विश्वविद्यालय गणित — स्नातक वर्ष 2 · Grado — Año 2

1समुच्चय और संरचनाएँ

यह आरंभिक अध्याय प्रथम वर्ष के खंड में रखी गई नींव को रोज़ काम आने वाले औज़ारों में ढालता है: समुच्चयों और विभागों का कलन, अनंत समुच्चयों की तुलना (गणनीयता, कैंटर–बर्नस्टाइन), तथा समूहों और वलयों का संरचनात्मक सिद्धांत — लाग्रांज प्रमेय, अपने चिह्न सहित सममित समूह, गुणजावलियाँ और चीनी शेषफल प्रमेय। यहाँ की हर बात पुस्तक के शेष भाग में लगातार काम आती है: चिह्न से सारणिक बनता है (अध्याय 2), विभाग वलय अंकगणित चलाते हैं, और गणनीयता सांस्थिति तथा प्रायिकता दोनों के नीचे बिछी है।

1.1 समुच्चय, प्रतिचित्रण, विभाग

प्रथम वर्ष के खंड में स्थापित समुच्चयों, प्रतिचित्रणों तथा तुल्यता और क्रम संबंधों की भाषा हम स्वतंत्र रूप से प्रयोग करते हैं। दो परिष्कार अलग से कथन के योग्य हैं।

प्रतिज्ञप्ति 1.1 (कुलों के प्रतिबिंब और पूर्वप्रतिबिंब)

मान लीजिए $f \colon E \to F$ , और मान लीजिए $(A_i)_{i \in I}$ , $(B_j)_{j \in J}$ क्रमशः $E$ तथा $F$ के उपसमुच्चयों के कुल हैं। तब

f^{-1}\Bigl(\bigcup_j B_j\Bigr) = \bigcup_j f^{-1}(B_j), \qquad f^{-1}\Bigl(\bigcap_j B_j\Bigr) = \bigcap_j f^{-1}(B_j), \qquad f^{-1}(F \setminus B) = E \setminus f^{-1}(B),

f\Bigl(\bigcup_i A_i\Bigr) = \bigcup_i f(A_i), \qquad f\Bigl(\bigcap_i A_i\Bigr) \subseteq \bigcap_i f(A_i) \quad (\text{एकैकी होने पर समता, } f).

उपपत्ति. प्रत्येक सर्वसमिका परिभाषाओं को खोलने भर से मिल जाती है; उदाहरण के लिए, सभी $j$ के लिए $x \in f^{-1}(\bigcap B_j) \iff f(x) \in B_j$ , और यही सभी $j$ के लिए $\iff x \in f^{-1}(B_j)$ । प्रतिबिंब संबंधी सर्वसमिकाएँ तथा प्रतिच्छेदन की स्थिति में समता का टूटना (और एकैकीपन से उसका सुधार) प्रथम वर्ष के खंड में दो समुच्चयों के लिए सिद्ध किए जा चुके हैं; कुलों के लिए तर्क अक्षरशः वही रहते हैं। ∎

उदाहरण 1.2 (जहाँ प्रतिबिंब का अंतर्भाव यथार्थतः कठोर है)

लीजिए $f \colon \R \to \R$ , $f(x) = x^2$ , जहाँ $A_1 = \intcc{-1}{0}$ और $A_2 = \intcc{0}{1}$ । तब

f(A_1 \cap A_2) = f(\{0\}) = \{0\}, \qquad f(A_1) \cap f(A_2) = \intcc{0}{1} \cap \intcc{0}{1} = \intcc{0}{1} :

इससे प्रतिज्ञप्ति 1.1 का अंतर्भाव उतना ही कठोर है जितना हो सकता है — एक ही मान के दो पूर्वप्रतिबिंब बिंदु $\pm x$ भिन्न-भिन्न $A_i$ में बैठते हैं। एकैकीपन ठीक इसी विभाजन को रोकता है, और इसीलिए पूर्वप्रतिबिंब (जो बिंदुओं को कभी मिलाते नहीं) चारों सर्वसमिकाएँ बिना शर्त पूरी करते हैं, जबकि प्रतिबिंब प्रतिच्छेदन वाली सर्वसमिका खो देते हैं। पूरी पुस्तक के लिए अंगूठे का नियम: समुच्चय संक्रियाओं में से पूर्वप्रतिबिंब बेधड़क निकाल ले जाइए; प्रतिबिंबों को सँभालकर बरतिए।

परिभाषा 1.3 (विभाग समुच्चय)

मान लीजिए $\mathcal{R}$ , $E$ पर एक तुल्यता संबंध है। विभाग समुच्चय $E/\mathcal{R}$ तुल्यता वर्गों का समुच्चय है; आच्छादन $\pi \colon E \to E/\mathcal{R}$ , $x \mapsto \mathrm{cl}(x)$ , विहित प्रक्षेप कहलाता है।

सार्वत्रिक गुणधर्म (गुणनखंडन): यदि $f \colon E \to F$ संबंध $\mathcal{R}$ के साथ संगत है (अर्थात् $x \mathbin{\mathcal{R}} y \implies f(x) = f(y)$ ), तो $f = \overline f \circ \pi$ को पूरा करने वाला ठीक एक प्रतिचित्रण $\overline f \colon E/\mathcal{R} \to F$ विद्यमान है।

सार्वत्रिक गुणधर्म की उपपत्ति. अद्वितीयता: शर्त $f = \overline f \circ \pi$ का अर्थ है

\overline f\bigl(\mathrm{cl}(x)\bigr) = f(x) \qquad (x \in E),

और चूँकि $\pi$ आच्छादक है, $E/\mathcal{R}$ का हर अवयव किसी न किसी $\mathrm{cl}(x)$ के रूप में आता है: इस प्रकार $\overline f$ के सभी मान बँध जाते हैं। अस्तित्व: उपर्युक्त प्रदर्शन को ही $\overline f$ की परिभाषा मान लीजिए; संगतता के कारण वह असंदिग्ध है — यदि $\mathrm{cl}(x) = \mathrm{cl}(y)$ , तो $x \mathbin{\mathcal{R}} y$ , अतः $f(x) = f(y)$ , और दोनों संभावित मान मिल जाते हैं — और रचना से ही वह $f$ का गुणनखंडन देता है। श्रम-विभाजन पर ध्यान दीजिए: $\pi$ की आच्छादकता अद्वितीयता देती है, संगतता अस्तित्व। ∎

उदाहरण 1.4

$\Z/n\Z$ सर्वांगसमता मॉड $n$ द्वारा $\Z$ का विभाग है; प्रथम वर्ष के खंड में की गई सुपरिभाषितता की जाँचें सार्वत्रिक गुणधर्म के ही उदाहरण थीं। विभाग “प्रतिनिधियों पर संगत रचनाओं” को सच्चे प्रतिचित्रणों में बदल देते हैं — आगे हम इसका निरंतर उपयोग करेंगे।

1.2 गणनीयता और गणनसंख्या

परिभाषा 1.5 (समशक्तता, गणनीयता)

दो समुच्चय समशक्त कहलाते हैं जब उनके बीच कोई एकैकी आच्छादक प्रतिचित्रण हो। कोई समुच्चय गणनीय कहलाता है जब वह $\N$ के समशक्त हो (कुछ लेखक परिमित समुच्चयों को भी सम्मिलित करते हैं; “परिमित या गणनीय” के लिए हम अधिकतम गणनीय कहते हैं)।

प्रतिज्ञप्ति 1.6 (स्थायित्व के गुणधर्म)

$\N$ का प्रत्येक अनंत उपसमुच्चय गणनीय है; कोई समुच्चय अधिकतम गणनीय है यदि और केवल यदि वह $\N$ में एकैकी रूप से जाता है, यदि और केवल यदि वह रिक्त है अथवा $\N$ का आच्छादक प्रतिबिंब है।
$\N \times \N$ गणनीय है; दो अधिकतम गणनीय समुच्चयों का गुणन भी अधिकतम गणनीय है।
अधिकतम गणनीय समुच्चयों का अधिकतम गणनीय सम्मिलन अधिकतम गणनीय होता है।
$\Z$ और $\Q$ गणनीय हैं।

उपपत्ति. (1) किसी अनंत $A \subseteq \N$ को बार-बार न्यूनतम लेकर सूचीबद्ध कीजिए: $a_0 = \min A$ , $a_{k+1} = \min\,(A \setminus \{a_0, \dots, a_k\})$ ( $A$ अनंत होने से ये रिक्त नहीं होते); प्रतिचित्रण $k \mapsto a_k$ निरंतर वर्धमान, एकैकी तथा $A$ पर आच्छादक है (हर $a \in A$ $A$ के केवल परिमित अवयवों से बड़ा होता है, अतः उस तक पहुँचा जाता है)। यदि $E$ $\varphi$ के द्वारा $\N$ में एकैकी रूप से जाता है, तो $E$ $\varphi(E) \subseteq \N$ के समशक्त है: अर्थात् परिमित या गणनीय। यदि $s \colon \N \to E$ आच्छादक है, तो $x \mapsto \min s^{-1}(\{x\})$ $E$ को $\N$ में एकैकी रूप से भेजता है।

(2) प्रतिचित्रण $(p, q) \mapsto 2^p(2q + 1) - 1$ एक एकैकी आच्छादक प्रतिचित्रण $\N^2 \to \N$ है (अनन्य गुणनखंडन से हर धनात्मक पूर्णांक का विषम–सम विभाजन $2^p m$ अद्वितीय है, जहाँ $m$ विषम है)। गुणन के लिए: एकैकी प्रतिचित्रणों का संयोजन लीजिए।

(3) आच्छादनों $s_n \colon \N \to E_n$ सहित समुच्चय $E_n$ दिए हों (कोई $E_n$ परिमित हो तो भी हानि नहीं: मान दोहरा दीजिए), तो प्रतिचित्रण $(n, k) \mapsto s_n(k)$ गणनीय $\N^2$ से $\bigcup E_n$ पर एक आच्छादन है।

(4) $\Z = \N \cup (-\N^*)$ : गणनीय सम्मिलन। $\Q$ $\Z \times \N^*$ का आच्छादक प्रतिबिंब है (भिन्न वाला प्रतिचित्रण), अतः अधिकतम गणनीय, और अनंत भी। ∎

उदाहरण 1.7 (एक युग्मन फलन, कार्य करते हुए)

उपपत्ति में आया एकैकी आच्छादक प्रतिचित्रण $(p, q) \mapsto 2^p(2q + 1) - 1$ काम करते हुए देखने योग्य है। उसके पहले कुछ मान:

\begin{array}{c|ccccc} & q = 0 & q = 1 & q = 2 & q = 3 & q = 4\\ \hline p = 0 & 0 & 2 & 4 & 6 & 8\\ p = 1 & 1 & 5 & 9 & 13 & 17\\ p = 2 & 3 & 11 & 19 & 27 & 35\\ p = 3 & 7 & 23 & 39 & 55 & 71 \end{array}

पंक्ति $p$ उन पूर्णांकों $n$ को इकट्ठा करती है जिनके लिए $n + 1$ ठीक $2^p$ से विभाज्य है: हर प्राकृत संख्या ठीक एक बार प्रकट होती है। विसंकेतन संकेतन जितना ही स्पष्ट है: $n = 43$ के लिए गुणनखंडन $n + 1 = 44 = 2^2\cdot 11 = 2^2(2\cdot5 + 1)$ कीजिए, अतः $(p, q) = (2, 5)$ । समापन दृष्टि: गणनीयता की उपपत्तियाँ प्रायः भेस बदले हुए कलनविधियाँ होती हैं — यहाँ, “दो के गुणनखंड बाहर निकालिए”।

उदाहरण 1.8 (बीजीय संख्याएँ गणनीय हैं)

कोई सम्मिश्र संख्या बीजीय कहलाती है जब वह परिमेय गुणांकों वाले किसी अशून्य बहुपद का मूल हो। बीजीय संख्याओं का समुच्चय $\overline\Q$ गणनीय है: $\Q$ पर घात $\leq d$ के बहुपद $\Q^{d+1}$ में एकैकी रूप से जाते हैं, जो गणनीय समुच्चयों का परिमित गुणन है (प्रतिज्ञप्ति 1.6 (2)); $d$ पर सम्मिलन लेने से अशून्य परिमेय बहुपदों की गणना $P_0, P_1, P_2, \dots$ के रूप में हो जाती है; प्रत्येक $P_k$ के मूल परिमित हैं; और

\overline\Q = \bigcup_{k \in \N}\ \{\text{मूल } P_k\}

परिमित समुच्चयों का गणनीय सम्मिलन है (प्रतिज्ञप्ति 1.6 (3)), तथा अनंत है क्योंकि इसमें $\Q$ समाहित है। $\R$ की अगणनीयता (नीचे प्रमेय 1.9) के साथ मिलाकर यह सिद्ध करता है — एक भी उदाहरण दिखाए बिना — कि अबीजीय संख्याएँ विद्यमान हैं और अगणनीय बहुमत बनाती हैं: यही कैंटर का 1874 का गणना-तर्क है, केवल गणनसंख्या से अस्तित्व।

प्रमेय 1.9 (कैंटर; $\R$ की अगणनीयता)

प्रत्येक समुच्चय $E$ के लिए कोई आच्छादन $E \to \mathcal{P}(E)$ नहीं होता।
$\R$ गणनीय नहीं है।

उपपत्ति. (1) प्रथम वर्ष के खंड में सिद्ध हो चुका है (विकर्ण समुच्चय $D = \{x : x \notin f(x)\}$ )।

(2) मान लीजिए $(x_n)_{n \in \N}$ $\R$ की गणना करता है। ऐसे अंतःस्थ खंड $I_0 \supseteq I_1 \supseteq \dots$ बनाइए जिनके लिए $\abs{I_n} = 3^{-n}$ तथा $x_n \notin I_n$ हो: वर्तमान खंड को तीन संवृत तिहाइयों में बाँटिए; कम से कम एक तिहाई $x_n$ से बचती है (कोई बिंदु तीनों में से अधिकतम दो को छूता है)। अंतःस्थ खंडों की प्रमेय (सटे हुए अंत्यबिंदु) $\ell \in \bigcap_n I_n$ देती है; परंतु किसी $N$ के लिए $\ell = x_N$ , और $x_N \notin I_N$ : विरोधाभास। ∎

प्रमेय 1.10 (कैंटर–बर्नस्टाइन)

यदि $E$ $F$ में एकैकी रूप से जाता है और $F$ $E$ में, तो $E$ और $F$ समशक्त हैं।

उपपत्ति. मान लीजिए $f \colon E \to F$ और $g \colon F \to E$ एकैकी प्रतिचित्रण हैं। प्रत्येक बिंदु के लिए (चाहे वह $E$ का हो या $F$ का) क्रमिक पूर्वप्रतिबिंबों की उसकी पूर्वज-शृंखला $x \mapsto g^{-1}(x) \mapsto f^{-1}(g^{-1}(x)) \mapsto \dots$ खींचिए — जब तक वर्तमान बिंदु संबंधित एकैकी प्रतिचित्रण के प्रतिबिंब में है तब तक हर पग परिभाषित है, और एकैकीपन से अद्वितीय भी। तीन परस्पर अपवर्जी परिणतियाँ होती हैं: शृंखला $E \setminus g(F)$ के किसी बिंदु पर रुक जाती है ( $E$ में उद्गम), $F \setminus f(E)$ के किसी बिंदु पर रुक जाती है ( $F$ में उद्गम), अथवा कभी नहीं रुकती। इससे $E = E_E \cup E_F \cup E_\infty$ और $F = F_E \cup F_F \cup F_\infty$ का उद्गम के अनुसार विभाजन हो जाता है।

अब देखिए: $f$ $E_E$ को $F_E$ पर भेजता है — $f(x)$ की शृंखला $x$ की शृंखला के आगे एक पग जोड़ने से बनती है, अतः उद्गम एक ही रहते हैं; और हर $y \in F_E$ की शृंखला में कम से कम एक पग होता है (उसका उद्गम $E$ में है), अतः $x \in E_E$ के साथ $y = f(x)$ । यही तर्क एकैकी आच्छादक प्रतिचित्रण $f \colon E_\infty \to F_\infty$ और $g \colon F_F \to E_F$ देता है। जोड़ने पर,

h(x) = \begin{cases} f(x) & \text{यदि } x \in E_E \cup E_\infty,\\ g^{-1}(x) & \text{यदि } x \in E_F, \end{cases}

