विश्वविद्यालय गणित — स्नातक वर्ष 2 · Bachelor Year 2

2रैखिक बीजगणित

प्रथम वर्ष के खंड का रैखिक बीजगणित $\R$ या $\C$ पर, परिमित विमा में काम करता था, और सामान्य सारणिक को स्वीकृत मान लेता था। यह अध्याय तीनों प्रतिबंध हटा देता है: सिद्धांत किसी भी क्षेत्र $K$ पर कहा जाता है, किसी समष्टि और उसके द्वैत के बीच का परस्पर खेल क्रमबद्ध रूप से विकसित किया जाता है (द्वैत आधार, विलोपक, परिवर्त), और अंततः सारणिक की रचना एकांतर बहुरैखिक फलनिकों तथा अध्याय 1 के चिह्न से की जाती है — जिससे प्रथम वर्ष की हर स्वीकृति चुक जाती है।

आगे सर्वत्र $K$ एक क्षेत्र है ( $\Q$ , $\R$ , $\C$ , अथवा $\Z/p\Z$ — सिद्धांत को इससे कोई फ़र्क़ नहीं पड़ता), और जब तक कुछ और न कहा जाए, समष्टियाँ $K$ पर परिमित-विमीय हैं। प्रथम वर्ष के परिणाम (आधार, विमा, कोटि–शून्यता, आव्यूह) अक्षरशः यहाँ भी चलते हैं: उनकी उपपत्तियों में क्षेत्र के अभिगृहीतों के अतिरिक्त कभी कुछ प्रयुक्त ही नहीं हुआ।

2.1 द्वैत समष्टि

परिभाषा 2.1 (द्वैत समष्टि, द्वैत आधार)

$E$ का द्वैत $E^* = \mathcal{L}(E, K)$ है, अर्थात् रैखिक फलनिकों की समष्टि। यदि $\mathcal{B} = (e_1, \dots, e_n)$ $E$ का आधार है, तो $e_i^*(e_j) = \delta_{ij}$ से परिभाषित निर्देशांक फलनिक $e_1^*, \dots, e_n^*$ (क्रोनेकर: $i = j$ होने पर $1$ , अन्यथा $0$ ) $E^*$ का द्वैत आधार $\mathcal{B}^*$ बनाते हैं; विशेष रूप से $\dim E^* = \dim E$ , और

x = \sum_{i=1}^{n} e_i^*(x)\, e_i \quad (x \in E), \qquad \varphi = \sum_{i=1}^{n} \varphi(e_i)\, e_i^* \quad (\varphi \in E^*).

$\mathcal{B}^*$ के आधार होने की उपपत्ति. स्वतंत्रता: किसी शून्य संचय $\sum \lambda_i e_i^* = 0$ को $e_j$ पर लगाने से $\lambda_j = 0$ मिलता है। जनकता: $\varphi \in E^*$ के लिए फलनिक $\varphi - \sum_i \varphi(e_i) e_i^*$ हर $e_j$ को मार देता है, अतः शून्य है (आधार पर लुप्त होने वाला रैखिक प्रतिचित्रण शून्य होता है)। दोनों प्रदर्शित सूत्र यही परिकलन आगे की ओर पढ़ने पर मिलते हैं। ∎

उदाहरण 2.2

आधार $(1, X, \dots, X^n)$ वाले $K_n[X]$ पर: द्वैत आधार $P \mapsto \frac{P^{(k)}(0)}{k!}$ है (टेलर गुणांक)। द्वैत का एक और आधार: $n + 1$ भिन्न बिंदुओं पर मूल्यांकन $P \mapsto P(x_i)$ — $K_n[X]$ में उसका “पूर्व-द्वैत” आधार ठीक लाग्रांज बहुपदों $L_i$ का कुल है (प्रथम वर्ष का खंड), क्योंकि $L_i(x_j) = \delta_{ij}$ । अंतर्वेशन ही द्वैतता है।

विधि 2.3 (व्यवहार में द्वैत और पूर्वद्वैत आधार)

किसी फलनिक $\varphi$ को $E$ के आधार $(e_i)$ पर प्रसारित करने के लिए: निर्देशांक उसके मान $\varphi(e_i)$ ही हैं — कोई निकाय हल नहीं करना पड़ता। और $E$ के उस आधार $(u_j)$ को खोजने के लिए जिसका द्वैत $E^*$ का दिया हुआ आधार $(\varphi_1, \dots, \varphi_n)$ हो (अर्थात् पूर्वद्वैत): $n$ रैखिक निकाय

\varphi_i(u_j) = \delta_{ij} \qquad (1 \leq i \leq n),

एक-एक स्तंभ $u_j$ लेकर हल कीजिए; आव्यूह की भाषा में, यदि $M$ की पंक्तियाँ $E^*$ के किसी ज्ञात आधार में $\varphi_i$ के गुणांक देती हैं, तो $M^{-1}$ के स्तंभ $u_j$ होते हैं। पूर्वद्वैत के अस्तित्व और अद्वितीयता इस अध्याय की सप्ताहांत समस्या में सिद्ध किए गए हैं; और परिकलन सदा यही प्रतिलोमन है।

उदाहरण 2.4 ( $\R^2$ का एक द्वैत आधार, पूरा परिकलित)

$\R^2$ के आधार $b_1 = (1, 1)$ , $b_2 = (1, -1)$ के लिए: द्वैत आधार $(b_1^*, b_2^*)$ को $b_i^*(b_j) = \delta_{ij}$ पूरा करना चाहिए। $b_1^*(x, y) = \alpha x + \beta y$ लिखने पर शर्तें $\alpha + \beta = 1$ और $\alpha - \beta = 0$ देती हैं

b_1^*(x, y) = \frac{x + y}{2}, \qquad\text{तथा इसी प्रकार}\qquad b_2^*(x, y) = \frac{x - y}{2} .

जाँच के दो बिंदु: $b_1^*$ वह नहीं है जो $e_1^* + e_2^*$ का भोलेपन से मूल्यांकन करने पर मिले — द्वैत आधार पूरे आधार पर निर्भर करता है, अलग-अलग सदिशों पर नहीं ( $b_2$ के स्थान पर $(0, 1)$ रखने से $b_1^*$ बदलकर $x \mapsto x$ हो जाता है)। और प्रसार सूत्र काम करता है: $(x, y) = \frac{x+y}2\,b_1 + \frac{x-y}2\,b_2$ , जो किसी युग्म का सम/विषम अपघटन है — द्वैत आधार निर्देशांक निकालने के यंत्र हैं, और यह वाला सममित तथा प्रतिसममित भाग निकालता है।

परिभाषा 2.5 (विलोपक)

किसी उपसमष्टि $F \subseteq E$ के लिए विलोपक

F^{\circ} = \{\varphi \in E^* : \varphi|_F = 0\},

होता है, जो $E^*$ की उपसमष्टि है।

प्रमेय 2.6 (विलोपक की विमा)

$\dim F^{\circ} = \dim E - \dim F$ । इसके अतिरिक्त $F \mapsto F^\circ$ अंतर्भावों को उलट देता है, और $F$ को उसके विलोपक से पुनः प्राप्त किया जा सकता है:

F = \{x \in E : \forall\varphi \in F^\circ,\ \varphi(x) = 0\}.

फलतः विमा $n$ में विमा $p$ की प्रत्येक उपसमष्टि $n - p$ स्वतंत्र रैखिक समीकरणों का हल-समुच्चय है — और विलोमतः भी।

उपपत्ति. $F$ का आधार $(e_1, \dots, e_p)$ चुनकर उसे $E$ के आधार तक पूरा कीजिए। कोई फलनिक $\varphi = \sum \varphi(e_i) e_i^*$ $F$ को तभी विलुप्त करता है जब उसके पहले $p$ गुणांक शून्य हों: $F^\circ = \operatorname{Vect}(e_{p+1}^*, \dots, e_n^*)$ , जो विमा $n - p$ का है। अंतर्भाव का उलटना तत्काल दिखता है। पुनःप्राप्ति के लिए: दाहिना पक्ष $F$ को समाहित करता है; विलोमतः यदि $x \notin F$ , तो $F$ के आधार को $x$ तथा और सदिशों से पूरा कीजिए; इस आधार में $x$ का निर्देशांक फलनिक $F$ को विलुप्त करता है पर $x$ को नहीं। “समीकरण” वाला पाठ $F^\circ$ का आधार $(\varphi_1, \dots, \varphi_{n-p})$ लेता है: तब $F = \bigcap \ker\varphi_j$ , जो $n - p$ स्वतंत्र अधिसमतलों का प्रतिच्छेदन है। ∎

उदाहरण 2.7 (एक विलोपक, दोनों दिशाओं में)

मान लीजिए $F = \operatorname{Vect}\bigl((1, 2, 1),\ (1, 0, -1)\bigr) \subseteq \R^3$ । कोई फलनिक $\varphi = a\,e_1^* + b\,e_2^* + c\,e_3^*$ $F$ को तभी विलुप्त करता है जब

a + 2b + c = 0 \qquad\text{और}\qquad a - c = 0 ,

अर्थात् $c = a$ तथा $b = -a$ : अतः $F^\circ = \R\,(e_1^* - e_2^* + e_3^*)$ , जिसकी विमा $3 - 2 = 1$ है, ठीक जैसा प्रमेय 2.6 माँगता है। इसे उलटकर पढ़िए: $F = \{(x, y, z) : x - y + z = 0\}$ — अर्थात् $F^\circ$ को फैलाने वाले अकेले फलनिक के केंद्रक के रूप में पुनः प्राप्त समतल। फैलाने वाले कुल से समीकरणों तक जाना ही विलोपक का परिकलन है; और समीकरणों से प्राचलन तक जाना पूर्वविलोपक का परिकलन। (जाँच: दोनों फैलाने वाले सदिश $x - y + z = 0$ को संतुष्ट करते हैं।)

परिभाषा 2.8 (परिवर्त प्रतिचित्रण)

$u \in \mathcal{L}(E, F)$ के लिए परिवर्त $u^{\mathsf T} \in \mathcal{L}(F^*, E^*)$ यह है:

u^{\mathsf T}(\psi) = \psi \circ u .

यह $(v \circ u)^{\mathsf T} = u^{\mathsf T} \circ v^{\mathsf T}$ को संतुष्ट करता है, और द्वैत आधारों में $u^{\mathsf T}$ का आव्यूह $u$ के आव्यूह का परिवर्त होता है — जिससे प्रथम वर्ष के परिवर्त की अंततः व्याख्या हो जाती है।

उदाहरण 2.9 (परिवर्त, प्रविष्टि-दर-प्रविष्टि)

मान लीजिए $u \colon \R^2 \to \R^3$ का विहित आधारों में आव्यूह $A = \left(\begin{smallmatrix} 1 & 2\\ 0 & 1\\ 3 & 0\end{smallmatrix}\right)$ है। $\psi = b_1f_1^* + b_2f_2^* + b_3f_3^* \in (\R^3)^*$ के लिए $\R^2$ के आधार पर $u^{\mathsf T}(\psi) = \psi \circ u$ परिकलित कीजिए:

(\psi \circ u)(e_1) = \psi(1, 0, 3) = b_1 + 3b_3, \qquad (\psi \circ u)(e_2) = \psi(2, 1, 0) = 2b_1 + b_2 .

अतः $u^{\mathsf T}(\psi) = (b_1 + 3b_3)\,e_1^* + (2b_1 + b_2)\,e_2^*$ , और द्वैत आधारों में $u^{\mathsf T}$ का आव्यूह

\begin{pmatrix} 1 & 0 & 3\\ 2 & 1 & 0\end{pmatrix} = A^{\mathsf T} :

है: अर्थात् अमूर्त परिवर्त ही पलटा हुआ आव्यूह है, और कुछ भी विश्वास के भरोसे नहीं छूटता। कार्यविधि पर ध्यान दीजिए: $A$ का $j$ -वाँ स्तंभ नए आव्यूह की $j$ -वीं पंक्ति इसलिए बना कि $\psi \circ u$ $u$ के निर्गमों को $\psi$ के गुणांकों से होकर पढ़ता है।

प्रतिज्ञप्ति 2.10

$\ker u^{\mathsf T} = (\operatorname{im} u)^{\circ}$ तथा $\operatorname{im} u^{\mathsf T} = (\ker u)^{\circ}$ । फलतः $\operatorname{rk}(u^{\mathsf T}) = \operatorname{rk}(u)$ : अर्थात् पंक्ति कोटि और स्तंभ कोटि बराबर हैं, और यह संरचनात्मक रूप से सिद्ध हुआ।

उपपत्ति. $\psi \in \ker u^{\mathsf T} \iff \psi \circ u = 0 \iff \psi$ $\operatorname{im} u$ को मार देता है: यही पहली सर्वसमिका। दूसरी के लिए: $u^{\mathsf T}(\psi) = \psi \circ u$ $\ker u$ को सदा मारता है, अतः $\operatorname{im} u^{\mathsf T} \subseteq (\ker u)^\circ$ ; और कोटि–शून्यता तथा प्रमेय 2.6 से विमाएँ मिल जाती हैं:

\operatorname{rk} u^{\mathsf T} = \dim F^* - \dim\ker u^{\mathsf T} = \dim F - \bigl(\dim F - \operatorname{rk} u\bigr) = \operatorname{rk} u = \dim (\ker u)^{\circ} . \qedhere

∎

उदाहरण 2.11 (कोटि दोनों ओर से पढ़ी गई)

मान लीजिए

A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 1 & 1\\ 1 & 3 & 1 & 2 \end{pmatrix} .

