Mathématiques universitaires — Licence 2 · Bachelor Year 2

11Séries entières

Les séries entières sont les séries de fonctions les mieux élevées des mathématiques : à l’intérieur de leur disque de convergence, elles convergent normalement sur les compacts, peuvent être dérivées et intégrées terme à terme sans la moindre hésitation, et leurs sommes — les fonctions analytiques — sont déterminées par leurs coefficients. Ce chapitre démontre tout ce paquet et reprend, honnêtement cette fois, chaque série de Taylor du volume de première année ; les fonctions génératrices le referment avec des dividendes algébriques.

11.1 Rayon de convergence

Lemme 11.1 (Abel)

Si la suite $(a_n z_0^n)$ est bornée pour un certain $z_0 \neq 0$ , alors $\sum a_n z^n$ converge absolument pour tout $\abs z < \abs {z_0}$ , et normalement sur tout disque $\abs z \leq r < \abs{z_0}$ .

Démonstration. Avec $\abs{a_n z_0^n} \leq M$ et $\abs z \leq r$ :

\abs{a_n z^n} = \abs{a_n z_0^n}\,\Bigl|\frac{z}{z_0}\Bigr|^n \leq M\Bigl(\frac{r}{\abs{z_0}}\Bigr)^{\!n},

une majoration géométrique convergente, uniforme sur le disque. ∎

Définition 11.2 (Rayon de convergence)

Le rayon de convergence de $\sum a_n z^n$ est

R = \sup\{r \geq 0 : (a_n r^n) \text{ bornée}\} \in \intcc{0}{+\infty} .

D’après le Lemme 11.1 : convergence absolue pour $\abs z < R$ (normale sur les sous-disques compacts), divergence — avec des termes non bornés, même — pour $\abs z > R$ . Sur le cercle bord, tout peut arriver (Exercice 11.2). En pratique, $R$ se calcule par la règle de d’Alembert appliquée à $\abs{a_n}\abs z^n$ ou par comparaison.

Exemple 11.3 (Un rayon sans règle du quotient)

Quel est le rayon de $\sum \sin(n)\,z^n$ ? Le quotient $\abs{\sin(n+1)/\sin n}$ n’a pas de limite, mais la définition fonctionne directement. $R \geq 1$ : $\abs{\sin n} \leq 1$ , donc $(\sin n\cdot r^n)$ est bornée pour tout $r < 1$ — et même pour $r = 1$ . $R \leq 1$ : il suffit que $\sin n \not\to 0$ . Supposons $\sin n \to 0$ ; la formule d’addition

\sin(n+1) = \sin n\cos 1 + \cos n\sin 1

forcerait $\cos n \to 0$ (résoudre en $\cos n$ : $\sin 1 \neq 0$ ), en contradiction avec $\sin^2 n + \cos^2 n = 1$ . Ainsi les termes $\sin(n)\,1^n$ ne tendent pas vers $0$ : la série diverge en $z = 1$ , et $R \leq 1$ . Conclusion : $R = 1$ . Idée à retenir : le rayon est une affirmation sur le caractère borné de $\abs{a_n}r^n$ — aucune limite de quotients n’est jamais requise, et les arguments de bornitude règlent des cas que la règle du quotient ne peut pas toucher (comparer avec les coefficients oscillants de l’Exercice 11.1).

Proposition 11.4 (Opérations)

Soient $\sum a_nz^n$ , $\sum b_nz^n$ de rayons $R_a, R_b$ . Alors, pour $\abs z < \min(R_a, R_b)$ :

\sum (a_n + b_n)z^n = \sum a_nz^n + \sum b_nz^n, \qquad \Bigl(\sum a_nz^n\Bigr)\Bigl(\sum b_nz^n\Bigr) = \sum c_n z^n, \quad c_n = \sum_{k=0}^{n} a_kb_{n-k},

les deux séries ayant un rayon $\geq \min(R_a, R_b)$ . (Le produit est le produit de Cauchy, légitime par convergence absolue et d’après le Théorème 7.14.)

Démonstration. La formule de la somme est la linéarité des séries convergentes, et $(a_n + b_n)r^n$ est bornée dès que $a_nr^n$ et $b_nr^n$ le sont : rayon $\geq \min(R_a, R_b)$ . Pour le produit, fixons $\abs z < \min(R_a, R_b)$ : les deux séries convergent absolument là (Lemme 11.1), donc la famille doublement indexée $(a_kz^k\,b_lz^l)_{k,l}$ est sommable, et le Théorème 7.14 autorise tout regroupement. En regroupant par $k + l = n$ :

\Bigl(\sum_k a_kz^k\Bigr)\Bigl(\sum_l b_lz^l\Bigr) = \sum_{n\geq0}\Bigl(\sum_{k+l=n}a_kb_l\Bigr)z^n = \sum_{n\geq0}c_nz^n ,

absolument convergente pour tout tel $z$ : la série produit a elle aussi un rayon $\geq \min(R_a, R_b)$ . ∎

Exemple 11.5 (Un carré de Cauchy, vérifié par recoupement)

Élevons au carré la série géométrique : pour $\abs x < 1$ , le coefficient de $x^n$ dans $\bigl(\sum x^k\bigr)^2$ est $c_n = \sum_{k+l=n} 1\cdot1 = n + 1$ , donc

\frac{1}{(1-x)^2} = \sum_{n\geq0}(n+1)\,x^n .

Recoupement par dérivation terme à terme (Théorème 11.7 ci-dessous) : dériver $\frac{1}{1-x} = \sum x^n$ donne $\frac{1}{(1-x)^2} = \sum nx^{n-1} = \sum(n+1)x^n$ — la même série par deux mécanismes sans rapport. Idée à retenir : quand une identité entre coefficients semble mystérieuse, l’un de ces deux moteurs (convolution ou dérivation) la produit d’ordinaire en une ligne ; la question du problème du week-end sur $\sum\binom{2k}k\binom{2n-2k}{n-k} = 4^n$ fait tourner le moteur de convolution à plein régime.

Exemple 11.6 (Multiplier par $\frac{1}{1-x}$ somme les coefficients)

Un produit de Cauchy contre la série géométrique a un sens mémorable : pour toute $\sum a_nx^n$ de rayon $R > 0$ et $\abs x < \min(R, 1)$ ,

\frac{1}{1-x}\sum_{n\geq0}a_nx^n = \sum_{n\geq0}\Bigl(\sum_{k=0}^{n}a_k\Bigr)x^n :

la multiplication par $\frac{1}{1-x}$ remplace les coefficients par leurs sommes partielles (convolution avec la suite constante égale à un). Exemple : $\dfrac{\eu^x}{1-x} = \sum_n s_n x^n$ avec $s_n = \sum_{k\leq n}\frac{1}{k!}$ , les sommes partielles de $\eu$ — comparer avec l’Exercice 11.11, où le même produit avec $\eu^{-x}$ encode les nombres de dérangements. Idée à retenir : les opérations sur les séries entières sont des opérations déguisées sur les suites de coefficients (multiplier par $\frac1{1-x}$ : sommer ; multiplier par $x$ : décaler ; dériver : multiplier par $n$ et décaler) — un dictionnaire que le chapitre sur les fonctions génératrices lira couramment.

11.2 Régularité de la somme

Théorème 11.7 (Calcul terme à terme)

Soit $f(x) = \sum_{n\geq0} a_n x^n$ de rayon $R > 0$ (variable réelle $x \in \intoo{-R}{R}$ ).

La série dérivée $\sum n\,a_n x^{n-1}$ a le même rayon $R$ , et $f$ est $C^1$ avec $f'(x) = \sum_{n \geq 1} n a_n x^{n-1}$ . En itérant, $f$ est $C^\infty$ et

$a_n = \frac{f^{(n)}(0)}{n!} :$

les coefficients d’une série entière sont uniques (deux séries de même somme près de $0$ ont les mêmes coefficients).
Primitive terme à terme : $\sum \frac{a_n}{n+1}x^{n+1}$ a pour rayon $R$ et pour dérivée $f$ .

Démonstration. Même rayon : si $(a_nr^n)$ est bornée et $r' < r$ , alors $n\abs{a_n} r'^{\,n-1} = \frac{n}{r'}\abs{a_nr^n} \bigl(\frac{r'}{r}\bigr)^n$ est bornée (et même $\to 0$ : la géométrique bat $n$ ), donc $R' \geq R$ ; réciproquement $\abs{a_n x^n} \leq \abs x \cdot n\abs{a_n}\abs x^{n-1}$ donne $R \geq R'$ .

