उच्च माध्यमिक गणित · Grades 10–12

2बीजगणित: समीकरण और असमिकाएँ

बीजगणित अक्षरों के साथ गणना करने की कला है। यह अध्याय दो बुनियादी चालों — प्रसार और गुणनखंडन — को दोहराता और पैना करता है, और उनका उपयोग समीकरणों तथा असमिकाओं को व्यवस्थित ढंग से हल करने में करता है, जिसमें चिह्न-सारणी केंद्रीय औज़ार है।

2.1 प्रसार और गुणनखंडन

परिभाषा 2.1 (प्रसार, गुणनखंडन)

किसी व्यंजक का प्रसार करने का अर्थ है गुणनफलों को योगों में बदलना; गुणनखंडन इसका उल्टा है, अर्थात् योग को गुणनफल में बदलना। बुनियादी नियम वितरण का नियम है:

k(a + b) = ka + kb, \qquad (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd .

उदाहरण 2.2

$(2x + 3)(x - 5)$ का चरण-दर-चरण प्रसार कीजिए:

\begin{align*} (2x + 3)(x - 5) &= 2x \times x + 2x \times (-5) + 3 \times x + 3 \times (-5) \\ &= 2x^2 - 10x + 3x - 15 \\ &= 2x^2 - 7x - 15 . \end{align*}

प्रमेय 2.3 (उल्लेखनीय सर्वसमिकाएँ)

सभी वास्तविक संख्याओं $a$ और $b$ के लिए:

(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2, \qquad (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2, \qquad (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 .

उपपत्ति. हर एक सीधे प्रसार से मिलती है। पहली के लिए:

(a+b)^2 = (a+b)(a+b) = a^2 + ab + ba + b^2 = a^2 + 2ab + b^2 .

दूसरी $b$ के स्थान पर $-b$ रखने से मिलती है: $(a-b)^2 = a^2 + 2a(-b) + (-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ । तीसरी के लिए: $(a+b)(a-b) = a^2 - ab + ba - b^2 = a^2 - b^2$ । ∎

(a+b)2 = a2 + 2ab + b2 क्यों: भुजा a + b वाला वर्ग भुजा a वाले एक वर्ग, भुजा b वाले एक वर्ग और दो a × b आयतों में बँट जाता है। — $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ क्यों: भुजा $a + b$ वाला वर्ग भुजा $a$ वाले एक वर्ग, भुजा $b$ वाले एक वर्ग और दो $a \times b$ आयतों में बँट जाता है।

उदाहरण 2.4

आगे की ओर (प्रसार) और पीछे की ओर (गुणनखंडन), दोनों तरह से प्रयोग:

\begin{align*} (3x + 2)^2 &= 9x^2 + 12x + 4, & x^2 - 25 &= (x+5)(x-5), \\ (x - 4)^2 &= x^2 - 8x + 16, & 4x^2 + 4x + 1 &= (2x + 1)^2 . \end{align*}

मौखिक गणना को भी लाभ होता है: $101 \times 99 = (100+1)(100-1) = 10000 - 1 = 9999$ ।

विधि 2.5 (किसी व्यंजक का गुणनखंडन)

इसी क्रम में प्रयास कीजिए:

उभयनिष्ठ गुणनखंड: ऐसा गुणनखंड पहचानिए जो हर पद में मौजूद हो और उसे बाहर निकाल लीजिए, जैसे $6x^2 + 4x = 2x(3x + 2)$ । उभयनिष्ठ गुणनखंड एक पूरा कोष्ठक भी हो सकता है: $(x+1)(2x-3) + (x+1)(x+7) = (x+1)(3x+4)$ ।
उल्लेखनीय सर्वसमिका: $a^2 - b^2$ या $a^2 \pm 2ab + b^2$ को पहचानिए, जैसे $9x^2 - 16 = (3x)^2 - 4^2 = (3x+4)(3x-4)$ ।
दोनों को मिलाइए, और परिणाम का प्रसार करके उसकी जाँच कीजिए।

उदाहरण 2.6

$E = (2x + 1)^2 - (x - 3)^2$ का गुणनखंडन कीजिए। यह दो वर्गों का अंतर $a^2 - b^2$ है, जिसमें $a = 2x+1$ और $b = x-3$ हैं:

\begin{align*} E &= \bigl[(2x+1) + (x-3)\bigr] \times \bigl[(2x+1) - (x-3)\bigr] \\ &= (3x - 2)(2x + 1 - x + 3) \\ &= (3x - 2)(x + 4). \end{align*}

दूसरे कोष्ठक पर ध्यान दीजिए: $x - 3$ घटाने का अर्थ है $x$ घटाना और $3$ जोड़ना।

2.2 समीकरण

परिभाषा 2.7 (समीकरण, हल)

