विश्वविद्यालय गणित — स्नातक वर्ष 1 · Bachelor Year 1

12वास्तविक रेखा की सांस्थिति

सीमाएँ बार-बार उसी ज्यामितीय शब्दावली की ओर लौटती हैं: किसी समुच्चय के “निकट” बिंदु, “बिना सीमा-रिसाव” वाले समुच्चय, ऐसे अंतराल जिनसे अनुक्रम भाग नहीं सकते। यह अध्याय उस शब्दावली को — विवृत और संवृत समुच्चय, अंतःभाग और संवरक, सघनता — वास्तविक रेखा पर तय करता है, और खंडों की संहतता उसके अनुक्रमीय रूप में सिद्ध करता है। यही धारणाएँ, मानकित सदिश समष्टियों में, द्वितीय वर्ष की सामग्री हैं; $\R$ पर वे पहुँच के भीतर हैं और अध्याय 13 के लिए तुरंत उपयोगी।

12.1 विवृत समुच्चय, संवृत समुच्चय

परिभाषा 12.1 (प्रतिवेश, विवृत समुच्चय)

समुच्चय $V \subseteq \R$ $x \in \R$ का प्रतिवेश तब है जब उसमें किसी $r > 0$ के लिए अंतराल $\intoo{x - r}{x + r}$ समाया हो। समुच्चय $U \subseteq \R$ विवृत तब है जब वह अपने प्रत्येक बिंदु का प्रतिवेश हो:

\forall x \in U,\ \exists r > 0, \quad \intoo{x - r}{x + r} \subseteq U .

उदाहरण 12.2

विवृत अंतराल विवृत हैं: $x \in \intoo{a}{b}$ के लिए $r = \min(x - a,\, b - x) > 0$ लीजिए। अर्धरेखाएँ $\intoo{a}{+\infty}$ विवृत हैं; $\R$ और $\emptyset$ विवृत हैं (दूसरा रिक्तार्थ रूप से)। $\intcc{0}{1}$ विवृत नहीं है: $0$ के चारों ओर का कोई अंतराल भीतर नहीं रहता।

प्रतिज्ञप्ति 12.3 (विवृत समुच्चयों का स्थायित्व)

विवृत समुच्चयों का कोई भी सम्मिलन विवृत होता है; और विवृत समुच्चयों का परिमित प्रतिच्छेदन विवृत होता है। अनंत प्रतिच्छेदन विफल हो सकते हैं: $\bigcap_{n \geq 1} \intoo{-\frac 1n}{\frac 1n} = \{0\}$ , जो विवृत नहीं है।

उपपत्ति. सम्मिलन: यदि $x \in \bigcup_i U_i$ , तो किसी $i_0$ के लिए $x \in U_{i_0}$ , और $U_{i_0}$ से मिला अंतराल सम्मिलन के भीतर बैठ जाता है। परिमित प्रतिच्छेदन: यदि $x \in U_1 \cap \dots \cap U_k$ , तो प्रत्येक $U_j$ से मिली त्रिज्याओं का $r = \min(r_1, \dots, r_k) > 0$ लीजिए। प्रति-उदाहरण के लिए: $0$ के चारों ओर के किसी भी अंतराल में कोई $\frac{1}{n}$ आ जाता है (आर्किमिडीज़), अतः वह प्रतिच्छेदन से बाहर निकल जाता है। ∎

उदाहरण 12.4 (स्पष्ट त्रिज्याओं से विवृतता प्रमाणित करना)

क्या $U = \{x \in \R : x^2 > 2\}$ विवृत है? हाँ, और प्रमाणपत्र लिखा जा सकता है: $U = \intoo{-\infty}{-\sqrt2} \cup \intoo{\sqrt2}{+\infty}$ , अर्थात् दो विवृत अर्धरेखाओं का सम्मिलन, जो प्रतिज्ञप्ति 12.3 से विवृत है। वैकल्पिक रूप से, बिंदु-दर-बिंदु तर्क कीजिए: $x > \sqrt 2$ वाले $x \in U$ के लिए $r = x - \sqrt2 > 0$ लीजिए: प्रत्येक $y \in \intoo{x - r}{x + r}$ $y > \sqrt 2$ संतुष्ट करता है, अतः $y^2 > 2$ ; और बाईं ओर सममित रूप से। दोनों शैलियाँ महत्त्व रखती हैं — संरचनात्मक शैली (ज्ञात विवृत समुच्चयों से सम्मिलन और परिमित प्रतिच्छेदन द्वारा बनाना) बड़े पैमाने पर बेहतर काम करती है, और $\varepsilon$ -शैली तब काम आती है जब कोई संरचना दिखाई न दे; और अध्याय 13 तीसरी, सबसे शक्तिशाली शैली जोड़ेगा: $U$ संतत $x \mapsto x^2$ के अंतर्गत विवृत $\intoo{2}{+\infty}$ का पूर्वप्रतिबिंब है।

परिभाषा 12.5 (संवृत समुच्चय)

समुच्चय $F \subseteq \R$ संवृत तब है जब उसका पूरक $\R \setminus F$ विवृत हो। डी मॉर्गन और प्रतिज्ञप्ति 12.3 से: संवृत समुच्चयों का कोई भी प्रतिच्छेदन संवृत होता है, और संवृत समुच्चयों के परिमित सम्मिलन संवृत होते हैं।

प्रमेय 12.6 (संवृत समुच्चयों का अनुक्रमीय अभिलक्षण)

$F$ संवृत है यदि और केवल यदि: $F$ के बिंदुओं के प्रत्येक ऐसे अनुक्रम $(u_n)$ के लिए जो किसी $\ell \in \R$ की ओर अभिसरित होता हो, सीमा $\ell$ $F$ की सदस्य हो। (“संवृत” $=$ “सीमाओं के अंतर्गत स्थायी”।)

उपपत्ति. ( $\Rightarrow$ ) मान लीजिए $F$ संवृत है, $u_n \in F$ , $u_n \to \ell$ , और मान लीजिए $\ell \notin F$ । पूरक विवृत है: अतः कोई $\intoo{\ell - r}{\ell + r}$ $F$ से बचता है। पर अभिसरण बड़े $n$ के लिए $u_n$ को उसी अंतराल में रख देता है: $u_n \in F$ से विरोधाभास।

( $\Leftarrow$ ) मान लीजिए $F$ संवृत नहीं है: तो पूरक विवृत नहीं है, अतः किसी $x \notin F$ के लिए कोई अंतराल $\intoo{x - r}{x + r}$ पूरक के भीतर नहीं है; $r = \frac{1}{n+1}$ लेकर ऐसा $u_n \in F$ चुनिए कि $\abs{u_n - x} < \frac{1}{n+1}$ । तब $u_n \in F$ , $u_n \to x \notin F$ : अर्थात् अनुक्रमीय गुणधर्म विफल हो जाता है। ∎

उदाहरण 12.7 (अनुक्रमीय कसौटी, दोनों ओर)

संवृत: $F = \Z \cup \bigl\{n + \frac1n : n \geq 2\bigr\}$ । मान लीजिए $u_k \to \ell$ के साथ $u_k \in F$ । खिड़की $\intcc{\ell - 1}{\ell + 1}$ में $F$ के केवल परिमित कितने बिंदु हैं (परिमित कितने पूर्णांक, परिमित कितने $n + \frac1n$ ), और किसी कोटि के आगे सभी $u_k$ उसी में हैं: तब अनुक्रम परिमित कितने मान लेता है, और अभिसारी होने से अंततः अचर हो जाता है (जैसा अभ्यास 12.3 में है): $\ell \in F$ । अतः संवृत — यद्यपि $F$ में $\frac1n$ दूरी पर, अर्थात् मनचाहे निकट, बिंदु-युग्म हैं।

संवृत नहीं: $G = \bigl\{\frac1m + \frac1n : m, n \in \N^*\bigr\}$ । अनुक्रम $\frac1n + \frac1n \in G$ $0$ की ओर जाता है, और $0 \notin G$ (दो धनात्मक पदों का योग): अनुक्रमीय कसौटी विफल हो जाती है, अतः $G$ संवृत नहीं है। रोचक बात यह कि प्रत्येक $\frac1m$ $\overline G \cap G$ का सदस्य है: वस्तुतः $\frac1m = \frac{1}{m+1} + \frac{1}{m(m+1)} \in G$ । समापन का सार: संवृतता सिद्ध करने के लिए सभी अभिसारी अनुक्रमों को एक साथ नियंत्रित कीजिए (प्रायः किसी स्थानीय परिमितता या संवृत-सूत्र वाले तर्क से); उसका खंडन करने के लिए एक सुचयनित भागता हुआ अनुक्रम पर्याप्त है — यह असममिति ऋणात्मक दिशा को आसान बना देती है, और इस अध्याय के सभी प्रति-उदाहरणों का यही एक-पंक्ति आकार है।

उदाहरण 12.8

खंड $\intcc{a}{b}$ , अर्धरेखाएँ $\intco{a}{+\infty}$ , परिमित समुच्चय, $\Z$ (पूर्णांकों का अभिसारी अनुक्रम अंततः अचर होता है) संवृत हैं। $\intoc{0}{1}$ न विवृत है ( $1$ पर विफल) और न संवृत ( $\frac 1n \to 0 \notin$ समुच्चय): अधिकांश समुच्चय दोनों में से कुछ भी नहीं हैं। $\R$ और $\emptyset$ दोनों विवृत भी हैं और संवृत भी — और $\R$ के ऐसे केवल यही उपसमुच्चय हैं (अभ्यास 12.9)।

उदाहरण 12.9 (अनंत टुकड़ों से बना एक विवृत समुच्चय)

$\R \setminus \Z = \bigcup_{n \in \Z} \intoo{n}{n+1}$ : विवृत अंतरालों का अनंत सम्मिलन, जो प्रतिज्ञप्ति 12.3 से विवृत है — अतः $\Z$ संवृत है, और उसके लिए किसी अनुक्रमीय तर्क की आवश्यकता नहीं। स्थायित्व के नियमों में श्रम-विभाजन पर ध्यान दीजिए: सम्मिलन स्वेच्छ हो सकते हैं (हर बिंदु को केवल अपना प्रमाणपत्र चाहिए, जो उसे समेटने वाला एक ही समुच्चय दे देता है), जबकि प्रतिच्छेदन परिमित रहने चाहिए (प्रमाणपत्रों का प्रतिच्छेदन लेना पड़ता है, और अनंत कितनी त्रिज्याएँ सिकुड़कर शून्य हो सकती हैं)। अभ्यास 12.10 दिखाएगा कि यह उदाहरण ही सामान्य आकार है: $\R$ का प्रत्येक विवृत उपसमुच्चय विवृत अंतरालों का गणनीय असंयुक्त सम्मिलन होता है।

12.2 अंतःभाग, संवरक, सघनता

परिभाषा 12.10 (अंतःभाग, संवरक, परिसीमा)

मान लीजिए $A \subseteq \R$ ।

बिंदु $x$ $A$ का आंतरिक बिंदु तब है जब $A$ $x$ का प्रतिवेश हो; अंतःभाग $\mathring{A}$ आंतरिक बिंदुओं का समुच्चय है।
बिंदु $x$ $A$ से अभिलग्न तब है जब $x$ का प्रत्येक प्रतिवेश $A$ से मिलता हो; संवरक $\overline{A}$ अभिलग्न बिंदुओं का समुच्चय है।
परिसीमा $\partial A = \overline A \setminus \mathring A$ है।

तब $\mathring A \subseteq A \subseteq \overline A$ ।

प्रतिज्ञप्ति 12.11 (मुख्य गुणधर्म)

$\mathring A$ $A$ में समाया सबसे बड़ा विवृत समुच्चय है; $A$ विवृत है तभी जब $A = \mathring A$ ।
$\overline A$ $A$ को समेटने वाला सबसे छोटा संवृत समुच्चय है; $A$ संवृत है तभी जब $A = \overline A$ ।
(अभिलग्नता का अनुक्रमीय अभिलक्षण) $x \in \overline A$ यदि और केवल यदि $x$ $A$ के बिंदुओं के किसी अनुक्रम की सीमा हो।
पूरक लेने से दोनों धारणाओं की अदला-बदली हो जाती है: $\R \setminus \overline A = \bigl(\R \setminus A\bigr)^{\!\circ}$ ।