$E$ से $F = F_E \cup F_\infty \cup F_F$ पर एकैकी आच्छादक प्रतिचित्रण बन जाता है: यह टुकड़ों में एकैकी आच्छादक है, और लक्ष्य के तीनों टुकड़े असंयुक्त हैं। ∎

उदाहरण 1.11

$\intoo{0}{1}$ और $\intcc{0}{1}$ समशक्त हैं: एक दिशा में तत्समक एकैकी है, दूसरी दिशा में $x \mapsto \frac{x + 1}{3}$ ; और प्रमेय (अनिवार्यतः असंतत) एकैकी आच्छादक प्रतिचित्रण गढ़ देती है। इसी प्रकार $\R$ , $\intoo{0}{1}$ ( $\tanh$ प्रकार के एकैकी आच्छादक प्रतिचित्रणों से) तथा $\mathcal{P}(\N)$ (द्विआधारी प्रसार, अभ्यास 1.3) सब समशक्त हैं: यही “सांतत्यक की गणनसंख्या” है।

उदाहरण 1.12 (खंड और वर्ग)

$\intcc{0}{1}$ और $\intcc{0}{1}^2$ समशक्त हैं — गणनसंख्या को विमा दिखाई ही नहीं देती। एक दिशा का एकैकी प्रतिचित्रण तुच्छ है: $x \mapsto (x, 0)$ । दूसरी दिशा के लिए $(x, y)$ को उस वास्तविक संख्या पर भेजिए जिसके दशमलव अंक $x$ और $y$ के अंकों को एक के बाद एक पिरोकर बनते हैं,

(0.x_1x_2x_3\dots,\ 0.y_1y_2y_3\dots) \;\longmapsto\; 0.x_1y_1x_2y_2x_3y_3\dots,

जहाँ प्रत्येक निर्देशांक के लिए वह प्रसार चुना जाता है जो अंत तक सब $9$ न हो: इस परिपाटी से प्रतिबिंब के अंक $x$ और $y$ के अंक तय कर देते हैं, अतः प्रतिचित्रण एकैकी है (आच्छादक होना आवश्यक नहीं — प्रतिबिंबों के, मान लीजिए, विषम स्थानों के अंक अंततः $9$ कभी नहीं होते — और यह ठीक ही है)। कैंटर–बर्नस्टाइन (प्रमेय 1.10) इससे सच्चा एकैकी आच्छादक प्रतिचित्रण जोड़ देती है। संततता की आशा तो निरर्थक है: दोनों के बीच संतत एकैकी आच्छादक प्रतिचित्रण असंभव है — दूरिक अध्याय बताएँगे क्यों (संबद्धता रेखा को समतल से अलग करती है, अध्याय 4)।

1.3 समूह

परिभाषा 1.13 (जनित उपसमूह; कोटि)

मान लीजिए $G$ एक समूह है और $A \subseteq G$ । $A$ द्वारा जनित उपसमूह, जिसे $\langle A \rangle$ लिखा जाता है, $A$ को समाहित करने वाला सबसे छोटा उपसमूह है — मूर्त रूप में, $A$ के अवयवों तथा उनके प्रतिलोमों के सभी परिमित गुणनफल। कोई समूह चक्रीय कहलाता है जब वह एक ही अवयव से जनित हो: $\langle a\rangle = \{a^k : k \in \Z\}$ । $a \in G$ की कोटि $\operatorname{ord}(a) = \abs{\langle a \rangle}$ है (जो अनंत भी हो सकती है); परिमित होने पर वह न्यूनतम ऐसा $n \geq 1$ है जिसके लिए $a^n = e$ , और $a^k = e \iff \operatorname{ord}(a) \mid k$ ।

कोटि के अभिलक्षण की उपपत्ति. यदि किसी $a^m = e$ के लिए $m \geq 1$ , तो $n \geq 1$ को न्यूनतम ऐसा लीजिए जिसके लिए $a^n = e$ । तब अवयव $e, a, \dots, a^{n-1}$ परस्पर भिन्न हैं ( $0 \leq i < j < n$ के साथ $a^{i} = a^{j}$ से $a^{j-i} = e$ मिलता, जो न्यूनतमता के विरुद्ध है), और यूक्लिडीय विभाजन $k = nq + r$ से हर $a^k$ उन्हीं में से किसी एक पर सिमट जाता है: अतः $\langle a\rangle$ में ठीक $n$ अवयव हैं, और $a^k = a^r = e \iff r = 0 \iff n \mid k$ । यदि कोई भी घात तत्समक न हो, तो सभी $a^k$ ( $k \in \Z$ ) भिन्न हैं (वही विभाजन वाला तर्क) और कोटि अनंत है। ∎

प्रमेय 1.14 (लाग्रांज)

मान लीजिए $G$ एक परिमित समूह है और $H$ उसका उपसमूह। तब $\abs H$ $\abs G$ को विभाजित करता है। विशेष रूप से प्रत्येक अवयव की कोटि $\abs G$ को विभाजित करती है, और सभी $a \in G$ के लिए $a^{\abs G} = e$ ।

उपपत्ति. संबंध $x \sim y \iff x^{-1}y \in H$ एक तुल्यता संबंध है (स्वतुल्य: $e \in H$ ; सममित: प्रतिलोम लीजिए; संक्रामक: गुणनफल लीजिए)। $x$ का वर्ग वाम सहसमुच्चय $xH = \{xh : h \in H\}$ है, और $h \mapsto xh$ एक एकैकी आच्छादक प्रतिचित्रण $H \to xH$ है (प्रतिलोम $y \mapsto x^{-1}y$ ): अतः सभी वर्गों में $\abs H$ अवयव हैं। वर्ग $G$ का विभाजन करते हैं (प्रथम वर्ष के खंड की सामान्य विभाजन प्रमेय), अतः $\abs G = \abs H \times (\text{सहसमुच्चयों की संख्या})$ । किसी अवयव के लिए: यही $H = \langle a\rangle$ पर लगाइए; तब $a^{\abs G} = (a^{\operatorname{ord} a})^{\abs G / \operatorname{ord} a} = e$ । ∎

उदाहरण 1.15 (सहसमुच्चय काम करते हुए: $\mathfrak{S}_3$ के भीतर $A_3$ )

लीजिए $G = \mathfrak{S}_3$ (कोटि $6$ ) और $H = A_3 = \{\mathrm{id},\ (1\,2\,3),\ (1\,3\,2)\}$ । वाम सहसमुच्चय ये हैं:

H = \{\mathrm{id},\ (1\,2\,3),\ (1\,3\,2)\}, \qquad (1\,2)H = \{(1\,2),\ (2\,3),\ (1\,3)\} :

अर्थात् तीन-तीन अवयवों के दो वर्ग $G$ का विभाजन करते हैं, ठीक वैसे ही जैसी गणना $\abs G = \abs H \times (\text{सहसमुच्चयों की संख्या})$ माँगती है — और स्पष्टतः यह सम और विषम क्रमचयों का विभाजन है। ध्यान दीजिए कि $(1\,3)H = (1\,2)H$ , यद्यपि $(1\,3) \neq (1\,2)$ : सहसमुच्चय वर्ग हैं, अपने प्रतिनिधियों से नामांकित नहीं, और $x^{-1}y \in H$ ही एकमात्र वैध तुलना है। दो वर्गों वाला यह चित्र चिह्न के लिए सामान्य चित्र है: $A_n$ और उसका अकेला साथी सहसमुच्चय $\mathfrak{S}_n$ को आधा-आधा बाँट देते हैं, और इसी से सप्ताहांत समस्या पहुँच योग्य पहेली-स्थितियाँ गिनती है।

उदाहरण 1.16

दो तत्काल लाभ। अभाज्य कोटि के समूह चक्रीय होते हैं: यदि $\abs G = p$ अभाज्य है और $a \neq e$ , तो $\operatorname{ord}(a)$ $p$ को विभाजित करता है और $1$ नहीं है, अतः वह $p$ है: $\langle a\rangle = G$ । $\Z/12\Z$ का उपसमूह जालक: नीचे प्रतिज्ञप्ति 1.17 के अनुसार $12$ के प्रत्येक भाजक के लिए ठीक एक उपसमूह है — कोटियाँ $1, 2, 3, 4, 6, 12$ , जो क्रमशः $\overline 0$ , $\overline 6$ , $\overline 4$ , $\overline 3$ , $\overline 2$ , $\overline 1$ से जनित हैं। समापन चेतावनी: लाग्रांज का विलोम सामान्यतः विफल रहता है — $A_4$ की कोटि $12$ है परंतु उसमें कोटि $6$ का कोई उपसमूह नहीं, जैसा इस अध्याय की सप्ताहांत समस्या (समस्या 1.1, प्रश्न 14) में सिद्ध किया गया है। लाग्रांज संभव कोटियों को सीमित करता है; उनका वचन नहीं देता।

ℤ/12ℤ का उपसमूह जालक: 12 के प्रत्येक भाजक के लिए एक उपसमूह (), और जहाँ एक दूसरे को अभाज्य सूचकांक के साथ समाहित करता है वहाँ एक भुजा। अंतर्भाव जनक की विभाज्यता के विरुद्ध चलते हैं: 4 ⊂eq 2 क्योंकि 4 2 का गुणज है। — $\Z/12\Z$ का उपसमूह जालक: $12$ के प्रत्येक भाजक के लिए एक उपसमूह (प्रतिज्ञप्ति 1.17), और जहाँ एक दूसरे को अभाज्य सूचकांक के साथ समाहित करता है वहाँ एक भुजा। अंतर्भाव जनक की विभाज्यता के *विरुद्ध* चलते हैं: $\langle\overline 4\rangle \subseteq \langle\overline2\rangle$ क्योंकि $4$ $2$ का गुणज है।

प्रतिज्ञप्ति 1.17 (चक्रीय समूह)

मान लीजिए $G = \langle a \rangle$ कोटि $n$ का चक्रीय समूह है।

$\overline k \mapsto a^k$ के द्वारा $G$ $(\Z/n\Z, +)$ के तुल्याकारी है।
$G$ का प्रत्येक उपसमूह चक्रीय है; प्रत्येक भाजक $d \mid n$ के लिए कोटि $d$ का ठीक एक उपसमूह है, अर्थात् $\langle a^{n/d}\rangle$ ।
$a^k$ $G$ को जनित करता है यदि और केवल यदि $\gcd(k, n) = 1$ : अतः $G$ के $\varphi(n)$ जनक हैं (ऑयलर फलन)।

उपपत्ति. (1) $\Z$ से $G$ पर प्रतिचित्रण $k \mapsto a^k$ मॉड $n$ सर्वांगसमता के साथ संगत है (कोटि के अभिलक्षण से $a^{k} = a^{k'} \iff n \mid k - k'$ ); सार्वत्रिक गुणधर्म (परिभाषा 1.3) से $\Z/n\Z$ से एक सुपरिभाषित एकैकी आच्छादक समाकारिता प्राप्त होती है।

(2) मान लीजिए $H \leq G$ अतुच्छ है और $m$ न्यूनतम ऐसा $\geq 1$ है जिसके लिए $a^m \in H$ । यूक्लिडीय विभाजन से $H = \langle a^m\rangle$ मिलता है ( $a^k \in H$ के लिए: $k = mq + r$ से $a^r \in H$ आवश्यक हो जाता है, अतः $r = 0$ ), तथा $m \mid n$ ( $m$ से $n$ का विभाजन कीजिए: $a^{n \bmod m} \in H$ )। तब $\abs H = n/m$ ; और $m = n/d$ लेने पर प्रत्येक भाजक $d$ साकार हो जाता है। अद्वितीयता: कोटि $d$ का कोई भी उपसमूह, उपर्युक्त के अनुसार, $n/m = d$ सहित $\langle a^m \rangle$ के रूप का होता है — अतः $m = n/d$ निर्धारित है और उपसमूह भी।

(3) हमारा दावा है कि $\operatorname{ord}(a^k) = \frac{n}{\gcd(k, n)}$ । लिखिए $d = \gcd(k, n)$ । किसी भी $m \geq 1$ के लिए परिभाषा 1.13 की कोटि का अभिलक्षण तुल्यताओं की यह शृंखला देता है

(a^k)^m = e \iff n \mid km \iff \frac{n}{d} \,\Big|\, \frac{k}{d}\,m \iff \frac{n}{d} \,\Big|\, m ,

जिसमें अंतिम पग गाउस की प्रमेयिका से आता है, क्योंकि $\frac nd$ और $\frac kd$ सहअभाज्य हैं। ऐसा न्यूनतम $m$ $\frac nd$ है: $\operatorname{ord}(a^k) = \frac n{\gcd(k,n)}$ , जो $n$ के बराबर है यदि और केवल यदि $\gcd(k, n) = 1$ । $n$ के सापेक्ष ऐसे $\varphi(n)$ वर्ग $k$ होते हैं। ∎

1.4 सममित समूह

परिभाषा 1.18

$\mathfrak{S}_n$ $\intint{1}{n}$ के क्रमचयों का समूह है (कोटि $n!$ )। एक चक्र $(a_1\,a_2\,\cdots\,a_k)$ $a_1 \mapsto a_2 \mapsto \dots \mapsto a_k \mapsto a_1$ को भेजता है और शेष सब कुछ अचर छोड़ देता है; $k$ उसकी लंबाई है, और $2$ -चक्र पार्यय कहलाता है। दो चक्र असंयुक्त कहलाते हैं जब उनके वाहक (अनचर बिंदु) असंयुक्त हों।

प्रमेय 1.19 (चक्र अपघटन)

प्रत्येक क्रमचय $\sigma \neq \mathrm{id}$ परस्पर असंयुक्त चक्रों का गुणनफल है, और गुणनखंडों के क्रम को छोड़कर यह अद्वितीय है। असंयुक्त चक्र क्रमविनिमेय होते हैं, और $\operatorname{ord}(\sigma)$ लंबाइयों का लघुत्तम समापवर्त्य है।

उपपत्ति. $\sigma$ के वाहक पर “कक्षा” संबंध लीजिए: $x \sim y$ यदि और केवल यदि किसी $k \in \Z$ के लिए $y = \sigma^k(x)$ — यह एक तुल्यता संबंध है। प्रत्येक वर्ग $\{x, \sigma(x), \dots, \sigma^{k-1}(x)\}$ (परिमित होने से पुनरावृत्तियाँ चक्र बनाती हैं — एकैकीपन के कारण पहली पुनरावृत्ति $x$ पर ही लौटनी चाहिए) चक्र $(x\ \sigma(x)\ \cdots\ \sigma^{k-1}(x))$ वहन करता है, और $\sigma$ इन्हीं चक्रों का गुणनफल है: प्रत्येक कक्षा पर केवल संगत चक्र क्रिया करता है। अद्वितीयता: असंयुक्त चक्रों में कोई भी गुणनखंडन ठीक इन्हीं कक्षाओं को पुनः उत्पन्न करता है ( $x$ से होकर जाने वाला चक्र $(x\ \sigma(x)\ \cdots)$ ही होना चाहिए)। असंयुक्त चक्र क्रमविनिमेय हैं क्योंकि वे असंयुक्त बिंदुओं को हिलाते हैं; और कोटि वाला कथन इसलिए मिलता है कि $\sigma^m = \mathrm{id}$ तभी होता है जब हर चक्र की $m$ -वीं घात तत्समक हो (असंयुक्तता से), अर्थात् जब हर लंबाई $m$ को विभाजित करे। ∎

उदाहरण 1.20 (चक्र-प्रकार एक जनगणना के रूप में)

$\mathfrak{S}_9$ के कितने क्रमचयों का चक्र-प्रकार $(4, 3, 2)$ है — अर्थात् एक $4$ -चक्र, एक $3$ -चक्र और एक पार्यय? वाहक तथा चक्रीय क्रम चुनिए:

\frac{9!}{4\cdot 3\cdot 2} = \frac{362\,880}{24} = 15\,120 :

नौ प्रतीकों को एक पंक्ति में रखिए ( $9!$ प्रकार से), पहले चार, अगले तीन और अंतिम दो को चक्रों में बाँधिए, और प्रत्येक बंधन के भीतर के घूर्णनों से भाग दीजिए (जो क्रमशः $4$ , $3$ और $2$ हैं) क्योंकि वे वही क्रमचय देते हैं। (यहाँ चक्रों की लंबाइयाँ भिन्न हैं, अतः और भाग नहीं देना पड़ता; समान लंबाइयाँ होतीं तो समान बंधनों के क्रमचयों से भी भाग देना पड़ता।) ऐसे प्रत्येक क्रमचय की कोटि $\operatorname{lcm}(4,3,2) = 12$ और चिह्न $(-1)^3(-1)^2(-1)^1 = +1$ होता है (प्रमेय 1.19 तथा नीचे दी गई चिह्न-प्रमेय से)। $9$ का एक विभाजन, एक संयुग्मता वर्ग, एक जनगणना — $\mathfrak{S}_n$ का संचयशास्त्र विभाजनों का अंकगणित ही है।

प्रमेय 1.21 (चिह्न)

ठीक एक समूह समाकारिता $\varepsilon \colon \mathfrak{S}_n \to \{\pm 1\}$ ऐसी है ( $n \geq 2$ के लिए) जो पार्ययों पर मान $-1$ लेती है: यही चिह्न है। इसके अतिरिक्त $\varepsilon(\sigma) = (-1)^{I(\sigma)}$ , जहाँ $I(\sigma)$ व्युत्क्रमों की संख्या है (अर्थात् ऐसे युग्म $i < j$ जिनके लिए $\sigma(i) > \sigma(j)$ ); $k$ -चक्र का चिह्न $(-1)^{k-1}$ होता है, और एकांतर समूह $A_n = \ker\varepsilon$ की कोटि $\frac{n!}{2}$ है।

उपपत्ति. अस्तित्व। $\sigma \in \mathfrak{S}_n$ के लिए रखिए

\varepsilon(\sigma) = \prod_{1 \leq i < j \leq n} \frac{\sigma(j) - \sigma(i)}{j - i} .

