Mathématiques universitaires — Licence 3 · Bachelor Year 3

12Les espaces Lp

L’intégrale de Lebesgue a été construite pour l’analyse ; les espaces $L^p$ sont le lieu où cette analyse vit. Ce sont des espaces de Banach (Riesz–Fischer) — les complétés que l’Exercice 7.1 montrait manquer aux fonctions continues — et ils supportent une technologie de lissage, la convolution contre des mollificateurs, qui approxime toute fonction $L^p$ par des $\mathcal C^\infty$ . Ce chapitre prouve les versions intégrales de Hölder et Minkowski, la complétude, les théorèmes de densité, et la machine de régularisation, pour finir par la géographie des inclusions et de l’interpolation de l’échelle $L^p$ . Tout au long, $(X, \mathcal A, \mu)$ est un espace mesuré et les fonctions sont à valeurs complexes ; sur $\R^d$ , la mesure est $\lambda_d$ .

12.1 Définition ; Hölder et Minkowski

Définition 12.1

Pour $1 \leq p < \infty$ , $\mathcal L^p(\mu)$ est l’ensemble des $f$ mesurables avec $\norm f_p = \bigl(\int\abs f^p\dd\mu\bigr)^{1/p} < \infty$ , et $\mathcal L^\infty(\mu)$ l’ensemble des $f$ bornées hors d’un ensemble nul, avec $\norm f_\infty$ le sup essentiel — le plus petit $M$ avec $\abs f \leq M$ p.p. (l’inf est atteint : intersecter les ensembles nuls pour $M + \frac1n$ ). Comme $\norm f_p = 0$ ne force $f = 0$ que p.p. (Exercice 10.5), on définit

L^p(\mu) = \mathcal L^p(\mu)/\{f = 0 \text{ p.p.}\} :

les éléments sont des classes de fonctions modulo les ensembles nuls, et $\norm\cdot_p$ est une vraie norme sur $L^p$ .

Théorème 12.2 (Inégalité de Hölder)

Soient $1 \leq p, q \leq \infty$ avec $\frac1p + \frac1q = 1$ (exposants conjugués). Pour $f, g$ mesurables :

\norm{fg}_1 \leq \norm f_p\,\norm g_q ,

avec égalité (pour $1 < p < \infty$ , normes finies, $f,g\ne0$ ) ssi $\abs f^p$ et $\abs g^q$ sont proportionnelles p.p.

Démonstration. Les cas $\{p, q\} = \{1, \infty\}$ sont directs ( $\abs{fg} \leq \norm g_\infty\abs f$ p.p.). Soit $1 < p < \infty$ ; normaliser $\norm f_p = \norm g_q = 1$ (homogénéité ; les normes nulles ou infinies sont triviales). L’inégalité de Young $ab \leq \frac{a^p}p + \frac{b^q}q$ ( $a, b \geq 0$ ; concavité de $\ln$ , comme dans le Problème 8.1) donne ponctuellement $\abs{f g} \leq \frac{\abs f^p}p + \frac{\abs g^q}q$ ; intégrer : $\norm{fg}_1 \leq \frac1p + \frac1q = 1$ . L’égalité force l’égalité p.p. dans Young, c.-à-d. $\abs f^p = \abs g^q$ p.p. (après normalisation ; en la défaisant, proportionnalité). ∎

Théorème 12.3 (Inégalité de Minkowski)

Pour $1 \leq p \leq \infty$ : $\norm{f + g}_p \leq \norm f_p + \norm g_p$ .

Démonstration. $p = 1, \infty$ : inégalité triangulaire ponctuelle/p.p. Pour $1 < p < \infty$ , supposer $\norm{f+g}_p < \infty$ (sinon utiliser $\abs{f+g}^p \leq 2^{p-1}(\abs f^p + \abs g^p)$ , de la convexité de $t^p$ , pour voir que le membre de gauche est fini lorsque le droit l’est). Alors

\norm{f{+}g}_p^p \leq \int\abs f\,\abs{f{+}g}^{p-1} + \int\abs g\,\abs{f{+}g}^{p-1} \leq \bigl(\norm f_p + \norm g_p\bigr)\, \bigl\|\abs{f{+}g}^{p-1}\bigr\|_q

par Hölder, et $\norm{\abs{f+g}^{p-1}}_q = \norm{f+g}_p^{p/q}$ car $(p-1)q = p$ ; diviser par $\norm{f+g}_p^{p/q}$ (si non nul ; sinon trivial) et utiliser $p - \frac pq = 1$ . ∎

12.2 Complétude et ses compagnons

Théorème 12.4 (Riesz–Fischer)

Pour $1 \leq p \leq \infty$ , $L^p(\mu)$ est un espace de Banach. De plus, toute suite convergeant dans $L^p$ a une sous-suite convergeant presque partout (avec un dominateur $L^p$ dans le cas $p < \infty$ ).

Démonstration. $p = \infty$ : une suite $\norm\cdot_\infty$ -de Cauchy est, hors d’un seul ensemble nul (union dénombrable), uniformément de Cauchy : elle converge uniformément hors de celui-ci ; terminé. Soit $p < \infty$ . Par l’Exercice 7.1(b) il suffit de sommer les séries absolument convergentes : soit $\sum\norm{f_k}_p = M < \infty$ . Poser $G_n = \sum_{k \leq n}\abs{f_k}$ et $G = \sum_k\abs{f_k}$ (ponctuellement dans $[0,\infty]$ ) : par Minkowski $\norm{G_n}_p \leq M$ , et le TCM ( $G_n^p \nearrow G^p$ ) donne $\int G^p \leq M^p$ : $G < \infty$ p.p., donc la série $\sum f_k(x)$ converge absolument pour p.t. $x$ ; appeler la somme $S(x)$ (n’importe quelle valeur sur l’ensemble nul). Alors $\abs{S - \sum_{k\leq n}f_k}^p \leq (2G)^p \in L^1$ , et le TCD donne $\norm{S - \sum_{k\leq n}f_k}_p \to 0$ : la série converge dans $L^p$ .

L’énoncé de sous-suite : si $f_n \to f$ dans $L^p$ , choisir $n_k$ avec $\norm{f_{n_{k+1}} - f_{n_k}}_p \leq 2^{-k}$ ; la série $\sum(f_{n_{k+1}} - f_{n_k})$ tombe sous l’argument précédent : elle converge absolument p.p., dominée par un $G \in L^p$ , donc $f_{n_k} \to f_{n_1} + \sum(\cdots)$ p.p., et cette limite p.p. doit être (un représentant de) $f$ (toutes deux sont des limites $L^p$ ). Le dominateur : $\abs{f_{n_k}} \leq \abs{f_{n_1}} + G$ . ∎

Remarque 12.5

La convergence $L^p$ n’implique pas la convergence p.p. (la suite machine à écrire, Exercice 12.3), ni réciproquement (bosses qui s’échappent) : les deux modes ne sont liés que par les sous-suites et la domination. Garder en tête les contre-exemples de l’Exercice 12.3 est le meilleur vaccin.

12.3 Théorèmes de densité

Théorème 12.6

Soit $1 \leq p < \infty$ .

Les fonctions simples (à supports de mesure finie) sont denses dans $L^p(\mu)$ .
Dans $L^p(\R^d)$ , les fonctions continues à support compact $\mathcal C_c(\R^d)$ sont denses.
La translation est continue sur $L^p(\R^d)$ : en écrivant $\tau_hf = f(\cdot - h)$ , $\norm{\tau_hf - f}_p \to 0$ lorsque $h \to 0$ .

Aucun des trois ne tient pour $p = \infty$ .

Démonstration. (1) Pour $f \geq 0$ : les $s_n \nearrow f$ dyadiques du Théorème 10.4 satisfont $\abs{f - s_n}^p \leq f^p \in L^1$ : TCD. (Chaque $s_n \leq f$ est dans $L^p$ , et ses ensembles de niveau ont mesure finie là où la valeur est positive : $\mu(s_n \geq c) \leq c^{-p}\int f^p$ .) Scinder $f$ générale en quatre parties positives.

(2) Par (1) il suffit d’approximer $\mathbf 1_A$ , $A$ borélien avec $\lambda_d(A) < \infty$ . La régularité (preuve comme au Théorème 9.13) donne un compact $K \subseteq A \subseteq U$ ouvert avec $\lambda_d(U\setminus K) < \varepsilon$ ; la fonction d’Urysohn

\varphi(x) = \frac{d(x, \R^d\setminus U)}{d(x, \R^d\setminus U) + d(x, K)}

est continue, $1$ sur $K$ , $0$ hors de $U$ , et peut être prise à support compact (rétrécir d’abord $U$ en un ouvert borné). Alors $\norm{\mathbf 1_A - \varphi}_p^p \leq \lambda_d(U\setminus K) < \varepsilon$ .

(3) Pour $g \in \mathcal C_c$ : la continuité uniforme donne $\norm{\tau_hg - g}_\infty \to 0$ , avec supports dans un compact fixe pour $\abs h \leq 1$ : $\norm{\tau_hg - g}_p \to 0$ . Pour $f$ générale : choisir $g \in \mathcal C_c$ avec $\norm{f - g}_p < \varepsilon$ ; alors $\norm{\tau_hf - f}_p \leq 2\norm{f - g}_p + \norm{\tau_hg - g}_p$ (invariance par translation de la norme).

Pour $p = \infty$ : l’approximation uniforme de $\mathbf 1_{\intoo0\infty}$ par des fonctions continues est impossible (saut), et $\norm{\tau_h\mathbf 1_{\intoo0\infty} - \mathbf 1_{\intoo0\infty}}_\infty = 1$ pour $h \neq 0$ . ∎

12.4 Convolution et régularisation

Théorème 12.7 (Inégalité de Young)

Soient $1 \leq p \leq \infty$ , $f \in L^1(\R^d)$ , $g \in L^p(\R^d)$ . Alors $f * g$ est définie p.p., appartient à $L^p$ , et

\norm{f * g}_p \leq \norm f_1\,\norm g_p .