उपपत्ति. (4) $x \notin \overline A$ $\iff$ $x$ का कोई प्रतिवेश $A$ से बचता है $\iff$ $x$ के चारों ओर कोई अंतराल $\R \setminus A$ में है $\iff$ $x$ $\R \setminus A$ का आंतरिक बिंदु है।

(1) $\mathring A$ विवृत है: यदि $x \in \mathring A$ , तो कोई $\intoo{x-r}{x+r} \subseteq A$ ; उस अंतराल के प्रत्येक बिंदु $y$ के चारों ओर उसी के भीतर एक छोटा अंतराल है, अतः $A$ के भीतर भी: इसलिए पूरा अंतराल $\mathring A$ में है। कोई भी विवृत $U \subseteq A$ $A$ के आंतरिक बिंदुओं से बना है, अतः $U \subseteq \mathring A$ : अर्थात् सबसे बड़ा। विवृतता का अभिलक्षण इसी से निकलता है।

(2) विस्तार से। (4) से $\R \setminus \overline A$ $\R \setminus A$ का अंतःभाग है, जो (1) से विवृत समुच्चय है: अतः $\overline A$ संवृत है, और उसमें $A$ समाया है। न्यूनतमता: मान लीजिए $F \supseteq A$ संवृत है। तब $\R \setminus F$ विवृत है और $\R \setminus A$ में समाया है, अतः (1) की अधिकतमता से,

\R \setminus F \subseteq \bigl(\R \setminus A\bigr)^{\!\circ} = \R \setminus \overline A ,

और फिर पूरक लेने पर: $\overline A \subseteq F$ । इस प्रकार $\overline A$ सबसे छोटा संवृत अधिसमुच्चय है। अभिलक्षण: यदि $A = \overline A$ , तो $A$ संवृत है (अभी दिखाया गया); और यदि $A$ संवृत है, तो वह स्वयं $A$ का संवृत अधिसमुच्चय है, अतः न्यूनतमता $\overline A \subseteq A$ पर बाध्य कर देती है, और समता मिल जाती है।

(3) यदि $u_n \in A$ , तो $u_n \to x$ : $x$ के प्रत्येक प्रतिवेश में कोई $u_n \in A$ है, अतः $x \in \overline A$ । विलोमतः, यदि $x \in \overline A$ : प्रत्येक अंतराल $\intoo{x - \frac{1}{n+1}}{x + \frac{1}{n+1}}$ $A$ से किसी $u_n$ पर मिलता है, और $u_n \to x$ । ∎

उदाहरण 12.12

$\overline{\intoo{0}{1}} = \intcc{0}{1}$ ; $\mathring{\intcc{0}{1}} = \intoo{0}{1}$ ; $\partial\intoo{0}{1} = \{0, 1\}$ । $A = \{\frac 1n : n \in \N^*\}$ के लिए: $\overline A = A \cup \{0\}$ , $\mathring A = \emptyset$ , $\partial A = A \cup \{0\}$ । $\Q$ के लिए: सघनता (प्रमेय 10.14) से प्रत्येक वास्तविक संख्या $\Q$ से अभिलग्न है, अतः $\overline{\Q} = \R$ जबकि $\mathring{\Q} = \emptyset$ (हर अंतराल में अपरिमेय संख्याएँ हैं): अर्थात् $\Q$ की परिसीमा पूरा $\R$ है।

उदाहरण 12.13 (पूरी शल्य-रचना)

मान लीजिए $A = \intoc{0}{1} \,\cup\, \bigl(\Q \cap \intoo{2}{3}\bigr) \,\cup\, \{4\}$ । हम परिभाषा 12.10 के तीनों समुच्चय टुकड़ा-दर-टुकड़ा संगणित करते हैं।

अंतःभाग। $\intoo{0}{1}$ के बिंदु के चारों ओर पूरा अंतराल $A$ के भीतर है: अतः आंतरिक। बिंदु $1$ : उसके चारों ओर हर अंतराल $1$ के दाईं ओर रिस जाता है, जहाँ $2$ तक $A$ में कुछ नहीं है: अतः आंतरिक नहीं। $\Q \cap \intoo{2}{3}$ का कोई बिंदु आंतरिक नहीं है (हर अंतराल में अपरिमेय संख्याएँ हैं, प्रमेय 10.14); और वियुक्त $4$ भी नहीं। अतः $\mathring A = \intoo{0}{1}$ ।

संवरक। $A$ के बिंदुओं की सीमाएँ: पूरा $\intcc{0}{1}$ ( $\frac 1n \in A$ के साथ $0 = \lim \frac1n$ ); पूरा $\intcc{2}{3}$ (वहाँ की हर वास्तविक संख्या उस अंतराल की परिमेय संख्याओं की सीमा है, फिर सघनता); और $4$ । इसके अतिरिक्त कुछ नहीं: $\intcc{0}{1} \cup \intcc{2}{3} \cup \{4\}$ के बाहर के बिंदु की उस संवृत समुच्चय से दूरी धनात्मक है। अतः $\overline A = \intcc{0}{1} \cup \intcc{2}{3} \cup \{4\}$ ।

परिसीमा। $\partial A = \overline A \setminus \mathring A = \{0, 1\} \cup \intcc{2}{3} \cup \{4\}$ ।

समापन का सार: तीनों संक्रियाएँ स्थानीय रूप से काम करती हैं — $A$ का हर टुकड़ा अपने स्वभाव के अनुसार योगदान करता है (ठोस अंतराल अपना भीतर रख लेता है, सघन-पर-छिद्रिल टुकड़ा पूरा का पूरा परिसीमा बन जाता है, और वियुक्त बिंदु शुद्ध परिसीमा है) — और $A$ का दो पंक्ति का रेखाचित्र कोई उपपत्ति लिखे जाने से पहले ही हर उत्तर बता देता है।

टिप्पणी 12.14 (बिंदु-समुच्चय तर्क की सामान्य भूलें)

(क) “विवृत नहीं” का अर्थ “संवृत” नहीं है: अधिकांश समुच्चय दोनों में से कुछ भी नहीं हैं ( $\intoc{0}{1}$ ), और दो समुच्चय दोनों हैं ( $\emptyset$ , $\R$ ) — विवृत और संवृत विपरीत नहीं, बल्कि पूरक लेने से आपस में द्वैत हैं। (ख) अंतःभाग और संवरक क्रम-विनिमेय नहीं हैं: $A = \Q$ के लिए,

\overline{\mathring A} = \overline\emptyset = \emptyset \qquad\text{जबकि}\qquad \bigl(\,\overline A\,\bigr)^{\!\circ} = \mathring \R = \R :

दोनों दोहराए हुए संकारक उतने ही भिन्न हैं जितने समुच्चय हो सकते हैं। (ग) संवृत समुच्चयों के अनंत सम्मिलन संवृत होने में विफल हो सकते हैं: $\bigcup_{n\geq1} \intcc{\frac1n}{1} = \intoc{0}{1}$ — अर्थात् प्रतिज्ञप्ति 12.3 के प्रतिच्छेदन वाले प्रति-उदाहरण का दर्पण। (घ) सघन होने का अर्थ बड़ा होना नहीं है: $\Q$ सघन, गणनीय और रिक्त अंतःभाग वाला है, और उसका पूरक भी सघन है; सघनता “हर चीज़ के मनचाहे निकट” कहती है, “लगभग सब कुछ” नहीं — और सप्ताहांत समस्या का कैंटर समुच्चय (समस्या 12.1) उलटी बात कहता है, अर्थात् सांस्थितिक दृष्टि से छोटा पर आकार में अगणनीय रूप से बड़ा समुच्चय।

उदाहरण 12.15 (एक संवरक, यथार्थ रूप से संगणित)

मान लीजिए $G = \bigl\{\frac1m + \frac1n : m, n \in \N^*\bigr\}$ (उदाहरण 12.7 से)। दावा:

\overline G = G \,\cup\, \Bigl\{\frac1m : m \in \N^*\Bigr\} \,\cup\, \{0\} .

( $\supseteq$ ) $\frac1m = \lim_n \bigl(\frac1m + \frac1n\bigr)$ और $0 = \lim_n \frac2n$ : अनुक्रमीय अभिलक्षण से अभिलग्न। ( $\subseteq$ ) मान लीजिए $x = \lim_k \bigl( \frac{1}{m_k} + \frac{1}{n_k}\bigr)$ ; प्रत्येक युग्म को इस प्रकार क्रमित कीजिए कि $m_k \leq n_k$ । यदि $(m_k)$ अपरिबद्ध है, तो किसी उपानुक्रम पर $m_k \to \infty$ , अतः $n_k \to \infty$ भी और $x = 0$ । अन्यथा $(m_k)$ परिमित कितने मान लेता है, और उनमें से कोई एक, मान लीजिए $m$ , अनंत बार; उस उपानुक्रम पर $\frac{1}{n_k} \to x - \frac1m$ : यदि $(n_k)$ परिबद्ध है, तो वह कोई मान $n$ अनंत बार लेता है और $x = \frac1m + \frac1n \in G$ ; और यदि नहीं, तो $x = \frac1m$ । हर स्थिति घोषित समुच्चय में आ गिरती है। समापन का सार: संवरक की संगणना सूचकांकों पर संहतता-शैली का स्थिति-विश्लेषण है — परिबद्ध सूचकांक का अर्थ है परिमित कितने मान (कबूतरखाना), अपरिबद्ध सूचकांक का अर्थ है कोई सीमा भाग जाना — और उत्तर सीमा-बिंदुओं की विशिष्ट दो-परत संरचना दिखा देता है: समुच्चय, उसकी पहली पीढ़ी की सीमाएँ, और उनकी सीमा $0$ ।

परिभाषा 12.16 (सघनता, सांस्थितिक रूप)

$A$ $\R$ में सघन तब है जब $\overline A = \R$ — समतुल्य रूप से, हर अरिक्त विवृत अंतराल $A$ से मिलता है; और समतुल्य रूप से (प्रतिज्ञप्ति 12.11 (3) से), हर वास्तविक संख्या $A$ के अवयवों की सीमा है। उदाहरण: $\Q$ , $\R \setminus \Q$ , द्विआधारी संख्याएँ (अभ्यास 10.8), सघन उपसमूह (अभ्यास 10.9)।

उदाहरण 12.17 (सघनता सापेक्ष है)

यहाँ परिभाषित “सघन” का अर्थ है $\R$ में सघन; कोई समुच्चय इसके बदले रेखा के केवल किसी भाग में सघन हो सकता है। $\intcc{0}{1}$ की द्विआधारी संख्याएँ, अर्थात् $D \cap \intcc{0}{1}$ (अभ्यास 10.8), $\intcc{0}{1}$ में समाए हर विवृत अंतराल से मिलती हैं पर निस्संदेह $\intoo{2}{3}$ से पूरी तरह चूक जाती हैं: वे $\intcc{0}{1}$ में सघन हैं, अर्थात् $\overline{D \cap \intcc{0}{1}} = \intcc{0}{1}$ । सामान्य वाक्य “ $A$ $B$ में सघन है” $B \subseteq \overline A$ का संक्षेप है — परिवेशी समुच्चय का नाम सदा लीजिए, क्योंकि सप्ताहांत समस्या के सिरे कैंटर समुच्चय में सघन हैं और साथ ही $\R$ में कहीं सघन नहीं: एक ही समुच्चय, दो सच्चे और विपरीत सुनाई देने वाले वर्णन।

उदाहरण 12.18 (सघनता से निपटना)

तीन त्वरित चालें जो लगातार लौटती हैं। बड़ा करना: यदि $A$ सघन है और $A \subseteq B$ , तो $B$ सघन है (हर अंतराल पहले ही $A$ से मिलता है)। ले जाना: यदि $A$ सघन है, तो $\lambda \neq 0$ के लिए $\lambda A + \mu$ भी सघन है — अंतराल $I$ $\lambda A + \mu$ से तभी मिलता है जब अंतराल $\frac{I - \mu}{\lambda}$ $A$ से मिले; अतः, मान लीजिए, $10^{-9}$ के विषम गुणज सघन हैं। प्रतिच्छेदन विफल है: दो सघन समुच्चय एक-दूसरे से पूरी तरह चूक सकते हैं ( $\Q$ और $\R \setminus \Q$ ): सघनता सम्मिलन और ऐफ़ीन प्रतिचित्रणों में बची रहती है, प्रतिच्छेदन में कभी नहीं।

