विश्वविद्यालय गणित — स्नातक वर्ष 2 · Graduação — Ano 2

12द्विघात रूप

कोई द्विघात रूप किसी ज्यामिति की बीजगणितीय परछाईं है: चिह्नांक के शून्य भाग चपटा कर देते हैं, धनात्मक भाग एक ओर मोड़ते हैं और ऋणात्मक दूसरी ओर। यह अध्याय हर वास्तविक द्विघात रूप को $\pm$ वर्गों के योग तक घटा देता है (गाउस), सिद्ध करता है कि चिह्नों की गिनती अंतर्निहित है (सिल्वेस्टर), और फिर यूक्लिडीय ज्यामिति पर वर्णक्रमीय प्रमेय का मुकुट रखता है: सममित अंतःरूपांतरण प्रसामान्य लांबिक आधारों में विकर्णनीय होते हैं — अनुप्रयुक्त रैखिक बीजगणित की सबसे अधिक काम आने वाली अकेली प्रमेय।

12.1 द्विरैखिक और द्विघात रूप

परिभाषा 12.1

किसी वास्तविक सदिश समष्टि $E$ पर सममित द्विरैखिक रूप ऐसा द्विरैखिक $\varphi \colon E \times E \to \R$ है जिसके लिए $\varphi(x, y) = \varphi(y, x)$ ; और उससे जुड़ा द्विघात रूप $q(x) = \varphi(x, x)$ है। $q$ से $\varphi$ ध्रुवण द्वारा पुनः प्राप्त होता है:

\varphi(x, y) = \tfrac12\bigl(q(x + y) - q(x) - q(y)\bigr).

किसी आधार $(e_i)$ में $\varphi$ का आव्यूह सममित $B = (\varphi(e_i, e_j))$ है, जहाँ $q(x) = X^{\mathsf T} B X$ ; और आव्यूह $P$ वाले आधार-परिवर्तन से $B$ के स्थान पर $P^{\mathsf T} B P$ आ जाता है (सर्वांगसमता — सादृश्यता नहीं!)। $q$ की कोटि $\operatorname{rk} B$ है (जो अपरिवर्त्य है: सर्वांगसमता प्रतिलोमनीय आव्यूहों से गुणा करती है)।

उदाहरण 12.2

$\R^2$ पर: $q(x, y) = x^2 + 4xy + y^2$ का आव्यूह $\begin{pmatrix} 1 & 2\\ 2 & 1\end{pmatrix}$ है। कोई अंतर्गुणन ठीक वही सममित द्विरैखिक रूप है जिसका द्विघात रूप धनात्मक निश्चित हो; और यह अध्याय सामान्य, चिह्न-अनिश्चित स्थिति का अध्ययन करता है।

उदाहरण 12.3 (सर्वांगसमता क्रिया में)

$q(x, y) = x^2 + 4xy + y^2$ (आव्यूह $B = \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 2 & 1\end{pmatrix}$ ) और नया आधार $e_1' = (1, 1)$ , $e_2' = (1, -1)$ लीजिए, अर्थात् $P = \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & -1\end{pmatrix}$ । तब

P^{\mathsf T}BP = \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & -1\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 2 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & -1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 0\\ 0 & -2\end{pmatrix} :

और नए आधार के अनुदिश निर्देशांकों $(u, v)$ में $q = 6u^2 - 2v^2$ — जाँचिए: $x = u + v$ , $y = u - v$ सीधे $x^2 + 4xy + y^2 = 6u^2 - 2v^2$ देता है। ध्यान दीजिए कि नई विकर्ण प्रविष्टियाँ $6, -2$ $B$ के अभिलक्षणिक मान $3, -1$ नहीं हैं: सर्वांगसमता मापन बदल देती है, केवल सादृश्यता वर्णक्रम सुरक्षित रखती है — परंतु चिह्न मेल खाते हैं, जैसा सिल्वेस्टर की प्रमेय माँगती है। (यहाँ आधार लांबिक तो है पर प्रसामान्य नहीं; $\frac{1}{\sqrt2}$ से उसे सामान्यीकृत करने पर विकर्ण $2$ से विभाजित हो जाता और अभिलक्षणिक मान लौट आते।)

उदाहरण 12.4 (ग्राम सारणिक क्षेत्रफल मापते हैं)

किसी यूक्लिडीय समष्टि में $v_1, v_2$ के लिए ग्राम आव्यूह $G = \bigl(\langle v_i, v_j\rangle\bigr)$ लंबाइयाँ और कोण समेट लेता है; और उसका सारणिक क्षेत्रफल समेटता है:

\det G = \norm{v_1}^2\norm{v_2}^2 - \langle v_1, v_2\rangle^2 = \norm{v_1}^2\norm{v_2}^2\bigl(1 - \cos^2\theta\bigr) = \bigl(\norm{v_1}\,\norm{v_2}\sin\theta\bigr)^2 ,

अर्थात् $v_1, v_2$ पर बने समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल का वर्ग — और कोशी–श्वार्ज़ ठीक यही कथन है कि $\det G \geq 0$ । किया हुआ उदाहरण: $\R^3$ में $v_1 = (1, 2, 2)$ , $v_2 = (2, 1, -2)$ :

G = \begin{pmatrix} 9 & 0\\ 0 & 9 \end{pmatrix}, \qquad \det G = 81 :

अर्थात् सदिश लंबाई $3$ के लांबिक सदिश हैं, जो क्षेत्रफल $\sqrt{81} = 9$ वाला समांतर चतुर्भुज (यहाँ वर्ग) घेरते हैं। समापन दृष्टि: यहाँ न कोई सदिश गुणनफल प्रयुक्त हुआ न विमा- $3$ वाला कोई जादू — $\sqrt{\det G}$ किसी भी विमा में $k$ -विमीय आयतन मापता है, और यही सप्ताहांत समस्या के भाग I का तथा इसी खंड के आगे आने वाले पृष्ठ-क्षेत्रफल समाकलों का आरंभ-बिंदु है।

12.2 गाउस समानयन और सिल्वेस्टर का जड़त्व

प्रमेय 12.5 (गाउस समानयन)

किसी परिमित-विमीय वास्तविक समष्टि पर हर द्विघात रूप $q$ इस रूप में लिखा जा सकता है

q = \sum_{i=1}^{s} \ell_i^2 - \sum_{j=1}^{t} m_j^2 ,

जहाँ $\ell_1, \dots, \ell_s, m_1, \dots, m_t$ रैखिकतः स्वतंत्र रैखिक फलनिक हैं; और समतुल्य रूप से, किसी आधार में $q$ का आव्यूह विकर्ण हो जाता है जिसकी प्रविष्टियाँ $+1$ ( $s$ बार), $-1$ ( $t$ बार), $0$ होती हैं।

उपपत्ति. चरों की संख्या पर आगमन, निर्देशांकों में: $q(x_1, \dots, x_n)$ ।

स्थिति 1: कोई वर्ग उपस्थित है, मान लीजिए $x_1^2$ का गुणांक $a$ अशून्य है। सारे $x_1$ -पद इकट्ठे कीजिए और वर्ग पूरा कीजिए:

q = a\Bigl(x_1 + \frac{1}{a}\,\lambda(x_2, \dots, x_n)\Bigr)^{\!2} + q_1(x_2, \dots, x_n),

जहाँ $\lambda$ रैखिक है और $q_1$ शेष चरों में द्विघात: अर्थात् एक स्वतंत्र फलनिक अलग हो गया (उसमें $x_1$ है, बाक़ी में नहीं), $q_1$ पर आगमन लागू होता है, और $\pm$ चिह्न $\sqrt{\abs a}$ से मापन बदलने के बाद $a$ के चिह्न से आते हैं।

स्थिति 2: कोई वर्ग नहीं, पर कोई क्रॉस पद है, मान लीजिए $b \neq 0$ के साथ $b\,x_1x_2$ । सर्वसमिका

x_1x_2 = \tfrac14\bigl((x_1 + x_2)^2 - (x_1 - x_2)^2\bigr)

का उपयोग कीजिए: इकट्ठा करने के बाद $q = b\,x_1x_2 + x_1\alpha + x_2\beta + q_2$ लिखने पर (जहाँ $\alpha, \beta, q_2$ शेष चरों में है), जाँचा जा सकता है कि

q = \frac{b}{4}\Bigl[\Bigl(x_1 + x_2 + \frac{\alpha + \beta}{b}\Bigr)^{2} - \Bigl(x_1 - x_2 + \frac{\beta - \alpha}{b}\Bigr)^{2}\Bigr] + \widetilde q ,

जहाँ $\widetilde q$ $x_1, x_2$ से मुक्त है: अर्थात् दो स्वतंत्र फलनिक अलग हो गए, और आगमन काम पूरा कर देता है।

इकट्ठे किए गए फलनिकों की स्वतंत्रता: बैचों को उसी क्रम में लगाइए जिसमें वे बने। पहले बैच के फलनिकों में $x_1$ होता है (स्थिति 1) अथवा $x_1, x_2$ (स्थिति 2); और बाद के सारे फलनिक उन चरों से मुक्त होते हैं। मान लीजिए सभी इकट्ठे फलनिकों का कोई रैखिक संचय लुप्त हो जाता है। $x_1$ (और $x_2$ ) का गुणांक पढ़िए: केवल पहला बैच योगदान देता है, और उस बैच के भीतर एक या दो फलनिक स्पष्टतः स्वतंत्र हैं (अकेला $\ell$ ; अथवा स्वतंत्र $\ell, m$ के साथ $\ell \pm m$ ): अतः पहले बैच के गुणांक लुप्त हैं। बैच हटाइए और दोहराइए: बैचों पर आगमन से सारे गुणांक लुप्त हो जाते हैं — अर्थात् पूरा कुल स्वतंत्र है, और यह त्रिभुजता को स्पष्ट कर देना ही है। ∎

प्रमेय 12.6 (सिल्वेस्टर का जड़त्व नियम)

प्रमेय 12.5 में युग्म $(s, t)$ केवल $q$ पर निर्भर करता है, समानयन पर नहीं: वही $q$ का चिह्नांक है। इसके अतिरिक्त

s = \max\{\dim F : q|_F \text{ धनात्मक निश्चित}\},

और $t$ के लिए सममित रूप से।

उपपत्ति. मान लीजिए $q = \sum_{i \leq s}\ell_i^2 - \sum_{j\leq t} m_j^2$ , और $F_+$ उन (पूर्व-)द्वैत सदिशों का विस्तार है जिन पर $(\ell_i)$ निर्देशांकों तक सिमट जाते हैं — मूर्त रूप में: स्वतंत्र कुल $(\ell_1, \dots, \ell_s, m_1, \dots, m_t)$ को द्वैत $E^*$ के आधार तक पूरा कीजिए, और $(u_1, \dots, u_n)$ उस $E$ का वह आधार हो जिसके निर्देशांक फलनिक यही हैं (पूर्व-द्वैत आधार: $k \leq s$ के लिए $\ell_i(u_k) = \delta_{ik}$ , और बाद के फलनिक पहले वाले सदिशों पर लुप्त होते हैं)। $F_+ = \operatorname{Vect}(u_1, \dots, u_s)$ रखिए: $x = \sum_{i\leq s}x_iu_i \in F_+$ के लिए

\ell_i(x) = x_i, \qquad m_j(x) = 0, \qquad\text{अतः}\qquad q(x) = \sum_{i\leq s}x_i^2 > 0 \quad (x \neq 0) :

अर्थात् $q|_{F_+}$ धनात्मक निश्चित है और प्रदर्शन का महत्तम $\geq s$ है। विलोमतः मान लीजिए $F$ कोई ऐसी उपसमष्टि है जिस पर $q|_F$ धनात्मक निश्चित है, और $G = \{x : \ell_1(x) = \dots = \ell_s(x) = 0\}$ सहविमा $\leq s$ का है; $G$ पर $q(x) = -\sum m_j^2 \leq 0$ । तब $F \cap G = \{0\}$ (वहाँ कोई अशून्य सदिश $q > 0$ और $q \leq 0$ दोनों देता), अतः $\dim F \leq \dim E - \dim G \leq s$ । इसलिए महत्तम प्रत्येक समानयन के लिए $s$ के बराबर है: अर्थात् $s$ अंतर्निहित है, और $t = \operatorname{rk} q - s$ भी। ∎

उदाहरण 12.7

$q(x, y, z) = xy + yz + zx$ (कोई वर्ग नहीं)। $x_1 = x$ , $x_2 = y$ के साथ: $q = xy + z(x + y)$ , और दो-वर्ग वाली सर्वसमिका देती है

q = \tfrac14(x + y + 2z)^2 - \tfrac14(x - y)^2 - z^2 ,

(खोलकर जाँच लीजिए)। तीन स्वतंत्र फलनिक: अतः चिह्नांक $(1, 2)$ , कोटि $3$ । एक धनात्मक दिशा, दो ऋणात्मक: इस रूप की “प्रकाश-शंकु” वाली ज्यामिति।

उदाहरण 12.8 (एक अपभ्रष्ट रूप, पूरा समानीत)

$\R^3$ पर $q(x, y, z) = xy + yz$ : कोई वर्ग नहीं, अतः समूहन $q = y(x + z)$ के साथ स्थिति 2। स्वतंत्र फलनिकों $y$ और $x + z$ के गुणनफल पर दो-वर्ग वाली सर्वसमिका:

q = \frac14\bigl(y + x + z\bigr)^2 - \frac14\bigl(y - x - z\bigr)^2 .

