विश्वविद्यालय गणित — स्नातक वर्ष 1 · Bachelor Year 1

18सदिश समष्टियाँ

रैखिक बीजगणित यहीं से आरंभ होता है: सदिश समष्टि के अभिगृहीत ठीक वही बात अलग करके दिखाते हैं जो $\R^2$ , $\R^3$ , बहुपद समष्टियों और फलन समष्टियों में उभयनिष्ठ है — उनमें जोड़ा जा सकता है, और मापित किया जा सकता है। सिद्धांत दो अध्यायों में खड़ा होता है (अध्याय 19 विमा जोड़ता है); और जो भाषा वे रचते हैं — जनित समष्टि, स्वतंत्र कुल, आधार, प्रत्यक्ष योग — वही उनके बाद के हर अध्याय की रोज़ की रोटी है। सर्वत्र $K$ का अर्थ $\R$ या $\C$ है (अदिश)।

18.1 परिभाषा और उदाहरण

परिभाषा 18.1 (सदिश समष्टि)

$K$ -सदिश समष्टि एक ऐसा समुच्चय $E$ है जिस पर एक योग हो जो $(E, +)$ को आबेली समूह बनाता हो (शून्य को $0_E$ अथवा $0$ लिखा जाता है), और एक अदिश गुणन $K \times E \to E$ हो, ऐसा कि सभी $\lambda, \mu \in K$ और $x, y \in E$ के लिए:

\lambda(x + y) = \lambda x + \lambda y,\quad (\lambda + \mu) x = \lambda x + \mu x,\quad \lambda(\mu x) = (\lambda\mu) x,\quad 1\,x = x .

परिणाम: $0\,x = 0_E$ , $\lambda\,0_E = 0_E$ , $(-1)x = -x$ , और $\lambda x = 0_E \implies \lambda = 0$ अथवा $x = 0_E$ ( $\lambda^{-1}$ से गुणा कीजिए)।

परिणामों की उपपत्ति. $0\,x = 0_E$ के लिए: $(0 + 0)x = 0x + 0x$ और $(0+0)x = 0x$ से, समूह $(E, +)$ में $0x$ को काट दीजिए। $\lambda\,0_E$ के लिए: $\lambda(0_E + 0_E)$ पर वही चाल। $(-1)x$ के लिए: $x$ जोड़िए,

x + (-1)x = 1\,x + (-1)x = \bigl(1 + (-1)\bigr)x = 0\,x = 0_E ,

अतः $(-1)x$ $x$ का योज्य प्रतिलोम है। अंत में यदि $\lambda \neq 0$ के साथ $\lambda x = 0_E$ : तो $\lambda^{-1}$ से गुणा कीजिए (अदिश एक क्षेत्र बनाते हैं) और दोनों अभिगृहीत $\lambda^{-1}(\lambda x) = (\lambda^{-1}\lambda)x = 1x = x$ का $\lambda^{-1}0_E = 0_E$ के साथ प्रयोग कीजिए: $x = 0_E$ । छोटे होते हुए भी ये चार नियम आगे के हर पृष्ठ पर चुपचाप काम आते हैं — और अंतिम नियम ठीक वहीं है जहाँ क्षेत्र चाहिए: अदिश $\Z$ पर “समष्टि” $\Z/2\Z$ उसका उल्लंघन कर देती, क्योंकि $2\,x = 0$ । ∎

उदाहरण 18.2

$K^n$ (निर्देशांकवार संक्रियाएँ); बहुपद $K[X]$ ; किसी भी समुच्चय $A$ से $K$ में जाने वाले फलन $\mathcal{F}(A, K)$ (बिंदुवार संक्रियाएँ) — जिनमें संतत फलन, अनुक्रम $\mathcal{F}(\N, \R)$ आदि आ जाते हैं; और $\R$ -सदिश समष्टि के रूप में $\C$ । हर स्थिति में अभिगृहीत $K$ के अभिगृहीतों से विरासत में मिलते हैं।

परिभाषा 18.3 (उपसमष्टि)

$F \subseteq E$ उपसमष्टि तब कहलाती है जब $0_E \in F$ और $F$ योग तथा अदिश गुणन के अंतर्गत स्थायी हो — अथवा तुल्य रूप से:

F \neq \emptyset \qquad\text{और}\qquad \forall x, y \in F,\ \forall \lambda \in K,\quad x + \lambda y \in F .

उपसमष्टि स्वयं एक सदिश समष्टि होती है। उपसमष्टियों का कोई भी सर्वनिष्ठ उपसमष्टि होता है; संघ लगभग कभी नहीं होता (अभ्यास 7.6 जैसी ही उपपत्ति)।

उदाहरण 18.4

$\mathcal{F}(\R, \R)$ में: संतत फलन, अवकलनीय फलन, $\leq n$ घात वाले बहुपद ( $K[X]$ के भीतर $K_n[X]$ लिखा जाता है), किसी समघातीय रैखिक अवकल समीकरण के हल (प्रमेय 5.10 ने ठीक यही कहा था)। प्रति-उदाहरण: $\{f : f(0) = 1\}$ (शून्य नहीं है), ठीक $n$ घात वाले बहुपद (योग के अंतर्गत स्थायी नहीं)।

उदाहरण 18.5 (उपसमष्टि है या नहीं: चार निर्णय, तर्क सहित)

वास्तविक अनुक्रमों की समष्टि में:

$\{u : u \text{ परिबद्ध}\}$ उपसमष्टि है: $0$ परिबद्ध है, और यदि $\abs{u_n} \leq M$ , $\abs{v_n} \leq M'$ , तो $\abs{u_n + \lambda v_n} \leq M + \abs\lambda M'$ ।
$\{u : u_n \to 1\}$ नहीं है: शून्य अनुक्रम अनुपस्थित है (और दो सदस्यों का योग $2$ की ओर जाता है)।
$\{u : u \text{ एकदिष्ट}\}$ नहीं है: $u_n = n$ और $v_n = -n + (-1)^n$ एकदिष्ट हैं, पर उनका योग $(-1)^n$ नहीं; यहाँ योग के अंतर्गत स्थायित्व वाला अभिगृहीत विफल होता है, यद्यपि समुच्चय में $0$ है और अपने सदस्यों के सभी अदिश गुणज भी।
$\{u : u_{n+1} = u_n^2\}$ नहीं है: उसमें $0$ है, पर $u$ के अशून्य सदस्य होते ही $2u$ बाहर निकल जाता है (व्यापक रूप से $2u_{n+1} \neq (2u_n)^2$ ) — अरैखिकता वर्ग करने में है।

काम का क्रम सदा एक ही है: पहले $0$ की जाँच (सबसे सस्ती), फिर स्थायित्व — और खंडन के लिए एक स्पष्ट प्रति-उदाहरण की जोड़ी किसी भी मात्रा के संदेह से बेहतर है।

18.2 जनित समष्टि, योग, प्रत्यक्ष योग

परिभाषा 18.6 (रैखिक संयोजन, जनित समष्टि)

$E$ के सदिशों के कुल $(x_1, \dots, x_p)$ का रैखिक संयोजन कोई भी $\lambda_1 x_1 + \dots + \lambda_p x_p$ है ( $\lambda_i \in K$ )। उन सबका समुच्चय जनित समष्टि $\operatorname{Vect}(x_1, \dots, x_p)$ है: यह एक उपसमष्टि है, और उस कुल को समाहित करने वाली सबसे छोटी।