समीकरण ऐसी समता है जिसमें एक अज्ञात संख्या $x$ हो; हल $x$ का वह मान है जो समता को सत्य बना देता है। समीकरण हल करने का अर्थ है उसके सभी हल खोज निकालना।

दो समीकरण तुल्य कहलाते हैं जब उनके हल ठीक एक जैसे हों। दोनों पक्षों में एक ही संख्या जोड़ने से, या दोनों पक्षों को एक ही शून्येतर संख्या से गुणा करने से, तुल्य समीकरण मिलता है।

उदाहरण 2.8 (प्रथम घात समीकरण)

$5x - 7 = 2x + 8$ को एक-एक चाल करके हल कीजिए:

\begin{align*} 5x - 7 &= 2x + 8 \\ 5x - 2x &= 8 + 7 && \text{(दोनों पक्षों में $7 - 2x$ जोड़ें)} \\ 3x &= 15 \\ x &= 5 && \text{(दोनों पक्षों को $3$ से भाग दें)।} \end{align*}

अकेला हल $5$ है। जाँच: $5 \times 5 - 7 = 18$ और $2 \times 5 + 8 = 18$ ।

प्रमेय 2.9 (शून्य-गुणनफल नियम)

वास्तविक संख्याओं का गुणनफल शून्य होता है यदि और केवल यदि उसका कम से कम एक गुणनखंड शून्य हो:

A \times B = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad A = 0 \ \text{ या } \ B = 0 .

उपपत्ति. यदि $A = 0$ या $B = 0$ हो, तो गुणनफल स्पष्टतः $0$ है। इसके उलट, मान लीजिए $AB = 0$ और $A \neq 0$ है। दोनों पक्षों को $A$ से भाग देने पर $B = 0$ मिलता है। ∎

विधि 2.10 (गुणनखंडन द्वारा हल करना)

ऐसा समीकरण हल करने के लिए जिसका दाहिना पक्ष $0$ हो और जिसके बाएँ पक्ष का गुणनखंडन किया जा सके:

सब कुछ बाईं ओर ले आइए ताकि समीकरण $E = 0$ के रूप में आ जाए;
$E$ का प्रथम घात गुणनखंडों के गुणनफल में गुणनखंडन कीजिए;
शून्य-गुणनफल नियम लगाइए और हर छोटे समीकरण को हल कीजिए;
मिले हुए सभी हलों को इकट्ठा कीजिए।

उदाहरण 2.11

$(x - 2)(3x + 6) = 0$ हल कीजिए: या तो $x - 2 = 0$ , जिससे $x = 2$ मिलता है, या $3x + 6 = 0$ , जिससे $x = -2$ मिलता है। हल: $-2$ और $2$ ।

$x^2 = 9x$ हल कीजिए। $x$ से भाग मत दीजिए (वह शून्य हो सकता है!); सब कुछ एक ओर लाइए और गुणनखंडन कीजिए:

x^2 - 9x = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad x(x - 9) = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad x = 0 \ \text{ या } \ x = 9 .

उदाहरण 2.12 (भागफल वाला समीकरण)

$\dfrac{x - 1}{x + 2} = 0$ हल कीजिए। भागफल ठीक तब शून्य होता है जब उसका अंश शून्य हो और हर शून्य न हो। यहाँ $x - 1 = 0$ से $x = 1$ मिलता है, और $1 + 2 = 3 \neq 0$ है: एकमात्र हल $1$ है। मान $x = -2$ वर्जित है (शून्य से भाग) और उसे हमेशा पहले ही हटा देना चाहिए।

2.3 असमिकाएँ और चिह्न-सारणियाँ

प्रतिज्ञप्ति 2.13 (असमिकाओं के नियम)

मान लीजिए $a \leq b$ है।

किसी भी $c$ के लिए: $a + c \leq b + c$ (जोड़ने से क्रम बना रहता है)।
यदि $c > 0$ हो: $ac \leq bc$ (धनात्मक संख्या से गुणा करने पर क्रम बना रहता है)।
यदि $c < 0$ हो: $ac \geq bc$ (ऋणात्मक संख्या से गुणा करने पर क्रम पलट जाता है)।

उपपत्ति. 1. $(b + c) - (a + c) = b - a \geq 0$ । 2. $bc - ac = (b-a)c$ दो अऋणात्मक संख्याओं का गुणनफल है, इसलिए $bc \geq ac$ । 3. अब $(b-a)c \leq 0$ एक अऋणात्मक और एक ऋणात्मक संख्या का गुणनफल है, इसलिए $bc \leq ac$ । ∎

