¿Qué es Campo de desplazamientos y tensor de deformaciones? — Física

Definición 3.1 Física universitaria — tercer año · Capítulo 3 — Mecánica de medios continuos y elasticidad

Cuando un sólido se deforma, la partícula que estaba inicialmente en $\vect r$ pasa a $\vect r + \vect u(\vect r)$ : $\vect u$ es el campo de desplazamientos. Para deformaciones pequeñas, la distorsión local se mide con el tensor de deformaciones, la matriz simétrica

\varepsilon_{ij} = \frac12\Big( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \Big) , \qquad i, j \in \{x, y, z\} .

Una componente diagonal $\varepsilon_{xx}$ es el alargamiento relativo del material en la dirección $x$ (adimensional; por ejemplo $10^{-3}$ para un cable de acero en servicio); una componente no diagonal $\varepsilon_{xy}$ es la mitad del cierre del ángulo entre las direcciones materiales $x$ e $y$ — una cizalladura. La traza es la variación relativa de volumen, la dilatación cúbica:

\frac{\delta V}{V} = \varepsilon_{xx} + \varepsilon_{yy} + \varepsilon_{zz} = \operatorname{div}\vect u .

El tensor de deformaciones solo ve la deformación verdadera: el estiramiento (componentes diagonales), la cizalladura (componentes no diagonales) — y una rotación rígida, en absoluto.

Ejemplos

Ejemplo 3.2 (Tres deformaciones elementales)

Dilatación uniforme $\vect u = \alpha\vect r$ : $\varepsilon_{ij} = \alpha\,\delta_{ij}$ , variación de volumen $3\alpha$ , sin cizalladura. Cizalladura simple $\vect u = (\gamma y, 0, 0)$ : $\varepsilon_{xy} = \gamma/2$ y todas las componentes diagonales nulas — la forma cambia, el volumen no. Rotación rígida $\vect u = (-\omega y, \omega x, 0)$ : $\varepsilon_{ij} = 0$ idénticamente — la parte antisimétrica de $\partial u_i/\partial x_j$ , que la simetrización descarta, es precisamente la que gira sin deformar. La deformación mide solo el cambio de forma.

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