गुणनखंडों के निरपेक्ष मान गुणा होकर $1$ देते हैं (अक्रमित युग्म $\{\sigma(i), \sigma(j)\}$ सभी युग्मों पर घूमते हैं), अतः $\varepsilon(\sigma) = (-1)^{I(\sigma)} \in \{\pm1\}$ । समाकारिता: $\sigma, \tau$ के लिए,

\varepsilon(\sigma\tau) = \prod_{i<j} \frac{\sigma(\tau(j)) - \sigma(\tau(i))}{j - i} = \prod_{i<j} \frac{\sigma(\tau(j)) - \sigma(\tau(i))}{\tau(j) - \tau(i)} \cdot \prod_{i<j} \frac{\tau(j) - \tau(i)}{j - i} = \varepsilon(\sigma)\,\varepsilon(\tau),

जहाँ बीच का गुणनफल युग्मों $\{\tau(i), \tau(j)\}$ के अनुसार पुनः सूचीबद्ध करने पर $\varepsilon(\sigma)$ हो जाता है (प्रत्येक अक्रमित युग्म एक ही बार आता है, और अंश तथा हर का चिह्न साथ-साथ बदलता है)। $a < b$ सहित पार्यय $\tau = (a\,b)$ में व्युत्क्रमों की संख्या विषम होती है; ठीक-ठीक गिनने पर, $\tau(i) > \tau(j)$ वाले व्युत्क्रमित युग्म $(i, j)$ , $i < j$ ये हैं:

(a, j) \ \text{, जहाँ } a < j < b, \qquad (i, b) \ \text{, जहाँ } a < i < b, \qquad (a, b) \ \text{ स्वयं},

अर्थात् कुल $(b - a - 1) + (b - a - 1) + 1 = 2(b - a) - 1$ , जो विषम है। (वैकल्पिक रूप से: सीधे $(1\,2)$ की जाँच कीजिए, जिसमें एक ही व्युत्क्रम है, और फिर संयुग्मन कीजिए — संयुग्मियों के चिह्न बराबर होते हैं क्योंकि $\varepsilon$ क्रमविनिमेय समूह में जाने वाली समाकारिता है।) अतः $\varepsilon((a\,b)) = (-1)^{2(b-a)-1} = -1$ ।

अद्वितीयता। पार्यय $\mathfrak{S}_n$ को जनित करते हैं (कोई भी चक्र $(a_1\cdots a_k) = (a_1\,a_k)(a_1\,a_{k-1})\cdots(a_1\,a_2)$ है, और प्रमेय 1.19 शेष काम कर देता है); और $\{\pm1\}$ में जाने वाली समाकारिता जनकों पर अपने मानों से पूर्णतः निर्धारित हो जाती है।

परिणाम। ऊपर की चक्र-सर्वसमिका $k$ -चक्र को $k - 1$ पार्ययों के रूप में लिखती है: अतः चिह्न $(-1)^{k-1}$ । $A_n$ : समाकारिता $\varepsilon$ आच्छादक है ( $n \geq 2$ के लिए पार्यय विद्यमान हैं), और दोनों “सहसमुच्चय” $A_n$ तथा $(1\,2)A_n$ समशक्त हैं और $\mathfrak{S}_n$ का विभाजन करते हैं (लाग्रांज वाला तर्क): अतः $\abs{A_n} = \frac{n!}{2}$ । ∎

उदाहरण 1.22

$\sigma = \begin{pmatrix} 1&2&3&4&5&6\\ 3&6&5&4&1&2 \end{pmatrix} = (1\,3\,5)(2\,6)$ : कोटि $\operatorname{lcm}(3,2) = 6$ , चिह्न $(-1)^{2}\cdot(-1)^{1} = -1$ । फेंटने की सम-विषमता जाँचने का सबसे तेज़ साधन चिह्न ही है — और अध्याय 2 में सारणिक का इंजन भी वही है।

उदाहरण 1.23 (एक ही चिह्न तक तीन रास्ते)

मान लीजिए $\sigma \in \mathfrak{S}_5$ $1, 2, 3, 4, 5$ को $3, 5, 4, 1, 2$ पर भेजता है। चक्रों से: $1 \mapsto 3 \mapsto 4 \mapsto 1$ और $2 \mapsto 5 \mapsto 2$ , अतः $\sigma = (1\,3\,4)(2\,5)$ तथा $\varepsilon(\sigma) = (-1)^{2}(-1)^{1} = -1$ । व्युत्क्रमों से: मानों की सूची $3, 5, 4, 1, 2$ में क्रम-भंग करने वाले युग्म $(3,1)$ , $(3,2)$ , $(5,4)$ , $(5,1)$ , $(5,2)$ , $(4,1)$ , $(4,2)$ हैं: कुल सात, और $(-1)^7 = -1$ । पार्ययों से: $\sigma = (1\,4)(1\,3)(2\,5)$ , तीन गुणनखंड, अतः $(-1)^3 = -1$ । तीन परिकलन, एक ही सम-विषमता: प्रमेय 1.21 की अद्वितीयता इसकी गारंटी देती है कि कोई भी लेखा-पद्धति इन्हें कभी असहमत नहीं कर सकती — और यही $\varepsilon$ को एक अपरिवर्त्य के रूप में उपयोगी बनाता है (सप्ताहांत समस्या देखिए)।

टिप्पणी 1.24 (यहाँ से चिह्न कहाँ जाता है)

चिह्न आगे की तीन फसलों का बीज है: अध्याय 2 में यह सारणिक और उसका गुणनफल-नियम बनाता है; संचयात्मक पहेलियों के लिए यह सम-विषमता के अपरिवर्त्य देता है (इस अध्याय की सप्ताहांत समस्या इसी से पंद्रह पहेली हल करती है); और इससे परिभाषित एकांतर समूह $A_n$ तृतीय वर्ष के खंड में केंद्रीय हो जाते हैं, जहाँ $n \geq 5$ के लिए उनकी सरलता यह समझाती है कि घात $5$ के समीकरण करणियों द्वारा हल क्यों नहीं होते।

1.5 वलय, गुणजावलियाँ, विभाग

परिभाषा 1.25 (गुणजावली)

मान लीजिए $A$ एक क्रमविनिमेय वलय है। गुणजावली $I \subseteq A$ एक ऐसा योज्य उपसमूह है कि सभी $a \in A$ , $x \in I$ के लिए $a x \in I$ हो। वलय समाकारिताओं के केंद्रक गुणजावलियाँ होते हैं; $I = A$ यदि और केवल यदि $1 \in I$ , यदि और केवल यदि $I$ में कोई इकाई है। $x$ द्वारा जनित गुणजावली $xA = \{xa\}$ है (एक मुख्य गुणजावली)।

प्रमेय 1.26 ( $\Z$ तथा $K[X]$ की गुणजावलियाँ)

$\Z$ की प्रत्येक गुणजावली किसी अद्वितीय $n \in \N$ के लिए $n\Z$ है; और $K[X]$ ( $K$ एक क्षेत्र) की प्रत्येक गुणजावली किसी अद्वितीय एकिक (अथवा शून्य) $P$ के लिए $P\,K[X]$ है। फलतः दोनों वलयों में महत्तम समापवर्तक विद्यमान होते हैं और उनके साथ बेज़ू संबंध भी: $x\Z + y\Z = \gcd(x,y)\Z$ , और बहुपदों के लिए भी वैसे ही।

उपपत्ति. $\Z$ के लिए यह प्रथम वर्ष के खंड की उपसमूह-प्रमेय ही थी (गुणजावली विशेष रूप से उपसमूह होती है, और $n\Z$ एक गुणजावली है)। $K[X]$ के लिए: मान लीजिए $I \neq \{0\}$ एक गुणजावली है और $P \in I$ उसमें न्यूनतम घात का अशून्य अवयव, जिसे एकिक बना लिया गया है। $F \in I$ के लिए यूक्लिडीय विभाजन $F = PQ + R$ से $\deg R < \deg P$ सहित $R = F - PQ \in I$ मिलता है: न्यूनतमता से $R = 0$ आवश्यक हो जाता है, अतः $I = P\,K[X]$ । अद्वितीयता: दो एकिक जनक एक-दूसरे को विभाजित करते हैं। बेज़ू के कथन गुणजावली $x\Z + y\Z$ (अथवा उसके बहुपद-रूप) की महत्तम समापवर्तक की मुख्य गुणजावली के साथ समता ही हैं — प्रथम वर्ष में प्रयुक्त महत्तम समापवर्तक की वही परिभाषा, जिसे अब गुणजावलियों का कथन मान लिया गया है। ∎

उदाहरण 1.27 (बहुपदों का महत्तम समापवर्तक, दो प्रकार से)

$\Q[X]$ में $\gcd(X^3 - 1,\ X^2 - 1)$ परिकलित कीजिए। यूक्लिड से:

X^3 - 1 = X\,(X^2 - 1) + (X - 1), \qquad X^2 - 1 = (X + 1)(X - 1) + 0 ,

अतः महत्तम समापवर्तक $X - 1$ है, और पीछे प्रतिस्थापन करने से बेज़ू संबंध मिलता है

X - 1 = 1\cdot(X^3 - 1) - X\cdot(X^2 - 1).

गुणजावलियों से: गुणजावली $(X^3 - 1)\Q[X] + (X^2 - 1)\Q[X]$ मुख्य है (प्रमेय 1.26); उसमें $X - 1$ समाहित है (उपर्युक्त प्रदर्शन) और वह स्वयं $(X - 1)\Q[X]$ में समाहित है (दोनों जनक $1$ पर शून्य होते हैं, अतः $X - 1$ के गुणज हैं): इसलिए एकिक जनक $X - 1$ है। समापन दृष्टि: गुणजावली वाली दृष्टि महत्तम समापवर्तक को बिना भाग दिए पहचान लेती है — उभयनिष्ठ मूल गुणजावली का पता दे देते हैं, और यूक्लिड केवल उसकी पुष्टि करता है।

परिभाषा 1.28 (विभाग वलय $\Z/n\Z$ , पुनरावलोकन)

$A$ की किसी गुणजावली $I$ के लिए संबंध $x \sim y \iff x - y \in I$ एक तुल्यता है जो $+$ और $\times$ के साथ संगत है; विभाग समुच्चय $A/I$ को वलय संरचना विरासत में मिलती है — यही विभाग वलय है — जिससे $\pi \colon A \to A/I$ केंद्रक $I$ वाली समाकारिता बन जाती है। $A = \Z$ , $I = n\Z$ के लिए यह प्रथम वर्ष के खंड का $\Z/n\Z$ है, अब अपने सार्वत्रिक गुणधर्म सहित: $I$ को मारने वाली कोई भी समाकारिता $A/I$ से होकर गुणनखंडित होती है।

प्रमेय 1.29 (चीनी शेषफल प्रमेय, वलय-रूप)

यदि $\gcd(m, n) = 1$ , तो प्रतिचित्रण

\Z/mn\Z \longrightarrow \Z/m\Z \times \Z/n\Z, \qquad \overline{x} \longmapsto (x \bmod m,\; x \bmod n)

एक वलय तुल्याकारिता है। फलतः सहअभाज्य $m, n$ के लिए $\varphi(mn) = \varphi(m)\varphi(n)$ , और

\varphi(n) = n \prod_{p \mid n} \Bigl(1 - \frac 1p\Bigr) \quad (p \text{ अभाज्य}).

उपपत्ति. यह प्रतिचित्रण सुपरिभाषित वलय समाकारिता है (संगतताएँ तत्काल दिखती हैं)। एकैकीपन: $m$ मॉड तथा $n$ मॉड $x \equiv 0$ होने पर, $\gcd(m,n) = 1$ के साथ, $mn \mid x$ आवश्यक हो जाता है (गाउस)। आच्छादकता: दोनों पक्षों में $mn$ अवयव हैं, अतः एकैकीपन ही पर्याप्त है (परिमित और समान गणनसंख्याएँ) — अथवा स्पष्ट रूप से: बेज़ू संबंध $um + vn = 1$ से

x = b\,um + a\,vn

का वर्ग $(a \bmod m,\ b \bmod n)$ पर जाता है, क्योंकि $vn = 1 - um \equiv 1 \pmod m$ से $x \equiv a \pmod m$ हो जाता है, और $n$ के सापेक्ष सममित रूप से — यही विधि उदाहरण 1.30 में संख्यात्मक रूप से प्रयुक्त हुई थी। इकाइयाँ इकाइयों के युग्मों से संगत होती हैं (गुणन वलय की इकाइयाँ इकाइयों के युग्म ही हैं), अतः $\varphi(mn) = \varphi(m)\varphi(n)$ । अभाज्य घात के लिए $\varphi(p^k) = p^k - p^{k-1}$ ( $p^k$ के सापेक्ष अनिकाइयाँ $p$ के गुणज हैं); और गुणात्मकता से गुणनफल-सूत्र जुड़ जाता है। ∎

उदाहरण 1.30 (चीनी तुल्याकारिता का प्रतिलोम)

लीजिए $m = 8$ , $n = 9$ । तुल्याकारिता का प्रतिलोम दो वर्गसम अवयवों से स्पष्ट हो जाता है: ऐसे $u \equiv 1 \pmod 8$ , $u \equiv 0 \pmod 9$ खोजिए कि $v \equiv 0 \pmod 8$ , $v \equiv 1 \pmod 9$ हों। $u = 9k \equiv 1 \pmod 8$ से: $k \equiv 1$ , अतः $u = 9$ ; $v = 8k \equiv 1 \pmod 9$ से: $-k \equiv 1$ , $k \equiv 8$ , अतः $v = 64$ । तब $72$ के सापेक्ष $x = 9a + 64b$ का वर्ग $x \equiv a \pmod 8$ , $x \equiv b \pmod 9$ का अद्वितीय हल है: $a = 3$ , $b = 5$ के लिए $27 + 320 = 347 \equiv 59 \pmod{72}$ मिलता है — ठीक वही मध्यवर्ती मान जो अभ्यास 1.8 में प्रतिस्थापन से मिला था। समापन दृष्टि: $u$ और $v$ $72$ के सापेक्ष $u + v \equiv 1$ , $uv \equiv 0$ , $u^2 \equiv u$ , $v^2 \equiv v$ पूरा करते हैं; वे $(1, 0)$ और $(0, 1)$ के प्रतिबिंब हैं, और हर चीनी अपघटन मूलतः $1$ का लंबकोणीय वर्गसम अवयवों में अपघटन ही है।

