निरपेक्ष अभिसरण बानाख समष्टि में কী?

उदाहरण 7.2

$\mathcal{M}_n(K)$ में (अथवा $\mathcal{L}_c(E)$ में, जहाँ $E$ बानाख है): $\vertiii A < 1$ के लिए नॉयमान श्रेणी $\sum A^k$ निरपेक्ष रूप से $(I - A)^{-1}$ पर अभिसरित होती है (जो अभ्यास 5.5 में सिद्ध की गई है); और प्रत्येक $A$ के लिए $\sum \frac{A^k}{k!}$ निरपेक्ष रूप से $\eu^A$ पर (उदाहरण 5.22)। संकारक-मान वाली गुणोत्तर और घातांकी श्रेणियाँ अपने अदिश नमूनों की तरह व्यवहार करती हैं — और बानाख ढाँचे का पूरा उद्देश्य यही है।

उदाहरण 7.4

$\sum \frac{\sin n}{n}$ अभिसरित होती है: $a_n = \frac1n \downarrow 0$ और $B_n = \sum_{k=1}^{n} \sin k$ परिबद्ध है — वास्तव में $B_n = \Im\sum_{k \leq n} \eu^{\iu k} = \Im\,\frac{\eu^{\iu}(\eu^{\iu n} - 1)}{\eu^{\iu} - 1}$, जिसका मापांक $\leq \frac{2}{\abs{\eu^{\iu} - 1}}$ है। वह निरपेक्ष रूप से अभिसरित नहीं होती ($\abs{\sin n} \geq \sin^2 n = \frac{1 - \cos 2n}{2}$, और $\sum \frac{1 - \cos 2n}{2n}$ अपसरित होती है क्योंकि उसी आबेल जाँच से $\sum \frac{\cos 2n}{n}$ अभिसरित होती है जबकि $\sum \frac{1}{2n}$ अपसरित)। एकांतर श्रेणी की जाँच $b_n = (-1)^n$ वाली विशेष स्थिति है।

उदाहरण 7.5 (अभिसरण वृत्त पर आबेल)

$\abs z = 1$ वाले किन सम्मिश्र $z$ के लिए $\sum_{n \geq 1} \frac{z^n}{n}$ अभिसरित होती है? $z = 1$ पर वह हरात्मक श्रेणी है: अपसारी। और वृत्त पर $z \neq 1$ के लिए आबेल की जाँच $a_n = \frac1n \downarrow 0$ तथा $b_n = z^n$ के साथ लागू होती है, जिसके आंशिक योग $N$ से स्वतंत्र रूप से परिबद्ध हैं:

अतः अभिसारी — यद्यपि निरपेक्ष रूप से कभी नहीं ($\sum\frac1n$)। एक ही श्रेणी, और व्यवहारों का पूरा वृत्त: एक ही बिंदु पर अपसरण, और अन्यत्र सर्वत्र अर्ध-अभिसरण। यह घात श्रेणियों का मानक सीमा-व्यवहार है (अध्याय 11), जो यहाँ नंगे हाथों मिल गया; $z = -1$ पर उससे एकांतर हरात्मक श्रेणी पुनः मिलती है, और $z = \eu^{\iu\theta}$ पर उसके वास्तविक तथा काल्पनिक भाग अभ्यास 7.4 की श्रेणियाँ $\sum\frac{\cos n\theta}{n}$ और $\sum\frac{\sin n\theta}{n}$ हैं।