Démonstration. $p = \infty$ : borne directe. $p = 1$ : Théorème 11.9. Soit $1 < p < \infty$ , $q$ conjugué. Scinder $\abs{f(y)} = \abs{f(y)}^{1/q}\cdot \abs{f(y)}^{1/p}$ et appliquer Hölder :

\int\abs{f(y)}\,\abs{g(x{-}y)}\,\dd y \leq \Bigl(\int\abs f\Bigr)^{1/q} \Bigl(\int\abs{f(y)}\,\abs{g(x - y)}^p\,\dd y\Bigr)^{1/p} .

Élever à la puissance $p$ et intégrer en $x$ ; Tonelli sur le second facteur donne $\norm f_1^{p/q}\cdot\norm f_1\norm g_p^p$ , c.-à-d. $\norm{f*g}_p^p \leq \norm f_1^{1 + p/q}\norm g_p^p = (\norm f_1\norm g_p)^p$ — et la finitude de l’intégrale de Tonelli justifie la convergence absolue p.p. comme au Théorème 11.9. ∎

Définition 12.8 (Mollificateurs)

La fonction

\rho(x) = \begin{cases} c\,\exp\Bigl(-\dfrac{1}{1 - \norm x^2}\Bigr) & \norm x < 1,\\ 0 & \norm x \geq 1, \end{cases}

avec $c$ normalisant $\int\rho = 1$ , est $\mathcal C^\infty$ sur $\R^d$ : le point est que $t \mapsto \eu^{-1/t}\mathbf 1_{t>0}$ est $\mathcal C^\infty$ sur $\R$ , toutes ses dérivées en $0^+$ étant $0$ (chaque dérivée est $P(1/t)\eu^{-1/t}$ pour un polynôme $P$ , qui tend vers $0$ ; induction). Pour $\varepsilon > 0$ poser $\rho_\varepsilon(x) = \varepsilon^{-d}\rho(x/\varepsilon)$ : supportée dans $\bar B(0, \varepsilon)$ , encore d’intégrale $1$ .

Théorème 12.9 (Régularisation)

Soient $1 \leq p < \infty$ et $f \in L^p(\R^d)$ . Alors :

$f * \rho_\varepsilon \in \mathcal C^\infty(\R^d)$ , avec $\partial^\alpha(f * \rho_\varepsilon) = f * \partial^\alpha\rho_\varepsilon$ ;
$\norm{f * \rho_\varepsilon - f}_p \to 0$ lorsque $\varepsilon \to 0$ ;
par conséquent $\mathcal C^\infty_c(\R^d)$ est dense dans $L^p(\R^d)$ .

Démonstration. (1) Dérivation sous le signe intégral (Théorème 10.15) en $x$ : pour $x$ dans une boule $B$ , $\abs{\partial_{x_i}\rho_\varepsilon(x - y)} \leq C_\varepsilon\,\mathbf 1_{K}(y)$ avec $K$ compact ( $y$ à distance $\varepsilon$ de $B$ ), et $\abs f\,\mathbf 1_K \in L^1$ (Hölder contre $\mathbf 1_K$ ) : le théorème s’applique ; itérer pour les dérivées d’ordre supérieur.

(2) Comme $\int\rho_\varepsilon = 1$ :

(f * \rho_\varepsilon)(x) - f(x) = \int \bigl(f(x - y) - f(x)\bigr)\rho_\varepsilon(y)\,\dd y ,

et l’inégalité de Minkowski intégrale — ou directement : Hölder/Jensen avec la mesure de probabilité $\rho_\varepsilon\dd y$ et Tonelli —

\norm{f*\rho_\varepsilon - f}_p^p \leq \int\Bigl(\int\abs{f(x-y) - f(x)}^p\dd x\Bigr)\rho_\varepsilon(y)\,\dd y = \int \norm{\tau_yf - f}_p^p\;\rho_\varepsilon(y)\,\dd y

(l’étape du milieu : appliquer l’inégalité de Jensen, Exercice 12.10, à l’intégrale intérieure en $y$ , puis Tonelli). L’intégrande est supportée dans $\norm y \leq \varepsilon$ et y tend vers $0$ uniformément lorsque $\varepsilon \to 0$ (Théorème 12.6(3)) : toute l’expression tend vers $0$ .

(3) Approximer $f$ par $g \in \mathcal C_c$ (Théorème 12.6(2)), puis $g$ par $g * \rho_\varepsilon \in \mathcal C_c^\infty$ (support compact : somme des supports). ∎

Exemple 12.10 (Mollifier $\abs x$ , avec vitesses)

Prendre $f(x) = \abs x$ sur $\R$ (localement $L^1$ ; le théorème s’applique sur toute fenêtre bornée) et un mollificateur symétrique $\rho_\varepsilon$ . Alors

f_\varepsilon(x) = (f * \rho_\varepsilon)(x) = \int\abs{x - y}\,\rho_\varepsilon(y)\,\dd y

est $\mathcal C^\infty$ ; loin du coin, rien ne se passe : pour $\abs x \geq \varepsilon$ , $\abs{x - y}$ est linéaire en $x$ sur le support de $\rho_\varepsilon$ , donc $f_\varepsilon(x) = \abs x$ exactement (la symétrie tue la correction). Près de $0$ , le lissage coûte précisément

0 \leq f_\varepsilon(0) = \int\abs y\,\rho_\varepsilon(y)\,\dd y \leq \varepsilon, \qquad \norm{f_\varepsilon - f}_\infty \leq \varepsilon :

l’erreur d’approximation est confinée au $\varepsilon$ -voisinage de la singularité et est de sa taille. Par ailleurs $f_\varepsilon'' \geq 0$ partout ( $f$ est convexe, et la convolution contre $\rho_\varepsilon \geq 0$ préserve la convexité), avec $\int f_\varepsilon'' = f_\varepsilon'(\infty) - f_\varepsilon'(-\infty) = 2$ : la dérivée seconde est une bosse de masse $2$ pressée dans une largeur $O(\varepsilon)$ , donc $\norm{f_\varepsilon''}_\infty \gtrsim \varepsilon^{-1}$ . Lisser est un échange : erreur uniforme $O(\varepsilon)$ contre explosion des dérivées $O(\varepsilon^{-1})$ — le taux d’échange exact que l’analyse quantitative (inégalités d’interpolation, le cercle d’idées du Problème 12.1) formalise.

Corollaire 12.11 (Lemme fondamental du calcul des variations)

Soit $f \in L^1_{\mathrm{loc}}(\R^d)$ (intégrable sur les compacts) avec $\int f\varphi = 0$ pour toute $\varphi \in \mathcal C^\infty_c(\R^d)$ . Alors $f = 0$ p.p.

Démonstration. Fixer une boule $B = B(0, R)$ et soit $g = f\mathbf 1_{B(0, R+1)} \in L^1$ . Pour $x \in B$ et $\varepsilon < 1$ : $(g * \rho_\varepsilon)(x) = \int f(y)\rho_\varepsilon(x - y)\dd y = 0$ , la fonction test étant $y \mapsto \rho_\varepsilon(x-y) \in \mathcal C_c^\infty$ . Mais $g * \rho_\varepsilon \to g$ dans $L^1$ (Théorème 12.9) : $g = 0$ p.p. sur $B$ ; épuiser $\R^d$ . ∎

12.5 La géographie $L^p$

Proposition 12.12

(a) Si $\mu(X) < \infty$ et $1 \leq p \leq q \leq \infty$ , alors $L^q \subseteq L^p$ avec $\norm f_p \leq \mu(X)^{\frac1p - \frac1q}\,\norm f_q$ . (b) Sur $\R^d$ (mesure infinie) il n’y a pas d’inclusions : pour $p \neq q$ il y a des fonctions dans $L^p\setminus L^q$ . (c) (Interpolation) Si $p < r < q$ et $\alpha \in \intoo01$ est défini par $\frac1r = \frac\alpha p + \frac{1 - \alpha}q$ , alors

\norm f_r \leq \norm f_p^{\alpha}\,\norm f_q^{1 - \alpha} ;

en particulier $L^p \cap L^q \subseteq L^r$ .

Démonstration. (a) Hölder avec les exposants $\frac qp$ et son conjugué : $\int\abs f^p\cdot 1 \leq \norm{\abs f^p}_{q/p}\,\norm 1_{(q/p)'} = \norm f_q^p\,\mu(X)^{1 - p/q}$ ( $q = \infty$ directement). (b) Près de $0$ et près de $\infty$ , les puissances $x^{-\alpha}$ calibrent : Exercice 12.2. (c) Écrire $\abs f^r = \abs f^{r\alpha}\abs f^{r(1-\alpha)}$ et appliquer Hölder avec la paire conjuguée $\frac p{r\alpha}$ , $\frac q{r(1-\alpha)}$ (conjugués précisément par la définition de $\alpha$ ) : $\int\abs f^r \leq \norm f_p^{r\alpha}\norm f_q^{r(1 - \alpha)}$ . ∎

Méthode 12.13

La boîte à outils $L^p$ , telle qu’utilisée partout ci-dessous : pour prouver une identité ou inégalité pour tout $f \in L^p$ — la prouver sur une classe dense ( $\mathcal C_c^\infty$ via Théorème 12.9) et étendre par continuité (Théorème 7.2, les deux membres étant $L^p$ -continus) ; pour prouver $f = 0$ , tester contre $\mathcal C_c^\infty$ (Corollaire 12.11) ; pour gagner de la régularité, convoler ; pour échanger les exposants, Hölder et interpolation. La théorie de Fourier du Chapitre 14 est une longue application de cette méthode.