प्रमेय 1.31 (ऑयलर; फर्मा का पुनरावलोकन)

$\Z/n\Z$ की इकाइयाँ कोटि $\varphi(n)$ का समूह बनाती हैं; अतः $\gcd(a, n) = 1$ के लिए:

a^{\varphi(n)} \equiv 1 \pmod n \qquad (\text{ऑयलर प्रमेय}),

और फर्मा की लघु प्रमेय $n = p$ के अभाज्य होने की स्थिति है, जो अब लाग्रांज से एक ही पंक्ति दूर है।

उपपत्ति. प्रतिलोमनीय वर्ग ठीक वही हैं जो $n$ के सहअभाज्य पूर्णांकों के हैं (प्रथम वर्ष का खंड): उनकी संख्या $\varphi(n)$ है, और वे गुणन के अंतर्गत समूह बनाते हैं। लाग्रांज (प्रमेय 1.14) से: प्रत्येक अवयव की समूह-कोटि वाली घात तत्समक होती है। ∎

उदाहरण 1.32 (बिना जनक का इकाई समूह)

समूह $(\Z/15\Z)^*$ में $\varphi(15) = \varphi(3)\varphi(5) = 8$ अवयव हैं। क्या वह चक्रीय है? चीनी तुल्याकारिता $(\Z/15\Z)^* \simeq (\Z/3\Z)^* \times (\Z/5\Z)^*$ से कोटियाँ परिकलित कीजिए ( $15$ के सापेक्ष कोई इकाई इकाइयों का युग्म होती है): दोनों गुणनखंडों की कोटियाँ $2$ और $4$ हैं, अतः हर अवयव की कोटि $\operatorname{lcm}(2, 4) = 4 < 8$ को विभाजित करती है — कोई भी अवयव जनक नहीं है। मूर्त रूप में:

2^4 = 16 \equiv 1, \qquad 4^2 = 16 \equiv 1, \qquad 7^4 \equiv 1, \qquad 11^2 = 121 \equiv 1, \qquad 14^2 \equiv 1 \pmod{15} :

कोटियाँ $4, 2, 4, 2, 2$ हैं, $8$ कभी नहीं। इसकी तुलना अभ्यास 1.10 से कीजिए: $p$ अभाज्य होने पर $(\Z/p\Z)^*$ चक्रीय है, क्योंकि वहाँ इकाई समूह एक क्षेत्र के भीतर बैठता है। ऑयलर प्रमेय घातांक $\varphi(15) = 8$ के साथ अब भी लागू होती है, परंतु यहाँ सच्चा सार्वत्रिक घातांक $4$ है — ऑयलर एक ऊपरी सीमा देता है, सदा सबसे तीखी नहीं।

परिभाषा 1.33 (बीजगणित)

$K$ -बीजगणित ऐसी $K$ -सदिश समष्टि $A$ है जिस पर वलय संरचना हो और जिसका गुणन $K$ -द्विरैखिक हो। उदाहरण: $K[X]$ , $\mathcal{M}_n(K)$ , $\mathcal{L}(E)$ , फलन समष्टियाँ $\mathcal{F}(X, K)$ , तथा $\R$ -बीजगणित के रूप में $\C$ । बीजगणितों की समाकारिताएँ रैखिक वलय समाकारिताएँ होती हैं; और $K[X]$ से $\mathcal{L}(E)$ (अथवा $\mathcal{M}_n(K)$ ) में जाने वाली मूल्यांकन $P \mapsto P(u)$ केंद्रीय उदाहरण है, जो अध्याय 3 को चलाती है।

उदाहरण 1.34 (एक मूल्यांकन समाकारिता और उसका केंद्रक)

लीजिए $A = \begin{pmatrix}0 & 1\\ 0 & 0\end{pmatrix}$ और मूल्यांकन $\varepsilon_A \colon \R[X] \to \mathcal{M}_2(\R)$ , $P \mapsto P(A)$ । चूँकि $A^2 = 0$ ,

P(A) = P(0)\,I + P'(0)\,A = \begin{pmatrix} P(0) & P'(0)\\ 0 & P(0)\end{pmatrix},

( $P$ के केवल अचर और रैखिक पद बचते हैं)। अतः $\ker\varepsilon_A = \{P : P(0) = P'(0) = 0\} = X^2\,\R[X]$ : एक मुख्य गुणजावली, ठीक जैसा प्रमेय 1.26 बताती है, जो केंद्रक में न्यूनतम घात के एकिक $X^2$ से जनित है — यही $A$ का न्यूनतम बहुपद है, अध्याय 3 का नायक। प्रतिबिंब दो-विमीय क्रमविनिमेय बीजगणित $\{aI + bA\}$ है: मूल्यांकन समाकारिताएँ अनंत-विमीय $\R[X]$ को छोटे, परिकलनीय बीजगणितों पर सिकोड़ देती हैं।

टिप्पणी 1.35 (परिप्रेक्ष्य: सुनने योग्य तीन स्वरलहरियाँ)

इस अध्याय के तीन संरचनात्मक विचार पूरे खंड में लौटते हैं, हर बार अधिक भारी वादन के साथ। विभाग से होकर गुणनखंडन (परिभाषा 1.3): यहाँ वह $\Z/n\Z$ बनाता है, अध्याय 2 में रैखिक निकायों के हल-समुच्चयों पर प्रतिचित्रण परिभाषित करता है, और “वर्गों पर सुपरिभाषित” वाले हर तर्क के नीचे चुपचाप बैठा रहता है। अपरिवर्त्य: चिह्न $\{\pm1\}$ में जाने वाली ऐसी समाकारिता है जिससे कोई वैध चाल बच नहीं सकती — यही तर्क सारणिक का गुणनफल-नियम (अध्याय 2), अनुरेख की सादृश्यता के अंतर्गत अपरिवर्त्यता, तथा अध्याय 16 की संरक्षित राशियाँ देता है। किसी संरचना के सहारे गिनना: लाग्रांज सहसमुच्चयों से गिनता है, विमा आधारों से गिनी जाती है (अध्याय 2), बहुलता बहुपद-घातों से गिनी जाती है (अध्याय 3); जब भी कोई सीमा चमत्कारी लगे, समझिए कोई विभाजन या श्रेणीकरण भीतर गिनती कर रहा है।

टिप्पणी 1.36 (सामान्य भूलें)

चार क्लासिक भूलें। (क) विभाग पर परिभाषित प्रतिचित्रण की सुपरिभाषितता जाँचनी ही पड़ती है: “ $\overline x \mapsto$ ( $x$ पर सूत्र)” तभी वैध है जब सूत्र वर्गों पर अचर हो — परिभाषा 1.3 की संगतता कोई औपचारिकता नहीं है। (ख) $\operatorname{ord}(ab) = \operatorname{lcm}(\operatorname{ord}a, \operatorname{ord}b)$ सामान्यतः असत्य है, यहाँ तक कि क्रमविनिमेय अवयवों के लिए भी ( $a$ और $a^{-1}$ ); सही “सहअभाज्य और क्रमविनिमेय” कथन अभ्यास 1.4 देती है, और क्रमचयों वाला सही रूप असंयुक्त चक्र देते हैं। (ग) गणनीयता गणनीय सम्मिलनों और परिमित गुणनों में बची रहती है, गणनीय गुणनों में नहीं: $\{0,1\}^{\N}$ अगणनीय है (अभ्यास 1.3) यद्यपि हर गुणनखंड में केवल दो अवयव हैं। (घ) कैंटर–बर्नस्टाइन को दोनों दिशाओं में केवल एकैकी प्रतिचित्रण चाहिए, परंतु जो एकैकी आच्छादक प्रतिचित्रण वह बनाती है वह प्रायः असंतत और अस्पष्ट होता है — सूत्र की आशा मत रखिए (उदाहरण 1.11)।

टिप्पणी 1.37 (यह अध्याय कहाँ काम आता है)

लगभग सर्वत्र। चिह्न सारणिक बनाता है (अध्याय 2); मूल्यांकन समाकारिता $P \mapsto P(u)$ तथा $K[X]$ की मुख्य गुणजावलियाँ न्यूनतम बहुपद और अध्याय 3 के केंद्रक-अपघटन उत्पन्न करती हैं; गणनीयता वह मंच है जिस पर अध्याय 21 अभिनय करता है (गणनीय समष्टियों पर प्रायिकता) और वही कारण है कि सांस्थिति बार-बार गणनीय सघन समुच्चय गढ़ती रहती है (अध्याय 4)। विभाग की रचना $A/I$ तृतीय वर्ष के खंड में क्षेत्र $K[X]/(P)$ बनाने के लिए फिर से लगाई जाती है और उनसे गाल्वा सिद्धांत खड़ा होता है: यहाँ सिद्ध किया गया सार्वत्रिक गुणधर्म वहाँ शब्दशः प्रयुक्त होता है।

1.6 अभ्यास

अभ्यास 1.1 ★

निम्नलिखित में से कौन-से समुच्चय गणनीय हैं? $\N$ के परिमित उपसमुच्चयों का समुच्चय; $\N$ के सभी उपसमुच्चयों का समुच्चय; $\R \setminus \Q$ ; परिमेय गुणांकों वाले बहुपदों का समुच्चय; $0$ और $1$ के ऐसे अनुक्रमों का समुच्चय जो अंततः शून्य हो जाते हैं।

हल

हल — अभ्यास 1.1.

$\N$ के परिमित उपसमुच्चय: गणनीय — $\intint{0}{n}$ के उपसमुच्चयों का समुच्चय परिमित है, और परिमित उपसमुच्चय इन्हीं का $n$ पर गणनीय सम्मिलन बनाते हैं (प्रतिज्ञप्ति 1.6 (3)); अनंत इसलिए कि उसमें सभी एकल समुच्चय हैं।

$\N$ के सभी उपसमुच्चय: गणनीय नहीं, कैंटर की प्रमेय से (प्रमेय 1.9 (1), $E = \N$ के साथ)।

$\R \setminus \Q$ : गणनीय नहीं — अन्यथा $\R = \Q \cup (\R\setminus\Q)$ दो गणनीय समुच्चयों का सम्मिलन होता, जो प्रमेय 1.9 (2) के विरुद्ध है।

$\Q$ पर बहुपद: गणनीय — घात $\leq n$ के बहुपद $\Q^{n+1}$ में एकैकी रूप से जाते हैं (गणनीय समुच्चयों के परिमित गुणन), और फिर $n$ पर सम्मिलन ले लीजिए।

अंततः शून्य होने वाले द्विआधारी अनुक्रम: गणनीय — वे $\N$ के परिमित उपसमुच्चयों (अपने वाहक) के साथ एकैकी आच्छादक संगति में हैं।

अभ्यास 1.2 ★

$\mathfrak{S}_7$ में मान लीजिए $\sigma = (1\,4\,2\,6)(3\,5)$ तथा $\tau = (2\,3\,7)$ । $\sigma\tau$ और $\tau\sigma$ को असंयुक्त चक्रों के रूप में परिकलित कीजिए, चारों क्रमचयों की कोटियाँ तथा चिह्न ज्ञात कीजिए, और $\sigma^{2026}$ भी।

हल

हल — अभ्यास 1.2.

अवयव-दर-अवयव परिकलन कीजिए, पहले दाहिने गुणनखंड को लगाते हुए। $\sigma\tau$ $1 \mapsto \sigma(1) = 4$ , $\;2 \mapsto \sigma(3) = 5$ , $\;3 \mapsto \sigma(7) = 7$ , $\;4 \mapsto \sigma(4) = 2$ , $\;5 \mapsto \sigma(5) = 3$ , $\;6 \mapsto \sigma(6) = 1$ , $\;7 \mapsto \sigma(2) = 6$ भेजता है:

\sigma\tau = (1\,4\,2\,5\,3\,7\,6),

अर्थात् एक $7$ -चक्र। इसी प्रकार $\tau\sigma$ $1 \mapsto \tau(4) = 4$ , $\;2 \mapsto \tau(6) = 6$ , $\;3 \mapsto \tau(5) = 5$ , $\;4 \mapsto \tau(2) = 3$ , $\;5 \mapsto \tau(3) = 7$ , $\;6 \mapsto \tau(1) = 1$ , $\;7 \mapsto \tau(7) = 2$ भेजता है:

\tau\sigma = (1\,4\,3\,5\,7\,2\,6),

यह भी $7$ -चक्र है (जैसी अपेक्षा थी: $\sigma\tau$ और $\tau\sigma$ संयुग्मी हैं, अतः उनका चक्र-प्रकार एक ही है)।

कोटियाँ और चिह्न: $\sigma$ का चक्र-प्रकार $(4,2)$ है: कोटि $\operatorname{lcm}(4,2) = 4$ , चिह्न $(-1)^3(-1)^1 = +1$ ; $\tau$ एक $3$ -चक्र है: कोटि $3$ , चिह्न $+1$ ; दोनों गुणनफल $7$ -चक्र हैं: कोटि $7$ , चिह्न $(-1)^6 = +1$ ।

$\sigma^{2026}$ : $2026 = 4 \times 506 + 2$ , अतः $\sigma^{2026} = \sigma^2 = (1\,2)(4\,6)$ ( $4$ -चक्र का वर्ग लीजिए; पार्यय वर्ग होकर लुप्त हो जाता है)।

अभ्यास 1.3 ★

स्पष्ट एकैकी प्रतिचित्रण बनाकर दिखाइए कि $\mathcal{P}(\N)$ , $\intcc{0}{1}$ तथा द्विआधारी अनुक्रमों का समुच्चय $\{0,1\}^{\N}$ परस्पर समशक्त हैं (दोनों दिशाओं में द्विआधारी प्रसार लीजिए; दोहरे निरूपण की झंझट कैंटर–बर्नस्टाइन सोख लेती है)।

हल

हल — अभ्यास 1.3.

$\{0,1\}^{\N} \to \mathcal{P}(\N)$ : कोई अनुक्रम अपने वाहक पर जाता है — यह एकैकी आच्छादक है (सूचक फलन), किसी प्रमेय की आवश्यकता नहीं।

$\{0,1\}^{\N} \to \intcc{0}{1}$ : आधार $3$ वाला प्रतिचित्रण $(a_n) \mapsto \sum 2a_n 3^{-n-1}$ एकैकी है (दो भिन्न अनुक्रम पहली बार कोटि $N$ पर भिन्न होते हैं; पुच्छ $2\cdot 3^{-N-1}$ जितने अंतर की भरपाई नहीं कर सकते, क्योंकि $\sum_{n > N} 2\cdot 3^{-n-1} = 3^{-N-1} < 2\cdot3^{-N-1}$ )।

$\intcc{0}{1} \to \{0,1\}^{\N}$ : द्विआधारी प्रसार लीजिए, और (मान लीजिए) वह प्रसार चुनिए जो अंत तक सब $1$ न हो: यह एकैकी है।

अंतिम दो एकैकी प्रतिचित्रणों पर कैंटर–बर्नस्टाइन (प्रमेय 1.10) लगाने से $\intcc{0}{1}$ और $\{0,1\}^{\N}$ समशक्त हो जाते हैं, अतः तीनों समुच्चय समशक्त हैं।

अभ्यास 1.4 ★

मान लीजिए $G$ एक समूह है और $a, b \in G$ उसके ऐसे क्रमविनिमेय अवयव हैं जिनकी कोटियाँ $m$ और $n$ परिमित तथा सहअभाज्य हैं। सिद्ध कीजिए कि $\operatorname{ord}(ab) = mn$ । $\mathfrak{S}_3$ में एक उदाहरण देकर दिखाइए कि क्रमविनिमेयता अनिवार्य है।

हल

हल — अभ्यास 1.4.