Dérivation : sur $\intcc{-r}{r}$ , $r < R$ , la série dérivée converge normalement ( $n\abs{a_n}r^{n-1}$ sommable par le calcul du rayon) ; l’originale converge en $x = 0$ : le théorème de dérivation des séries (Théorème 10.11) s’applique sur chaque tel segment, donc sur $\intoo{-R}{R}$ . En itérant $k$ fois et en évaluant en $0$ : explicitement, la $k$ -ième série dérivée est

f^{(k)}(x) = \sum_{n\geq k} n(n-1)\cdots(n-k+1)\,a_n\,x^{n-k},

et en $x = 0$ chaque terme avec $n > k$ s’annule, ne laissant que le terme constant $k(k-1)\cdots1\cdot a_k$ : $f^{(k)}(0) = k!\,a_k$ . L’unicité des coefficients en découle : deux séries entières de même somme près de $0$ ont les mêmes dérivées en $0$ , donc les mêmes $a_k$ . Primitives : même rayon par le même calcul, et on dérive terme à terme pour revenir. ∎

Exemple 11.8 (Évaluer une série en un point)

Que vaut $\sum_{n\geq1}\dfrac{n^2}{2^n}$ ? C’est la somme $\sum n^2x^n$ de l’Exercice 11.3 évaluée à l’intérieur du disque, en $x = \frac12 < 1 = R$ , où chaque manipulation utilisée pour dériver la forme close était légitime :

\sum_{n\geq1} n^2x^n = \frac{x(1+x)}{(1-x)^3} \quad\Longrightarrow\quad \sum_{n\geq1}\frac{n^2}{2^n} = \frac{\frac12\cdot\frac32}{(\frac12)^3} = \frac{3/4}{1/8} = 6 .

Même moteur, autres réglages : $x = \frac13$ donne $\sum\frac{n^2}{3^n} = \frac{\frac13\cdot\frac43}{(2/3)^3} = \frac32$ . Idée à retenir : une identité entre séries entières est une machine, pas une seule formule — une dérivation évalue chaque série numérique $\sum n^2q^n$ d’un coup, pour tout $\abs q < 1$ ; c’est ainsi que le chapitre sur les fonctions génératrices calculera espérances et variances en gros.

Exemple 11.9 (Les classiques, cette fois honnêtement)

$\displaystyle\frac{1}{1 - x} = \sum x^n$ ( $R = 1$ ) ; en intégrant terme à terme (Théorème 11.7 (2)) :

-\ln(1 - x) = \sum_{n\geq1} \frac{x^n}{n}, \qquad \arctan x = \sum_{n \geq 0} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1} \quad (\abs x < 1),

la seconde en deux étapes : substituer $-x^2$ dans la série géométrique donne $\frac{1}{1+x^2} = \sum(-1)^nx^{2n}$ (rayon $1$ , puisque $\abs{x^2} < 1 \iff \abs x < 1$ ), puis prendre la primitive terme à terme s’annulant en $0$ ; les deux membres sont des primitives de la même fonction avec la même valeur en $0$ , donc égaux sur $\intoo{-1}{1}$ . Et $\exp$ : la série $E(x) = \sum \frac{x^n}{n!}$ ( $R = \infty$ ) vérifie $E' = E$ , $E(0) = 1$ par dérivation terme à terme, donc $E = \exp$ par l’unicité de première année. Chaque « développement usuel » du volume de première année est désormais un théorème sur sa série entière complète.

Exemple 11.10 (Un logarithme calculé depuis l’intérieur du disque)

En évaluant $-\ln(1-x) = \sum\frac{x^n}{n}$ au point intérieur $x = \frac12$ :

\sum_{n\geq1}\frac{1}{n\,2^n} = \ln 2 ,

une représentation de $\ln 2$ à convergence rapide (dix termes donnent déjà $0{,}69306\ldots$ contre $\ln 2 = 0{,}69314\ldots$ ), bien meilleure que la série alternée $1 - \frac12 + \frac13 - \dots$ disponible seulement au bord. Idée à retenir : chaque fois qu’une constante est atteignable à la fois sur le bord et strictement à l’intérieur du disque, l’intérieur l’emporte numériquement — décroissance géométrique contre décroissance harmonique.

Exemple 11.11 (La dérivation préserve le rayon, pas le bord)

La série $\sum_{n\geq1}\frac{x^n}{n^2}$ a pour rayon $1$ et converge aux deux extrémités ( $\sum\frac1{n^2}$ et son jumeau alterné). Sa série dérivée,

\sum_{n\geq1}\frac{x^{n-1}}{n} ,

a le même rayon $1$ — comme le Théorème 11.7 le garantit — mais diverge désormais en $x = 1$ (série harmonique) tout en convergeant encore en $x = -1$ (alternée). Une dérivation de plus donne $\sum_{n\geq2}\frac{n-1}{n}x^{n-2}$ , divergente aux deux extrémités (les termes ne tendent pas vers $0$ ). Idée à retenir : chaque dérivation multiplie les coefficients par $n$ , ce qui ne déplace jamais le rayon (la géométrique bat le polynôme) mais mange un ordre de décroissance au bord ; le calcul terme à terme est un sport d’intérieur, et ce qui se passe sur le bord doit être réexaminé — la théorie d’Abel–Tauber du problème du week-end est exactement ce réexamen.

Exemple 11.12 (Découper une série par résidus — mené jusqu’au bout)

Calculer $f(x) = \sum_{n\geq0} \dfrac{x^{4n}}{(4n)!}$ sous forme close. $\cosh x = \sum \frac{x^{2m}}{(2m)!}$ et $\cos x = \sum \frac{(-1)^m x^{2m}}{(2m)!}$ ont tous deux un rayon $\infty$ , donc leur moyenne peut se calculer terme à terme :

\frac{\cosh x + \cos x}{2} = \sum_{m\geq0}\frac{1 + (-1)^m}{2}\,\frac{x^{2m}}{(2m)!} = \sum_{m \text{ pair}}\frac{x^{2m}}{(2m)!} = \sum_{n\geq0}\frac{x^{4n}}{(4n)!} = f(x) .

Le filtre $\frac{1+(-1)^m}{2}$ garde exactement les $m$ pairs : c’est l’avatar réel du filtre par racines de l’unité (la version complexe, avec $\iu^n$ , extrait les résidus modulo $4$ d’un seul coup). Vérification finale : $f$ résout $f'''' = f$ avec $f(0) = 1$ , $f'(0) = f''(0) = f'''(0) = 0$ — dériver la série quatre fois (Théorème 11.7) et la regarder se reproduire ; $\frac{\cosh + \cos}{2}$ vérifie les mêmes données.

Définition 11.13 (Fonctions analytiques)

$f$ est analytique en $x_0$ quand elle est la somme d’une série entière en $(x - x_0)$ sur un voisinage ; sur un intervalle, quand elle l’est en tout point. Les sommes de séries entières sont analytiques à l’intérieur de leur disque (réarrangement du développement — admis à ce niveau pour le recentrage, le cas $x_0 = 0$ étant le Théorème 11.7). Analytique implique $C^\infty$ ; la réciproque est fausse : la fonction plate $\eu^{-1/x^2}$ (Exercice 11.7).

Exemple 11.14 (Recentrer, et le rayon comme distance)

Développons $f(x) = \frac{1}{1-x}$ autour de $x_0 = \frac12$ : en posant $x = \frac12 + h$ ,

\frac{1}{1 - x} = \frac{1}{\frac12 - h} = \frac{2}{1 - 2h} = \sum_{n\geq0} 2^{n+1}\,h^n = \sum_{n\geq0} 2^{n+1}\Bigl(x - \frac12\Bigr)^{\!n},

valable pour $\abs{2h} < 1$ , c’est-à-dire $\abs{x - \frac12} < \frac12$ . Le nouveau rayon est exactement la distance du nouveau centre à la singularité $x = 1$ : recentrer rétrécit (ou agrandit) le disque pour l’ajuster à l’obstruction la plus proche. Idée à retenir : voilà l’image derrière la définition de l’analyticité — une seule fonction, plusieurs séries entières locales, chacune vivant sur le plus grand disque évitant l’ennui ; le volume de troisième année transforme l’heuristique « rayon $=$ distance à la singularité complexe la plus proche » en théorème.

Remarque 11.15 (Pièges courants)

(i) La règle du quotient est suffisante, pas nécessaire : lorsque $\abs{a_{n+1}/a_n}$ n’a pas de limite (Exemple 11.3, Exercice 11.1), revenir à la définition : $R = \sup\{r : (a_nr^n)$ bornée $\}$ . (ii) Rien ne franchit le bord gratuitement : la dérivation et l’intégration terme à terme sont des théorèmes à l’intérieur du disque ouvert ; en $\abs x = R$ chaque série doit être réexaminée (c’est tout le sujet du problème du week-end). (iii) Rayon d’une somme : $\min(R_a, R_b)$ n’est qu’une minoration — des compensations peuvent l’agrandir ( $a_n = 1$ , $b_n = -1$ : somme identiquement $0$ , rayon $\infty$ ). (iv) $C^\infty$ n’est pas analytique : une série de Taylor convergente peut converger vers la mauvaise fonction (Exercice 11.7) ; avant d’écrire $f(x) = \sum \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$ , le prouver — via une équation différentielle (Méthode 11.17), une majoration du reste, ou une formule intégrale.

Remarque 11.16 (Où cela sert)

Les séries entières sont le cheval de bataille de trois chapitres ultérieurs : le chapitre sur les équations différentielles résout les équations différentielles linéaires en injectant $\sum a_nx^n$ (l’encadré méthode ci-dessous, industrialisé) ; le chapitre sur les fonctions génératrices convertit des identités sur des probabilités en identités sur des séries entières et réciproquement ; et le volume de troisième année officialise la variable complexe, où l’analyticité devient équivalente à la dérivabilité complexe et où le « recentrage admis » ci-dessus reçoit sa preuve honnête. Le problème du week-end explore le seul endroit où les théorèmes de ce chapitre restent muets : le bord $\abs x = R$ lui-même.