उदाहरण 2.14

$-2x + 3 > 9$ हल कीजिए:

\begin{align*} -2x + 3 &> 9 \\ -2x &> 6 && \text{($3$ घटाएँ)} \\ x &< -3 && \text{($-2 < 0$ से भाग दें: असमिका का चिह्न पलटें)।} \end{align*}

हल-समुच्चय $\intoo{-\infty}{-3}$ है।

परिभाषा 2.15 (चिह्न-सारणी)

चिह्न-सारणी में, हर गुणनखंड के लिए एक पंक्ति लेकर, यह दर्ज किया जाता है कि जब $x$ , $\R$ पर चलता है तब व्यंजक के हर गुणनखंड का चिह्न ( $+$ या $-$ ) क्या है; जिस मान पर गुणनखंड लुप्त होता है वहाँ $0$ लिखा जाता है। अंतिम पंक्ति गुणनफल का चिह्न देती है, जो स्तंभ-दर-स्तंभ चिह्नों के नियम से निकलता है।

उदाहरण 2.16

$P(x) = (x - 2)(3 - x)$ का चिह्न। गुणनखंड $x - 2$ $2$ पर लुप्त होता है और उसके बाद धनात्मक रहता है; गुणनखंड $3 - x$ $3$ पर लुप्त होता है और उससे पहले धनात्मक रहता है:

$x$	$-\infty$	$2$		$3$	$+\infty$
$x - 2$	$-$	$0$	$+$		$+$
$3 - x$	$+$		$+$	$0$	$-$
$P(x)$	$-$	$0$	$+$	$0$	$-$

अतः $P(x) > 0$ ठीक $\intoo{2}{3}$ पर, और $P(x) \leq 0$ $\intoc{-\infty}{2} \cup \intco{3}{+\infty}$ पर।

P(x) = (x-2)(3-x) का आलेख चिह्न-सारणी की पुष्टि करता है: मूलों 2 और 3 के बीच धनात्मक, बाहर ऋणात्मक। — $P(x) = (x-2)(3-x)$ का आलेख चिह्न-सारणी की पुष्टि करता है: मूलों $2$ और $3$ के बीच धनात्मक, बाहर ऋणात्मक।

विधि 2.17 (चिह्न-सारणी से असमिका हल करना)

$E(x) \geq 0$ या $E(x) < 0$ जैसी असमिका हल करने के लिए:

सब कुछ बाएँ पक्ष में ले आइए, ताकि दाहिना पक्ष $0$ हो जाए (दोनों पक्षों को ऐसे व्यंजक से कभी गुणा न कीजिए जिसका चिह्न अज्ञात हो);
बाएँ पक्ष का गुणनखंडन कीजिए, या यदि वह भागफल है तो उसे उभयनिष्ठ हर पर लाइए;
हर गुणनखंड के लिए एक पंक्ति लेकर चिह्न-सारणी बनाइए (भागफल के लिए अंतिम पंक्ति में वर्जित मानों को दोहरी खड़ी रेखा से अंकित कीजिए);
वे अंतराल पढ़ लीजिए जहाँ माँगा गया चिह्न मिलता है, और हर सीमा के लिए यह जाँचिए कि वह सम्मिलित है या नहीं।

उदाहरण 2.18

$\dfrac{x + 1}{x - 3} \leq 0$ हल कीजिए। अंश $-1$ पर लुप्त होता है और हर $3$ पर (वर्जित मान)। भागफल तब ऋणात्मक होता है जब दोनों के चिह्न विपरीत हों, और यह $x$ के $-1$ और $3$ के बीच होने पर होता है। जिस सीमा पर अंश लुप्त होता है उसे सम्मिलित करके और वर्जित मान को हटाकर: हल-समुच्चय $\intco{-1}{3}$ है।

2.4 अभ्यास

अभ्यास 2.1 ★

प्रसार करके सरल कीजिए:

3(2x - 5) - 2(x - 7), \qquad (x + 4)(2x - 1), \qquad (3x - 2)^2, \qquad (5 - x)(5 + x).

हल

हल — अभ्यास 2.1.

$3(2x-5) - 2(x-7) = 6x - 15 - 2x + 14 = 4x - 1$ ।

$(x+4)(2x-1) = 2x^2 - x + 8x - 4 = 2x^2 + 7x - 4$ ।

$(3x-2)^2 = 9x^2 - 12x + 4$ ।

$(5-x)(5+x) = 25 - x^2$ ।

अभ्यास 2.2 ★

गुणनखंडन कीजिए:

x^2 - 49, \qquad x^2 + 10x + 25, \qquad 7x^2 - 14x, \qquad 16x^2 - 8x + 1 .

हल

हल — अभ्यास 2.2.