12.6 Exercices

Exercice 12.1 ★

(a) Énoncer et prouver l’inégalité de Cauchy–Schwarz dans $L^2(\mu)$ comme le cas $p = q = 2$ de Hölder. (b) Sur un espace de probabilité, montrer que $p \mapsto \norm f_p$ est croissante. (c) Quand Hölder est-elle une égalité pour $p = 1$ , $q = \infty$ ?

Solution

Solution de Exercice 12.1.

(a) $p = q = 2$ dans le Théorème 12.2 : $\abs{\int f\bar g\,\dd\mu} \leq \int\abs{fg} \leq \norm f_2\norm g_2$ — Cauchy–Schwarz, avec égalité ssi $\abs f, \abs g$ proportionnels et les phases alignées.

(b) Sur un espace de probabilité, pour $p \leq q$ : appliquer Jensen (Exercice 12.10) avec la convexe $\Phi(t) = \abs t^{q/p}$ à la fonction $\abs f^p$ : $\bigl(\int\abs f^p\bigr)^{q/p} \leq \int\abs f^q$ , c.-à-d. $\norm f_p \leq \norm f_q$ .

(c) $\int\abs{fg} = \norm f_1\norm g_\infty$ ssi $\abs{g} = \norm g_\infty$ p.p. sur $\{f \neq 0\}$ (l’inégalité $\abs{fg} \leq \abs f\norm g_\infty$ doit être une égalité p.p.).

Exercice 12.2 ★

Pour quels $p \in \intco1\infty$ les suivantes appartiennent-elles à $L^p$ ?

x^{-1/2}\mathbf 1_{\intoo01},\qquad x^{-1/2}\mathbf 1_{\intoo1\infty},\qquad \frac{1}{x^{1/2}(1 + \abs{\ln x})}\ \text{sur } \intoo01, \qquad \frac1{1 + \abs x}\ \text{sur } \R .

Conclure : sur $\intoo01$ un petit $p$ est plus facile, sur $\intoo1\infty$ un grand $p$ est plus facile, et aucun $L^p$ n’en contient un autre sur $\R$ .

Solution

Solution de Exercice 12.2.

$\int_0^1 x^{-p/2}\dd x < \infty$ ssi $p < 2$ : la première est dans $L^p$ pour $p \in \intco12$ . $\int_1^\infty x^{-p/2}\dd x < \infty$ ssi $p > 2$ : la seconde pour $p \in \intoo2\infty$ (et $p = \infty$ : elle est bornée — l’inclure). Troisième : pour $p < 2$ , dominée par $x^{-p/2}$ : intégrable ; pour $p = 2$ , substituer $u = -\ln x$ : $\int_0^1\frac{\dd x}{x(1 + \abs{\ln x})^2} = \int_0^\infty\frac{\dd u}{(1 + u)^2} < \infty$ ; pour $p > 2$ la puissance domine : divergente. Donc $p \in \intcc12$ . Quatrième : $\int_\R\frac{\dd x}{(1 + \abs x)^p} < \infty$ ssi $p > 1$ ; bornée, donc aussi $L^\infty$ : $p \in \intoc1\infty$ . Morale : l’intégrabilité en $0$ aime les petits $p$ , en $\infty$ les grands $p$ ; en combinant les deux obstacles, aucune inclusion entre les $L^p(\R)$ .

Exercice 12.3 ★★

(La machine à écrire) Énumérer les intervalles dyadiques $I_1 = \intcc01$ , $I_2 = \intcc0{\frac12}$ , $I_3 = \intcc{\frac12}1$ , $I_4 = \intcc0{\frac14}$ , … et soit $f_n = \mathbf 1_{I_n}$ . (a) Montrer $f_n \to 0$ dans tout $L^p(\intcc01)$ , $p < \infty$ , mais $(f_n(x))$ diverge pour tout $x \in \intcc01$ . (b) Exhiber la sous-suite convergente p.p. promise par le Théorème 12.4. (c) Réciproquement donner une suite convergeant p.p. mais pas dans $L^1$ , et une convergeant dans $L^1$ mais dans aucun $L^p$ , $p > 1$ .

Solution

Solution de Exercice 12.3.

(a) $\norm{f_n}_p^p = \lambda(I_n) \to 0$ (au niveau dyadique $k$ la longueur est $2^{-k}$ ). Mais tout $x$ appartient à un intervalle de chaque niveau dyadique : $f_n(x) = 1$ une infinité de fois et $= 0$ une infinité de fois (intervalles du même niveau ne contenant pas $x$ ) : pas de convergence en aucun point.

(b) $f_{n_k} = \mathbf 1_{\intcc0{2^{-k}}}$ (le premier intervalle de chaque niveau) converge vers $0$ en tout $x > 0$ : p.p.

(c) p.p. mais pas $L^1$ : $n\mathbf 1_{\intoo0{1/n}} \to 0$ p.p., intégrale $1$ . Dans $L^1$ mais dans aucun $L^p$ ( $p > 1$ ) : $g_n = \eu^n\,\mathbf 1_{(0,\ \eu^{-n}/n)}$ : $\norm{g_n}_1 = \frac1n \to 0$ , tandis que $\norm{g_n}_p^p = \eu^{(p-1)n}/n \to \infty$ pour tout $p > 1$ .

Exercice 12.4 ★★

Soient $\mu(X) < \infty$ et $f \in L^\infty(\mu)$ , $f \neq 0$ . Montrer que $\norm f_p \to \norm f_\infty$ lorsque $p \to \infty$ . (Borne supérieure par (a) de Proposition 12.12 ; borne inférieure en intégrant sur $\{\abs f > \norm f_\infty - \varepsilon\}$ , de mesure positive.)

Solution

Solution de Exercice 12.4.

Supérieure : $\norm f_p \leq \mu(X)^{1/p}\norm f_\infty$ (Proposition 12.12(a) avec $q = \infty$ ), et $\mu(X)^{1/p} \to 1$ . Inférieure : pour $\varepsilon > 0$ , $A = \{\abs f > \norm f_\infty - \varepsilon\}$ a $\mu(A) > 0$ (définition du sup essentiel), et

\norm f_p \geq \Bigl(\int_A \abs f^p\Bigr)^{1/p} \geq (\norm f_\infty - \varepsilon)\,\mu(A)^{1/p} \xrightarrow[p\to\infty]{} \norm f_\infty - \varepsilon .

Exercice 12.5 ★★

(a) Où exactement la preuve du Théorème 12.6(3) utilise-t-elle $p < \infty$ ? (b) Montrer que $f \in L^\infty(\R)$ satisfait $\norm{\tau_hf - f}_\infty \to 0$ ssi $f$ a un représentant uniformément continu.

Solution

Solution de Exercice 12.5.

(a) Deux fois : la conversion $\norm{\tau_hg - g}_p \leq C^{1/p}\norm{\tau_hg - g}_\infty$ (support de mesure finie) dégénère pour $p = \infty$ seulement en ce que la densité de $\mathcal C_c$ échoue là — c’est le vrai écart : l’étape (2) du Théorème 12.6 n’a pas d’analogue $L^\infty$ .

(b) Si $f$ a un représentant uniformément continu $g$ : $\norm{\tau_hf - f}_\infty = \sup_x\abs{g(x - h) - g(x)} \to 0$ . Réciproquement, supposer $\norm{\tau_hf - f}_\infty \to 0$ . Les mollifications $f_\varepsilon = f * \rho_\varepsilon$ sont continues, et

\norm{f_\varepsilon - f}_\infty \leq \sup_{\norm y \leq \varepsilon}\norm{\tau_yf - f}_\infty \longrightarrow 0

(la convolution est une moyenne de translatés). Chaque $f_\varepsilon$ est uniformément continue ( $\norm{\tau_hf_\varepsilon - f_\varepsilon}_\infty \leq \norm{\tau_hf - f}_\infty$ , par moyenne), et une limite uniforme de fonctions uniformément continues en est une : $f$ coïncide p.p. avec une fonction uniformément continue.

Exercice 12.6 ★★

Soient $p, q$ conjugués, $f \in L^p(\R^d)$ , $g \in L^q(\R^d)$ . Montrer que $f * g$ est définie partout, bornée, avec $\norm{f*g}_\infty \leq \norm f_p\norm g_q$ , et uniformément continue. (Continuité de la translation dans $L^p$ ; traiter $p \in \{1, \infty\}$ séparément — pour $p = \infty$ utiliser la continuité de translation sur le facteur $L^1$ .)

Solution

Solution de Exercice 12.6.

Par Hölder, pour tout $x$ l’intégrande $y \mapsto f(x - y)g(y)$ est dans $L^1$ avec $\abs{(f*g)(x)} \leq \norm f_p\norm g_q$ : partout définie et bornée. Continuité uniforme ( $p < \infty$ ) :

\abs{(f*g)(x + h) - (f*g)(x)} = \Bigl|\int\bigl(\tau_{-h}f - f\bigr)(x - y)\,g(y)\dd y\Bigr| \leq \norm{\tau_{-h}f - f}_p\,\norm g_q \xrightarrow[h\to0]{} 0,

uniformément en $x$ (Théorème 12.6(3)). Si $p = \infty$ , alors $q = 1$ : écrire $f * g = g * f$ et courir la même borne avec la translation agissant sur $g \in L^1$ .

Exercice 12.7 ★★

Soit $f \in L^1_{\mathrm{loc}}(\intoo ab)$ avec $\int f\varphi' = 0$ pour toute $\varphi \in \mathcal C^\infty_c(\intoo ab)$ . Montrer que $f$ est p.p. égale à une constante. (Fixer $\chi \in \mathcal C_c^\infty$ avec $\int\chi = 1$ ; toute $\psi \in \mathcal C_c^\infty$ avec $\int\psi = 0$ est une $\varphi'$ ; écrire une fonction test générale comme $\psi + (\int\psi)\chi$ et appliquer le Corollaire 12.11 à $f - c$ avec $c = \int f\chi$ .)

Solution

Solution de Exercice 12.7.

