2वलय और अंकगणित

उपपत्ति. समूहों की तरह ही (प्रमेय 1.3 और 1.5), यह ध्यान रखते हुए कि यहाँ दिखने वाले सभी प्रतिचित्रण गुणनफलों का भी आदर करते हैं: $\bar f$ सुपरिभाषित है, प्रतिबिंब पर एकैकी आच्छादक है और गुणनात्मक है; तथा संगति $J \mapsto J/I$, $\bar J \mapsto \pi^{-1}(\bar J)$ दोनों दिशाओं में आदर्शों को सुरक्षित रखती है, क्योंकि $\pi$ एक आच्छादक वलय समाकारिता है। ∎

उपपत्ति. $A/I$ के वर्गों के लिए $\bar a$ लिखिए। “$I$ अभाज्य” का शब्दशः अनुवाद है “$\bar a\bar b = 0 \Rightarrow \bar a = 0$ या $\bar b = 0$”, और $A/I \neq 0$ का $I \neq A$: यही प्रांत की परिभाषा है। महत्तमता के लिए संगति प्रमेय का उपयोग कीजिए: $I$ और $A$ के बीच कड़ाई से कोई आदर्श नहीं $\iff$ $A/I$ में $0$ और स्वयं के अतिरिक्त कोई आदर्श नहीं $\iff$ $A/I$ एक क्षेत्र है — अंतिम पद के लिए: किसी क्षेत्र में एकमात्र आदर्श $0$ और समूचा क्षेत्र हैं ($x \ne 0$ को अंतर्विष्ट करने वाला आदर्श $x^{-1}x = 1$ को भी अंतर्विष्ट करता है); विलोमतः यदि प्रत्येक शून्येतर $x$ इकाई आदर्श जनित करे, तो किसी $y$ के लिए $xy = 1$। क्षेत्र प्रांत होते हैं, अतः महत्तम आदर्श अभाज्य होते हैं। ∎

उपपत्ति. $I$ को अंतर्विष्ट करने वाले उचित आदर्शों के समुच्चय $\mathcal E$ को अंतर्वेशन से क्रमित कीजिए; वह अरिक्त है ($I \in \mathcal E$)। $\mathcal E$ की किसी शृंखला $(J_\lambda)$ का ऊपरी परिबंध $J = \bigcup J_\lambda$ है: यह एक आदर्श है (पूर्ण क्रमबद्धता से कोई भी $a, b \in J$ किसी एक ही $J_\lambda$ में स्थित होते हैं), उचित है (सभी $\lambda$ के लिए $1 \notin J_\lambda$), और $I$ को अंतर्विष्ट करता है। ज़ोर्न की प्रमेयिका से $\mathcal E$ का कोई महत्तम अवयव मिलता है, जो $I$ को अंतर्विष्ट करने वाला महत्तम आदर्श है (उससे कड़ाई से ऊपर का कोई उचित आदर्श $\mathcal E$ में ही होता)। ∎

उपपत्ति. प्रतिचित्रण $f(a) = (a + I_k)_k$ एक वलय समाकारिता है जिसकी अष्टि $\bigcap I_k$ है; प्रमेय 2.2 से केवल आच्छादकता सिद्ध करना शेष रह जाता है। $k$ को स्थिर कीजिए; प्रत्येक $l \neq k$ के लिए सह-महत्तमता से $u_l \in I_k$, $v_l \in I_l$ के साथ $1 = u_l + v_l$ लिखिए। तब

अतः $f(e_k) = (0, \dots, 1, \dots, 0)$; और कोई लक्ष्य $(a_k + I_k)_k$ दिया हो, तो अवयव $\sum_k a_k e_k$ उसी पर जाता है।