दोनों कथनों की उपपत्ति. स्थायित्व: दो रैखिक संयोजनों का योग $\sum\lambda_i x_i + \sum\mu_i x_i = \sum(\lambda_i + \mu_i)x_i$ फिर से एक रैखिक संयोजन है, और अदिश गुणज $\mu\sum\lambda_i x_i = \sum(\mu\lambda_i) x_i$ भी; शून्य संयोजन दिखाता है कि $0$ उसमें है: अतः जनित समष्टि एक उपसमष्टि है। न्यूनतमता: मान लीजिए $H$ $x_1, \dots, x_p$ को समाहित करने वाली कोई उपसमष्टि है। अदिश गुणन के अंतर्गत स्थायित्व से प्रत्येक $\lambda_i x_i \in H$ , और योग के अंतर्गत स्थायित्व से उनका योग $H$ में है: अतः हर रैखिक संयोजन $H$ का सदस्य है, अर्थात् $\operatorname{Vect}(x_1, \dots, x_p) \subseteq H$ । इस प्रकार जनित समष्टि उस कुल को समाहित करने वाली हर उपसमष्टि के भीतर है: वही सबसे छोटी है। ∎

परिभाषा 18.7 (योग, प्रत्यक्ष योग)

$E$ की उपसमष्टियों $F, G$ के लिए:

F + G = \{\,u + v : u \in F,\ v \in G\,\}

एक उपसमष्टि है ( $F \cup G$ को समाहित करने वाली सबसे छोटी)। यह योग प्रत्यक्ष तब कहलाता है और $F \oplus G$ लिखा जाता है, जब $F + G$ का हर अवयव अद्वितीय रूप से $u + v$ के रूप में विघटित होता हो; तुल्य रूप से (नीचे देखिए) जब $F \cap G = \{0\}$ हो। और जब $E = F \oplus G$ हो, तो वे उपसमष्टियाँ $E$ में पूरक कहलाती हैं।

उदाहरण 18.8 (दो रेखाओं का योग)

$\R^3$ में मान लीजिए $F = \operatorname{Vect}\bigl((1,0,1)\bigr)$ और $G = \operatorname{Vect}\bigl((0,1,1)\bigr)$ । उनका योग है

F + G = \{\,a(1,0,1) + b(0,1,1)\,\} = \{(a,\ b,\ a + b)\} = \{(x, y, z) : z = x + y\},

अर्थात् मूल बिंदु से होकर जाने वाला वह समतल जिसमें दोनों रेखाएँ हैं। यह संघ $F \cup G$ (केवल दो कटती हुई रेखाओं का आकार) से सचमुच बड़ा है: सदिश $(1, 1, 2) = (1,0,1) + (0,1,1)$ योग में है पर किसी भी रेखा पर नहीं। और $F \cap G = \{0\}$ (उभयनिष्ठ सदिश के लिए $a(1,0,1) = b(0,1,1)$ चाहिए, जिसके पहले दो निर्देशांक $a = b = 0$ बाध्य कर देते हैं): अतः योग प्रत्यक्ष है, और $F \oplus G$ ठीक वही समतल है।

प्रतिज्ञप्ति 18.9

$F + G$ प्रत्यक्ष है तभी जब $F \cap G = \{0\}$ ।

उपपत्ति. यदि कोई $w \neq 0$ $F \cap G$ में हो: तो $w = w + 0 = 0 + w$ $w$ के दो विघटन हैं। विलोमतः, यदि $u, u' \in F$ , $v, v' \in G$ के साथ $u + v = u' + v'$ , तो $u - u' = v' - v$ $F \cap G = \{0\}$ का सदस्य है: अतः विघटन अद्वितीय हैं। ∎

विधि 18.10 ( $E = F \oplus G$ सिद्ध करना)

दो बातें जाँचनी हैं, और हर एक की अपनी मानक पहली चाल है।

तुच्छ सर्वनिष्ठ। $x \in F \cap G$ लीजिए, दोनों सदस्यता-प्रतिबंध खोलकर लिखिए, और $x = 0$ तक दबा दीजिए। (चित्र देखकर कभी तर्क मत कीजिए: नीचे दी गई भूलें देखिए।)
योग ही सब कुछ है। कोई भी $x \in E$ लीजिए और विघटन $x = f + g$ बनाकर दिखाइए — या तो लक्ष्य से $f$ का अनुमान लगाकर ( $f$ को $F$ का परिभाषक गुण संतुष्ट करना ही है, जो प्रायः उसका सूत्र तय कर देता है), या फिर $F$ और $G$ के जनकों के सापेक्ष $x$ को व्यक्त करने वाला रैखिक निकाय हल करके।

जब विघटन का सूत्र अनुमान से मिल जाए, तो अद्वितीयता चरण 1 से स्वतः आ जाती है; और जब केवल अस्तित्व अस्पष्ट हो, तो सारा काम चरण 2 में है। नीचे के दोनों उदाहरण यही विधि चलाते हैं: सम/विषम फलनों के लिए $f$ का सूत्र इच्छित सर्वसमिका का $x$ और $-x$ पर मूल्यांकन करने से बाध्य हो जाता है; और किसी बिंदु पर शून्य होने वाले बहुपदों के लिए $a$ पर मूल्यांकन करने से।

उदाहरण 18.11

$\mathcal{F}(\R, \R)$ में सम फलन $\mathcal{P}$ और विषम फलन $\mathcal{I}$ पूरक हैं: कोई भी $f$ यों लिखा जाता है

f(x) = \underbrace{\frac{f(x) + f(-x)}{2}}_{\text{सम}} + \underbrace{\frac{f(x) - f(-x)}{2}}_{\text{विषम}},

और जो फलन सम भी हो और विषम भी, वह शून्य है। ( $\exp$ पर लगाने से यह अध्याय 4 की जोड़ी $(\cosh, \sinh)$ ही है।)

उदाहरण 18.12 ( $K_n[X]$ में एक पूरक जोड़ी)

$a \in K$ नियत कीजिए और $F = \{P \in K_n[X] : P(a) = 0\}$ , $G = \operatorname{Vect}(1)$ (अचर फलन) रखिए। तब $K_n[X] = F \oplus G$ । वस्तुतः $F \cap G$ में वे अचर फलन हैं जो $a$ पर शून्य होते हैं, अर्थात् $\{0\}$ ; और हर $P$ यों विघटित होता है

P = \underbrace{\bigl(P - P(a)\bigr)}_{\in F} + \underbrace{P(a)}_{\in G} .

यह विघटन याद रखने योग्य है: किसी बिंदु पर के मान को घटा देना ही “ $a$ पर शून्य होने वाले फलनों” पर प्रक्षेप करने की मानक विधि है। ध्यान दीजिए कि $F$ एक बड़ी उपसमष्टि है और $G$ एक छोटी; पूरक जोड़ी का किसी भी अर्थ में संतुलित होना आवश्यक नहीं।

उदाहरण 18.13 (पूरक उपसमष्टि कभी अद्वितीय नहीं होती)

$\R^2$ में मान लीजिए $F = \operatorname{Vect}\bigl((1,0)\bigr)$ ( $x$ -अक्ष)। $G = \operatorname{Vect}\bigl((0,1)\bigr)$ और $G' = \operatorname{Vect}\bigl((1,1)\bigr)$ दोनों $F$ के पूरक हैं: प्रत्येक $F$ से केवल $0$ पर मिलता है, और प्रत्येक जोड़ी का योग $\R^2$ है। एक ही सदिश के विघटन भिन्न होते हैं:

(2,\ 1.5) = \underbrace{(2, 0)}_{\in F} + \underbrace{(0, 1.5)}_{\in G} = \underbrace{(0.5,\ 0)}_{\in F} + \underbrace{(1.5,\ 1.5)}_{\in G'} .