Méthode 11.17 (Développer via une équation différentielle)

Pour développer une fonction $f$ en série entière : trouver une équation différentielle linéaire à coefficients polynomiaux vérifiée par $f$ ; injecter $\sum a_nx^n$ ; identifier les coefficients pour obtenir une récurrence sur $(a_n)$ ; résoudre, et vérifier rayon et conditions initiales. Exemple — la série du binôme : $f(x) = (1+x)^\alpha$ vérifie $(1+x)f' = \alpha f$ , $f(0) = 1$ ; l’injection donne $(n+1)a_{n+1} = (\alpha - n)a_n$ , donc $a_n = \binom{\alpha}{n}$ , rayon $1$ (règle du quotient), et la somme, vérifiant la même équation différentielle avec la même valeur initiale, égale $(1 + x)^\alpha$ par le théorème d’unicité des équations différentielles linéaires (volume de première année).

Exemple 11.18 (La méthode sur une équation avec second membre)

Résoudre $y' = y + x$ , $y(0) = 0$ , par séries entières. En injectant $y = \sum a_nx^n$ :

\sum_{n\geq0}(n+1)a_{n+1}x^n = \sum_{n\geq0}a_nx^n + x ,

et en identifiant les coefficients : $a_1 = a_0 = 0$ , $2a_2 = a_1 + 1 = 1$ , et $(n+1)a_{n+1} = a_n$ pour $n \geq 2$ . Donc $a_2 = \frac{1}{2!}$ et, par récurrence, $a_n = \frac{1}{n!}$ pour tout $n \geq 2$ : rayon $\infty$ , et

y(x) = \sum_{n\geq2}\frac{x^n}{n!} = \eu^x - 1 - x .

Vérification : $y' = \eu^x - 1 = y + x$ et $y(0) = 0$ . Idée à retenir : la récurrence est l’équation, coefficient par coefficient ; le second membre ne perturbe qu’un nombre fini de coefficients initiaux, après quoi le schéma homogène prend le relais — une ombre discrète de « solution particulière plus solution homogène ».

11.3 Fonctions génératrices

Exemple 11.19 (Fibonacci)

Soit $F(x) = \sum_{n\geq0} F_n x^n$ (nombres de Fibonacci, $F_0 = 0$ , $F_1 = 1$ ). La récurrence $F_{n+2} = F_{n+1} + F_n$ se traduit, en multipliant par $x^{n+2}$ et en sommant, par

F(x) - x = x\,F(x) + x^2 F(x) \quad\Longrightarrow\quad F(x) = \frac{x}{1 - x - x^2} ,

valable là où la série converge. Le rayon est $\frac{1}{\varphi}$ : à partir de $F_n \sim \frac{\varphi^n}{\sqrt5}$ (Binet, exemple suivant — ou la récurrence grossière $F_n \leq 2^n$ jointe à la relation de récurrence), la règle du quotient donne

\frac{F_{n+1}\abs x^{n+1}}{F_n\abs x^n} \longrightarrow \varphi\abs x , \qquad\text{convergence ssi } \abs x < \frac1\varphi \approx 0{,}618 .

La décomposition en éléments simples de $\frac{x}{1 - x - x^2}$ et la série géométrique redonnent la formule de Binet — les fonctions génératrices industrialisent les récurrences linéaires.

Exemple 11.20 (La formule de Binet, menée à bien)

Soient $\varphi = \frac{1+\sqrt5}{2}$ et $\psi = \frac{1-\sqrt5}{2}$ , les racines de $X^2 = X + 1$ ; comme $\varphi + \psi = 1$ et $\varphi\psi = -1$ ,

1 - x - x^2 = (1 - \varphi x)(1 - \psi x) .

Éléments simples : en cherchant $\frac{x}{(1-\varphi x)(1-\psi x)} = \frac{A}{1 - \varphi x} + \frac{B}{1 - \psi x}$ , le terme constant donne $A + B = 0$ et le coefficient de $x$ donne $-A\psi - B\varphi = 1$ , donc $A(\varphi - \psi) = 1$ : $A = \frac{1}{\sqrt5} = -B$ . Deux séries géométriques plus tard,

F(x) = \frac{1}{\sqrt5}\sum_{n\geq0} \bigl(\varphi^n - \psi^n\bigr)x^n \quad\Longrightarrow\quad F_n = \frac{\varphi^n - \psi^n}{\sqrt5}

par unicité des coefficients (Théorème 11.7). Comme $\abs\psi < 1$ , le terme $\frac{\psi^n}{\sqrt5}$ a une valeur absolue $< \frac12$ : $F_n$ est l’entier le plus proche de $\frac{\varphi^n}{\sqrt5}$ . Idée à retenir : le rayon $\frac1\varphi$ de $F$ est l’inverse de la racine dominante — croissance des coefficients et rayon de convergence sont la même information lue en sens opposés.

Exemple 11.21 (Nombres de Catalan)

Les nombres de Catalan $C_n$ (nombre de triangulations, de parenthésages, de chemins de Dyck, …) vérifient $C_0 = 1$ et $C_{n+1} = \sum_{k=0}^n C_kC_{n-k}$ . La fonction génératrice $C(x) = \sum C_nx^n$ vérifie alors (produit de Cauchy !)

C(x) = 1 + x\,C(x)^2 \quad\Longrightarrow\quad C(x) = \frac{1 - \sqrt{1 - 4x}}{2x} ,

en choisissant la racine avec $C(0) = 1$ : résoudre l’équation du second degré $xC^2 - C + 1 = 0$ donne les deux candidats $\frac{1 \pm \sqrt{1-4x}}{2x}$ , et quand $x \to 0$ la racine « $+$ » explose comme $\frac1x$ tandis que la racine « $-$ » tend vers $1$ (développer $\sqrt{1-4x} = 1 - 2x + O(x^2)$ ) — seul le signe moins peut porter une série entière avec $C_0 = 1$ . Développer $\sqrt{1 - 4x}$ par la série du binôme donne la forme close

C_n = \frac{1}{n+1}\binom{2n}{n} ,

menée à bien dans l’Exercice 11.8.

Remarque 11.22 (Séries formelles contre séries convergentes)

Chaque calcul par fonction génératrice ci-dessus se termine en invoquant l’unicité des coefficients, et ce théorème vit à l’intérieur d’un disque de rayon strictement positif : avant de « lire » $F_n$ ou $C_n$ , il faut savoir $R > 0$ . Une majoration a priori grossière suffit — $F_n \leq 2^n$ (récurrence immédiate) donne $R \geq \frac12$ pour Fibonacci ; $C_n \leq 4^n$ (chaque nombre de Catalan compte des ensembles de chemins) donne $R \geq \frac14$ . Attention au bout dégénéré de l’échelle : $\sum n!\,x^n$ a un rayon $0$ , et le manipuler comme une fonction n’a aucun sens — les identités faisant intervenir de telles séries relèvent du calcul formel des coefficients, un jeu purement algébrique avec ses propres règles (différentes). À ce niveau : toujours s’assurer d’un rayon strictement positif d’abord, puis calculer librement à l’intérieur.

Remarque 11.23 (Perspectives au sein de ce volume)

Les séries entières sont l’une des deux grandes machines de développement du livre ; l’autre est la série de Fourier des chapitres harmoniques, et les comparer est instructif. Une série entière est rigide : ses coefficients sont forcés ( $a_n = f^{(n)}(0)/n!$ ), sa convergence est impitoyable (normale à l’intérieur, sans espoir à l’extérieur), et sa somme est analytique — infiniment rigide (Définition 11.13). Une série de Fourier est souple : elle représente de simples signaux continûment lisses par morceaux, au prix de délicates questions de convergence au bord de la régularité. Les deux théories se rencontrent dans le problème du week-end de ce chapitre : les sommations de Cesàro et d’Abel, développées ici pour le cercle bord, reviennent dans le chapitre de Fourier comme noyaux de Fejér et de Poisson. Pendant ce temps, le chapitre sur les équations différentielles consomme directement les séries entières ( $\eu^{tA}$ , solutions en série), et le chapitre sur les fonctions génératrices transforme l’astuce de l’Exemple 11.19 en un calcul systématique pour les probabilités.

11.4 Exercices

Exercice 11.1 ★

Rayons de convergence : $\sum \dfrac{n^2}{2^n}z^n$ ; $\;\sum \dfrac{z^n}{\binom{2n}{n}}$ ; $\;\sum z^{n!}$ ; $\;\sum \bigl(2 + (-1)^n\bigr)^n z^n$ .

Solution

Solution de Exercice 11.1.

$\sum \frac{n^2}{2^n}z^n$ : quotient $\frac{(n+1)^2}{2^{n+1}}\cdot \frac{2^n}{n^2} \to \frac12$ : $R = 2$ .