गुणनफल बनाम प्रतिच्छेदन: $I_1\cdots I_n \subseteq \bigcap I_k$ सदैव। विलोमतः, आगमन से केवल $n = 2$ की स्थिति देखनी पर्याप्त है (जाँच लीजिए कि $I_1$ और $I_2\cdots I_n$ सह-महत्तम हैं: $l \geq 2$ पर $1 = u_l + v_l$ का गुणन करने से $1 \in I_1 + I_2\cdots I_n$ मिलता है)। $n = 2$ के लिए: $1 = u + v$, $u \in I_1$, $v \in I_2$ लिखिए; तब $x \in I_1 \cap I_2$ के लिए $x = xu + xv \in I_2I_1 + I_1I_2 = I_1I_2$। ∎

उपपत्ति. मान लीजिए $p$ अभाज्य है और $p = ab$। तब $p \mid ab$, मान लीजिए $p \mid a$: $a = pc$, अतः $p = pcb$, और $p$ को निरस्त करने पर (प्रांत!) $cb = 1$ मिलता है: $b \in A^\times$।

$\Z[\iu\sqrt5]$ में मानक $N(x + \iu y\sqrt 5) = x^2 + 5y^2$ का उपयोग कीजिए, जो गुणनात्मक है (वह $\abs z^2$ है)। यदि अनैकिक $a, b$ के साथ $2 = ab$ हो, तो $N(a), N(b) \neq 1$ के साथ $4 = N(a)N(b)$ (मानक-$1$ अवयव $\pm1$ हैं, अर्थात् इकाइयाँ), अतः $N(a) = 2$: असंभव, क्योंकि $x^2 + 5y^2 = 2$ का कोई पूर्णांक हल नहीं है। अतः $2$ अखंडनीय है। परंतु $2 \mid 6 = (1 + \iu\sqrt5)(1 - \iu\sqrt5)$, जबकि $2$ किसी भी गुणनखंड को विभाजित नहीं करता ($\frac12 \pm \frac{\iu\sqrt5}2 \notin \Z[\iu\sqrt5]$): अभाज्य नहीं। ∎

उपपत्ति. मान लीजिए $I \neq (0)$ एक आदर्श है और $b \in I \setminus\{0\}$ ऐसा अवयव जिसके लिए $\nu(b)$ न्यूनतम है। $a \in I$ के लिए भाग दीजिए: $a = bq + r$; तब $r = a - bq \in I$, और $\nu(r) < \nu(b)$ न्यूनतमता का खंडन करता, अतः $r = 0$ और $a \in (b)$: $I = (b)$। ∎

उपपत्ति. $I = \bigcup_n I_n$ एक आदर्श है (सम्मिलन बढ़ता हुआ है), अतः $I = (a)$; अवयव $a$ किसी $I_N$ में स्थित है, और तब $n \geq N$ के लिए $I = (a) \subseteq I_N \subseteq I_n \subseteq I$। ∎

उपपत्ति. $(a) + (b)$ एक आदर्श है, अतः $(d)$; $a, b \in (d)$ से $d \mid a, b$ मिलता है; और $d = au + bv \in (a) + (b)$। $a, b$ का कोई उभयनिष्ठ भाजक $c$ $au + bv = d$ को विभाजित करता है।

यूक्लिड: मान लीजिए $p$ अखंडनीय है, $p \mid ab$, $p \nmid a$। $p$ और $a$ का महत्तम समापवर्तक $d$ $p$ को विभाजित करता है, अतः अखंडनीयता से $d$ या तो इकाई है या $p$ का सहचारी; सहचारी होना $p \nmid a$ से अपवर्जित है। अतः $1 = pu + av$, जिससे $b = pub + abv$, और $p$ दोनों पदों को विभाजित करता है: $p \mid b$। ∎