स्तंभ कोटि: तीसरी पंक्ति पहली दो का योग है, अतः $\operatorname{rk} A \leq 2$ ; और स्तंभ $1$ तथा $2$ स्वतंत्र हैं: $\operatorname{rk} A = 2$ । परिवर्त का केंद्रक: $A^{\mathsf T}y = 0$ हल करने पर $y \in \R\,(1, 1, -1)$ मिलता है, अतः $\ker A^{\mathsf T}$ की विमा $1 = 3 - 2$ है: और $(\R^3)^*$ को पंक्ति सदिशों से पहचानने पर यह ठीक $(\operatorname{im} A)^\circ$ है, जैसा प्रतिज्ञप्ति 2.10 कहता है — अर्थात् अकेला संबंध “पंक्ति $_3$ = पंक्ति $_1$ + पंक्ति $_2$ ” ही स्तंभ समष्टि का विलोपक है। पंक्ति कोटि ( $2$ स्वतंत्र पंक्तियाँ) और स्तंभ कोटि संयोग से नहीं, बल्कि इसलिए मिलती हैं कि दोनों $\operatorname{rk} A = \operatorname{rk} A^{\mathsf T}$ के बराबर हैं।

उदाहरण 2.12 (द्वैतता एक समाकलन नियम पढ़ती है)

सिम्पसन जैसा नियम (अभ्यास 2.4) विद्यमान क्यों है और अद्वितीय क्यों है? किसी भी परिकलन से पहले द्वैतता उत्तर दे देती है। $E = \R_2[X]$ पर समाकल $P \mapsto \int_0^1 P$ त्रिविमीय द्वैत $E^*$ का एक विशिष्ट सदिश है; और $0$ , $\frac12$ , $1$ पर मूल्यांकन $E^*$ का आधार बनाते हैं; अतः समाकल उन पर अद्वितीय रूप से प्रसारित होता है — वही प्रसार, गुणांकों सहित, सिम्पसन नियम है। विमाओं की गिनती अपेक्षाएँ भी सँवार देती है: $\R_3[X]$ पर फलनिकों की चार विमाएँ सामान्यतः तीन मूल्यांकनों से नहीं फैलाई जा सकतीं, अतः घन बहुपदों पर यथार्थता द्वैतता की देन नहीं है; सिम्पसन फिर भी घन बहुपदों का यथार्थ समाकलन करता है, यह एक अतिरिक्त सममिति का उपहार है ( $\frac12$ के आसपास विषम घातों का निरस्त होना), जिसे हाथ से जाँचना पड़ता है। $n + 1$ नोड वाले नियम $\R_n[X]^*$ के मूल्यांकन आधार में समाकलन फलनिक के प्रसार हैं: अस्तित्व और अद्वितीयता की क़ीमत एक द्वैत-आधार प्रमेय है; परिश्रम केवल उपहार में मिली अतिरिक्त घातें माँगती हैं।

2.2 बहुरैखिक एकांतर फलनिक

परिभाषा 2.13

कोई प्रतिचित्रण $f \colon E^n \to K$ $n$ -रैखिक कहलाता है जब वह प्रत्येक चर में रैखिक हो, और एकांतर तब जब दो कोटियाँ बराबर होते ही वह लुप्त हो जाए। एकांतर होने से प्रतिसममित होना निकलता है: दो कोटियाँ आपस में बदलने पर चिह्न बदल जाता है ( $f(\dots, x + y, \dots, x + y, \dots) = 0$ को खोलिए); और अधिक सामान्य रूप में, $\sigma \in \mathfrak{S}_n$ के लिए

f(x_{\sigma(1)}, \dots, x_{\sigma(n)}) = \varepsilon(\sigma)\, f(x_1, \dots, x_n),

जो $\sigma$ को पार्ययों में अपघटित करने से मिलता है (प्रमेय 1.21)।

प्रमेय 2.14 (सारणिकों की मूल प्रमेय)

मान लीजिए $\dim E = n$ और $\mathcal{B} = (e_1, \dots, e_n)$ उसका आधार है। $E$ पर एकांतर $n$ -रैखिक फलनिकों की समष्टि की विमा $1$ है: ऐसा हर फलनिक

\det{}_{\mathcal{B}}(x_1, \dots, x_n) = \sum_{\sigma \in \mathfrak{S}_n} \varepsilon(\sigma) \prod_{i=1}^{n} a_{\sigma(i),\,i}, \qquad x_j = \sum_{i} a_{ij} e_i ,

का गुणज है, और $\det_{\mathcal{B}}$ वह अकेला है जो $\mathcal{B}$ पर मान $1$ लेता है।

उपपत्ति. मान लीजिए $f$ एकांतर $n$ -रैखिक है। बहुरैखिकता से प्रत्येक कोटि को $\mathcal{B}$ पर प्रसारित करने पर,

f(x_1, \dots, x_n) = \sum_{i_1, \dots, i_n} a_{i_1,1}\cdots a_{i_n,n}\, f(e_{i_1}, \dots, e_{i_n}).

जिन पदों में कोई सूचकांक दोहराया गया है वे लुप्त हो जाते हैं (एकांतरता); बचने वाली तालिकाएँ $(i_1, \dots, i_n)$ एकैकी हैं, अर्थात् किसी क्रमचय $\sigma$ के लिए $i_k = \sigma(k)$ , और प्रतिसममितता $f(e_{\sigma(1)}, \dots, e_{\sigma(n)}) = \varepsilon(\sigma) f(e_1, \dots, e_n)$ को पुनः क्रमित कर देती है। अतः

f = f(e_1, \dots, e_n) \cdot \det{}_{\mathcal{B}} :

अर्थात् हर एकांतर फलनिक वही गुणज है, बशर्ते $\det_{\mathcal{B}}$ स्वयं (अर्थात् प्रदर्शित योग) एकांतर $n$ -रैखिक हो और $\mathcal B$ पर मान $1$ लेता हो। बहुरैखिकता स्पष्ट है (हर पद प्रत्येक स्तंभ में रैखिक है)। $\mathcal B$ पर मान: केवल एक ही अशून्य पद $\sigma = \mathrm{id}$ है। एकांतरता: मान लीजिए $x_j = x_k$ ( $j \neq k$ ), ताकि निर्देशांक स्तंभ सभी $i$ के लिए $a_{i j} = a_{i k}$ पूरा करें। प्रत्येक $\sigma$ को $\sigma' = \sigma\circ(j\,k)$ के साथ युग्मित कीजिए — यह $\mathfrak{S}_n$ पर बिना अचर बिंदु का अंतर्वलन है। युग्मित गुणनफल बराबर निकलते हैं:

\prod_i a_{\sigma'(i),\,i} = a_{\sigma(k),\,j}\; a_{\sigma(j),\,k} \prod_{i \neq j,k} a_{\sigma(i),\,i} = a_{\sigma(k),\,k}\; a_{\sigma(j),\,j} \prod_{i \neq j,k} a_{\sigma(i),\,i} = \prod_i a_{\sigma(i),\,i},

जिसमें स्तंभों $j$ और $k$ की समता का उपयोग हुआ; जबकि $\varepsilon(\sigma') = -\varepsilon(\sigma)$ । अतः हर युग्म का योगदान शून्य है: पूरा योग लुप्त हो जाता है। ∎

उदाहरण 2.15 (सारुस, व्युत्पन्न और ध्वस्त)

$n = 3$ के लिए क्रमचय सूत्र में ठीक $3! = 6$ पद होते हैं। $\mathfrak{S}_3$ को चिह्न के अनुसार सूचीबद्ध करने पर — $\mathrm{id}$ , $(1\,2\,3)$ , $(1\,3\,2)$ सम; $(1\,2)$ , $(1\,3)$ , $(2\,3)$ विषम — मिलता है

\det A = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{21}a_{32}a_{13} + a_{31}a_{12}a_{23} - a_{21}a_{12}a_{33} - a_{31}a_{22}a_{13} - a_{11}a_{32}a_{23} :

अर्थात् ठीक वही “विकर्णों” वाला सारुस नियम जो विद्यालय में पढ़ाया जाता है — अब एक प्रमेय, जिसमें रहस्यमय चिह्न चिह्न-फलन के रूप में पहचान लिए गए हैं। और ध्वंस: $n = 4$ के लिए $24$ क्रमचय होते हैं, जिनमें से किसी भी विकर्ण-खींचने वाली योजना से केवल $8$ ही पकड़ में आते हैं; सारुस का घात- $4$ वाला कोई रूप नहीं है, और वहाँ सहगुणनखंड प्रसार (प्रमेय 2.17 (4)) मोर्चा सँभाल लेता है। पदों की गिनती एक चेतावनी भी है: क्रमचय सूत्र में $n!$ पद होते हैं, अतः वह एक परिभाषा है, कलनविधि नहीं — पंक्ति समानयन $\det$ को $O(n^3)$ संक्रियाओं में परिकलित कर देता है।

परिभाषा 2.16 (सारणिक)

किसी आधार में कुल का सारणिक $\det_{\mathcal{B}}(x_1, \dots, x_n)$ है; आव्यूह $A$ का सारणिक विहित आधार में उसके स्तंभों का सारणिक है — अर्थात् ऊपर वाला क्रमचय सूत्र; और अंतःरूपांतरण $u$ का सारणिक वह अदिश $\det u$ है जिसके लिए

\det{}_{\mathcal{B}}\bigl(u(x_1), \dots, u(x_n)\bigr) = \det u \cdot \det{}_{\mathcal{B}}(x_1, \dots, x_n) \quad \text{ सभी } x_i

(बायाँ पक्ष एकांतर $n$ -रैखिक है, अतः प्रमेय 2.14 के अनुसार $\det_\mathcal{B}$ का गुणज है; और गुणक $\mathcal{B}$ पर निर्भर नहीं करता)।

प्रमेय 2.17 (सारणिक का कलन, सिद्ध)

$\det(uv) = \det u\,\det v$ ; $\;\det(AB) = \det A \det B$ ।
$u$ प्रतिलोमनीय है $\iff \det u \neq 0$ ; और कोई कुल आधार है $\iff$ किसी आधार में उसका सारणिक अशून्य हो।
$\det(A^{\mathsf T}) = \det A$ ।
किसी भी पंक्ति या स्तंभ के अनुदिश सहगुणनखंड प्रसार, जैसा प्रथम वर्ष के खंड में कहा गया था, यहाँ भी लागू है; और सदृश आव्यूहों का सारणिक एक ही होता है।

उपपत्ति. (1) परिभाषा वाला संबंध दो बार लगाइए: $\det_{\mathcal B}(uv(x_i)) = \det u \cdot \det_{\mathcal B}(v(x_i)) = \det u \det v \cdot \det_{\mathcal B}(x_i)$ ।

(2) यदि $u$ प्रतिलोमनीय है तो $\det u \det u^{-1} = \det \mathrm{id} = 1 \neq 0$ । यदि नहीं, तो प्रतिबिंब $u(e_i)$ आपस में जुड़े हैं; एक को शेष के द्वारा व्यक्त करके खोलने पर $\det_{\mathcal B}(u(e_i)) = 0$ (एकांतरता दोहराई गई दिशाओं को मार देती है), अतः $\det u = 0$ । आधार वाली कसौटी कुलों के लिए यही कथन है।

(3) क्रमचय सूत्र में हर गुणनफल को $j = \sigma(i)$ के अनुसार पुनः सूचीबद्ध कीजिए, अर्थात् $\tau = \sigma^{-1}$ के साथ $i = \tau(j)$ : गुणनखंड वही संख्याएँ हैं, केवल क्रम अलग है, अतः

\prod_{i=1}^{n} a_{\sigma(i),\,i} = \prod_{j=1}^{n} a_{j,\,\tau(j)} ,

और $\varepsilon(\tau) = \varepsilon(\sigma)^{-1} = \varepsilon(\sigma)$ (मान $\pm1$ हैं; $\varepsilon$ एक समाकारिता है)। $\sigma$ पर योग लेना $\tau$ पर योग लेने के ही बराबर है (प्रतिलोमन $\mathfrak{S}_n$ का एकैकी आच्छादक प्रतिचित्रण है):

\det A = \sum_{\tau}\varepsilon(\tau)\prod_j a_{j,\tau(j)} = \det(A^{\mathsf T}),

और अंतिम योग परिवर्तित प्रविष्टियों $(A^{\mathsf T})_{ij} = a_{ji}$ पर लगाया गया क्रमचय सूत्र ही है।

(4) स्तंभ $j$ स्थिर कीजिए और रैखिकता से $x_j = \sum_i a_{ij} e_i$ को बाँटिए: $\det A = \sum_i a_{ij}\, \det(\dots, e_i, \dots)$ ; और $e_i$ को अंतिम स्थान पर ले जाने से ((3) के द्वारा $n - i$ पंक्ति-पार्यय और $n - j$ स्तंभ-पार्यय) $\det(\dots, e_i, \dots) = (-1)^{i+j}\Delta_{ij}$ उपसारणिक के रूप में पहचाना जाता है: यही प्रथम वर्ष का सहगुणनखंड नियम है। सादृश्यता: (1) से $\det(P^{-1}AP) = \det P^{-1}\det A \det P = \det A$ । ∎

उदाहरण 2.18 (सहगुणनखंड प्रसार, कर के दिखाया गया)

पहले स्तंभ के अनुदिश

\det\begin{pmatrix} 2 & 1 & 3\\ 0 & 4 & 1\\ 1 & 2 & 0 \end{pmatrix}

परिकलित कीजिए (दो शून्यों जितना आलस्य: यानी एक)। चिह्न शतरंजी क्रम $(-1)^{i+j}$ के अनुसार चलते हैं:

2\,\det\begin{pmatrix}4 & 1\\ 2 & 0\end{pmatrix} - 0 + 1\cdot\det\begin{pmatrix}1 & 3\\ 4 & 1\end{pmatrix} = 2(0 - 2) + (1 - 12) = -15 .