$\sum \frac{z^n}{\binom{2n}{n}}$ : $\binom{2n}{n} \sim \frac{4^n}{\sqrt{\pi n}}$ (Exemple 6.14), donc $\abs{a_n}^{-1} \approx 4^n$ à des facteurs polynomiaux près : $R = 4$ (règle du quotient : $\frac{\binom{2n}{n}}{\binom{2n+2}{n+1}} = \frac{(n+1)^2}{(2n+1)(2n+2)} \to \frac14$ ).

$\sum z^{n!}$ : coefficients $a_k = 1$ si $k = n!$ , sinon $0$ . Pour $\abs z < 1$ , $\sum \abs z^{n!}$ converge (dominée par une géométrique) ; pour $\abs z \geq 1$ les termes ne tendent pas vers $0$ : $R = 1$ .

$\sum (2 + (-1)^n)^n z^n$ : coefficients $3^n$ ( $n$ pair) et $1$ ( $n$ impair). La bornitude de $a_nr^n$ requiert $3r \leq 1$ ; et $r < \frac13$ convient : $R = \frac13$ .

Exercice 11.2 ★

Montrer que $\sum z^n$ , $\sum \frac{z^n}{n}$ , $\sum \frac{z^n}{n^2}$ ont toutes pour rayon $1$ mais se comportent différemment en $z = 1$ et $z = -1$ : divergence/divergence, divergence/convergence, convergence/convergence.

Solution

Solution de Exercice 11.2.

Les trois ont pour rayon $1$ (règle du quotient). En $z = 1$ : $\sum 1$ diverge ; $\sum\frac1n$ diverge ; $\sum\frac{1}{n^2}$ converge. En $z = -1$ : $\sum(-1)^n$ diverge ; $\sum\frac{(-1)^n}{n}$ converge (alternée) ; $\sum\frac{(-1)^n}{n^2}$ converge (absolument). Le comportement au bord est invisible au rayon.

Exercice 11.3 ★

Calculer les sommes, pour $\abs x < 1$ :

\sum_{n\geq0} n x^n, \qquad \sum_{n\geq0} n^2 x^n, \qquad \sum_{n\geq0} \frac{x^{2n+1}}{2n+1} .

Solution

Solution de Exercice 11.3.

À partir de $\frac{1}{1-x} = \sum x^n$ , dériver et multiplier par $x$ (Théorème 11.7) :

\sum n x^n = \frac{x}{(1-x)^2} .

Dériver encore une fois, multiplier de nouveau par $x$ :

\sum n^2 x^n = x\,\frac{\dd}{\dd x}\Bigl(\frac{x}{(1-x)^2}\Bigr) = \frac{x(1 + x)}{(1-x)^3} .

Troisième somme : c’est la partie impaire de $-\ln(1 - x)$ :

\sum_{n\geq0} \frac{x^{2n+1}}{2n+1} = \frac{-\ln(1-x) + \ln(1+x)}{2} = \frac12 \ln\frac{1+x}{1-x} = \operatorname{artanh} x .

Exercice 11.4 ★★

Développer en série entière en $0$ , avec le rayon : $\dfrac{1}{(1-x)(2-x)}$ (éléments simples) ; $\;\ln(1 + x + x^2)$ (écrire $1 + x + x^2 = \frac{1 - x^3}{1 - x}$ ).

Solution

Solution de Exercice 11.4.

Éléments simples : $\frac{1}{(1-x)(2-x)} = \frac{1}{1-x} - \frac{1}{2 - x} = \sum x^n - \frac12\sum \bigl(\frac x2\bigr)^n$ :

\frac{1}{(1-x)(2-x)} = \sum_{n\geq0} \Bigl(1 - \frac{1}{2^{n+1}}\Bigr)x^n, \qquad R = 1 .

$\ln(1 + x + x^2) = \ln\frac{1 - x^3}{1 - x} = \ln(1 - x^3) - \ln(1 - x) = \sum_{n\geq1}\frac{x^n}{n} - \sum_{m\geq1}\frac{x^{3m}}{m}$ : le coefficient de $x^n$ est $\frac1n$ si $3 \nmid n$ , et $\frac1n - \frac{3}{n} = -\frac2n$ si $3 \mid n$ . Rayon $1$ (l’obstruction la plus proche : la série de $\ln(1-x^3)$ ).

Exercice 11.5 ★★

Démontrer que $f(x) = \sum_{n\geq1} H_n x^n = -\dfrac{\ln(1 - x)}{1 - x}$ pour $\abs x < 1$ , où $H_n$ est le nombre harmonique (produit de Cauchy de $\sum x^n$ et $\sum \frac{x^n}{n}$ ).

Solution

Solution de Exercice 11.5.

Produit de Cauchy de $\sum_{m \geq 0} x^m$ (coefficients $1$ ) et $\sum_{k\geq1} \frac{x^k}{k}$ (coefficients $\frac1k$ , $k \geq 1$ ), tous deux absolument convergents pour $\abs x < 1$ : le coefficient de $x^n$ dans le produit est $\sum_{k=1}^{n} \frac1k \cdot 1 = H_n$ . D’où

\Bigl(\sum x^m\Bigr)\Bigl(\sum \frac{x^k}{k}\Bigr) = \frac{1}{1-x}\cdot\bigl(-\ln(1-x)\bigr) = \sum_{n\geq1} H_n x^n .

Exercice 11.6 ★★

Résoudre par fonction génératrice la récurrence $u_0 = 1$ , $u_{n+1} = 2u_n + n$ : calculer $U(x) = \sum u_nx^n$ sous forme close, décomposer, et lire $u_n = 2^{n+1} - n - 1$ .

Solution

Solution de Exercice 11.6.

Multiplier la récurrence par $x^{n+1}$ et sommer ( $\abs x < \frac12$ ) :

U(x) - 1 = 2x\,U(x) + \sum_{n\geq0} n\,x^{n+1} = 2x\,U(x) + \frac{x^2}{(1-x)^2} ,

en utilisant l’Exercice 11.3. D’où

U(x) = \frac{1}{1 - 2x}\Bigl(1 + \frac{x^2}{(1-x)^2}\Bigr) = \frac{1 - 2x + 2x^2}{(1-2x)(1-x)^2} .

Éléments simples (par couverture en $x = \frac12$ , coefficient $2$ ; au pôle double $x = 1$ , coefficient $-1$ ; le coefficient du milieu s’annule en évaluant en $x = 0$ ) :

U(x) = \frac{2}{1-2x} - \frac{1}{(1 - x)^2} .

En développant les deux :

u_n = 2\cdot 2^n - (n + 1) = 2^{n+1} - n - 1 .

(Vérification : $u_0 = 1$ , $u_1 = 2u_0 + 0 = 2 = 4 - 2$ .)

Exercice 11.7 ★★

Soit $f(x) = \eu^{-1/x^2}$ pour $x \neq 0$ , $f(0) = 0$ . Démontrer que $f$ est $C^\infty$ sur $\R$ avec $f^{(n)}(0) = 0$ pour tout $n$ (montrer par récurrence que $f^{(n)}(x) = P_n\bigl(\frac1x\bigr) \eu^{-1/x^2}$ pour des polynômes $P_n$ , et utiliser la comparaison de croissances). En conclure que $f$ n’est pas analytique en $0$ : sa série de Taylor en $0$ converge — vers la mauvaise fonction.

Solution

Solution de Exercice 11.7.

Récurrence : $f'(x) = \frac{2}{x^3}\eu^{-1/x^2}$ , et si $f^{(n)}(x) = P_n(\tfrac1x)\eu^{-1/x^2}$ alors

f^{(n+1)}(x) = \Bigl(-\frac{1}{x^2}\,P_n'\Bigl(\frac1x\Bigr) + \frac{2}{x^3}\,P_n\Bigl(\frac1x\Bigr)\Bigr)\eu^{-1/x^2} :

de nouveau de la forme annoncée. En $0$ : les taux d’accroissement $\frac{f^{(n)}(h)}{h} = \frac1h P_n(\frac1h)\eu^{-1/h^2} \to 0$ quand $h \to 0$ , puisque $Q(u)\,\eu^{-u^2} \to 0$ quand $u \to \pm\infty$ pour tout polynôme $Q$ (l’exponentielle bat les puissances) : par récurrence tous les $f^{(n)}(0)$ existent et sont nuls, et chaque $f^{(n)}$ est continue en $0$ par la même limite. Ainsi $f \in C^\infty$ avec série de Taylor nulle en $0$ ; la série de Taylor a pour somme $0 \neq f$ : non analytique en $0$ .

Exercice 11.8 ★★★

Compléter l’Exemple 11.21 : développer $\sqrt{1 - 4x}$ par la série du binôme, en montrant

\binom{1/2}{n+1}(-4)^{n+1} = -\frac{2}{n+1}\binom{2n}{n},

et en déduire $C_n = \frac{1}{n+1}\binom{2n}{n}$ ; déterminer le rayon de convergence de $C(x)$ et l’asymptotique de $C_n$ via Stirling.

Solution

Solution de Exercice 11.8.