Fixer $\chi \in \mathcal C_c^\infty(\intoo ab)$ avec $\int\chi = 1$ , et poser $c = \int f\chi$ . Soit $\varphi \in \mathcal C_c^\infty$ arbitraire et $\psi = \varphi - \bigl(\int\varphi\bigr)\chi$ : alors $\int\psi = 0$ , donc $\Phi(x) = \int_a^x\psi$ définit $\Phi \in \mathcal C_c^\infty(\intoo ab)$ (elle s’annule près des deux bouts : près de $a$ trivialement, près de $b$ parce que l’intégrale totale est $0$ ) avec $\Phi' = \psi$ . L’hypothèse donne $\int f\psi = \int f\Phi' = 0$ , d’où

\int f\varphi = \Bigl(\int\varphi\Bigr)\int f\chi = \int c\,\varphi \quad\text{pour toute } \varphi : \qquad \int(f - c)\varphi = 0 .

Par le Corollaire 12.11 (localisé sur $\intoo ab$ ), $f = c$ p.p.

Exercice 12.8 ★★★

(Urysohn lisse) Soient $K \subseteq U \subseteq \R^d$ , $K$ compact, $U$ ouvert. Construire $\varphi \in \mathcal C^\infty_c(\R^d)$ avec $0 \leq \varphi \leq 1$ , $\varphi = 1$ sur $K$ , $\operatorname{supp}\varphi \subseteq U$ . (Mollifier l’indicateur du $\delta$ -voisinage $K_\delta$ de $K$ avec $\rho_{\delta/2}$ , pour $\delta$ petit.) En déduire un énoncé de partition de l’unité $\mathcal C^\infty$ pour un compact recouvert par un nombre fini d’ouverts.

Solution

Solution de Exercice 12.8.

Soit $3\delta < d(K, \R^d\setminus U)$ (positif : Exercice 6.6(b) ; si $U = \R^d$ n’importe quel $\delta$ convient), $K_\delta = \{x : d(x, K) \leq \delta\}$ , et

\varphi = \mathbf 1_{K_\delta} * \rho_{\delta/2} .

Alors $\varphi \in \mathcal C^\infty$ (Théorème 12.9(1) ; l’indicateur est $L^1$ ), $0 \leq \varphi \leq 1$ ( $\int\rho = 1$ ), $\varphi = 1$ sur $K$ (pour $x \in K$ , $\bar B(x, \delta/2) \subseteq K_\delta$ , donc la convolution intègre $\rho$ pleinement), et $\operatorname{supp}\varphi \subseteq K_{3\delta/2} \subseteq U$ : à support compact ( $K_\delta$ est borné). Partition de l’unité : étant donné $K \subseteq U_1\cup\dots\cup U_m$ , choisir (par compacité) des compacts $K_i \subseteq U_i$ avec $K \subseteq \bigcup \mathring K_i$ , prendre $\varphi_i$ comme ci-dessus pour $(K_i, U_i)$ , et poser $\psi_i = \varphi_i\prod_{j <i}(1 - \varphi_j)$ : chaque $\psi_i \in \mathcal C_c^\infty(U_i)$ , et $\sum_i\psi_i = 1 - \prod_i(1 - \varphi_i) = 1$ sur $K$ .

Exercice 12.9 ★★

En utilisant l’interpolation (Proposition 12.12(c)) : (a) montrer que $L^1(\R)\cap L^\infty(\R) \subseteq L^p(\R)$ pour tout $p$ , avec $\norm f_p \leq \norm f_1^{1/p}\norm f_\infty^{1 - 1/p}$ ; (b) montrer que $f \mapsto \norm f_p$ est, pour $f$ fixé, log-convexe en $\frac1p$ , et donner un exemple où $f \in L^p$ exactement pour $p$ dans un intervalle donné $(p_0, p_1)$ .

Solution

Solution de Exercice 12.9.

(a) L’exposant d’interpolation pour $(p_0, q_0) = (1, \infty)$ en $r = p$ est $\alpha = \frac1p$ : le Proposition 12.12(c) donne $\norm f_p \leq \norm f_1^{1/p}\norm f_\infty^{1 - 1/p}$ .

(b) En prenant les logarithmes dans le Proposition 12.12(c) : $\ln\norm f_r \leq \alpha\ln\norm f_p + (1-\alpha)\ln\norm f_q$ où $\frac1r$ est la même combinaison convexe de $\frac1p, \frac1q$ : $\frac1p \mapsto \ln\norm f_p$ est convexe. Exemple avec appartenance $L^p$ exactement sur $\intoo{p_0}{p_1}$ :

f(x) = x^{-1/p_1}\,\mathbf 1_{\intoo01}(x) + x^{-1/p_0}\,\mathbf 1_{\intco1\infty}(x):

le premier terme est $L^p$ ssi $p < p_1$ , le second ssi $p > p_0$ .

Exercice 12.10 ★★

(Jensen) Soit $\mu$ une mesure de probabilité, $f \in L^1(\mu)$ réelle, et $\Phi \colon \R \to \R$ convexe. Montrer

\Phi\Bigl(\int f\,\dd\mu\Bigr) \leq \int \Phi\circ f\,\dd\mu

(droite de support de $\Phi$ au point $m = \int f$ ). En déduire l’inégalité arithmético-géométrique et la monotonie de $p \mapsto \norm f_p$ de l’Exercice 12.1(b).

Solution

Solution de Exercice 12.10.

Soit $m = \int f\,\dd\mu \in \R$ . La convexité fournit une droite de support en $m$ : il existe $s$ avec $\Phi(t) \geq \Phi(m) + s(t - m)$ pour tout $t$ (prendre $s$ entre les dérivées unilatérales, qui existent pour les fonctions convexes). Substituer $t = f(x)$ et intégrer contre la probabilité $\mu$ :

\int\Phi\circ f\,\dd\mu \geq \Phi(m) + s\Bigl(\int f - m\Bigr) = \Phi\Bigl(\int f\,\dd\mu\Bigr)

(mesurabilité : $\Phi$ est continue ; l’intégrabilité de la partie négative de $\Phi\circ f$ est garantie par la droite de support). AM–GM : sur un ensemble fini de poids $w_i$ , prendre $\Phi = \exp$ et $f = \sum(\ln a_i)\mathbf 1_i$ : $\exp\bigl(\sum w_i\ln a_i\bigr) \leq \sum w_ia_i$ , c.-à-d. $\prod a_i^{w_i} \leq \sum w_ia_i$ . La monotonie des normes est l’Exercice 12.1(b).

Exercice 12.11 ★★★

(Inégalité de Young pour la convolution) Soient $1 \leq p, q, r \leq \infty$ avec $\frac1p + \frac1q = 1 + \frac1r$ , et $f \in L^p(\R^d)$ , $g \in L^q(\R^d)$ . (a) Prouver $\norm{f * g}_r \leq \norm f_p\,\norm g_q$ . (Écrire, pour les exposants conjugués tirés de $p, q, r$ , $\abs{f(y)g(x-y)} = \bigl(\abs f^p\abs g^q\bigr)^{1/r} \cdot\abs f^{\,p(1/p - 1/r)}\cdot\abs g^{\,q(1/q - 1/r)},$ et appliquer l’inégalité de Hölder à trois facteurs avec exposants $r$ , $\frac{pr}{r - p}$ , $\frac{qr}{r - q}$ ; puis intégrer en $x$ par Tonelli.) (b) Vérifier les trois cas spéciaux déjà connus : $r = \infty$ (Hölder, Exercice 12.6) ; $q = 1$ ( $L^p$ -stabilité de la convolution par un noyau intégrable) ; $p = q = 1$ ( $L^1$ est une algèbre de convolution, Théorème 11.9). (c) Pourquoi n’y a-t-il pas d’inégalité avec $\frac1p + \frac1q < 1 + \frac1r$ ? (Tester sur les dilatations $f_\lambda(x) = f(\lambda x)$ et comparer les échelles des deux membres.)

Solution

Solution de Exercice 12.11.

(a) Supposer d’abord $p, q, r < \infty$ et $f, g \geq 0$ (remplacer par les valeurs absolues). Les trois exposants $r$ , $\alpha = \frac{pr}{r-p}$ , $\beta = \frac{qr}{r-q}$ satisfont $\frac1r + \frac1\alpha + \frac1\beta = \frac1r + \frac1p - \frac1r + \frac1q - \frac1r = 1$ (la relation d’échelle). Scinder, pour $x$ fixé,

f(y)g(x-y) = \bigl[f(y)^pg(x-y)^q\bigr]^{1/r}\cdot f(y)^{1 - p/r}\cdot g(x-y)^{1 - q/r},

et Hölder avec les trois exposants donne

(f*g)(x) \leq \Bigl(\int f^pg(x-\cdot)^q\Bigr)^{1/r} \norm f_p^{\,p/\alpha\cdot\alpha/p}\cdots

plus précisément : le second facteur est $\bigl(\int f^{(1-p/r)\alpha}\bigr)^{1/\alpha} = \norm f_p^{p(1/p - 1/r)}$ car $(1 - \frac pr)\alpha = p$ , et de même le troisième est $\norm g_q^{q(1/q - 1/r)}$ . Élever à la puissance $r$ et intégrer en $x$ (Tonelli sur le premier facteur) :

\norm{f*g}_r^r \leq \norm f_p^p\,\norm g_q^q\cdot \norm f_p^{\,rp(1/p - 1/r)}\,\norm g_q^{\,rq(1/q - 1/r)} = \norm f_p^r\,\norm g_q^r .

Les cas extrémaux ( $r = \infty$ ou un exposant égal à sa borne) sont Hölder pur ou des estimations directes.

(b) $r = \infty$ force $q = p'$ : $\abs{f*g(x)} \leq \norm f_p\norm g_{p'}$ — Hölder après translation-réflexion. $q = 1$ donne $r = p$ : $\norm{f*g}_p \leq \norm g_1\norm f_p$ , le cheval de trait de la mollification (le moteur du Théorème 12.9). $p = q = 1$ donne $r = 1$ : l’algèbre de convolution (Théorème 11.9).