सारुस से प्रतिजाँच (उदाहरण 2.15): $0 + 1 + 0 - 12 - 0 - 4 = -15$ । यह रणनीति है, सिद्धांत नहीं: उसी पंक्ति या स्तंभ के अनुदिश खोलिए जिसमें सबसे अधिक शून्य हों, और यदि किसी में भी न हों तो पहले पंक्ति संक्रियाओं से कुछ बना लीजिए — समापन का एक चक्र सहगुणनखंड की दो परतों से सस्ता पड़ता है।

उदाहरण 2.19 (नियमों के सहारे एक सारणिक)

मान लीजिए $J \in \mathcal{M}_n(K)$ सर्व-एक आव्यूह है और $a \in K$ ; अभी-अभी सिद्ध किए गए औज़ारों से हम $\det(aI_n + J)$ परिकलित करते हैं। $aI_n + J$ का हर स्तंभ एक ही ढंग से जुड़ता है: सारी पंक्तियाँ पहली में जोड़ दीजिए (सारणिक अपरिवर्तित रहता है — एक पंक्ति का गुणज दूसरी में जोड़ने से दोहराई गई दिशा वाला पद जुड़ता है, जिसे एकांतरता मार देती है)। पहली पंक्ति $(a + n, a + n, \dots, a + n)$ हो जाती है; उस पंक्ति में रैखिकता से $a + n$ बाहर निकालिए, फिर पहला स्तंभ हर दूसरे स्तंभ में से घटा दीजिए: जो बचता है वह विकर्ण $(1, a, \dots, a)$ वाला त्रिभुजाकार आव्यूह है। अतः

\det(aI_n + J) = (a + n)\,a^{\,n-1}.

समापन दृष्टि: मूल $a = 0$ (बहुलता $n - 1$ ) और $a = -n$ यह कहते हैं कि $J$ का अभिलक्षणिक मान $0$ बहुलता $n - 1$ के साथ है और अभिलक्षणिक मान $n$ एक बार — अर्थात् कोटि एक के आव्यूह $J$ का वर्णक्रम, एक अध्याय पहले ही (अध्याय 3 इसे क्रमबद्ध कर देगा)।

उदाहरण 2.20 (क्रमचय सूत्र से एक सारणिक)

जिस आव्यूह में बहुत से शून्य हों उसके लिए सूत्र स्वयं ही व्यावहारिक है: इसमें

A = \begin{pmatrix} 0 & a & 0 & 0\\ 0 & 0 & b & 0\\ 0 & 0 & 0 & c\\ d & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix},

अशून्य प्रविष्टियाँ चुनने वाला एकमात्र क्रमचय $4$ -चक्र $\sigma = (1\,2\,3\,4)$ है, जो स्तंभ $1 \to$ को पंक्ति $4$ पर भेजता है, इत्यादि; $\varepsilon(\sigma) = (-1)^3 = -1$ , अतः $\det A = -abcd$ । (विकर्ण आव्यूह तक पहुँचने के लिए तीन स्तंभ-अदला-बदली करके जाँच लीजिए।)

उदाहरण 2.21 (गुणनफल सूत्र से एक वांडरमोंड)

नोड $0, 1, 2$ के लिए (जिन्हें अभ्यास 2.4 जैसे समाकलन नियम काम में लेते हैं), अभ्यास 2.11 का वांडरमोंड सारणिक एक ही दृष्टि में निकल आता है:

\det\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 2\\ 0 & 1 & 4 \end{pmatrix} = (1 - 0)(2 - 0)(2 - 1) = 2 ,

और पहले स्तंभ के अनुदिश सीधे प्रसार से: $1\cdot(4 - 2) = 2$ : दोनों मिल गए। भिन्न नोडों के लिए अशून्य होना एक ही सारणिक में अंतर्वेशन का पूरा सिद्धांत है: मूल्यांकन फलनिक $P \mapsto P(a_i)$ ठीक तभी द्वैत के आधार होते हैं जब यह सारणिक अशून्य हो, अर्थात् भिन्न $a_i$ के लिए सदा — उदाहरण 2.2 का परिमाणीकरण।

2.3 अनुरेख, पुनरावलोकन

प्रतिज्ञप्ति 2.22

अनुरेख $\operatorname{tr} \colon \mathcal{M}_n(K) \to K$ वह अकेला रैखिक फलनिक है जिसके लिए $\operatorname{tr}(AB) = \operatorname{tr}(BA)$ और $\operatorname{tr}(I_n) = n$ हों ( $\operatorname{char} K = 0$ के लिए); किसी अंतःरूपांतरण का अनुरेख किसी भी आव्यूह निरूपण से सुपरिभाषित होता है, और किसी भी आधार में

\operatorname{tr}(u) = \sum_{i} e_i^*\bigl(u(e_i)\bigr)

— अर्थात् द्वैतता अनुरेख को आधार-निरपेक्ष रूप में लिख देती है।

उपपत्ति. $\operatorname{tr}(AB) = \operatorname{tr}(BA)$ तथा आधार-अपरिवर्त्यता प्रथम वर्ष में सिद्ध हो चुके हैं। अद्वितीयता: $t(AB) = t(BA)$ वाला कोई रैखिक फलनिक $t$ हर क्रमविनिमेयक $AB - BA$ को मार देता है। हमारा दावा है कि क्रमविनिमेयक अनुरेख-शून्य अधिसमतल को फैलाते हैं, जिसकी विमा $n^2 - 1$ है। इसके लिए क्रमविनिमेयकों के दो कुल पर्याप्त हैं। प्राथमिक आव्यूहों का गुणन नियम $E_{ab}E_{cd} = \delta_{bc}E_{ad}$ है। $i \neq j$ के लिए वह देता है

E_{ii}E_{ij} - E_{ij}E_{ii} = E_{ij} - 0 = E_{ij}

(दूसरा गुणनफल $E_{ij}E_{ii} = \delta_{ji}E_{ii} = 0$ है क्योंकि $j \neq i$ ): अर्थात् हर विकर्णेतर $E_{ij}$ एक क्रमविनिमेयक है। और

E_{ij}E_{ji} - E_{ji}E_{ij} = E_{ii} - E_{jj} .

$E_{ij}$ ( $i \neq j$ , जिनकी संख्या $n^2 - n$ है) तथा $E_{11} - E_{jj}$ ( $j \geq 2$ , जिनकी संख्या $n - 1$ है) मिलकर $n^2 - 1$ रैखिकतः स्वतंत्र अनुरेख-शून्य आव्यूह हैं: वे अधिसमतल $\ker\operatorname{tr}$ को फैला देते हैं। अतः $t$ वहीं लुप्त होता है जहाँ $\operatorname{tr}$ लुप्त होता है और उससे होकर गुणनखंडित होता है: $t = c\operatorname{tr}$ ; और फिर $t(I) = n$ से $c = 1$ आवश्यक हो जाता है। रही बात प्रदर्शन की: $u$ के आव्यूह की $i$ -वीं विकर्ण प्रविष्टि ठीक $e_i^*(u(e_i))$ है। ∎

टिप्पणी 2.23 (सामान्य भूलें)

(क) सारणिक स्तंभों में $n$ -रैखिक है, आव्यूह में रैखिक नहीं: सामान्यतः $\det(A + B) \neq \det A + \det B$ , और $\det(\lambda A) = \lambda^n\det A$ , न कि $\lambda\det A$ । (ख) परिवर्त गुणनफलों का क्रम उलट देता है: $(vu)^{\mathsf T} = u^{\mathsf T}v^{\mathsf T}$ ; इस उलटाव को भूल जाने से प्रतिलोम वाला हर परिकलन बिगड़ जाता है। (ग) विलोपक $F^\circ$ $E^*$ में रहता है, $E$ में नहीं: वह परिचित “लांबिक पूरक” तभी बनता है जब कोई अंतर्गुणन $E$ को $E^*$ से पहचान दे (अध्याय 12); और ऐसी कोई पहचान विहित नहीं होती। (घ) “पंक्ति कोटि = स्तंभ कोटि” का अर्थ यह नहीं कि पंक्ति समष्टि और स्तंभ समष्टि बराबर हैं — वे दो अलग समष्टियों ( $K^n$ और $K^m$ ) में रहती हैं और प्रतिज्ञप्ति 2.10 के द्वारा संबंधित हैं, बराबर नहीं। (ङ) क्रमचय सूत्र उपपत्ति का साधन है: संख्याओं के लिए पंक्ति संक्रियाएँ और सहगुणनखंड काम में लीजिए (उदाहरण 2.15)।

उदाहरण 2.24 (अनुरेख युग्मन आव्यूह समष्टि को बाँटता है)

अभ्यास 2.9 के युग्मन $\langle A, B\rangle = \operatorname{tr}(AB)$ सहित $\mathcal{M}_2(\R)$ पर: $M = \left(\begin{smallmatrix}1 & 4\\ 2 & 3\end{smallmatrix}\right)$ को सममित और प्रतिसममित भागों में अपघटित कीजिए,

M = S + A, \qquad S = \tfrac12(M + M^{\mathsf T}) = \begin{pmatrix}1 & 3\\ 3 & 3\end{pmatrix}, \qquad A = \tfrac12(M - M^{\mathsf T}) = \begin{pmatrix}0 & 1\\ -1 & 0\end{pmatrix}.

तब $\operatorname{tr}(SA) = \operatorname{tr} \left(\begin{smallmatrix}-3 & 1\\ -3 & 3\end{smallmatrix}\right) = 0$ : अर्थात् दोनों भाग अनुरेख युग्मन के लिए “लांबिक” हैं — यह उस सामान्य तथ्य का एक उदाहरण है (जो इस अध्याय की सप्ताहांत समस्या में सिद्ध किया गया है) कि प्रतिसममित आव्यूह ठीक सममित आव्यूहों के विलोपक हैं। द्वैतता अपघटन $\mathcal{M}_n = \mathcal{S}_n \oplus \mathcal{A}_n$ को किसी भी अंतर्गुणन के चुने जाने से पहले ही देख लेती है।

टिप्पणी 2.25 (इसी खंड के भीतर के परिप्रेक्ष्य)

इस अध्याय की तीनों रचनाओं को आगे वेश बदलते देखिए। परिवर्त अध्याय 3 में लौटता है: $u$ और $u^{\mathsf T}$ के अभिलक्षणिक मान समान हैं और उनकी ज्यामितीय बहुलताएँ भी (इस अध्याय की सप्ताहांत समस्या, प्रश्न 15) — और इसी से किसी आव्यूह के पंक्ति और स्तंभ विश्लेषण कभी असहमत नहीं होते। सारणिक अध्याय 3 में एक प्राचल का फलन बन जाता है ( $\chi_u(X) = \det(X\,\mathrm{id} - u)$ ) और अध्याय 20 में याकोबी, जहाँ उसकी बहुरैखिकता चर-परिवर्तन गुणक में बदल जाती है। अनुरेख सादृश्यता के अपरिवर्त्यों का बीज है: वह $\chi_u$ का दूसरा गुणांक है, अभिलक्षणिक मानों का योग है, और अंततः अध्याय 14 जैसी सर्वसमिकाओं में विकर्ण का समाकल। एक रैखिक बीजगणित का अध्याय, तीन लंबी परछाइयाँ।

टिप्पणी 2.26 (यह अध्याय कहाँ काम आता है)

द्वैत समष्टि अपने लिए गढ़ी गई अमूर्तता नहीं है: विलोपक और परिवर्त रैखिक निकायों का हल्यता-सिद्धांत चलाते हैं (इस अध्याय की सप्ताहांत समस्या इन्हीं से परिमित-विमीय फ्रेडहोम विकल्प सिद्ध करती है), अनपभ्रष्ट युग्मन अध्याय 12 में ध्रुवी फलनिक के रूप में और अध्याय 13 में सहसंलग्न के रूप में फिर प्रकट होते हैं, और यहाँ बनाया गया सारणिक पूरे अध्याय 3 को चलाता है। तृतीय वर्ष के खंड में यही द्वैतता, अनंत विमा में ले जाई जाकर, हिल्बर्ट समष्टियों पर रीस निरूपण प्रमेय और फ्रेडहोम सिद्धांत बन जाती है — जहाँ यहाँ की विमा-गिनतियों का स्थान संहतता ले लेती है।

2.4 अभ्यास

अभ्यास 2.1 ★

$\R^3$ में मान लीजिए $\varphi_1(x,y,z) = x + y$ , $\varphi_2 = y + z$ , $\varphi_3 = x + z$ । सिद्ध कीजिए कि $(\varphi_1, \varphi_2, \varphi_3)$ $(\R^3)^*$ का आधार है, और $\R^3$ का वह आधार ज्ञात कीजिए जिसका यह द्वैत है।

हल

हल — अभ्यास 2.1.

