Wat is Verplaatsingsveld en rektensor? — Natuurkunde

Definitie 3.1 Universitaire natuurkunde — jaar 3 · Hoofdstuk 3 — Continuümmechanica en elasticiteit

Vervormt een vaste stof, dan verplaatst het deeltje dat aanvankelijk in $\vect r$ zat zich naar $\vect r + \vect u(\vect r)$ : $\vect u$ is het verplaatsingsveld. Bij kleine vervormingen wordt de plaatselijke vervorming gemeten door de rektensor, het symmetrische schema

\varepsilon_{ij} = \frac12\Big( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \Big) , \qquad i, j \in \{x, y, z\} .

Een diagonaalcomponent $\varepsilon_{xx}$ is de relatieve verlenging van het materiaal langs $x$ (dimensieloos, bijvoorbeeld $10^{-3}$ voor een stalen kabel in bedrijf); een niet-diagonale component $\varepsilon_{xy}$ is de helft van de vernauwing van de hoek tussen de materiaalrichtingen $x$ en $y$ — een afschuiving. Het spoor is de relatieve volumeverandering, de volumerek:

\frac{\delta V}{V} = \varepsilon_{xx} + \varepsilon_{yy} + \varepsilon_{zz} = \operatorname{div}\vect u .

De rektensor ziet alleen werkelijke vervorming: rekken (diagonaalcomponenten), afschuiven (niet-diagonale componenten) — en een starre rotatie in het geheel niet.

Voorbeelden

Voorbeeld 3.2 (Drie elementaire vervormingen)

Uniforme uitzetting $\vect u = \alpha\vect r$ : $\varepsilon_{ij} = \alpha\,\delta_{ij}$ , volumeverandering $3\alpha$ , geen afschuiving. Zuivere afschuiving $\vect u = (\gamma y, 0, 0)$ : $\varepsilon_{xy} = \gamma/2$ , alle diagonaalcomponenten nul — de vorm verandert, het volume niet. Starre rotatie $\vect u = (-\omega y, \omega x, 0)$ : $\varepsilon_{ij} = 0$ identiek — het antisymmetrische deel van $\partial u_i/\partial x_j$ , dat de symmetrisatie weggooit, is precies het deel dat draait zonder te vervormen. De rek meet uitsluitend vervorming.

Lees in het hoofdstuk →