दोनों रैखिक फलनिक $y + x + z$ और $y - x - z$ स्वतंत्र हैं (उनका अंतर $2(x+z)$ है, योग $2y$ ), अतः सिल्वेस्टर पढ़ लेती है: चिह्नांक $(1, 1)$ , कोटि $2$ — अर्थात् अपभ्रष्ट। ध्रुवी रूप का केंद्रक $\varphi(v, \cdot) = 0$ हल करने से मिलता है: आव्यूह $\frac12\begin{pmatrix} 0&1&0\\ 1&0&1\\ 0&1&0\end{pmatrix}$ के साथ केंद्रक $\{y = 0,\ x + z = 0\} = \R\,(1, 0, -1)$ है, अर्थात् वह दिशा जिसके अनुदिश $q$ कुछ नहीं देखता। समापन दृष्टि: कोटि की कमी गाउस में “चर चुक जाने” के रूप में दिखती है — समानयन ने तीन विमाओं में से केवल दो वर्ग बनाए, और छूटी हुई विमा ठीक वही केंद्रक है।

उदाहरण 12.9 (एक ही रूप, चिह्नांक तक दो रास्ते)

$q(x, y, z) = 2x^2 + 2y^2 + 2z^2 + 2xy + 2yz$ , आव्यूह $\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0\\ 1 & 2 & 1\\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}$ । रास्ता 1, गाउस: क्रम से वर्ग पूरे कीजिए,

q = 2\Bigl(x + \frac y2\Bigr)^{\!2} + \frac32 y^2 + 2yz + 2z^2 = 2\Bigl(x + \frac y2\Bigr)^{\!2} + \frac32\Bigl(y + \frac{2z}{3}\Bigr)^{\!2} + \frac43 z^2 :

अर्थात् स्वतंत्र फलनिकों पर तीन धनात्मक वर्ग, चिह्नांक $(3, 0)$ : यानी धनात्मक निश्चित। रास्ता 2, अभिलक्षणिक मान: आव्यूह त्रिविकर्णी $2I + N$ है जहाँ $N$ पड़ोसी आव्यूह है; उसके अभिलक्षणिक मान $2 + \sqrt2$ , $2$ , $2 - \sqrt2$ हैं (अभिलक्षणिक सदिश $(1, \pm\sqrt2, 1)$ और $(1, 0, -1)$ जाँच लीजिए), और सब धनात्मक: अतः उपप्रमेय 12.15 के अनुसार वही निर्णय। गाउस तेज़ है; अभिलक्षणिक मान अधिक बताते हैं (वे मुख्य अक्ष और गोलक पर $q$ के चरम मान देते हैं)। समापन दृष्टि: गाउस के धनात्मक धुरी-अंक $2, \frac32, \frac43$ ठीक अग्र मुख्य उपसारणिकों के अनुपात $\frac{\Delta_k}{\Delta_{k-1}}$ हैं ( $\Delta_1 = 2$ , $\Delta_2 = 3$ , $\Delta_3 = 4$ ) — और सप्ताहांत समस्या इसे सामान्य रूप में सिद्ध करती है।

विधि 12.10 (चिह्नांक परिकलित करना: तीन रास्ते)

गाउस (सदा काम करता है, हाथ से सबसे तेज़): क्रम से वर्ग पूरे कीजिए, और जब कोई वर्ग उपलब्ध न हो तब स्थिति 2; फिर चिह्न गिनिए। जाँच लीजिए कि इकट्ठे किए गए रैखिक फलनिक स्वतंत्र हैं — चरों से कम फलनिक होने का अर्थ है कोई केंद्रक (उदाहरण 12.8)।
अग्र उपसारणिक (निश्चितता की जाँच के लिए): धनात्मक निश्चित तभी जब सभी $\Delta_k > 0$ (अभ्यास 12.8); और धुरी-अंक $\Delta_k/\Delta_{k-1}$ तो गाउस के गुणांक तक दे देते हैं (सप्ताहांत समस्या)। किसी $\Delta_k = 0$ होने पर यह चुपचाप विफल हो जाता है: तब रास्ता 1 पर लौटिए।
अभिलक्षणिक मान (सबसे सूचनाप्रद, सबसे महँगा): वर्णक्रम के चिह्न (उपप्रमेय 12.15); और साथ में मुख्य अक्ष तथा इकाई गोलक पर $q$ के चरम मान भी। जब अभिलक्षणिक संरचना वैसे भी चाहिए, तब इसे ही चुनिए।

12.3 वर्णक्रमीय प्रमेय

अब मान लीजिए $E$ यूक्लिडीय है (अंतर्गुणन $\langle\cdot,\cdot\rangle$ , प्रथम वर्ष का खंड)।

परिभाषा 12.11 (सहसंलग्न; सममित अंतःरूपांतरण)

$u \in \mathcal{L}(E)$ के लिए सहसंलग्न $u^*$ वह अद्वितीय अंतःरूपांतरण है जिसके लिए

\langle u(x), y\rangle = \langle x, u^*(y)\rangle \qquad (x, y \in E);

और किसी प्रसामान्य लांबिक आधार में $\operatorname{Mat}(u^*) = \operatorname{Mat}(u)^{\mathsf T}$ । $u$ सममित (स्वसंलग्न) कहलाता है जब $u^* = u$ — समतुल्य रूप से, जब किसी प्रसामान्य लांबिक आधार में उसका आव्यूह सममित हो।

सहसंलग्न का अस्तित्व और अद्वितीयता. स्थिर $y$ के लिए रूप $x \mapsto \langle u(x), y\rangle$ रैखिक है, अतः (परिमित विमा में) वह किसी अद्वितीय $z_y$ के लिए $\langle x, z_y\rangle$ के आकार का है — और अद्वितीयता से प्रतिचित्रण $y \mapsto z_y =: u^*(y)$ रैखिक है। आव्यूह की पहचान: $\langle u(e_i), e_j\rangle$ को दोनों ओर से पढ़िए। ∎

उदाहरण 12.12 (सहसंलग्न अंतर्गुणन पर निर्भर करता है)

$\R^2$ पर भारित अंतर्गुणन $\langle x, y\rangle_D = x_1y_1 + 2x_2y_2$ (आव्यूह $D = \operatorname{diag}(1,2)$ ) लीजिए और विहित आधार में आव्यूह $A = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0\end{pmatrix}$ वाला $u$ । $\langle u(x), y\rangle_D = (Ax)^{\mathsf T}Dy = x^{\mathsf T}(A^{\mathsf T}D)y$ तथा $\langle x, u^*(y)\rangle_D = x^{\mathsf T}(DA^*)y$ से सहसंलग्न का आव्यूह

A^* = D^{-1}A^{\mathsf T}D = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & \tfrac12\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0\\ 1 & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0\\ \tfrac12 & 0\end{pmatrix} \neq A^{\mathsf T} .

है। $x = (1,0)$ , $y = (0,1)$ पर तर्कसंगति की जाँच:

\langle u(x), y\rangle_D = \langle (0,0), y\rangle_D = 0, \quad \langle x, u^*(y)\rangle_D = \langle(1,0), (0,\tfrac12)\rangle_D = 0 ;

और $x = (0,1)$ , $y = (1,0)$ पर:

\langle u(x), y\rangle_D = \langle(1,0),(1,0)\rangle_D = 1, \quad \langle x, u^*(y)\rangle_D = \langle(0,1),(0,\tfrac12)\rangle_D = 1 .

समापन दृष्टि: “ $\operatorname{Mat}(u^*) = \operatorname{Mat}(u)^{\mathsf T}$ ” केवल प्रसामान्य लांबिक आधारों के बारे में कथन है; सामान्यतः मापक $D$ बीच में आ जाता है, ठीक वैसे ही जैसे सप्ताहांत समस्या के युगपत समानयन में।

प्रमेय 12.13 (वर्णक्रमीय प्रमेय)

मान लीजिए $u$ किसी यूक्लिडीय समष्टि $E$ का सममित अंतःरूपांतरण है। तब $E$ में $u$ के अभिलक्षणिक सदिशों का कोई प्रसामान्य लांबिक आधार है; सभी अभिलक्षणिक मान वास्तविक हैं, और भिन्न अभिलक्षणिक मानों की अभिलक्षणिक समष्टियाँ लांबिक होती हैं। आव्यूह रूप: प्रत्येक वास्तविक सममित आव्यूह $A$ इस रूप में लिखा जाता है

A = P\,D\,P^{\mathsf T}, \qquad P \text{ लांबिक } (P^{\mathsf T} P = I),\ D \text{ विकर्ण}.

उपपत्ति. कोई अभिलक्षणिक सदिश विद्यमान है। फलन $x \mapsto \langle u(x), x\rangle$ $E$ के इकाई गोलक $S$ पर संतत है, और वह संहत है (परिमित विमा, प्रमेय 5.13): अतः वह किसी $a \in S$ पर अपना महत्तम $\lambda$ प्राप्त कर लेता है। हमारा दावा है कि $u(a) = \lambda a$ । $\norm y = 1$ तथा $t \in \R$ वाले किसी भी $y \perp a$ के लिए सदिश $x_t = \frac{a + ty}{\sqrt{1 + t^2}}$ $S$ पर पड़ता है (पाइथागोरस से $\norm{a + ty}^2 = 1 + t^2$ ); और महत्तम किए गए फलन को खोलने पर

g(t) = \langle u(x_t), x_t\rangle = \frac{\langle u(a), a\rangle + 2t\langle u(a), y\rangle + t^2\langle u(y), y\rangle}{1 + t^2}

( $u$ की सममितता ने दोनों क्रॉस पदों को मिला दिया: $\langle u(a), y\rangle = \langle a, u(y)\rangle = \langle u(y), a\rangle$ )। $g$ $t$ का अवकलनीय फलन है जिसका महत्तम $t = 0$ पर है; और $0$ पर भागफल नियम देता है

g'(0) = \frac{2\langle u(a), y\rangle\cdot 1 - \langle u(a), a\rangle\cdot 0}{1} = 2\langle u(a), y\rangle = 0 .