उपपत्ति. अस्तित्व। मान लीजिए किसी शून्येतर अनैकिक $a$ का अखंडनीय अवयवों में गुणनखंडन नहीं है। तब $a$ अखंडनीय नहीं है: $a = a_1b_1$, जहाँ दोनों गुणनखंड अनैकिक हैं; उनमें से कम से कम एक — मान लीजिए $a_1$ — का भी कोई गुणनखंडन नहीं है (दो गुणनखंडनीय अवयवों का गुणनफल गुणनखंडनीय होता है)। इसे दोहराते जाने पर हमें $a = a_0, a_1, a_2, \dots$ मिलते हैं, जिनमें प्रत्येक पिछले का उचित भाजक है और किसी का गुणनखंडन नहीं है, अतः $(a_0) \subsetneq (a_1) \subsetneq (a_2) \subsetneq \cdots$ — अंतर्वेशन कड़े हैं, क्योंकि अनैकिक $c$ के साथ $a_n = a_{n+1}c$ का अर्थ है कि $(a_n) = (a_{n+1})$ से $c \in A^\times$ अनिवार्य हो जाता (प्रांत में निरस्त कीजिए)। यह प्रमेयिका 2.16 का खंडन करता है।

अद्वितीयता। मान लीजिए $p_1 \cdots p_r = q_1 \cdots q_s$, जहाँ सभी गुणनखंड अखंडनीय हैं और $r \leq s$; $r$ पर आगमन कीजिए। अभाज्य (प्रमेयिका 2.17) $p_1$ दाईं ओर को विभाजित करता है, अतः किसी $q_j$ को विभाजित करता है; पुनःक्रमांकन से $j = 1$। चूँकि $q_1$ अखंडनीय है और $p_1$ इकाई नहीं, $u \in A^\times$ के साथ $q_1 = u p_1$: अर्थात् $p_1, q_1$ सहचारी हैं। $p_1$ को निरस्त कीजिए: $p_2 \cdots p_r = (u q_2) q_3\cdots q_s$, और आगमन से निष्कर्ष निकालिए ($r = 1$ से $s = 1$ अनिवार्य हो जाता है: इकाई और अखंडनीय अवयवों का गुणनफल $1$ नहीं हो सकता)। ∎

उपपत्ति. मान लीजिए $P, Q$ आद्य हैं और कोई अखंडनीय (= अभाज्य, क्योंकि UFD) $p$ $PQ$ के सभी गुणांकों को विभाजित करता है। $p$ के सापेक्ष अपचयन कीजिए: $(A/(p))[X]$ में $\bar P \bar Q = 0$। परंतु $A/(p)$ एक प्रांत है ($(p)$ अभाज्य), अतः $(A/(p))[X]$ भी प्रांत है (अग्र गुणांक आपस में गुणा होते हैं), जिससे $\bar P = 0$ या $\bar Q = 0$ अनिवार्य हो जाता है: अर्थात् $p$ $P$ के सभी गुणांकों को या $Q$ के सभी गुणांकों को विभाजित करता है, जो आद्यता का खंडन है। परिणाम के लिए $P = c(P)P_1$, $Q = c(Q)Q_1$ लिखिए: $P_1Q_1$ आद्य के साथ $PQ = c(P)c(Q) P_1Q_1$। ∎

उपपत्ति. (1) ($\Leftarrow$) यदि अनैकिक $Q, R$ के साथ $A[X]$ में $P = QR$ हो, तो कोई भी गुणनखंड अचर नहीं है (आद्य बहुपद का अचर गुणनखंड इकाई होता है), अतः गुणनखंडन $K[X]$ में उचित है। ($\Rightarrow$) मान लीजिए $P = QR$, जहाँ $Q, R \in K[X]$ की घातें $\geq 1$ हैं। $Q_1, R_1 \in A[X]$ आद्य के साथ $Q = \lambda Q_1$, $R = \mu R_1$ लिखिए: $P = \lambda\mu\, Q_1R_1$, और गाउस से $Q_1R_1$ आद्य है। अंतर्वस्तु लेने पर $\lambda\mu \in A^\times$ (दोनों ओर इकाई अंतर्वस्तु है; औपचारिक रूप से इकाइयों तक $\lambda\mu = c(P) \in A^\times$, और विशेष रूप से $\lambda \mu \in A$): अतः $P = (\lambda\mu Q_1) R_1$ $A[X]$ में एक उचित गुणनखंडन है।