वस्तुतः $F$ के अतिरिक्त हर रेखा $\R^2$ में $F$ की पूरक है: पूरक भरपूर मात्रा में हैं, और जब तक कोई अतिरिक्त संरचना (अंतर्गुणन, अध्याय 23) किसी एक को न चुन ले, तब तक “वह” पूरक कहना निरर्थक है।

ℝ2 के एक ही बिंदु के F (x-अक्ष) के अनुदिश दो विघटन: पूरक G के साथ (लंबवत गिरावट) और पूरक G' के साथ (तिरछी गिरावट)। F-घटक भिन्न हैं: प्रक्षेप उतरने की दिशा पर निर्भर करता है। — $\R^2$ के एक ही बिंदु के $F$ ( $x$ -अक्ष) के अनुदिश दो विघटन: पूरक $G$ के साथ (लंबवत गिरावट) और पूरक $G'$ के साथ (तिरछी गिरावट)। $F$ -घटक भिन्न हैं: प्रक्षेप उतरने की दिशा पर निर्भर करता है।

18.3 स्वतंत्र कुल, जनक कुल, आधार

परिभाषा 18.14

$E$ के सदिशों का कुल $(x_1, \dots, x_p)$ :

( $E$ का) जनक कहलाता है जब $\operatorname{Vect}(x_1,\dots,x_p) = E$ ;
स्वतंत्र (उसके सदिश रैखिकतः स्वतंत्र) कहलाता है जब

$\lambda_1 x_1 + \dots + \lambda_p x_p = 0 \implies \lambda_1 = \dots = \lambda_p = 0 ;$

अन्यथा परतंत्र;
और आधार कहलाता है जब वह स्वतंत्र भी हो और जनक भी।

प्रतिज्ञप्ति 18.15 (निर्देशांक)

$(e_1, \dots, e_n)$ $E$ का आधार है तभी जब हर $x \in E$ अद्वितीय रूप से संयोजन $x = \lambda_1 e_1 + \dots + \lambda_n e_n$ हो; और अदिश $\lambda_i$ उस आधार में $x$ के निर्देशांक कहलाते हैं।

उपपत्ति. जनक होना $=$ विघटन का अस्तित्व। अद्वितीयता $=$ स्वतंत्रता: एक ही $x$ के दो विघटन ऐसे संयोजन जितने भिन्न होते हैं जो $0$ के बराबर है; स्वतंत्रता उसके सभी गुणांकों को — अर्थात् निर्देशांकों के अंतरों को — शून्य होने पर बाध्य कर देती है। विलोमतः, कोई अतुच्छ शून्य संयोजन दो विघटन $0 = \sum \lambda_i e_i = \sum 0\,e_i$ दे देता है। ∎

उदाहरण 18.16

$K^n$ का विहित आधार: $e_i = (0, \dots, 1, \dots, 0)$ ( $i$ स्थान पर $1$ )। एकपदी $(1, X, X^2, \dots, X^n)$ : $K_n[X]$ का एक आधार (स्वतंत्रता: शून्य संयोजन शून्य बहुपद है, अतः सभी गुणांक शून्य हो जाते हैं, परिभाषा 8.1)। $\R$ पर $\C$ में: आधार $(1, \iu)$ ।

टिप्पणी 18.17 (निर्देशांक सामूहिक परिश्रम हैं)

किसी आधार $(e_1, \dots, e_n)$ में $x$ का पहला निर्देशांक सभी आधार-सदिशों पर निर्भर करता है, केवल $e_1$ पर नहीं। $\R^2$ में: सदिश $(3, 1)$ का पहला निर्देशांक विहित आधार में $3$ है, पर आधार $\bigl((1,0), (1,1)\bigr)$ में $2$ — $(3,1) = a(1,0) + b(1,1)$ हल कीजिए: $b = 1$ , $a = 2$ । एक आधार-सदिश बदलने से हर निर्देशांक फिर से फेंटा जाता है; अध्याय 21 इस फेंटने को आधार-परिवर्तन आव्यूह में बाँध देगा।

उदाहरण 18.18 (संभावित आधार की जाँच, आदि से अंत तक)

क्या $\mathcal{F} = (1 + X,\ 1 + X^2,\ X + X^2)$ $\R_2[X]$ का आधार है? तीनों बहुपदों को $u_1, u_2, u_3$ लिखिए। स्वतंत्रता: शून्य संयोजन $a\,u_1 + b\,u_2 + c\,u_3 = 0$ से गुणांक-दर-गुणांक मिलता है

a + b = 0, \qquad a + c = 0, \qquad b + c = 0 ;

पहले दो को घटाने पर $b = c$ , फिर तीसरे से $2b = 0$ मिलता है: $a = b = c = 0$ , अतः स्वतंत्र। जनक होना: तीन निकाय हल करने के बदले सममित संयोजन पर ध्यान दीजिए

u_1 + u_2 - u_3 = (1 + X) + (1 + X^2) - (X + X^2) = 2 ,

अतः $1 = \frac12(u_1 + u_2 - u_3)$ ; फिर

X = u_1 - 1 = \tfrac12\bigl(u_1 - u_2 + u_3\bigr), \qquad X^2 = u_2 - 1 = \tfrac12\bigl(-u_1 + u_2 + u_3\bigr).

एकपदी जनित समष्टि में हैं, अतः सब कुछ उसमें है: $\mathcal{F}$ एक आधार है। बोनस के रूप में, तीनों प्रदर्शित पंक्तियों को जोड़ देने पर किसी भी $P = \alpha + \beta X + \gamma X^2$ के निर्देशांक मिल जाते हैं:

P = \frac{\alpha + \beta - \gamma}{2}\,u_1 + \frac{\alpha - \beta + \gamma}{2}\,u_2 + \frac{-\alpha + \beta + \gamma}{2}\,u_3 .

( $P = X$ के साथ जाँच: निर्देशांक $\bigl(\frac12, -\frac12, \frac12\bigr)$ , जैसा ऊपर मिला था।) दो सीखें: कुल में छिपी सममिति प्रायः कोई छोटा रास्ता देने वाला संयोजन छिपाए रहती है; और विमा उपलब्ध होते ही (अध्याय 19) इस काम का पूरा जनक-वाला आधा हिस्सा मुफ़्त में मिल जाएगा — $3$ -विमीय समष्टि के तीन स्वतंत्र सदिश सदा आधार बनाते हैं।

प्रतिज्ञप्ति 18.19 (स्वतंत्रता की उपयोगी कसौटियाँ)

युग्मशः भिन्न घातों वाले अशून्य बहुपदों का कुल स्वतंत्र होता है।
किसी स्वतंत्र कुल में एक सदिश जोड़ने पर वह स्वतंत्र बना रहता है तभी जब वह सदिश उस कुल की जनित समष्टि के बाहर हो।
स्वतंत्र कुल का कोई भी उपकुल स्वतंत्र होता है; और किसी जनक कुल को समाहित करने वाला कोई भी कुल जनक होता है।

उपपत्ति. (1) किसी शून्य संयोजन में उपस्थित उच्चतम घात देखिए: उसका गुणांक शून्य होना ही है (उस घात को कोई नहीं काटता), और फिर सीढ़ी दर सीढ़ी नीचे उतरिए।

(2) यदि $x \in \operatorname{Vect}(x_1, \dots, x_p)$ , तो संबंध $x - \sum\lambda_i x_i = 0$ अतुच्छ है। विलोमतः, $(x_1, \dots, x_p, x)$ का कोई अतुच्छ शून्य संयोजन $x$ को अशून्य गुणांक के साथ लिए बिना नहीं रह सकता (अन्यथा वह छोटे कुल की स्वतंत्रता का विरोध करेगा), और $x$ के लिए हल करने पर वह जनित समष्टि में आ जाता है।

(3) उपकुल: उपकुल का कोई शून्य संयोजन पूरे कुल का ही शून्य संयोजन है जिसमें अनुपस्थित गुणांक $0$ रख दिए गए हों; बड़े कुल की स्वतंत्रता उन सबको मार देती है। अधिकुल: $E$ का हर सदिश पहले से ही जनक भाग का संयोजन है; अतिरिक्त सदिशों को गुणांक $0$ दे दीजिए। ∎