(c) Remplacer $f, g$ par $f_\lambda = f(\lambda\cdot)$ , $g_\lambda = g(\lambda\cdot)$ : alors $f_\lambda*g_\lambda = \lambda^{-d}(f*g)(\lambda\cdot)$ , et en comparant les normes,

\text{gauche} \sim \lambda^{-d - d/r}, \qquad \text{droite} \sim \lambda^{-d/p - d/q} :

une inégalité valable pour tous $f, g$ force les deux exposants d’échelle à coïncider, c.-à-d. $1 + \frac1r = \frac1p + \frac1q$ exactement. Toute autre combinaison meurt en $\lambda \to 0$ ou $\infty$ : la relation de Young n’est pas une commodité mais une loi d’échelle.

Exercice 12.12 ★★

(Cas d’égalité) (a) Dans l’inégalité de Hölder $\int\abs{fg} \leq \norm f_p\norm g_q$ ( $1 < p < \infty$ ), montrer que l’égalité tient ssi $\abs f^p$ et $\abs g^q$ sont proportionnelles p.p. (Suivre le cas d’égalité de l’inégalité de Young $ab \leq \frac{a^p}p + \frac{b^q}q$ , qui est $a^p = b^q$ .) (b) Dans l’inégalité de Minkowski $\norm{f + g}_p \leq \norm f_p + \norm g_p$ ( $1 < p < \infty$ ), montrer que l’égalité avec $f, g \neq 0$ force $g = cf$ p.p. avec $c > 0$ . (c) Contraster avec $p = 1$ et $p = \infty$ : décrire les cas d’égalité (beaucoup plus larges) là, sur des exemples.

Solution

Solution de Exercice 12.12.

(a) Normaliser $\norm f_p = \norm g_q = 1$ . La preuve de Hölder intègre l’inégalité de Young $\abs{fg} \leq \frac{\abs f^p}p + \frac{\abs g^q}q$ ; l’égalité des intégrales force l’égalité p.p. dans Young, ce qui (convexité stricte de $\exp$ ; égalité ssi $a^p = b^q$ ) signifie $\abs f^p = \abs g^q$ p.p. En défaisant la normalisation : $\abs f^p\norm g_q^q = \abs g^q\norm f_p^p$ p.p. — proportionnalité.

(b) Minkowski est deux Hölder appliqués à $\abs{f + g}^{p-1} \abs f$ et $\abs{f+g}^{p-1}\abs g$ ; l’égalité force la proportionnalité de (a) dans les deux : $\abs f^p$ et $\abs g^p$ chacun proportionnel à $\abs{f+g}^{(p-1)q} = \abs{f+g}^p$ , donc $\abs g = t\abs f$ p.p. pour une constante $t \geq 0$ ; et l’inégalité triangulaire ponctuelle initiale $\abs{f + g} \leq \abs f + \abs g$ doit aussi être une égalité p.p., ce qui pour des valeurs complexes signifie que $f$ et $g$ ont p.p. le même argument là où les deux sont non nuls. En combinant : $g = tf$ p.p., $t > 0$ (toutes deux non nulles).

(c) $p = 1$ : l’égalité dans $\int\abs{f + g} = \int\abs f + \int\abs g$ tient dès que $f, g$ ont le même schéma de signe (même argument p.p.) — aucune proportionnalité requise : $f = \mathbf 1_{\intcc01}$ et $g = \mathbf 1_{\intcc02}$ marchent. $p = \infty$ : $\norm{f+g}_\infty = \norm f_\infty + \norm g_\infty$ dès que les deux fonctions culminent de façon compatible en un point commun (ou le long d’une suite commune) : $f = g$ près d’un point suffit indépendamment du comportement ailleurs. La convexité stricte des boules $L^p$ pour $1 < p < \infty$ — et son échec aux extrémités — est exactement ce que ces cas d’égalité témoignent.

12.7 Problème : l’inégalité de Hardy

Problème 12.1

Problème du week-end — l’inégalité de Hardy et sa constante optimale

Pour $f \in L^p(\intoo0{+\infty})$ , $1 < p < \infty$ , définir l’opérateur de Hardy

(Hf)(x) = \frac1x\int_0^x f(t)\,\dd t .

L’inégalité de Hardy (1920) affirme

\norm{Hf}_p \;\leq\; \frac{p}{p-1}\,\norm f_p ,

et la constante $\frac p{p-1}$ est optimale et non atteinte. Ce problème prouve tout, puis s’étend aux séries.

Partie I — L’inégalité. Supposer d’abord $f \geq 0$ continue à support compact dans $\intoo0{+\infty}$ , et soit $F(x) = \int_0^xf$ .

Montrer que $Hf \in L^p$ : près de $0$ , $F$ s’annule sur un voisinage de $0$ ; près de $\infty$ , $F$ est bornée, donc $(Hf)(x) = O(1/x)$ , et $x \mapsto \frac1x$ appartient à $L^p(\intoo1{+\infty})$ pour $p > 1$ .
Intégrer par parties pour montrer

$\int_0^\infty \Bigl(\frac Fx\Bigr)^p\dd x = \frac{p}{p-1}\int_0^\infty\Bigl(\frac Fx\Bigr)^{p-1}f(x)\,\dd x .$

(Dériver $x^{1-p}F^p$ ; les termes de bord s’annulent — justifier les deux extrémités.)
Appliquer Hölder au membre de droite et en déduire $\norm{Hf}_p \leq \frac p{p-1}\norm f_p$ pour de telles $f$ .
Étendre à tout $L^p$ : pour $f \geq 0$ , construire des $f_n$ continues à support compact dans $\intoo0{+\infty}$ , $0 \leq f_n \nearrow f$ p.p. (tronquer, puis approximer de façon monotone — justifier la construction) ; alors $Hf_n \nearrow Hf$ ponctuellement (TCM à l’intérieur de la moyenne) et le TCM passe l’inégalité à la limite. Pour $f$ signée ou complexe, conclure avec $\abs{Hf} \leq H\abs f$ .

Partie II — Optimalité.

Pour $A > 1$ soit $f_A(t) = t^{-1/p}\,\mathbf 1_{\intcc1A}(t)$ . Calculer $\norm{f_A}_p^p = \ln A$ et, pour $1 \leq x \leq A$ ,

$(Hf_A)(x) = \frac p{p-1}\;x^{-1/p}\, \bigl(1 - x^{-(1 - 1/p)}\bigr).$
En déduire $\liminf_{A\to\infty} \norm{Hf_A}_p/ \norm{f_A}_p \geq \frac{p}{p-1}$ , et conclure que la constante est optimale.
Montrer que l’égalité $\norm{Hf}_p = \frac p{p-1}\norm f_p$ avec $f \neq 0$ est impossible. (Suivre le cas d’égalité de Hölder dans la question 3 : il forcerait un comportement $f = cx^{-1/p}$ , qui n’est pas dans $L^p$ .)

Partie III — L’inégalité discrète.

Pour un $g \geq 0$ décroissant sur $(0,\infty)$ et $a_n = g(n)$ , comparer $\sum a_n^p$ et $\int g^p$ , et les moyennes $H$ en conséquence, pour déduire de la partie I l’inégalité de Hardy discrète : pour $a_n \geq 0$ ,

$\sum_{n\geq1}\Bigl(\frac{a_1 + \dots + a_n}{n}\Bigr)^{p} \;\leq\; \Bigl(\frac{p}{p-1}\Bigr)^{p}\,\sum_{n\geq1}a_n^p$

— la prouver d’abord pour $(a_n)$ décroissante via la comparaison ci-dessus, puis ramener le cas général au décroissant par réarrangement (admettre, avec une justification en une ligne, que trier $(a_n)$ en ordre décroissant ne peut qu’augmenter le membre de gauche en fixant le droit).
En déduire : si $\sum a_n^p < \infty$ alors les moyennes de Cesàro de $(a_n)$ sont encore $\ell^p$ — et donner un exemple ( $p = 2$ ) où $(a_n) \in \ell^2$ mais $a_n$ n’est pas sommable, pourtant Hardy contrôle encore les moyennes.

Partie IV — Épilogue.

Montrer que l’inégalité de Hardy échoue pour $p = 1$ : avec $f = \mathbf 1_{\intcc01}$ , calculer $Hf$ et observer $Hf \notin L^1$ . Où la preuve s’effondre-t-elle ?

Partie V — La fonction maximale, et le théorème de différentiation de Lebesgue. Hardy moyenne depuis l’origine ; Hardy–Littlewood moyenne autour de chaque point. Pour $f \in L^1(\R)$ définir

Mf(x) = \sup_{r>0}\ \frac1{2r}\int_{x-r}^{x+r}\abs f\,\dd\lambda .