अतः $u(a)$ पूरे अधिसमतल $a^\perp$ के लांबिक है: $u(a) \in (a^{\perp})^{\perp} = \R a$ , अर्थात् $u(a) = \mu a$ ; और $\mu = \langle u(a), a\rangle = \lambda$ ।

आगमन। लांबिक पूरक $F = a^\perp$ $u$ -स्थायी है: $x \perp a$ के लिए $\langle u(x), a\rangle = \langle x, u(a)\rangle = \lambda\langle x, a\rangle = 0$ । प्रतिबंधन $u|_F$ प्रेरित अंतर्गुणन के लिए सममित है; अतः विमा पर आगमन से $F$ का कोई प्रसामान्य लांबिक अभिलक्षणिक आधार है; उसके आगे $a$ लगा दीजिए।

पूरक बातें। अभिलक्षणिक मान अभिलक्षणिक आधार पर वास्तविक संख्याएँ $\langle u(e), e\rangle$ हैं। अभिलक्षणिक समष्टियों की लांबिकता: $u(x) = \lambda x$ , $u(y) = \mu y$ से $\lambda\langle x, y\rangle = \langle u(x), y\rangle = \langle x, u(y)\rangle = \mu\langle x, y\rangle$ मिलता है, अतः $\lambda \neq \mu$ होने पर $\langle x, y\rangle = 0$ । आव्यूह रूप: $P$ के स्तंभ = वही प्रसामान्य लांबिक अभिलक्षणिक आधार। ∎

उदाहरण 12.14 (एक पूरा वर्णक्रमीय अभ्यास)

$A = \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 2 & 1\end{pmatrix}$ का लांबिक विकर्णन कीजिए। अभिलक्षणिक बहुपद $(1 - \lambda)^2 - 4$ : अभिलक्षणिक मान $3$ और $-1$ । अभिलक्षणिक सदिश: $(A - 3I)v = 0$ $v_1 = \frac{1}{\sqrt2}(1,1)$ देता है; $(A + I)v = 0$ $v_2 = \frac{1}{\sqrt2}(1,-1)$ देता है — और वे लांबिक हैं, जैसा प्रमेय 12.13 बिना किसी परिकलन के गारंटी देती है। $P = (v_1\ v_2)$ के साथ ( $\frac\pi4$ का घूर्णन):

P^{\mathsf T}AP = \begin{pmatrix} 3 & 0\\ 0 & -1 \end{pmatrix}, \qquad x^2 + 4xy + y^2 = 3u^2 - v^2 \quad\text{घूर्णित निर्देश-तंत्र में} .

अतः अभ्यास 12.1 का रूप अतिपरवलय-प्रकार का है: चिह्नांक $(1,1)$ , जो उसके गाउस समानयन $(x + 2y)^2 - 3y^2$ के अनुरूप है — भिन्न वर्ग, वही चिह्नांक, जैसा सिल्वेस्टर माँगती है। समापन दृष्टि: गाउस ने उत्तर तेज़ी से दिया, पर वर्णक्रमीय रास्ता यह भी बताता है कि इकाई वृत्त पर $q$ ठीक $\intcc{-1}{3}$ में घूमता है, और वह $v_2$ तथा $v_1$ के अनुदिश प्राप्त होता है: अतिरिक्त श्रम ज्यामिति ख़रीद लेता है।

उपप्रमेय 12.15 (मुख्य अक्ष; धनात्मकता की जाँचें)

किसी यूक्लिडीय समष्टि पर हर द्विघात रूप $q$ किसी प्रसामान्य लांबिक आधार में विकर्णित हो जाता है: $q(x) = \sum_i \lambda_i x_i^2$ , जहाँ $\lambda_i$ $q$ के सममित आव्यूह के अभिलक्षणिक मान हैं; और चिह्नांक धनात्मक तथा ऋणात्मक अभिलक्षणिक मान गिनता है।
कोई सममित आव्यूह धनात्मक अर्धनिश्चित (अथवा निश्चित) है यदि और केवल यदि उसके सारे अभिलक्षणिक मान $\geq 0$ (अथवा $> 0$ ) हों; और तब रैले भागफल के चरम मान

$\min_{\norm x = 1} \langle Ax, x\rangle = \lambda_{\min}, \qquad \max_{\norm x = 1} \langle Ax, x\rangle = \lambda_{\max} .$

होते हैं।

उपपत्ति. (1) $q(x) = \langle A x, x\rangle$ लिखिए, जहाँ $A$ सममित है ( $q$ का किसी प्रसामान्य लांबिक आधार में आव्यूह); और वर्णक्रमीय प्रमेय से $A$ का विकर्णन कीजिए: प्रसामान्य लांबिक अभिलक्षणिक आधार में $x = \sum x_ie_i$ के लिए

q(x) = \Bigl\langle \sum_i \lambda_ix_ie_i,\ \sum_j x_je_j\Bigr\rangle = \sum_i \lambda_i x_i^2

(प्रसामान्य लांबिकता क्रॉस पद मार देती है)। $\lambda_i$ के $\pm$ चिह्न सिल्वेस्टर से चिह्नांक गिन लेते हैं: हर निर्देशांक का $\sqrt{\abs{\lambda_i}}$ से मापन बदलने पर स्वतंत्र फलनिकों वाला कोई गाउस समानयन दिख जाता है।

(2) अभिलक्षणिक आधार में $\langle Ax, x\rangle = \sum \lambda_i x_i^2$ , जो $\lambda_{\min}\norm x^2$ और $\lambda_{\max}\norm x^2$ के बीच फँसा है, और संगत अभिलक्षणिक सदिशों पर समता है; अतः सारे अभिलक्षणिक मानों की धनात्मकता रूप की धनात्मकता के तुल्य है। ∎

उदाहरण 12.16

$A = \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ : अभिलक्षणिक मान $3$ (अभिलक्षणिक सदिश $\frac{1}{\sqrt2}(1,1)$ ) और $1$ ( $\frac{1}{\sqrt2}(1,-1)$ )। द्विघात रूप $2x^2 + 2xy + 2y^2$ घूर्णित प्रसामान्य लांबिक निर्देश-तंत्र में $3X^2 + Y^2$ बन जाता है: अर्थात् किसी दीर्घवृत्त के मुख्य अक्ष, परिकलित। गाउस समानयन भी किसी विकर्ण रूप तक पहुँच जाता है, पर वर्णक्रमीय प्रमेय ही उस तक लंबाइयाँ विकृत किए बिना पहुँचती है।

उदाहरण 12.17 (एक दीर्घवृत्त, पूरी तरह पहचाना हुआ)

$5x^2 + 4xy + 2y^2 = 6$ कौन-सा वक्र है? आव्यूह $\begin{pmatrix} 5 & 2\\ 2 & 2\end{pmatrix}$ का अभिलक्षणिक बहुपद $\lambda^2 - 7\lambda + 6 = (\lambda - 1)(\lambda - 6)$ है: अभिलक्षणिक मान $1$ और $6$ , दोनों धनात्मक — अर्थात् दीर्घवृत्त। प्रसामान्य लांबिक अभिलक्षणिक सदिश: $\lambda = 1$ के लिए $\begin{pmatrix} 4 & 2\\ 2 & 1\end{pmatrix}v = 0$ हल कीजिए: $v_1 = \frac{1}{\sqrt5}(1, -2)$ ; और $\lambda = 6$ के लिए: $v_2 = \frac{1}{\sqrt5}(2, 1)$ । $(v_2, v_1)$ के अनुदिश घूर्णित निर्देशांकों $(X, Y)$ में समीकरण

6X^2 + Y^2 = 6, \qquad\text{अर्थात्}\qquad X^2 + \frac{Y^2}{6} = 1 :

बन जाता है: अर्ध-अक्ष $1$ ( $v_2$ के अनुदिश) और $\sqrt6$ ( $v_1$ के अनुदिश)। समापन दृष्टि: मोटा आकार मुफ़्त में मिल गया — $\det = 6 > 0$ और धनात्मक अनुरेख किसी भी अभिलक्षणिक सदिश के परिकलन से पहले ही दीर्घवृत्त की घोषणा कर देते हैं — पर अक्षों की दिशाएँ और लंबाइयाँ, अर्थात् वास्तविक ज्यामिति, केवल वर्णक्रमीय प्रमेय देती है।

उदाहरण 12.18 (गोलक पर चरम मान, वर्णक्रम से पढ़े हुए)

इकाई गोलक पर $q(x,y,z) = 2xy + 2yz + 2zx$ के चरम मान क्या हैं? उसके आव्यूह (अभ्यास 12.2 का सर्व-एक विकर्णेतर) के अभिलक्षणिक मान $2$ और $-1$ (दोहरा) हैं, अतः उपप्रमेय 12.15 (2) से:

\max_{\norm v = 1} q(v) = 2 \ \text{ यहाँ: } v = \tfrac{1}{\sqrt3}(1,1,1), \qquad \min_{\norm v = 1} q(v) = -1 \ \text{ वृत्त पर: } x + y + z = 0 .

न कोई कलन, न लाग्रांज गुणक: वर्णक्रमीय प्रमेय इस प्रतिबंधित अनुकूलन को सीधे हल कर देती है — और महत्तमकारी भी दिखा देती है। समापन दृष्टि: इसकी तुलना अवकल कलन वाले अध्याय की गुणक-विधि से कीजिए, जो उन्हीं क्रांतिक बिंदुओं को अधिक श्रम से ढूँढ़ती है; गोलकों पर द्विघात उद्देश्यों के लिए वर्णक्रम ही राजमार्ग है (और हर्मीशियन अध्याय की सप्ताहांत समस्या इसी अवलोकन पर पूरा कूराँ–फिशर सिद्धांत खड़ा करती है)।

टिप्पणी 12.19 (सामान्य भूलें)

(क) सर्वांगसमता सादृश्यता नहीं है: किसी रूप के लिए आधार-परिवर्तन $P^{\mathsf T}BP$ से क्रिया करता है, $P^{-1}BP$ से नहीं; और अभिलक्षणिक मान किसी द्विघात रूप के अपरिवर्त्य नहीं हैं ( $I$ और $4I$ $P = 2I$ के द्वारा सर्वांगसम हैं) — केवल उनके चिह्न अपरिवर्त्य हैं (सिल्वेस्टर)। किसी रूप के अभिलक्षणिक मानों की बात तभी कीजिए जब कोई अंतर्गुणन स्थिर हो चुका हो। (ख) धनात्मक प्रविष्टियाँ कुछ भी सिद्ध नहीं करतीं: $\begin{pmatrix} 1 & 2\\ 2 & 1\end{pmatrix}$ की सारी प्रविष्टियाँ धनात्मक हैं फिर भी चिह्नांक $(1,1)$ है ( $\det = -3$ ); और विलोमतः किसी धनात्मक निश्चित आव्यूह की विकर्णेतर प्रविष्टियाँ ऋणात्मक हो सकती हैं (उदाहरण 12.9 को खिसकाइए: $2I - N$ भी उतना ही काम करता है)। विधि 12.10 का उपयोग कीजिए। (ग) परतंत्र वर्ग: $q = \ell_1^2 - \ell_2^2$ लिखने से कुछ नहीं कहा जाता यदि $\ell_1, \ell_2$ अनुपाती हों — $x^2 + 2xy + y^2 = (x+y)^2$ की कोटि $1$ है, $2$ नहीं; अतः चिह्नांक पढ़ने से पहले सदा स्वतंत्रता जाँच लीजिए। (घ) संहतता के बिना गोलक पर चरम: उपप्रमेय 12.15 के रैले परिबंध इसलिए प्राप्त होते हैं कि गोलक संहत है; विवृत गोले पर अथवा पूरी समष्टि पर किसी अनिश्चित रूप का न महत्तम होता है न न्यूनतम।

टिप्पणी 12.20 (यह कहाँ काम आता है)

वर्णक्रमीय प्रमेय इस पुस्तक का सबसे अधिक निर्यात होने वाला अकेला परिणाम है: सांख्यिकी उसी से सहप्रसरण आव्यूहों का विकर्णन करती है (मुख्य घटक विश्लेषण), यांत्रिकी उसी से दोलन की प्रसामान्य विधाएँ निकालती है (सप्ताहांत समस्या का युगपत समानयन), संख्यात्मक विश्लेषण उसी पर चोलेस्की तथा अनन्य मान अपघटन खड़े करता है (वही समस्या), और अगला अध्याय उसे सम्मिश्र हर्मीशियन समष्टियों तक ले जाता है। तृतीय वर्ष का खंड संहत स्वसंलग्न संकारकों के लिए उसका अनंत-विमीय अवतार सिद्ध करता है, जहाँ परिमित-विमीय उपपत्ति का संहतता-तर्क पूरी कहानी बन जाता है।