$3$ -विमीय द्वैत में तीन फलनिक: स्वतंत्रता ही पर्याप्त है। संबंध $\alpha\varphi_1 + \beta\varphi_2 + \gamma\varphi_3 = 0$ का $(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)$ पर मूल्यांकन $\alpha + \gamma = 0$ , $\alpha + \beta = 0$ , $\beta + \gamma = 0$ देता है, जिससे $\alpha = \beta = \gamma = 0$ ।

पूर्व-द्वैत आधार $(u_1, u_2, u_3)$ : $\varphi_i(u_j) = \delta_{ij}$ हल कीजिए। $u_j = (x, y, z)$ लिखने पर: $u_1$ के लिए $x + y = 1$ , $y + z = 0$ , $x + z = 0$ से $u_1 = \bigl(\tfrac12, \tfrac12, -\tfrac12\bigr)$ मिलता है; और सममित रूप से $u_2 = \bigl(-\tfrac12, \tfrac12, \tfrac12\bigr)$ , $u_3 = \bigl(\tfrac12, -\tfrac12, \tfrac12\bigr)$ ।

अभ्यास 2.2 ★

क्रमचय सूत्र से

\begin{pmatrix} 0 & 0 & a\\ 0 & b & 0\\ c & 0 & 0 \end{pmatrix}, \qquad \begin{pmatrix} a & b & 0 & 0\\ c & d & 0 & 0\\ 0 & 0 & e & f\\ 0 & 0 & g & h \end{pmatrix},

के सारणिक परिकलित कीजिए और दूसरे से सुझाया गया खंड-विकर्ण नियम कहिए।

हल

हल — अभ्यास 2.2.

पहला आव्यूह: अशून्य गुणनफल वाला एकमात्र क्रमचय $1 \mapsto 3$ , $2 \mapsto 2$ , $3 \mapsto 1$ भेजता है — अर्थात् पार्यय $(1\,3)$ , जिसका चिह्न $-1$ है: अतः सारणिक $-abc$ ।

दूसरा: अशून्य गुणनफल वाला कोई क्रमचय दोनों खंडों को मिला नहीं सकता (उन्हें जोड़ने वाली प्रविष्टि $0$ है), अतः वह $\{1,2\}$ के किसी क्रमचय और $\{3,4\}$ के किसी क्रमचय में बँट जाता है, और चिह्न दोनों चिह्नों का गुणनफल होता है: इस प्रकार योग

(ad - bc)(eh - fg) .

के रूप में गुणनखंडित हो जाता है। इससे सुझाया गया सामान्य नियम (जो सत्य भी है, और उपपत्ति भी वही है): खंड-विकर्ण आव्यूह का सारणिक उसके खंडों के सारणिकों का गुणनफल होता है।

अभ्यास 2.3 ★

मान लीजिए $F = \{(x,y,z,t) \in \R^4 : x + y = z + t \text{ तथा } x = 2y\}$ । $F^\circ$ का एक आधार दीजिए और विमाओं पर प्रमेय 2.6 की जाँच कीजिए।

हल

हल — अभ्यास 2.3.

$F$ दो स्वतंत्र समीकरणों $\varphi_1(x,y,z,t) = x + y - z - t = 0$ और $\varphi_2 = x - 2y = 0$ से परिभाषित है: प्रमेय 2.6 को उलटकर पढ़ने पर $F^\circ = \operatorname{Vect}(\varphi_1, \varphi_2)$ — ये रचना से $F^\circ$ में हैं, स्वतंत्र हैं (अनुपाती नहीं), और $\dim F^\circ = 4 - \dim F = 4 - 2 = 2$ क्योंकि $\dim F = 2$ ( $\R^4$ में दो स्वतंत्र समीकरण)। आधार: $(\varphi_1, \varphi_2)$ ; विमाएँ: $2 + 2 = 4$ , जैसा प्रमेय माँगती है।

अभ्यास 2.4 ★★

मान लीजिए $a_0, \dots, a_n$ $K$ के भिन्न बिंदु हैं और $\varphi_i \colon P \mapsto P(a_i)$ $K_n[X]$ पर है। सिद्ध कीजिए कि $(\varphi_0, \dots, \varphi_n)$ $K_n[X]^*$ का आधार है, उसका पूर्व-द्वैत आधार पहचानिए, और फलनिक $P \mapsto \int_0^1 P(t)\,\dd t$ ( $K = \R$ , $n = 2$ , $a_i = 0, \frac12, 1$ के लिए) को इस आधार पर प्रसारित कीजिए — और उसमें सिम्पसन नियम पहचानिए।

हल

हल — अभ्यास 2.4.

$\varphi_i$ $(n+1)$ -विमीय समष्टि पर $n + 1$ फलनिक हैं: स्वतंत्रता ही पर्याप्त है। यदि $\sum_i \lambda_i \varphi_i = 0$ , तो नोडों के लाग्रांज बहुपद $L_j$ पर मूल्यांकन कीजिए: $\lambda_j = 0$ । पूर्व-द्वैत आधार $(L_0, \dots, L_n)$ है, क्योंकि $\varphi_i(L_j) = L_j(a_i) = \delta_{ij}$ ।

$\R_2[X]$ पर नोड $0, \frac12, 1$ वाले समाकल फलनिक के लिए: $c_i = \int_0^1 L_i$ सहित $\int_0^1 P = \sum_i c_i P(a_i)$ । परिकलन कीजिए: $L_0 = 2(X - \tfrac12)(X - 1)$ , $\int_0^1 L_0 = \frac16$ ; $L_1 = -4X(X-1)$ , $\int_0^1 L_1 = \frac46$ ; $L_2 = 2X(X - \tfrac12)$ , $\int_0^1 L_2 = \frac16$ । अतः

\int_0^1 P = \frac{1}{6}\Bigl(P(0) + 4P\bigl(\tfrac12\bigr) + P(1)\Bigr) \quad (P \in \R_2[X]) :

अर्थात् सिम्पसन नियम, जो द्विघात बहुपदों पर यथार्थ है — और यह द्वैत आधारों के बारे में एक कथन है।

अभ्यास 2.5 ★★

मान लीजिए $\dim E = n$ तथा $\operatorname{rk} u = 1$ सहित $u \in \mathcal{L}(E)$ है। सिद्ध कीजिए कि किसी सदिश $a$ और किसी फलनिक $\varphi$ के लिए $u = \varphi(\cdot)\, a$ ; कि $\operatorname{tr} u = \varphi(a)$ ; और कि $u^2 = (\operatorname{tr} u)\, u$ । इससे $\det(I + u) = 1 + \operatorname{tr} u$ निष्कर्ष निकालिए।

हल

हल — अभ्यास 2.5.

किसी $a \neq 0$ के लिए $\operatorname{im} u = Ka$ ; तब $u(x) = \varphi(x)\,a$ , जहाँ $\varphi(x)$ $a$ पर $u(x)$ का निर्देशांक है — जो $x$ में रैखिक है। अनुरेख: $a = e_1$ को आधार तक पूरा कीजिए; $u$ के आव्यूह के स्तंभ $\varphi(e_j)\,e_1$ हैं, अतः उसकी एकमात्र विकर्ण प्रविष्टि $\varphi(e_1) = \varphi(a)$ है: $\operatorname{tr} u = \varphi(a)$ । तब

u^2(x) = \varphi(x)\, u(a) = \varphi(x)\varphi(a)\, a = (\operatorname{tr} u)\, u(x).

सारणिक, दो स्थितियों में। यदि $\varphi(a) \neq 0$ : अधिसमतल $\ker\varphi$ का कोई भी आधार लेकर उसमें $a$ जोड़ दीजिए। तब $u$ $\ker\varphi$ को मार देता है (वहाँ $u(x) = \varphi(x)a = 0$ ) और $u(a) = \varphi(a)\,a$ : अतः $I + u$ का आव्यूह विकर्ण है, $(1, \dots, 1,\, 1 + \varphi(a))$ , अतः $\det(I + u) = 1 + \varphi(a) = 1 + \operatorname{tr} u$ । यदि $\varphi(a) = 0$ : तब $a \in \ker\varphi$ ; $\ker\varphi$ का ऐसा आधार लीजिए जिसका पहला सदिश $a$ हो, और उसमें $\varphi(b) = 1$ वाला कोई सदिश $b$ जोड़ दीजिए। तब $I + u$ $\ker\varphi$ के आधार को अचर रखता है और $b \mapsto b + a$ भेजता है: अर्थात् इकाई विकर्ण वाला त्रिभुजाकार, $\det(I + u) = 1 = 1 + \operatorname{tr} u$ । दोनों स्थितियाँ सूत्र से मेल खाती हैं।

अभ्यास 2.6 ★★

सिद्ध कीजिए कि $\mathcal{M}_n(K)$ ( $n \geq 2$ ) का प्रत्येक अधिसमतल कोई प्रतिलोमनीय आव्यूह समाहित करता है। संकेत: कोई अधिसमतल किसी $A \neq 0$ के लिए $\{M : \operatorname{tr}(AM) = 0\}$ होता है (अभ्यास 2.9)। यदि $A$ अदिश है, तो शून्य अनुरेख वाला कोई प्रतिलोमनीय आव्यूह दिखाइए; अन्यथा ऐसा प्रतिलोमनीय $M$ खोजिए जिससे $AM$ का विकर्ण शून्य हो जाए — क्रमचय जैसा कोई आव्यूह यह काम कर देता है।

हल

हल — अभ्यास 2.6.

अभ्यास 2.9 से अधिसमतल $A \neq 0$ सहित $H_A = \{M : \operatorname{tr}(AM) = 0\}$ है।

यदि $A = \lambda I$ : $H_A$ अनुरेख-शून्य अधिसमतल है; $n$ -चक्र वाले क्रमचय का आव्यूह (स्थानों $(i, i+1)$ और $(n, 1)$ पर एक) प्रतिलोमनीय है (उसका सारणिक उदाहरण 2.20 के परिकलन से $\pm 1$ है) और उसका अनुरेख शून्य है।

यदि $A$ अदिश नहीं है: पहले ऐसा प्रतिलोमनीय $P$ खोजिए कि $B = P^{-1}AP$ की कोई विकर्णेतर प्रविष्टि $b_{ji}$ अशून्य हो ( $j \neq i$ )। वास्तव में, यदि $A$ में पहले से ऐसी कोई है तो $P = I$ ले लीजिए; और यदि $A$ विकर्ण है और उसकी दो प्रविष्टियाँ $d_1 \neq d_2$ भिन्न हैं, तो अपरूपण आव्यूह $P = I + E_{12}$ से संयुग्मन करने पर विकर्णेतर प्रविष्टि $d_1 - d_2 \neq 0$ बन जाती है (परिकलन: $P^{-1}AP = A + (d_1 - d_2)E_{12}$ ); जबकि जिस विकर्ण आव्यूह की सारी प्रविष्टियाँ बराबर हों वह अदिश है, जो अपवर्जित है। अब $t = -\operatorname{tr}(B)/b_{ji}$ सहित $M' = I + tE_{ij}$ रखिए: तब

\operatorname{tr}(BM') = \operatorname{tr} B + t\,b_{ji} = 0,

और $M'$ प्रतिलोमनीय है (इकाई विकर्ण वाला त्रिभुजाकार)। संयुग्मन को पलटने पर $M = PM'P^{-1}$ प्रतिलोमनीय है और $\operatorname{tr}(AM) = \operatorname{tr}(BM') = 0$ : अतः $M \in H_A$ ।

अभ्यास 2.7 ★★

(सारणिक का अवकलज) $A \in \mathcal{M}_n(\R)$ के लिए बहुरैखिकता से सिद्ध कीजिए कि

\frac{\dd}{\dd t}\Big|_{t=0} \det(I_n + tA) = \operatorname{tr} A ,

और $t \mapsto \det(\eu^{tA})$ की अवकलनीयता तथा समूह गुणधर्म $\eu^{(s+t)A} = \eu^{sA}\eu^{tA}$ (जो अध्याय 16 में स्थापित है) मानते हुए $\det(\eu^{tA}) = \eu^{t\operatorname{tr} A}$ निष्कर्ष निकालिए।

हल

हल — अभ्यास 2.7.

