Qu'est-ce que « Champ de déplacement et tenseur des déformations » ? — Physique

Définition 3.1 Physique universitaire — 3e année · Chapitre 3 — Milieux continus et élasticité

Quand un solide se déforme, la particule initialement en $\vect r$ va en $\vect r + \vect u(\vect r)$ : $\vect u$ est le champ de déplacement. Pour de petites déformations, la distorsion locale est mesurée par le tenseur des déformations, le tableau symétrique

\varepsilon_{ij} = \frac12\Big( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \Big) , \qquad i, j \in \{x, y, z\} .

Une composante diagonale $\varepsilon_{xx}$ est l’allongement relatif du matériau selon $x$ (sans dimension, par exemple $10^{-3}$ pour un câble d’acier en service) ; une composante hors diagonale $\varepsilon_{xy}$ est la moitié de la fermeture de l’angle entre les directions matérielles $x$ et $y$ — un cisaillement. La trace est la variation relative de volume, la dilatation :

\frac{\delta V}{V} = \varepsilon_{xx} + \varepsilon_{yy} + \varepsilon_{zz} = \operatorname{div}\vect u .

Le tenseur des déformations ne voit que la distorsion vraie : allongement (composantes diagonales), cisaillement (composantes hors diagonale) — et pas du tout une rotation en bloc.

Exemples

Exemple 3.2 (Trois déformations élémentaires)

Dilatation uniforme $\vect u = \alpha\vect r$ : $\varepsilon_{ij} = \alpha\,\delta_{ij}$ , variation de volume $3\alpha$ , aucun cisaillement. Cisaillement simple $\vect u = (\gamma y, 0, 0)$ : $\varepsilon_{xy} = \gamma/2$ , toutes les composantes diagonales nulles — la forme change, le volume non. Rotation en bloc $\vect u = (-\omega y, \omega x, 0)$ : $\varepsilon_{ij} = 0$ identiquement — la partie antisymétrique de $\partial u_i/\partial x_j$ , éliminée par la symétrisation, est exactement celle qui fait tourner sans déformer. La déformation ne mesure que la distorsion.

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