$x^2 - 49 = (x+7)(x-7)$ (वर्गों का अंतर)।

$x^2 + 10x + 25 = (x+5)^2$ ।

$7x^2 - 14x = 7x(x - 2)$ (उभयनिष्ठ गुणनखंड)।

$16x^2 - 8x + 1 = (4x - 1)^2$ ।

अभ्यास 2.3 ★

हल कीजिए:

4x + 9 = x - 3, \qquad \frac{2x - 1}{3} = 5, \qquad 2(x - 3) = 2x + 1 .

(इनमें से एक का कोई हल नहीं है — कारण बताइए।)

हल

हल — अभ्यास 2.3.

$4x + 9 = x - 3$ : $3x = -12$ , इसलिए $x = -4$ ।

$\frac{2x-1}{3} = 5$ : $2x - 1 = 15$ , इसलिए $x = 8$ ।

$2(x-3) = 2x + 1$ का प्रसार $2x - 6 = 2x + 1$ है, अर्थात् $-6 = 1$ : हर $x$ के लिए असत्य। कोई हल नहीं — दोनों पक्ष ऐसी समांतर रेखाएँ बताते हैं जो कभी नहीं मिलतीं।

अभ्यास 2.4 ★

शून्य-गुणनफल नियम का उपयोग करके हल कीजिए:

(x + 5)(2x - 8) = 0, \qquad x^2 - 16 = 0, \qquad x^2 + 6x + 9 = 0 .

हल

हल — अभ्यास 2.4.

$(x+5)(2x-8) = 0$ : $x = -5$ या $x = 4$ ।

$x^2 - 16 = (x-4)(x+4) = 0$ : $x = 4$ या $x = -4$ ।

$x^2 + 6x + 9 = (x+3)^2 = 0$ : अकेला हल $x = -3$ ।

अभ्यास 2.5 ★

असमिकाएँ हल कीजिए और हल-समुच्चयों को अंतरालों के रूप में लिखिए:

3x - 5 \leq 7, \qquad -4x + 1 > 9, \qquad 2(x - 1) \geq 5x + 4 .

हल

हल — अभ्यास 2.5.

$3x - 5 \leq 7$ : $3x \leq 12$ , इसलिए $x \leq 4$ : हल-समुच्चय $\intoc{-\infty}{4}$ ।

$-4x + 1 > 9$ : $-4x > 8$ , और $-4$ से भाग देने पर असमिका पलट जाती है: $x < -2$ : हल-समुच्चय $\intoo{-\infty}{-2}$ ।

$2(x-1) \geq 5x + 4$ : $2x - 2 \geq 5x + 4$ , इसलिए $-3x \geq 6$ , इसलिए $x \leq -2$ : हल-समुच्चय $\intoc{-\infty}{-2}$ ।

अभ्यास 2.6 ★★

$E = (x - 1)(x + 3) - (x - 1)(2x - 5)$ का गुणनखंडन कीजिए, फिर $E = 0$ हल कीजिए।

हल

हल — अभ्यास 2.6.

उभयनिष्ठ गुणनखंड $(x-1)$ है:

E = (x-1)\bigl[(x+3) - (2x - 5)\bigr] = (x-1)(x + 3 - 2x + 5) = (x-1)(8 - x).

तब $E = 0$ तब होता है जब $x = 1$ या $x = 8$ हो (शून्य-गुणनफल नियम)।

अभ्यास 2.7 ★★

$x^2 = 5x$ हल कीजिए, फिर $(2x + 1)^2 = (x - 4)^2$ । (दूसरे के लिए सब कुछ बाईं ओर लाइए और वर्गों के अंतर का गुणनखंडन कीजिए।)

हल

हल — अभ्यास 2.7.

$x^2 = 5x$ : $x^2 - 5x = x(x - 5) = 0$ , इसलिए $x = 0$ या $x = 5$ ( $x$ से कभी भाग मत दीजिए: हल $0$ खो जाता)।

$(2x+1)^2 = (x-4)^2$ : बाईं ओर लाइए और वर्गों के अंतर का गुणनखंडन कीजिए:

(2x+1)^2 - (x-4)^2 = \bigl[(2x+1) + (x-4)\bigr]\bigl[(2x+1) - (x-4)\bigr] = (3x - 3)(x + 5).

शून्य-गुणनफल नियम: $x = 1$ या $x = -5$ ।

अभ्यास 2.8 ★★

चिह्न-सारणी का उपयोग करके हल कीजिए:

(x + 2)(4 - x) > 0, \qquad \frac{2x - 6}{x + 1} \geq 0 .

हल

हल — अभ्यास 2.8.