Série du binôme : $\sqrt{1-4x} = \sum_{k\geq0} \binom{1/2}{k}(-4x)^k$ . Pour $k = n + 1 \geq 1$ :

\begin{align*} \binom{1/2}{n+1}(-4)^{n+1} &= \frac{\frac12\bigl(\frac12 - 1\bigr)\cdots\bigl(\frac12 - n\bigr)}{(n+1)!}\,(-4)^{n+1}\\ &= \frac{(-1)^n\,1\cdot3\cdots(2n-1)}{2^{n+1}(n+1)!}\,(-4)^{n+1} = -\frac{2}{n+1}\cdot\frac{(2n)!}{n!\,n!} , \end{align*}

en utilisant $1\cdot3\cdots(2n-1) = \frac{(2n)!}{2^n n!}$ . D’où

C(x) = \frac{1 - \sqrt{1-4x}}{2x} = \frac{1}{2x}\sum_{n\geq0}\frac{2}{n+1}\binom{2n}{n}x^{n+1} = \sum_{n\geq0} \frac{1}{n+1}\binom{2n}{n}\,x^n :

$C_n = \frac{1}{n+1}\binom{2n}{n}$ . Rayon : $\frac14$ (la série du binôme en $4x$ ). Asymptotique via la Exemple 6.14 :

C_n \sim \frac{4^n}{\sqrt{\pi}\; n^{3/2}} .

Exercice 11.9 ★★★

(Théorème de la limite radiale d’Abel, cas particulier) Supposons que $\sum a_n$ converge. Démontrer que $\lim_{x \to 1^-} \sum_{n} a_n x^n = \sum_n a_n$ . (Transformation d’Abel : avec $A_n$ les sommes partielles et $A = \lim A_n$ , écrire $\sum a_nx^n = (1 - x)\sum A_n x^n$ ; puis $\sum a_nx^n - A = (1-x)\sum (A_n - A)x^n$ , couper la somme à un grand $N$ .) Application : $\sum \frac{(-1)^{n-1}}{n} = \ln 2$ et $\sum \frac{(-1)^n}{2n+1} = \frac\pi4$ , redémontrées à partir de la série entière.

Solution

Solution de Exercice 11.9.

Avec $A_n = \sum_{k \leq n} a_k \to A$ : la transformation d’Abel donne, pour $0 \leq x < 1$ ,

\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n = (1 - x)\sum_{n=0}^{\infty} A_n x^n

(les deux membres convergent : $(A_n)$ est bornée ; et l’identité découle de $a_n = A_n - A_{n-1}$ et d’un réindexage). Comme $(1 - x)\sum x^n = 1$ :

\sum_n a_nx^n - A = (1-x)\sum_{n} (A_n - A)x^n .

Étant donné $\varepsilon$ , choisir $N$ avec $\abs{A_n - A} \leq \varepsilon$ pour $n > N$ ; alors

\Bigl|\sum a_nx^n - A\Bigr| \leq (1-x)\sum_{n \leq N}\abs{A_n - A} + \varepsilon(1 - x)\sum_{n > N}x^n \leq (1-x)\,C_N + \varepsilon ,

et en faisant $x \to 1^-$ : limite supérieure $\leq \varepsilon$ pour tout $\varepsilon$ . D’où la limite radiale $A$ .

Applications : $\sum \frac{(-1)^{n-1}}{n}$ converge (alternée), et pour $x < 1$ sa série entière a pour somme $\ln(1 + x)$ : par Abel, la somme est $\ln 2$ . De même $\sum\frac{(-1)^n}{2n+1}x^{2n+1} = \arctan x$ donne $\frac\pi4$ en $x = 1$ — les preuves intégrales de première année, désormais structurelles.

Exercice 11.10 ★

Montrer que $\displaystyle\sum_{n\geq1}\frac{x^n}{n(n+1)} = 1 + \frac{1-x}{x}\,\ln(1-x)$ pour $0 < \abs x < 1$ , déterminer le rayon, et vérifier que la convergence est normale sur $\intcc{-1}{1}$ ; vérifier que la valeur en $x = 1$ prédite par la continuité concorde avec la somme télescopique $\sum \frac{1}{n(n+1)} = 1$ .

Solution

Solution de Exercice 11.10.

$\sum\frac{x^n}{n}$ et $\sum\frac{x^n}{n+1}$ ont toutes deux pour rayon $1$ , et $\frac{1}{n(n+1)} = \frac1n - \frac1{n+1}$ , donc pour $0 < \abs x < 1$ :

\sum_{n\geq1}\frac{x^n}{n(n+1)} = -\ln(1-x) - \frac1x\sum_{n\geq1}\frac{x^{n+1}}{n+1} = -\ln(1-x) - \frac{-\ln(1-x) - x}{x} = 1 + \frac{1-x}{x}\ln(1-x) .

Rayon $1$ ; et $\norm{x^n/(n(n+1))}_{\infty,\intcc{-1}1} = \frac{1}{n(n+1)}$ est sommable : convergence normale sur $\intcc{-1}{1}$ , donc la somme y est continue. Quand $x \to 1^-$ , $(1-x)\ln(1-x) \to 0$ et la forme close tend vers $1$ — en accord avec la valeur télescopique $\sum\frac{1}{n(n+1)} = \lim_N\bigl(1 - \frac{1}{N+1}\bigr) = 1$ en $x = 1$ .

Exercice 11.11 ★★

(Dérangements) Soit $D_n$ le nombre de permutations de $n$ objets sans point fixe ( $D_0 = 1$ ). En triant les permutations de $\{1, \dots, n\}$ par leur ensemble de points fixes, on obtient $n! = \sum_{k=0}^{n}\binom nk D_{n-k}$ . Multiplier par $\frac{x^n}{n!}$ , sommer, et reconnaître un produit de Cauchy pour obtenir la fonction génératrice exponentielle

\sum_{n\geq0} D_n\,\frac{x^n}{n!} = \frac{\eu^{-x}}{1-x} \qquad (\abs x < 1),

puis lire la forme close $\dfrac{D_n}{n!} = \sum_{k=0}^{n}\dfrac{(-1)^k}{k!}$ et la limite $\dfrac{D_n}{n!} \to \eu^{-1}$ .

Solution

Solution de Exercice 11.11.

En triant les $n!$ permutations par leur ensemble de points fixes : choisir les $k$ points fixes ( $\binom nk$ façons) et déranger les autres $n - k$ objets donne $n! = \sum_{k=0}^n\binom nk D_{n-k}$ . En divisant par $n!$ :

1 = \sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!}\cdot\frac{D_{n-k}}{(n-k)!} ,

ce qui dit exactement que le produit de Cauchy de $\eu^x = \sum\frac{x^k}{k!}$ et $D(x) = \sum D_n\frac{x^n}{n!}$ est $\sum x^n = \frac{1}{1-x}$ . Les deux facteurs convergent absolument pour $\abs x < 1$ ( $D_n \leq n!$ , donc $D$ est dominée par la série géométrique) : l’identité du produit est légitime (Proposition 11.4), et

D(x) = \frac{\eu^{-x}}{1-x} .

Produit de Cauchy de $\eu^{-x} = \sum\frac{(-1)^kx^k}{k!}$ et $\sum x^m$ : le coefficient de $x^n$ est $\sum_{k=0}^{n}\frac{(-1)^k}{k!}$ , et par unicité des coefficients d’une série entière (Théorème 11.7) :

\frac{D_n}{n!} = \sum_{k=0}^{n}\frac{(-1)^k}{k!} \xrightarrow[n\to\infty]{} \eu^{-1} :

environ $37\%$ de toutes les permutations sont des dérangements, quel que soit $n$ .

Exercice 11.12 ★★★

Démontrer, avec la série du binôme de la Méthode 11.17, que

\frac{1}{\sqrt{1 - 4x}} = \sum_{n\geq0}\binom{2n}{n}x^n \qquad \Bigl(\abs x < \frac14\Bigr),

et en déduire, par élévation au carré (produit de Cauchy contre $\frac{1}{1-4x} = \sum 4^nx^n$ ), l’identité de convolution

\sum_{k=0}^{n}\binom{2k}{k}\binom{2n-2k}{n-k} = 4^n .

Solution

Solution de Exercice 11.12.

Série du binôme avec $\alpha = -\frac12$ en $-4x$ :

\binom{-1/2}{n}(-4)^n = \frac{\bigl(-\frac12\bigr)\bigl(-\frac32\bigr)\cdots \bigl(-\frac{2n-1}2\bigr)}{n!}(-4)^n = \frac{1\cdot3\cdots(2n-1)}{2^n\,n!}\,4^n = \frac{(2n)!}{2^n n!}\cdot\frac{2^n}{n!} = \binom{2n}{n},

en utilisant $1\cdot3\cdots(2n-1) = \frac{(2n)!}{2^nn!}$ . D’où $(1-4x)^{-1/2} = \sum\binom{2n}nx^n$ pour $\abs{4x} < 1$ . En élevant au carré (produit de Cauchy, légitime par convergence absolue) et en comparant avec $\frac{1}{1-4x} = \sum 4^nx^n$ : le coefficient de $x^n$ dans le carré est $\sum_{k=0}^n\binom{2k}k\binom{2n-2k}{n-k}$ , et l’unicité des coefficients donne

\sum_{k=0}^{n}\binom{2k}{k}\binom{2n-2k}{n-k} = 4^n .