उदाहरण 18.20 (सीढ़ी सिद्धांत)

मान लीजिए $P_0, P_1, \dots, P_n \in K_n[X]$ ऐसा है कि प्रत्येक $k$ के लिए $\deg P_k = k$ (घातों की एक “सीढ़ी”)। तब $(P_0, \dots, P_n)$ $K_n[X]$ का आधार है। स्वतंत्रता प्रतिज्ञप्ति 18.19 (1) है। जनक होने के लिए घात पर परिमित अवरोहण से तर्क कीजिए: मान लीजिए $Q \in K_n[X]$ , $Q \neq 0$ , जिसकी घात $d$ और अग्र गुणांक $a$ है, और $b \neq 0$ $P_d$ का अग्र गुणांक है। तब $Q - \frac ab P_d$ की घात $< d$ है (शीर्ष पद कट जाते हैं); $Q$ को इस अंतर से बदलकर दोहराने पर अधिक से अधिक $n + 1$ चरणों में शून्य बहुपद तक पहुँच जाते हैं, और घटावों को उलटकर खोलने पर $Q$ $P_k$ के संयोजन के रूप में व्यक्त हो जाता है। दो सीढ़ियाँ पहले ही मिल चुकी हैं: सरकाई हुई घातें $\bigl((X-a)^k\bigr)_{0 \leq k \leq n}$ (अभ्यास 18.4), और न्यूटन गुणनफल $\bigl((X - x_0)(X - x_1)\cdots(X - x_{k-1})\bigr)_{0 \leq k \leq n}$ , जिन्हें सप्ताहांत समस्या में काम पर लगाया गया है।

उदाहरण 18.21 (फलन समष्टियों में स्वतंत्रता)

$\mathcal{F}(\R,\R)$ में $a_1 < \dots < a_p$ के साथ कुल $(\eu^{a_1 x}, \dots, \eu^{a_p x})$ स्वतंत्र है: किसी शून्य संयोजन को $\eu^{a_p x}$ से भाग दीजिए और $x \to +\infty$ लीजिए; अंतिम गुणांक मर जाता है, और फिर सीढ़ी दर सीढ़ी नीचे उतरा जाता है (अभ्यास 18.8 इसे और इसके रूपांतरों को विस्तार से देता है)। फलनों की स्वतंत्रता मूल्यांकन से सिद्ध की जाती है: सुचुने हुए बिंदुओं पर, अनंत पर, अथवा अवकलन के बाद।

उदाहरण 18.22 (एक छिपा संबंध जनित समष्टि को सिकोड़ देता है)

$\mathcal{F}(\R, \R)$ में $\operatorname{Vect}(1,\ \cos^2,\ \sin^2)$ क्या है? सर्वसमिका $\cos^2 + \sin^2 = 1$ एक अतुच्छ शून्य संयोजन है

1\cdot\mathbf{1} + (-1)\cos^2 + (-1)\sin^2 = 0 :

अतः कुल परतंत्र है, और जनित समष्टि पहले से ही अकेले $(1, \cos^2)$ से जनित है ( $\sin^2 = 1 - \cos^2$ )। वह छोटा कुल स्वतंत्र है: सभी $x$ के लिए $a + b\cos^2 x = 0$ से $x = 0$ और $x = \frac\pi2$ पर मिलता है: $a + b = 0$ और $a = 0$ । अतः जनित समष्टि फलन समष्टि के भीतर एक समतल है — और उसमें $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$ भी है: त्रिकोणमितीय फलनों के जो कुल देखने में स्वतंत्र लगते हैं, वे सर्वसमिकाओं के नीचे आए दिन ढह जाते हैं, और यही कारण है कि स्वतंत्रता सिद्ध करनी पड़ती है, सूची की लंबाई देखकर मान कभी नहीं लेनी चाहिए।

टिप्पणी 18.23 (सामान्य भूलें)

चार शास्त्रीय जाल। युग्मशः देखना पर्याप्त नहीं है: $\R^2$ में सदिश $(1,0)$ , $(0,1)$ , $(1,1)$ युग्मशः अनुपाती नहीं हैं, फिर भी परतंत्र हैं — स्वतंत्रता पूरे कुल का गुण है, जिसे एक ही वैश्विक संयोजन से जाँचा जाता है, दो-दो करके कभी नहीं। शून्य सदिश सब कुछ विषैला कर देता है: $0$ को समाहित करने वाला कोई भी कुल परतंत्र है ( $1\cdot 0 = 0$ एक अतुच्छ संबंध है), शेष सदिश चाहे कितने ही निर्दोष क्यों न हों। संघ योग नहीं है: $F \cup G$ लगभग कभी उपसमष्टि नहीं होता (परिभाषा 18.3); दोनों को समाहित करने वाली सबसे छोटी उपसमष्टि $F + G$ है, जो प्रायः संघ से कहीं बड़ी होती है — $\R^2$ में दो भिन्न रेखाओं का संघ केवल दो कटती हुई रेखाएँ हैं, पर योग पूरा समतल। प्रत्यक्ष होने के लिए तुच्छ सर्वनिष्ठ चाहिए, असंयुक्तता नहीं: दो उपसमष्टियाँ कभी असंयुक्त नहीं होतीं (दोनों में $0$ है); सही प्रतिबंध $F \cap G = \{0\}$ है, और उसे सिद्ध करना पड़ता है, किसी चित्र से पढ़ नहीं लिया जाता — उदाहरण 18.13 देखिए, जहाँ अनेक भिन्न $G$ चलते हैं। स्वतंत्रता अदिशों पर निर्भर करती है: जोड़ी $(1, \iu)$ $\R$ -सदिश समष्टि के रूप में देखे गए $\C$ में स्वतंत्र है, पर $\C$ -सदिश समष्टि के रूप में देखे गए $\C$ में परतंत्र ( $\iu\cdot 1 + (-1)\cdot\iu = 0$ )। किसी कुल को स्वतंत्र घोषित करने से पहले यह सदा जान लीजिए कि कौन-सा क्षेत्र काम कर रहा है — अध्याय 19 की सप्ताहांत समस्या ठीक इसी संवेदनशीलता को अपरिमेयता की उपपत्तियों में बदल देती है।

टिप्पणी 18.24 (यह भाषा कहाँ जाती है)

इस अध्याय के बाद का सब कुछ यहीं रची गई भाषा बोलता है। अध्याय 19 आधार-सदिशों की गिनती करता है और “स्वतंत्र” तथा “जनक” को एक ही पूर्णांक — विमा — पर की असमिकाओं में बदल देता है। अध्याय 20 उन प्रतिचित्रणों का अध्ययन करता है जो दोनों संक्रियाओं के अनुकूल हों; वहाँ प्रत्यक्ष योग प्रक्षेपक बन जाते हैं। अध्याय 21 सदिशों को किसी आधार में उनके निर्देशांकों से कूटबद्ध करता है — और प्रतिज्ञप्ति 18.15 उस कूटबद्धता का लाइसेंस है — तथा अध्याय 23 रैखिक संरचना के ऊपर लंबाइयाँ और कोण जोड़ देता है। स्नातक वर्ष 2 के खंड में वही अभिगृहीत, अक्षरशः, किसी भी क्षेत्र पर और अनंत विमा में चलते हैं; इस अध्याय में कहीं भी परिमितता का प्रयोग नहीं हुआ।

टिप्पणी 18.25 (पुस्तक 3 भर पीछा करने योग्य तीन धागे)