टिप्पणी 12.21 (इसी खंड के भीतर के परिप्रेक्ष्य)

द्विघात रूप पुस्तक 4 के शेष भाग में तीन भेसों में पिरोए हुए हैं। हेस्सियन के रूप में: अवकल कलन वाला अध्याय क्रांतिक बिंदुओं का वर्गीकरण द्वितीय-कोटि रूप के चिह्नांक से करता है, अतः सिल्वेस्टर की अपरिवर्त्यता ही “काठी” शब्द को सुपरिभाषित बनाती है। ऊर्जा के रूप में: अवकल समीकरणों वाले अध्याय के दोलक द्विघात ऊर्जा $\frac12x'^2 + \frac12\omega^2x^2$ उठाए चलते हैं, और इस अध्याय की सप्ताहांत समस्या का युगपत समानयन ठीक प्रसामान्य विधाओं का निष्कर्षण है। और ज्यामिति के रूप में: इस अध्याय के शांकव ज्यामिति वाले अध्यायों के द्विघातीय पृष्ठों में बड़े हो जाते हैं, जहाँ किसी पृष्ठ का द्वितीय मूलभूत रूप — हर स्पर्श समतल पर एक द्विघात रूप — अपने चिह्नांक से तय करता है कि पृष्ठ कटोरे की तरह मुड़ता है या काठी की तरह। और अगला हर्मीशियन अध्याय पूरा संगीत $\C$ पर दोहराता है।

12.4 अभ्यास

अभ्यास 12.1 ★

गाउस समानयन कीजिए और कोटि तथा चिह्नांक दीजिए:

q_1(x,y) = x^2 + 4xy + y^2, \qquad q_2(x,y,z) = x^2 + 2y^2 + 3z^2 + 2xy + 2yz .

हल

हल — अभ्यास 12.1.

$q_1 = (x + 2y)^2 - 3y^2$ : कोटि $2$ , चिह्नांक $(1, 1)$ (अतिपरवलय-प्रकार का रूप)।

$q_2$ : $x$ में वर्ग पूरा कीजिए: $q_2 = (x + y)^2 + y^2 + 2yz + 3z^2 = (x+y)^2 + (y + z)^2 + 2z^2$ : कोटि $3$ , चिह्नांक $(3, 0)$ — अर्थात् धनात्मक निश्चित।

अभ्यास 12.2 ★

$A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1\\ 1 & 0 & 1\\ 1 & 1 & 0\end{pmatrix}$ का लांबिक विकर्णन कीजिए (अध्याय 3 के परिकलन से अभिलक्षणिक मान; अब आधार को प्रसामान्य लांबिक बनाइए) और रूप $q(x,y,z) = 2xy + 2yz + 2zx$ को मुख्य अक्षों तक समानीत कीजिए।

हल

हल — अभ्यास 12.2.

अभिलक्षणिक मान $2$ ( $\operatorname{Vect}(1,1,1)$ पर) और $-1$ (समतल $x + y + z = 0$ पर)। प्रसामान्य लांबिक बनाइए: $e_1 = \frac{1}{\sqrt3}(1,1,1)$ ; और समतल में $(1,-1,0), (1,0,-1)$ पर ग्राम–श्मिट $e_2 = \frac{1}{\sqrt2}(1,-1,0)$ , $e_3 = \frac{1}{\sqrt6}(1,1,-2)$ देता है। तब $P = (e_1\ e_2\ e_3)$ $P^{\mathsf T}AP = \operatorname{diag}(2,-1,-1)$ सहित लांबिक है।

रूप $q = 2xy + 2yz + 2zx$ का आव्यूह $A$ है: घूर्णित निर्देशांकों $q = 2X^2 - Y^2 - Z^2$ में — अर्थात् मुख्य अक्ष; चिह्नांक $(1,2)$ , जो उदाहरण 12.7 से मेल खाता है (वही रूप है!)।

अभ्यास 12.3 ★

सिद्ध कीजिए कि $u^{**} = u$ , $(u \circ v)^* = v^* \circ u^*$ , और यह कि $\ker u^* = (\operatorname{im} u)^{\perp}$ । इससे $\operatorname{rk} u^* = \operatorname{rk} u$ निष्कर्ष रूप में निकालिए।

हल

हल — अभ्यास 12.3.

$u^{**} = u$ : सभी $y$ के लिए $\langle u^{**}x, y\rangle = \langle x, u^*y\rangle = \langle ux, y\rangle$ । $(uv)^* = v^*u^*$ : $\langle uvx, y\rangle = \langle vx, u^*y\rangle = \langle x, v^*u^*y\rangle$ । केंद्रक: $y \in \ker u^* \iff \langle x, u^*y \rangle = 0\ \forall x \iff \langle u(x), y\rangle = 0\ \forall x \iff y \perp \operatorname{im} u$ । कोटियाँ: $\dim\ker u^* = n - \operatorname{rk} u$ (लांबिक पूरक), अतः कोटि–शून्यता से $\operatorname{rk} u^* = \operatorname{rk} u$ — अर्थात् परिवर्त-कोटि प्रमेय का यूक्लिडीय अवतार।

अभ्यास 12.4 ★★

मान लीजिए $A$ वास्तविक सममित है और $A^3 = A$ । सिद्ध कीजिए कि $A^2$ किसी लांबिक प्रक्षेप का आव्यूह है। और अधिक सामान्य रूप में, किसी बहुपद $P$ के लिए $A$ तथा $P(A)$ के वर्णक्रमीय अपघटनों में संबंध बताइए।

हल

हल — अभ्यास 12.4.

वर्णक्रमीय: $A = PDP^{\mathsf T}$ , $D$ विकर्ण जिसकी प्रविष्टियाँ $\lambda_i$ $\lambda_i^3 = \lambda_i$ पूरा करती हैं: $\lambda_i \in \{-1, 0, 1\}$ । तब $D^2$ विकर्ण सहित $A^2 = PD^2P^{\mathsf T}$ , जिसकी प्रविष्टियाँ $0/1$ हैं: अतः $A^2$ सममित और वर्गसम है ( $(A^2)^2 = A^4 = A\cdot A^3 = A^2$ ) — और सममित वर्गसम $=$ लांबिक प्रक्षेप होता है (वह $\ker A$ के अनुदिश $\ker(A^2 - I) = \ker(A-I)\oplus\ker(A+I)$ पर प्रक्षेप है, और वर्णक्रमीय प्रमेय से ये लांबिक हैं)।

सामान्य रूप में $P(A) = P\!\left(\text{विकर्ण}\right)$ : $P(A)$ के अभिलक्षणिक सदिश वही हैं और अभिलक्षणिक मान $P(\lambda_i)$ — अर्थात् विकर्णनीय स्तर पर “वर्णक्रमीय प्रतिचित्रण”।

अभ्यास 12.5 ★★

सिद्ध कीजिए कि $O(n) = \{P : P^{\mathsf T}P = I\}$ $\mathcal{M}_n(\R)$ का संहत उपसमुच्चय है (संवृत: किसी संतत प्रतिचित्रण के अंतर्गत $\{I\}$ का पूर्वप्रतिबिंब; परिबद्ध: स्तंभ इकाई सदिश हैं)। क्या वह संबद्ध है?

हल

हल — अभ्यास 12.5.

संवृत: संतत $g(P) = P^{\mathsf T}P$ (बहुपद प्रविष्टियाँ) के लिए $O(n) = g^{-1}(\{I\})$ । परिबद्ध: $P \in O(n)$ का हर स्तंभ इकाई सदिश है, अतः सारी प्रविष्टियाँ $\intcc{-1}{1}$ में हैं। $\mathcal{M}_n(\R) \simeq \R^{n^2}$ में संवृत और परिबद्ध: अतः संहत (प्रमेय 4.16 (2))।

संबद्ध नहीं: $\det$ $O(n)$ पर दोनों मान $\pm1$ लेता है, और $\{-1, 1\}$ पर कोई संतत आच्छादन समष्टि को बाँट देता है (उदाहरण 4.28 का तर्क)।

अभ्यास 12.6 ★★

(वर्गमूल) मान लीजिए $A$ सममित धनात्मक अर्धनिश्चित है। $B^2 = A$ वाला कोई सममित धनात्मक अर्धनिश्चित $B$ बनाइए, और सिद्ध कीजिए कि वह अद्वितीय है (अस्तित्व: किसी वर्णक्रमीय आधार में अभिलक्षणिक मानों के वर्गमूल लीजिए; अद्वितीयता: कोई भी उम्मीदवार $B$ $A = B^2$ के साथ क्रमविनिमेय है, अतः उसकी अभिलक्षणिक समष्टियाँ सुरक्षित रखता है — हर एक पर अदिश स्थिति तक ले आइए)।

हल

हल — अभ्यास 12.6.

अस्तित्व: $D = \operatorname{diag}(\lambda_i)$ , $\lambda_i \geq 0$ सहित $A = PDP^{\mathsf T}$ ; $\sqrt D = \operatorname{diag}(\sqrt{\lambda_i})$ के साथ $B = P\sqrt D P^{\mathsf T}$ रखिए: यह सममित, धनात्मक अर्धनिश्चित है और $B^2 = A$ ।

अद्वितीयता: मान लीजिए $B$ सममित धनात्मक अर्धनिश्चित है और $B^2 = A$ । $B$ $A$ के साथ क्रमविनिमेय है; अतः $B$ हर अभिलक्षणिक समष्टि $E_\lambda(A)$ को सुरक्षित रखता है ( $Ax = \lambda x$ के लिए: $A(Bx) = BAx = \lambda Bx$ )। $E_\lambda(A)$ पर $B$ का प्रतिबंधन सममित धनात्मक अर्धनिश्चित है जिसका वर्ग $\lambda\,\mathrm{id}$ है; उसके अभिलक्षणिक मान $\mu$ $\mu^2 = \lambda$ , $\mu \geq 0$ पूरा करते हैं: $\mu = \sqrt\lambda$ — अतः वह प्रतिबंधन, जो अकेले अभिलक्षणिक मान $\sqrt\lambda$ के साथ विकर्णनीय है, $\sqrt\lambda\,\mathrm{id}$ ही है। और चूँकि $E = \bigoplus E_\lambda(A)$ , $B$ निर्धारित हो जाता है: $B = \sqrt A$ ।

अभ्यास 12.7 ★★

वास्तविक सममित $A$ के लिए सिद्ध कीजिए कि $\vertiii{A}_2 := \sup_{\norm x_2 = 1}\norm{Ax}_2 = \max_i \abs{\lambda_i}$ (वर्णक्रमीय त्रिज्या), और $A = \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 2 & 1\end{pmatrix}$ के लिए $\vertiii{A}_2$ परिकलित कीजिए।

हल

हल — अभ्यास 12.7.

किसी प्रसामान्य लांबिक अभिलक्षणिक आधार में $\norm{Ax}_2^2 = \sum \lambda_i^2 x_i^2 \leq (\max_i \lambda_i^2)\norm x_2^2$ , और संगत अभिलक्षणिक सदिश पर समता: $\vertiii A_2 = \max\abs{\lambda_i}$ । दिए गए आव्यूह के लिए: अभिलक्षणिक मान $3, -1$ (उदाहरण 12.16 का जुड़वाँ): $\vertiii A_2 = 3$ ।

अभ्यास 12.8 ★★★

(सिल्वेस्टर की कसौटी) मान लीजिए $A$ वास्तविक सममित है और उसके अग्र मुख्य उपसारणिक $\Delta_1, \dots, \Delta_n$ हैं (ऊपरी-बाएँ खंडों के सारणिक)। सिद्ध कीजिए कि $A$ धनात्मक निश्चित है यदि और केवल यदि सभी $\Delta_k > 0$ । ( $\Rightarrow$ के लिए: निश्चित रूप के प्रतिबंधन निश्चित होते हैं, और धनात्मक निश्चित आव्यूह का सारणिक — उसके अभिलक्षणिक मानों का गुणनफल — धनात्मक होता है। $\Leftarrow$ के लिए: $n$ पर आगमन कीजिए; ऊपरी-बायाँ $(n-1)$ -खंड धनात्मक निश्चित है, उस उपसमष्टि पर रूप का विकर्णन कीजिए और अंतिम चर में वर्ग पूरा कीजिए; अंतिम विकर्ण प्रविष्टि का चिह्न $\det A = \Delta_n > 0$ से शासित होता है।)

हल

हल — अभ्यास 12.8.