$(x+2)(4-x) > 0$ : गुणनखंड $x + 2$ $-2$ पर लुप्त होता है (उसके बाद धनात्मक), और $4 - x$ $4$ पर लुप्त होता है (उससे पहले धनात्मक)। गुणनफल ठीक तब धनात्मक है जब दोनों गुणनखंड धनात्मक हों, अर्थात् $\intoo{-2}{4}$ पर।

$\frac{2x-6}{x+1} \geq 0$ : अंश $3$ पर शून्य, हर $-1$ पर शून्य (वर्जित)। चिह्न-सारणी: भागफल तब धनात्मक है जब दोनों भागों के चिह्न समान हों, अर्थात् $x < -1$ या $x > 3$ के लिए; वह $x = 3$ पर लुप्त होता है। हल-समुच्चय: $\intoo{-\infty}{-1} \cup \intco{3}{+\infty}$ ।

अभ्यास 2.9 ★★

एक स्ट्रीमिंग सेवा का शुल्क $9$ प्रति माह है, और उसके साथ $15$ का एकमुश्त पंजीकरण शुल्क भी लगता है; एक प्रतिद्वंद्वी सेवा का शुल्क $12$ प्रति माह है और कोई पंजीकरण शुल्क नहीं। कितने महीनों के बाद पहली सेवा कुल मिलाकर सस्ती पड़ने लगती है? असमिका बनाइए और हल कीजिए।

हल

हल — अभ्यास 2.9.

$x$ महीनों के बाद पहली सेवा का ख़र्च $9x + 15$ है और दूसरी का $12x$ । पहली तब सस्ती है जब

9x + 15 < 12x \ \Longleftrightarrow\ 15 < 3x \ \Longleftrightarrow\ x > 5 .

$6$ -वें महीने से आगे कुल मिलाकर पहली सेवा ही सस्ता विकल्प है।

अभ्यास 2.10 ★★

$\dfrac{x+3}{x-1} = 2$ हल कीजिए। (वर्जित मान हटाने के बाद दोनों पक्षों को $x - 1$ से गुणा कीजिए, या सब कुछ उभयनिष्ठ हर पर लेकर बाईं ओर ले आइए।)

हल

हल — अभ्यास 2.10.

वर्जित मान: $x = 1$ । $x \neq 1$ के लिए दोनों पक्षों को $x - 1$ से गुणा कीजिए:

x + 3 = 2(x - 1) = 2x - 2 \ \Longleftrightarrow\ x = 5 .

चूँकि $5 \neq 1$ है, हल $x = 5$ है। जाँच: $\frac{5+3}{5-1} = \frac84 = 2$ ।

अभ्यास 2.11 ★★★

मान लीजिए $n$ एक पूर्णांक है। दिखाइए कि $(n + 1)^2 - n^2$ सदा विषम होता है, और यह भी कि दो क्रमागत विषम संख्याओं के वर्गों का अंतर सदा $8$ का गुणज होता है।

हल

हल — अभ्यास 2.11.

$(n+1)^2 - n^2 = n^2 + 2n + 1 - n^2 = 2n + 1$ , जो हर पूर्णांक $n$ के लिए विषम है।

दो क्रमागत विषम संख्याओं को $2n - 1$ और $2n + 1$ लिखा जा सकता है। तब

(2n+1)^2 - (2n-1)^2 = \bigl[(2n+1)+(2n-1)\bigr]\bigl[(2n+1)-(2n-1)\bigr] = 4n \times 2 = 8n,

जो $8$ का गुणज है।

2.5 समस्या: बेबीलोन से स्वर्ण अनुपात तक

समस्या 2.1

सप्ताहांत समस्या — योग-और-गुणनफल की समस्याएँ, अल-ख़्वारिज़्मी के खींचे चित्र के अनुसार वर्ग पूरा करना, और समीकरण $x^2 = x + 1$

चार हज़ार साल पहले बेबीलोन के लिपिक मिट्टी की पट्टियों पर यही हल करते थे: दो संख्याओं का योग और गुणनफल जानते हुए उन्हें ढूँढ़ना। उनकी तरकीब — संख्याओं को आधे योग के दोनों ओर सममित रूप से खोजना — आज भी हर द्विघात समीकरण को तोड़ देती है, अपने आधुनिक नाम वर्ग पूरा करना के साथ। यह समस्या पहले वह तरकीब सीखती है, फिर अल-ख़्वारिज़्मी को सचमुच एक वर्ग पूरा करते देखती है, और अंत में उस विधि को सबसे प्रसिद्ध अनुपात पर काम में लगाती है।