(2) अस्तित्व: कोई अनैकिक $P \neq 0$ दिया हो, तो $P = c(P)P_1$ गुणनखंडित कीजिए, $c(P)$ को $A$ के अखंडनीय अवयवों में गुणनखंडित कीजिए, और $P_1$ को UFD $K[X]$ में $Q_i \in K[X]$ अखंडनीय के साथ $\prod Q_i$ के रूप में गुणनखंडित कीजिए; $R_i \in A[X]$ आद्य (अतः $K$ पर अखंडनीय, और (1) से $A[X]$ में भी) के साथ $Q_i = \lambda_i R_i$ लिखने पर, गुणनफल $\prod \lambda_i$ पहले की तरह $A$ की इकाई है, और $P_1 = u\prod R_i$। अद्वितीयता: किसी गुणनखंडन के अचर भाग और बहुपद भाग की तुलना कीजिए; अचर गुणा होकर $c(P)$ देते हैं (गाउस), जो $A$ की गुणनखंडनीयता से अद्वितीय है; बहुपद भाग एक ही बहुपद के $K[X]$ में दो गुणनखंडन देते हैं, अतः वे $K^\times$ के अचरों तक मेल खाते हैं ($K[X]$ की गुणनखंडनीयता, प्रमेय 2.18), और $K[X]$ में सहचारी मिलान करने वाले आद्य बहुपद $A[X]$ में भी सहचारी होते हैं: यदि $R, R'$ आद्य और $\lambda \in K^\times$ के साथ $R = \lambda R'$ हो, तो अंतर्वस्तु लेने पर $\lambda \in A^\times$ अनिवार्य हो जाता है। ∎

उपपत्ति. प्रमेय 2.24(1) से, $K$ पर कोई उचित गुणनखंडन $Q, R \in A[X]$, $\deg Q, \deg R \geq 1$ के साथ $P = QR$ देता है (अचर अपवर्जित हैं: वे या तो इकाई होते या आद्यता भंग करते)।

(1) $p$ के सापेक्ष अपचयन कीजिए: $(A/(p))[X]$ में $\bar P = \bar Q\bar R$। चूँकि अपचयन के अंतर्गत $p \nmid a_n$ और $\deg$ केवल घट सकते हैं, अतः $\deg \bar Q = \deg Q \geq 1$ और $\deg\bar R = \deg R \geq 1$ (उनके अग्र गुणांक गुणा होकर $\bar a_n \neq 0$ देते हैं, अतः कोई नहीं घटता): $\bar P$ का उचित गुणनखंडन हो जाता है — विरोधाभास।

(2) $p$ के सापेक्ष अपचयन कीजिए: $\bar Q \bar R = \bar P = \bar a_n X^n$ (सभी निम्न गुणांक समाप्त हो जाते हैं)। प्रांत $(A/(p))[X]$ में $cX^n$ ($c \ne 0$) के गुणनखंडन अचरों और शुद्ध घातों $c'X^k$ में ही होते हैं: वस्तुतः यदि $\bar Q\bar R = \bar a_nX^n$ हो और मान लीजिए $\bar Q$ का घात $< \deg\bar Q$ में कोई शून्येतर गुणांक हो, तो न्यूनतम शून्येतर पद लीजिए: $\operatorname{val}(\bar Q\bar R) = \operatorname{val}\bar Q + \operatorname{val}\bar R$ (प्रांत), जो $n = \deg\bar Q + \deg\bar R$ के बराबर होना चाहिए, जिससे दोनों के लिए $\operatorname{val} = \deg$ अनिवार्य हो जाता है: दोनों एकपदी हैं। ऊपर की तरह घातें नहीं घटतीं, अतः $Q$ और $R$ के अचर पद $Q(0), R(0)$ $p$ से विभाज्य हैं — दोनों, क्योंकि दोनों अपचयन घात $\geq 1$ के एकपदी हैं। तब $p^2 \mid Q(0)R(0) = a_0$: विरोधाभास। ∎