( $\Rightarrow$ ) ऊपरी-बायाँ $k \times k$ खंड $A_k$ उस (निश्चित) रूप के पहले $k$ आधार सदिशों के विस्तार तक प्रतिबंधन का आव्यूह है: अतः धनात्मक निश्चित, इसलिए उसके अभिलक्षणिक मान धनात्मक हैं और $\Delta_k = \det A_k > 0$ ।

( $\Leftarrow$ ) $n$ पर आगमन; $n = 1$ स्पष्ट है। मान लीजिए सभी $\Delta_k > 0$ । आगमन से $A_{n-1}$ धनात्मक निश्चित है: अर्थात् $F = \operatorname{Vect}(e_1, \dots, e_{n-1})$ तक प्रतिबंधित रूप $q$ निश्चित है। $q|_F$ का विकर्णन कीजिए (गाउस): $q|_F = \sum y_i^2$ सहित निर्देशांक $y_1, \dots, y_{n-1}$ । पूरी समष्टि में अंतिम चर में वर्ग पूरा करने पर

q = \sum_{i=1}^{n-1} \bigl(y_i + c_i x_n\bigr)^2 + c\,x_n^2

उपयुक्त अचरों के साथ (क्रॉस पदों को वर्गों में समो लीजिए)। यह समानयन चिह्नांक $(n-1 + \epsilon, \cdot)$ दिखा देता है, जहाँ $\epsilon$ $c$ का चिह्न-योगदान है; और सारणिक सर्वांगसमता के अंतर्गत विकर्ण गुणांकों के गुणनफल का चिह्न बनाए रखता है ( $\det(P^{\mathsf T}AP) = (\det P)^2\det A$ ): अतः $\Delta_n > 0$ $c > 0$ को बाध्य कर देता है। इसलिए $q$ स्वतंत्र फलनिकों के $n$ वर्गों का योग है: अर्थात् धनात्मक निश्चित।

अभ्यास 12.9 ★★★

(कूराँ–फिशर, दूसरा अभिलक्षणिक मान) मान लीजिए $u$ सममित है और उसके अभिलक्षणिक मान $\lambda_1 \geq \lambda_2 \geq \dots \geq \lambda_n$ हैं। सिद्ध कीजिए

\lambda_2 = \min_{\substack{H \text{ अधिसमतल}}}\; \max_{\substack{x \in H,\ \norm x = 1}} \langle u(x), x\rangle .

( $\leq$ के लिए: कोई भी अधिसमतल ऊपर के दो अभिलक्षणिक सदिशों से फैले $2$ -तल से मिलता है। और $\geq$ के लिए: $H = (e_1)^{\perp}$ चुनिए।)

हल

हल — अभ्यास 12.9.

मान लीजिए $(e_1, \dots, e_n)$ $\lambda_1 \geq \dots \geq \lambda_n$ के लिए कोई प्रसामान्य लांबिक अभिलक्षणिक आधार है।

न्यूनतम-महत्तम $\lambda_2 \leq$ : किसी भी अधिसमतल $H$ के लिए $V = \operatorname{Vect}(e_1, e_2)$ की विमा $2$ है और $\dim(H \cap V) \geq 1$ (ग्रासमान): कोई इकाई $x \in H \cap V$ चुनिए, $x = ae_1 + be_2$ , $a^2 + b^2 = 1$ :

\langle u(x), x\rangle = \lambda_1 a^2 + \lambda_2 b^2 \geq \lambda_2 :

अतः हर अधिसमतल का महत्तम $\geq \lambda_2$ है।

$\geq$ : $H = e_1^{\perp}$ के लिए हर इकाई $x = \sum_{i\geq2} x_ie_i \in H$ के लिए $\langle u(x), x\rangle = \sum_{i \geq 2} \lambda_i x_i^2 \leq \lambda_2$ , और $e_2$ पर वह प्राप्त होता है: अर्थात् इस अधिसमतल का महत्तम ठीक $\lambda_2$ है। इसलिए $H$ पर न्यूनतम $\lambda_2$ है।

अभ्यास 12.10 ★★

$\R^n$ ( $n \geq 2$ ) पर $q(x_1, \dots, x_n) = \sum_{i < j} x_ix_j$ की कोटि और चिह्नांक दो प्रकार से निर्धारित कीजिए: बीजीय सर्वसमिका $2q = \bigl(\sum x_i\bigr)^2 - \sum x_i^2$ तथा अधिसमतल $\sum x_i = 0$ पर $q$ के प्रतिबंधन से; और उसके आव्यूह $\frac12(J - I)$ के अभिलक्षणिक मान परिकलित करके, जहाँ $J$ सर्व-एक आव्यूह है।

हल

हल — अभ्यास 12.10.

बीजीय रास्ता: $2q = \bigl(\sum x_i\bigr)^2 - \sum x_i^2$ । अधिसमतल $H : \sum x_i = 0$ (विमा $n - 1$ ) पर $q = -\frac12\sum x_i^2$ ऋणात्मक निश्चित है; और रेखा $\R(1, \dots, 1)$ पर $q(t, \dots, t) = \binom n2 t^2 > 0$ । जिस उपसमष्टि पर $q$ धनात्मक निश्चित है वह $H$ से तुच्छ रूप से मिलती है, अतः उसकी विमा $\leq 1$ है: सिल्वेस्टर (प्रमेय 12.6) से $s = 1$ , और $H$ से $t \geq n-1$ ; और कोटि $\leq n$ चिह्नांक $(1, n-1)$ , कोटि $n$ को बाध्य कर देती है।

वर्णक्रमीय रास्ता: आव्यूह $\frac12(J - I)$ है; $J$ के अभिलक्षणिक मान $n$ ( $(1,\dots,1)$ पर) और $0$ ( $H$ पर) हैं, अतः $\frac12(J-I)$ के अभिलक्षणिक मान $\frac{n-1}{2}$ (एक बार) और $-\frac12$ ( $n-1$ बार) हैं: अर्थात् एक धनात्मक, $n-1$ ऋणात्मक — उपप्रमेय 12.15 के अनुसार वही चिह्नांक।

अभ्यास 12.11 ★★

मान लीजिए $A$ , $B$ वास्तविक सममित हैं और $B$ धनात्मक अर्धनिश्चित। सिद्ध कीजिए

\lambda_{\min}(A)\operatorname{tr} B \;\leq\; \operatorname{tr}(AB) \;\leq\; \lambda_{\max}(A)\operatorname{tr} B .

( $C^{\mathsf T}$ के स्तंभों $c_i$ पर $B = C^{\mathsf T}C$ और $\operatorname{tr}(AB) = \sum_i \langle A c_i, c_i\rangle$ लिखिए।) विशेष रूप से जब दोनों धनात्मक अर्धनिश्चित हों तब $\operatorname{tr}(AB) \geq 0$ ।

हल

हल — अभ्यास 12.11.

$B = C^{\mathsf T}C$ लिखिए ( $C = \sqrt B$ के द्वारा अभ्यास 12.6)। तब $C^{\mathsf T}$ के स्तंभों $c_1, \dots, c_n$ के साथ:

\operatorname{tr}(AB) = \operatorname{tr}(AC^{\mathsf T}C) = \operatorname{tr}(CAC^{\mathsf T}) = \sum_{i=1}^n \langle A c_i, c_i\rangle .

उपप्रमेय 12.15 (2) के अनुसार हर पद $\lambda_{\min}(A)\norm{c_i}^2$ और $\lambda_{\max}(A)\norm{c_i}^2$ के बीच पड़ता है, और $\sum\norm{c_i}^2 = \operatorname{tr}(C^{\mathsf T}C)^{\vphantom1} = \operatorname{tr} B$ : अतः दोहरी असमिका निकल आती है। और यदि $A$ भी धनात्मक अर्धनिश्चित हो, तो $\lambda_{\min}(A) \geq 0$ : $\operatorname{tr}(AB) \geq 0$ ।

अभ्यास 12.12 ★★★

$E = \mathcal{M}_n(\R)$ पर $q(M) = \operatorname{tr}(M^2)$ लीजिए।

दिखाइए कि $q$ ध्रुवी रूप $\varphi(M, N) = \operatorname{tr}(MN)$ वाला द्विघात रूप है।
दिखाइए कि सममित और प्रतिसममित आव्यूह $\varphi$ -लांबिक उपसमष्टियाँ बनाते हैं जिन पर $q$ क्रमशः धनात्मक निश्चित और ऋणात्मक निश्चित है (हर स्थिति में $\operatorname{tr}(M^2)$ को प्रविष्टि-दर-प्रविष्टि परिकलित कीजिए)।
निष्कर्ष निकालिए: $q$ का चिह्नांक $\bigl(\frac{n(n+1)}{2}, \frac{n(n-1)}{2}\bigr)$ और कोटि $n^2$ है।

हल

हल — अभ्यास 12.12.

$\varphi(M, N) = \operatorname{tr}(MN)$ द्विरैखिक और सममित है ( $\operatorname{tr}(MN) = \operatorname{tr}(NM)$ ), और $\varphi(M, M) = q(M)$ : अतः $q$ $\varphi$ का द्विघात रूप है।
सममित $S$ और प्रतिसममित $K$ के लिए: $\operatorname{tr}(SK) = \operatorname{tr}\bigl((SK)^{\mathsf T}\bigr) = \operatorname{tr}(K^{\mathsf T}S^{\mathsf T}) = -\operatorname{tr}(KS) = -\operatorname{tr}(SK)$ , अतः $\varphi(S, K) = 0$ : अर्थात् दोनों उपसमष्टियाँ $\varphi$ -लांबिक हैं। प्रविष्टि-दर-प्रविष्टि $\operatorname{tr} (M^2) = \sum_{i,j} m_{ij}m_{ji}$ : सममित $M$ के लिए यह $\sum m_{ij}^2 > 0$ है ( $M \neq 0$ ); और प्रतिसममित $M$ के लिए $-\sum m_{ij}^2 < 0$ ।
विमाओं $\frac{n(n+1)}2$ तथा $\frac{n(n-1)}2$ के साथ $\mathcal M_n(\R) = S_n \oplus A_n$ ; और इस $\varphi$ -लांबिक विभाजन के अनुकूल गाउस समानयन $q$ को $\frac{n(n+1)}2$ धनात्मक और $\frac{n(n-1)}2$ ऋणात्मक वर्गों के रूप में लिख देता है: अतः चिह्नांक $\bigl(\frac{n(n+1)}2, \frac{n(n-1)}2\bigr)$ (सिल्वेस्टर), कोटि $n^2$ : यानी रूप अनपभ्रष्ट है।

12.5 समस्या: चोलेस्की, आदामार और ध्रुवीय अपघटन

समस्या 12.1

वर्णक्रमीय प्रमेय एक सूक्ष्मदर्शी है; यह समस्या उसे फ़ैक्टरी की तरह काम में लेती है। ग्राम आव्यूहों से हम चोलेस्की गुणनखंडन बनाते हैं (और गाउस के धुरी-अंकों को उपसारणिकों के अनुपात के रूप में पहचानते हैं), फिर सारणिकों पर आदामार की असमिका सिद्ध करते हैं, ध्रुवीय अपघटन $A = QS$ तथा अनन्य मान अपघटन खड़ा करते हैं, समतलीय शांकवों का वर्गीकरण करते हैं, और दो रूपों के युगपत समानयन पर समाप्त होते हैं — अर्थात् दोलन की प्रसामान्य विधाओं के पीछे की प्रमेय। आगे सर्वत्र $E = \R^n$ अपने मानक अंतर्गुणन के साथ।