भाग I — बेबीलोनी समस्या।

तैयारी (प्रमेय 2.3): $x^2 - 10x + 25$ का गुणनखंडन कीजिए, फिर $9x^2 - 49$ का, और फिर — एक सर्वसमिका को वर्गों के अंतर के साथ मिलाकर — $x^2 + 6x + 9 - 4$ का।
$(x + 1)(x + 5) = 0$ और $(3x - 7)(3x + 7) = 0$ हल कीजिए (प्रमेय 2.9)।
लिपिक की समस्या: दो संख्याओं का योग $10$ और गुणनफल $21$ है। बेबीलोन का अनुसरण करते हुए उन्हें $5 - t$ और $5 + t$ लिखिए (आधे योग के दोनों ओर सममित) और $t$ ज्ञात कीजिए, फिर दोनों संख्याएँ।
वही विधि: योग $14$ , गुणनफल $33$ ।
सामान्य नुस्ख़ा: योग $s$ और गुणनफल $p$ के लिए दिखाइए कि दोनों संख्याएँ

$\frac s2 - t \quad\text{और}\quad \frac s2 + t, \qquad\text{जहाँ}\quad t^2 = \left(\frac s2\right)^2 - p ,$

हैं, और $s$ तथा $p$ पर वह शर्त बताइए जिससे समस्या का हल हो।

भाग II — वर्ग पूरा करना।

$(x - a)(x - b)$ का प्रसार कीजिए और निष्कर्ष निकालिए: $x^2 - sx + p = 0$ के हल ठीक वही संख्या-युग्म हैं जिनका योग $s$ और गुणनफल $p$ है। (लिपिक बिना जाने द्विघात समीकरण ही हल कर रहे थे।)
जाँचिए कि $x^2 - 10x + 21 = (x - 5)^2 - 4$ , और $x^2 - 10x + 21 = 0$ को दाहिने पक्ष का वर्गों के अंतर के रूप में गुणनखंडन करके हल कीजिए। प्रश्न 3 से तुलना कीजिए।
$x^2 + 6x - 7 = 0$ को वर्ग पूरा करके हल कीजिए।
$x^2 + 4x + 5$ में वर्ग पूरा कीजिए, और समझाइए कि समीकरण $x^2 + 4x + 5 = 0$ का कोई वास्तविक हल क्यों नहीं है। सामान्य कसौटी बताइए: $(x + h)^2 + k$ के रूप में लिख लेने पर कोई द्विघात व्यंजक कब लुप्त होता है?
नाम अक्षरशः सही है। नवीं सदी के बग़दाद में अल-ख़्वारिज़्मी ने $x^2 + 6x = 7$ को भुजा $x$ वाले एक वर्ग के रूप में खींचा जिसकी दो भुजाओं से दो $3 \times x$ आयत चिपके थे, और छूटे हुए $3 \times 3$ कोने को जोड़कर उन्होंने वर्ग पूरा किया। यह चित्र खींचिए और समझाइए कि यह समीकरण को $(x + 3)^2 = 16$ में कैसे बदल देता है — फिर हल कीजिए।

भाग III — चिह्न, सारणियाँ और दो पुराने वादे।

$(x - 3)(x + 2)$ की चिह्न-सारणी बनाइए (परिभाषा 2.15) और $(x - 3)(x + 2) < 0$ हल कीजिए।
$x^2 \leq 10x - 21$ हल कीजिए (सब कुछ एक ओर लाइए और प्रश्न 7 फिर से काम में लाइए)।
$\dfrac{x - 1}{x + 2} \geq 0$ को चिह्न-सारणी से हल कीजिए, वर्जित मान का ध्यान रखते हुए।
एक पुराना वादा निभा: माध्यमिक विद्यालय खंड की रानी डिडो की बाड़ वाली समस्या के किसान के पास $20$ m बाड़ है, और $x \times (10 - x)$ बाड़े का क्षेत्रफल

$A(x) = x(10 - x) = 25 - (x - 5)^2 .$

को संतुष्ट करता है। सर्वसमिका की जाँच कीजिए, और उससे उस बात की उपपत्ति पढ़ लीजिए जिसका कक्षा 6 केवल अनुमान लगा सकी थी: अधिकतम क्षेत्रफल, और उसे प्राप्त करने वाला अकेला $x$ ।
एक और: सिद्ध कीजिए कि हर $x > 0$ के लिए $x + \dfrac1x \geq 2$ है, और समता केवल $x = 1$ पर होती है। ( $x$ से गुणा कीजिए, पद इकट्ठे कीजिए, एक वर्ग पहचानिए — माध्यमिक विद्यालय खंड की यूक्लिड-संबंधों वाली सप्ताहांत समस्या की समांतर–गुणोत्तर माध्य असमिका ही नए लिबास में।)