इस अध्याय के तीन विशिष्ट विचारों को बढ़ते हुए देखिए। सीढ़ी सिद्धांत (उदाहरण 18.20) इसी अध्याय की सप्ताहांत समस्या में न्यूटन आधार के रूप में लौटता है, वहीं द्विपद आधार $(B_k)$ के रूप में, और अध्याय 22 की सप्ताहांत समस्या में बहुपदीय एकांतरक वाली चाल के रूप में: एक प्रमेयिका, तीन सारणिक-मुक्त लाभांश। स्वतंत्रता की कसौटी के रूप में मूल्यांकन (उदाहरण 18.21) अध्याय 20 की अंतर्वेशन तुल्याकारिता बन जाता है, फिर अध्याय 22 की वांडरमोंड कसौटी, फिर अध्याय 23 की ग्राम कसौटी: वही प्रतिवर्त, तीन बार तीक्ष्ण किया हुआ। प्रत्यक्ष योग (परिभाषा 18.7) अध्याय 20 में प्रक्षेपक बन जाते हैं, अध्याय 23 में लांबिक विभाजन $E = F \oplus F^\perp$ , और अध्याय 25 की सप्ताहांत समस्या में न्यूनतम वर्गों का व्याख्यात-जमा-अवशिष्ट विघटन। इस पुस्तक का बहुत थोड़ा ही ऐसा है जो मूलतः इन तीन विचारों में से किसी एक का नया वस्त्र पहने रूप न हो।

18.4 अभ्यास

अभ्यास 18.1 ★

निम्नलिखित में से कौन-से उपसमष्टि हैं?

$\{(x, y, z) \in \R^3 : x + 2y - z = 0\}$ ;
$\{(x, y, z) \in \R^3 : x + 2y - z = 1\}$ ;
$\{(x, y) \in \R^2 : xy \geq 0\}$ ;
$\{P \in \R[X] : P(1) = 0\}$ ;
$\{f \in \mathcal{F}(\R,\R) : f \text{ परिबद्ध}\}$ .

हल

हल — अभ्यास 18.1.

हाँ: उसमें $0$ है, और परिभाषक समीकरण रैखिक है ( $x + \lambda y$ के अंतर्गत स्थायी)।
नहीं: उसमें $(0,0,0)$ नहीं है।
नहीं: $(1, 0)$ और $(0, -1)$ उसमें हैं ( $xy = 0$ ), पर उनका योग $(1, -1)$ नहीं ( $xy = -1 < 0$ )।
हाँ: $0$ $1$ पर शून्य होता है; $(P + \lambda Q)(1) = P(1) + \lambda Q(1) = 0$ ।
हाँ: शून्य फलन परिबद्ध है; और यदि $\abs f \leq M$ तथा $\abs g \leq M'$ , तो $\abs{f + \lambda g} \leq M + \abs\lambda M'$ ।

अभ्यास 18.2 ★

$\R^3$ में, क्या $(1, 2, 1)$ $\operatorname{Vect}\bigl((1,0,1),\, (1,1,0)\bigr)$ में है? और $(2, 1, 1)$ ? $\operatorname{Vect}\bigl((1,0,1),(1,1,0)\bigr)$ का वर्णन किसी समीकरण से कीजिए।

हल

हल — अभ्यास 18.2.

$(1,2,1) = a(1,0,1) + b(1,1,0)$ के लिए $a + b = 1$ , $b = 2$ , $a = 1$ चाहिए: जो असंगत है ( $a + b = 3 \neq 1$ ): अतः जनित समष्टि में नहीं। $(2,1,1) = a(1,0,1) + b(1,1,0)$ : $b = 1$ , $a = 1$ , $a + b = 2$ : संगत, अतः $(2,1,1) = (1,0,1) + (1,1,0)$ , और वह जनित समष्टि में है।

समीकरण: $(x, y, z) = (a + b, b, a)$ का अर्थ है $x = y + z$ : अतः जनित समष्टि समतल $\{x - y - z = 0\}$ है।

अभ्यास 18.3 ★

$\R^3$ में स्वतंत्रता तय कीजिए: $\;\bigl((1,1,0), (1,0,1), (0,1,1)\bigr)$ ; $\;\bigl((1,2,3), (2,4,6)\bigr)$ ; $\;\bigl((1,0,0), (1,1,0), (1,1,1), (0,1,1)\bigr)$ ।

हल

हल — अभ्यास 18.3.

पहला कुल: $\lambda(1,1,0) + \mu(1,0,1) + \nu(0,1,1) = 0$ से $\lambda + \mu = 0$ , $\lambda + \nu = 0$ , $\mu + \nu = 0$ मिलता है: जोड़ने पर $2(\lambda + \mu + \nu) = 0$ , और हर समीकरण को घटाने पर $\lambda = \mu = \nu = 0$ : अतः स्वतंत्र।

दूसरा: $(2,4,6) = 2(1,2,3)$ : परतंत्र।

तीसरा: $\R^3$ में चार सदिश — विमा उपलब्ध होते ही अनिवार्यतः परतंत्र (अध्याय 19); सीधे: $(0,1,1) = -(1,0,0) + 0\cdot(1,1,0) + (1,1,1)$ , वस्तुतः $(-1,0,0) + (1,1,1) = (0,1,1)$ : अर्थात् एक अतुच्छ संबंध।

अभ्यास 18.4 ★

सिद्ध कीजिए कि $(1, X - 1, (X-1)^2, (X-1)^3)$ $\R_3[X]$ का आधार है, और उसमें $X^3$ के निर्देशांक दीजिए। ( $1$ पर टेलर!)

हल

हल — अभ्यास 18.4.

बहुपदों $1, (X-1), (X-1)^2, (X-1)^3$ की घातें भिन्न-भिन्न हैं $0, 1, 2, 3$ : अतः स्वतंत्र (प्रतिज्ञप्ति 18.19 (1)); और चार स्वतंत्र सदिश जनक भी हैं (हर $P \in \R_3[X]$ $X - 1$ की घातों में प्रसारित हो जाता है, जैसे बहुपदों के लिए टेलर से; प्रतिज्ञप्ति 8.11 की उपपत्ति देखिए): अतः आधार। $X^3$ के लिए $1$ पर टेलर: $P = X^3$ , $P(1) = 1$ , $P'(1) = 3$ , $P''(1) = 6$ , $P'''(1) = 6$ :

X^3 = 1 + 3(X - 1) + 3(X-1)^2 + (X-1)^3 ,

निर्देशांक $(1, 3, 3, 1)$ (पास्कल की पंक्ति, जैसी $X^3 = ((X-1)+1)^3$ से अपेक्षित थी)।

अभ्यास 18.5 ★★

$\R^4$ में मान लीजिए $F = \{(x,y,z,t) : x = y = z\}$ और $G = \{(x,y,z,t) : x = t = 0\}$ । सिद्ध कीजिए कि $F \oplus G = \R^4$ , और $(1,2,3,4)$ का तदनुसार विघटन कीजिए।

हल

हल — अभ्यास 18.5.

$F \cap G$ : प्रतिबंध $x = y = z$ और $x = t = 0$ मिलकर $x = 0$ देते हैं, अतः $y = z = 0$ , और $t = 0$ : सर्वनिष्ठ $\{0\}$ है। योग: $(x,y,z,t)$ दिया हो, तो $(a,a,a,b) \in F$ और $(0,c,d,0) \in G$ ऐसे खोजिए जिनका योग वही हो: $a = x$ , $b = t$ , $c = y - x$ , $d = z - x$ : यह सदा संभव है। अतः $\R^4 = F \oplus G$ , और

(1,2,3,4) = (1,1,1,4) + (0,1,2,0) .

अभ्यास 18.6 ★★

अनुक्रमों की समष्टि में मान लीजिए $F$ अभिसारी अनुक्रमों का समुच्चय है और $G = \operatorname{Vect}(u)$ , जहाँ $u_n = (-1)^n$ । सिद्ध कीजिए कि $F \cap G = \{0\}$ । क्या $F + G$ अनुक्रमों की पूरी समष्टि है?