भाग I — ग्राम आव्यूह और चोलेस्की। सदिशों $v_1, \dots, v_n \in E$ के लिए उनका ग्राम आव्यूह $G = \bigl(\langle v_i, v_j\rangle\bigr)_{i,j}$ होता है।

दिखाइए कि $G$ सममित धनात्मक अर्धनिश्चित है, और धनात्मक निश्चित तभी जब $(v_1, \dots, v_n)$ रैखिकतः स्वतंत्र हो ( $X^{\mathsf T}GX$ परिकलित कीजिए)।
विलोमतः दिखाइए कि हर सममित धनात्मक अर्धनिश्चित $A$ ग्राम आव्यूह है: किसी $C$ के लिए $A = C^{\mathsf T}C$ (अभ्यास 12.6 के वर्गमूल का उपयोग कीजिए), जहाँ $C$ प्रतिलोमनीय है तभी जब $A$ निश्चित हो।
इससे निष्कर्ष निकालिए कि धनात्मक अर्धनिश्चित $A$ सभी $i, j$ के लिए $\abs{a_{ij}} \leq \sqrt{a_{ii}\,a_{jj}}$ पूरा करता है (दो निर्देशांकों तक प्रतिबंधित कीजिए) — अर्थात् कोशी–श्वार्ज़ असमिका, आव्यूह की भाषा में पुनः पढ़ी हुई।
(चोलेस्की) मान लीजिए $A$ धनात्मक निश्चित है। सिद्ध कीजिए कि धनात्मक विकर्ण प्रविष्टियों वाला अद्वितीय ऊपरी त्रिभुजाकार $T$ ऐसा है कि

$A = T^{\mathsf T}\,T$

(अस्तित्व: $A$ को ग्राम आव्यूह के रूप में साकार करने वाले सदिशों पर ग्राम–श्मिट लगाइए; अद्वितीयता: यदि $T_1^{\mathsf T}T_1 = T_2^{\mathsf T}T_2$ , तो दिखाइए कि $T_1T_2^{-1}$ लांबिक तथा धनात्मक विकर्ण वाला त्रिभुजाकार है, अतः $I$ )।
दिखाइए कि अग्र मुख्य उपसारणिक $\Delta_k = (t_{11}\cdots t_{kk})^2$ पूरा करते हैं, और इससे निष्कर्ष निकालिए कि किसी धनात्मक निश्चित रूप के गाउस समानयन में स्वाभाविक चर-क्रम से बनने वाले धुरी-अंक

$d_k = \frac{\Delta_k}{\Delta_{k-1}} \qquad (\Delta_0 = 1) :$

होते हैं: अर्थात् सिल्वेस्टर की कसौटी (अभ्यास 12.8) के उपसारणिक और गाउस के धुरी-अंक एक ही आँकड़े हैं। उदाहरण 12.9 पर जाँचिए।

भाग II — आदामार की असमिका।

मान लीजिए $A$ धनात्मक निश्चित है। सिद्ध कीजिए

$\det A \leq a_{11}\,a_{22}\cdots a_{nn}$

(सामान्यीकरण: $D = \operatorname{diag}(a_{ii}^{-1/2})$ के साथ $B = DAD$ का विकर्ण इकाई है; $\operatorname{tr} B = n$ के विरुद्ध समांतर–गुणोत्तर माध्य से $\det B = \prod \mu_i$ को परिबद्ध कीजिए)।
दिखाइए कि समता तभी होती है जब $A$ विकर्ण हो।
आदामार की असमिका निष्कर्ष रूप में निकालिए: स्तंभों $c_1, \dots, c_n$ वाले प्रत्येक वास्तविक वर्ग आव्यूह $M$ के लिए

$\abs{\det M} \leq \prod_{i=1}^{n}\norm{c_i}_2 ,$

और (प्रतिलोमनीय $M$ के लिए) समता तभी जब स्तंभ जोड़े-जोड़े में लांबिक हों ( $M^{\mathsf T}M$ पर प्रश्न 6–7 लगाइए)।
ज्यामितीय और संचयात्मक लाभ: प्रश्न 8 को “किसी समांतर षट्फलक का आयतन अधिकतम उसकी भुजाओं की लंबाइयों के गुणनफल जितना होता है” के रूप में समझाइए; और दिखाइए कि जिस आव्यूह की सारी प्रविष्टियाँ $\intcc{-1}{1}$ में हों उसके लिए $\abs{\det M} \leq n^{n/2}$ । (इस परिबंध को प्राप्त करने वाले आव्यूह — आदामार आव्यूह — $n = 1, 2$ तथा $4$ के अनेक गुणजों के लिए विद्यमान हैं; $4$ के सभी गुणजों के लिए विद्यमान हैं या नहीं, यह प्रसिद्ध खुली समस्या है।)

भाग III — ध्रुवीय अपघटन और अनन्य मान।

मान लीजिए $A$ प्रतिलोमनीय है। दिखाइए कि $A^{\mathsf T}A$ धनात्मक निश्चित है, और यह कि

$S = \sqrt{A^{\mathsf T}A} \quad\text{(\text{अभ्यास 12.6} का वर्गमूल)}, \qquad Q = AS^{-1}$

$Q$ लांबिक तथा $S$ धनात्मक निश्चित सहित कोई गुणनखंडन $A = QS$ दे देते हैं।
सिद्ध कीजिए कि प्रतिलोमनीय $A$ का यह गुणनखंडन अद्वितीय है।
अस्तित्व को किसी भी $A$ तक बढ़ाइए: ऐसे $\varepsilon_k \to 0$ चुनिए कि $A + \varepsilon_k I$ प्रतिलोमनीय हो, $A + \varepsilon_kI = Q_kS_k$ लिखिए, और $O(n)$ की संहतता (अभ्यास 12.5) से $Q_k \to Q$ निकालिए; दिखाइए कि $S_k = Q_k^{\mathsf T}(A + \varepsilon_kI)$ किसी धनात्मक अर्धनिश्चित $S$ पर अभिसरित होता है जहाँ $A = QS$ और $S = \sqrt{A^{\mathsf T}A}$ । अपभ्रष्ट $A$ के लिए अद्वितीयता कहाँ विफल हो जाती है?
(अनन्य मान अपघटन) निष्कर्ष निकालिए कि प्रत्येक वास्तविक वर्ग $A$ इस रूप में लिखा जाता है

$A = U\,\Sigma\,V^{\mathsf T}, \qquad U, V \in O(n),\quad \Sigma = \operatorname{diag}(\sigma_1, \dots, \sigma_n),\ \sigma_i \geq 0 ,$

जहाँ $\sigma_i$ (जिन्हें अनन्य मान कहते हैं) $\sqrt{A^{\mathsf T}A}$ के अभिलक्षणिक मान हैं।
तीन परिणाम: प्रत्येक वास्तविक $A$ के लिए $\vertiii{A}_2 = \sigma_{\max}$ (अभ्यास 12.7 का सामान्यीकरण); $\abs{\det A} = \sigma_1\cdots\sigma_n$ ; और प्रतिलोमनीय $A$ के अंतर्गत इकाई गोलक का प्रतिबिंब ऐसा दीर्घवृत्तज है जिसके अर्ध-अक्ष $U$ के स्तंभों के अनुदिश $\sigma_1, \dots, \sigma_n$ हैं।

भाग IV — वर्णक्रमीय प्रमेय से शांकव। समतलीय शांकव $f(x) = q(x) + \langle b, x\rangle + c$ का शून्य-समुच्चय होता है, जहाँ $q \neq 0$ आव्यूह $A$ वाला द्विघात रूप है, $b \in \R^2$ , $c \in \R$ ।

$f$ को पहले किसी घूर्णन (मुख्य अक्ष, उपप्रमेय 12.15) और फिर किसी स्थानांतरण से समानीत कीजिए, और $q$ के चिह्नांक के अनुसार संभव अरिक्त, अनपभ्रष्ट आकारों का वर्गीकरण कीजिए: दीर्घवृत्त ( $\det A > 0$ ), अतिपरवलय ( $\det A < 0$ ), परवलय ( $\det A = 0$ , कोटि $1$ , जहाँ रैखिक पद समाया न हो)।
पूरा समानयन

$x^2 + 4xy + y^2 + 2x - 2y = 4 :$

के लिए चलाइए: घूर्णित निर्देशांक, समानीत समीकरण, शांकव की प्रकृति और उसका केंद्र।
(केंद्रीय शांकव) मान लीजिए $\det A \neq 0$ । दिखाइए कि केंद्र $x_0 = -\frac12 A^{-1}b$ है, और यह कि $3\times3$ आव्यूह $\widetilde Q = \begin{pmatrix} A & b/2 \\ b^{\mathsf T}/2 & c\end{pmatrix}$ की $\begin{pmatrix} I & x_0\\ 0 & 1\end{pmatrix}$ द्वारा सर्वांगसमता

$\det\widetilde Q = f(x_0)\,\det A :$

देती है: अर्थात् केंद्रीय शांकव ठीक तभी अपभ्रष्ट है (एक बिंदु या दो रेखाएँ) जब $\det\widetilde Q = 0$ ।
प्रश्न 17 को प्रश्न 16 के उदाहरण पर सत्यापित कीजिए: $x_0$ , $f(x_0)$ और $\det\widetilde Q$ परिकलित कीजिए, और फिर से निष्कर्ष निकालिए कि शांकव अनपभ्रष्ट अतिपरवलय है।
(एक द्विघातीय कुलक) $\lambda \in \R$ के लिए पृष्ठ

$x^2 + y^2 + z^2 + 2\lambda(xy + yz + zx) = 1$

का वर्गीकरण उसके आव्यूह के अभिलक्षणिक मानों से कीजिए (सर्व-एक संरचना: अभिलक्षणिक मान $1 + 2\lambda$ और $1 - \lambda$ दोहरा): $\lambda$ के अनुसार गोला/दीर्घवृत्तज, बेलन, समतल-युग्म, एक-पर्ण तथा द्वि-पर्ण अतिपरवलयज।

भाग V — एक साथ दो रूप: युगपत समानयन।

मान लीजिए $q$ धनात्मक निश्चित है और $q'$ $E$ पर कोई भी द्विघात रूप। सिद्ध कीजिए कि $E$ का कोई ऐसा आधार है जो $q$ के लिए प्रसामान्य लांबिक और $q'$ के लिए लांबिक हो: उसमें $q = \sum x_i^2$ और $q' = \sum \mu_i x_i^2$ ( $q$ को अंतर्गुणन मानिए और $q'$ को निरूपित करने वाले अंतःरूपांतरण पर वर्णक्रमीय प्रमेय लगाइए)।
आव्यूह रूप: धनात्मक निश्चित $A$ और सममित $B$ के लिए कोई प्रतिलोमनीय $P$ ऐसा है कि $P^{\mathsf T}AP = I$ और $P^{\mathsf T}BP = \operatorname{diag}(\mu_1, \dots, \mu_n)$ , जहाँ $\mu_i$ $\det(B - \mu A) = 0$ के मूल हैं।
इसे पूरा

$A = \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 1 & 1 \end{pmatrix}, \qquad B = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix} :$

के लिए चलाइए: व्यापकीकृत अभिलक्षणिक मान $\mu_\pm$ , और दोनों रूपों का विकर्णन करने वाले सदिश।
दिखाइए कि धनात्मक निश्चितता हटाई नहीं जा सकती:

$A = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1 \end{pmatrix}, \qquad B = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix},$

के लिए कोई भी आधार दोनों रूपों का विकर्णन नहीं करता (यदि $P$ दोनों का विकर्णन करता, तो $\det(B - \mu A)$ वास्तविक मूलों के साथ गुणनखंडित हो जाता; उसे परिकलित कीजिए)।
दिखाइए कि प्रश्न 21 के $\mu_i$ $A^{-1}B$ के अभिलक्षणिक मान हैं, और यह कि $A^{-1}B$ , यद्यपि सामान्यतः सममित नहीं, सदा वास्तविक अभिलक्षणिक मानों के साथ विकर्णनीय होता है ( $\sqrt A$ से संयुग्मन कीजिए)।
संश्लेषण। एक-एक वाक्य में: (क) वह एक प्रमेय जिस पर हर भाग टिका रहा; (ख) भाग I से III तक के कौन-से परिणाम धनात्मक अर्धनिश्चित आव्यूहों के लिए भी बचे रहते हैं और किन्हें निश्चितता चाहिए; (ग) वह भौतिक निकाय जिसके छोटे दोलनों का विकर्णन प्रश्न 20–22 करते हैं (गतिज और स्थितिज ऊर्जा को दोनों रूप मानकर), और वहाँ $\mu_i$ का क्या अर्थ है।

हल

हल — समस्या 12.1.