भाग IV — स्वर्ण विभाजन। लंबाई $1$ के एक रेखाखंड को एक बड़े भाग $x$ और एक छोटे भाग $1 - x$ में इस तरह काटिए कि पूरा बड़े से उसी अनुपात में हो जिसमें बड़ा छोटे से है: $\frac{1}{x} = \frac{x}{1 - x}$ ।

दिखाइए कि यह शर्त $x^2 + x - 1 = 0$ बन जाती है।
वर्ग पूरा करके हल कीजिए, और वह मूल रखिए जो लंबाई हो सकता है: $x = \frac{\sqrt5 - 1}{2} \approx 0.618$ ।
स्वर्ण अनुपात $\varphi = \frac1x = \frac{2}{\sqrt5 - 1}$ है। हर का परिमेयकरण कीजिए (ऊपर और नीचे दोनों को $\sqrt5 + 1$ से गुणा कीजिए — वही सर्वसमिका काम पर) और दिखाइए कि $\varphi = \frac{\sqrt5 + 1}{2} \approx 1.618$ ।
$\varphi$ की दो जादुई सर्वसमिकाओं की यथार्थ जाँच कीजिए:

$\varphi^2 = \varphi + 1, \qquad \frac{1}{\varphi} = \varphi - 1 .$
समापन: समझाइए कि $\varphi$ अपरिमेय क्यों है (माध्यमिक विद्यालय खंड की अपरिमेयता वाली सप्ताहांत समस्या $\sqrt5$ के बारे में मुख्य तथ्य देती है), फिर क्रमागत हेमचंद्र–फिबोनाच्ची संख्याओं (माध्यमिक विद्यालय खंड की लय-गणना वाली सप्ताहांत समस्या) के अनुपात $\frac53$ , $\frac85$ , $\frac{13}{8}$ , $\frac{21}{13}$ को तीन दशमलव स्थानों तक निकालिए। वे किसका पीछा करते जान पड़ते हैं? (वे उसे पकड़ भी लेते हैं, इसकी उपपत्ति अनुक्रमों वाले अध्यायों की है।)

हल

हल — समस्या 2.1.

1. $x^2 - 10x + 25 = (x - 5)^2$ ; $9x^2 - 49 = (3x - 7)(3x + 7)$ ; $x^2 + 6x + 9 - 4 = (x + 3)^2 - 2^2 = (x + 1)(x + 5)$ ।

2. $x = -1$ या $x = -5$ ; $x = \frac73$ या $x = -\frac73$ ।

3. $(5 - t)(5 + t) = 25 - t^2 = 21$ से $t^2 = 4$ , $t = 2$ मिलता है: संख्याएँ $3$ और $7$ हैं (योग $10$ , गुणनफल $21$ : जाँच लीजिए)।

4. $(7 - t)(7 + t) = 49 - t^2 = 33$ : $t = 4$ , संख्याएँ $3$ और $11$ ।

5. $\left(\frac s2 - t\right)\left(\frac s2 + t\right) = \left(\frac s2\right)^2 - t^2 = p$ से $t^2 = \left(\frac s2\right)^2 - p$ निकलता है। हल ठीक तब है जब यह $\geq 0$ हो, अर्थात् जब $p \leq \left(\frac s2\right)^2$ हो — दिए गए योग वाली दो संख्याओं का गुणनफल आधे योग के वर्ग को कभी नहीं हरा सकता (माध्यमिक विद्यालय खंड की रानी डिडो की बाड़ वाली समस्या यह जानती थी)।

6. $(x - a)(x - b) = x^2 - (a + b)x + ab$ : समीकरण $x^2 - sx + p = 0$ ठीक यही कहता है कि “ $x$ उन दो संख्याओं में से एक है जिनका योग $s$ और गुणनफल $p$ है”।

7. $(x-5)^2 - 4 = x^2 - 10x + 25 - 4 = x^2 - 10x + 21$ । वर्गों का अंतर: $(x - 5 - 2)(x - 5 + 2) = (x - 7)(x - 3) = 0$ : हल $3$ और $7$ — प्रश्न 3 के लिपिक वाली संख्याएँ।

8. $x^2 + 6x - 7 = (x + 3)^2 - 16 = 0$ से $(x + 3)^2 = 16$ , $x + 3 = \pm 4$ मिलता है: $x = 1$ या $x = -7$ ।

9. हर $x$ के लिए $x^2 + 4x + 5 = (x + 2)^2 + 1 \geq 1 > 0$ : कोई वास्तविक हल नहीं। $(x + h)^2 + k$ के रूप में: हल ठीक तब हैं जब $k \leq 0$ हो (तब $(x+h)^2 = -k$ के दो मूल $-h \pm \sqrt{-k}$ हैं); और जब $k > 0$ हो तब व्यंजक धनात्मक ही रहता है।