11.5 Problème : Abel, Tauber et le bord de convergence

Problème 11.1

À l’intérieur du disque de convergence tout est facile ; tout le drame des séries entières se joue sur le bord. Ce problème construit la théorie du bord dans la variable réelle : le théorème d’Abel sous sa forme uniforme, sa réciproque sous la condition de Tauber, la hiérarchie Cesàro–Abel des méthodes de sommation (avec le théorème de Frobenius), l’intégration terme à terme jusqu’au bord avec des constantes classiques en dividendes, et enfin la rigidité des fonctions analytiques — le théorème d’identité. Dans tout le problème, $(a_n)$ est une suite réelle, $f(x) = \sum_{n\geq0} a_nx^n$ , et $A_n = a_0 + \dots + a_n$ .

Partie I — Le théorème d’Abel, uniformément. On suppose dans cette partie que $\sum a_n$ converge, et on pose $r_n = \sum_{k\geq n} a_k$ (donc $r_n \to 0$ et $a_n = r_n - r_{n+1}$ ).

Démontrer, par sommation par parties, que pour tout $0 \leq x \leq 1$ et $N \leq M$ :

$\Bigl|\sum_{n=N}^{M} a_n x^n\Bigr| \leq 2\sup_{n \geq N}\,\abs{r_n} .$
En déduire que $\sum a_nx^n$ converge uniformément sur $\intcc{0}{1}$ , que sa somme y est continue, et retrouver la limite radiale de l’Exercice 11.9 : $f(x) \to \sum a_n$ quand $x \to 1^-$ .
(Théorème d’Abel pour les produits de Cauchy) Soient $\sum a_n = A$ , $\sum b_n = B$ et supposons que le produit de Cauchy $\sum c_n$ , $c_n = \sum_{k} a_kb_{n-k}$ , converge, de somme $C$ . Démontrer $C = AB$ (à l’intérieur du disque l’identité du produit vaut d’après la Proposition 11.4 ; faire $x \to 1^-$ ).
Montrer que l’hypothèse compte : pour $a_n = b_n = \frac{(-1)^n}{\sqrt{n+1}}$ , les deux séries convergent, et pourtant $\abs{c_n} \geq \frac{2(n+1)}{n+2} \geq 1$ (majorer chaque facteur $\sqrt{(k+1)(n-k+1)}$ par l’inégalité arithmético-géométrique) : le produit de Cauchy de deux séries convergentes peut diverger.
(Un dividende de l’Exercice 11.5) Montrer que $\bigl(\ln(1-x)\bigr)^2 = 2\sum_{n\geq1} \frac{H_n}{n+1}x^{n+1}$ sur $\intoo{-1}{1}$ , vérifier que $\bigl(\frac{H_n}{n+1}\bigr)_{n\geq1}$ décroît vers $0$ , et conclure avec Abel :

$\sum_{n\geq1} (-1)^{n+1}\,\frac{H_n}{n+1} = \frac{(\ln 2)^2}{2} .$

Partie II — La réciproque de Tauber. On dit que $\sum a_n$ est Abel-sommable vers $L$ quand $f(x) \to L$ quand $x \to 1^-$ .

Montrer que $\sum (-1)^n$ est Abel-sommable vers $\frac12$ tout en étant divergente : le théorème d’Abel n’a pas de réciproque inconditionnelle.
(Lemme de Cesàro) Si $u_n \to 0$ alors $\frac{u_1 + \dots + u_N}{N} \to 0$ (couper la somme à un $m$ fixé).
Supposons maintenant $n\,a_n \to 0$ et $f(x) \to L$ . Avec $x_N = 1 - \frac1N$ , démontrer les deux estimations

$\Bigl|\sum_{n=0}^{N} a_n\bigl(1 - x_N^n\bigr)\Bigr| \leq \frac{1}{N}\sum_{n=1}^{N} n\,\abs{a_n}, \qquad \Bigl|\sum_{n>N} a_n x_N^n\Bigr| \leq \sup_{n>N}\bigl(n\abs{a_n}\bigr)$

(pour la première, $1 - x^n \leq n(1-x)$ ; pour la seconde, $\abs{a_n} \leq \frac{1}{N}\sup_{m>N} m\abs{a_m}$ et $\sum x_N^n \leq N$ ).
Conclure le théorème de Tauber : si $n\,a_n \to 0$ et $\sum a_n$ est Abel-sommable vers $L$ , alors $\sum a_n$ converge vers $L$ .
(Le théorème taubérien facile pour les coefficients positifs) Si $a_n \geq 0$ et $f$ est bornée sur $\intco{0}{1}$ , montrer que $\sum a_n$ converge et $\sum a_n = \lim_{x\to1^-} f(x)$ (majorer $\sum_{n\leq N}a_nx^n \leq f(x)$ et faire $x \to 1^-$ , puis utiliser Abel).

Partie III — Moyennes de Cesàro et théorème de Frobenius. On dit que $\sum a_n$ est Cesàro-sommable vers $L$ quand $\sigma_N = \frac{A_0 + \dots + A_{N-1}}{N} \to L$ .

Montrer qu’une série convergente est Cesàro-sommable vers sa somme (question 7 appliquée à $A_n - L$ ).
Calculer la valeur de Cesàro de $\sum(-1)^n$ et vérifier qu’elle concorde avec la valeur d’Abel $\frac12$ de la question 6.
Avec $S_n = A_0 + \dots + A_n = (n+1)\,\sigma_{n+1}$ , démontrer les deux identités, pour $0 \leq x < 1$ :

$f(x) = (1-x)^2\sum_{n\geq0}(n+1)\,\sigma_{n+1}x^n, \qquad (1-x)^2\sum_{n\geq0}(n+1)x^n = 1 .$
(Frobenius) En déduire : si $\sigma_N \to L$ alors $f(x) \to L$ quand $x \to 1^-$ — Cesàro-sommable implique Abel-sommable, vers la même valeur (soustraire les deux identités et couper la somme à un grand $N$ , comme dans l’Exercice 11.9).
Montrer que la hiérarchie

$\text{convergente} \;\Longrightarrow\; \text{Cesàro-sommable} \;\Longrightarrow\; \text{Abel-sommable}$

est stricte aux deux flèches : question 6 pour la première ; pour la seconde, montrer que $\sum(-1)^n(n+1)$ est Abel-sommable vers $\frac14$ (calculer $f$ ) mais non Cesàro-sommable (calculer $\sigma_N$ séparément pour $N$ pair et $N$ impair).

Partie IV — Intégrer jusqu’au bord.

Supposons que $\sum a_nx^n$ converge sur $\intco{0}{1}$ et que $\sum \frac{a_n}{n+1}$ converge. Démontrer que l’intégrale impropre $\int_0^1 f$ existe et

$\int_0^1 \Bigl(\sum_{n\geq0} a_nx^n\Bigr)\dd x = \sum_{n\geq0}\frac{a_n}{n+1}$

(la primitive $F(x) = \sum\frac{a_n}{n+1}x^{n+1}$ est continue en $1$ par la partie I).
Soit $\eta = \sum_{n\geq1}\frac{(-1)^{n-1}}{n^2}$ . Montrer $\int_0^1 \frac{\ln(1+x)}{x}\dd x = \eta$ et, en séparant indices pairs et impairs dans la série absolument convergente $\sum \frac1{n^2}$ , que $\eta = \frac12\sum_{n\geq1}\frac{1}{n^2}$ . (Le problème du week-end du chapitre de Fourier évalue $\sum\frac1{n^2} = \frac{\pi^2}{6}$ .)
Démontrer

$\sum_{n\geq0}\frac{(-1)^n}{3n+1} = \int_0^1\frac{\dd x}{1+x^3} = \frac13\Bigl(\ln 2 + \frac{\pi}{\sqrt3}\Bigr)$

(la série converge par Leibniz ; intégrer la série géométrique $\sum(-1)^nx^{3n}$ avec la question 16 ; puis éléments simples : $\frac{1}{1+x^3} = \frac{1/3}{1+x} + \frac{(2-x)/3}{x^2-x+1}$ ).
À partir de la série du binôme de $(1-t)^{-1/2}$ (Exercice 11.12) dériver

$\arcsin x = \sum_{n\geq0} \frac{\binom{2n}{n}}{4^n(2n+1)}\,x^{2n+1} \quad(\abs x < 1), \qquad\text{puis}\qquad \sum_{n\geq0}\frac{\binom{2n}{n}}{4^n(2n+1)} = \frac\pi2 ,$

en justifiant la valeur au bord par convergence normale sur $\intcc{-1}{1}$ (utiliser $\binom{2n}n4^{-n} \sim \frac{1}{\sqrt{\pi n}}$ , Exemple 6.14) — ici même Abel n’est pas nécessaire.
(Catalan au bord) Montrer que $\sum C_n 4^{-n} = 2$ : la série de Catalan de l’Exemple 11.21 converge en son rayon $\frac14$ (asymptotique de l’Exercice 11.8), sa somme est continue sur $\intcc{0}{\frac14}$ , et la forme close y a pour limite $2$ .

Partie V — Rigidité : le théorème d’identité.