क्रमचय सूत्र से $\det(I + tA)$ $t$ में एक बहुपद है; उसका अचर पद $1$ है ( $t = 0$ )। उसका $t$ -गुणांक: $\det$ को स्तंभों $e_j + t\,c_j(A)$ के एकांतर फलनिक के रूप में खोलिए; बहुरैखिकता से $t$ में रैखिक पद ठीक एक $e_j$ के स्थान पर $c_j(A)$ रखते हैं:

\sum_{j} \det(e_1, \dots, c_j(A), \dots, e_n) = \sum_j a_{jj} = \operatorname{tr} A ,

(जिस सारणिक के सब स्तंभ विहित हों केवल खाँचे $j$ में $c_j(A)$ को छोड़कर, वह $j$ -वीं विकर्ण प्रविष्टि उठाता है)। अतः $0$ पर अवकलज $\operatorname{tr} A$ है।

मान लीजिए $g(t) = \det(\eu^{tA})$ । समूह गुणधर्म से $g(s + t) = g(s)g(t)$ मिलता है ( $\det$ की गुणात्मकता), $g$ अवकलनीय है, और उपर्युक्त से $g'(0) = \operatorname{tr} A$ ( $\eu^{tA} = I + tA + O(t^2)$ )। कोई अवकलनीय समाकारिता $(\R, +) \to (\R^*, \times)$ $g' = g'(0)\,g$ को संतुष्ट करती है ( $s$ में $g(s+t)$ का $0$ पर अवकलन कीजिए), अतः $y(0) = 1$ सहित $y' = cy$ के हलों की अद्वितीयता से $g(t) = \eu^{t\operatorname{tr} A}$ (प्रथम वर्ष का खंड)।

अभ्यास 2.8 ★★

(चक्रीय आव्यूह, $3 \times 3$ ) मान लीजिए $j = \eu^{2\iu\pi/3}$ और

C = \begin{pmatrix} a & b & c\\ c & a & b\\ b & c & a \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_3(\C).

सत्यापित कीजिए कि $1, j, j^2$ के वांडरमोंड आव्यूह के स्तंभ $C$ के अभिलक्षणिक सदिश हैं, और इससे निष्कर्ष निकालिए

\det C = (a + b + c)(a + bj + cj^2)(a + bj^2 + cj).

हल

हल — अभ्यास 2.8.

$k = 0, 1, 2$ के लिए $v_k = (1, j^k, j^{2k})^{\mathsf T}$ लीजिए। $1 + j + j^2 = 0$ और $j^3 = 1$ का उपयोग करने पर:

C v_k = \begin{pmatrix} a + b j^k + c j^{2k}\\ c + a j^k + b j^{2k}\\ b + c j^k + a j^{2k} \end{pmatrix} = (a + b j^k + c j^{2k}) \begin{pmatrix} 1\\ j^k\\ j^{2k}\end{pmatrix},

(दूसरी पंक्ति जाँचिए: $j^k(a + bj^k + cj^{2k}) = aj^k + bj^{2k} + cj^{3k} = c + aj^k + bj^{2k}$ )। अतः $v_k$ अभिलक्षणिक मान $\lambda_k = a + bj^k + cj^{2k}$ वाला अभिलक्षणिक सदिश है। $v_k$ आधार बनाते हैं (भिन्न $1, j, j^2$ का वांडरमोंड), अतः $C$ इन अभिलक्षणिक मानों के साथ विकर्णनीय है और

\det C = \lambda_0\lambda_1\lambda_2 = (a+b+c)(a + bj + cj^2)(a + bj^2 + cj).

अभ्यास 2.9 ★★★

सिद्ध कीजिए कि $\mathcal{M}_n(K)$ पर प्रत्येक रैखिक फलनिक $t$ किसी अद्वितीय $A$ के लिए $M \mapsto \operatorname{tr}(AM)$ है: अर्थात् प्रतिचित्रण $A \mapsto \operatorname{tr}(A\,\cdot)$ $\mathcal{M}_n(K)$ से उसके द्वैत पर तुल्याकारिता है। इससे प्रतिज्ञप्ति 2.22 का अद्वितीयता वाला कथन फिर से निष्कर्ष रूप में निकालिए।

हल

हल — अभ्यास 2.9.

प्रतिचित्रण $\Theta \colon A \mapsto \operatorname{tr}(A\,\cdot)$ $\mathcal{M}_n(K)$ से उसके द्वैत में रैखिक है, और दोनों समष्टियों की विमा $n^2$ बराबर है: अतः एकैकीपन ही पर्याप्त है। यदि सभी $M$ के लिए $\operatorname{tr}(AM) = 0$ , तो $M = E_{ji}$ लीजिए: सभी $i, j$ के लिए $\operatorname{tr}(A E_{ji}) = a_{ij} = 0$ : अतः $A = 0$ । इस प्रकार $\Theta$ एक तुल्याकारिता है।

अनुरेख की अद्वितीयता (प्रतिज्ञप्ति 2.22): सभी क्रमविनिमेयकों को मारने वाला कोई फलनिक $t$ किसी $A$ के लिए $\operatorname{tr}(A\,\cdot)$ है, जहाँ सभी $M, N$ के लिए $\operatorname{tr}(A(MN - NM)) = 0$ , अर्थात् सभी $N$ के लिए $\operatorname{tr}((AM - MA)N) = 0$ (चक्रीयता), अर्थात् सभी $M$ के लिए $AM = MA$ ( $\Theta$ का एकैकीपन): अतः $A$ सबके साथ क्रमविनिमेय है, इसलिए अदिश है ( $A$ का सभी $E_{ij}$ के साथ क्रमविनिमेय होना विकर्णेतर प्रविष्टियों $0$ और समान विकर्ण प्रविष्टियों को बाध्य कर देता है), अतः $t = c \operatorname{tr}$ ।

अभ्यास 2.10 ★★★

मान लीजिए $u \circ v - v \circ u = u$ सहित $u, v \in \mathcal{L}(E)$ है। सिद्ध कीजिए कि $u$ शून्यंभावी है। संकेत: दिखाइए कि सभी $k \geq 1$ के लिए $\operatorname{tr}(u^k) = 0$ (आगमन से $u^k v - v u^k$ परिकलित कीजिए), फिर निम्नलिखित तथ्य का उपयोग कीजिए, जिसे न्यूटन सर्वसमिकाओं से अथवा विमा पर आगमन से सिद्ध किया जा सकता है: किसी $\C$ -सदिश समष्टि का ऐसा अंतःरूपांतरण जिसकी हर घात का अनुरेख शून्य हो, शून्यंभावी होता है। $\C$ पर काम कीजिए।

हल

हल — अभ्यास 2.10.

$\C$ पर काम कीजिए (कोई वास्तविक आव्यूह शून्यंभावी है यदि और केवल यदि वह सम्मिश्र आव्यूह के रूप में भी हो: शून्यंभाविता $u^n = 0$ है)।

चरण 1: $k \geq 1$ के लिए $\operatorname{tr}(u^k) = 0$ । आगमन से $u^k v - v u^k = k\, u^k$ : $k = 1$ के लिए यह परिकल्पना ही है; और चरण के लिए,

u^{k+1}v - vu^{k+1} = u^k(uv - vu) + (u^k v - v u^k)u = u^{k+1} + k\,u^{k+1} .

अनुरेख लेने पर: $0 = \operatorname{tr}(u^k v) - \operatorname{tr}(vu^k) = k \operatorname{tr}(u^k)$ , अतः $\operatorname{tr}(u^k) = 0$ ।

चरण 2: घातों के अनुरेख शून्य होने से शून्यंभाविता निकलती है ( $\C$ पर)। मान लीजिए $\lambda_1, \dots, \lambda_r$ $u$ के भिन्न अशून्य अभिलक्षणिक मान हैं जिनकी बहुलताएँ $m_1, \dots, m_r$ हैं (अभिलक्षणिक बहुपद में, जो $\C$ पर पूरी तरह गुणनखंडित होता है — अध्याय 3)। घातों के अनुरेख $\operatorname{tr}(u^k) = \sum_i m_i \lambda_i^k$ हैं (त्रिभुजाकार रूप में लाइए: त्रिभुजाकार आव्यूह की $k$ -वीं घात का विकर्ण उसकी विकर्ण प्रविष्टियों की $k$ -वीं घातें हैं)। $k = 1, \dots, r$ के लिए निकाय $\sum_i m_i \lambda_i^k = 0$ अज्ञातों $m_i\lambda_i$ में वांडरमोंड-प्रतिलोमनीय है (आव्यूह $(\lambda_i^{k-1})$ गुणा विकर्ण $\lambda_i$ , और सभी $\lambda_i \neq 0$ भिन्न): अतः हर $m_i \lambda_i = 0$ , जो $m_i \geq 1$ के रहते असंभव है जब तक $r = 0$ न हो। अतः $u$ का कोई अशून्य अभिलक्षणिक मान नहीं है: उसका अभिलक्षणिक बहुपद $(-X)^n$ है, और केली–हैमिल्टन (अध्याय 3) से $u^n = 0$ मिलता है: अर्थात् शून्यंभावी।

अभ्यास 2.11 ★★

(वांडरमोंड) $a_0, \dots, a_n \in K$ के लिए सिद्ध कीजिए कि

\det\begin{pmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1\\ a_0 & a_1 & \cdots & a_n\\ \vdots & \vdots & & \vdots\\ a_0^n & a_1^n & \cdots & a_n^n \end{pmatrix} = \prod_{0 \leq i < j \leq n} (a_j - a_i).

(सारणिक को $a_n$ में एक बहुपद मानिए: उसकी घात, उसके मूल और उसका अग्र गुणांक पहचानिए; फिर आगमन कीजिए।)

हल

हल — अभ्यास 2.11.

सारणिक के लिए $V(a_0, \dots, a_n)$ लिखिए और $n$ पर आगमन कीजिए; $V(a_0) = 1$ से आरंभ। $a_0, \dots, a_{n-1}$ स्थिर कीजिए और $D(T) = V(a_0, \dots, a_{n-1}, T)$ को देखिए, अर्थात् वह सारणिक जिसका अंतिम स्तंभ $(1, T, \dots, T^n)$ है: उस स्तंभ के अनुदिश खोलने पर $D$ $T$ में घात $\leq n$ का बहुपद है जिसका $T^n$ -गुणांक उपसारणिक $V(a_0, \dots, a_{n-1})$ है। पहले मान लीजिए $a_0, \dots, a_{n-1}$ भिन्न हैं। प्रत्येक $T = a_i$ ( $i < n$ ) के लिए दो स्तंभ मिल जाते हैं, अतः $D(a_i) = 0$ : $n$ भिन्न मूल और घात $\leq n$ होने से

D(T) = V(a_0, \dots, a_{n-1}) \prod_{i=0}^{n-1}(T - a_i),

और $T = a_n$ तथा आगमन परिकल्पना मिलकर गुणनफल सूत्र दे देते हैं। और यदि $a_0, \dots, a_{n-1}$ में से दो बराबर हों, तो दोनों पक्ष $0$ हैं (दोहराए गए स्तंभ; दोहराया गया गुणनखंड), और सूत्र तुच्छ रूप से सत्य रहता है।

अभ्यास 2.12 ★★★

मान लीजिए $K$ अनंत है और $A, B, C, D \in \mathcal{M}_n(K)$ है, तथा मान लीजिए $CD = DC$ । सिद्ध कीजिए कि

\det\begin{pmatrix} A & B\\ C & D\end{pmatrix} = \det(AD - BC).

(पहले $D$ को प्रतिलोमनीय मानिए और दाईं ओर से $\left(\begin{smallmatrix} I & 0\\ -D^{-1}C & I\end{smallmatrix}\right)$ से गुणा कीजिए; फिर $D$ के स्थान पर $D + tI$ रखकर $t$ में दो बहुपदों की तुलना कीजिए।)

हल

हल — अभ्यास 2.12.

