Qu'est-ce que « espace métrique complet » ?

Exemple 4.8 (Cauchy sans limite)

Dans $X = \Q$ avec la distance usuelle, les troncatures décimales de $\sqrt2$,

vérifient $\abs{x_p - x_q} \leq 10^{-\min(p,q)}$ : de Cauchy dans $\Q$. Une limite dans $\Q$ serait aussi la limite dans $\R$, à savoir $\sqrt2 \notin \Q$ : aucune limite n’existe dans $X$. L’incomplétude est la présence de telles « limites fantômes » ; la complétude de $\R$ a été construite dans le volume de première année précisément pour donner un foyer à toute suite de Cauchy.

Exemple 4.13 (Une équation intégrale)

Sur $X = C(\intcc{0}{1})$ (complet, Théorème 4.9), considérons $T(f)(x) = 1 + \frac12 \int_0^x f(t)\,\dd t$. Pour $f, g \in X$ :

donc $T$ est une $\frac12$-contraction : elle a un unique point fixe continu — la solution de $f' = \frac f2$, $f(0) = 1$, à savoir $\eu^{x/2}$. Ce schéma, industrialisé, devient le théorème de Cauchy–Lipschitz du Chapitre 16.

Exemple 4.14 (Un point fixe numérique : $x = \cos x$)

Sur le complet $X = \intcc{0}{1}$, l’application $f = \cos$ envoie $X$ dans $\intcc{\cos 1}{1} \subseteq X$ et est une contraction : par l’inégalité des accroissements finis,

Banach : une unique solution de $x = \cos x$ dans $\intcc01$ (donc dans $\R$ : tout point fixe réel est dans $\intcc{-1}{1}$, puis dans $\intcc{\cos 1}{1}$ après une application), et l’itération $x_{n+1} = \cos x_n$ converge vers elle depuis tout point de départ : $x_\infty \approx 0.739085$, le fameux nombre obtenu en martelant la touche cosinus d’une calculatrice. La majoration de l’erreur prédit une décroissance en $(\sin1)^n/(1 - \sin1)$ — environ un chiffre tous les $13$ appuis ; la majoration a posteriori du problème de fin de semaine de ce chapitre (question 14) certifie chaque étape à la volée.

Exemple 7.5 (Perturber l’identité)

Soit $g \colon \R^d \to \R^d$ $k$-lipschitzienne avec $k < 1$. Alors $\varphi = \mathrm{id} + g$ est un homéomorphisme de $\R^d$ sur $\R^d$. Injectivité, avec un module quantitatif :

La surjectivité est le théorème du point fixe : résoudre $\varphi(x) = y$ signifie $x = y - g(x)$, et $x \mapsto y - g(x)$ est une $k$-contraction du complet $\R^d$ — une solution unique $x = \psi(y)$ existe pour tout $y$. L’inégalité affichée rend l’inverse $\psi$ lipschitzien de constante $\frac1{1-k}$ : un homéomorphisme, avec bornes explicites sur les deux modules. Cet énoncé d’apparence innocente est le moteur du théorème d’inversion locale (Chapitre 20) : près d’un point où $Df$ est inversible, $f$ est une application linéaire inversible plus une petite perturbation lipschitzienne, et l’exemple d’aujourd’hui fait le reste. Il quantifie aussi la robustesse numérique : un système perturbé de moins que la marge de l’inverse reste solvable, la solution se déplaçant d’au plus $\frac{1}{1-k}$ fois la perturbation.