(Zéros isolés) Soit $f = \sum a_nx^n$ de rayon $R > 0$ et non tous les $a_n$ nuls ; soit $m$ le plus petit indice avec $a_m \neq 0$ . Montrer $f(x) = x^m g(x)$ avec $g$ une série entière de rayon $R$ , $g(0) = a_m \neq 0$ , et en déduire que $f$ n’a aucun zéro dans un voisinage épointé de $0$ .
(Théorème d’identité) Soient $f, h$ des sommes de séries entières près de $0$ et $(x_k)$ une suite de points non nuls avec $x_k \to 0$ et $f(x_k) = h(x_k)$ . Démontrer que $f$ et $h$ ont les mêmes coefficients, donc coïncident près de $0$ .
Trouver toutes les fonctions $f$ analytiques près de $0$ avec

$f\Bigl(\frac1k\Bigr) = \frac{k^2}{k^2+1} \qquad\text{pour tout grand entier } k .$
Montrer qu’une fonction analytique sur un intervalle ouvert $I$ qui s’annule sur un sous-intervalle s’annule identiquement sur $I$ (l’ensemble des points autour desquels $f$ s’annule identiquement est ouvert et, par le théorème d’identité appliqué aux points d’accumulation, fermé dans $I$ ). En conclure qu’aucune fonction analytique non nulle sur $\R$ n’a un support compact — alors que les fonctions plateau $C^\infty$ existent (Exercice 11.7 fournit la brique élémentaire) : l’analyticité est rigide, la régularité est molle.
Synthèse. En une phrase chacune : (i) ce que le théorème d’Abel ajoute au paquet de convergence normale de la Lemme 11.1 ; (ii) les hypothèses exactes sous lesquelles la réciproque vaut (Tauber) et le barreau intermédiaire (Frobenius) ; (iii) une constante de bord de la partie IV que vous pourriez maintenant dériver pour un ami en deux lignes ; (iv) où les moyennes de Cesàro réapparaîtront dans ce livre, pour des séries d’un genre très différent.

Solution

Solution de Problème 11.1.

1. Avec $a_n = r_n - r_{n+1}$ , sommation par parties :

\sum_{n=N}^{M} a_nx^n = r_Nx^N + \sum_{n=N+1}^{M} r_n\bigl(x^n - x^{n-1}\bigr) - r_{M+1}x^M .

Pour $0 \leq x \leq 1$ les accroissements $x^{n-1} - x^n$ sont positifs et se télescopent en $x^N - x^M$ ; avec $s = \sup_{n\geq N}\abs{r_n}$ :

\Bigl|\sum_{n=N}^{M}a_nx^n\Bigr| \leq s\bigl(x^N + (x^N - x^M) + x^M\bigr) = 2s\,x^N \leq 2s .

2. Comme $r_n \to 0$ , $\sup_{n\geq N}\abs{r_n} \to 0$ : la question 1 est exactement le critère de Cauchy uniforme sur $\intcc{0}{1}$ , donc $\sum a_nx^n$ y converge uniformément et sa somme y est continue (Théorème 10.11). La valeur en $1$ étant $\sum a_n$ , la continuité en $1$ est la limite radiale de l’Exercice 11.9.

3. Pour $\abs x < 1$ les trois séries entières convergent absolument et $\bigl(\sum a_nx^n\bigr)\bigl(\sum b_nx^n\bigr) = \sum c_nx^n$ (Proposition 11.4). Par la question 2 chaque facteur et le membre produit sont continus sur $\intcc{0}{1}$ (leurs séries de coefficients convergent par hypothèse) ; en faisant $x \to 1^-$ dans l’identité : $AB = C$ .

4. Ici

\abs{c_n} = \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{\sqrt{(k+1)(n-k+1)}} \geq \sum_{k=0}^{n}\frac{2}{n+2} = \frac{2(n+1)}{n+2} \geq 1,

par l’inégalité arithmético-géométrique : $\sqrt{(k+1)(n-k+1)} \leq \frac{(k+1) + (n-k+1)}{2} = \frac{n+2}{2}$ . Le terme général de $\sum c_n$ ne tend pas vers $0$ : le produit de Cauchy diverge, bien que les deux facteurs convergent (séries alternées).

5. L’Exercice 11.5 donne $\frac{-\ln(1-x)}{1-x} = \sum H_nx^n$ ( $\abs x < 1$ ). Primitives terme à terme (Théorème 11.7 (2)), les deux membres s’annulant en $0$ :

\frac{\bigl(\ln(1-x)\bigr)^2}{2} = \sum_{n\geq1}\frac{H_n}{n+1}\,x^{n+1} .

Décroissance : $(n+2)H_n \geq (n+1)H_{n+1}$ revient à $H_n \geq 1$ , vrai pour $n \geq 1$ ; et $\frac{H_n}{n+1} \sim \frac{\ln n}{n} \to 0$ : en $x = -1$ la série converge par le critère des séries alternées. En substituant $x \mapsto -x$ et en appliquant la question 2 en $x = 1$ :

\frac{(\ln 2)^2}{2} = \sum_{n\geq1}\frac{H_n}{n+1}(-1)^{n+1},

la valeur annoncée.

6. $f(x) = \sum(-1)^nx^n = \frac{1}{1+x} \to \frac12$ quand $x \to 1^-$ : Abel-sommable vers $\frac12$ . Mais les sommes partielles sont $1, 0, 1, 0, \dots$ : divergentes.

7. Étant donné $\varepsilon > 0$ choisir $m$ avec $\abs{u_n} \leq \varepsilon$ pour $n > m$ ; pour $N \geq m$ :

\Bigl|\frac{u_1 + \dots + u_N}{N}\Bigr| \leq \frac{\abs{u_1} + \dots + \abs{u_m}}{N} + \varepsilon\,\frac{N - m}{N} \leq \frac{C_m}{N} + \varepsilon,

donc $\limsup \leq \varepsilon$ pour tout $\varepsilon$ : les moyennes tendent vers $0$ .

8. Pour $0 \leq x \leq 1$ : $1 - x^n = (1-x)(1 + x + \dots + x^{n-1}) \leq n(1-x)$ , donc

\Bigl|\sum_{n=0}^N a_n(1 - x_N^n)\Bigr| \leq (1 - x_N)\sum_{n=1}^N n\abs{a_n} = \frac1N\sum_{n=1}^{N}n\abs{a_n} .

Pour $n > N$ : $\abs{a_n} = \frac{n\abs{a_n}}{n} \leq \frac{1}{N}\sup_{m>N}m\abs{a_m}$ , et $\sum_{n>N}x_N^n \leq \frac{1}{1 - x_N} = N$ :

\Bigl|\sum_{n>N}a_nx_N^n\Bigr| \leq \frac{\sup_{m>N}m\abs{a_m}}{N}\cdot N = \sup_{m>N}\,m\abs{a_m} .

9. Décomposer

A_N - L = \sum_{n=0}^{N}a_n\bigl(1 - x_N^n\bigr) - \sum_{n>N}a_nx_N^n + \bigl(f(x_N) - L\bigr) .

Le premier terme tend vers $0$ par la question 7 (les moyennes de $n\abs{a_n} \to 0$ ), le deuxième par la question 8 (le sup tend vers $0$ ), le troisième parce que $x_N \to 1^-$ et $f(x) \to L$ . D’où $A_N \to L$ : le théorème de Tauber.

10. Pour $x \in \intco{0}{1}$ et tout $N$ : $\sum_{n\leq N}a_nx^n \leq f(x) \leq M$ (termes positifs). Faire $x \to 1^-$ dans la somme finie : $\sum_{n\leq N}a_n \leq M$ . Les sommes partielles sont croissantes et bornées : $\sum a_n$ converge, et alors la question 2 donne $\lim_{x\to1^-}f(x) = \sum a_n$ .

11. $\sigma_N - L$ est la moyenne des $N$ nombres $A_n - L$ ( $0 \leq n < N$ ), qui tendent vers $0$ : question 7.

12. $A_n = 1$ pour $n$ pair, $0$ pour $n$ impair : $A_0 + \dots + A_{N-1} = \lceil N/2\rceil$ , donc $\sigma_N = \frac{\lceil N/2\rceil}{N} \to \frac12$ , la valeur d’Abel de la question 6.

13. Sous $\sigma_N \to L$ on a $S_n = O(n)$ , donc $A_n = S_n - S_{n-1} = O(n)$ et $a_n = O(n)$ : toutes les séries ci-dessous ont un rayon $\geq 1$ . Pour $\abs x < 1$ , à partir de $a_n = A_n - A_{n-1}$ et $A_nx^n \to 0$ :

(1-x)\sum_n A_nx^n = \sum_n A_nx^n - \sum_n A_nx^{n+1} = \sum_n a_nx^n = f(x),

et identiquement $(1-x)\sum S_nx^n = \sum A_nx^n$ , donc $f(x) = (1-x)^2\sum_n S_nx^n = (1-x)^2\sum_n(n+1)\sigma_{n+1}x^n$ . Enfin $\sum(n+1)x^n = \frac{1}{(1-x)^2}$ (Exercice 11.3), ce qui est la seconde identité.