$D$ प्रतिलोमनीय। दाईं ओर से खंड आव्यूह $T = \left(\begin{smallmatrix} I & 0\\ -D^{-1}C & I\end{smallmatrix}\right)$ से गुणा कीजिए, जो इकाई विकर्ण वाला खंड-त्रिभुजाकार है, $\det T = 1$ (क्रमचय सूत्र से उसका सारणिक केवल विकर्ण खंड उठाता है — अभ्यास 2.2 वाला खंड नियम):

\begin{pmatrix} A & B\\ C & D\end{pmatrix} T = \begin{pmatrix} A - BD^{-1}C & B\\ C - DD^{-1}C & D\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} A - BD^{-1}C & B\\ 0 & D\end{pmatrix},

जिसका सारणिक $\det(A - BD^{-1}C)\det D = \det\bigl((A - BD^{-1}C)D\bigr) = \det(AD - BD^{-1}CD)$ है। चूँकि $CD = DC$ , अतः $BD^{-1}CD = BC$ : सारणिक $\det(AD - BC)$ है।

सामान्य $D$ । मान लीजिए $D_t = D + tI$ ; तब $CD_t = D_tC$ तब भी सत्य है। दोनों

f(t) = \det\begin{pmatrix} A & B\\ C & D_t\end{pmatrix} \qquad\text{तथा}\qquad g(t) = \det(AD_t - BC)

$t$ के बहुपद फलन हैं। बहुपद $\det(D + tI)$ घात $n$ का एकिक बहुपद है, अतः उसके अधिकतम $n$ मूल हैं: इसलिए परिमित कुछ को छोड़कर सभी $t$ के लिए $D_t$ प्रतिलोमनीय है और पहली स्थिति से $f(t) = g(t)$ । अनंत क्षेत्र पर अनंत बिंदुओं पर सहमत दो बहुपद बराबर होते हैं: अतः $f = g$ , और $t = 0$ से बात पूरी हो जाती है।

2.5 समस्या: फ्रेडहोम विकल्प

रैखिक निकाय $u(x) = b$ का हल कब होता है? पूरा उत्तर एक द्वैतता-कथन है: ठीक तब, जब $u$ के प्रतिबिंब को विलुप्त करने वाला हर रैखिक फलनिक $b$ को भी विलुप्त कर दे — और वे फलनिक परिकलनीय हैं, क्योंकि वे परिवर्त का केंद्रक हैं। यह सप्ताहांत समस्या परिमित-विमीय द्वैतता का पूरा शब्दकोश बनाती है (फलनिकों का गुणनखंडन, द्वि-द्वैतता, विलोपक कलन, परिवर्त), परिमित-विमीय फ्रेडहोम विकल्प सिद्ध करती है, और अनुरेख फलनिक तथा एक अभिलक्षण पर समाप्त होती है: अनुरेख सादृश्यता का एकमात्र रैखिक अपरिवर्त्य है। आगे सर्वत्र $E$ और $F$ परिमित-विमीय $K$ -सदिश समष्टियाँ हैं, $n = \dim E$ ।

समस्या 2.1

सप्ताहांत समस्या — परिमित विमा में द्वैतता और फ्रेडहोम विकल्प

संकेतन: $S \subseteq E^*$ के लिए पूर्वविलोपक $S_\circ = \{x \in E : \varphi(x) = 0 \text{ सभी } \varphi \in S\}$ है; और विलोपक $F^\circ$ तथा परिवर्त $u^{\mathsf T}$ वही हैं जो परिभाषा 2.5 और परिभाषा 2.8 के हैं।

भाग I — गुणनखंडन प्रमेयिका। मान लीजिए $\varphi_1, \dots, \varphi_p, \varphi \in E^*$ ।

मान लीजिए $\Phi \colon E \to K^p$ , $x \mapsto (\varphi_1(x), \dots, \varphi_p(x))$ । $\ker\Phi$ पहचानिए, दिखाइए कि $\Phi^{\mathsf T}$ $K^p$ के निर्देशांक फलनिकों को $\varphi_i$ पर भेजता है, और इससे निष्कर्ष निकालिए

$\dim \bigl(\ker\varphi_1 \cap \dots \cap \ker\varphi_p\bigr) = n - \dim \operatorname{Vect}(\varphi_1, \dots, \varphi_p).$
(गुणनखंडन प्रमेयिका) यह तुल्यता सिद्ध कीजिए:

$\varphi \in \operatorname{Vect}(\varphi_1, \dots, \varphi_p) \iff \ker\varphi_1 \cap \dots \cap \ker\varphi_p \subseteq \ker\varphi .$
इससे निष्कर्ष निकालिए: $(\varphi_1, \dots, \varphi_p)$ स्वतंत्र है यदि और केवल यदि $\bigcap_i \ker\varphi_i$ की विमा $n - p$ हो; और सहविमा $p$ की उपसमष्टि $p$ अधिसमतलों का प्रतिच्छेदन है, इससे कम का कभी नहीं।
$\R^4$ में मान लीजिए $\varphi_1 = x + y - z$ , $\varphi_2 = y + z - t$ , $\psi = x + 2y - t$ तथा $\psi' = x + y + t$ । गुणनखंडन प्रमेयिका से निर्णय कीजिए कि $\psi$ और $\psi'$ $\operatorname{Vect}(\varphi_1, \varphi_2)$ में हैं या नहीं।
$E = \R_2[X]$ पर दिखाइए कि $\psi_0 \colon P \mapsto P(0)$ , $\psi_1 \colon P \mapsto P(1)$ , $\psi_2 \colon P \mapsto \int_0^1 P(t)\dd t$ $E^*$ का आधार बनाते हैं, $E$ का वह आधार $(P_0, P_1, P_2)$ परिकलित कीजिए जिसका यह द्वैत है, और $P(0) = 1$ , $P(1) = 2$ , $\int_0^1 P = \frac32$ वाला अद्वितीय $P \in \R_2[X]$ ज्ञात कीजिए।

भाग II — द्वि-द्वैतता और विलोपक कलन।

दिखाइए कि मूल्यांकन प्रतिचित्रण $J \colon E \to E^{**}$ , $J(x)(\varphi) = \varphi(x)$ , रैखिक तथा एकैकी है, अतः परिमित विमा में तुल्याकारिता है।
(दोहरा विलोपक) प्रत्येक उपसमष्टि $F \subseteq E$ के लिए $J(F) = F^{\circ\circ} := (F^\circ)^\circ$ दिखाइए: पहचान $J$ के अंतर्गत विलोपक का विलोपक वही उपसमष्टि है।
विलोपक कलन सिद्ध कीजिए: $(F + G)^\circ = F^\circ \cap G^\circ$ तथा $(F \cap G)^\circ = F^\circ + G^\circ$ ।
इससे निष्कर्ष निकालिए (और सीधे भी सिद्ध कीजिए): एक ही केंद्रक वाले दो अशून्य फलनिक अनुपाती होते हैं।
(पूर्वद्वैत आधार) दिखाइए कि $E^*$ के प्रत्येक आधार $(\varphi_1, \dots, \varphi_n)$ के लिए $\varphi_i(u_j) = \delta_{ij}$ वाला $E$ का अद्वितीय आधार $(u_1, \dots, u_n)$ विद्यमान है।

भाग III — परिवर्त कलन।

दिखाइए कि $u \mapsto u^{\mathsf T}$ $\mathcal{L}(E, F)$ से $\mathcal{L}(F^*, E^*)$ पर एक रैखिक एकैकी आच्छादक प्रतिचित्रण है, और यह भी कि $u$ के प्रतिलोमनीय होने पर $(u^{-1})^{\mathsf T} = (u^{\mathsf T})^{-1}$ ।
(स्वाभाविकता) दिखाइए कि $u^{\mathsf T\mathsf T} \circ J_E = J_F \circ u$ : अर्थात् मूल्यांकन तुल्याकारिताओं के अंतर्गत दोहरा परिवर्त ही $u$ है।
दिखाइए: $u$ आच्छादक है यदि और केवल यदि $u^{\mathsf T}$ एकैकी हो; और $u$ एकैकी है यदि और केवल यदि $u^{\mathsf T}$ आच्छादक हो।
$u \in \mathcal{L}(E)$ के लिए: कोई उपसमष्टि $F$ $u$ के अंतर्गत स्थायी है यदि और केवल यदि $F^\circ$ $u^{\mathsf T}$ के अंतर्गत स्थायी हो।
दिखाइए कि $\ker(u^{\mathsf T} - \lambda\, \mathrm{id}_{E^*}) = \bigl(\operatorname{im}(u - \lambda\, \mathrm{id}_E)\bigr)^\circ$ , और इससे निष्कर्ष निकालिए कि $u$ तथा $u^{\mathsf T}$ के अभिलक्षणिक मान समान हैं और उनकी ज्यामितीय बहुलताएँ भी।

भाग IV — फ्रेडहोम विकल्प।

$u \in \mathcal{L}(E, F)$ के लिए $\operatorname{im} u = (\ker u^{\mathsf T})_\circ$ सिद्ध कीजिए, और इससे परिमित विमा में फ्रेडहोम विकल्प निष्कर्ष रूप में निकालिए: समीकरण $u(x) = b$ का हल है यदि और केवल यदि $u^{\mathsf T}\psi = 0$ वाला प्रत्येक $\psi \in F^*$ $\psi(b) = 0$ को संतुष्ट करे।
आव्यूह रूप: $A \in \mathcal{M}_{m,n}(K)$ और $b \in K^m$ के लिए निम्नलिखित में से ठीक एक सत्य होता है: (क) $Ax = b$ का हल है; (ख) कोई ऐसा $y \in K^m$ है जिसके लिए $A^{\mathsf T}y = 0$ और $y^{\mathsf T}b = 1$ हों। “अधिकतम एक” और “कम से कम एक” दोनों सिद्ध कीजिए।
परिवर्तित आव्यूह का केंद्रक परिकलित करके वे सभी $b \in \R^3$ ज्ञात कीजिए जिनके लिए निकाय

$x + y = b_1, \qquad y + z = b_2, \qquad x + 2y + z = b_3$

का हल है।
(एक विविक्त नॉयमान समस्या) $E = \R^n$ पर ( $n \geq 3$ ), $L$ को $(Lx)_k = x_k - \frac12(x_{k-1} + x_{k+1})$ से परिभाषित कीजिए, जहाँ सूचकांक $n$ के सापेक्ष लिए जाते हैं। दिखाइए कि $L^{\mathsf T} = L$ (विहित पहचानों के साथ), दिखाइए कि $\ker L$ अचर सदिशों की रेखा है (किसी महत्तम निर्देशांक को देखिए), और निष्कर्ष निकालिए: $Lx = b$ हल्य है यदि और केवल यदि $\sum_k b_k = 0$ ।

भाग V — अनुरेख फलनिक और अपरिवर्त्यता प्रमेय। अभ्यास 2.9 से स्मरण कीजिए कि $A \mapsto \operatorname{tr}(A\,\cdot)$ $\mathcal{M}_n(K)$ को उसके द्वैत से पहचान देता है। मान लीजिए $\operatorname{char} K = 0$ (जैसे $K = \Q, \R, \C$ )।

इस पहचान के अंतर्गत दिखाइए कि सममित आव्यूहों की उपसमष्टि $\mathcal{S}_n$ का विलोपक प्रतिसममित आव्यूहों की उपसमष्टि $\mathcal{A}_n$ है, और विलोमतः भी।
दिखाइए कि अधिसमतल $\mathfrak{sl}_n = \{M : \operatorname{tr} M = 0\}$ का विलोपक रेखा $K I_n$ है; समतुल्य रूप से, सभी अनुरेख-शून्य आव्यूहों पर लुप्त होने वाला रैखिक फलनिक अनुरेख का गुणज होता है।
दिखाइए कि $\mathcal{M}_n(K)$ का प्रत्येक आव्यूह दो प्रतिलोमनीय आव्यूहों का योग है।
(अनुरेख सादृश्यता का एकमात्र रैखिक अपरिवर्त्य है) मान लीजिए $t$ $\mathcal{M}_n(K)$ पर ऐसा रैखिक फलनिक है कि प्रत्येक $M$ और प्रत्येक प्रतिलोमनीय $P$ के लिए $t(PMP^{-1}) = t(M)$ हो। पहले प्रतिलोमनीय $P$ के लिए $t(PX) = t(XP)$ दिखाइए, फिर सभी $B$ के लिए $t(BX) = t(XB)$ , और निष्कर्ष निकालिए कि किसी $c \in K$ के लिए $t = c \operatorname{tr}$ ।
दिखाइए कि $\operatorname{rk} u \leq r$ यदि और केवल यदि $u$ कोटि $\leq 1$ के $r$ प्रतिचित्रणों का योग हो, अर्थात् $\psi_i \in E^*$ , $f_i \in F$ सहित $u = \sum_{i=1}^{r} \psi_i(\cdot)\,f_i$ ; और इससे $\operatorname{rk}(u + v) \leq \operatorname{rk} u + \operatorname{rk} v$ निष्कर्ष निकालिए।
(संश्लेषण) इस समस्या में सिद्ध हुआ शब्दकोश तैयार कीजिए: उपसमष्टियाँ बनाम विलोपक, योग बनाम प्रतिच्छेदन, प्रतिचित्रण बनाम परिवर्त, हल्यता बनाम परिवर्तित केंद्रक से लांबिकता, अनुरेख बनाम सादृश्यता। हर प्रविष्टि के लिए वह प्रश्न बताइए जिसने उसे सिद्ध किया, और एक वाक्य में कहिए कि विमा के अनंत हो जाने पर विमा-गिनतियों का स्थान क्या लेता है (तृतीय वर्ष का खंड इसे हिल्बर्ट समष्टियों पर परिशुद्ध करता है)।

हल

हल — समस्या 2.1.