हल

हल — अभ्यास 18.6.

$G$ का कोई अवयव $\lambda u$ है; यदि वह अभिसरित होता है, तो (चूँकि $\lambda u_n = \lambda(-1)^n$ के दो उपानुक्रमीय सीमा-मान $\pm \lambda$ हैं) अनिवार्यतः $\lambda = 0$ : $F \cap G = \{0\}$ ।

$F + G$ सब कुछ नहीं है: उसमें $(c_n)$ के अभिसारी होने पर $c_n + \lambda(-1)^n$ रूप के अनुक्रम हैं। अनुक्रम $v_n = n$ इस रूप का नहीं है ( $v_n - \lambda(-1)^n$ अपरिबद्ध है, अतः कभी अभिसारी नहीं)। अतः $F \oplus G \subsetneq$ (सभी अनुक्रमों की समष्टि)।

अभ्यास 18.7 ★★

मान लीजिए $F, G, H$ $E$ की उपसमष्टियाँ हैं। सिद्ध कीजिए कि

F \cap (G + (F \cap H)) = (F \cap G) + (F \cap H),

और $\R^2$ में एक उदाहरण से दिखाइए कि अप्रतिबंधित वितरण नियम $F \cap (G + H) = (F\cap G) + (F \cap H)$ विफल हो जाता है।

हल

हल — अभ्यास 18.7.

( $\supseteq$ ) $F \cap G$ और $F \cap H$ दोनों $F$ में हैं, और उनका योग $G + (F \cap H)$ में है: अंतर्विष्टता इसी से आ जाती है, क्योंकि बायाँ पक्ष दोनों टुकड़ों को समाहित करने वाली उपसमष्टि है — ठोस रूप से, $g \in F\cap G$ , $h \in F \cap H$ के साथ कोई अवयव $g + h$ $F$ में है ( $F$ के दो अवयवों का योग) और $G + (F \cap H)$ में भी।

( $\subseteq$ ) मान लीजिए $x = g + h$ , $g \in G$ , $h \in F \cap H$ के साथ $x \in F$ । तब $g = x - h \in F$ ( $F$ के अवयवों का अंतर), अतः $g \in F \cap G$ , और $x = g + h \in (F \cap G) + (F \cap H)$ ।

$\R^2$ में पूर्ण वितरण नियम का प्रति-उदाहरण: $F = \operatorname{Vect}(1,1)$ , $G = \operatorname{Vect}(1,0)$ , $H = \operatorname{Vect}(0,1)$ । तब $G + H = \R^2$ , अतः $F \cap (G+H) = F$ , जबकि $F \cap G = F \cap H = \{0\}$ : दायाँ पक्ष $\{0\} \neq F$ है।

अभ्यास 18.8 ★★★

सिद्ध कीजिए कि $\mathcal{F}(\R, \R)$ के निम्नलिखित कुल स्वतंत्र हैं:

$a_1 < \dots < a_p$ के लिए $(\eu^{a_1 x}, \dots, \eu^{a_p x})$ ;
$(\cos x, \sin x, \cos 2x, \sin 2x)$ ;
भिन्न-भिन्न $a_i$ के लिए $(x \mapsto \abs{x - a_1}, \dots, x \mapsto \abs{x - a_p})$ (हर फलन के लिए अवकलनीयता ठीक एक बिंदु पर विफल होती है)।

हल

हल — अभ्यास 18.8.

मान लीजिए सभी $x$ के लिए $\sum_{i} \lambda_i \eu^{a_i x} = 0$ । $\eu^{-a_p x}$ से गुणा कीजिए: $x \to +\infty$ होने पर $\lambda_p + \sum_{i < p} \lambda_i \eu^{(a_i - a_p)x} \to \lambda_p$ (हर घातांक $a_i - a_p < 0$ )। बायाँ पक्ष सर्वसम रूप से $0$ है, अतः $\lambda_p = 0$ ; और यही नीचे की ओर दोहराइए।
मान लीजिए सभी $x$ के लिए $a\cos x + b \sin x + c \cos 2x + d\sin 2x = 0$ । $x = 0$ पर मूल्यांकन कीजिए: $a + c = 0$ ; $x = \pi$ पर: $-a + c = 0$ ; अतः $a = c = 0$ , और संबंध घटकर $b\sin x + d \sin 2x = 0$ रह जाता है। $x = \frac\pi2$ पर मूल्यांकन कीजिए: $b = 0$ ; फिर $x = \frac\pi4$ पर: $d = 0$ ।
मान लीजिए सभी $x$ के लिए $\sum \lambda_i \abs{x - a_i} = 0$ । फलन $\sum_{i \neq j} \lambda_i\abs{x - a_i}$ $a_j$ पर अवकलनीय है (हर पद अपने कोने से दूर अवकलनीय है), अतः उनका अंतर $-\lambda_j \abs{x - a_j}$ भी $a_j$ पर अवकलनीय होना ही चाहिए — और यह $\lambda_j = 0$ को बाध्य कर देता है ( $\abs{\,\cdot\,}$ में एक कोना है)। यह हर $j$ के लिए लागू होता है।

अभ्यास 18.9 ★★★

मान लीजिए $E$ एक $K$ -सदिश समष्टि है और $F, G, H$ ऐसी उपसमष्टियाँ हैं कि $F + G = F + H$ , $F \cap G = F \cap H$ और $G \subseteq H$ । सिद्ध कीजिए $G = H$ । $G \subseteq H$ की परिकल्पना के बिना एक प्रति-उदाहरण दीजिए।

हल

हल — अभ्यास 18.9.

मान लीजिए $h \in H$ । चूँकि $h \in H \subseteq F + H = F + G$ , अतः $f \in F$ , $g \in G$ के साथ $h = f + g$ लिखिए। तब $f = h - g \in H$ (दोनों पद $H$ में हैं, $G \subseteq H$ का प्रयोग करते हुए), अतः $f \in F \cap H = F \cap G \subseteq G$ , और $h = f + g \in G$ । अतः $H \subseteq G$ , और परिकल्पना $G \subseteq H$ के साथ: समानता।

$G \subseteq H$ के बिना प्रति-उदाहरण: $\R^2$ में $F = \operatorname{Vect}(1,0)$ , $G = \operatorname{Vect}(0,1)$ , $H = \operatorname{Vect}(1,1)$ लीजिए: तब $F + G = F + H = \R^2$ और $F \cap G = F \cap H = \{0\}$ , फिर भी $G \neq H$ ।

अभ्यास 18.10 ★★

$\R[X]$ में मान लीजिए $\mathcal P$ सम बहुपदों का समुच्चय है ( $P(-X) = P(X)$ ) और $\mathcal I$ विषम बहुपदों का ( $P(-X) = -P(X)$ )। सिद्ध कीजिए कि $\R[X] = \mathcal P \oplus \mathcal I$ , और दिखाइए कि $\mathcal P = \operatorname{Vect}(1, X^2, X^4, \dots)$ , अर्थात् सम बहुपद ठीक $X^2$ के बहुपद हैं।

हल

हल — अभ्यास 18.10.