14. En soustrayant $L$ fois la seconde identité de la première :

f(x) - L = (1-x)^2\sum_{n\geq0}(n+1) \bigl(\sigma_{n+1} - L\bigr)x^n .

Étant donné $\varepsilon$ , choisir $N$ avec $\abs{\sigma_{n+1} - L} \leq \varepsilon$ pour $n \geq N$ ; alors

\abs{f(x) - L} \leq (1-x)^2 C_N + \varepsilon(1-x)^2\sum_{n}(n+1)x^n = (1-x)^2C_N + \varepsilon ,

et en faisant $x \to 1^-$ : $\limsup \leq \varepsilon$ . D’où $f(x) \to L$ : le théorème de Frobenius.

15. $f(x) = \sum(-1)^n(n+1)x^n = \frac{1}{(1+x)^2}$ (dériver la série géométrique en $-x$ ) : valeur d’Abel $\frac14$ . Sommes partielles : $A_{2k} = k+1$ , $A_{2k+1} = -(k+1)$ (récurrence immédiate). Alors $S_{2m-1} = 0$ (les paires consécutives se compensent) et $S_{2m} = m + 1$ , donc

\sigma_{2m} = \frac{S_{2m-1}}{2m} = 0, \qquad \sigma_{2m+1} = \frac{m+1}{2m+1} \to \frac12 :

$(\sigma_N)$ a deux valeurs d’adhérence distinctes : non Cesàro-sommable. Avec les questions 6 et 11–14, la hiérarchie convergente $\Rightarrow$ Cesàro $\Rightarrow$ Abel est stricte aux deux flèches.

16. La série primitive $F(x) = \sum\frac{a_n}{n+1}x^{n+1}$ a le même rayon et $F' = f$ sur $\intco{0}{1}$ (Théorème 11.7) ; comme $\sum\frac{a_n}{n+1}$ converge, la partie I (question 2) rend $F$ continue sur $\intcc{0}{1}$ . Comme $\int_0^x f = F(x)$ (dérivées égales, valeur $0$ égale en $0$ ),

\int_0^x f \xrightarrow[x\to1^-]{} F(1) = \sum_{n\geq0}\frac{a_n}{n+1} :

l’intégrale impropre existe avec la valeur annoncée.

17. $\frac{\ln(1+x)}{x} = \sum_{n\geq1}\frac{(-1)^{n-1}}{n}x^{n-1}$ (rayon $1$ ; continue en $0$ ). La série des $\frac{a_m}{m+1}$ est $\sum_{n\geq1}\frac{(-1)^{n-1}}{n^2}$ , absolument convergente : la question 16 donne $\int_0^1\frac{\ln(1+x)}{x}\dd x = \eta$ . Dans la série absolument convergente $\sum\frac1{n^2}$ , regrouper pairs et impairs :

\eta = \sum_{\text{impairs}}\frac1{n^2} - \sum_{\text{pairs}}\frac1{n^2} = \sum_{n}\frac1{n^2} - 2\sum_{k}\frac1{(2k)^2} = \Bigl(1 - \frac12\Bigr)\sum_n\frac1{n^2} = \frac12\sum_{n\geq1}\frac1{n^2} .

18. Leibniz : $\frac{1}{3n+1}\downarrow0$ , la série converge. Sur $\intco{0}{1}$ , $\sum(-1)^nx^{3n} = \frac{1}{1+x^3}$ , et $\sum\frac{(-1)^n}{3n+1}$ converge : la question 16 donne $\sum\frac{(-1)^n}{3n+1} = \int_0^1\frac{\dd x}{1+x^3}$ . Éléments simples (vérification : $\frac13(x^2-x+1) + \frac{2-x}{3}(1+x) = 1$ ) :

\int_0^1\frac{\dd x}{1+x^3} = \frac13\ln2 + \frac13\int_0^1\frac{2-x}{x^2-x+1}\dd x .

En écrivant $2 - x = -\frac12(2x-1) + \frac32$ : la partie $\ln(x^2-x+1)$ s’annule aux deux extrémités, et

\frac32\int_0^1\frac{\dd x}{(x-\frac12)^2 + \frac34} = \frac32\cdot\frac{2}{\sqrt3} \Bigl[\arctan\frac{2x-1}{\sqrt3}\Bigr]_0^1 = \sqrt3\cdot\frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{\sqrt3} .

Total : $\frac13\bigl(\ln2 + \frac{\pi}{\sqrt3}\bigr)$ .

19. En substituant $t = x^2$ dans la série de l’Exercice 11.12 et en intégrant terme à terme (la primitive de $(1-x^2)^{-1/2}$ s’annulant en $0$ est $\arcsin$ ) :

\arcsin x = \sum_{n\geq0} \frac{\binom{2n}n}{4^n(2n+1)}x^{2n+1} \qquad(\abs x < 1) .

Les coefficients sont $\sim \frac{1}{2\sqrt\pi\,n^{3/2}}$ (Exemple 6.14), sommables : la série converge normalement sur $\intcc{-1}{1}$ , sa somme est continue là, et coïncide avec l’ $\arcsin$ continu sur $\intoo{-1}{1}$ , donc aussi en $x = 1$ :

\sum_{n\geq0}\frac{\binom{2n}n}{4^n(2n+1)} = \arcsin 1 = \frac\pi2 .

20. $C_n4^{-n} \sim \frac{1}{\sqrt\pi\,n^{3/2}}$ (Exercice 11.8) : convergence normale de $\sum C_nx^n$ sur $\intcc{0}{\frac14}$ , donc sa somme est continue là ; sur $\intoo{0}{\frac14}$ elle égale $\frac{1-\sqrt{1-4x}}{2x}$ (Exemple 11.21), dont la limite en $\frac14^-$ est $\frac{1-0}{1/2} = 2$ . D’où $\sum_{n\geq0} C_n4^{-n} = 2$ .

21. $f(x) = \sum_{n\geq m}a_nx^n = x^m g(x)$ avec $g(x) = \sum_{k\geq0}a_{m+k}x^k$ ; si $(a_nr^n)$ est bornée alors $(a_{m+k}r^k)$ l’est aussi (diviser par $r^m$ ) : $g$ a un rayon $\geq R$ . $g$ est continue avec $g(0) = a_m \neq 0$ , donc $g \neq 0$ sur un $\intcc{-\delta}{\delta}$ , et $f(x) = x^mg(x) \neq 0$ pour $0 < \abs x \leq \delta$ .

22. $d = f - h$ est la somme d’une série entière près de $0$ s’annulant aux points non nuls $x_k \to 0$ . Si un coefficient de $d$ était non nul, la question 21 donnerait un voisinage épointé de $0$ sans zéro de $d$ — en contradiction avec $d(x_k) = 0$ . Donc tous les coefficients de $d$ sont nuls : $f$ et $h$ ont les mêmes coefficients et coïncident près de $0$ .

23. La fonction $h(x) = \frac{1}{1+x^2} = \sum(-1)^nx^{2n}$ (rayon $1$ ) vérifie $h(\frac1k) = \frac{1}{1 + 1/k^2} = \frac{k^2}{k^2+1}$ . Toute $f$ analytique avec les mêmes valeurs coïncide avec $h$ aux points $\frac1k \to 0$ : par le théorème d’identité (question 22), $f = \frac{1}{1+x^2}$ près de $0$ — l’unique solution.

24. Soit $Z$ l’ensemble des points de $I$ ayant un voisinage sur lequel $f$ s’annule identiquement : ouvert par définition, non vide (le sous-intervalle). Fermé dans $I$ : si $y \in I$ est limite de points de $Z$ , alors $y$ est un point d’accumulation de zéros de $f$ ; en développant $f$ en série entière en $y$ (analyticité) et en appliquant les questions 21–22 recentrées en $y$ , tous les coefficients en $y$ sont nuls, donc $f \equiv 0$ près de $y$ : $y \in Z$ . Un intervalle est connexe, donc $Z = I$ : $f \equiv 0$ sur $I$ . En particulier une fonction analytique sur $\R$ s’annulant en dehors d’un compact s’annule sur un intervalle, donc partout : pas de fonction plateau analytique non nulle. Le monde $C^\infty$ est différent : en recollant la fonction plate de l’Exercice 11.7 (par exemple $x \mapsto \eu^{-1/x^2}\mathbf 1_{x>0}$ et son miroir) on produit des fonctions plateau lisses à support compact.

25. (i) La convergence normale vit sur les sous-disques compacts strictement à l’intérieur du disque ; le théorème d’Abel étend la continuité à un point du bord, sous la seule hypothèse que la série des coefficients y converge. (ii) La réciproque vaut sous la condition de Tauber $na_n \to 0$ (question 9), et la sommabilité de Cesàro se place strictement entre la convergence et la sommabilité d’Abel (Frobenius, questions 14–15). (iii) Pour un ami : $\sum\frac{(-1)^n}{3n+1} = \int_0^1\frac{\dd x}{1+x^3}$ en intégrant la série géométrique jusqu’au bord, puis éléments simples. (iv) Les moyennes de Cesàro reviennent dans le chapitre de Fourier comme théorème de Fejér, où moyenner les sommes partielles répare l’échec de la convergence simple — même remède, nouveau patient.