Qu'est-ce que « norme » ? — Mathématiques

Définition 5.1 Mathématiques universitaires — Licence 2 · Chapitre 5 — Espaces vectoriels normés

Une norme sur $E$ est une application $\norm{\,\cdot\,} \colon E \to \R_+$ vérifiant, pour tous $x, y \in E$ , $\lambda \in K$ :

\norm x = 0 \iff x = 0, \qquad \norm{\lambda x} = \abs\lambda\,\norm x, \qquad \norm{x + y} \leq \norm x + \norm y .

Alors $d(x, y) = \norm{x - y}$ est une distance, et tout le Chapitre 4 s’applique. L’inégalité triangulaire inversée $\bigl|\norm x - \norm y\bigr| \leq \norm{x - y}$ rend la norme elle-même $1$ -lipschitzienne ; l’addition et la multiplication par un scalaire sont continues (estimations $\norm{(x + y) - (x' + y')} \leq \norm{x - x'} + \norm{y - y'}$ , etc.).

Exemples

Exemple 5.2

Sur $K^n$ :

\norm{x}_1 = \sum_i \abs{x_i}, \qquad \norm{x}_2 = \Bigl(\sum_i \abs{x_i}^2\Bigr)^{1/2}, \qquad \norm{x}_\infty = \max_i \abs{x_i}

( $\norm\cdot_2$ est une norme d’après Cauchy–Schwarz, volume de première année). Sur $C(\intcc{a}{b})$ :

\norm f_\infty = \sup \abs f, \qquad \norm f_1 = \int_a^b \abs f, \qquad \norm f_2 = \Bigl(\int_a^b \abs f^2\Bigr)^{1/2},

les deux dernières étant des normes grâce à la stricte positivité de l’intégrale et à l’inégalité de Cauchy–Schwarz intégrale (volume de première année). Sur les matrices : n’importe quelle norme sur $\mathcal M_n(K) \simeq K^{n^2}$ ; les normes d’opérateur ci-dessous sont les plus importantes structurellement.

Exemple 5.4 (Non-équivalence en dimension infinie)

Sur $C(\intcc{0}{1})$ : $\norm f_1 \leq \norm f_\infty$ toujours, mais aucune borne inverse ne tient : $f_n(x) = x^n$ vérifie $\norm{f_n}_\infty = 1$ et $\norm{f_n}_1 = \frac{1}{n+1} \to 0$ . Ainsi $f_n \to 0$ pour $\norm\cdot_1$ mais pas pour $\norm\cdot_\infty$ : les deux normes sont en désaccord sur la convergence elle-même.

Exemple 5.5 (Constantes explicites en dimension $n$ )

Sur $K^n$ , les trois normes classiques sont équivalentes avec des constantes optimales :

\norm x_\infty \leq \norm x_2 \leq \norm x_1 \leq \sqrt n\,\norm x_2 \leq n\,\norm x_\infty ,

la borne médiane $\norm x_1 \leq \sqrt n\norm x_2$ provenant de Cauchy–Schwarz contre le vecteur constant égal à $1$ . Vecteurs extrémaux : $e_1$ rend les deux premières inégalités des égalités, $(1, 1, \dots, 1)$ les deux dernières. La dimension $n$ figure visiblement dans les constantes — la graine quantitative de l’échec en dimension infinie : lorsque $n \to \infty$ , aucune constante uniforme ne survit, ce qui est exactement ce que l’Exemple 5.4 exhibe sur les espaces de fonctions.

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Exemples

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