मान लीजिए $c = ab = ba$ और $d = \operatorname{ord}(c)$ । पहले $c^{mn} = a^{mn} b^{mn} = e$ (क्रमविनिमेयता घात को बाँटने देती है), अतः $d \mid mn$ । विलोमतः $c^d = e$ से $a^d = b^{-d}$ मिलता है; यह अवयव $\langle a\rangle \cap \langle b\rangle$ में पड़ता है, जिसकी कोटि $m$ और $n$ दोनों को विभाजित करती है (प्रत्येक चक्रीय समूह में लाग्रांज), अतः वह तुच्छ है: $a^d = b^d = e$ , जिससे $m \mid d$ और $n \mid d$ ; और सहअभाज्यता से $mn \mid d$ । अतः $d = mn$ ।

$\mathfrak{S}_3$ में: लीजिए $a = (1\,2)$ (कोटि $2$ ) और $b = (1\,2\,3)$ (कोटि $3$ ), जिनकी कोटियाँ सहअभाज्य हैं परंतु जो क्रमविनिमेय नहीं हैं: $ab = (2\,3)$ की कोटि $2 \neq 6$ है — वास्तव में $\mathfrak{S}_3$ में कोटि $6$ का कोई अवयव है ही नहीं। क्रमविनिमेयता अनिवार्य है।

अभ्यास 1.5 ★★

मान लीजिए $G$ सम कोटि का परिमित समूह है। सिद्ध कीजिए कि $G$ में कोटि $2$ का कोई अवयव है। (प्रत्येक अवयव को उसके प्रतिलोम के साथ युग्मित कीजिए; फिर स्वयं से युग्मित अवयव गिनिए।)

हल

हल — अभ्यास 1.5.

प्रत्येक $x \in G$ को $x^{-1}$ के साथ युग्मित कीजिए। $x \neq x^{-1}$ वाले युग्म $\{x, x^{-1}\}$ दो-दो अवयवों के हैं और अपने सम्मिलन का विभाजन करते हैं; शेष अवयव ठीक वे हैं जिनके लिए $x = x^{-1}$ , अर्थात् $x^2 = e$ । चूँकि $\abs G$ सम है और दो-अवयवी युग्म सम संख्या में अवयव ढकते हैं, समुच्चय $\{x : x^2 = e\}$ की गणनसंख्या सम है; उसमें $e$ है, अतः उसमें कम से कम एक और अवयव $x \neq e$ भी है — अर्थात् कोटि $2$ का अवयव।

अभ्यास 1.6 ★★

सिद्ध कीजिए कि $A_n$ ( $n \geq 3$ ) $3$ -चक्रों से जनित है। (दो पार्ययों का गुणनफल या तो $3$ -चक्र होता है या दो $3$ -चक्रों का गुणनफल।)

हल

हल — अभ्यास 1.6.

$A_n$ का प्रत्येक अवयव सम संख्या में पार्ययों का गुणनफल है (प्रमेय 1.21: पार्ययों में अपघटित कीजिए; चिह्न $+1$ होने से गिनती सम रहती है)। अतः इतना ही पर्याप्त है कि दो पार्ययों के प्रत्येक गुणनफल को $3$ -चक्रों से लिखा जाए:

(a\,b)(a\,c) = (a\,c\,b), \qquad (a\,b)(c\,d) = (a\,c\,b)(a\,c\,d) \quad (\text{भिन्न } a,b,c,d),

(मान रखकर जाँच लीजिए), और $(a\,b)(a\,b) = \mathrm{id}$ । अतः $3$ -चक्र $A_n$ को जनित करते हैं।

अभ्यास 1.7 ★★

सभी समूह समाकारिताएँ निर्धारित कीजिए: $(\Q, +)$ से $(\Z, +)$ तक; $(\Z/n\Z, +)$ से $(\Z/m\Z, +)$ तक (उनकी गणना कीजिए: $\gcd(m,n)$ ); और $(\Q, +)$ से $(\Q_+^*, \times)$ तक।

हल

हल — अभ्यास 1.7.

$(\Q,+) \to (\Z,+)$ : केवल शून्य समाकारिता। किसी भी $x$ तथा हर $n \geq 1$ के लिए $f(x) = n f\bigl(\frac xn\bigr)$ $\Z$ में $n$ से विभाज्य है; और हर $n$ से विभाज्य एकमात्र पूर्णांक $0$ है, अतः सभी $x$ के लिए $f(x) = 0$ ।

$(\Z/n\Z, +) \to (\Z/m\Z, +)$ : समाकारिता $c = f(\overline 1)$ से निर्धारित होती है, जिसे $n c \equiv 0 \pmod m$ पूरा करना चाहिए, अर्थात् $c$ $\frac{m}{\gcd(m,n)}$ का गुणज हो; ऐसे वर्ग $\gcd(m,n)$ हैं, और हर चुनाव वास्तव में समाकारिता देता भी है (सार्वत्रिक गुणधर्म से $k \mapsto kc$ को $\Z/n\Z$ से होकर गुणनखंडित कीजिए)।

$(\Q, +) \to (\Q_+^*, \times)$ : केवल तुच्छ समाकारिता। यदि $f(x) = y$ , तो हर $n$ के लिए $y = f(n \cdot \frac xn) = f(\frac xn)^n$ $\Q_+^*$ में $n$ -वीं घात है। परंतु कोई परिमेय $y \neq 1$ सभी $n$ के लिए $n$ -वीं घात नहीं हो सकता: $y$ में कोई अभाज्य अशून्य घातांक $v$ के साथ आता है, और $n > \abs v$ के लिए $n \nmid v$ ( $n$ -वीं घातों के घातांक अनन्य गुणनखंडन से $n$ -के गुणज होते हैं, अर्थात् $n$ के गुणज)। अतः $f \equiv 1$ ।

अभ्यास 1.8 ★★

चीनी शेषफल प्रमेय का उपयोग करके $\varphi(360)$ परिकलित कीजिए, ऐसे सभी $x$ ज्ञात कीजिए जिनके लिए $x \equiv 3 \pmod 8$ , $x \equiv 5 \pmod 9$ तथा $x \equiv 2 \pmod 5$ हों, और $3^{2026}$ के अंतिम दो अंक निकालिए ( $100$ के सापेक्ष ऑयलर; सावधान: $4$ तथा $25$ दोनों के सापेक्ष काम कीजिए)।

हल

हल — अभ्यास 1.8.

$360 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5$ : $\varphi(360) = 360\bigl(1 - \tfrac12\bigr)\bigl(1 - \tfrac13\bigr)\bigl(1 - \tfrac15\bigr) = 360 \cdot \tfrac12 \cdot \tfrac23 \cdot \tfrac45 = 96$ .

निकाय: मापांक $8, 9, 5$ परस्पर सहअभाज्य हैं, कुल $360$ । $x \equiv 3 \pmod 8$ और $x \equiv 5 \pmod 9$ से: $3 + 8k \equiv 5 \pmod 9$ सहित $x = 3 + 8k$ , अर्थात् $-k \equiv 2$ , $k \equiv -2 \equiv 7 \pmod 9$ : $x \equiv 3 + 56 = 59 \pmod{72}$ । फिर $59 + 72\ell \equiv 2 \pmod 5$ : $4 + 2\ell \equiv 2$ , $2\ell \equiv 3 \equiv 8$ , $\ell \equiv 4 \pmod 5$ : $x \equiv 59 + 288 = 347 \pmod{360}$ ।

$3^{2026}$ के अंतिम दो अंक: $4$ के सापेक्ष, $3^{2026} = 9^{1013} \equiv 1$ । $25$ के सापेक्ष: $\varphi(25) = 20$ और $2026 = 20\cdot101 + 6$ , अतः $3^{2026} \equiv 3^6 = 729 \equiv 4 \pmod{25}$ । $x \equiv 1 \pmod 4$ , $x \equiv 4 \pmod{25}$ हल कीजिए: $x = 4 + 25k \equiv 1 \pmod 4$ से $k \equiv 1 \pmod 4$ मिलता है: $x \equiv 29 \pmod{100}$ । अंतिम दो अंक $29$ हैं।

अभ्यास 1.9 ★★★

सिद्ध कीजिए कि परिमित पूर्णांकीय प्रांत एक क्षेत्र होता है। इससे निष्कर्ष निकालिए कि $\Z/n\Z$ क्षेत्र है यदि और केवल यदि $n$ अभाज्य है (यह पुनः)।

हल

हल — अभ्यास 1.9.

मान लीजिए $A$ एक परिमित पूर्णांकीय प्रांत है और $a \in A$ , $a \neq 0$ । प्रतिचित्रण $x \mapsto ax$ एकैकी है ( $ax = ay \implies a(x - y) = 0 \implies x = y$ , क्योंकि शून्य भाजक नहीं हैं); और परिमित समुच्चय का स्वयं में एकैकी प्रतिचित्रण आच्छादक होता है (प्रथम वर्ष का खंड, कबूतरखाना तुल्यता)। अतः किसी $b$ के लिए $1 = ab$ : हर अशून्य अवयव प्रतिलोमनीय है, अर्थात् $A$ एक क्षेत्र है।

$\Z/n\Z$ : यदि $n$ अभाज्य है तो वह पूर्णांकीय प्रांत है ( $n \mid ab \implies n \mid a$ या $n \mid b$ , यूक्लिड की प्रमेयिका), परिमित है, अतः क्षेत्र है; और यदि $n = rs$ भाज्य है तो $\overline r\,\overline s = \overline 0$ शून्य भाजक दिखा देता है।

अभ्यास 1.10 ★★★

(एक क्लासिक) मान लीजिए $K$ एक क्षेत्र है और $G$ $(K^*, \times)$ का एक परिमित उपसमूह। सिद्ध कीजिए कि $G$ चक्रीय है। संकेत: $G$ के अवयवों में महत्तम कोटि $m$ लीजिए; दिखाइए कि हर अवयव की कोटि $m$ को विभाजित करती है (उपयुक्त सहअभाज्य भागों पर अभ्यास 1.4 लगाकर), अतः पूरा $G$ $x^m = 1$ को संतुष्ट करता है; फिर $X^m - 1$ के मूल गिनिए। विशेष रूप से $(\Z/p\Z)^*$ चक्रीय है।

हल

हल — अभ्यास 1.10.

मान लीजिए $m = \max\{\operatorname{ord}(x) : x \in G\}$ , जो $a$ पर प्राप्त होता है।

दावा: प्रत्येक $x \in G$ की कोटि $m$ को विभाजित करती है। मान लीजिए किसी $x$ की कोटि $q$ ऐसी है कि $q \nmid m$ : तब कोई अभाज्य घात $p^k$ $q$ को विभाजित करती है पर $m$ को नहीं। $p \nmid m'$ और $j < k$ के साथ $m = p^j m'$ लिखिए। अवयव $a^{p^j}$ की कोटि $m'$ है; अवयव $x^{q/p^k}$ की कोटि $p^k$ है; ये कोटियाँ सहअभाज्य हैं और दोनों अवयव क्रमविनिमेय हैं ( $G \subseteq K^*$ अबेली है), अतः अभ्यास 1.4 से उनके गुणनफल की कोटि $p^k m' > p^j m' = m$ हुई: यह महत्तमता के विरुद्ध है।

अतः सभी $x \in G$ $x^m = 1$ को संतुष्ट करते हैं: बहुपद $X^m - 1$ के क्षेत्र $K$ में कम से कम $\abs G$ मूल हैं, जिससे $\abs G \leq m$ (घात $m$ के अशून्य बहुपद के अधिकतम $m$ मूल होते हैं, प्रथम वर्ष का खंड)। परंतु लाग्रांज से $m = \operatorname{ord}(a) \leq \abs G$ । अतः $m = \abs G$ , और गणनसंख्या $m = \abs G$ वाला $\langle a \rangle$ पूरा $G$ ही है: अर्थात् चक्रीय।

$K = \Z/p\Z$ के लिए: $(\Z/p\Z)^*$ $K^*$ का परिमित उपसमूह है, अतः चक्रीय है (कोटि $p - 1$ )।

अभ्यास 1.11 ★★★

सिद्ध कीजिए कि समूह $(\Q, +)$ चक्रीय नहीं है, और उससे भी बढ़कर: वह परिमिततः जनित तक नहीं है। दूसरी ओर सिद्ध कीजिए कि $(\Q, +)$ का प्रत्येक परिमिततः जनित उपसमूह चक्रीय है।

हल

हल — अभ्यास 1.11.

चक्रीय नहीं: उपसमूह $\langle \frac pq\rangle$ $\frac pq$ के पूर्णांक गुणजों से बना है, और (लघुतम रूप में) उन सबका हर $q$ को विभाजित करता है; अतः उसमें $\frac{1}{2q}$ नहीं आता। कोई एक जनक $\Q$ के असीमित हरों तक नहीं पहुँच सकता।

परिमिततः जनित भी नहीं: $\frac{p_1}{q_1}, \dots, \frac{p_k}{q_k}$ से जनित उपसमूह उन परिमेय संख्याओं से बना है जिनके हर $Q = q_1 \cdots q_k$ को विभाजित करते हैं (पूर्णांक संचयों का हर $Q$ को विभाजित करता है): उसमें $\frac{1}{2Q}$ नहीं आता।

परिमिततः जनित उपसमूह चक्रीय होते हैं: उपर्युक्त $Q$ के साथ, उपसमूह $H = \langle \frac{p_1}{q_1}, \dots, \frac{p_k}{q_k}\rangle$ $\frac{1}{Q}\Z$ में समाहित है। प्रतिचित्रण $x \mapsto Qx$ $\frac1Q\Z$ से $\Z$ पर तुल्याकारिता है, जो $H$ को $\Z$ के किसी उपसमूह पर ले जाती है, और वह किसी $n$ के लिए $n\Z$ है (प्रथम वर्ष का खंड): अतः $H = \frac{n}{Q}\Z$ चक्रीय है, जो $\frac nQ$ से जनित है।

अभ्यास 1.12 ★★

(डेडेकिंड की कसौटी) सिद्ध कीजिए कि प्रत्येक अनंत समुच्चय में कोई गणनीय उपसमुच्चय होता है, और इससे निष्कर्ष निकालिए कि समुच्चय $E$ अनंत है यदि और केवल यदि वह अपने ही किसी उचित उपसमुच्चय के समशक्त है। (सीधे निहितार्थ के लिए किसी गणनीय उपसमुच्चय को एक पग खिसकाइए; विलोम के लिए कबूतरखाना सिद्धांत स्मरण कीजिए।)

हल

हल — अभ्यास 1.12.