1. $\Phi$ रैखिक है और $\ker\Phi = \bigcap_i \ker\varphi_i$ (कोई $p$ -तालिका तभी लुप्त होती है जब उसकी हर प्रविष्टि लुप्त हो)। $K^p$ के निर्देशांक फलनिकों $\varepsilon_i$ के लिए: $\Phi^{\mathsf T}(\varepsilon_i) = \varepsilon_i \circ \Phi = \varphi_i$ , अतः $\operatorname{im}\Phi^{\mathsf T} \supseteq \operatorname{Vect}(\varphi_i)$ ; विलोमतः $\operatorname{im}\Phi^{\mathsf T}$ $\Phi^{\mathsf T}(\varepsilon_i)$ से फैलती है ( $\varepsilon_i$ $(K^p)^*$ को फैलाते हैं)। अतः $\operatorname{rk}\Phi = \operatorname{rk} \Phi^{\mathsf T} = \dim\operatorname{Vect}(\varphi_1, \dots, \varphi_p) =: r$ (प्रतिज्ञप्ति 2.10), और कोटि–शून्यता से $\dim\bigcap_i\ker\varphi_i = n - r$ ।

2. ( $\Leftarrow$ ) कोई महत्तम स्वतंत्र उपकुल रख लीजिए, मान लीजिए $\varphi_1, \dots, \varphi_r$ , जो उसी समष्टि को फैलाता है (परिकल्पना तब भी $\bigcap_{i \leq r}\ker\varphi_i \subseteq \ker\varphi$ ही पढ़ी जाती है: सभी $i$ पर प्रतिच्छेदन $i \leq r$ पर लिए गए प्रतिच्छेदन के बराबर है, क्योंकि हटाया गया प्रत्येक फलनिक एक संचय है)। प्रतिचित्रण $\Psi = (\varphi_1, \dots, \varphi_r) \colon E \to K^r$ आच्छादक है (प्रश्न 1: उसकी कोटि $r$ है)। यदि $\Psi(x) = \Psi(y)$ तो $x - y \in \ker\Psi \subseteq \ker\varphi$ , अतः $\varphi(x) = \varphi(y)$ : इस प्रकार $\varphi$ $\varphi = \lambda \circ \Psi$ के रूप में गुणनखंडित होता है, जहाँ $\lambda \colon K^r \to K$ सुपरिभाषित है; और $\lambda$ रैखिक है क्योंकि $\Psi$ रैखिक तथा आच्छादक है ( $t = \Psi(x)$ के लिए $t' = \Psi(x')$ : $\lambda(t + \alpha t') = \varphi(x + \alpha x') = \lambda(t) + \alpha\lambda(t')$ )। $\lambda = \sum c_i \varepsilon_i$ लिखने पर: $\varphi = \sum_{i \leq r} c_i\varphi_i$ । ( $\Rightarrow$ ) यदि $\varphi = \sum c_i \varphi_i$ , तो हर $\varphi_i$ को मारने वाला कोई भी $x$ $\varphi$ को भी मार देता है।

3. प्रश्न 1 से $r = \dim\operatorname{Vect}(\varphi_i) \leq p$ सहित $\dim\bigcap\ker\varphi_i = n - r$ , और $r = p$ यदि और केवल यदि कुल स्वतंत्र हो। सहविमा $p$ की कोई उपसमष्टि $F$ : उसके विलोपक की विमा $p$ है (प्रमेय 2.6); और $F^\circ$ का कोई आधार $(\varphi_1, \dots, \varphi_p)$ $F = \bigcap_i\ker\varphi_i$ देता है (पुनःप्राप्ति सूत्र)। इससे कम: $q$ अधिसमतलों के प्रतिच्छेदन की विमा प्रश्न 1 से $\geq n - q > n - p$ होती है।

4. $\ker\varphi_1 \cap \ker\varphi_2$ परिकलित कीजिए: $x + y - z = 0$ और $y + z - t = 0$ से $(y, z)$ द्वारा प्राचलन कीजिए: $x = z - y$ , $t = y + z$ , जिससे सदिशों $(z - y,\; y,\; z,\; y + z)$ का समतल मिलता है। उस पर $\psi = x + 2y - t = (z - y) + 2y - (y + z) = 0$ : अतः गुणनखंडन प्रमेयिका से $\psi \in \operatorname{Vect}(\varphi_1, \varphi_2)$ — वास्तव में $\psi = \varphi_1 + \varphi_2$ । परंतु $\psi' = x + y + t = (z - y) + y + (y + z) = y + 2z$ वहाँ सर्वथा शून्य नहीं है ( $y = 1, z = 0$ से $1$ मिलता है): अतः $\psi' \notin \operatorname{Vect}(\varphi_1, \varphi_2)$ ।

5. $3$ -विमीय समष्टि पर तीन फलनिक: स्वतंत्रता ही पर्याप्त है। यदि $a\psi_0 + b\psi_1 + c\psi_2 = 0$ , तो $1, X, X^2$ पर जाँचिए: $a + b + c = 0$ , $b + \frac c2 = 0$ , $b + \frac c3 = 0$ ; अंतिम दो घटाने पर $c = 0$ , फिर $b = 0$ , $a = 0$ । पूर्वद्वैत आधार: $P = \alpha + \beta X + \gamma X^2$ लिखकर $\psi_i(P_j) = \delta_{ij}$ हल कीजिए ( $P(0) = \alpha$ , $P(1) = \alpha + \beta + \gamma$ , $\int_0^1 P = \alpha + \frac\beta2 + \frac\gamma3$ ):

P_0 = 1 - 4X + 3X^2, \qquad P_1 = -2X + 3X^2, \qquad P_2 = 6X - 6X^2 .

(जाँच, उदाहरण के लिए: $\int_0^1 P_2 = 3 - 2 = 1$ , $P_2(0) = P_2(1) = 0$ ।) अंतर्वेशन समस्या पूर्वद्वैत आधार में निर्देशांकों से हल हो जाती है:

P = 1\cdot P_0 + 2\cdot P_1 + \tfrac32\, P_2 = 1 + X

( $X$ -गुणांक $-4 - 4 + 9 = 1$ , $X^2$ -गुणांक $3 + 6 - 9 = 0$ ); और वास्तव में $P(0) = 1$ , $P(1) = 2$ , $\int_0^1 P = \frac32$ ।

6. रैखिकता: प्रत्येक $\varphi$ के लिए $J(x + \alpha y)(\varphi) = \varphi(x + \alpha y) = J(x)(\varphi) + \alpha J(y)(\varphi)$ , अर्थात् $J(x + \alpha y) = J(x) + \alpha J(y)$ । एकैकीपन: यदि $x \neq 0$ , तो $x = e_1$ को आधार तक पूरा कीजिए; निर्देशांक फलनिक $e_1^*$ के लिए $J(x)(e_1^*) = 1 \neq 0$ । चूँकि $\dim E^{**} = \dim E^* = \dim E$ , एकैकी होने से एकैकी आच्छादक होना निकलता है।

7. अंतर्भाव: $x \in F$ और $\varphi \in F^\circ$ के लिए $J(x)(\varphi) = \varphi(x) = 0$ , अतः $J(F) \subseteq F^{\circ\circ}$ । विमाएँ (प्रमेय 2.6 दो बार):

\dim F^{\circ\circ} = \dim E^* - \dim F^\circ = n - (n - \dim F) = \dim F = \dim J(F),

जिसमें $J$ एकैकी है। अतः $J(F) = F^{\circ\circ}$ ।

8. पहली सर्वसमिका: $\varphi$ $F + G$ को तभी मारता है जब वह $F$ और $G$ दोनों को मारे (वह योगों को तभी मारता है जब टुकड़ों को मारे): $(F+G)^\circ = F^\circ \cap G^\circ$ । दूसरी: अंतर्भाव $F^\circ + G^\circ \subseteq (F \cap G)^\circ$ स्पष्ट है (हर पद $F \cap G$ को मारता है)। विमाएँ, पहली सर्वसमिका तथा ग्रासमान का उपयोग करके:

\dim(F^\circ + G^\circ) = \dim F^\circ + \dim G^\circ - \dim(F^\circ \cap G^\circ) = (n - \dim F) + (n - \dim G) - \bigl(n - \dim(F + G)\bigr),

जो $E$ में ग्रासमान से $n - \dim(F \cap G) = \dim(F \cap G)^\circ$ के बराबर है: अतः समता।

9. प्रमेयिका से: $p = 1$ सहित $\ker\psi \subseteq \ker\varphi$ से $\varphi \in \operatorname{Vect}(\psi)$ मिलता है, और $\varphi \neq 0$ उस अदिश को अशून्य बना देता है। सीधे: $\psi(x_0) \neq 0$ वाला $x_0$ चुनिए; हर $x$ $x = \bigl(x - \frac{\psi(x)}{\psi(x_0)}x_0\bigr) + \frac{\psi(x)}{\psi(x_0)} x_0$ लिखा जाता है जिसमें पहला पद $\ker\psi = \ker\varphi$ में होता है; $\varphi$ लगाने पर: $\varphi(x) = \frac{\varphi(x_0)}{\psi(x_0)}\psi(x)$ ।

10. $E^{**}$ के भीतर $(\varphi_1, \dots, \varphi_n)$ का द्वैत आधार $(\varphi_1^*, \dots, \varphi_n^*)$ लीजिए ( $E^*$ पर परिभाषा 2.1 लगाकर) और $u_j = J^{-1}(\varphi_j^*)$ रखिए: यह $E$ का आधार है ( $J$ एक तुल्याकारिता है, प्रश्न 6), और $\varphi_i(u_j) = J(u_j)(\varphi_i) = \varphi_j^*(\varphi_i) = \delta_{ij}$ । अद्वितीयता: शर्तें $\varphi_i(u_j) = \delta_{ij}$ आधार $(\varphi_i)$ पर $J(u_j)$ को निर्धारित कर देती हैं, अतः $u_j$ भी निर्धारित हो जाता है।

11. रैखिकता: $(u + \alpha v)^{\mathsf T}\psi = \psi \circ (u + \alpha v) = u^{\mathsf T}\psi + \alpha\, v^{\mathsf T}\psi$ । एकैकीपन: यदि $u \neq 0$ , तो $u(x) \neq 0$ वाला $x$ चुनिए और $\psi(u(x)) \neq 0$ वाला $\psi$ (प्रश्न 6 की निर्देशांक-फलनिक युक्ति): $u^{\mathsf T}\psi \neq 0$ । समष्टियों $\mathcal{L}(E,F)$ और $\mathcal{L}(F^*, E^*)$ दोनों की विमा $\dim E \dim F$ है: अतः एकैकी आच्छादक। यदि $u$ प्रतिलोमनीय है, तो उलटाव नियम $(vu)^{\mathsf T} = u^{\mathsf T}v^{\mathsf T}$ से $u^{\mathsf T}(u^{-1})^{\mathsf T} = (u^{-1}u)^{\mathsf T} = \mathrm{id}_{E^*}$ और $(u^{-1})^{\mathsf T}u^{\mathsf T} = (uu^{-1})^{\mathsf T} = \mathrm{id}_{F^*}$ मिलता है, अतः $(u^{\mathsf T})^{-1} = (u^{-1})^{\mathsf T}$ ।

12. $x \in E$ और $\psi \in F^*$ के लिए:

\bigl(u^{\mathsf T\mathsf T}(J_E x)\bigr)(\psi) = (J_E x)\bigl(u^{\mathsf T}\psi\bigr) = (u^{\mathsf T}\psi)(x) = \psi\bigl(u(x)\bigr) = \bigl(J_F(u(x))\bigr)(\psi).