दोनों समुच्चय उपसमष्टियाँ हैं (परिभाषक प्रतिबंध रैखिक हैं और $0$ के लिए सत्य हैं)। विघटन: $P \in \R[X]$ के लिए,

P(X) = \underbrace{\frac{P(X) + P(-X)}{2}}_{\in\,\mathcal P} + \underbrace{\frac{P(X) - P(-X)}{2}}_{\in\,\mathcal I},

और जो बहुपद सम भी हो और विषम भी, वह $P = -P$ संतुष्ट करता है, अतः $P = 0$ : इस प्रकार योग प्रत्यक्ष है और $\R[X]$ के बराबर है।

अब मान लीजिए $P = \sum_k a_k X^k$ सम है। तब $P(X) - P(-X) = 2 \sum_{k \text{ विषम}} a_k X^k$ शून्य बहुपद है, अतः विषम घात वाला हर गुणांक शून्य हो जाता है (परिभाषा 8.1): $P \in \operatorname{Vect}(1, X^2, X^4, \dots)$ , अर्थात् किसी बहुपद $Q$ के लिए $P = Q(X^2)$ । विलोमतः $X^2$ का हर बहुपद सम है।

अभ्यास 18.11 ★★

मान लीजिए $(x_1, x_2, x_3)$ किसी वास्तविक सदिश समष्टि $E$ का स्वतंत्र कुल है। सिद्ध कीजिए कि $(x_1 + x_2,\ x_2 + x_3,\ x_3 + x_1)$ स्वतंत्र है। जब $(x_1, x_2, x_3, x_4)$ स्वतंत्र हो, तो क्या चार सदिशों वाला तदनुरूप कुल $(x_1 + x_2,\ x_2 + x_3,\ x_3 + x_4,\ x_4 + x_1)$ भी स्वतंत्र होता है?

हल

हल — अभ्यास 18.11.

मान लीजिए $a(x_1 + x_2) + b(x_2 + x_3) + c(x_3 + x_1) = 0$ । स्वतंत्र कुल $(x_1, x_2, x_3)$ पर फिर से समूहबद्ध करने पर:

(a + c)\,x_1 + (a + b)\,x_2 + (b + c)\,x_3 = 0 \implies a + c = a + b = b + c = 0 .

पहले दो समीकरणों को घटाने पर $c = b$ मिलता है; फिर तीसरे से $2b = 0$ , अतः $b = c = 0$ , और फिर $a = 0$ : अतः कुल स्वतंत्र है।

चार सदिशों के लिए तदनुरूप कुल सदा परतंत्र होता है:

(x_1 + x_2) - (x_2 + x_3) + (x_3 + x_4) - (x_4 + x_1) = 0

एक अतुच्छ शून्य संयोजन है (गुणांक $1, -1, 1, -1$ ), $(x_1, x_2, x_3, x_4)$ चाहे जो भी हो। निर्णय चक्र की लंबाई की समता करती है।

अभ्यास 18.12 ★★★

मान लीजिए $E$ $\R$ (अथवा $\C$ ) पर एक सदिश समष्टि है और $F_1, \dots, F_k$ $E$ की उचित उपसमष्टियाँ हैं (प्रत्येक $F_i \neq E$ )।

$k = 2$ की स्थिति सीधे निपटाइए: यदि $F_1 \not\subseteq F_2$ और $F_2 \not\subseteq F_1$ , तो $x \in F_1 \setminus F_2$ और $y \in F_2 \setminus F_1$ चुनिए और $x + y$ का स्थान बताइए।
व्यापक रूप से सिद्ध कीजिए कि $E \neq F_1 \cup \dots \cup F_k$ : किसी अनंत क्षेत्र पर की सदिश समष्टि कभी उचित उपसमष्टियों का परिमित संघ नहीं होती। ( $k$ को न्यूनतम लीजिए, शेष $F_i$ के बाहर $x \in F_1$ चुनिए, $y \notin F_1$ चुनिए, और रेखा $t \mapsto y + tx$ का पीछा कीजिए।)

हल

हल — अभ्यास 18.12.

यदि $F_1 \subseteq F_2$ अथवा $F_2 \subseteq F_1$ , तो संघ दोनों में से एक ही है, अतः उचित है। अन्यथा $x \in F_1 \setminus F_2$ और $y \in F_2 \setminus F_1$ चुनिए, और $x + y$ पर विचार कीजिए। यदि $x + y \in F_1$ , तो $y = (x + y) - x \in F_1$ : विरोधाभास। यदि $x + y \in F_2$ , तो $x \in F_2$ : विरोधाभास। अतः $x + y \notin F_1 \cup F_2$ , और $E \neq F_1 \cup F_2$ ।
विरोधाभास के लिए मान लीजिए $E = F_1 \cup \dots \cup F_k$ , जहाँ $k$ ऐसे सभी आच्छादनों में न्यूनतम चुना गया है। न्यूनतमता $F_1 \subseteq F_2 \cup \dots \cup F_k$ को मना कर देती है (अन्यथा $F_1$ हटा दीजिए), अतः ऐसा $x \in F_1$ है कि सभी $i \geq 2$ के लिए $x \notin F_i$ । चूँकि $F_1$ उचित है, $y \notin F_1$ चुनिए। हर अदिश $t$ के लिए सदिश $y + t x$ किसी न किसी $F_i$ में है। वह कभी $F_1$ में नहीं होता: अन्यथा $y = (y + tx) - tx \in F_1$ (क्योंकि $x \in F_1$ )। क्षेत्र अनंत है, अतः $k$ भिन्न-भिन्न अदिश $t_1, \dots, t_k$ चुनिए: $k$ सदिश $y + t_j x$ $k - 1$ उपसमष्टियों $F_2, \dots, F_k$ में गिरते हैं, और उनमें से दो, मान लीजिए $t \neq t'$ के साथ $y + t x$ और $y + t' x$ , एक ही $F_i$ में होंगे ( $i \geq 2$ )। तब उनका अंतर $(t - t')x \in F_i$ , अतः $x \in F_i$ : विरोधाभास। अतः उचित उपसमष्टियों द्वारा कोई परिमित आच्छादन है ही नहीं।

18.5 समस्या: अंतर्वेशन, एक समष्टि के लिए तीन आधार

समस्या 18.1

$\R$ के $n + 1$ भिन्न-भिन्न बिंदु $x_0, x_1, \dots, x_n$ नियत कीजिए। यह समस्या लाग्रांज अंतर्वेशन (प्रमेय 8.23) को इस अध्याय की आँखों से फिर से देखती है: समष्टि $\R_n[X]$ तीन स्वाभाविक आधार धारण करती है — लाग्रांज का, न्यूटन का, और (समान अंतराल वाले बिंदुओं के लिए) द्विपद आधार — और हर आधार किसी एक प्रश्न को आसान बना देता है। रास्ता एक सच्ची अंकगणितीय प्रमेय पर समाप्त होता है: $\Z$ को $\Z$ में भेजने वाले बहुपदों का पोल्या द्वारा दिया गया अभिलक्षण।

भाग I — लाग्रांज आधार। $0 \leq i \leq n$ के लिए रखिए

L_i \;=\; \prod_{j \neq i} \frac{X - x_j}{x_i - x_j} \;\in\; \R_n[X].

जाँचिए कि $\deg L_i = n$ , और यह कि $j = i$ होने पर $L_i(x_j) = 1$ , तथा $j \neq i$ होने पर $0$ ।
सिद्ध कीजिए कि कुल $(L_0, \dots, L_n)$ स्वतंत्र है।
सिद्ध कीजिए कि हर $P \in \R_n[X]$ के लिए,

$P \;=\; \sum_{i=0}^{n} P(x_i)\, L_i ,$

और निष्कर्ष निकालिए कि $(L_0, \dots, L_n)$ $\R_n[X]$ का आधार है। (दोनों पक्षों का अंतर लीजिए और उसके मूल गिनिए, उपप्रमेय 8.8।)
अंतर्वेशन प्रमेय निकालिए: किन्हीं भी मानों $y_0, \dots, y_n \in \R$ के लिए एक अद्वितीय $P \in \R_n[X]$ ऐसा है कि सभी $i$ के लिए $P(x_i) = y_i$ । लाग्रांज आधार में किसी बहुपद $P$ के निर्देशांक क्या हैं?
सर्वसमिकाएँ सिद्ध कीजिए

$\sum_{i=0}^{n} L_i = 1 \qquad\text{और, यदि } 0 \leq k \leq n,\qquad \sum_{i=0}^{n} x_i^{k}\, L_i = X^{k} .$

भाग II — न्यूटन आधार और विभाजित अंतर। $N_0 = 1$ रखिए और $1 \leq k \leq n$ के लिए $N_k = (X - x_0)(X - x_1) \cdots (X - x_{k-1})$ । गाँठों पर परिभाषित किसी फलन $f$ के लिए विभाजित अंतर यों परिभाषित कीजिए: $f[x_i] = f(x_i)$ और

f[x_i, \dots, x_{i+k}] \;=\; \frac{f[x_{i+1}, \dots, x_{i+k}] - f[x_i, \dots, x_{i+k-1}]} {x_{i+k} - x_i} .