एक गणनीय उपसमुच्चय। मान लीजिए $E$ अनंत है। $a_0, a_1, a_2, \dots$ की रचना आगमन से कीजिए: $E$ रिक्त नहीं है, अतः $a_0 \in E$ चुनिए; और यदि $a_0, \dots, a_n$ चुने जा चुके हैं तो $E \setminus \{a_0, \dots, a_n\}$ रिक्त नहीं है ( $E$ परिमित नहीं है), वहाँ से $a_{n+1}$ चुनिए। रचना से ही $a_n$ परस्पर भिन्न हैं, अतः $A = \{a_n : n \in \N\}$ $E$ का गणनीय उपसमुच्चय है।

अनंत $\implies$ अपने उचित उपसमुच्चय के समशक्त। $f \colon E \to E \setminus \{a_0\}$ को इस प्रकार परिभाषित कीजिए: $f(a_n) = a_{n+1}$ , और $x \notin A$ के लिए $f(x) = x$ । यह एकैकी है (दोनों टुकड़े एकैकी हैं और उनके प्रतिबिंब असंयुक्त), तथा $E \setminus \{a_0\}$ पर आच्छादक भी: हर $a_{n+1}$ तक पहुँचा जाता है, हर $x \notin A$ तक भी। अतः $E$ उचित उपसमुच्चय $E \setminus \{a_0\}$ के समशक्त है।

विलोम। यदि $E$ परिमित है और $g \colon E \to F$ $F \neq E$ सहित $F \subseteq E$ पर एकैकी आच्छादक प्रतिचित्रण है, तो $g$ $E$ का स्वयं में ऐसा एकैकी प्रतिचित्रण है जो आच्छादक नहीं, और यह कबूतरखाना सिद्धांत के विरुद्ध है (प्रथम वर्ष का खंड: परिमित समुच्चय का स्वयं में एकैकी प्रतिचित्रण एकैकी आच्छादक होता है)। अतः अपने उचित उपसमुच्चय के समशक्त समुच्चय अनंत होता है।

1.7 समस्या: पंद्रह पहेली

पंद्रह पहेली $4 \times 4$ का एक पट है जिसमें $1$ से $15$ तक अंकित पंद्रह सरकने वाली गोटियाँ और एक रिक्त खाना होता है; एक चाल में रिक्त खाने से सटी किसी गोटी को उसमें सरका दिया जाता है। 1890 के दशक में सैम लॉयड ने उसे यह घोषणा करके लोकप्रिय बनाया कि जो कोई गोटियाँ $14$ और $15$ आपस में बदलकर शेष हर गोटी को उसके स्थान पर लौटा देगा उसे $1000 मिलेंगे। वह पुरस्कार कभी किसी ने नहीं लिया, और यह सप्ताहांत समस्या इसके कारण के दोनों आधे सिद्ध करती है: प्रमेय 1.21 का चिह्न लॉयड की अदला-बदली को रोकता है, और — कठिनतर, रचनात्मक आधा — चिह्न जो कुछ भी अनुमत करता है वह सब वास्तव में हल किया जा सकता है। पूरा कथन जॉनसन–स्टोरी प्रमेय (1879) है।

हल किया हुआ विन्यास और सैम लॉयड का 14–15 विन्यास। $1000 वाला प्रश्न: क्या वैध सरकनों से दाहिने पट को बाएँ पट में बदला जा सकता है? — हल किया हुआ विन्यास और सैम लॉयड का $14$ – $15$ विन्यास। $1000 वाला प्रश्न: क्या वैध सरकनों से दाहिने पट को बाएँ पट में बदला जा सकता है?

समस्या 1.1

सप्ताहांत समस्या — जॉनसन–स्टोरी हलनीयता प्रमेय

खानों को पठन-क्रम में (बाएँ से दाएँ, ऊपर से नीचे) $1$ से $16$ तक अंकित कीजिए, ताकि $k = 4(i - 1) + j$ के साथ खाना $k$ पंक्ति $i$ और स्तंभ $j$ में पड़े। खाना $16$ (नीचे दाहिना) रिक्त खाने का घर है; रिक्त खाने को हम सोलहवीं गोटी मानते हैं, जिसे $b$ लिखा जाता है और संख्या $16$ से पहचाना जाता है। विन्यास एक एकैकी आच्छादक प्रतिचित्रण $\sigma \colon \intint1{16} \to \intint1{16}$ है, अर्थात् खाना $\mapsto$ वस्तु; और हल किया हुआ विन्यास $\sigma = \mathrm{id}$ है। आगे सर्वत्र $\varepsilon$ प्रमेय 1.21 का चिह्न है, और दो खाने सटे हुए कहलाते हैं जब उनकी एक भुजा साझी हो।

भाग I — विन्यास, चालें, चिह्न।

तर्क दीजिए कि विन्यास ठीक $\mathfrak{S}_{16}$ के अवयव हैं, अतः उनकी संख्या $16! = 20\,922\,789\,888\,000$ है; और यह भी कि किसी दिए गए विन्यास से वैध चालों की संख्या $2$ , $3$ या $4$ होती है, इसके अनुसार कि रिक्त खाना कोने में, किनारे पर या भीतर पड़ता है।
मान लीजिए $\sigma$ एक विन्यास है, $p = \sigma^{-1}(16)$ रिक्त का खाना है, और $c$ $p$ से सटा कोई खाना। दिखाइए कि $c$ की गोटी को $p$ में सरकाने से $\tau = (p\ c)$ सहित विन्यास $\sigma' = \sigma \circ \tau$ बनता है, और इससे निष्कर्ष निकालिए कि हर चाल चिह्न पलट देती है: $\varepsilon(\sigma') = -\varepsilon(\sigma)$ ।
पट को शतरंजी रंग दीजिए: पंक्ति $i$ , स्तंभ $j$ वाले खाने $k$ के लिए $\chi(k) = (-1)^{i+j}$ । दिखाइए कि हर चाल $\chi(\text{रिक्त का खाना})$ पलट देती है, और इससे निष्कर्ष निकालिए कि रिक्त को उसके आरंभिक खाने पर लौटाने वाली चालों की कोई भी शृंखला सम लंबाई की होती है।
दिखाइए कि

$I(\sigma) = \varepsilon(\sigma)\, \chi\bigl(\sigma^{-1}(16)\bigr)$

हर वैध चाल के अंतर्गत अपरिवर्त्य है, और $I(\mathrm{id})$ परिकलित कीजिए।

भाग II — लॉयड का इनाम: अपरिवर्त्य काम पर।

लॉयड का विन्यास $\sigma_L$ हल किए हुए विन्यास से केवल इतना भिन्न है कि खाने $14$ और $15$ में गोटियाँ $15$ और $14$ रखी हैं। $I(\sigma_L)$ परिकलित कीजिए और निष्कर्ष निकालिए कि चालों की कोई भी शृंखला $\sigma_L$ को हल किए हुए विन्यास से नहीं जोड़ती: लॉयड के $1000 पर कभी संकट था ही नहीं।
दिखाइए कि ठीक आधे विन्यास $I = +1$ को संतुष्ट करते हैं: $\abs{\{\sigma : I(\sigma) = +1\}} = 16!/2$ । (रिक्त का खाना स्थिर रखकर, दो अन्य खानों के एक निश्चित पार्यय से संयोजन करके विन्यासों को युग्मित कीजिए।)
दिखाइए कि हर चाल किसी वैध चाल से पलटी जा सकती है, कि “ $\sigma'$ $\sigma$ से वैध चालों द्वारा प्राप्य है” एक तुल्यता संबंध है, और कि हल किए हुए विन्यास का वर्ग $R$ $R \subseteq \{I = +1\}$ को संतुष्ट करता है। निष्कर्ष निकालिए कि कम से कम दो वर्ग हैं।
मान लीजिए रिक्त अपने घर में है: $\sigma(16) = 16$ । दिखाइए कि $I(\sigma) = \varepsilon(\rho)$ , जहाँ $\rho \in \mathfrak{S}_{15}$ खानों $1, \dots, 15$ तक $\sigma$ का प्रतिबंधन है; और यह भी कि कोई भी विन्यास वैध चालों से ऐसे विन्यास तक ले जाया जा सकता है जिसमें रिक्त घर में हो। निष्कर्ष निकालिए: $R = \{I = +1\}$ सिद्ध करने के लिए इतना ही पर्याप्त है कि घर से भिन्न पंद्रह खानों का प्रत्येक सम क्रमचय ऐसी चालों की शृंखला से साकार किया जाए जो रिक्त के घर में रहते हुए आरंभ और समाप्त होती हो।

भाग III — रिक्त के भ्रमण और कार्यक्रम समूह। कार्यक्रम वैध चालों की ऐसी परिमित शृंखला है जो रिक्त के घर में रहते हुए किसी विन्यास से आरंभ होती है और जिसका अंतिम विन्यास भी रिक्त को घर में ही रखता है। उसका प्रभाव खानों का वह क्रमचय $\pi$ है जो इस प्रकार परिभाषित होता है: खाने $x$ की वस्तु खाने $\pi(x)$ में जा पहुँचती है।

दिखाइए कि $\sigma$ से चलाया गया कार्यक्रम $\sigma \circ \pi^{-1}$ पर समाप्त होता है; कि दो कार्यक्रम क्रमशः चलाने पर उनके प्रभाव संयोजित होते हैं; और कि सभी प्रभावों का समुच्चय $H$ $\mathfrak{S}_{15}$ (खानों $1, \dots, 15$ के क्रमचय) का उपसमूह है जो एकांतर समूह $A_{15}$ में समाहित है।
(प्राथमिक भ्रमण) रिक्त के घर में रहते हुए उसे नीचे-दाहिने $2 \times 2$ खंड के चारों ओर सरकाइए: खाने $16 \to 12 \to 11 \to 15 \to 16$ । दिखाइए कि प्रभाव $3$ -चक्र $(11\ 12\ 15)$ है, और उल्टा भ्रमण $(11\ 15\ 12)$ देता है। दोनों $H$ में हैं।
(महाभ्रमण) सत्यापित कीजिए कि

$16 \to 15 \to 14 \to 13 \to 9 \to 5 \to 1 \to 2 \to 3 \to 4 \to 8 \to 7 \to 6 \to 10 \to 11 \to 12 \to 16$

सोलहों खानों से होकर जाने वाला बंद पथ है (केवल सटे हुए पग), और उसका प्रभाव $15$ -चक्र

$\zeta = (15\ 12\ 11\ 10\ 6\ 7\ 8\ 4\ 3\ 2\ 1\ 5\ 9\ 13\ 14) .$

है। उसके चक्रीय क्रम को $x_0 = 15$ , $x_1 = 12$ , $x_2 = 11$ , …, $x_{14} = 14$ लिखकर जाँचिए कि प्रश्न 10 का उल्टा प्राथमिक भ्रमण ठीक $(x_0\ x_1\ x_2)$ है।
किसी भी $\mathfrak{S}_n$ में संयुग्मन सूत्र सिद्ध कीजिए: क्रमचय $g$ और $3$ -चक्र के लिए

$g\,(a\ b\ c)\,g^{-1} = \bigl(g(a)\ g(b)\ g(c)\bigr),$

और ध्यान दीजिए कि $H$ समूह होने के कारण अपने ही अवयवों से संयुग्मन के अंतर्गत संवृत है।
इससे निष्कर्ष निकालिए कि $H$ में महाभ्रमण के सभी पंद्रह क्रमागत $3$ -चक्र समाहित हैं:

$s_t = (x_t\ x_{t+1}\ x_{t+2}) \qquad (t \in \Z/15\Z, \text{ सूचकांक मॉड } 15).$

भाग IV — एकांतर समूह को जनित करना।

(प्रमेयिका A) मान लीजिए $s$ और $t$ ऐसे $3$ -चक्र हैं जिनके वाहक ठीक दो बिंदु साझा करते हैं, मान लीजिए वाहक $\{a, b, c\}$ और $\{b, c, d\}$ हैं। दिखाइए कि आवश्यकता होने पर $s$ या $t$ के स्थान पर उसका प्रतिलोम रख देने से (जिससे जनित उपसमूह पर कोई अंतर नहीं पड़ता) गुणनफल $st$ दोहरा पार्यय बन जाता है; दिखाइए कि $A_4$ में कोटि $6$ का कोई उपसमूह नहीं है (सूचकांक $2$ का उपसमूह हर वर्ग समाहित करता है; वर्गों में $3$ -चक्र गिनिए); और निष्कर्ष निकालिए कि $\langle s, t\rangle$ चार अक्षरों $\{a, b, c, d\}$ का पूरा एकांतर समूह है।
(प्रमेयिका B) मान लीजिए $X$ $k \geq 4$ अक्षरों का समुच्चय है, $w \notin X$ , और $G$ किसी $\mathfrak{S}_n$ का ऐसा उपसमूह है जिसमें $X$ के सभी सम क्रमचय तथा $u, v \in X$ सहित एक $3$ -चक्र $(u\ v\ w)$ समाहित हैं। दिखाइए कि सभी भिन्न $a, b \in X$ के लिए $X$ का कोई सम क्रमचय $g$ ऐसा है कि $g(u) = a$ , $g(v) = b$ हों, और इससे $(a\ b\ w) \in G$ निष्कर्ष निकालिए।
इससे निष्कर्ष निकालिए कि प्रमेयिका B का समूह $G$ $X \cup \{w\}$ के हर सम क्रमचय को समाहित करता है (अभ्यास 1.6 का उपयोग कीजिए: $3$ -चक्र जनित करते हैं)। फिर प्रश्न 13 के क्रमागत $3$ -चक्रों $s_0, s_1, \dots, s_{12}$ के सहारे प्रमेयिकाओं A और B को शृंखलाबद्ध करके सिद्ध कीजिए कि $\langle s_0, \dots, s_{12}\rangle = A_{15}$ ।
निष्कर्ष निकालिए कि $H = A_{15}$ : पंद्रह गोटियों का प्रत्येक सम पुनर्विन्यास किसी कार्यक्रम से साध्य है, और $H$ में $15!/2 = 653\,837\,184\,000$ अवयव हैं।
(जॉनसन–स्टोरी प्रमेय, 1879) प्रश्न 6, 7, 8 और 17 को जोड़िए: हल किए हुए विन्यास से प्राप्य विन्यास ठीक वे $16!/2 = 10\,461\,394\,944\,000$ विन्यास हैं जिनके लिए $I = +1$ ; और प्राप्यता के ठीक दो वर्ग हैं, हल किए हुए विन्यास का वर्ग और लॉयड के $\sigma_L$ का वर्ग। (दूसरे बिंदु के लिए गोटियों $14$ और $15$ के नाम आपस में बदल दीजिए: दिखाइए कि $\sigma \mapsto (14\ 15) \circ \sigma$ चाल-शृंखलाओं को चाल-शृंखलाओं पर भेजता है और $\{I = +1\}$ को $\{I = -1\}$ से बदल देता है।)

भाग V — कसौटियाँ, रूपांतर, और ऊपर से दिखता दृश्य।

(व्यावहारिक कसौटी) पंद्रह गोटियों को उनके खानों के पठन-क्रम में पढ़िए, रिक्त को छोड़ते हुए, और मान लीजिए $N$ इस सूची के व्युत्क्रमों की संख्या है; मान लीजिए $r$ रिक्त की पंक्ति है, जो नीचे से गिनी गई हो। दिखाइए कि $I(\sigma) = (-1)^{N + r + 1}$ , अतः $\sigma$ हल्य है यदि और केवल यदि $N + r$ विषम है।
(समूह क्रियाएँ) समुच्चय $X$ पर समूह $G$ की क्रिया एक ऐसा प्रतिचित्रण $G \times X \to X$ , $(g, x) \mapsto g \cdot x$ है जिसके लिए $e \cdot x = x$ और $g \cdot (h \cdot x) = (gh) \cdot x$ हों; $x$ की कक्षा $G \cdot x$ है, और क्रिया मुक्त कहलाती है जब $g \cdot x = x$ से $g = e$ आवश्यक हो जाए। दिखाइए कि $h \cdot \sigma = \sigma \circ h^{-1}$ रिक्त-घर विन्यासों के समुच्चय पर $H$ की एक मुक्त क्रिया परिभाषित करता है, कि उसकी कक्षाएँ ठीक कार्यक्रमों द्वारा परस्पर प्राप्यता के वर्ग हैं, और कक्षाओं की गिनती से पुनः प्राप्त कीजिए कि ये विन्यास ठीक $15!\,/\,\abs H = 2$ वर्गों में बँटते हैं।
( $3 \times 3$ वाली बाधा) दिखाइए कि $3 \times 3$ पट पर ऐसा कोई बंद पथ नहीं है जो हर खाने पर ठीक एक बार जाए: आठ पहेली के लिए भाग III की महाभ्रमण-युक्ति विफल हो जाती है। (नौ खानों को शतरंजी रंग दीजिए।)
(मरम्मत) $3 \times 3$ पट पर, जिसके खाने पठन-क्रम में $1$ से $9$ तक हैं और घर $9$ है: परिमाप-भ्रमण $9 \to 8 \to 7 \to 4 \to 1 \to 2 \to 3 \to 6 \to 9$ (केंद्र $5$ को अचर छोड़ने वाला $7$ -चक्र $\zeta'$ ) तथा कोने-भ्रमण $9 \to 6 \to 5 \to 8 \to 9$ (केंद्र से होकर जाने वाला $3$ -चक्र) के प्रभाव परिकलित कीजिए। बाद वाले को $\zeta'$ की घातों से संयुग्मित करके तथा प्रमेयिकाएँ A और B शृंखलाबद्ध करके सिद्ध कीजिए कि आठ पहेली का कार्यक्रम समूह पूरा $A_8$ है, अतः $9! = 362\,880$ विन्यासों में से ठीक $9!/2 = 181\,440$ हल्य हैं।
(एक दुर्बल पट) अब पट को $n \geq 4$ खानों का एक ही चक्र मानिए जिस पर $n - 1$ गोटियाँ हैं। दिखाइए कि गोटियों का चक्रीय क्रम अपरिवर्त्य है, कि प्राप्यता के प्रत्येक वर्ग में ठीक $n(n - 1)$ विन्यास हैं (वर्ग कोटि $\operatorname{lcm}(n, n-1) = n(n-1)$ के किसी चक्रीय समूह की कक्षाएँ हैं), और कि कुल $(n - 2)!$ वर्ग हैं — $n \geq 5$ के लिए $2$ से कहीं अधिक: पतले पट पर सम-विषमता वाला अपरिवर्त्य लगभग कुछ नहीं पकड़ता, और राज ज्यामिति का चलता है।
प्रश्न 19 की कसौटी से दो निर्णय: पूरी तरह उलटा पट (गोटियाँ $15, 14, \dots, 1$ खानों $1$ से $15$ तक, रिक्त घर में) और वह पट जिसमें रिक्त खाने $1$ में है और उसके बाद गोटियाँ $15, 14, \dots, 1$ खानों $2$ से $16$ तक हैं। इनमें से कौन-सा हल्य है?
(संश्लेषण) उपपत्ति के दो स्वतंत्र स्तंभ हैं: एक अपरिवर्त्य ( $I$ , जो चिह्न समाकारिता से बना है) जो दिखाता है कि अधिकतम आधे विन्यास प्राप्य हैं, और एक स्पष्ट जनन प्रमेय ( $H = A_{15}$ ) जो दिखाती है कि कम से कम आधे प्राप्य हैं। एक-एक वाक्य में बताइए कि निम्नलिखित कहाँ आए: $\varepsilon$ का समाकारिता होना; लाग्रांज प्रमेय; $3$ -चक्रों द्वारा $A_n$ का जनन; संयुग्मन। एक पंक्ति में महासिद्धांत कहिए।

हल

हल — समस्या 1.1.