(Vitali, version finie) Soient $B_1, \dots, B_N$ des intervalles ouverts. Montrer qu’il existe une sous-famille disjointe $B_{i_1}, \dots, B_{i_k}$ avec $\bigcup_jB_j \subseteq \bigcup_l3B_{i_l}$ , où $3B$ désigne l’intervalle de même centre et de triple longueur (glouton : choisir répétitivement le plus long intervalle disjoint de ceux déjà choisis).
(Type faible $(1,1)$ ) Montrer que pour tout $t > 0$ ,

$\lambda\bigl(\{Mf > t\}\bigr) \;\leq\; \frac3t\,\norm f_1 :$

chaque $x$ avec $Mf(x) > t$ possède un intervalle centré $B_x$ avec $\int_{B_x}\abs f > t\,\lambda(B_x)$ ; prendre un compact $K \subseteq \{Mf > t\}$ (régularité intérieure), le recouvrir par un nombre fini de $B_x$ , appliquer la question 11, et épuiser.
Calculer $M\mathbf 1_{\intcc01}(x)$ pour $x > 1$ et en déduire que $Mf \notin L^1$ pour toute $f \neq 0$ ( $Mf(x) \geq \frac c{\abs x}$ à l’infini) : en $p = 1$ , l’inégalité faible de la question 12 est le meilleur énoncé possible.
(Type fort pour $p > 1$ ) Pour $f \in L^p$ : scinder $f = f\,\mathbf 1_{\abs f > t/2} + f\,\mathbf 1_{\abs f \leq t/2}$ , observer $Mf \leq M\bigl(f\mathbf 1_{\abs f > t/2}\bigr) + \frac t2$ , et combiner la question 12 avec la formule des couches (Proposition 11.8) et Tonelli pour prouver

$\norm{Mf}_p^p \;\leq\; \frac{6p\,2^{p-1}}{p-1}\,\norm f_p^p .$

(L’explosion lorsque $p \downarrow 1$ est l’échec de la question 13, quantifié.)
(Théorème de différentiation de Lebesgue) Prouver : pour $f \in L^1(\R)$ ,

$\frac1{2r}\int_{x-r}^{x+r}f\,\dd\lambda \;\longrightarrow\; f(x) \qquad (r \to 0)\quad\text{pour p.t.\ }x .$

(Clair pour $f$ continue. En général écrire $f = g + h$ , $g$ continue à support compact, $\norm h_1 < \varepsilon$ (Théorème 12.6) ; l’ensemble où $\limsup_{r\to0}$ de l’oscillation moyennée dépasse $\delta$ est contenu dans $\{Mh > \delta/2\} \cup \{\abs h > \delta/2\}$ , de mesure $O(\varepsilon/\delta)$ ; faire $\varepsilon \to 0$ , puis $\delta \to 0$ le long d’une suite.)
En déduire : (a) presque tout point est un point de Lebesgue de $f$ ; (b) pour $f \in L^1$ , la primitive $F(x) = \int_0^xf$ est dérivable p.p. avec $F' = f$ p.p. — la moitié intégrale du théorème fondamental du calcul dans le monde de Lebesgue, fermant le cercle ouvert par l’escalier (Problème 9.1), qui montrait que la moitié réciproque peut échouer.
(Points de densité) Pour $A \subseteq \R$ mesurable, montrer que presque tout $x \in A$ satisfait $\frac{\lambda(A\cap\intcc{x-r}{x+r})}{2r} \to 1$ : les ensembles mesurables sont localement pleins en presque tous leurs points. Esquisser, en deux lignes, comment cela donne encore une preuve du théorème de Steinhaus (Exercice 9.8).

Partie VI — Variations sur le thème de la moyenne.

(Hardy pondéré) Pour $\alpha < p - 1$ et $f \geq 0$ , montrer

$\int_0^\infty\Bigl(\frac{F(x)}x\Bigr)^{p} x^{\alpha}\,\dd x \;\leq\; \Bigl(\frac{p}{p - 1 - \alpha}\Bigr)^{p} \int_0^\infty f(x)^p\,x^{\alpha}\,\dd x$

par la même intégration par parties, et vérifier que la frontière $\alpha = p - 1$ est réellement interdite (adapter le contre-exemple de la question 10).
(L’adjoint) Soit $H^*f(x) = \int_x^{\infty}\frac{f(t)}t\,\dd t$ . Montrer $\langle Hf, g\rangle = \langle f, H^*g\rangle$ pour $f, g$ positives (Tonelli), et prouver $\norm{H^*f}_p \leq p\,\norm f_p$ (directement par parties, ou depuis Hardy sur l’exposant conjugué par dualité — attention à quel exposant ramasse quelle constante).
(Une inégalité de type Hilbert) En déduire que pour $f \in L^p$ , $g \in L^q$ positives :

$\int_0^\infty\!\!\int_0^\infty \frac{f(x)\,g(y)}{\max(x,y)}\,\dd x\,\dd y \;\leq\; (p + q)\,\norm f_p\,\norm g_q$

(scinder selon $y < x$ / $y \geq x$ : chaque moitié est un accouplement d’une fonction contre une transformée de Hardy de l’autre).
(Optimalité, discret) Montrer que la constante $\bigl(\frac p{p-1}\bigr)^p$ de la question 8 est aussi optimale : tester sur $a_n = n^{-1/p}\,\mathbf 1_{n \leq N}$ , comparer les deux membres avec des intégrales, et faire $N \to \infty$ (le miroir discret de la partie II).
(Synthèse) Trois opérateurs de moyenne sont apparus dans ce problème : le $H$ de Hardy, la moyenne de Cesàro discrète, et l’opérateur maximal $M$ . Énoncer en une ligne chacun ce que sa continuité dit, observer que les trois échouent exactement en $p = 1$ , et expliquer pourquoi c’est le même échec trois fois (la queue harmonique $\frac1x$ ).

Partie VII — L’inégalité de Carleman, et à quel point « optimal » est-il.

(Inégalité de Carleman) Soient $a_n \geq 0$ avec $\sum a_n < \infty$ . Appliquer l’inégalité de Hardy discrète de la question 8 à $b_n = a_n^{1/p}$ , utiliser l’inégalité arithmético-géométrique, et faire $p \to \infty$ (montrer que $p \mapsto \bigl(\frac p{p-1}\bigr)^p$ décroît vers $\eu$ ) pour obtenir

$\sum_{n\geq1}\bigl(a_1a_2\cdots a_n\bigr)^{1/n} \;\leq\; \eu\,\sum_{n\geq1}a_n :$

les moyennes géométriques d’une suite sommable sont sommables, à coût au plus $\eu$ .
(La constante $\eu$ est optimale) Tester $a_n = \frac1n\,\mathbf 1_{n\leq N}$ : en utilisant l’encadrement de Stirling du Problème 11.1, montrer $(n!)^{-1/n} = \frac\eu n\bigl(1 + O\bigl(\frac{\ln n}n\bigr)\bigr)$ , en déduire que les deux membres de Carleman croissent comme $\eu\ln N$ , et conclure qu’aucune constante plus petite que $\eu$ ne peut convenir. (Observer le schéma : les optimiseurs de Hardy et de Carleman sont tous deux les suites de type harmonique qui échouent juste à être dans l’espace.)
(À quelle vitesse « optimal » est-il approché ?) Prendre $p = 2$ . Pour $f = \mathbf 1_{\intcc01}$ , calculer $\norm{Hf}_2/\norm f_2 = \sqrt2$ , contre la borne $2$ . Pour les quasi-optimiseurs $f_A$ de la question 5, prouver l’identité exacte

$\norm{Hf_A}_2^2 = 4\ln A - 8 + \frac{8}{\sqrt A}, \qquad\text{donc}\qquad \frac{\norm{Hf_A}_2^2}{\norm{f_A}_2^2} = 4 - \frac{8 - 8A^{-1/2}}{\ln A} .$

Évaluer en $A = \eu^{10}$ (rapport $\approx 1{,}790$ ) et commenter : le supremum $2$ n’est approché qu’à la vitesse $1/\ln A$ — une constante optimale peut être presque invisible numériquement.

Solution

Solution de Problème 12.1.

1. $f$ a support dans un certain $[\alpha, \beta] \subseteq \intoo0\infty$ , donc $F = 0$ sur $[0, \alpha]$ et $F \equiv F(\beta)$ sur $[\beta, \infty)$ : $Hf$ s’annule près de $0$ et est $O(1/x)$ à l’infini ; $\int_1^\infty x^{-p}\dd x < \infty$ pour $p > 1$ , et $Hf$ est continue : $Hf \in L^p$ .

2. $\bigl(x^{1-p}F(x)^p\bigr)' = (1-p)x^{-p}F^p + p\,x^{1-p}F^{p-1}f$ . Les deux valeurs de bord s’annulent : en $0$ parce que $F = 0$ près de $0$ ; en $\infty$ parce que $x^{1-p}F^p \leq F(\beta)^p x^{1-p} \to 0$ ( $p > 1$ ). En intégrant l’identité sur $\intoo0\infty$ :

0 = (1 - p)\int_0^\infty\Bigl(\frac Fx\Bigr)^p\dd x + p\int_0^\infty\Bigl(\frac Fx\Bigr)^{p-1}f(x)\,\dd x,

qui est la relation affichée.

3. Hölder avec exposants $q = \frac p{p-1}$ et $p$ :

\int\Bigl(\frac Fx\Bigr)^{p-1}f \leq \Bigl(\int\Bigl(\frac Fx\Bigr)^{p}\Bigr)^{1 - 1/p}\,\norm f_p ,

donc $\norm{Hf}_p^p \leq \frac p{p-1}\norm{Hf}_p^{p-1}\norm f_p$ ; diviser (fini par la question 1, et si $0$ il n’y a rien à prouver).

4. Soit $f \in L^p$ , $f \geq 0$ . Choisir $\varphi_k \in \mathcal C_c(\intoo0\infty)$ avec $\varphi_k \to f$ dans $L^p$ (Théorème 12.6(2), intersecté avec la demi-droite ouverte — approximer $f\mathbf 1_{[1/k, k]}$ et diagonaliser), et remplacer $\varphi_k$ par $\abs{\varphi_k}$ (encore continue, et plus proche de $f \geq 0$ ). Pour tout $x > 0$ fixé, Hölder sur $\intoo0x$ donne

\abs{H\varphi_k(x) - Hf(x)} \leq \frac1x\,x^{1 - 1/p}\,\norm{\varphi_k - f}_p \to 0 :

$H\varphi_k \to Hf$ ponctuellement. Fatou et la question 3 :

\int (Hf)^p \leq \liminf_k\int(H\varphi_k)^p \leq \Bigl(\frac p{p-1}\Bigr)^p\liminf_k\norm{\varphi_k}_p^p = \Bigl(\frac p{p-1}\Bigr)^p\norm f_p^p .