1. अंतर्गुणन की सममितता से $G$ सममित है, और

X^{\mathsf T}GX = \sum_{i,j}x_ix_j\langle v_i, v_j\rangle = \Bigl\|\sum_i x_iv_i\Bigr\|^2 \geq 0 ,

जिसमें समता तभी जब $\sum x_iv_i = 0$ : अतः $G$ निश्चित है तभी जब एकमात्र शून्य संचय तुच्छ हो, अर्थात् तभी जब कुल स्वतंत्र हो।

2. $B = \sqrt A$ (अभ्यास 12.6) के साथ: $A = B^2 = B^{\mathsf T}B$ , जो $B$ के स्तंभों का ग्राम आव्यूह है; $C = B$ लीजिए। और $X^{\mathsf T}AX = \norm{CX}^2$ , अतः $A$ निश्चित है तभी जब $X \neq 0$ के लिए $CX \neq 0$ , अर्थात् तभी जब $C$ प्रतिलोमनीय हो।

3. रूप का $\operatorname{Vect}(e_i, e_j)$ तक प्रतिबंधन आव्यूह $\begin{pmatrix} a_{ii} & a_{ij}\\ a_{ij} & a_{jj} \end{pmatrix}$ वाला है, जो अब भी धनात्मक अर्धनिश्चित है: अतः उसका सारणिक (उसके अऋणात्मक अभिलक्षणिक मानों का गुणनफल) $\geq 0$ है: $a_{ij}^2 \leq a_{ii}a_{jj}$ । यह किसी ग्राम-साक्षात्कार के सदिशों $v_i, v_j$ के लिए कोशी–श्वार्ज़ ही है।

4. अस्तित्व: $A$ को किसी स्वतंत्र कुल $(v_1, \dots, v_n)$ का ग्राम आव्यूह लिखिए (प्रश्न 1–2)। ग्राम–श्मिट कोई प्रसामान्य लांबिक $(e_1, \dots, e_n)$ उत्पन्न करता है जहाँ

v_k = \sum_{i \leq k} t_{ik}\,e_i, \qquad t_{kk} = \bigl\| v_k - \operatorname{proj}_{k-1}v_k \bigr\| > 0 ,

अतः $T = (t_{ik})$ धनात्मक विकर्ण वाला ऊपरी त्रिभुजाकार है, और

a_{jk} = \langle v_j, v_k\rangle = \sum_i t_{ij}t_{ik} = (T^{\mathsf T}T)_{jk} .

अद्वितीयता: यदि $T_1^{\mathsf T}T_1 = T_2^{\mathsf T}T_2$ हो तो $R = T_1T_2^{-1}$ $R^{\mathsf T}R = I$ पूरा करता है: अर्थात् $R$ लांबिक है, और साथ ही धनात्मक विकर्ण वाला ऊपरी त्रिभुजाकार भी (ऐसों का गुणनफल)। तब $R^{-1} = R^{\mathsf T}$ एक साथ ऊपरी (ऊपरी का प्रतिलोम) और निचला (ऊपरी का परिवर्त) त्रिभुजाकार है: अतः विकर्ण; और लांबिक विकर्ण आव्यूह की प्रविष्टियाँ $\pm1$ होती हैं, तथा धनात्मकता $R = I$ को बाध्य कर देती है: $T_1 = T_2$ ।

5. $i, j \leq k$ के लिए $(T^{\mathsf T}T)_{ij} = \sum_m t_{mi}t_{mj}$ में केवल $m \leq \min(i,j) \leq k$ आते हैं: अतः $A$ का अग्र $k\times k$ खंड $T_k^{\mathsf T}T_k$ है, जहाँ $T_k$ $T$ का अग्र खंड है। इसलिए $\Delta_k = (\det T_k)^2 = (t_{11}\cdots t_{kk})^2$ । अब धनात्मक निश्चित रूप के स्वाभाविक क्रम वाले गाउस समानयन में कभी कोई शून्य वर्ग-गुणांक नहीं मिलता (धुरी-अंक क्रमशः समानीत धनात्मक निश्चित खंडों की विकर्ण प्रविष्टियाँ हैं): वह $\ell_k = x_k + (\text{पद, जिनमें: } x_{k+1}, \dots)$ सहित $q = \sum_k d_k\ell_k^2$ उत्पन्न करता है, अर्थात् एकघाती त्रिभुजाकार $L$ सहित $A = L^{\mathsf T}DL$ ; तब $T = \sqrt D\,L$ कोई चोलेस्की गुणनखंड है, अतः अद्वितीयता से $t_{kk}^2 = d_k$ और

d_k = \frac{(t_{11}\cdots t_{kk})^2} {(t_{11}\cdots t_{k-1,k-1})^2} = \frac{\Delta_k}{\Delta_{k-1}} .

उदाहरण 12.9 पर: $\Delta_1, \Delta_2, \Delta_3 = 2, 3, 4$ , और धुरी-अंक $2, \frac32, \frac43$ थे।

6. हर $a_{ii} = e_i^{\mathsf T}Ae_i > 0$ । $D = \operatorname{diag}(a_{ii}^{-1/2})$ और $B = DAD$ लीजिए: यह (सर्वांगसमता से) धनात्मक निश्चित है, जहाँ $b_{ii} = 1$ , अतः $\operatorname{tr} B = n$ । उसके अभिलक्षणिक मान $\mu_i > 0$ समांतर–गुणोत्तर माध्य से

\det B = \prod_i\mu_i \leq \Bigl(\frac{\sum\mu_i}{n}\Bigr)^{\!n} = 1 ,

पूरा करते हैं, और $\det B = (\det D)^2\det A = \dfrac{\det A}{\prod a_{ii}}$ : अतः $\det A \leq \prod a_{ii}$ ।

7. समांतर–गुणोत्तर माध्य समता तभी होती है जब सारे $\mu_i$ बराबर हों ( $1$ के); और जिस सममित आव्यूह का एकमात्र अभिलक्षणिक मान $1$ हो वह $PIP^{\mathsf T} = I$ है। अतः समता तभी जब $B = I$ , अर्थात् तभी जब $i \neq j$ के लिए $a_{ij} = 0$ : यानी $A$ विकर्ण।

8. यदि $M$ अपभ्रष्ट हो तो दोनों पक्ष $\geq 0 = \abs{\det M}$ हैं। अन्यथा $A = M^{\mathsf T}M$ धनात्मक निश्चित है जहाँ $a_{ii} = \norm{c_i}^2$ और $\det A = (\det M)^2$ : अतः प्रश्न 6 $(\det M)^2 \leq \prod\norm{c_i}^2$ देता है। समता तभी जब $A = M^{\mathsf T}M$ विकर्ण हो (प्रश्न 7), अर्थात् तभी जब स्तंभ जोड़े-जोड़े में लांबिक हों।

9. $\abs{\det M}$ स्तंभों से बने समांतर षट्फलक का आयतन है: और वह आयतन अधिकतम भुजाओं की लंबाइयों के गुणनफल जितना होता है, तथा समता ठीक आयताकार डिब्बों के लिए। यदि $\abs{m_{ij}} \leq 1$ हो तो $\norm{c_i} \leq \sqrt n$ , अतः $\abs{\det M} \leq n^{n/2}$ । (इसे प्राप्त करने के लिए प्रविष्टियाँ $\pm1$ वाले लांबिक स्तंभ चाहिए: अर्थात् कोई आदामार आव्यूह।)

10. $X \neq 0$ ( $A$ प्रतिलोमनीय) के लिए $X^{\mathsf T}A^{\mathsf T}AX = \norm{AX}^2 > 0$ : अतः $A^{\mathsf T}A$ धनात्मक निश्चित है। उसका वर्गमूल $S$ धनात्मक निश्चित है (अभिलक्षणिक मान $\sqrt{\lambda_i} > 0$ ), इसलिए प्रतिलोमनीय, और $Q = AS^{-1}$

Q^{\mathsf T}Q = S^{-1}A^{\mathsf T}AS^{-1} = S^{-1}S^2S^{-1} = I :

पूरा करता है: अर्थात् लांबिक $Q$ तथा धनात्मक निश्चित $S$ सहित $A = QS$ ।

11. यदि $A = QS = Q'S'$ हो तो $S'^{\,2} = S'^{\mathsf T}Q'^{\mathsf T}Q'S' = A^{\mathsf T}A = S^2$ ; और एक ही वर्ग वाले दो धनात्मक अर्धनिश्चित आव्यूह मेल खाते हैं (अभ्यास 12.6): अतः $S' = S$ , और फिर $Q' = AS^{-1} = Q$ ।

12. $\det(A + \varepsilon I)$ $\varepsilon$ में अशून्य बहुपद है: उसके परिमित मूल हैं, अतः कोई अनुक्रम $\varepsilon_k \to 0$ उनसे बच जाता है। $A + \varepsilon_kI = Q_kS_k$ लिखिए (प्रश्न 10)। $O(n)$ संहत है (अभ्यास 12.5): अतः किसी उपअनुक्रम से $Q_{\varphi(k)} \to Q \in O(n)$ मिलता है। तब

S_{\varphi(k)} = Q_{\varphi(k)}^{\mathsf T} \bigl(A + \varepsilon_{\varphi(k)}I\bigr) \longrightarrow Q^{\mathsf T}A =: S,

जो ऐसों की सीमा होने से सममित धनात्मक अर्धनिश्चित है (संवृत शर्तें), और $A = QS$ । इसके अतिरिक्त $S^2 = S^{\mathsf T}S = A^{\mathsf T}QQ^{\mathsf T}A = A^{\mathsf T}A$ , अतः अद्वितीयता से $S = \sqrt{A^{\mathsf T}A}$ । अपभ्रष्ट $A$ के लिए $S$ अपभ्रष्ट है और $Q$ अद्वितीय नहीं: उसे $(\operatorname{im} S)^{\perp}$ पर मनमाने ढंग से बदला जा सकता है — चरम स्थिति $A = 0$ , जहाँ हर लांबिक $Q$ काम कर जाता है।

13. $S = P\Sigma P^{\mathsf T}$ का विकर्णन कीजिए (वर्णक्रमीय प्रमेय), $\Sigma = \operatorname{diag}(\sigma_i)$ , जहाँ $\sigma_i \geq 0$ $S = \sqrt{A^{\mathsf T}A}$ के अभिलक्षणिक मान हैं। तब

A = QS = (QP)\,\Sigma\,P^{\mathsf T} = U\Sigma V^{\mathsf T}, \qquad U = QP,\ V = P \in O(n) .