1. विन्यास $16$ खानों में से हर एक को $16$ वस्तुओं (गोटियाँ $1$ – $15$ अथवा रिक्त $b = 16$ ) में से ठीक एक सौंपता है, और हर वस्तु ठीक एक बार आती है: अर्थात् ठीक एक एकैकी आच्छादक प्रतिचित्रण $\intint1{16} \to \intint1{16}$ , जो $\mathfrak{S}_{16}$ का अवयव है; ऐसे $16! = 20\,922\,789\,888\,000$ विन्यास हैं। वैध चाल रिक्त से सटी एक गोटी सरकाती है, अतः चालों की संख्या रिक्त के खाने के पड़ोसियों की संख्या है: चार कोने के खानों के लिए $2$ , आठ किनारे के खानों के लिए $3$ , और चार भीतरी खानों के लिए $4$ ।

2. सरकने के बाद खाने $p$ में $c$ की पुरानी वस्तु आ जाती है और खाने $c$ में रिक्त; शेष सभी खाने अछूते रहते हैं: $\sigma'(p) = \sigma(c)$ , $\sigma'(c) = \sigma(p) = 16$ , और अन्यत्र $\sigma' = \sigma$ । यह ठीक $\sigma' = \sigma \circ (p\ c)$ है। चूँकि $\varepsilon$ एक समाकारिता है और $\varepsilon\bigl((p\ c)\bigr) = -1$ : $\varepsilon(\sigma') = -\varepsilon(\sigma)$ ।

3. सटे हुए खाने ठीक एक ही निर्देशांक में एक पग से भिन्न होते हैं, अतः $i + j$ की सम-विषमता बदल जाती है: $\chi$ सटे हुए खानों पर विपरीत मान लेता है। कोई चाल रिक्त को $p$ से सटे हुए $c$ पर ले जाती है, जिससे $\chi(\text{रिक्त का खाना})$ पलट जाता है। रिक्त के किसी बंद पथ पर $\chi$ हर चाल के साथ एक बार पलटता है और अपने आरंभिक मान पर लौट आता है: अतः चालों की संख्या सम है।

4. प्रश्न 2 और 3 से, एक चाल $I(\sigma) = \varepsilon(\sigma)\chi(\sigma^{-1}(16))$ के दोनों गुणनखंड पलट देती है; उनका गुणनफल अपरिवर्तित रहता है। हल किए हुए विन्यास के लिए: $\varepsilon(\mathrm{id}) = +1$ , और रिक्त खाने $16$ पर है, पंक्ति $4$ , स्तंभ $4$ : $\chi(16) = (-1)^{8} = +1$ , अतः $I(\mathrm{id}) = +1$ ।

5. $\sigma_L$ खानों का पार्यय $(14\ 15)$ है: $\varepsilon(\sigma_L) = -1$ ; उसका रिक्त घर में है, $\chi(16) = +1$ : $I(\sigma_L) = -1 \neq +1 = I(\mathrm{id})$ । चूँकि $I$ हर चाल से संरक्षित रहता है, चालों की कोई शृंखला $\sigma_L$ और $\mathrm{id}$ को नहीं जोड़ती। पुरस्कार संरचनात्मक रूप से सुरक्षित था।

6. कोई खाना $p$ स्थिर कीजिए तथा $p$ से भिन्न दो अन्य खाने $c \neq d$ लीजिए, और रखिए $\tau_0 = (c\ d)$ । रिक्त $p$ पर रखने वाले विन्यासों के समुच्चय पर प्रतिचित्रण $\sigma \mapsto \sigma \circ \tau_0$ एक अंतर्वलन है (यह $\sigma(p) = 16$ को सुरक्षित रखता है क्योंकि $\tau_0$ $p$ को अचर छोड़ता है) और $\varepsilon$ को पलट देता है, अतः $I$ को भी: वह $I = +1$ वाले विन्यासों को $I = -1$ वाले विन्यासों के साथ एकैकी आच्छादक रूप से युग्मित कर देता है। अतः रिक्त की $16$ स्थितियों में से हर एक $I = +1$ वाले $15!/2$ विन्यास देती है, और

\abs{\{I = +1\}} = 16 \cdot \frac{15!}{2} = \frac{16!}{2}.

7. $c$ की गोटी को $p$ में सरकाने वाली चाल उसी गोटी को (जो अब $p$ में है) वापस $c$ में सरकाकर पलट दी जाती है: $(p\ c)$ से दो बार संयोजन तत्समक है। अतः: स्वतुल्यता (रिक्त शृंखला), सममितता (शृंखला उलट दीजिए और हर चाल पलट दीजिए), संक्रामकता (शृंखलाएँ जोड़ दीजिए): यह तुल्यता संबंध है। प्रश्न 4 से हर $\sigma \in R$ के लिए $I(\sigma) = I(\mathrm{id}) = +1$ , अतः $R \subseteq \{I = +1\}$ ; और $\sigma_L \notin R$ दूसरा वर्ग दे देता है।

8. यदि $\sigma(16) = 16$ , तो $\sigma$ खानों $1, \dots, 15$ का क्रमचय करता है; इस प्रतिबंधन को $\rho$ कहिए। एक अचर बिंदु जोड़ने से न चक्र-प्रकार बदलता है न चिह्न ( $\rho$ को पार्ययों में अपघटित कीजिए; वही गुणनफल $\mathfrak{S}_{16}$ में भी चलता है), अतः $\varepsilon(\sigma) = \varepsilon(\rho)$ , और $\chi(16) = +1$ से $I(\sigma) = \varepsilon(\rho)$ मिलता है। कोई भी विन्यास रिक्त-घर वाले विन्यास तक ले जाया जा सकता है: जालक संबद्ध है, अतः रिक्त को सटे हुए खानों के किसी पथ पर चलाकर खाने $16$ तक ले जाइए (हर पग एक वैध चाल है)। अब मान लीजिए प्रत्येक सम $\rho \in \mathfrak{S}_{15}$ किसी कार्यक्रम से साकार होता है। $I(\sigma) = +1$ सहित $\sigma$ दिया हो: रिक्त को घर तक चलाकर $\widetilde\sigma$ तक पहुँचिए ( $\sigma$ के तुल्य), जिसके लिए $I(\widetilde\sigma) = +1$ , अर्थात् उसका प्रतिबंधन $\rho$ सम है; और $\rho$ को साकार करने वाला कार्यक्रम $\widetilde\sigma$ को $\widetilde\sigma \circ \rho^{-1} = \mathrm{id}$ तक ले जाता है (प्रश्न 9 देखिए)। संक्रामकता से $\sigma \in R$ , जिससे $\{I = +1\} \subseteq R$ और फिर समता मिलती है।

9. एक ही चाल: $c$ की वस्तु $p$ में और रिक्त $c$ में जा पहुँचता है: प्रभाव $\pi = (p\ c)$ है, और वास्तव में $\sigma' = \sigma \circ (p\ c) = \sigma \circ \pi^{-1}$ । आगमन: यदि किसी शृंखला का प्रभाव $\pi_1$ है और वह $\sigma$ को $\sigma \circ \pi_1^{-1}$ तक ले जाती है, तो उसके बाद प्रभाव $\pi_2 = (p'\ c')$ वाली चाल लगाने से $(\sigma \circ \pi_1^{-1}) \circ \pi_2^{-1} = \sigma \circ (\pi_2\pi_1)^{-1}$ मिलता है, और वस्तुएँ $\pi_2 \circ \pi_1$ से चलती हैं (पहले $\pi_1$ , फिर $\pi_2$ )। अतः प्रभाव संयोजित होते हैं, और $\sigma$ से चलाया गया कार्यक्रम $\sigma \circ \pi^{-1}$ पर समाप्त होता है। उपसमूह: रिक्त कार्यक्रम का प्रभाव $\mathrm{id}$ है; जोड़ने से गुणनफल मिलते हैं; और किसी कार्यक्रम को उलटने (प्रश्न 7) से प्रतिलोम। किसी कार्यक्रम का प्रभाव खाने $16$ को अचर छोड़ता है (रिक्त घर से आरंभ होकर घर पर ही समाप्त होता है), अतः $H \leq \mathfrak{S}_{15}$ । समता: $k$ चालों वाले कार्यक्रम के लिए $k$ सम है (प्रश्न 3), और $\varepsilon(\sigma \circ \pi^{-1}) = (-1)^k\varepsilon(\sigma)$ से $\varepsilon(\pi) = +1$ आवश्यक हो जाता है: $H \subseteq A_{15}$ ।

10. रिक्त के $16$ पर होते हुए चारों सरकनों का अनुसरण कीजिए: चाल $16 \to 12$ $12$ की वस्तु को $16$ पर भेजती है; चाल $12 \to 11$ $11$ की वस्तु को $12$ पर; चाल $11 \to 15$ $15$ की वस्तु को $11$ पर; और चाल $15 \to 16$ $16$ में खड़ी वस्तु (जो मूलतः $12$ में थी) को $15$ पर। कुल मिलाकर: $11 \mapsto 12$ , $12 \mapsto 15$ , $15 \mapsto 11$ , रिक्त घर में: अर्थात् प्रभाव $(11\ 12\ 15)$ है। उल्टा भ्रमण इसे पलट देता है: प्रभाव $(11\ 12\ 15)^{-1} = (11\ 15\ 12)$ । दोनों कार्यक्रमों के प्रभाव हैं, अतः $H$ में हैं।

11. क्रमागत खानों का सटा होना: सूचीबद्ध प्रत्येक युग्म में खाने एक ही पंक्ति के भीतर $1$ से भिन्न हैं ( $16{-}15$ , $15{-}14$ , $14{-}13$ ; $1{-}2$ , $2{-}3$ , $3{-}4$ ; $8{-}7$ , $7{-}6$ ; $10{-}11$ , $11{-}12$ ) अथवा एक ही स्तंभ के भीतर $4$ से ( $13{-}9$ , $9{-}5$ , $5{-}1$ ; $4{-}8$ ; $6{-}10$ ; $12{-}16$ ): अर्थात् सभी $16$ खानों से होकर जाने वाला बंद पथ, जिसकी लंबाई $16$ है। प्रभाव: प्रश्न 10 की ही तरह, जाए गए खानों को $c_0 = 16, c_1 = 15, \dots, c_{15} = 12$ लिखने पर: $i = 2, \dots, 15$ के लिए $c_i$ की वस्तु $c_{i-1}$ पर जाती है, और $c_1$ की वस्तु, जो पहली चाल के बाद $16$ में खड़ी थी, अंतिम चाल से $c_{15}$ पर पहुँचा दी जाती है। अतः प्रभाव $15 \mapsto 12$ भेजता है, तथा $14 \mapsto 15$ , $13 \mapsto 14$ , $9 \mapsto 13$ , $5 \mapsto 9$ , $1 \mapsto 5$ , $2 \mapsto 1$ , $3 \mapsto 2$ , $4 \mapsto 3$ , $8 \mapsto 4$ , $7 \mapsto 8$ , $6 \mapsto 7$ , $10 \mapsto 6$ , $11 \mapsto 10$ , $12 \mapsto 11$ : अर्थात् ठीक $15$ -चक्र $\zeta$ । उसका चक्रीय क्रम $x_0 = 15$ , $x_1 = 12$ , $x_2 = 11$ से आरंभ होता है, और $(x_0\ x_1\ x_2) = (15\ 12\ 11)$ $15 \mapsto 12 \mapsto 11 \mapsto 15$ भेजता है — जो ठीक $(11\ 15\ 12)$ है, अर्थात् उल्टा प्राथमिक भ्रमण।

12. मान लीजिए $\gamma = (a\ b\ c)$ और $x \in \intint1n$ । यदि $x = g(a)$ : $g\gamma g^{-1}(x) = g(\gamma(a)) = g(b)$ ; इसी प्रकार $g(b) \mapsto g(c)$ और $g(c) \mapsto g(a)$ । यदि $x \notin \{g(a), g(b), g(c)\}$ , तो $g^{-1}(x) \notin \{a,b,c\}$ $\gamma$ से अचर रहता है, अतः $x$ भी अचर रहता है। अतः $g\gamma g^{-1} = (g(a)\ g(b)\ g(c))$ । और $g, h \in H$ के लिए उपसमूह के अभिगृहीतों से $ghg^{-1} \in H$ ।

13. $\zeta \in H$ (प्रश्न 11) और $s_0 = (x_0\ x_1\ x_2) \in H$ (प्रश्न 10–11)। चूँकि $\zeta(x_i) = x_{i+1}$ (सूचकांक मॉड $15$ ), प्रश्न 12 से

\zeta^{t}\,s_0\,\zeta^{-t} = \bigl(\zeta^t(x_0)\ \zeta^t(x_1)\ \zeta^t(x_2)\bigr) = (x_t\ x_{t+1}\ x_{t+2}) = s_t \in H \qquad (t = 0, 1, \dots, 14).