Pour $f$ signée ou complexe : $\abs{Hf} \leq H\abs f$ ponctuellement, et le cas positif s’applique à $\abs f$ .

5. $\norm{f_A}_p^p = \int_1^A t^{-1}\dd t = \ln A$ . Pour $1 \leq x \leq A$ :

(Hf_A)(x) = \frac1x\int_1^x t^{-1/p}\dd t = \frac{x^{1 - 1/p} - 1}{(1 - \tfrac1p)\,x} = \frac p{p-1}\,x^{-1/p}\bigl(1 - x^{-(1 - 1/p)}\bigr).

6. Fixer $\varepsilon > 0$ et $X_0$ avec $(1 - x^{-(1-1/p)})^p \geq 1 - \varepsilon$ pour $x \geq X_0$ . Alors

\norm{Hf_A}_p^p \geq \int_{X_0}^A\Bigl(\frac p{p-1}\Bigr)^p\frac{1 - \varepsilon}{x}\,\dd x = \Bigl(\frac p{p-1}\Bigr)^p(1 - \varepsilon)\,(\ln A - \ln X_0),

donc $\dfrac{\norm{Hf_A}_p^p}{\norm{f_A}_p^p} \geq \bigl(\frac p{p-1}\bigr)^p(1 - \varepsilon)\bigl(1 - \frac{\ln X_0}{\ln A}\bigr) \to \bigl(\frac p{p-1}\bigr)^p(1 - \varepsilon)$ lorsque $A \to \infty$ : la constante ne peut être améliorée.

7. L’égalité dans la question 3 force l’égalité dans Hölder : $f^p$ proportionnelle à $\bigl(\frac Fx\bigr)^{(p-1)q} = \bigl(\frac Fx\bigr)^p$ p.p., c.-à-d. $f = \gamma\,\frac Fx$ p.p. pour un certain $\gamma \geq 0$ . Comme $F(x) = \int_0^xf$ est absolument continue avec $F' = f$ p.p., $F$ résout $F' = \gamma F/x$ : sur tout intervalle où $F > 0$ , $(\ln F)' = \gamma/x$ , donc $F = c\,x^{\gamma}$ et $f = c\gamma x^{\gamma - 1}$ là. Mais aucune puissance non nulle $x^{\gamma-1}$ n’appartient à $L^p(\intoo0\infty)$ ( $p(\gamma - 1) < -1$ nécessaire en $\infty$ et $> -1$ en $0$ : incompatibles), et $F$ ne peut s’annuler identiquement sauf si $f = 0$ . Donc l’égalité exige $f = 0$ .

8. Étant donné $(a_n)$ décroissante $\geq 0$ , définir la fonction en escalier $g(t) = a_{\lceil t\rceil}$ sur $\intoo0{+\infty}$ : décroissante, avec $\int_0^\infty g^p = \sum_na_n^p$ et $\int_0^ng = a_1 + \dots + a_n$ , donc $(Hg)(n) = \frac{a_1 + \dots + a_n}n$ . La moyenne d’une fonction décroissante est décroissante, donc $Hg$ l’est, et

\sum_{n\geq1}\Bigl(\frac{a_1{+}\dots{+}a_n}n\Bigr)^p = \sum_{n\geq1}(Hg)(n)^p \leq \sum_{n\geq1}\int_{n-1}^n (Hg)(t)^p\,\dd t = \norm{Hg}_p^p \leq \Bigl(\frac p{p-1}\Bigr)^p\sum_n a_n^p

par la partie I. Pour une suite positive générale, soit $(a_n^*)$ son réarrangement décroissant (possible lorsque $a_n \to 0$ , ce qu’on peut supposer — sinon les deux membres sont infinis) : le membre de droite est inchangé, et chaque somme partielle $a_1 + \dots + a_n$ est au plus $a_1^* + \dots + a_n^*$ (les $n$ plus grands termes) : le membre de gauche ne croît que. D’où l’inégalité pour tout $(a_n)$ .

9. Si $(a_n) \in \ell^p$ , la suite des moyennes de Cesàro est dans $\ell^p$ de norme $\leq \frac p{p-1}\norm a_p$ . Exemple ( $p = 2$ ) : $a_n = \frac1{\sqrt n\,\ln n}$ ( $n \geq 2$ ) : $\sum a_n^2 = \sum\frac1{n\ln^2n} < \infty$ , pourtant $\sum a_n = \infty$ (test intégral) ; Hardy garantit encore $\sum_n\bigl(\frac{a_1 + \dots + a_n}n\bigr)^2 < \infty$ .

10. Pour $f = \mathbf 1_{\intcc01}$ : $Hf(x) = 1$ sur $\intoc01$ et $= \frac1x$ pour $x \geq 1$ : $\int_0^\infty Hf = 1 + \int_1^\infty\frac{\dd x}x = \infty$ , tandis que $\norm f_1 = 1$ . La preuve s’effondre en deux points : la constante $\frac p{p-1}$ explose lorsque $p \to 1$ , et le terme de bord $x^{1-p}F^p$ ne s’annule plus à l’infini pour $p = 1$ . L’inégalité de Hardy est un honnête phénomène $p > 1$ .

11. Choisir le plus long intervalle $B_{i_1}$ ; écarter tout intervalle le rencontrant ; choisir le plus long survivant $B_{i_2}$ ; itérer (nombre fini d’intervalles). Les choisis sont disjoints par construction, et tout $B$ écarté a rencontré un intervalle choisi au moins aussi long : un intervalle rencontrant un plus long-ou-égal est contenu dans son triple, $B \subseteq 3B_{i_l}$ .

12. $\{Mf > t\}$ est ouvert : chaque moyenne $x \mapsto \frac1{2r}\int_{x-r}^{x+r}\abs f$ est continue (convergence dominée en $x$ ), et un supremum de fonctions continues est semi-continu inférieurement. Chaque $x$ dedans possède $B_x = \intoo{x-r_x}{x+r_x}$ avec $\int_{B_x}\abs f > t\,\lambda(B_x)$ . Pour un compact $K \subseteq \{Mf > t\}$ : un nombre fini de $B_x$ recouvrent $K$ , Vitali (question 11) extrait des $B_1', \dots, B_k'$ disjoints avec $K \subseteq \bigcup_l3B_l'$ , donc

\lambda(K) \leq 3\sum_l\lambda(B_l') < \frac3t\sum_l\int_{B_l'}\abs f \leq \frac3t\,\norm f_1

par disjonction ; la régularité intérieure (Théorème 9.13) conclut.

13. Pour $x > 1$ : avec $r \in \intcc{x-1}x$ la moyenne est $\frac{r - x + 1}{2r}$ , croissante en $r$ ; pour $r \geq x$ elle est $\frac1{2r}$ , décroissante : le supremum est $\frac1{2x}$ , atteint en $r = x$ . Donc $M\mathbf 1_{\intcc01} \notin L^1$ . En général, si $\int_I\abs f = c > 0$ sur un intervalle borné $I \subseteq \intcc{-C}C$ , alors $Mf(x) \geq \frac{c}{2(\abs x + C)}$ pour tout $x$ : jamais intégrable sauf si $f = 0$ p.p.

14. Avec $f_t = f\,\mathbf 1_{\abs f > t/2}$ : $M(f - f_t) \leq \frac t2$ , donc $\{Mf > t\} \subseteq \{Mf_t > \frac t2\}$ et la question 12 donne $\lambda(Mf > t) \leq \frac6t\int_{\abs f > t/2}\abs f$ . Formule des couches (Proposition 11.8) et Tonelli :

\norm{Mf}_p^p = p\int_0^\infty t^{p-1}\lambda(Mf > t)\dd t \leq 6p\int\abs f\int_0^{2\abs f}t^{p-2}\,\dd t\,\dd\lambda = \frac{6p\,2^{p-1}}{p-1}\,\norm f_p^p .

15. Écrire $A_rf(x) = \frac1{2r}\int_{x-r}^{x+r}f$ . Pour $g$ continue : $A_rg(x) \to g(x)$ partout. Étant donné $\varepsilon > 0$ , scinder $f = g + h$ avec $g$ continue à support compact et $\norm h_1 < \varepsilon$ (Théorème 12.6) ; alors

\limsup_{r\to0}\,\abs{A_rf(x) - f(x)} \leq Mh(x) + \abs{h(x)},

donc $\Omega_\delta = \{\limsup_r\abs{A_rf - f} > \delta\} \subseteq \{Mh > \tfrac\delta2\} \cup \{\abs h > \tfrac\delta2\}$ a mesure $\leq \frac{6\varepsilon}\delta + \frac{2\varepsilon}\delta$ (question 12 ; Markov). $\varepsilon$ arbitraire : $\lambda(\Omega_\delta) = 0$ ; union sur $\delta = \frac1k$ : $A_rf \to f$ p.p.

16. (a) Pour chaque $q \in \Q$ , la question 15 appliquée à $\abs{f - q}$ donne $A_r\abs{f - q}(x) \to \abs{f(x) - q}$ p.p. ; sur l’intersection de ces ensembles de mesure pleine, choisir $q$ avec $\abs{f(x) - q} < \eta$ : $\limsup_rA_r\abs{f - f(x)}(x) \leq 2\eta$ pour tout $\eta$ : presque tout $x$ est un point de Lebesgue. (b) En un point de Lebesgue,

\Bigl|\frac{F(x + h) - F(x)}h - f(x)\Bigr| = \Bigl|\frac1h\int_x^{x+h}\bigl(f - f(x)\bigr)\Bigr| \leq 2\,A_{\abs h}\abs{f - f(x)}(x) \to 0 :

$F' = f$ p.p. — les primitives de fonctions $L^1$ se redérivent ; l’escalier (Problème 9.1) est le contre-exemple à la direction réciproque seulement.

