सहचारी अवयव क्या है? — गणित

परिभाषा 2.11 विश्वविद्यालय गणित — स्नातक वर्ष 3 · अध्याय 2 — वलय और अंकगणित

मान लीजिए $A$ एक पूर्णांकीय प्रांत है और $a, b \in A$ । हम कहते हैं कि $a$ $b$ को विभाजित करता है ( $a \mid b$ ) यदि $b \in (a) = aA$ हो। अवयव $a, b$ सहचारी कहलाते हैं यदि $u \in A^\times$ के साथ $a = ub$ हो (समतुल्य रूप से $(a) = (b)$ )। कोई शून्येतर अनैकिक अवयव $p$ :

अखंडनीय कहलाता है यदि $p = ab$ से $a \in A^\times$ या $b \in A^\times$ अनिवार्य हो जाए;
अभाज्य कहलाता है यदि $p \mid ab$ से $p \mid a$ या $p \mid b$ अनिवार्य हो जाए (अर्थात् आदर्श $(p)$ अभाज्य हो)।

उदाहरण

उदाहरण 2.20 (अद्वितीय गुणनखंडन के बिना एक वलय)

यूक्लिडीय $\Rightarrow$ PID $\Rightarrow$ UFD में से कोई भी निहितार्थ तुल्यता नहीं है, और अंतिम की विफलता को एक बार पूरे विस्तार से देखना सार्थक है।

A = \Z[\iu\sqrt5] = \{a + \iu b\sqrt5 : a, b \in \Z\}, \qquad N(a + \iu b\sqrt5) = a^2 + 5b^2,

में मानक गुणनात्मक है और $N(z) = 1$ तभी और केवल तभी जब $z \in A^\times = \{\pm1\}$ । अब

6 = 2 \cdot 3 = (1 + \iu\sqrt5)(1 - \iu\sqrt5).

पर विचार कीजिए। चारों गुणनखंड अखंडनीय हैं: उनके मानक $4, 9, 6, 6$ हैं, और कोई उचित गुणनखंडन $z = z_1z_2$ $N(z_1) \in \{2, 3\}$ पर विवश कर देता — परंतु $a^2 + 5b^2$ कभी भी $2$ या $3$ के बराबर नहीं होता ( $b = 0$ से अवर्ग $2, 3$ बचते हैं; $\abs b \geq 1$ से $\geq 5$ मिलता है)। फिर भी $2$ $1 \pm \iu\sqrt5$ में से किसी का भी सहचारी नहीं है (मानक $4 \neq 6$ ): अर्थात् $6$ के अखंडनीय अवयवों में दो सर्वथा भिन्न गुणनखंडन। समतुल्य रूप से, यहाँ अखंडनीय $\neq$ अभाज्य: $2$ गुणनफल $(1 + \iu\sqrt5)(1 - \iu\sqrt5) = 6$ को विभाजित करता है पर किसी गुणनखंड को नहीं (फिर मानक देखिए)। इस विफलता की आदर्श-सैद्धांतिक मरम्मत — अवयवों के स्थान पर आदर्शों का गुणनखंडन — बीजीय संख्या सिद्धांत का जन्म है; हमारे स्तर पर यह उदाहरण यह आँकने में सहायक है कि इस अध्याय के यूक्लिडीय वलय $\Z$ , $K[X]$ , $\Z[\iu]$ वास्तव में कितने विशिष्ट हैं।

उदाहरण 2.26

प्रत्येक अभाज्य $p$ और $n \geq 1$ के लिए $X^n - p$ $\Q$ पर अखंडनीय है ( $p$ पर आइज़ेनश्टाइन): अर्थात् $\Q$ पर प्रत्येक घात के अखंडनीय बहुपद हैं — यह $\C$ (घात $1$ , दालांबेर–गाउस, अध्याय 16 में सिद्ध) और $\R$ (घात $1, 2$ ) से एकदम विपरीत है। विस्थापन की युक्ति आइज़ेनश्टाइन की पहुँच बढ़ा देती है: $p$ -वाँ वृत्तखंडी बहुपद $\Phi_p = X^{p-1} + \dots + X + 1 = \frac{X^p - 1}{X - 1}$ इस प्रकार है

\Phi_p(X + 1) = \frac{(X+1)^p - 1}{X} = X^{p-1} + \binom{p}{1}X^{p-2} + \dots + \binom{p}{p-1},

और $p$ पर आइज़ेनश्टाइन लागू होता है ( $0 < k < p$ के लिए $p \mid \binom pk$ , तथा $\binom{p}{p-1} = p \not\equiv 0 \bmod p^2$ ): अतः $\Phi_p(X+1)$ , और इसलिए $\Phi_p$ , $\Q$ पर अखंडनीय है। यही अध्याय 4 में सुनाई गई $17$ -भुज की कथा का बीजीय मर्म है।

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उदाहरण

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