उपपत्ति. (परिमिततः जनित $\Rightarrow$ आरोही शृंखला शर्त): किसी शृंखला $I_1 \subseteq I_2 \subseteq \cdots$ के लिए सम्मिलन $I$ एक आदर्श है, जो $x_1, \dots, x_r$ से जनित है; सभी $x_i$ किसी एक $I_N$ में स्थित हैं, अतः $n \geq N$ के लिए $I = I_N = I_n$। (आरोही शृंखला शर्त $\Rightarrow$ महत्तम अवयव): यदि किसी अरिक्त कुल $\mathcal F$ में कोई महत्तम अवयव न हो, तो $I_1 \in \mathcal F$ चुनिए, फिर आगमन से $\mathcal F$ में $I_{n+1} \supsetneq I_n$ (यह संभव है क्योंकि $I_n$ महत्तम नहीं है): एक अनंत कड़ाई से बढ़ती हुई शृंखला। (यहाँ आश्रित चयनों का स्वयंसिद्ध प्रयुक्त होता है, जो चयन का एक दुर्बल रूप है और जिसकी हम चिंता नहीं करते।) (महत्तम अवयव $\Rightarrow$ परिमिततः जनित): कोई आदर्श $I$ दिया हो, तो $I$ में अंतर्विष्ट परिमिततः जनित आदर्शों का कुल अरिक्त है ($(0)$); उसका कोई महत्तम अवयव $J = (x_1, \dots, x_r)$ अनिवार्यतः $I$ के बराबर होगा: अन्यथा जनकों में $x \in I \setminus J$ जोड़ देने से उस कुल का कड़ाई से बड़ा सदस्य बन जाता। ∎

उपपत्ति. मान लीजिए $I$ $A[X]$ का एक आदर्श है, और मान लीजिए $I$ परिमिततः जनित नहीं है। एक अनुक्रम बनाइए: न्यूनतम घात का $f_1 \in I \setminus \{0\}$, और आगमन से न्यूनतम घात का $f_{k+1} \in I \setminus (f_1, \dots, f_k)$ (परिकल्पना से यह समुच्चय अरिक्त है)। घातें $d_k = \deg f_k$ अनवरोही हैं (प्रत्येक चयन की न्यूनतमता से: $f_{k+1}$ चरण $k+1$ पर उपलब्ध था …ठीक-ठीक, $f_{k+1} \notin (f_1,\dots,f_k) \supseteq (f_1, \dots, f_{k-1})$, अतः $f_{k+1}$ चरण $k$ पर प्रतिस्पर्धा में था और हार गया या बराबरी पर रहा: $d_{k+1} \geq d_k$)। मान लीजिए $a_k \in A$ $f_k$ का अग्र गुणांक है। आदर्शों की शृंखला $(a_1) \subseteq (a_1, a_2) \subseteq \cdots$ स्थिर हो जाती है: किसी $n$ के लिए $a_{n+1} \in (a_1, \dots, a_n)$, मान लीजिए $a_{n+1} = \sum_{k\leq n} u_k a_k$। अब

पर विचार कीजिए। तब $g \in I \setminus (f_1, \dots, f_n)$ (योग आदर्श में है, $f_{n+1}$ नहीं), फिर भी घात $d_{n+1}$ का गुणांक निरस्त हो जाता है: $\deg g < d_{n+1}$, जो $d_{n+1} = \deg f_{n+1}$ की न्यूनतमता का खंडन है।

इसे दोहराने पर $A[X_1, \dots, X_n] = (A[X_1, \dots, X_{n-1}])[X_n]$ नोएथरीय है; और कोई भागफल $A/I$ नोएथरीय है क्योंकि उसके आदर्श $J/I$ $A$ के आदर्शों तक उठ जाते हैं (संगति), जहाँ परिमित संख्या में जनक जनकों पर प्रक्षेपित हो जाते हैं। ∎