12.3 खंडों की संहतता

प्रमेय 12.19 (खंड अनुक्रमीय रूप से संहत हैं)

मान लीजिए $a \leq b$ । $\intcc{a}{b}$ के बिंदुओं के प्रत्येक अनुक्रम का कोई उपानुक्रम $\intcc{a}{b}$ के किसी बिंदु की ओर अभिसरित होता है।

और अधिक व्यापक रूप से, $\R$ के जिन उपसमुच्चयों में यह गुणधर्म है (हर अनुक्रम का कोई उपानुक्रम उसी समुच्चय में अभिसरित होता है) वे ठीक संवृत और परिबद्ध समुच्चय हैं।

उपपत्ति. $\intcc{a}{b}$ का अनुक्रम परिबद्ध है, अतः बोल्ज़ानो–वाइरश्ट्रास (प्रमेय 11.16) कोई अभिसारी उपानुक्रम निकाल देता है; और उसकी सीमा $\intcc{a}{b}$ में ही रहती है, क्योंकि खंड संवृत होते हैं (प्रमेय 12.6)।

सामान्य स्थिति। (संवृत परिबद्ध $\Rightarrow$ संहत): मान लीजिए $F$ संवृत और परिबद्ध है और $(u_n)$ $F$ में कोई अनुक्रम है। $F$ की परिबद्धता अनुक्रम को परिबद्ध कर देती है, अतः बोल्ज़ानो–वाइरश्ट्रास $u_{\varphi(n)} \to \ell$ निकाल देता है; और $\ell \in F$ , क्योंकि $F$ संवृत है और वह उपानुक्रम $F$ के बिंदुओं का अभिसारी अनुक्रम है (प्रमेय 12.6): दोनों परिकल्पनाएँ एक-एक करके खप जाती हैं, परिबद्धता सीमा के अस्तित्व के लिए और संवृतता उसकी सदस्यता के लिए। (संहत $\Rightarrow$ संवृत और परिबद्ध): यदि $F$ अपरिबद्ध है, तो ऐसा $u_n \in F$ चुनिए कि $\abs{u_n} \geq n$ ; तब हर उपानुक्रम अपरिबद्ध है, अतः अपसारी (प्रतिज्ञप्ति 11.4): कोई अभिसारी उपानुक्रम है ही नहीं। यदि $F$ संवृत नहीं है, तो $u_n \to \ell \notin F$ वाला $u_n \in F$ लीजिए (प्रमेय 12.6): हर उपानुक्रम $\ell \notin F$ की ओर अभिसरित होता है, अतः कोई उपानुक्रम $F$ में अभिसरित नहीं होता। ∎

उदाहरण 12.20 (नेस्टेड संहत समुच्चय)

प्रमेय का पहला अभ्यास। मान लीजिए $K_0 \supseteq K_1 \supseteq K_2 \supseteq \dots$ $\R$ के अरिक्त संहत (संवृत परिबद्ध) उपसमुच्चय हैं। तब $\bigcap_n K_n \neq \emptyset$ । वस्तुतः, प्रत्येक $n$ के लिए $x_n \in K_n$ चुनिए: यह अनुक्रम संहत $K_0$ में रहता है, अतः कोई उपानुक्रम $x_{\varphi(n)}$ किसी $x$ की ओर अभिसरित होता है (प्रमेय 12.19)। प्रत्येक नियत $m$ के लिए $\varphi(n) \geq m$ वाले पद $x_{\varphi(n)}$ सभी संवृत समुच्चय $K_m$ में हैं, अतः सीमा $x$ $K_m$ में है (प्रमेय 12.6); और चूँकि $m$ स्वेच्छ था, $x \in \bigcap_n K_n$ । एक उपयोगी साथी: यदि कोई विवृत समुच्चय $U$ $\bigcap_n K_n$ को समेटता है, तो किसी $n$ के लिए $U \supseteq K_n$ — वही तर्क बिंदुओं $x_n \in K_n \setminus U$ पर लगाइए; सीमा $x$ $\bigcap K_n \subseteq U$ में होती, फिर भी $U$ के विवृत होने से अंततः $x_{\varphi(n)} \in U$ अनिवार्य हो जाता, जो विरोधाभास है। संहतता के बिना दोनों कथन विफल हैं: $\bigcap_n \intoo{0}{\frac 1n} = \emptyset$ और $\bigcap_n \intco{n}{+\infty} = \emptyset$ । समापन का सार: संहतता अरिक्तता के अनंत दावों की शृंखला को एक ही सीमा-बिंदु में बदल देती है — यही वह औज़ार है जो अनंत प्रतिच्छेदन तक जीवित बचता है, और सप्ताहांत समस्या (समस्या 12.1) उस पर दो बार टिकेगी।

मध्य-तिहाई रचना के पहले चार चरण: C_n का प्रत्येक खंड अपना विवृत मध्य-तिहाई खो देता है, और C_n+1 के 2n+1 खंड बच रहते हैं, जिनकी कुल लंबाई (2/3)n+1 है। कैंटर समुच्चय C = _n C_n — जो सप्ताहांत समस्या का विषय है — वही अरिक्त संहत अवशेष है जिसकी गारंटी ऊपर का नेस्टेड-संहत तर्क देता है: लंबाई शून्य, फिर भी अगणनीय कितने बिंदु बच जाते हैं। — मध्य-तिहाई रचना के पहले चार चरण: $C_n$ का प्रत्येक खंड अपना विवृत मध्य-तिहाई खो देता है, और $C_{n+1}$ के $2^{n+1}$ खंड बच रहते हैं, जिनकी कुल लंबाई $(\frac23)^{n+1}$ है। कैंटर समुच्चय $C = \bigcap_n C_n$ — जो सप्ताहांत समस्या समस्या 12.1 का विषय है — वही अरिक्त संहत अवशेष है जिसकी गारंटी ऊपर का नेस्टेड-संहत तर्क देता है: लंबाई शून्य, फिर भी अगणनीय कितने बिंदु बच जाते हैं।

टिप्पणी 12.21

यही इंजन चरम मान प्रमेय (अध्याय 13) और एकसमान सांतत्य पर हाइने की प्रमेय के पीछे है। “संहत” नाम अपनी व्यापक (आवरण वाली) परिभाषा द्वितीय वर्ष में पाएगा; $\R$ पर अनुक्रमीय संहतता ही हमारी सारी आवश्यकता है, और स्मरण रखने योग्य कथन है “संहत $=$ संवृत $+$ परिबद्ध”।

उदाहरण 12.22 (सम्मिलन के अंतर्गत परिसीमाएँ)

सदा $\partial(A \cup B) \subseteq \partial A \cup \partial B$ : $\partial(A \cup B)$ के बिंदु का हर प्रतिवेश $A \cup B$ से मिलता है (अतः $A$ या $B$ से, अनंत बार किसी एक से) और $A \cup B$ के पूरक से भी, जो दोनों पूरकों में है — इसके बाद एक छोटी जाँच उस बिंदु को $\partial A$ या $\partial B$ में रख देती है। यह अंतर्विष्टि अत्यंत कठोर हो सकती है: $A = \Q$ और $B = \R\setminus\Q$ के साथ,

\partial(A \cup B) = \partial \R = \emptyset , \qquad \partial A \cup \partial B = \R \cup \R = \R :

दो ऊबड़-खाबड़ समुच्चय जुड़कर एक निर्बाध समुच्चय बन सकते हैं, और उनकी परिसीमाएँ एक-दूसरे को नष्ट कर देती हैं। समापन का सार: अंतःभाग और संवरक सम्मिलन तथा प्रतिच्छेदन के अंतर्गत एकदिष्ट रूप से व्यवहार करते हैं, पर परिसीमाएँ नहीं — $\partial$ को व्युत्पन्न राशि मानिए ( $\overline A \setminus \mathring A$ ), अपने ही बीजगणित वाला संकारक कभी नहीं।

टिप्पणी 12.23 (इस खंड के भीतर आगे की दृष्टि)

यहाँ बनी शब्दावली इस पुस्तक में दो बार और खपती है। अध्याय 13 में हर प्रमेय वेश बदला हुआ सांस्थिति का कथन है: मध्यवर्ती मान प्रमेय कहती है कि संतत प्रतिचित्रण अंतराल का गुणधर्म सुरक्षित रखते हैं, और चरम मान प्रमेय कहती है कि वे संहतता सुरक्षित रखते हैं — और उपपत्तियाँ प्रमेय 12.6 और 12.19 का नाम लेकर बुलाती हैं। अध्याय 25 में वही परिभाषाएँ $\R^2$ में, अंतरालों के स्थान पर वृत्तचकतियों के साथ, फिर से पढ़ी जाती हैं: विवृत समुच्चय, संवरक और संहतता शब्दशः चले जाते हैं, और दो-चर वाली चरम मान प्रमेय फिर बोल्ज़ानो–वाइरश्ट्रास पर सवार होती है (प्रत्येक निर्देशांक पर निष्कर्षण)। एकमात्र धारणा जो बिना कष्ट के सामान्यीकृत नहीं होती वह स्वयं अंतराल है — समतल में उत्तलता का स्थान संबद्धता ले लेती है, और वह कथा अभ्यास 12.9 के “केवल $\emptyset$ और $\R$ ही विवृत और संवृत हैं” से आरंभ होती है।

12.4 अभ्यास

अभ्यास 12.1 ★

प्रत्येक समुच्चय के लिए बताइए कि वह विवृत है, संवृत है, दोनों है, या कुछ भी नहीं (न्यायसंगति सहित): $\intoo{0}{1} \cup \intoo{2}{3}$ ; $\;\intco{0}{1}$ ; $\;\{0\} \cup \intcc{1}{2}$ ; $\;\R \setminus \Z$ ; $\;\Q \cap \intoo{0}{1}$ ।

हल

हल — अभ्यास 12.1.

$\intoo{0}{1} \cup \intoo{2}{3}$ : विवृत (विवृत समुच्चयों का सम्मिलन), संवृत नहीं ( $\frac 1n \to 0$ बाहर)।

$\intco{0}{1}$ : कुछ भी नहीं। विवृत नहीं ( $0$ के चारों ओर कोई अंतराल भीतर नहीं); संवृत नहीं ( $1 - \frac1n \to 1 \notin$ समुच्चय)।

$\{0\} \cup \intcc{1}{2}$ : संवृत (संवृत समुच्चयों का परिमित सम्मिलन), विवृत नहीं ( $0$ पर विफल)।

$\R \setminus \Z$ : विवृत ( $\Z$ संवृत है), संवृत नहीं: अनुक्रम $\bigl(\frac 1n\bigr)$ उसमें है, पर उसकी सीमा $0$ $\Z$ की सदस्य है, अर्थात् समुच्चय से भाग जाती है।

$\Q \cap \intoo{0}{1}$ : कुछ भी नहीं। विवृत नहीं: किसी परिमेय संख्या के चारों ओर हर अंतराल में अपरिमेय संख्याएँ हैं। संवृत नहीं: उसमें ऐसे अनुक्रम हैं जो अपरिमेय $\frac{\sqrt 2}{2}$ की ओर जाते हैं (सघनता)।

अभ्यास 12.2 ★

इनके लिए $\mathring A$ , $\overline A$ और $\partial A$ निर्धारित कीजिए: $A = \intoc{0}{1} \cup \{2\}$ ; $\;A = \R \setminus \Q$ ; $\;A = \bigl\{\frac{(-1)^n n}{n+1} : n \in \N\bigr\}$ ।

हल

हल — अभ्यास 12.2.

$A = \intoc{0}{1} \cup \{2\}$ : $\mathring A = \intoo{0}{1}$ , $\overline A = \intcc{0}{1} \cup \{2\}$ , $\partial A = \{0, 1, 2\}$ .