17. Appliquer la question 15 à $\mathbf 1_{A\cap[-n,n]}$ et faire croître $n$ : pour p.t. $x \in A$ la densité $\frac{\lambda(A\cap\intcc{x-r}{x+r})}{2r} \to 1$ . Steinhaus : autour d’un point de densité prendre $r$ avec densité $> \frac34$ ; pour $\abs t < \frac r2$ , $A$ et $A + t$ remplissent chacun plus de $\frac32r$ d’un intervalle de longueur $\leq \frac52r$ , donc s’intersectent : $\intoo{-r/2}{r/2} \subseteq A - A$ .

18. Soit $G(x) = x^{\alpha+1-p}F(x)^p$ : $G$ s’annule en $0$ ( $F$ s’annule près de $0$ ) et en $\infty$ ( $F$ bornée, $\alpha + 1 - p < 0$ ), donc $\int_0^\infty G' = 0$ avec

G' = (\alpha + 1 - p)\,x^{\alpha-p}F^p + p\,x^{\alpha+1-p}F^{p-1}f = (\alpha + 1 - p)\Bigl(\frac Fx\Bigr)^px^\alpha + p\Bigl(\frac Fx\Bigr)^{p-1}f\,x^\alpha .

D’où $\int(F/x)^px^\alpha = \frac{p}{p-1-\alpha} \int(F/x)^{p-1}f\,x^\alpha$ ; Hölder pour la mesure $x^\alpha\dd x$ (exposants $\frac p{p-1}$ et $p$ ) termine comme en question 3. Frontière $\alpha = p - 1$ : avec $f(t) = \frac1t\mathbf 1_{\intcc1A}$ , le membre de droite est $\ln A$ tandis que le gauche contient $\int_1^A\frac{(\ln x)^p}x\dd x = \frac{(\ln A)^{p+1}}{p+1}$ : aucune constante ne survit à $A \to \infty$ .

19. Tonelli sur $\{0 < t < x\}$ :

\langle Hf, g\rangle = \int_0^\infty\frac{g(x)}x\int_0^xf(t)\,\dd t\,\dd x = \int_0^\infty f(t)\int_t^\infty\frac{g(x)}x\,\dd x\,\dd t = \langle f, H^*g\rangle .

Dualité : $\norm{H^*f}_p = \sup\{\langle f, Hg\rangle : g \geq 0, \norm g_q \leq 1\} \leq \norm f_p\cdot \sup\norm{Hg}_q \leq \frac q{q-1}\norm f_p = p\,\norm f_p$ , Hardy étant invoqué dans $L^q$ , dont la constante $\frac q{q-1}$ égale $p$ .

20. Scinder le long de la diagonale (nulle). Sur $\{y \leq x\}$ :

\iint_{y\leq x}\frac{f(x)g(y)}{x}\,\dd y\,\dd x = \int f(x)\,(Hg)(x)\,\dd x \leq \norm f_p\,\norm{Hg}_q \leq p\,\norm f_p\norm g_q,

car Hardy dans $L^q$ porte la constante $\frac q{q-1} = p$ . Symétriquement, $\iint_{y>x} = \int g\,(Hf) \leq \norm g_q\norm{Hf}_p \leq q\,\norm f_p\norm g_q$ ( $\frac p{p-1} = q$ ). Total : $(p + q)\,\norm f_p\norm g_q$ .

21. Pour $a_n = n^{-1/p}$ , $n \leq N$ : le membre de droite est $\bigl(\frac p{p-1}\bigr)^p\sum_{n\leq N}\frac1n = \bigl(\frac p{p-1}\bigr)^p\ln N + O(1)$ . À gauche, pour $n \leq N$ : $a_1 + \dots + a_n \geq \int_1^{n+1}t^{-1/p}\dd t = \frac{p}{p-1}\bigl((n+1)^{1-1/p} - 1\bigr)$ , donc la $n$ -ième moyenne de Cesàro est $\geq \frac p{p-1}n^{-1/p}(1 - o(1))$ uniformément pour $n$ dans tout intervalle $n \geq n_0(\eta)$ ; en élevant à la puissance $p$ et en sommant, le membre de gauche est $\geq \bigl(\frac p{p-1}\bigr)^p(1 - \eta)\ln N + O_\eta(1)$ . En divisant et faisant $N \to \infty$ , puis $\eta \to 0$ : aucune constante plus petite que $\bigl(\frac p{p-1}\bigr)^p$ ne peut convenir.

22. $H$ borné sur $L^p$ : les moyennes cumulatives n’enflent pas les $p$ -normes (constante $\frac p{p-1}$ ) ; Cesàro sur $\ell^p$ : la même, discrétisée ; $M$ borné sur $L^p$ : même la meilleure moyenne locale reste sous contrôle (constante $O(\frac1{p-1})$ ). Les trois échouent en $p = 1$ , et pour une raison : moyenniser une unité de masse concentrée produit une queue $\frac1x$ (questions 10 et 13), et $\frac1x$ appartient à tout $L^p$ près de l’infini sauf $L^1$ . Lisser étale la masse exactement jusqu’à la frontière harmonique de l’intégrabilité.

23. Poser $b_n = a_n^{1/p}$ , donc $\sum b_n^p = \sum a_n$ . La question 8 donne

\sum_{n\geq1}\Bigl(\frac{b_1 + \dots + b_n}n\Bigr)^{p} \leq \Bigl(\frac p{p-1}\Bigr)^{p}\sum_{n\geq1}a_n,

et AM–GM borne chaque terme par en bas :

\Bigl(\frac{b_1 + \dots + b_n}n\Bigr)^{p} \geq \bigl(b_1\cdots b_n\bigr)^{p/n} = \bigl(a_1\cdots a_n\bigr)^{1/n}.

D’où $\sum(a_1\cdots a_n)^{1/n} \leq \bigl(\frac p{p-1}\bigr)^p\sum a_n$ pour tout $p > 1$ . Avec $m = p - 1$ ,

\Bigl(\frac p{p-1}\Bigr)^{p} = \Bigl(1 + \frac1m\Bigr)^{m+1},

qui décroît vers $\eu$ lorsque $m \to \infty$ (la suite monotone supérieure classique pour $\eu$ ). En prenant l’infimum sur $p$ on obtient l’inégalité de Carleman avec constante $\eu$ .

24. Pour $a_n = \frac1n$ , $(a_1\cdots a_n)^{1/n} = (n!)^{-1/n}$ . L’encadrement du Problème 11.1 donne $\sqrt{2\pi n}\,(n/\eu)^n \leq n! \leq \sqrt{2\pi n}\,(n/\eu)^n\eu^{1/(12n)}$ , donc

(n!)^{1/n} = \frac n\eu\,(2\pi n)^{1/(2n)} \eu^{O(1/n^2)} = \frac n\eu\Bigl(1 + O\Bigl(\frac{\ln n}{n}\Bigr)\Bigr),

car $(2\pi n)^{1/(2n)} = \exp\bigl(\frac{\ln(2\pi n)}{2n}\bigr)$ . En inversant, $(n!)^{-1/n} = \frac\eu n(1 + O(\frac{\ln n}n))$ , et en sommant sur $n \leq N$ :

\sum_{n\leq N}(n!)^{-1/n} = \eu\ln N + O(1), \qquad \eu\sum_{n\leq N}\frac1n = \eu\ln N + O(1)

(la série d’erreur $\sum\frac{\ln n}{n^2}$ converge). Une inégalité de Carleman de constante $c$ forcerait $\eu\ln N + O(1) \leq c\,(\ln N + O(1))$ , d’où $c \geq \eu$ en divisant par $\ln N$ . Les suites optimisantes s’alignent : la constante de Hardy est approchée par $n^{-1/p}$ (question 21), celle de Carleman par $n^{-1}$ — dans chaque cas la suite de type harmonique assise juste hors de l’espace moyenné.

25. Pour $f = \mathbf 1_{\intcc01}$ : $Hf(x) = 1$ sur $\intoc01$ et $Hf(x) = \frac1x$ pour $x > 1$ , donc $\norm{Hf}_2^2 = 1 + \int_1^\infty x^{-2}\dd x = 2$ et le rapport est $\sqrt2 \approx 1{,}414$ , environ $71\%$ de la borne optimale. Pour $f_A$ ( $p = 2$ ) : $F(x) = 2(\sqrt x - 1)$ sur $\intcc1A$ , donc sur cet intervalle $Hf_A = 2x^{-1/2} - 2x^{-1}$ et, pour $x > A$ , $Hf_A(x) = 2(\sqrt A - 1)/x$ . En élevant au carré et en intégrant,

\begin{align*} \int_1^A\bigl(2x^{-1/2} - 2x^{-1}\bigr)^2\dd x &= 4\ln A - 12 + \frac{16}{\sqrt A} - \frac4A,\\ \int_A^{\infty}\frac{4(\sqrt A - 1)^2}{x^2}\,\dd x &= 4 - \frac{8}{\sqrt A} + \frac4A, \end{align*}

d’où $\norm{Hf_A}_2^2 = 4\ln A - 8 + 8A^{-1/2}$ ; en divisant par $\norm{f_A}_2^2 = \ln A$ on obtient l’identité énoncée. En $A = \eu^{10}$ : $4 - \frac{8(1 - \eu^{-5})}{10} = 3{,}2054$ , donc le rapport est $\sqrt{3{,}2054} \approx 1{,}790 < 2$ . Le défaut $4 - \norm{Hf_A}_2^2/\norm{f_A}_2^2 \sim 8/\ln A$ ne décroît que logarithmiquement : pour atteindre le rapport $1{,}99$ il faudrait $\ln A \approx 200$ , c.-à-d. $A \approx 10^{87}$ . Les constantes optimales sont des théorèmes, pas des expériences.

12.1 Définition ; Hölder et Minkowski

12.2 Complétude et ses compagnons

12.3 Théorèmes de densité

12.4 Convolution et régularisation

12.5 La géographie LpL^pLp

12.6 Exercices

12.7 Problème : l’inégalité de Hardy

12.5 La géographie $L^p$