सघनता, सांस्थितिक रूप কী?

उदाहरण 12.17 (सघनता सापेक्ष है)

यहाँ परिभाषित “सघन” का अर्थ है $\R$ में सघन; कोई समुच्चय इसके बदले रेखा के केवल किसी भाग में सघन हो सकता है। $\intcc{0}{1}$ की द्विआधारी संख्याएँ, अर्थात् $D \cap \intcc{0}{1}$ (अभ्यास 10.8), $\intcc{0}{1}$ में समाए हर विवृत अंतराल से मिलती हैं पर निस्संदेह $\intoo{2}{3}$ से पूरी तरह चूक जाती हैं: वे $\intcc{0}{1}$ में सघन हैं, अर्थात् $\overline{D \cap \intcc{0}{1}} = \intcc{0}{1}$। सामान्य वाक्य “$A$ $B$ में सघन है” $B \subseteq \overline A$ का संक्षेप है — परिवेशी समुच्चय का नाम सदा लीजिए, क्योंकि सप्ताहांत समस्या के सिरे कैंटर समुच्चय में सघन हैं और साथ ही $\R$ में कहीं सघन नहीं: एक ही समुच्चय, दो सच्चे और विपरीत सुनाई देने वाले वर्णन।

उदाहरण 12.18 (सघनता से निपटना)

तीन त्वरित चालें जो लगातार लौटती हैं। बड़ा करना: यदि $A$ सघन है और $A \subseteq B$, तो $B$ सघन है (हर अंतराल पहले ही $A$ से मिलता है)। ले जाना: यदि $A$ सघन है, तो $\lambda \neq 0$ के लिए $\lambda A + \mu$ भी सघन है — अंतराल $I$ $\lambda A + \mu$ से तभी मिलता है जब अंतराल $\frac{I - \mu}{\lambda}$ $A$ से मिले; अतः, मान लीजिए, $10^{-9}$ के विषम गुणज सघन हैं। प्रतिच्छेदन विफल है: दो सघन समुच्चय एक-दूसरे से पूरी तरह चूक सकते हैं ($\Q$ और $\R \setminus \Q$): सघनता सम्मिलन और ऐफ़ीन प्रतिचित्रणों में बची रहती है, प्रतिच्छेदन में कभी नहीं।

उदाहरण 12.12

$\overline{\intoo{0}{1}} = \intcc{0}{1}$; $\mathring{\intcc{0}{1}} = \intoo{0}{1}$; $\partial\intoo{0}{1} = \{0, 1\}$। $A = \{\frac 1n : n \in \N^*\}$ के लिए: $\overline A = A \cup \{0\}$, $\mathring A = \emptyset$, $\partial A = A \cup \{0\}$। $\Q$ के लिए: सघनता (प्रमेय 10.14) से प्रत्येक वास्तविक संख्या $\Q$ से अभिलग्न है, अतः $\overline{\Q} = \R$ जबकि $\mathring{\Q} = \emptyset$ (हर अंतराल में अपरिमेय संख्याएँ हैं): अर्थात् $\Q$ की परिसीमा पूरा $\R$ है।