$A = \R \setminus \Q$ : $\mathring A = \emptyset$ (हर अंतराल में परिमेय संख्याएँ हैं), $\overline A = \R$ (अपरिमेय संख्याओं की सघनता), $\partial A = \R$ ।

$A = \bigl\{\frac{(-1)^n n}{n+1}\bigr\}$ : सम पद $1$ की ओर जाते हैं और विषम पद $-1$ की ओर, और इनमें से कोई $A$ का सदस्य नहीं है। $\mathring A = \emptyset$ (वियुक्त बिंदु), $\overline A = A \cup \{-1, 1\}$ , $\partial A = \overline A$ ।

अभ्यास 12.3 ★

सिद्ध कीजिए कि परिमित समुच्चय संवृत होता है — पहले पूरकों से, फिर अनुक्रमीय अभिलक्षण से।

हल

हल — अभ्यास 12.3.

पूरक। $F = \{a_1 < a_2 < \dots < a_k\}$ : पूरक विवृत अंतरालों $\intoo{-\infty}{a_1}$ , $\intoo{a_i}{a_{i+1}}$ , $\intoo{a_k}{+\infty}$ का सम्मिलन है — जो प्रतिज्ञप्ति 12.3 से विवृत है।

अनुक्रम। मान लीजिए $u_n \in F$ , $u_n \to \ell$ । $\varepsilon = \min\{\abs{a_i - a_j} : i \neq j\}/2 > 0$ के साथ (अथवा $F$ के एकल समुच्चय होने पर कोई भी $\varepsilon$ ): किसी कोटि के आगे सभी पद $\ell$ के $\varepsilon$ के भीतर हैं, अतः एक-दूसरे के $2\varepsilon$ के भीतर, जो उन्हें उस कोटि से आगे एक ही $a_i$ होने पर बाध्य कर देता है; और तब $\ell = a_i \in F$ ।

अभ्यास 12.4 ★

सिद्ध कीजिए कि किसी भी $A, B \subseteq \R$ के लिए $\overline{A \cup B} = \overline A \cup \overline B$ । उदाहरण से दिखाइए कि $\overline{A \cap B}$ $\overline A \cap \overline B$ से भिन्न हो सकता है।

हल

हल — अभ्यास 12.4.

$\subseteq$ : $\overline A \cup \overline B$ संवृत है (परिमित सम्मिलन) और उसमें $A \cup B$ समाया है, अतः उसमें सबसे छोटा संवृत अधिसमुच्चय $\overline{A \cup B}$ भी समाया है। $\supseteq$ : $A \subseteq A \cup B$ $\overline A \subseteq \overline{A \cup B}$ देता है (संवरक एकदिष्ट है: $A$ के अभिलग्न बिंदु बड़े समुच्चय से भी अभिलग्न होते हैं), और $B$ के लिए भी वैसे ही।

प्रतिच्छेदन के लिए प्रति-उदाहरण: $A = \intoo{0}{1}$ , $B = \intoo{1}{2}$ : $\overline{A \cap B} = \overline\emptyset = \emptyset$ , पर $\overline A \cap \overline B = \{1\}$ ।

अभ्यास 12.5 ★★

मान लीजिए $\R$ में $u_n \to \ell$ । सिद्ध कीजिए कि समुच्चय $\{u_n : n \in \N\} \cup \{\ell\}$ संवृत है (और परिबद्ध होने की बात जोड़ दें तो संहत भी — जो वह है)।

हल

हल — अभ्यास 12.5.

अनुक्रमीय अभिलक्षण (प्रमेय 12.6) का प्रयोग कीजिए। मान लीजिए $S = \{u_n\} \cup \{\ell\}$ और $S$ में $v_k \to m$ वाला कोई अनुक्रम $(v_k)$ है; दिखाइए $m \in S$ । दो स्थितियाँ। यदि $(v_k)$ कोई मान $v \in S$ अनंत बार लेता है, तो अचर उपानुक्रम $m = v \in S$ दे देता है। अन्यथा हर मान परिमित बार लिया जाता है; विशेष रूप से प्रत्येक $n$ के लिए पद $u_n$ परिमित बार आता है, और $\ell$ भी। तब प्रत्येक $N$ के लिए $v_k \in \{u_0, \dots, u_N, \ell\}$ वाले सूचकांक $k$ परिमित कितने हैं: शेष $v_k$ ऐसे पद $u_n$ हैं जिनके लिए $n > N$ । $\varepsilon > 0$ दिया हो, तो ऐसा $N$ चुनिए कि $n > N$ के लिए $\abs{u_n - \ell} \leq \varepsilon$ : तब परिमित कितने को छोड़कर सभी $v_k$ $\abs{v_k - \ell} \leq \varepsilon$ संतुष्ट करते हैं। अतः $v_k \to \ell$ , इसलिए $m = \ell \in S$ ।

अभ्यास 12.6 ★★

मान लीजिए $U$ विवृत है और $A$ स्वेच्छ। सिद्ध कीजिए कि $U + A = \{u + a\}$ विवृत है। उससे निकालिए कि किसी विवृत समुच्चय और किसी भी समुच्चय का योग विवृत होता है, और इसके विपरीत ऐसे दो संवृत समुच्चय दिखाइए जिनका योग संवृत नहीं है। (अभ्यास 10.9 के साथ $\Z$ और $\sqrt 2\,\Z$ आज़माइए।)

हल

हल — अभ्यास 12.6.

$U + A = \bigcup_{a \in A} (U + a)$ , और प्रत्येक स्थानांतरण $U + a$ विवृत है (अंतराल-प्रमाणपत्रों का स्थानांतरण)। विवृत समुच्चयों का सम्मिलन विवृत होता है (प्रतिज्ञप्ति 12.3)।

संवृत समुच्चय: $\Z$ और $\sqrt 2\,\Z$ संवृत हैं (जैसे $\alpha\Z$ : अभिसारी अनुक्रम अंततः अचर होते हैं, उदाहरण 12.8 देखिए)। उनका योग $\Z + \sqrt 2\,\Z$ $\R$ में सघन है (अभ्यास 10.9) पर वह $\R$ नहीं है (वह गणनीय है; अथवा सरलता से: $\frac{\sqrt 2}{2} \notin \Z + \sqrt2\Z$ , अन्यथा $\sqrt 2$ परिमेय होता — $\frac{\sqrt2}{2} = m + n\sqrt 2$ लिखने पर $(2n - 1)\sqrt 2 = -2m$ अनिवार्य हो जाता, अतः $n = \frac12$ के बिना $\sqrt 2 \in \Q$ , जो असंभव है)। कोई सघन उचित उपसमुच्चय संवृत नहीं होता: उसका संवरक स्वयं $\R \neq$ है।

अभ्यास 12.7 ★★

बिंदु $x \in A$ $A$ में वियुक्त तब है जब $x$ का कोई प्रतिवेश $A$ से केवल $x$ पर मिले। सिद्ध कीजिए कि $\Z$ का प्रत्येक बिंदु $\Z$ में वियुक्त है, कि $A = \{\frac1n\}$ के सभी बिंदु वियुक्त हैं फिर भी $\overline A \neq A$ , और यह कि जिस समुच्चय के सभी बिंदु वियुक्त हों उसका अंतःभाग रिक्त होता है।

हल

हल — अभ्यास 12.7.

$\Z$ : $n$ का प्रतिवेश $\intoo{n - \frac12}{n + \frac12}$ $\Z$ से केवल $n$ पर मिलता है।

$A = \{\frac1n : n \in \N^*\}$ : $\frac 1n$ के चारों ओर त्रिज्या $\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} = \frac{1}{n(n+1)}$ (मान लीजिए आधी) का अंतराल उसे उसके पड़ोसियों से अलग कर देता है — अतः सभी बिंदु वियुक्त। फिर भी $0 \in \overline A \setminus A$ : वियुक्त बिंदु बाहरी अभिलग्न बिंदुओं को नहीं रोकते।

यदि $A$ के सभी बिंदु वियुक्त हैं: तो $A$ का कोई बिंदु आंतरिक नहीं है, क्योंकि आंतरिक बिंदु के चारों ओर $A$ -पड़ोसियों का पूरा अंतराल होता है (और अंतराल अनंत होता है), जो वियुक्तता का विरोध करता है। अतः $\mathring A = \emptyset$ ।

अभ्यास 12.8 ★★

सिद्ध कीजिए कि परिबद्ध समुच्चय का संवरक परिबद्ध होता है, और यह कि ऊपर से परिबद्ध अरिक्त $A$ के लिए $\sup \overline A = \sup A$ । उससे निकालिए कि $\sup A \in \overline A$ : अर्थात् उच्चतम सदा अभिलग्न होता है।

हल

हल — अभ्यास 12.8.

यदि $A \subseteq \intcc{-M}{M}$ , तो संवृत समुच्चय $\intcc{-M}{M}$ में $A$ समाया है, अतः उसमें $\overline A$ भी समाया है (सबसे छोटा संवृत अधिसमुच्चय): अर्थात् $\overline A$ परिबद्ध है।

मान लीजिए $s = \sup A$ (परिमित)। चूँकि $A \subseteq \overline A$ , $\sup \overline A \geq s$ । विलोमतः $\overline A \subseteq \intoc{-\infty}{s}$ : वह अर्धरेखा संवृत है और उसमें $A$ समाया है; अतः $\overline A$ का प्रत्येक अवयव $\leq s$ है, जिससे $\sup\overline A \leq s$ मिलता है। समता।

$s \in \overline A$ : $\varepsilon$ -अभिलक्षण (प्रतिज्ञप्ति 10.4) से प्रत्येक अंतराल $\intoo{s - \varepsilon}{s + \varepsilon}$ में $A$ का कोई अवयव है: अतः $s$ अभिलग्न है।

अभ्यास 12.9 ★★★

सिद्ध कीजिए कि $\R$ के केवल वही उपसमुच्चय विवृत और संवृत दोनों हैं जो $\emptyset$ और $\R$ हैं। संकेत: मान लीजिए $A$ विवृत, संवृत है, जहाँ $A \neq \emptyset$ और $\R \setminus A \neq \emptyset$ ; $a \in A$ , $b \notin A$ चुनिए, मान लीजिए $a < b$ , और $s = \sup\,(A \cap \intcc{a}{b})$ पर विचार कीजिए; तय कीजिए कि $s$ $A$ का सदस्य हो सकता है या उसके पूरक का।

हल

हल — अभ्यास 12.9.

मान लीजिए $A$ विवृत और संवृत है, जहाँ $a \in A$ और $b \in \R \setminus A$ ; व्यापकता खोए बिना $a < b$ । समुच्चय $B = A \cap \intcc{a}{b}$ अरिक्त ( $a$ ) और परिबद्ध है: मान लीजिए $s = \sup B$ । अभ्यास 12.8 से $s \in \overline B \subseteq \overline A = A$ ( $A$ संवृत)। ध्यान दीजिए $s \leq b$ , और चूँकि $b \notin A$ : $s < b$ । अब $A$ विवृत है: कोई अंतराल $\intoo{s - r}{s + r}$ $A$ में है, और हम $r < b - s$ ले सकते हैं। तब $s + \frac{r}{2}$ $A \cap \intcc{a}{b} = B$ का सदस्य है और $s$ से बड़ा है — जो $s = \sup B$ का विरोध करता है। अतः ऐसा कोई युग्म $(a, b)$ है ही नहीं: $A$ , $\R \setminus A$ में से एक रिक्त है।

अभ्यास 12.10 ★★★

(विवृत समुच्चयों की संरचना) मान लीजिए $U \subseteq \R$ विवृत और अरिक्त है। $x \in U$ के लिए मान लीजिए $I_x$ उन सभी विवृत अंतरालों का सम्मिलन है जो $x$ को समेटते हैं और $U$ में समाए हैं। सिद्ध कीजिए कि $I_x$ विवृत अंतराल है, कि दो समुच्चय $I_x$ , $I_y$ या तो बराबर हैं या असंयुक्त, और यह कि $U$ गणनीय कितने जोड़ों में असंयुक्त विवृत अंतरालों का सम्मिलन है (हर एक में एक परिमेय संख्या चुनिए)।

हल

हल — अभ्यास 12.10.

