin met lezen

Wiskunde · Begrippenlijst

Wat is Galoisuitbreiding?

Ook bekend als: Galoisgroep

Definitie 4.18 Universitaire wiskunde — Bachelor jaar 3 · Hoofdstuk 4 — Lichaamsuitbreidingen en Galoistheorie

Een eindige uitbreiding L/KL/K heet Galois als ze het splitsingslichaam is van een separabele veelterm over KK. Haar Galoisgroep is Gal⁡(L/K)=Aut⁡K(L)\operatorname{Gal}(L/K) = \operatorname{Aut}_K(L), de groep lichaamsautomorfismen van LL die KK puntsgewijs vasthouden.

De Galoiscorrespondentie voor het splitsingslichaam L van X3 - 2 over ℚ (met j = 2 π/3): de deelgroepen van Gal(L/ℚ) S_3 (links, in omgekeerde volgorde) horen bij de tussenliggende lichamen (rechts). De enige echte normaaldeler (1\,2\,3) correspondeert met de enige deeluitbreiding ℚ( √3)/ℚ die Galois is; de drie geconjugeerde deelgroepen (i\,j) corresponderen met de drie geconjugeerde derdegraadslichamen ℚ(jk√[3]2), waarvan geen enkele normaal is over ℚ.
De Galoiscorrespondentie voor het splitsingslichaam LL van X3−2X^3 - 2 over Q\Q (met j=e2iπ/3j = \eu^{2\iu\pi/3}): de deelgroepen van Gal⁡(L/Q)≅S3\operatorname{Gal}(L/\Q) \cong S_3 (links, in omgekeerde volgorde) horen bij de tussenliggende lichamen (rechts). De enige echte normaaldeler ⟨(1 2 3)⟩\langle(1\,2\,3)\rangle correspondeert met de enige deeluitbreiding Q(i3)/Q\Q(\iu\sqrt3)/\Q die Galois is; de drie geconjugeerde deelgroepen ⟨(i j)⟩\langle(i\,j)\rangle corresponderen met de drie geconjugeerde derdegraadslichamen Q(jk23)\Q(j^k\sqrt[3]2), waarvan geen enkele normaal is over Q\Q.
Lees in het hoofdstuk →