और $\psi$ स्वेच्छ होने से $u^{\mathsf T\mathsf T} \circ J_E = J_F \circ u$ ।

13. प्रतिज्ञप्ति 2.10 से: $\ker u^{\mathsf T} = (\operatorname{im} u)^\circ$ , अतः $u$ आच्छादक है $\iff \operatorname{im} u = F \iff (\operatorname{im}u)^\circ = \{0\}$ (प्रमेय 2.6) $\iff u^{\mathsf T}$ एकैकी है। और $\operatorname{im} u^{\mathsf T} = (\ker u)^\circ$ , अतः $u$ एकैकी है $\iff \ker u = \{0\} \iff (\ker u)^\circ = E^*$ $\iff u^{\mathsf T}$ आच्छादक है।

14. यदि $u(F) \subseteq F$ और $\varphi \in F^\circ$ : तो $x \in F$ के लिए $(u^{\mathsf T}\varphi)(x) = \varphi(u(x)) = 0$ , अतः $u^{\mathsf T}\varphi \in F^\circ$ । विलोमतः यदि $u(F) \not\subseteq F$ , तो $u(x) \notin F$ वाला $x \in F$ चुनिए; प्रमेय 2.6 के पुनःप्राप्ति सूत्र से $\varphi(u(x)) \neq 0$ वाला $\varphi \in F^\circ$ विद्यमान है: तब $x \in F$ होते हुए भी $(u^{\mathsf T}\varphi)(x) \neq 0$ , अतः $u^{\mathsf T}\varphi \notin F^\circ$ : अर्थात् $F^\circ$ स्थायी नहीं।

15. $u^{\mathsf T} - \lambda\,\mathrm{id}_{E^*} = (u - \lambda\,\mathrm{id}_E)^{\mathsf T}$ (परिवर्तन रैखिक है और $\mathrm{id}^{\mathsf T} = \mathrm{id}$ ), अतः उसका केंद्रक $(\operatorname{im}(u - \lambda\,\mathrm{id}))^\circ$ है (प्रतिज्ञप्ति 2.10), जिसकी विमा कोटि–शून्यता से

n - \operatorname{rk}(u - \lambda\,\mathrm{id}) = \dim\ker(u - \lambda\,\mathrm{id})

है। विशेष रूप से एक केंद्रक अशून्य है यदि और केवल यदि दूसरा भी हो: अर्थात् समान अभिलक्षणिक मान, समान ज्यामितीय बहुलताएँ।

16. अंतर्भाव: यदि $b = u(x)$ और $u^{\mathsf T}\psi = 0$ , तो $\psi(b) = \psi(u(x)) = (u^{\mathsf T}\psi)(x) = 0$ : अतः $\operatorname{im} u \subseteq (\ker u^{\mathsf T})_\circ$ । विमाएँ: उपसमष्टि $S \subseteq F^*$ के लिए $S_\circ = J_F^{-1}(S^\circ)$ (खोलिए: $y \in S_\circ$ यदि और केवल यदि हर $\psi \in S$ $y$ को मारे यदि और केवल यदि $J_F(y) \in S^\circ$ ), अतः $\dim S_\circ = \dim F - \dim S$ । $S = \ker u^{\mathsf T}$ के साथ:

\dim(\ker u^{\mathsf T})_\circ = \dim F - \dim\ker u^{\mathsf T} = \operatorname{rk} u^{\mathsf T} = \operatorname{rk} u :

अर्थात् विमाओं की समता, इसलिए $\operatorname{im} u = (\ker u^{\mathsf T})_\circ$ । पुनः कहें तो: $b \in \operatorname{im} u$ यदि और केवल यदि $u^{\mathsf T}\psi = 0$ वाले हर $\psi$ के लिए $\psi(b) = 0$ — यही फ्रेडहोम विकल्प है।

17. $y \mapsto \psi_y$ , $\psi_y(v) = y^{\mathsf T}v$ के द्वारा $(K^m)^*$ को $K^m$ से पहचानिए; तब $(u^{\mathsf T}\psi_y)(x) = y^{\mathsf T}Ax = (A^{\mathsf T}y)^{\mathsf T}x$ , अतः $u^{\mathsf T}\psi_y = \psi_{A^{\mathsf T}y}$ : अर्थात् परिवर्त वही परिवर्तित आव्यूह है। अधिकतम एक: यदि $Ax = b$ और $A^{\mathsf T}y = 0$ , तो $y^{\mathsf T}b = y^{\mathsf T}Ax = (A^{\mathsf T}y)^{\mathsf T}x = 0 \neq 1$ । कम से कम एक: यदि (क) विफल हो, तो प्रश्न 16 $A^{\mathsf T}y = 0$ और $y^{\mathsf T}b \neq 0$ वाला $\psi_y$ दे देता है; फिर $y$ का मापन बदलकर उसे $1$ बना लीजिए।

18. $A = \left(\begin{smallmatrix} 1 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 1\\ 1 & 2 & 1\end{smallmatrix}\right)$ (तीसरी पंक्ति = पहली + दूसरी, अतः $A$ अव्युत्क्रमणीय है)। $A^{\mathsf T}y = 0$ हल कीजिए: $y_1 + y_3 = 0$ , $y_1 + y_2 + 2y_3 = 0$ , $y_2 + y_3 = 0$ से $y_1 = y_2 = -y_3$ मिलता है: अर्थात् $y = (1, 1, -1)$ से फैली रेखा। फ्रेडहोम: हल्य है यदि और केवल यदि $y^{\mathsf T}b = b_1 + b_2 - b_3 = 0$ , अर्थात् $b_3 = b_1 + b_2$ — और यही स्पष्टतः सही शर्त है, क्योंकि तीसरा समीकरण पहले दो का योग है।

19. $L$ के आव्यूह के विकर्ण पर $1$ है और स्थानों $(k, k\pm1)$ ( $n$ के सापेक्ष) पर $-\frac12$ : वह सममित है, अतः प्रश्न 17 की पहचान के अंतर्गत $L^{\mathsf T} = L$ । केंद्रक: यदि $Lx = 0$ तो हर $x_k = \frac12(x_{k-1} + x_{k+1})$ । मान लीजिए $k_0$ $x_k$ को महत्तम करता है; दोनों पड़ोसियों का औसत, जो दोनों $\leq x_{k_0}$ हैं, $x_{k_0}$ के बराबर तभी होता है जब दोनों $x_{k_0}$ के बराबर हों; चक्र के चारों ओर इसे फैलाने पर $x$ अचर है। विलोमतः अचर सदिश मारे जाते हैं। अतः $\ker L^{\mathsf T} = \ker L = \R(1, \dots, 1)$ , और फ्रेडहोम विकल्प यह कहता है: $Lx = b$ हल्य है यदि और केवल यदि $(1,\dots,1)^{\mathsf T} b = \sum_k b_k = 0$ — अर्थात् विविक्त संगतता शर्त: किसी वलय पर “ऊष्मा वितरण” किसी विभव से तभी साकार हो सकता है जब उसका कुल अभिवाह शून्य हो।

20. यदि $A$ प्रतिसममित है और $S$ सममित:

\operatorname{tr}(AS) = \operatorname{tr}\bigl((AS)^{\mathsf T}\bigr) = \operatorname{tr}(S^{\mathsf T}A^{\mathsf T}) = -\operatorname{tr}(SA) = -\operatorname{tr}(AS),

अतः $2\operatorname{tr}(AS) = 0$ और ( $\operatorname{char} K \neq 2$ ) $\operatorname{tr}(AS) = 0$ : अर्थात् $\mathcal{A}_n \subseteq \mathcal{S}_n^\circ$ (द्वैत को आव्यूहों से पहचानते हुए)। विमाएँ: $\dim\mathcal{S}_n^\circ = n^2 - \frac{n(n+1)}2 = \frac{n(n-1)}2 = \dim\mathcal{A}_n$ : अतः समता। भूमिकाएँ बदलने पर (परिकलन वही है), $\mathcal{A}_n^\circ = \mathcal{S}_n$ ।

21. $M \in \mathfrak{sl}_n$ के लिए $\operatorname{tr}(I_nM) = \operatorname{tr} M = 0$ : अतः रेखा $KI_n$ विलोपक में है, जिसकी विमा $n^2 - (n^2 - 1) = 1$ है: अतः समता। तुल्याकारिता $A \mapsto \operatorname{tr}(A\,\cdot)$ से अनूदित करने पर: $\mathfrak{sl}_n$ पर लुप्त होने वाला फलनिक $\operatorname{tr}(\lambda I_n\,\cdot) = \lambda\operatorname{tr}$ होता है।

22. मान लीजिए $M \in \mathcal{M}_n(K)$ । बहुपद $t \mapsto \det(M - tI)$ घात $n$ का अशून्य बहुपद है, अतः उसके अधिकतम $n$ मूल हैं; और $K$ का अभिलक्षण $0$ है, इसलिए वह अनंत है: अतः ऐसा $\lambda \neq 0$ चुनिए जो मूल न हो। तब $M = (M - \lambda I) + \lambda I$ $M$ को दो प्रतिलोमनीय आव्यूहों के योग के रूप में लिख देता है।

23. चरण 1: प्रतिलोमनीय $P$ और स्वेच्छ $X$ के लिए अपरिवर्त्यता $M = XP$ पर लगाइए: $t(P(XP)P^{-1}) = t(XP)$ , अर्थात् $t(PX) = t(XP)$ । चरण 2: $X$ स्थिर कीजिए; $t(BX) = t(XB)$ के दोनों पक्ष $B$ में रैखिक हैं और प्रतिलोमनीय $B$ पर सहमत हैं; प्रश्न 22 से हर $B$ दो प्रतिलोमनीय आव्यूहों का योग है, अतः वे सर्वत्र सहमत हैं। चरण 3: $t$ हर क्रमविनिमेयक $XB - BX$ को मार देता है; और क्रमविनिमेयक $\mathfrak{sl}_n$ को फैलाते हैं (प्रतिज्ञप्ति 2.22 की उपपत्ति में दिखाया गया), अतः $t$ $\mathfrak{sl}_n$ पर लुप्त होता है और प्रश्न 21 से $t = c\operatorname{tr}$ मिलता है। (विलोमतः हर $c\operatorname{tr}$ सादृश्यता के अंतर्गत अपरिवर्त्य है: अतः अनुरेख ही सादृश्यता का रैखिक अपरिवर्त्य है।)

24. यदि $\operatorname{rk} u = r' \leq r$ : तो $\operatorname{im} u$ का आधार $(f_1, \dots, f_{r'})$ लीजिए और $u(x) = \sum_{i=1}^{r'} \psi_i(x) f_i$ लिखिए; $u(x)$ का प्रत्येक निर्देशांक $\psi_i(x)$ $x$ में रैखिक है ( $u$ का किसी निर्देशांक फलनिक के साथ संयोजन), अतः $u$ कोटि- $\leq1$ के $r' \leq r$ प्रतिचित्रणों का योग है (शून्यों से भरकर)। विलोमतः यदि $u = \sum_{i=1}^r \psi_i(\cdot)f_i$ , तो $\operatorname{im} u \subseteq \operatorname{Vect}(f_1, \dots, f_r)$ : $\operatorname{rk} u \leq r$ । उप-योज्यता: $u$ को $\operatorname{rk} u$ पदों के साथ और $v$ को $\operatorname{rk} v$ पदों के साथ लिखिए; योग में $\operatorname{rk} u + \operatorname{rk} v$ पद होते हैं, अतः $\operatorname{rk}(u + v) \leq \operatorname{rk} u + \operatorname{rk} v$ ।

25. शब्दकोश: उपसमष्टि $F$ के संगत पूरक विमा वाला $F^\circ$ है (प्रमेय 2.6), और द्वि-द्वैतता से वापस भी (प्रश्न 6–7); योग प्रतिच्छेदनों से अदल-बदल जाते हैं (प्रश्न 8); प्रतिचित्रण $u$ के संगत $u^{\mathsf T}$ है, जिसमें $\ker u^{\mathsf T} = (\operatorname{im}u)^\circ$ , $\operatorname{im}u^{\mathsf T} = (\ker u)^\circ$ , कोटियाँ बराबर, एकैकीपन और आच्छादकता आपस में बदले हुए, तथा स्थायी उपसमष्टियाँ और अभिलक्षणिक मान मेल खाते हुए (प्रश्न 11–15); समीकरण $u(x) = b$ हल्य है यदि और केवल यदि $b$ $\ker u^{\mathsf T}$ के लांबिक हो (प्रश्न 16–19); और $\mathcal{M}_n$ पर अनुरेख युग्मन पूरे शब्दकोश को मूर्त रूप दे देता है, जिसमें अनुरेख सादृश्यता का अद्वितीय रैखिक अपरिवर्त्य है (प्रश्न 20–23) और कोटि प्राथमिक प्रदिशों में अपघटन की न्यूनतम लंबाई (प्रश्न 24)। अनंत विमा में विमा-गिनतियाँ विफल हो जाती हैं और उनका स्थान प्रतिबिंबों पर संवृतता की परिकल्पनाएँ तथा पूर्णता ले लेती हैं — हिल्बर्ट समष्टियों पर यही रीस निरूपण प्रमेय और संहत संकारकों का फ्रेडहोम सिद्धांत बन जाता है, जिन्हें तृतीय वर्ष के खंड में ईमानदारी से सिद्ध किया गया है।