$I_x$ ऐसे विवृत अंतरालों का सम्मिलन है जिन सबमें $x$ है: अतः वह विवृत है, और उत्तल होने से अंतराल भी — यदि $u, v \in I_x$ के साथ $u < z < v$ , तो $u$ और $v$ $U$ के विवृत उपअंतरालों $J_u \ni x$ , $J_v \ni x$ में हैं, और $J_u \cup J_v$ ऐसा अंतराल है (दोनों में $x$ है) जो $U$ के भीतर है और $z$ को समेटता है; अतः $z \in I_x$ (प्रतिज्ञप्ति 10.19)।

यदि $I_x \cap I_y \neq \emptyset$ : तो $I_x \cup I_y$ $U$ में समाया ऐसा विवृत अंतराल है (उत्तल: दो अतिव्यापी अंतराल) जो $x$ और $y$ दोनों को समेटता है, अतः दोनों की अधिकतमता से $I_x \cup I_y \subseteq I_x$ और $\subseteq I_y$ : $I_x = I_y$ ।

अतः $U$ भिन्न समुच्चयों $I_x$ का असंयुक्त सम्मिलन है (प्रत्येक $x \in U$ अपने ही $I_x$ में है)। गणनीयता: इस परिवार के प्रत्येक अरिक्त विवृत अंतराल $I$ में कोई परिमेय संख्या $q_I$ है (प्रमेय 10.14), और भिन्न असंयुक्त अंतरालों को भिन्न परिमेय संख्याएँ मिलती हैं: अतः यह परिवार $\Q$ में एकैकी रूप से समा जाता है, जो गणनीय है (वह पूर्णांक युग्मों से सूचीबद्ध है)। अतः अधिक से अधिक गणनीय कितने अंतराल।

अभ्यास 12.11 ★★

बिंदु $x \in \R$ $A$ का संचय बिंदु तब है जब $x$ का प्रत्येक प्रतिवेश $A \setminus \{x\}$ से मिले; उनका समुच्चय व्युत्पन्न समुच्चय $A'$ है। सिद्ध कीजिए कि $\overline A = A \cup A'$ , और यह कि $A$ संवृत है यदि और केवल यदि $A' \subseteq A$ । $A = \{\frac 1n : n \in \N^*\}$ के लिए, $A = \Z$ के लिए, और $A = \Q$ के लिए $A'$ निर्धारित कीजिए।

हल

हल — अभ्यास 12.11.

$\overline A = A \cup A'$ । ( $\supseteq$ ) सदा $A \subseteq \overline A$ ; और यदि $x \in A'$ , तो $x$ का प्रत्येक प्रतिवेश $A \setminus \{x\} \subseteq A$ से मिलता है, अतः $x$ अभिलग्न है। ( $\subseteq$ ) मान लीजिए $x \in \overline A$ । यदि $x \in A$ , तो काम पूरा। यदि $x \notin A$ , तो $x$ का प्रत्येक प्रतिवेश $A = A \setminus \{x\}$ से मिलता है: $x \in A'$ ।

फलस्वरूप $A$ संवृत $\iff$ $A = \overline A = A \cup A'$ $\iff$ $A' \subseteq A$ ।

$A = \{\frac 1n\}$ : $0$ एक संचय बिंदु है ( $\frac 1n \to 0$ , पद $\neq 0$ ); प्रत्येक $\frac 1n$ वियुक्त है (अभ्यास 12.7), अतः $A'$ में नहीं; और $x \notin A \cup \{0\}$ वाले बिंदु के चारों ओर पूरा अंतराल $A$ से बचता है ( $A \cup \{0\}$ में $x$ के दोनों पड़ोसियों के बीच, या $1$ से आगे)। अतः $A' = \{0\}$ ।

$\Z' = \emptyset$ : प्रत्येक पूर्णांक वियुक्त है, और प्रत्येक अपूर्णांक का कोई प्रतिवेश $\R \setminus \Z$ के भीतर है।

$\Q' = \R$ : किसी भी वास्तविक संख्या के चारों ओर हर अंतराल में अनंत कितनी परिमेय संख्याएँ हैं (प्रमेय 10.14), और विशेष रूप से केंद्र से भिन्न कोई एक।

अभ्यास 12.12 ★★★

अरिक्त $A \subseteq \R$ के लिए $d_A(x) = \inf\{\abs{x - a} : a \in A\}$ परिभाषित कीजिए। सिद्ध कीजिए:

सभी $x, y$ के लिए $\abs{d_A(x) - d_A(y)} \leq \abs{x - y}$ ( $d_A$ $1$ -लिप्शिट्ज़ है);
$d_A(x) = 0$ यदि और केवल यदि $x \in \overline A$ ; विशेष रूप से, यदि $F$ संवृत है और $x \notin F$ , तो $d_F(x) > 0$ ;
प्रत्येक $\varepsilon > 0$ के लिए समुच्चय $V_\varepsilon = \{x : d_F(x) < \varepsilon\}$ विवृत है, $F$ को समेटता है, और संवृत $F$ के लिए $\bigcap_{\varepsilon > 0} V_\varepsilon = F$ : अर्थात् प्रत्येक संवृत समुच्चय विवृत समुच्चयों का गणनीय प्रतिच्छेदन है।

हल

हल — अभ्यास 12.12.

प्रत्येक $a \in A$ के लिए: $\abs{x - a} \leq \abs{x - y} + \abs{y - a}$ , अतः $d_A(x) \leq \abs{x - y} + \abs{y - a}$ ; $a$ पर निम्नतम लेने पर: $d_A(x) \leq \abs{x - y} + d_A(y)$ । $x$ और $y$ की अदला-बदली दूसरी असमिका देती है: $\abs{d_A(x) - d_A(y)} \leq \abs{x - y}$ ।
$d_A(x) = 0$ $\iff$ प्रत्येक $\varepsilon > 0$ के लिए ऐसा $a \in A$ है कि $\abs{x - a} < \varepsilon$ $\iff$ $x$ के चारों ओर प्रत्येक अंतराल $A$ से मिलता है $\iff$ $x \in \overline A$ । यदि $F$ संवृत है और $x \notin F = \overline F$ , तो $d_F(x) \neq 0$ , अर्थात् $d_F(x) > 0$ ।
यदि $d_F(x) < \varepsilon$ , तो $r = \varepsilon - d_F(x) > 0$ रखिए: $\abs{y - x} < r$ के लिए भाग (1) $d_F(y) \leq d_F(x) + \abs{x - y} < \varepsilon$ देता है: अर्थात् अंतराल $\intoo{x - r}{x + r}$ $V_\varepsilon$ में है, जो इसलिए विवृत है; और उसमें $F$ है, क्योंकि वहाँ $d_F = 0$ । अंत में $x \in \bigcap_{\varepsilon>0} V_\varepsilon$ $\iff$ सभी $\varepsilon$ के लिए $d_F(x) < \varepsilon$ $\iff$ $d_F(x) = 0$ $\iff$ $x \in \overline F = F$ । चूँकि $\bigcap_{\varepsilon > 0} V_\varepsilon = \bigcap_{n \geq 1} V_{1/n}$ , अतः प्रत्येक संवृत समुच्चय विवृत समुच्चयों का गणनीय प्रतिच्छेदन है।

12.5 समस्या: कैंटर समुच्चय, एक साथ छोटा और विशाल

समस्या 12.1

सप्ताहांत समस्या — कैंटर का मध्य-तिहाई समुच्चय: लंबाई शून्य, अगणनीय, पूर्ण, और $C + C = \intcc{0}{2}$

$\intcc{0}{1}$ में से उसका विवृत मध्य-तिहाई हटाइए, फिर बचे हुए हर खंड का मध्य-तिहाई, और यही सदा दोहराइए: जो बचता है वह कैंटर समुच्चय $C$ है, अर्थात् विश्लेषण की मूल प्रति-उदाहरण-निर्माणशाला। यह समस्या उसका निर्माण करती है, उसे समस्या 10.1 की आधार- $3$ मशीनरी से पढ़ती है, और उसका विरोधाभासी चित्र स्थापित करती है: कुल लंबाई शून्य, फिर भी अगणनीय; रिक्त अंतःभाग, फिर भी कोई वियुक्त बिंदु नहीं; पूर्णतः असंबद्ध, फिर भी $C + C$ पूरा खंड $\intcc{0}{2}$ भर देता है। औपचारिक रूप से: $C_0 = \intcc{0}{1}$ , और $C_{n+1}$ $C_n$ से $C_n$ के प्रत्येक खंड का विवृत मध्य-तिहाई हटाकर मिलता है; अंत में $C = \bigcap_{n \geq 0} C_n$ । आगे सर्वत्र, $x \in \intcc{0}{1}$ का त्रिआधारी कूट $d_k \in \{0, 1, 2\}$ वाली कोई भी अंक-माला $(d_k)_{k\geq1}$ है जिसका मान $\sup_n \sum_{k=1}^n d_k 3^{-k}$ $x$ के बराबर हो — अनुचित कूट (अंततः $2$ ) भी स्वीकार्य हैं; समस्या 10.1 (प्रश्न 9–11) से प्रत्येक $x \in \intcc{0}{1}$ के एक या दो कूट होते हैं, और दो ठीक तभी जब $x = m/3^N \in \intoo{0}{1}$ ।

भाग I — निर्माण।

$C_1$ और $C_2$ को खंडों के सम्मिलन के रूप में स्पष्ट रूप से वर्णित कीजिए, और आगमन से सिद्ध कीजिए: $C_n$ $2^n$ संवृत खंडों का असंयुक्त सम्मिलन है, जिनमें से प्रत्येक की लंबाई $3^{-n}$ है।
दिखाइए कि $C$ संवृत, परिबद्ध — अतः संहत (प्रमेय 12.19) — और अरिक्त है, और यह कि प्रत्येक $C_n$ के प्रत्येक खंड का प्रत्येक सिरा $C$ का सदस्य है।
$C_n$ की कुल लंबाई $\bigl(\frac23\bigr)^n$ है। उससे निकालिए कि प्रत्येक $\varepsilon > 0$ के लिए समुच्चय $C$ को कुल लंबाई $\leq \varepsilon$ वाले परिमित कितने खंडों से ढका जा सकता है: अर्थात् कैंटर समुच्चय की लंबाई शून्य है।
दिखाइए कि $C$ में समाए अंतराल की लंबाई प्रत्येक $n$ के लिए $\leq 3^{-n}$ है, अतः वह एकल समुच्चय है या रिक्त: $\mathring C = \emptyset$ । संवृत होने के साथ रिक्त अंतःभाग वाला होने से $C$ कहीं सघन नहीं है।

भाग II — त्रिआधारी कूट।

स्वसमरूपता की पुनरावृत्ति सिद्ध कीजिए

$C_{n+1} = \tfrac13 C_n \,\cup\, \bigl(\tfrac23 + \tfrac13 C_n\bigr), \qquad\text{अतः}\qquad C = \tfrac13 C \,\cup\, \bigl(\tfrac23 + \tfrac13 C\bigr),$

जहाँ दोनों टुकड़े असंयुक्त हैं: अर्थात् $C$ मापक $\frac13$ पर अपनी ही दो प्रतियाँ है।
$n$ पर आगमन से सिद्ध कीजिए: $x \in C_n$ यदि और केवल यदि $x$ का कोई ऐसा त्रिआधारी कूट हो जिसके पहले $n$ अंक $\{0, 2\}$ में हों। इस तथ्य का प्रयोग करके कि $x$ के अधिक से अधिक दो कूट हैं, निकालिए: $x \in C$ यदि और केवल यदि $x$ का कोई ऐसा कूट हो जिसमें कोई अंक $1$ के बराबर न हो (एक $1$ -मुक्त कूट)।
कूट काम पर: $0$ , $1$ , $\frac13$ , $\frac23$ के $1$ -मुक्त कूट दीजिए; दिखाइए $\frac14 = (0.\overline{02})_3$ और $\frac34 = (0.\overline{20})_3$ , अतः दोनों $C$ के सदस्य हैं; और जाँचिए कि $\frac14$ किसी भी $C_n$ का सिरा नहीं है (सिरों का रूप $m/3^n$ होता है)।
दिखाइए कि प्रत्येक $x \in C$ का ठीक एक $1$ -मुक्त कूट है (जब $x$ के दो कूट हों, तब सिद्ध कीजिए कि उस जोड़े में से ठीक एक में अंक $1$ है)। निष्कर्ष: मान-प्रतिचित्रण $\{0,2\}$ -मालाओं से $C$ पर एकैकी आच्छादन है।
(विकर्ण) मान लीजिए $k \mapsto x_k$ कोई प्रतिचित्रण $\N^* \to C$ है। ऐसी $\{0, 2\}$ -माला बनाइए जो सूचकांक $k$ पर $x_k$ के कूट से भिन्न हो, और निष्कर्ष निकालिए कि $C$ अगणनीय है — जबकि इसके विपरीत प्रश्न 3 कहता है कि वह मापीय दृष्टि से नगण्य है।