14. प्रतिलोम लेने की छूट के साथ मान लीजिए $s = (a\ b\ c)$ और $t = (b\ c\ d)$ ( $\{a,b,c\}$ पर कोई $3$ -चक्र $(a\ b\ c)$ है या उसका प्रतिलोम; $\{b,c,d\}$ पर भी वैसा ही; और किसी जनक के स्थान पर उसका प्रतिलोम रखने से $\langle s, t\rangle$ अपरिवर्तित रहता है)। तब, पहले $t$ लगाने पर,

st \colon a \mapsto b,\quad b \mapsto a,\quad c \mapsto d,\quad d \mapsto c, \qquad\text{अर्थात्}\quad st = (a\ b)(c\ d),

अर्थात् दोहरा पार्यय। उपसमूह $G = \langle s, t\rangle$ चार अक्षरों के सम क्रमचयों से बना है, अतः $G \leq A_4$ और $\abs G \mid 12$ ; उसमें कोटि $3$ का एक अवयव है और कोटि $2$ का भी, अतः $6 \mid \abs G$ (लाग्रांज, प्रमेय 1.14, दोनों चक्रीय उपसमूहों पर लगाकर)। यदि $A_4$ में कोटि $6$ का कोई उपसमूह $K$ होता, तो उसका सूचकांक $2$ होता, और तब हर $g \in A_4$ के लिए $g^2 \in K$ : $g \in K$ के लिए यह स्पष्ट है; और $g \notin K$ के लिए सहसमुच्चय केवल $K$ तथा $gK$ हैं, अतः सहसमुच्चय $g^2K$ या तो $K$ है या $gK$ , और $g^2K = gK$ से $g \in K$ आवश्यक हो जाता। अतः हर वर्ग $K$ में पड़ता। परंतु हर $3$ -चक्र $\gamma$ एक वर्ग है, $\gamma = (\gamma^2)^2$ , और $A_4$ में आठ $3$ -चक्र हैं: $8 > 6$ , जो विरोधाभास है। अतः $\abs G = 12$ : $G = A_4$ ।

15. $u \mapsto a$ , $v \mapsto b$ को $X$ के एकैकी आच्छादक प्रतिचित्रण $g_0$ तक बढ़ाइए (शेष $k - 2$ अक्षरों को $\{a, b\}$ के पूरक पर एकैकी आच्छादक रूप से कहीं भी भेज दीजिए)। यदि $g_0$ विषम है, तो दो भिन्न अक्षर $s_1, t_1 \in X \setminus \{u, v\}$ चुनिए (यह संभव है: $k \geq 4$ ) और $g_0$ के स्थान पर $g_0 \circ (s_1\ t_1)$ रखिए, जो सम है और तब भी $u \mapsto a$ , $v \mapsto b$ भेजता है। $X$ के बाहर तत्समक से बढ़ाइए: इस प्रकार एक सम क्रमचय $g \in G$ मिलता है (यह $X$ का सम क्रमचय है)। अब प्रश्न 12:

g\,(u\ v\ w)\,g^{-1} = (g(u)\ g(v)\ g(w)) = (a\ b\ w) \in G,

जिसमें $g(w) = w$ का उपयोग हुआ।

16. $X \cup \{w\}$ का प्रत्येक $3$ -चक्र $G$ में पड़ता है: जिनका वाहक $X$ में है वे $X$ के सम क्रमचय हैं; और जिसका वाहक $\{a, b, w\}$ है वह $(a\ b\ w)$ है या $(b\ a\ w)$ , और दोनों प्रश्न 15 से मिल जाते हैं। अभ्यास 1.6 से $X \cup \{w\}$ के $(k+1)$ -अवयवी समुच्चय के $3$ -चक्र उसका एकांतर समूह जनित करते हैं, अतः $G$ में $X \cup \{w\}$ का हर सम क्रमचय है। शृंखलाबद्ध करना: मान लीजिए $G = \langle s_0, \dots, s_{12}\rangle$ । $s_0 = (x_0\ x_1\ x_2)$ और $s_1 = (x_1\ x_2\ x_3)$ पर प्रमेयिका A लगाने से (उनके वाहक $\{x_1, x_2\}$ साझा करते हैं) $X_4 = \{x_0, x_1, x_2, x_3\}$ के सभी सम क्रमचय मिल जाते हैं। यदि $G$ में $X_m = \{x_0, \dots, x_{m-1}\}$ ( $4 \leq m \leq 14$ ) के सभी सम क्रमचय हैं, तो $s_{m-2} = (x_{m-2}\ x_{m-1}\ x_m)$ में $u = x_{m-2}, v = x_{m-1} \in X_m$ तथा नया अक्षर $w = x_m$ है: प्रमेयिका B और पहला भाग मिलकर $X_{m+1}$ के सभी सम क्रमचय दे देते हैं। $m = 14$ तक आगमन: $G \supseteq A_{15}$ (सभी पंद्रह खानों के सम क्रमचय), और $G \subseteq A_{15}$ क्योंकि हर $s_t$ सम है: अतः $\langle s_0, \dots, s_{12}\rangle = A_{15}$ ।

17. प्रश्न 13 और 16: $A_{15} = \langle s_0, \dots, s_{12}\rangle \subseteq H$ ; प्रश्न 9: $H \subseteq A_{15}$ । अतः कोटि $15!/2 = 653\,837\,184\,000$ वाला $H = A_{15}$ : पंद्रह गोटियों का हर सम पुनर्विन्यास किसी कार्यक्रम का प्रभाव है।

18. प्रश्न 8 ने $R = \{I = +1\}$ को इस पर घटा दिया था कि हर सम $\rho \in \mathfrak{S}_{15}$ किसी कार्यक्रम से साकार हो: यह प्रश्न 17 से हो चुका। प्रश्न 6 के साथ मिलाकर, $\abs R = 16!/2 = 10\,461\,394\,944\,000$ । दो वर्ग: $t_0 = (14\ 15)$ को वस्तुओं पर क्रिया करने दीजिए: $\varphi(\sigma) = t_0 \circ \sigma$ । $\sigma$ से चली वैध चाल $\varphi(\sigma)$ से भी वैध चाल है (रिक्त का खाना अपरिवर्तित रहता है: $(t_0\sigma)^{-1}(16) = \sigma^{-1}(t_0(16)) = \sigma^{-1}(16)$ , और सरकाया गया खाना वही रहता है), तथा $\varphi(\sigma \circ \tau) = \varphi(\sigma) \circ \tau$ : अर्थात् $\varphi$ चाल-शृंखलाओं को चाल-शृंखलाओं पर एकैकी आच्छादक रूप से भेजता है (वह अंतर्वलन है)। वह $I$ पलट देता है: $\varepsilon(t_0\sigma) = -\varepsilon(\sigma)$ , और रिक्त का खाना वही रहता है। अतः $\varphi$ $\mathrm{id}$ के वर्ग $R = \{I = +1\}$ को $\varphi(\mathrm{id}) = \sigma_L$ के वर्ग पर एकैकी आच्छादक रूप से भेजता है, जो इसलिए पूरा $\{I = -1\}$ है: ठीक दो वर्ग। यही जॉनसन–स्टोरी प्रमेय है।

19. खानों को पठन-क्रम में अंकित कीजिए और मान लीजिए $k = 4(i - 1) + j$ रिक्त का खाना है। $\sigma$ के व्युत्क्रम गिनिए (ऐसे खाना-युग्म $x < y$ जिनके लिए $\sigma(x) > \sigma(y)$ ): दो गोटी-खानों के युग्म $N$ देते हैं; रिक्त वाले युग्मों में: रिक्त के बाद के सभी खानों में गोटियाँ $< 16$ हैं, और हर एक व्युत्क्रमित है ( $16 - k$ युग्म), जबकि उससे पहले के खाने कभी व्युत्क्रमित नहीं होते। अतः $\varepsilon(\sigma) = (-1)^{N + 16 - k} = (-1)^{N + k}$ । चूँकि $k = 4(i-1) + j \equiv j \pmod 2$ ,

I(\sigma) = (-1)^{N + j}\,(-1)^{i + j} = (-1)^{N + i} = (-1)^{N + r + 1}

जिसमें $i = 5 - r$ का उपयोग हुआ। प्रश्न 18 से $\sigma$ हल्य है यदि और केवल यदि $I(\sigma) = +1$ , अर्थात् यदि और केवल यदि $N + r$ विषम है। जाँचिए: हल किया हुआ, $N = 0$ , $r = 1$ : विषम, अतः हल्य; लॉयड, $N = 1$ , $r = 1$ : सम, अतः अहल्य।

20. क्रिया: $e \cdot \sigma = \sigma \circ \mathrm{id} = \sigma$ और $g \cdot (h \cdot \sigma) = \sigma \circ h^{-1} \circ g^{-1} = \sigma \circ (gh)^{-1} = (gh) \cdot \sigma$ ; और $\sigma \circ h^{-1}$ फिर से रिक्त-घर विन्यास है ( $h$ खाने $16$ को अचर छोड़ता है)। मुक्त: $\sigma \circ h^{-1} = \sigma$ से $h^{-1} = \mathrm{id}$ मिलता है ( $\sigma^{-1}$ से संयोजन कीजिए)। कक्षाएँ = कार्यक्रम वर्ग: प्रश्न 9 कहता है कि $\sigma$ से कार्यक्रमों द्वारा प्राप्य विन्यास ठीक $\pi \in H$ वाले $\sigma \circ \pi^{-1}$ हैं: अर्थात् कक्षा $H \cdot \sigma$ । गणना: मुक्तता से $h \mapsto h \cdot \sigma$ एकैकी हो जाता है, अतः हर कक्षा में $\abs H = 15!/2$ अवयव हैं; इसलिए $15!$ रिक्त-घर विन्यास $15!\,/\,(15!/2) = 2$ कक्षाओं में बँटते हैं — अर्थात् दो जॉनसन–स्टोरी वर्गों की रिक्त-घर छाया।

21. शतरंजी रंगाई के लिए $3 \times 3$ जालक द्विभाजित है: पथ का हर पग रंग बदलता है, अतः हर बंद पथ की लंबाई सम होती है। $9$ खानों में से हर एक पर ठीक एक बार जाने वाले बंद पथ की लंबाई $9$ होती, जो विषम है: यह असंभव है। अतः भाग III की महाभ्रमण-रचना आठ पहेली पर उपलब्ध नहीं है।

22. परिमाप-भ्रमण $9 \to 8 \to 7 \to 4 \to 1 \to 2 \to 3 \to 6 \to 9$ (सभी पग सटे हुए; लंबाई $8$ , जो सम है): $c_1 = 8, c_2 = 7, c_3 = 4, c_4 = 1, c_5 = 2, c_6 = 3, c_7 = 6$ के साथ प्रश्न 11 वाले लेखे से प्रभाव

\zeta' = (8\ 6\ 3\ 2\ 1\ 4\ 7),

है, अर्थात् केंद्र $5$ को अचर छोड़ने वाला $7$ -चक्र ( $7$ की वस्तु $8$ पर जाती है, $4$ की $7$ पर, $1$ की $4$ पर, $2$ की $1$ पर, $3$ की $2$ पर, $6$ की $3$ पर, और $8$ की $6$ पर)। कोने-भ्रमण $9 \to 6 \to 5 \to 8 \to 9$ : प्रभाव $(6\ 8\ 5)$ ( $5$ की वस्तु $6$ पर जाती है, $8$ की $5$ पर, और $6$ की — जो $9$ में खड़ी थी — $8$ पर)। रखिए $y_t = \zeta'^{\,t}(8)$ : $y_0 = 8, y_1 = 6, y_2 = 3, y_3 = 2, y_4 = 1, y_5 = 4, y_6 = 7$ । संयुग्मन (प्रश्न 12):

\zeta'^{\,t}\,(6\ 8\ 5)\,\zeta'^{-t} = (y_{t+1}\ y_t\ 5) =: T_t \in H_{3\times3},

क्योंकि $\zeta'$ $5$ को अचर छोड़ता है। $T_0 = (y_1\ y_0\ 5)$ और $T_1 = (y_2\ y_1\ 5)$ के वाहक ठीक $\{y_1, 5\}$ साझा करते हैं: अतः प्रमेयिका A $\{y_0, y_1, y_2, 5\}$ के सभी सम क्रमचय दे देती है। फिर प्रमेयिका B से $T_2 = (y_3\ y_2\ 5)$ $y_3$ को जोड़ लेता है (उसके अक्षर $y_2, 5$ वर्तमान समुच्चय में हैं, $k = 4$ ), और $T_3, T_4, T_5$ बारी-बारी से $y_4, y_5, y_6$ जोड़ते हैं: अतः घर से भिन्न आठों खानों के सभी सम क्रमचय कार्यक्रम समूह में हैं, और वह समूह सम क्रमचयों से ही बना है (प्रश्न 9 का तर्क पट पर निर्भर नहीं करता)। अतः $H_{3\times3} = A_8$ ; और प्रश्न 6, 8, 18 का तर्क — जो पट पर निर्भर नहीं करता — दिखाता है कि प्राप्य विन्यास ठीक वे हैं जिनके लिए $I = +1$ : अर्थात् $9!$ का आधा, यानी $181\,440$ ।

23. चक्र के चारों ओर खानों को $0, \dots, n-1$ अंकित कीजिए। कोई चाल रिक्त को उसके दो पड़ोसियों में से एक के साथ बदल देती है। रिक्त के ठीक बाद से आरंभ करके गोटियों को चक्रीय क्रम में पढ़िए: इससे $n - 1$ गोटियों को सूचीबद्ध करने वाला एक शब्द $w$ मिलता है। रिक्त को एक पग आगे बढ़ाने से $(p, w)$ के स्थान पर $(p + 1, \rho w)$ आ जाता है, जहाँ $p$ रिक्त का खाना है और $\rho$ शब्द को एक स्थान चक्रीय रूप से घुमाता है; पीछे की चाल इसका प्रतिलोम है। अतः गोटियों का चक्रीय क्रम (घूर्णन को छोड़कर शब्द) अपरिवर्त्य है। $(p, w)$ का प्राप्य वर्ग प्रतिचित्रण $g \colon (p, w) \mapsto (p+1, \rho w)$ की कक्षा है, जो दोनों चक्रीय समूहों के गुणन (अर्थात् $\Z/n\Z$ के स्थानांतरण और $n-1$ शब्द-स्थानों के घूर्णन) में कोटि $\operatorname{lcm}(n, n-1) = n(n-1)$ का अवयव है, और लघुत्तम समापवर्त्य $n(n-1)$ इसलिए है कि $\gcd(n, n-1) = 1$ : अतः प्रत्येक वर्ग में ठीक $n(n-1)$ विन्यास हैं, और सबकी मालाएँ एक ही हैं। वर्ग: $n!\,/\,\bigl(n(n-1)\bigr) = (n-2)!$ । $n \geq 5$ के लिए $(n-2)! > 2$ : सम-विषमता वाला अपरिवर्त्य (जो अधिक से अधिक दो वर्ग देता है) यहाँ लगभग पूरी बाधा के प्रति अंधा है; और $4 \times 4$ पट की समृद्धि — जहाँ सम-विषमता एकमात्र बाधा है — सच्चा ज्यामितीय तथ्य है, औपचारिक नहीं।

24. दोनों पटों में गोटियाँ पूरी तरह उलटे क्रम में हैं, अतः दोनों स्थितियों में $N = \binom{15}{2} = 105$ (गोटियों का हर युग्म व्युत्क्रमित है)। रिक्त घर में: $r = 1$ , $N + r = 106$ सम: अतः अहल्य। रिक्त खाने $1$ में: रिक्त ऊपरी पंक्ति में है, $r = 4$ , $N + r = 109$ विषम: अतः हल्य। जो दो पट केवल छेद की जगह में भिन्न हैं, वे दीवार के आमने-सामने पड़ जाते हैं।

25. समाकारिता होना: इसी ने “एक चाल = एक पार्यय” को “एक चाल = एक चिह्न-पलट” में बदला (प्रश्न 2, 4), जिससे $I$ चाल-दर-चाल परिकलनीय हो गया। लाग्रांज: इसी ने प्रमेयिका A में $6 \mid \abs{\langle s, t\rangle}$ आवश्यक बनाया और कोटि $6$ वाले अपवर्जन में सहसमुच्चयों का आकार तय किया (प्रश्न 14)। $3$ -चक्रों द्वारा जनन: इसी ने “ $H$ में पर्याप्त $3$ -चक्र हैं” को “ $H$ में पूरा $A_{15}$ है” में बदला (प्रश्न 16)। संयुग्मन: इसी ने महाभ्रमण से ढोए गए एक ही $2 \times 2$ भ्रमण से पंद्रह क्रमागत $3$ -चक्र गढ़े (प्रश्न 12–13), और प्रमेयिका B में $3$ -चक्र $(a\ b\ w)$ भी। महासिद्धांत: अपरिवर्त्य असंभवता सिद्ध करता है, स्पष्ट रचना संभावना सिद्ध करती है, और कोई समस्या ठीक तभी पूरी तरह हल होती है जब ये दोनों सीमाएँ मिल जाएँ — यहाँ, आधे पर।