14. $S$ के किसी शीर्ष अभिलक्षणिक सदिश पर समता के साथ $\norm{Ax}^2 = x^{\mathsf T}S^2x \leq \sigma_{\max}^2\norm x^2$ : $\vertiii A_2 = \sigma_{\max}$ — सममित $A$ के लिए $S = \sqrt{A^2}$ के अभिलक्षणिक मान $\abs{\lambda_i}$ हैं, जिससे अभ्यास 12.7 पुनः मिल जाता है। सारणिक: $\abs{\det A} = \abs{\det U}\det\Sigma\abs{\det V} = \sigma_1\cdots\sigma_n$ । गोलक: $\norm y = 1$ के साथ $x = Vy$ लिखने पर $Ax = U\Sigma y$ के $U$ के स्तंभों वाले प्रसामान्य लांबिक तंत्र में निर्देशांक $z_i = \sigma_iy_i$ होते हैं: अतः प्रतिबिंब $\{\sum z_i^2/\sigma_i^2 = 1\}$ है, यानी अर्ध-अक्ष $\sigma_i$ वाला दीर्घवृत्तज।

15. मुख्य अक्षों तक घूर्णन (उपप्रमेय 12.15) $f$ को $\lambda_1X^2 + \lambda_2Y^2 + \beta_1X + \beta_2Y + c$ में बदल देता है, जहाँ $\lambda_1\lambda_2 = \det A$ । यदि $\det A \neq 0$ हो, तो स्थानांतरण $X \mapsto X - \frac{\beta_1}{2\lambda_1}$ (और वैसे ही $Y$ ) से रैखिक पद समा जाते हैं: $\lambda_1X'^2 + \lambda_2Y'^2 = c'$ । $\det A > 0$ (समान चिह्न) के लिए: कोई दीर्घवृत्त (उचित चिह्न वाला $c'$ ), कोई बिंदु, अथवा रिक्त। $\det A < 0$ के लिए: कोई अतिपरवलय ( $c' \neq 0$ ) अथवा दो प्रतिच्छेदी रेखाएँ। और यदि कोटि $1$ के साथ $\det A = 0$ (मान लीजिए $\lambda_2 = 0 \neq \lambda_1$ ): $\lambda_1X'^2 + \beta_2Y + c''$ , जो $\beta_2 \neq 0$ होने पर परवलय है; अन्यथा दो समांतर रेखाएँ, एक रेखा, या रिक्त। अनपभ्रष्ट आकार: दीर्घवृत्त, अतिपरवलय, परवलय — और उन पर $\det A$ के चिह्न का शासन है।

16. द्विघात भाग $x^2 + 4xy + y^2$ का आव्यूह $\begin{pmatrix}1 & 2\\ 2 & 1\end{pmatrix}$ है, जिसके अभिलक्षणिक मान $3$ और $-1$ हैं तथा प्रसामान्य लांबिक दिशाएँ $\frac{1}{\sqrt2}(1,1)$ , $\frac{1}{\sqrt2}(1,-1)$ । घूर्णित निर्देशांकों $u = \frac{x+y}{\sqrt2}$ में $v = \frac{x-y}{\sqrt2}$ : $x^2 + y^2 = u^2 + v^2$ , $2xy = u^2 - v^2$ , अतः रूप $3u^2 - v^2$ है, और $2x - 2y = 2\sqrt2\,v$ । समीकरण बन जाता है

3u^2 - v^2 + 2\sqrt2\,v = 4 \quad\Longleftrightarrow\quad 3u^2 - \bigl(v - \sqrt2\bigr)^2 = 2 :

अर्थात् कोई अतिपरवलय, जिसका केंद्र $(u, v) = (0, \sqrt2)$ पर है, यानी $(x, y) = (1, -1)$ , और अक्ष घूर्णित तंत्र के अनुदिश।

17. जब भी $Ax_0 = -\frac b2$ , अर्थात् $x_0 = -\frac12A^{-1}b$ , तब $f(x) = (x - x_0)^{\mathsf T}A(x - x_0) + f(x_0)$ : $f$ का प्रवणक ठीक वहीं लुप्त होता है ( $x_0$ सममिति का केंद्र है)। $M = \begin{pmatrix} I & x_0\\ 0 & 1\end{pmatrix}$ के साथ:

M^{\mathsf T}\widetilde QM = \begin{pmatrix} A & Ax_0 + \frac b2\\[2pt] \bigl(Ax_0 + \frac b2\bigr)^{\mathsf T} & x_0^{\mathsf T}Ax_0 + b^{\mathsf T}x_0 + c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} A & 0\\ 0 & f(x_0)\end{pmatrix},

और $\det M = 1$ : $\det\widetilde Q = f(x_0)\det A$ । केंद्रित समीकरण $q(X) = -f(x_0)$ पढ़ी जाती है: $f(x_0) = 0$ के लिए वह $q(X) = 0$ पर पतित हो जाती है (चिह्नांक $(1,1)$ होने पर केंद्र से गुज़रती दो रेखाएँ, और $q$ के निश्चित होने पर अकेला बिंदु $x_0$ ); और $f(x_0) \neq 0$ के लिए शांकव सच्चा दीर्घवृत्त या अतिपरवलय है।

18. $A^{-1} = -\frac13\begin{pmatrix} 1 & -2\\ -2 & 1\end{pmatrix}$ , $\frac b2 = (1, -1)$ : $x_0 = -A^{-1}\frac b2 = (1, -1)$ , जैसा प्रश्न 16 में मिला था। $f(x_0) = q(1,-1) + 2 + 2 - 4 = (1 - 4 + 1) + 0 = -2 \neq 0$ , और $\det\widetilde Q = f(x_0)\det A = (-2)(-3) = 6 \neq 0$ : अर्थात् अनपभ्रष्ट; $\det A = -3 < 0$ : अतिपरवलय — और वास्तव में केंद्रित समीकरण $3u^2 - (v - \sqrt2)^2 = -f(x_0) = 2$ प्रश्न 16 से मेल खाती है।

19. आव्यूह $(1-\lambda)I + \lambda J$ है: अभिलक्षणिक मान $1 + 2\lambda$ (दिशा $(1,1,1)$ ) और $1 - \lambda$ (दोहरा, $x + y + z = 0$ पर)। स्थितियाँ:

$-\frac12 < \lambda < 1$ : सारे अभिलक्षणिक मान धनात्मक: अर्थात् $(1,1,1)$ के परितः घूर्णज दीर्घवृत्तज ( $\lambda = 0$ के लिए गोला);
$\lambda = 1$ : $q = (x+y+z)^2$ : समीकरण दो समांतर समतल $x + y + z = \pm1$ देती है;
$\lambda = -\frac12$ : अभिलक्षणिक मान $0, \frac32, \frac32$ : अक्ष $(1,1,1)$ वाला वृत्तीय बेलन;
$\lambda > 1$ : चिह्नांक $(1, 2)$ : द्वि-पर्ण अतिपरवलयज;
$\lambda < -\frac12$ : चिह्नांक $(2, 1)$ : एक-पर्ण अतिपरवलयज।

20. $q$ का ध्रुवी रूप $E$ पर कोई अंतर्गुणन $\langle\cdot,\cdot\rangle_q$ है। स्थिर $x$ के लिए $y \mapsto \varphi'(x, y)$ ( $q'$ का ध्रुवी रूप) रैखिक है, अतः किसी अद्वितीय $z_x$ के लिए $\langle z_x, y\rangle_q$ के बराबर; $u(x) := z_x$ रैखिक है (अद्वितीयता से), और $\langle u(x), y\rangle_q = \varphi'(x,y) = \varphi'(y,x) = \langle u(y), x\rangle_q$ : अर्थात् यूक्लिडीय समष्टि $(E, \langle\cdot,\cdot\rangle_q)$ में $u$ सममित है। वर्णक्रमीय प्रमेय (प्रमेय 12.13) $q$ -प्रसामान्य लांबिक अभिलक्षणिक आधार $(\varepsilon_i)$ , $u(\varepsilon_i) = \mu_i\varepsilon_i$ दे देती है: उसमें $q(x) = \sum x_i^2$ और $q'(x) = \langle u(x), x\rangle_q = \sum\mu_ix_i^2$ ।

21. मान लीजिए $P$ उस आधार का आव्यूह है: सर्वांगसमता $P^{\mathsf T}AP = I$ और $P^{\mathsf T}BP = \operatorname{diag}(\mu_i)$ देती है। तब

\det(B - \mu A) = \det(P^{-\mathsf T}) \det\bigl(\operatorname{diag}(\mu_i) - \mu I\bigr) \det(P^{-1}) = (\det P)^{-2}\prod_i(\mu_i - \mu) :

अर्थात् $\mu_i$ कुलक $\det(B - \mu A)$ के मूल हैं।

22. $\det(B - \mu A) = \det\begin{pmatrix} -2\mu & 1-\mu\\ 1-\mu & -\mu\end{pmatrix} = 2\mu^2 - (1-\mu)^2 = \mu^2 + 2\mu - 1$ : मूल $\mu_\pm = -1 \pm \sqrt2$ । $(B - \mu_\pm A)v = 0$ हल करने पर: $v_\pm = (1 - \mu_\pm,\ 2\mu_\pm)$ (मूलों पर दूसरी पंक्ति की सर्वसमिका $(1-\mu)^2 = 2\mu^2$ इसकी पुष्टि करती है)। $A$ -मानदंड सुथरे निकलते हैं: $q_A(v_\pm) = 2(1 + \mu_\pm^2)$ , और $\mu_+ + \mu_- = -2$ , $\mu_+\mu_- = -1$ का उपयोग करके $\varphi_A(v_+, v_-) = 0$ जाँचा जा सकता है। आधार $\Bigl(\frac{v_+}{\sqrt{2(1 + \mu_+^2)}}, \frac{v_-}{\sqrt{2(1+\mu_-^2)}}\Bigr)$ $A$ के लिए प्रसामान्य लांबिक है और $B$ का विकर्णन प्रविष्टियों $\mu_\pm$ के साथ करता है।

23. यदि कोई प्रतिलोमनीय $P$ दोनों रूपों का विकर्णन करता, तो प्रश्न 21 का परिकलन $\det(B - \mu A) = (\det P)^{-2}\prod(d_{2i} - \mu d_{1i})$ देता, अर्थात् वास्तविक रैखिक गुणनखंडों में बँटा कोई वास्तविक बहुपद। परंतु यहाँ

\det(B - \mu A) = \det\begin{pmatrix} -\mu & 1\\ 1 & \mu\end{pmatrix} = -\mu^2 - 1 ,

घात $2$ का है और उसका कोई वास्तविक मूल नहीं: विरोधाभास। (लोरेंत्स चिह्नांक $A$ बिना किसी वास्तविक अक्ष के $B$ -“घूर्णन” की अनुमति देता है।)

24. धनात्मक निश्चित $A^{1/2} = \sqrt A$ के साथ $A^{-1}B = A^{-1/2}\bigl(A^{-1/2}BA^{-1/2}\bigr) A^{1/2}$ (अभ्यास 12.6): अतः $A^{-1}B$ सममित $A^{-1/2}BA^{-1/2}$ के सदृश है, इसलिए वास्तविक अभिलक्षणिक मानों के साथ विकर्णनीय। और $\det(B - \mu A) = \det A\cdot \det(A^{-1}B - \mu I)$ : अर्थात् प्रश्न 21 के कुलक-मूल $\mu_i$ ठीक $A^{-1}B$ के अभिलक्षणिक मान हैं।

25. (क) हर भाग वर्णक्रमीय प्रमेय पर टिका रहा: वर्गमूल के द्वारा (चोलेस्की, ध्रुवीय), अभिलक्षणिक मानों के परिबंधों के द्वारा (आदामार), मुख्य अक्षों के द्वारा (शांकव), और $q$ -अनुकूलित रूप के द्वारा (युगपत समानयन)। (ख) ग्राम-साक्षात्कार, आदामार और ध्रुवीय अपघटन अर्धनिश्चित दुनिया में भी बचे रहते हैं; जबकि चोलेस्की की अद्वितीयता, धुरी-अंक वाला सूत्र और युगपत समानयन को निश्चितता चाहिए (प्रश्न 12 और 23 ठीक-ठीक दिखा देते हैं कि वे कैसे विफल होते हैं)। (ग) युग्मित छोटे दोलन: गतिज ऊर्जा (धनात्मक निश्चित) और स्थितिज ऊर्जा दो द्विघात रूप हैं; प्रश्न 20–22 का आधार निकाय की प्रसामान्य विधाएँ है, और वहाँ $\mu_i$ कोणीय आवृत्तियों के वर्ग हैं।