भाग III — सांस्थितिक चित्र।

अब तक का लेखा जोड़िए: $C$ संहत, अगणनीय, लंबाई-शून्य और कहीं सघन नहीं है। कौन-सी एक अंतर्विष्टि $C \subseteq C_n$ किस गुणधर्म को ढोती है?
( $C$ पूर्ण है) मान लीजिए $1$ -मुक्त कूट $(d_k)$ के साथ $x \in C$ । अंक $d_n$ ( $0 \leftrightarrow 2$ ) को पलटने से $x_n \in C$ मिलता है, जहाँ $\abs{x_n - x} = 2 \cdot 3^{-n}$ । निष्कर्ष निकालिए कि $C$ का कोई वियुक्त बिंदु नहीं है: $C$ का प्रत्येक बिंदु $C$ के दूसरे बिंदुओं की सीमा है।
दिखाइए कि प्रश्न 2 के सिरे $C$ का गणनीय सघन उपसमुच्चय बनाते हैं (कूट को $n$ अंकों के बाद काटिए और आगे $0$ लगाइए; गणनीयता अभ्यास 12.10 की भाँति)। निष्कर्ष: $C$ का विशिष्ट बिंदु — जैसे $\frac14$ — कोई सिरा नहीं है: सिरे उस अगणनीय काया के भीतर एक गणनीय ढाँचा हैं।
(पूर्णतः असंबद्ध) मान लीजिए $C$ में $x < y$ । ऐसा $n$ चुनिए कि $3^{-n} < y - x$ , और ऐसा बिंदु $z \in \intoo{x}{y}$ उत्पन्न कीजिए कि $z \notin C$ । निष्कर्ष निकालिए कि $C$ में समाए एकमात्र अरिक्त अंतराल एकल समुच्चय हैं।

भाग IV — $C$ का अंकगणित।

दिखाइए $1 - C = C$ ( $x \mapsto 1 - x$ किसी $1$ -मुक्त कूट के साथ क्या करता है? $1 = (0.\overline{2})_3$ स्मरण कीजिए।)
(कूटों का योग) दिखाइए कि यदि $x$ , $x'$ के कूट $(a_k)$ , $(b_k)$ हैं, तो $x + x' = \lim_n\,(t_n + t'_n)$ , जहाँ $t_n, t'_n$ आंशिक योग हैं। उससे निकालिए: प्रत्येक $y \in \intcc{0}{1}$ $C$ के दो बिंदुओं का मध्यबिंदु है — $y$ का कोई कूट $(e_k)$ दिया हो, तो ऐसे अंक $a_k, b_k \in \{0, 2\}$ चुनिए कि $\frac{a_k + b_k}{2} = e_k$ ।
निष्कर्ष निकालिए $C + C = \intcc{0}{2}$ , और प्रश्न 14 के साथ $C - C = \intcc{-1}{1}$ । मूर्त उदाहरण: $1$ को प्रश्न 7 में मिले दोनों गैर-सिरा बिंदुओं के योग के रूप में लिखिए।
विचार कीजिए: लंबाई-शून्य वाला ऐसा समुच्चय जिसका अंतर-समुच्चय $\intcc{-1}{1}$ भर देता है। “ $C$ मापीय दृष्टि से नगण्य है” और “ $C + C$ की लंबाई पूरी है” में कोई विरोध क्यों नहीं है? (एक वाक्य; सोचिए कि लंबाई क्या नियंत्रित करती है और क्या नहीं।)

भाग V — सदस्य, परिमेय और अपरिमेय।

प्रश्न 8 को समस्या 10.1 की आवर्तिता कसौटी के साथ मिलाइए: $C$ का कोई बिंदु परिमेय है यदि और केवल यदि उसका $1$ -मुक्त कूट अंततः आवर्ती हो। $\frac1{13} = (0.\overline{002})_3 \in C$ जाँचने के लिए आधार- $3$ का लंबा भाग चलाइए।
$C$ का एक स्पष्ट रूप से अपरिमेय सदस्य उत्पन्न कीजिए: उस कूट का मान जिसमें त्रिभुजीय स्थानों $k = \frac{j(j+1)}{2}$ पर $d_k = 2$ हों और अन्यत्र $d_k = 0$ । अपरिमेयता को समस्या 10.1 (प्रश्न 20) के बढ़ते-अंतराल वाले तर्क से न्यायसंगत ठहराइए।
(पूरे खंड पर आच्छादन) $h$ पर विचार कीजिए, जो $C$ के उस बिंदु को, जिसका $1$ -मुक्त कूट $(d_k)$ है, द्विआधारी माला $\bigl(\frac{d_k}2\bigr)$ के मान पर भेजता है, अर्थात् $h(x) = \sup_n \sum_{k=1}^n \frac{d_k}{2}\,2^{-k}$ । दिखाइए कि $h$ $C$ को $\intcc{0}{1}$ पर आच्छादित करता है। अतः नगण्य $C$ पूरी लंबाई वाले खंड पर आच्छादित हो जाता है — और यह $C$ की अगणनीयता की दूसरी उपपत्ति है।
(स्वसमरूप लंबाई) मान लीजिए $C$ और उसकी सिकुड़ी हुई प्रतियों के लिए लंबाई की कोई धारणा $L$ परिभाषित होती जो मापन ( $L(\lambda A) = \lambda L(A)$ ), स्थानांतरण-अपरिवर्त्यता और प्रश्न 5 के असंयुक्त वियोजन पर योगात्मकता का आदर करती। दिखाइए कि तब $L(C) = \frac23\,L(C)$ , जो $L(C) = 0$ पर बाध्य कर देता है: अर्थात् केवल स्वसमरूपता ही $C$ को लंबाई-शून्य का दंड सुना देती है।

भाग VI — एक मोटा चचेरा भाई, और उपदेश।

(मोटा कैंटर समुच्चय) वही रचना दोहराइए, पर चरण $n$ ( $n = 0, 1, 2, \dots$ ) पर वर्तमान $2^n$ खंडों में से प्रत्येक से केवल $4^{-(n+1)}$ लंबाई का एक केंद्रीय विवृत अंतराल हटाइए। दिखाइए कि खंड-लंबाइयाँ $l_n$ $l_{n+1} = \frac{l_n - 4^{-(n+1)}}{2}$ , $l_n = \frac{2^n + 1}{2\cdot 4^n} > 0$ का पालन करती हैं, कि परिणामी $K = \bigcap K_n$ रिक्त अंतःभाग वाला संहत समुच्चय है, और यह कि कुल हटाई गई लंबाई $\sum_{n\geq0} 2^n 4^{-(n+1)} = \frac12$ है। अंतरालों के परिमित सम्मिलनों के लिए लंबाई की (सहज, स्नातक वर्ष 3 वाली) योगात्मकता मान लेते हुए और उदाहरण 12.20 के दोनों कथनों का प्रयोग करते हुए दिखाइए कि $K$ को ढकने वाले विवृत अंतरालों के किसी भी परिमित परिवार की कुल लंबाई $\geq \frac12$ है: अर्थात् $K$ कहीं सघन नहीं है पर नगण्य नहीं है। छोटेपन के कई असमतुल्य अर्थ हैं।
(दूरियाँ) दिखाइए कि अरिक्त संवृत $F \subseteq \R$ और $x \in \R$ के लिए निम्नतम $d(x, F)$ प्राप्त होता है (न्यूनकारी अनुक्रम और बोल्ज़ानो–वाइरश्ट्रास)। फिर संगणना कीजिए

$\max_{y \in \intcc{0}{1}} d(y, C) = \frac16 ,$

जो ठीक केंद्र $y = \frac12$ पर प्राप्त होता है (चरण $n$ पर बने अंतराल का कोई बिंदु उस अंतराल के सिरों से $\frac{3^{-n}}{2}$ के भीतर है, और वे सिरे $C$ में हैं)।
(हर बिंदु एक उपानुक्रमीय सीमा) प्रश्न 12 और 2 का प्रयोग करके $C$ में एक ही ऐसा अनुक्रम उत्पन्न कीजिए जिसकी उपानुक्रमीय सीमाओं का समुच्चय पूरा $C$ हो। (तुलना: अभिसारी अनुक्रम के लिए वह समुच्चय एक ही बिंदु होता है — $C$ संहत समुच्चयों में विपरीत छोर को साकार करता है।)
संश्लेषण, एक-एक वाक्य में: (क) इस रचना ने इस अध्याय की कौन-सी प्रमेयें सचमुच खपाईं (संवृत समुच्चयों का स्थायित्व, संहतता, अनुक्रमीय अभिलक्षण)? (ख) इस चित्र के चार विरोधाभासी युग्म गिनाइए (लंबाई शून्य/अगणनीय, संवृत/रिक्त अंतःभाग, पूर्ण/पूर्णतः असंबद्ध, नगण्य/ $C+C$ पूर्ण); (ग) $C$ आगे कहाँ फिर उभरता है (सांतत्य के सिद्धांत में $h$ पर बनी शैतान की सीढ़ी, और स्नातक वर्ष 3 के खंड का माप-सिद्धांत, जहाँ $C$ “गणनीय” को “नगण्य” से अलग कर देता है)?

हल

हल — समस्या 12.1.

1. $C_1 = \intcc{0}{\frac13} \cup \intcc{\frac23}{1}$ और

C_2 = \intcc{0}{\tfrac19} \cup \intcc{\tfrac29}{\tfrac13} \cup \intcc{\tfrac23}{\tfrac79} \cup \intcc{\tfrac89}{1} .

आगमन: यदि $C_n$ लंबाई $3^{-n}$ के $2^n$ संवृत खंडों का असंयुक्त सम्मिलन है, तो हर एक का विवृत मध्य-तिहाई हटाने से प्रति जनक लंबाई $3^{-n-1}$ के दो संवृत खंड बच जाते हैं: $2^{n+1}$ खंड, जोड़ों में असंयुक्त (भिन्न जनकों की संतानें अलग हैं क्योंकि जनक अलग थे; एक ही जनक की संतानें हटाए गए अंतराल से अलग हैं)।

2. प्रत्येक $C_n$ खंडों का परिमित सम्मिलन है, अतः संवृत; $C = \bigcap C_n$ संवृत समुच्चयों का प्रतिच्छेदन है: अतः संवृत (परिभाषा 12.5); परिबद्ध ( $\subseteq \intcc{0}{1}$ ): और प्रमेय 12.19 से संहत। अरिक्त: $0$ प्रत्येक $C_n$ के सबसे बाएँ खंड में है। मान लीजिए $a$ $C_n$ के खंड $S$ का सिरा है। $m \leq n$ के लिए $a \in C_n \subseteq C_m$ । आगे के चरणों के लिए: मध्य-तिहाई हटाना कभी किसी सिरे को नहीं हटाता, और $a$ फिर $S$ की दोनों संतानों में से एक का सिरा है (वह संतान जो $a$ को छूती है); आगमन से सभी $m \geq n$ के लिए $a \in C_m$ : $a \in C$ ।

3. $C_n$ की कुल लंबाई: $2^n \cdot 3^{-n} = (\frac23)^n \to 0$ । $\varepsilon > 0$ दिया हो, तो ऐसा $n$ चुनिए कि $(\frac23)^n \leq \varepsilon$ : तब $C \subseteq C_n$ , जो कुल लंबाई $\leq \varepsilon$ वाले परिमित कितने खंडों का सम्मिलन है।

