O que é Campo de deslocamentos e tensor de deformações? — Física

Definição 3.1 Física universitária — 3.º ano · Capítulo 3 — Mecânica dos meios contínuos e elasticidade

Quando um sólido se deforma, a partícula inicialmente em $\vect r$ vai para $\vect r + \vect u(\vect r)$ : $\vect u$ é o campo de deslocamentos. Para pequenas deformações, a distorção local é medida pelo tensor de deformações, o arranjo simétrico

\varepsilon_{ij} = \frac12\Big( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \Big) , \qquad i, j \in \{x, y, z\} .

Uma componente diagonal $\varepsilon_{xx}$ é o alongamento relativo do material ao longo de $x$ (adimensional; por exemplo, $10^{-3}$ para um cabo de aço em serviço); uma componente fora da diagonal $\varepsilon_{xy}$ é a metade do fechamento do ângulo entre as direções materiais $x$ e $y$ — um cisalhamento. O traço é a variação relativa de volume, a dilatação:

\frac{\delta V}{V} = \varepsilon_{xx} + \varepsilon_{yy} + \varepsilon_{zz} = \operatorname{div}\vect u .

O tensor de deformações vê apenas a distorção verdadeira: alongamento (componentes diagonais), cisalhamento (componentes fora da diagonal) — e uma rotação rígida, de modo algum.

Exemplos

Exemplo 3.2 (Três deformações elementares)

Dilatação uniforme $\vect u = \alpha\vect r$ : $\varepsilon_{ij} = \alpha\,\delta_{ij}$ , variação de volume $3\alpha$ , sem cisalhamento. Cisalhamento simples $\vect u = (\gamma y, 0, 0)$ : $\varepsilon_{xy} = \gamma/2$ , todas as componentes diagonais nulas — a forma muda, o volume não. Rotação rígida $\vect u = (-\omega y, \omega x, 0)$ : $\varepsilon_{ij} = 0$ identicamente — a parte antissimétrica de $\partial u_i/\partial x_j$ , descartada pela simetrização, é exatamente a parte que gira sem deformar. A deformação mede apenas a distorção.

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