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गणित · शब्दावली

गाल्वा विस्तार क्या है?

अन्य नाम: गाल्वा समूह

परिभाषा 4.18 विश्वविद्यालय गणित — स्नातक वर्ष 3 · अध्याय 4 — क्षेत्र विस्तार और गाल्वा सिद्धांत

कोई परिमित विस्तार $L/K$ गाल्वा कहलाता है यदि वह $K$ पर किसी वियोज्य बहुपद का विभाजन क्षेत्र हो। उसका गाल्वा समूह $\operatorname{Gal}(L/K) = \operatorname{Aut}_K(L)$ है, अर्थात् $L$ की उन क्षेत्र स्वसमाकारिताओं का समूह जो $K$ को बिंदुशः स्थिर रखती हैं।

ℚ पर X3 - 2 के विभाजन क्षेत्र L के लिए गाल्वा संगति (j = 2 π/3): Gal(L/ℚ) S_3 के उपसमूह (बाएँ, क्रम उलटा हुआ) मध्यवर्ती क्षेत्रों (दाएँ) से मेल खाते हैं। एकमात्र प्रसामान्य उचित उपसमूह (1\,2\,3) उस एकमात्र उपविस्तार ℚ( √3)/ℚ के अनुरूप है जो गाल्वा है; और तीन संयुग्म उपसमूह (i\,j) तीन संयुग्म त्रिघात क्षेत्रों ℚ(jk√[3]2) के अनुरूप हैं, जिनमें से कोई भी ℚ पर प्रसामान्य नहीं है। — $\Q$ पर $X^3 - 2$ के विभाजन क्षेत्र $L$ के लिए गाल्वा संगति ( $j = \eu^{2\iu\pi/3}$ ): $\operatorname{Gal}(L/\Q) \cong S_3$ के उपसमूह (बाएँ, क्रम उलटा हुआ) मध्यवर्ती क्षेत्रों (दाएँ) से मेल खाते हैं। एकमात्र प्रसामान्य उचित उपसमूह $\langle(1\,2\,3)\rangle$ उस एकमात्र उपविस्तार $\Q(\iu\sqrt3)/\Q$ के अनुरूप है जो गाल्वा है; और तीन संयुग्म उपसमूह $\langle(i\,j)\rangle$ तीन संयुग्म त्रिघात क्षेत्रों $\Q(j^k\sqrt[3]2)$ के अनुरूप हैं, जिनमें से कोई भी $\Q$ पर प्रसामान्य नहीं है।

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