4. मान लीजिए $I \subseteq C$ दो भिन्न बिंदुओं वाला अंतराल है। प्रत्येक $n$ के लिए: $I \subseteq C_n$ , और $I$ उत्तल होने से $C_n$ के एक ही खंड के भीतर होना चाहिए (दो खंडों से मिलने पर $I$ को उनके बीच के अंतराल का कोई बिंदु समेटना पड़ता, जो $C_n$ के बाहर है)। अतः $I$ की लंबाई सभी $n$ के लिए $\leq 3^{-n}$ है: विरोधाभास। अतः $C$ के भीतर एकमात्र अंतराल रिक्त या एकल हैं; विशेष रूप से कोई $\intoo{x-r}{x+r}$ $C$ के भीतर नहीं समाता: $\mathring C = \emptyset$ । और $C$ के संवृत होने से $\overline C = C$ का अंतःभाग रिक्त है: $C$ कहीं सघन नहीं है।

5. $\varphi_0(x) = \frac x3$ और $\varphi_2(x) = \frac{2 + x}{3}$ लिखिए, जो $\intcc{0}{1}$ के $\intcc{0}{\frac13}$ तथा $\intcc{\frac23}{1}$ पर वर्धमान ऐफ़ीन एकैकी आच्छादन हैं। दावा: $C_{n+1} = \varphi_0(C_n) \cup \varphi_2(C_n)$ । $n = 0$ के लिए यह प्रश्न 1 है। आगमन: वर्धमान ऐफ़ीन प्रतिचित्रण किसी खंड के मध्य-तिहाई को प्रतिबिंब खंड के मध्य-तिहाई पर भेजता है, अतः मध्य-तिहाई हटाना $\varphi_0$ और $\varphi_2$ के साथ क्रम-विनिमेय है; $C_{n+1} = \varphi_0(C_n) \cup \varphi_2(C_n)$ पर हटाने का पद लगाने से $C_{n+2} = \varphi_0(C_{n+1}) \cup \varphi_2(C_{n+1})$ मिलता है। $n$ पर प्रतिच्छेदन लेने पर: $x \leq \frac13$ के लिए सभी $n$ पर $x \in C \iff x \in \varphi_0(C_n)$ $\iff 3x \in \bigcap C_n = C$ ; $\intcc{\frac23}{1}$ पर भी वैसे ही; और $\intoo{\frac13}{\frac23}$ का कोई बिंदु $C_1$ में नहीं है। अतः $C = \varphi_0(C) \cup \varphi_2(C)$ , और वह भी असंयुक्त रूप से।

6. $n$ पर आगमन; स्थिति $n = 0$ कहती है कि प्रत्येक $x \in \intcc{0}{1}$ का कोई कूट है, जो समस्या 10.1 है ( $x < 1$ के लिए प्रश्न 9; $1 = (0.\overline 2)_3$ )। कोटि $n$ पर तुल्यता मान लीजिए। यदि $x \in C_{n+1}$ : तो प्रश्न 5 से $z \in C_n$ और $i \in \{0, 2\}$ के साथ $x = \varphi_i(z)$ ; और यदि $(e_k)$ $z$ का ऐसा कूट है जिसके पहले $n$ अंक $1$ -मुक्त हैं, तो $(i, e_1, e_2, \dots)$ के आंशिक योग $\frac i3 + \frac13\sum_{k\leq m} e_k 3^{-k} \to \varphi_i(z) = x$ हैं: अर्थात् $x$ का ऐसा कूट जिसके पहले $n + 1$ अंक $1$ -मुक्त हैं। विलोमतः, यदि $x$ का कोई कूट $(d_k)$ हो जिसमें $d_1, \dots, d_{n+1} \in \{0, 2\}$ : तो विस्थापित माला $(d_2, d_3, \dots)$ का कोई मान $z \in \intcc{0}{1}$ है, उसके पहले $n$ अंक $1$ -मुक्त हैं, और आंशिक-योग की संगणना उलटी दिशा में पढ़ने पर $x = \varphi_{d_1}(z)$ देती है; आगमन से $z \in C_n$ , अतः प्रश्न 5 से $x \in C_{n+1}$ । अंत में: पूर्णतः $1$ -मुक्त कूट $x$ को प्रत्येक $C_n$ में रख देता है, अतः $C$ में; विलोमतः यदि $x \in C$ , तो प्रत्येक $n$ के लिए $x$ के अधिक से अधिक दो कूटों (समस्या 10.1, प्रश्न 11) में से किसी एक के पहले $n$ अंक $1$ -मुक्त हैं; और कोई एक नियत कूट मनचाहे बड़े $n$ के लिए काम करना ही चाहिए (दो कूटों के बीच कबूतरखाना), और जिस कूट के पहले $n$ अंक मनचाहे बड़े $n$ के लिए $1$ -मुक्त हों वह सीधे-सीधे $1$ -मुक्त है।

7. $0 = (0.\overline 0)_3$ , $1 = (0.\overline 2)_3$ , $\frac13 = (0.0\overline{2})_3$ ( $(0.1)_3$ का अनुचित जुड़वाँ), $\frac23 = (0.2\overline{0})_3$ । गुणोत्तर योग:

(0.\overline{02})_3 = \sum_{j\geq1} \frac{2}{9^{\,j}} = \frac{2/9}{1 - 1/9} = \frac14 , \qquad (0.\overline{20})_3 = \sum_{j\geq1} \frac{2}{3\cdot 9^{\,j-1}} = \frac{2/3}{1 - 1/9} = \frac34 ,

दोनों $1$ -मुक्त: $\frac14, \frac34 \in C$ । (अनंत योग आंशिक योगों के उच्चतम का संक्षेप हैं, जैसा समस्या 10.1 में है।) $C_n$ के खंडों के सिरों का रूप $m/3^n$ है (आगमन: संतानों के सिरे जनक के सिरे हैं या उनमें से किसी से $3^{-n-1}$ के गुणज भर भिन्न हैं)। यदि $\frac14 = \frac{m}{3^n}$ , तो $3^n = 4m$ , और $4 \nmid 3^n$ : असंभव। अतः $\frac14 \in C$ , और वह भी बिना कभी सिरा हुए।

8. मान लीजिए $x$ के दो भिन्न $1$ -मुक्त कूट होते। दो कूट होने का अर्थ ही है (समस्या 10.1, प्रश्न 11, आधार $3$ ) कि $x = m/3^N \in \intoo{0}{1}$ , और दोनों कूट ये हैं: समाप्त होने वाला कूट, जिसका अंतिम अशून्य अंक $d_N \in \{1, 2\}$ है और उसके बाद $0$ ; और उसका जुड़वाँ, जिसमें स्थान $N$ पर $d_N - 1$ है और उसके बाद $2$ । यदि $d_N = 1$ , तो पहले में कोई $1$ है; और यदि $d_N = 2$ , तो जुड़वाँ में $d_N - 1 = 1$ है। दोनों में से किसी भी हाल में उस जोड़े का अधिक से अधिक एक ही $1$ -मुक्त है: विरोधाभास। अतः प्रत्येक $x \in C$ का ठीक एक $1$ -मुक्त कूट है (अस्तित्व प्रश्न 6 से), और भिन्न $\{0,2\}$ -मालाओं के मान भिन्न हैं। प्रत्येक $\{0,2\}$ -माला का मान $\intcc{0}{1}$ में है (आंशिक योग $\leq 1$ ) और उसके सभी उपसर्ग $1$ -मुक्त हैं, अतः मान प्रत्येक $C_n$ में, अर्थात् $C$ में है: मान-प्रतिचित्रण $\{0,2\}$ -मालाओं से $C$ पर एकैकी आच्छादन है।

9. मान लीजिए $(d^{(k)})$ $x_k$ का $1$ -मुक्त कूट है और $e_k = 2 - d^{(k)}_k \in \{0, 2\}$ रखिए: यह ऐसी $\{0,2\}$ -माला है जिसका मान $y$ $C$ में है और जिसका अद्वितीय $1$ -मुक्त कूट $(e_k)$ है (प्रश्न 8)। प्रत्येक $k$ के लिए $y$ और $x_k$ के कूट स्थान $k$ पर भिन्न हैं, अतः $y \neq x_k$ : कोई भी प्रतिचित्रण $\N^* \to C$ आच्छादक नहीं है। लंबाई-शून्य वाला अगणनीय समुच्चय: गणनांक में विशालता और माप में लघुता — एक साथ।

10. संहतता: अनंत प्रतिच्छेदन की संवृतता और परिबद्धता (प्रश्न 2) — यही एकमात्र गुणधर्म है जिसे कोई एक अंतर्विष्टि नहीं ढोती। लंबाई शून्य: $C \subseteq C_n$ , जिसकी कुल लंबाई $(\frac23)^n$ है (प्रश्न 3)। कहीं सघन न होना: $C \subseteq C_n$ $C$ के भीतर के अंतरालों की लंबाई $\leq 3^{-n}$ होने पर बाध्य कर देता है (प्रश्न 4)। अगणनीयता किसी अंतर्विष्टि पर सवार ही नहीं है: उसे पूरी प्रतिच्छेदन-संरचना चाहिए, जो प्रश्न 8 के एकैकी आच्छादन में कूटित है।

11. $d_n$ को $2 - d_n$ में पलटिए: नई माला अब भी $\{0,2\}$ -माला है, अतः उसका मान $x_n$ $C$ में है; और कोटि $n$ के आगे आंशिक योग ठीक $2\cdot3^{-n}$ भर भिन्न हैं, अतः $\abs{x_n - x} = 2\cdot3^{-n}$ । इस प्रकार $x_n \neq x$ और $x_n \to x$ : $C$ का प्रत्येक बिंदु $C$ के दूसरे बिंदुओं की सीमा है — अर्थात् $C$ पूर्ण है, और उसका कोई वियुक्त बिंदु नहीं है।

12. प्रश्न 5 के आगमन से $C_n$ के खंड ठीक $\intcc{t}{t + 3^{-n}}$ हैं, जहाँ $t$ लंबाई- $n$ वाली $\{0,2\}$ -मालाओं के मानों पर चलता है। कूट $(d_k)$ वाला $x \in C$ दिया हो, तो कटाई $t_n$ (अंक $d_1 \dots d_n$ , फिर $0$ ) इसलिए एक बायाँ सिरा है, और $0 \leq x - t_n \leq 3^{-n}$ : अतः सिरे $C$ में सघन हैं। वे $\{m/3^n : m, n\}$ का उपसमुच्चय बनाते हैं, जो पूर्णांक युग्मों से सूचीबद्ध है और इसलिए गणनीय है (जैसा अभ्यास 12.10 में $\Q$ के लिए)। और चूँकि $C$ अगणनीय है (प्रश्न 9), $C$ के गणनीय कितने को छोड़कर सभी बिंदु सिरे नहीं हैं — $\frac14$ (प्रश्न 7) उसी हिमखंड की दिखाई देने वाली नोक है।

13. ऐसा $n$ चुनिए कि $3^{-n} < y - x$ । दोनों $x, y \in C_n$ हैं, और वे एक ही खंड में नहीं हो सकते (लंबाई $3^{-n} < y - x$ ): उनके खंडों के बीच हटाया गया अंतराल ऐसा $z$ देता है कि $x < z < y$ और $z \notin C_n \supseteq C$ । अतः $C$ के किन्हीं दो बिंदुओं को पूरक अलग कर देता है: $C$ के एकमात्र उत्तल उपसमुच्चय एकल समुच्चय हैं — अर्थात् $C$ पूर्णतः असंबद्ध है।

14. यदि $(d_k)$ $x$ का $1$ -मुक्त कूट है, तो माला $(2 - d_k)$ फिर $\{0,2\}$ -माला है, जिसके आंशिक योग हैं

\sum_{k=1}^{n} (2 - d_k)3^{-k} = (1 - 3^{-n}) - \sum_{k=1}^n d_k 3^{-k} \longrightarrow 1 - x :

अतः $1 - x \in C$ । इस प्रकार $1 - C \subseteq C$ , और इस प्रतिचित्रण को दो बार लगाने पर $1 - C = C$ मिलता है: अर्थात् कैंटर समुच्चय $\frac12$ के सापेक्ष सममित है।

15. आंशिक योग $t_n \to x$ और $t'_n \to x'$ (वर्धमान अनुक्रम अपने उच्चतम, अर्थात् मान, की ओर अभिसरित होते हैं), अतः प्रमेय 11.5 से $t_n + t'_n \to x + x'$ । कूट $(e_k)$ वाला $y \in \intcc{0}{1}$ दिया हो, तो $e_k = 0, 1, 2$ के अनुसार $(a_k, b_k) = (0,0), (0,2), (2,2)$ चुनिए: तब $a_k + b_k = 2e_k$ , मालाएँ $(a_k)$ , $(b_k)$ $\{0,2\}$ -मालाएँ हैं जिनके मान $x, x' \in C$ हैं, और

x + x' = \lim_n\,(t_n + t'_n) = \lim_n 2\sum_{k=1}^n e_k 3^{-k} = 2y :

अर्थात् प्रत्येक $y \in \intcc{0}{1}$ $C$ के दो बिंदुओं का मध्यबिंदु है।

16. प्रश्न 15 $\intcc{0}{2} = 2\,\intcc{0}{1} \subseteq C + C$ देता है, और $C + C \subseteq \intcc{0}{1} + \intcc{0}{1} = \intcc{0}{2}$ : अतः समता। फिर $1 - C = C$ का प्रयोग करते हुए:

C - C = C + (C - 1) = (C + C) - 1 = \intcc{-1}{1} .

