तुल्यता संबंध কী?

उदाहरण 1.30 (तीनों अभिगृहीतों की जाँच)

$\R$ पर $x \mathbin{\mathcal{R}} y$ तब घोषित कीजिए जब $x - y \in \Z$। स्वतुल्य: $x - x = 0 \in \Z$। सममित: यदि $x - y \in \Z$, तो $y - x = -(x - y) \in \Z$। संक्रमक: यदि $x - y \in \Z$ और $y - z \in \Z$, तो $x - z = (x - y) + (y - z) \in \Z$ (पूर्णांकों का योग)। अतः $\mathcal R$ एक तुल्यता संबंध है, और $\mathrm{cl}(x) = x + \Z = \{x + k : k \in \Z\}$: प्रत्येक वर्ग में $\intco01$ का ठीक एक प्रतिनिधि होता है, अर्थात् उसका भिन्नात्मक भाग। इसके विपरीत, $\R$ पर संबंध “$\abs{x - y} \leq 1$” स्वतुल्य और सममित है पर संक्रमक नहीं ($0 \mathbin{\mathcal R} 1$ और $1 \mathbin{\mathcal R} 2$, फिर भी $\abs{0 - 2} > 1$): निकटता का संचार नहीं होता, और वर्गों में कोई विभाजन नहीं बनता — अभिगृहीतों की जाँच जब यंत्रवत् लगने लगे, तब स्मरण रखने योग्य एक उपयोगी प्रतिउदाहरण।

उदाहरण 1.32

$\Z$ पर $n$ के सापेक्ष सर्वांगसमता ($x \equiv y \pmod n$ तब जब $n$ $x - y$ को विभाजित करता है) एक तुल्यता संबंध है; उसके वर्ग $n$ से भाग देने पर एक दिए हुए शेषफल वाले पूर्णांकों के $n$ समुच्चय हैं। यही उदाहरण अध्याय 7 में वलय $\Z/n\Z$ बन जाता है।