10. भुजा $x$ वाला वर्ग (क्षेत्रफल $x^2$ ) और दो $3 \times x$ आयत (कुल $6x$ ) मिलकर $x^2 + 6x = 7$ क्षेत्रफल का एक L बनाते हैं; छूटा हुआ $3 \times 3$ कोना (क्षेत्रफल $9$ ) उसे भुजा $x + 3$ वाला बड़ा वर्ग पूरा कर देता है। दोनों पक्षों में $9$ जोड़ने पर $(x + 3)^2 = 16$ , इसलिए $x + 3 = 4$ (लंबाइयाँ धनात्मक हैं) और $x = 1$ । बीजगणित और चित्र एक ही काम हैं।

11. $(x-3)(x+2)$ : मूलों के बीच ऋणात्मक। $< 0$ का हल: $x \in \intoo{-2}{3}$ ।

12. $x^2 - 10x + 21 \leq 0$ , अर्थात् $(x - 3)(x - 7) \leq 0$ : मूलों के बीच, सिरे सम्मिलित: $x \in \intcc{3}{7}$ ।

13. $x = 1$ पर शून्य, $x = -2$ पर वर्जित; भागफल मूलों के बाहर धनात्मक है: $x \in \intoo{-\infty}{-2} \cup \intco{1}{+\infty}$ ।

14. $25 - (x - 5)^2 = 25 - x^2 + 10x - 25 = x(10 - x)$ : सर्वसमिका सत्यापित। चूँकि सदा $(x-5)^2 \geq 0$ है, इसलिए $A(x) \leq 25$ , और समता ठीक तब जब $x = 5$ हो: $5 \times 5$ वाला वर्गाकार बाड़ा, अधिकतम $25$ m $^2$ — कक्षा 6 की सारणी, अब दो पंक्तियों की उपपत्ति।

15. $x > 0$ के लिए दावे को $x$ से गुणा कीजिए: $x^2 + 1 \geq 2x$ , अर्थात् $x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2 \geq 0$ — जो सत्य है, और समता केवल $x = 1$ पर। वापस $x > 0$ से भाग देने पर सब कुछ बना रहता है (प्रतिज्ञप्ति 2.13)।

16. $\frac1x = \frac{x}{1 - x}$ का तिर्यक गुणन करने पर (सभी लंबाइयाँ धनात्मक हैं): $x^2 = 1 - x$ , अर्थात् $x^2 + x - 1 = 0$ ।

17. $x^2 + x - 1 = \left(x + \frac12\right)^2 - \frac54 = 0$ से $x + \frac12 = \pm\frac{\sqrt5}{2}$ मिलता है। धनात्मक मूल: $x = \frac{\sqrt5 - 1}{2} \approx 0.618$ ।

18. $\varphi = \frac{2}{\sqrt5 - 1} = \frac{2(\sqrt5 + 1)}{(\sqrt5 - 1)(\sqrt5 + 1)} = \frac{2(\sqrt5 + 1)}{5 - 1} = \frac{\sqrt5 + 1}{2} \approx 1.618$ ।

19. $\varphi^2 = \frac{(\sqrt5 + 1)^2}{4} = \frac{6 + 2\sqrt5}{4} = \frac{3 + \sqrt5}{2}$ , और $\varphi + 1 = \frac{\sqrt5 + 3}{2}$ : बराबर। और $\varphi - 1 = \frac{\sqrt5 - 1}{2} = x = \frac1\varphi$ (इसी तरह $\varphi$ परिभाषित किया गया था)। स्वर्ण अनुपात वह संख्या है जिसका वर्ग एक जोड़ देता है और जिसका व्युत्क्रम एक घटा देता है।

20. $\sqrt5$ अपरिमेय है (माध्यमिक विद्यालय खंड की अपरिमेयता वाली सप्ताहांत समस्या: $5$ कोई पूर्ण वर्ग नहीं है), और $1$ जोड़कर फिर आधा करने से अपरिमेयता बनी रहती है (परिमेय संक्रियाएँ, समस्या 1.1)। अनुपात: $\frac53 \approx 1.667$ , $\frac85 = 1.600$ , $\frac{13}{8} = 1.625$ , $\frac{21}{13} \approx 1.615$ : बारी-बारी से ऊपर और नीचे, $\varphi = 1.618\ldots$ की ओर सिमटते हुए — माध्यमिक विद्यालय खंड की लय-गणना वाली सप्ताहांत समस्या की संख्याएँ चुपके से स्वर्ण विभाजन का पीछा करती हैं; अनुक्रमों वाले अध्याय उन्हें रँगे हाथों पकड़ेंगे।