मूर्त उदाहरण: $1 = \frac14 + \frac34$ , जो $C$ के दो गैर-सिरा सदस्यों का योग है।

17. लंबाई यह नापती है कि समुच्चय स्वयं रेखा का कितना भाग घेरता है; वह योगों के समुच्चय के विषय में कुछ नहीं कहती, जो दो-प्राचल कुल $C \times C$ का $(x, x') \mapsto x + x'$ के अंतर्गत प्रतिबिंब है — दोनों अंक-मालाएँ स्वतंत्र रूप से चुनी जाती हैं, और यही स्वतंत्रता $\intcc{0}{2}$ को भर देती है। कोई प्रमेय योग-समुच्चय की लंबाई को योज्यों की लंबाइयों से परिबद्ध नहीं करती, और $C$ इस बात की उपपत्ति है कि कोई कर भी नहीं सकती।

18. समस्या 10.1 (प्रश्न 18) से $x$ परिमेय है तभी जब उसका उचित प्रसार अंततः आवर्ती हो। $x \in C$ का $1$ -मुक्त कूट या तो वही उचित प्रसार है या किसी समाप्त होने वाले कूट का अनुचित जुड़वाँ; और समाप्त होने वाली माला तथा उसका जुड़वाँ (अंततः अचर $2$ ) दोनों अंततः आवर्ती हैं, अतः $1$ -मुक्त कूट की आवर्तिता $x$ की परिमेयता के तुल्य है। आधार $3$ ( $r_0 = 1$ ) में $\frac1{13}$ का लंबा भाग: $3 = 13\cdot0 + 3$ , $9 = 13\cdot0 + 9$ , $27 = 13\cdot2 + 1$ , और शेषफल $1$ पर लौट आता है: अंक $\overline{002}$ , अतः $\frac1{13} = (0.\overline{002})_3$ , जो $1$ -मुक्त और आवर्ती है: अर्थात् $C$ का एक परिमेय सदस्य। (जाँच: $\frac{2/27}{1 - 1/27} = \frac{2}{26} = \frac1{13}$ ।)

19. जिस माला में त्रिभुजीय स्थानों $k = \frac{j(j+1)}{2}$ पर $d_k = 2$ हैं और अन्यत्र $0$ , वह $\{0,2\}$ -माला है, अतः उसका मान $x^*$ $C$ का सदस्य है (प्रश्न 8)। उसमें अनंत कितने $2$ हैं जिनके क्रमागत अंतराल $j + 1 \to \infty$ हैं, अतः वह अंततः आवर्ती नहीं है (आवर्त $T$ अंततः $\leq T$ अंतरालों पर $2$ लाने को बाध्य करता: समस्या 10.1 (प्रश्न 20) का बढ़ते-अंतराल वाला तर्क); और प्रश्न 18 से $x^* \notin \Q$ । और प्रश्न 9 तथा $\Q$ की गणनीयता से $C$ के गणनीय कितने को छोड़कर सभी सदस्य अपरिमेय हैं: $x^*$ नियम है, अपवाद नहीं।

20. मान लीजिए $y \in \intcc{0}{1}$ : उसका द्विआधारी कूट $(c_k)$ है, जहाँ $c_k \in \{0, 1\}$ (समस्या 10.1, प्रश्न 9, आधार $2$ ; $y = 1$ सर्व- $1$ वाली माला लेता है)। तब $(2c_k)$ $\{0,2\}$ -माला है, उसका मान $x$ $C$ में है, और $h(x)$ $(c_k)$ का मान है, अर्थात् $y$ : अतः $h$ $C$ को $\intcc{0}{1}$ पर भेजता है। यदि $C$ $\N^*$ से किसी प्रतिचित्रण का प्रतिबिंब होता, तो $h$ के साथ संयोजन $\intco{0}{1}$ की पूरी सूची बना देता, जो समस्या 10.1 (प्रश्न 22) की विकर्ण प्रमेय का विरोध करता: अतः $C$ फिर से अगणनीय है। लंबाई-शून्य वाला समुच्चय पूरी लंबाई वाले खंड पर आच्छादित हो रहा है।

21. प्रश्न 5 से $C$ $\varphi_0(C)$ और $\varphi_2(C)$ का असंयुक्त सम्मिलन है, और हर एक मापित प्रति $\frac13 C$ का स्थानांतरण है। योगात्मकता, मापन और स्थानांतरण-अपरिवर्त्यता देती हैं

L(C) = L(\varphi_0(C)) + L(\varphi_2(C)) = \tfrac13 L(C) + \tfrac13 L(C) = \tfrac23\,L(C),

अतः $\frac13 L(C) = 0$ : $L(C) = 0$ । केवल स्वसमरूपता ही $C$ को लंबाई-शून्य का दंड सुना देती है — प्रश्न 3 ने तो केवल दंड का पालन किया।

22. लंबाई $l_n$ का खंड $4^{-(n+1)}$ लंबाई का केंद्रीय अंतराल खोता है, और $l_{n+1} = \frac{l_n - 4^{-(n+1)}}{2}$ लंबाई के दो खंड बच जाते हैं; $l_0 = 1$ से आगमन $l_n = \frac{2^n + 1}{2\cdot4^n}$ की पुष्टि करता है: वस्तुतः $\frac12\Bigl(\frac{2^n+1}{2\cdot4^n} - \frac{1}{4^{n+1}}\Bigr) = \frac{2(2^n + 1) - 1}{2\cdot4^{n+1}} = \frac{2^{n+1} + 1}{2\cdot4^{n+1}}$ , और सदा $l_n > 0$ : रचना कभी भूखी नहीं मरती। $K = \bigcap K_n$ संवृत और परिबद्ध है, अतः संहत; और $K$ के भीतर का कोई अंतराल $K_n$ के एक ही खंड में है, जिसकी लंबाई $l_n \to 0$ है: अर्थात् रिक्त अंतःभाग। हटाई गई लंबाई: $\sum_{n\geq0} 2^n \cdot 4^{-(n+1)} = \frac14\sum_{n\geq0}\bigl(\frac12\bigr)^n = \frac12$ , और प्रत्येक $K_n$ की कुल लंबाई $2^n l_n = \frac{2^n + 1}{2^{n+1}} > \frac12$ है। अब मान लीजिए परिमित कितने विवृत अंतरालों का सम्मिलन $U \supseteq K$ है। उदाहरण 12.20 के साथी कथन से किसी $n$ के लिए $U \supseteq K_n$ ; और अंतरालों के परिमित सम्मिलनों पर लंबाई की योगात्मकता मान लेने पर ढकने वाले अंतरालों की कुल लंबाई कम से कम $K_n$ जितनी है, जो $\frac12$ से अधिक है। अतः $K$ कहीं सघन तो है, पर कोई सस्ता आवरण विद्यमान नहीं: सांस्थितिक लघुता (कहीं सघन नहीं) और मापीय लघुता (लंबाई शून्य) सचमुच भिन्न धारणाएँ हैं, और $K$ उन्हें अलग कर देता है।

23. प्राप्ति: मान लीजिए $d = d(x, F)$ और ऐसे $a_k \in F$ चुनिए कि $\abs{x - a_k} \leq d + \frac1k$ : $a_k$ परिबद्ध हैं, अतः बोल्ज़ानो–वाइरश्ट्रास (प्रमेय 11.16) $a_{\varphi(k)} \to a$ निकाल देता है, जहाँ $a \in F$ ( $F$ संवृत, प्रमेय 12.6) और $\abs{x - a} = \lim \abs{x - a_{\varphi(k)}} = d$ । अब अधिकतम: यदि $y \in C$ , तो $d(y, C) = 0$ ; अन्यथा $y$ किसी चरण $n \geq 1$ पर हटाए गए अंतराल में है, जो लंबाई $3^{-n}$ का विवृत अंतराल है और जिसके दोनों सिरे $C$ के सदस्य हैं (प्रश्न 2), अतः $d(y, C) \leq \frac{3^{-n}}{2} \leq \frac16$ , जहाँ समता के लिए $n = 1$ और $y$ का उस अंतराल $\intoo{\frac13}{\frac23}$ के केंद्र पर होना आवश्यक है, अर्थात् $y = \frac12$ ; और सचमुच $d\bigl(\frac12, C\bigr) = \frac16$ , क्योंकि $C \cap \intoo{\frac13}{\frac23} = \emptyset$ और $\frac13, \frac23 \in C$ । अतः $\max_{y\in\intcc{0}{1}} d(y, C) = \frac16$ , जो ठीक $\frac12$ पर प्राप्त होता है।

24. सिरे $C$ का गणनीय सघन उपसमुच्चय बनाते हैं (प्रश्न 12): उन्हें एक ही अनुक्रम $(e_j)_{j\geq1}$ के रूप में सूचीबद्ध कीजिए, जो $C$ में एक अनुक्रम है। उसकी सभी उपानुक्रमीय सीमाएँ $C$ में हैं ( $C$ संवृत)। विलोमतः, $x \in C$ नियत कीजिए: प्रत्येक $n$ के लिए $x$ ( $m \geq n$ ) को समेटने वाले $C_m$ के खंडों के सिरे $x$ के $3^{-m} \leq 3^{-n}$ के भीतर हैं, अतः अनंत कितने भिन्न सिरे $x$ के $3^{-n}$ के भीतर हैं; ऐसे सूचकांक $j_1 < j_2 < \dots$ चुनिए कि $\abs{e_{j_n} - x} \leq 3^{-n}$ : यह $x$ की ओर अभिसरित उपानुक्रम है। अतः $(e_j)$ की उपानुक्रमीय सीमाओं का समुच्चय ठीक $C$ है — अर्थात् एक ही अनुक्रम अगणनीय कितने बिंदुओं पर गुच्छे बना रहा है, जो अभिसारी अनुक्रम का विपरीत छोर है, क्योंकि उसका गुच्छा-समुच्चय एकल होता है।

25. (क) रचना ने ये खपाए: स्वेच्छ प्रतिच्छेदन के अंतर्गत संवृत समुच्चयों का स्थायित्व ( $C$ का संवृत समुच्चय के रूप में अस्तित्व), संहतता प्रमेय प्रमेय 12.19 (प्रश्न 2, 22, 23), और संवृतता तथा अभिलग्नता के अनुक्रमीय अभिलक्षण (उदाहरण 12.20 का नेस्टेड-संहत तर्क और प्रश्न 23)। (ख) चारों युग्म: लंबाई शून्य फिर भी अगणनीय (प्रश्न 3, 9); संवृत फिर भी रिक्त अंतःभाग वाला (प्रश्न 4); पूर्ण — कोई वियुक्त बिंदु नहीं — फिर भी पूर्णतः असंबद्ध (प्रश्न 11, 13); नगण्य फिर भी $C + C = \intcc{0}{2}$ वाला (प्रश्न 16)। (ग) प्रश्न 20 का आच्छादन $h$ , संतत और अह्रासमान बनाकर, संतत फलनों के सिद्धांत में शैतान की सीढ़ी बन जाता है; और स्नातक वर्ष 3 के खंड के माप-सिद्धांत में $C$ वह मानक साक्षी है कि “नगण्य” का अर्थ “गणनीय” नहीं है, जबकि उसका मोटा चचेरा भाई (प्रश्न 22) “कहीं सघन नहीं” को “नगण्य” से अलग कर देता है।