सिद्ध कीजिए कि $(N_0, N_1, \dots, N_n)$ $\R_n[X]$ का आधार है।
$f$ के मानों के पदों में $f[x_0, x_1]$ और $f[x_0, x_1, x_2]$ संगणित कीजिए, फिर तीन स्वेच्छ गाँठों पर $f(x) = x^2$ के सभी विभाजित अंतर संगणित कीजिए।
(ऐटकिन की प्रमेयिका) मान लीजिए $R$ $x_0, \dots, x_{n-1}$ पर $f$ का अंतर्वेशन करता है और $Q$ $x_1, \dots, x_n$ पर $f$ का, और दोनों की घात $\leq n - 1$ है। सिद्ध कीजिए कि

$S \;=\; \frac{(X - x_0)\,Q - (X - x_n)\,R}{x_n - x_0}$

$x_0, x_1, \dots, x_n$ पर $f$ का अंतर्वेशन करता है।
गाँठों की संख्या पर आगमन से निष्कर्ष निकालिए कि $x_0, \dots, x_k$ पर $f$ के अंतर्वेशक में $X^{k}$ का गुणांक ठीक $f[x_0, \dots, x_k]$ है।
न्यूटन का अंतर्वेशन सूत्र सिद्ध कीजिए: $x_0, \dots, x_n$ पर $f$ का अंतर्वेशक है

$P \;=\; \sum_{k=0}^{n} f[x_0, \dots, x_k]\, N_k ,$

और संवृत सूत्र निकालिए

$f[x_0, \dots, x_k] \;=\; \sum_{i=0}^{k} \frac{f(x_i)}{\prod_{j \neq i,\, j \leq k} (x_i - x_j)} ,$

जो दिखाता है कि $f[x_0, \dots, x_k]$ गाँठों के क्रम पर निर्भर नहीं करता।

भाग III — समान अंतराल वाली गाँठें: अंतर संकारक। अब से गाँठें $0, 1, 2, \dots$ हैं और किसी बहुपद $P$ के लिए हम रखते हैं

\Delta P(X) = P(X + 1) - P(X), \qquad B_k = \frac{X(X-1)\cdots(X-k+1)}{k!} \quad (B_0 = 1).

दिखाइए कि यदि $\deg P = m \geq 1$ और उसका अग्र गुणांक $a$ है, तो $\deg \Delta P = m - 1$ और उसका अग्र गुणांक $m\,a$ है, तथा यह कि $\Delta$ अचरों को मार देता है।
दिखाइए कि $(B_0, B_1, \dots, B_n)$ $\R_n[X]$ का आधार है और यह कि $k \geq 1$ के लिए $\Delta B_k = B_{k-1}$ ।
(न्यूटन का अग्र-अंतर सूत्र) सिद्ध कीजिए कि हर $P \in \R_n[X]$ संतुष्ट करता है

$P \;=\; \sum_{k=0}^{n} \bigl(\Delta^{k} P\bigr)(0)\, B_k .$
सिद्ध कीजिए कि हर $k \geq 0$ के लिए,

$\bigl(\Delta^{k} P\bigr)(0) \;=\; \sum_{j=0}^{k} (-1)^{k-j} \binom{k}{j} P(j) .$
दिखाइए कि यदि $\deg P = n$ और उसका अग्र गुणांक $a_n$ है, तो $\Delta^{n} P$ अचर $n!\,a_n$ है और $\Delta^{n+1} P = 0$ ।

भाग IV — पूर्णांक-मान बहुपद। बहुपद $P \in \R[X]$ पूर्णांक-मान तब कहलाता है जब हर $m \in \Z$ के लिए $P(m) \in \Z$ हो।

सिद्ध कीजिए कि प्रत्येक $B_k$ पूर्णांक-मान है। ( $m \geq k$ , $0 \leq m < k$ और $m < 0$ को अलग-अलग निपटाइए; $m = -q < 0$ के लिए $B_k(-q) = (-1)^k \binom{q + k - 1}{k}$ दिखाइए।)
पोल्या का अभिलक्षण सिद्ध कीजिए: $P \in \R_n[X]$ पूर्णांक-मान है तभी जब आधार $(B_0, \dots, B_n)$ में उसके निर्देशांक पूर्णांक हों।
निष्कर्ष निकालिए: यदि $P \in \R_n[X]$ $n + 1$ क्रमागत पूर्णांकों $a, a+1, \dots, a+n$ पर पूर्णांक मान लेता है, तो $P$ पूर्णांक-मान है। (सरकाइए: अध्ययन को $Q(X) = P(X + a)$ पर लगाइए।)
प्रश्न 16 से निष्कर्ष निकालिए कि $k$ क्रमागत पूर्णांकों का गुणनफल सदा $k!$ से विभाज्य होता है।
मान लीजिए $P = \dfrac{X(X+1)(2X+1)}{6}$ । $0, 1, 2, 3$ पर उसकी न्यूटन सारणी संगणित कीजिए, $P$ को आधार $(B_k)$ में लिखिए, और निष्कर्ष निकालिए कि $P$ पूर्णांक-मान है, यद्यपि उसका कोई भी एकपदी गुणांक पूर्णांक नहीं है। $\Delta P = (X+1)^2$ सत्यापित कीजिए और $m \in \N$ के लिए $P(m) = 1^2 + 2^2 + \dots + m^2$ निकालिए।

भाग V — लाभांश।

मान लीजिए $P \in \R_n[X]$ $i = 0, 1, \dots, n$ पर मानों $2^i$ का अंतर्वेशन करता है। दिखाइए कि $P = B_0 + B_1 + \dots + B_n$ और यह कि $P(n + 1) = 2^{n+1} - 1$ : “दुगुना होने का प्रतिरूप” सदा ठीक अगले ही बिंदु पर टूट जाता है।
(विविक्त प्रतिअवकलज) सिद्ध कीजिए कि सभी पूर्णांकों $m \geq 1$ और $k \geq 0$ के लिए,

$\sum_{j=0}^{m-1} B_k(j) \;=\; B_{k+1}(m),$

अर्थात् हॉकी-स्टिक सर्वसमिका $\sum_{j=k}^{m-1} \binom{j}{k} = \binom{m}{k+1}$ ।
$X^2$ और $X^3$ को आधार $(B_k)$ में प्रसारित कीजिए और $\sum_{j=0}^{m-1} j^2$ तथा $\sum_{j=0}^{m-1} j^3$ के लिए संवृत सूत्र निकालिए; निकोमैकस की सर्वसमिका $1^3 + \dots + m^3 = (1 + \dots + m)^2$ फिर से प्राप्त कीजिए।
$n = 2$ और गाँठें $0, 1, 2$ लीजिए। इस समस्या के तीनों आधारों — एकपदी आधार, लाग्रांज आधार, न्यूटन आधार — में $X^2$ के निर्देशांक लिखिए। तीनों उत्तर प्रश्न 4 और 9 के सामने जाँचिए।
संश्लेषण। चार वाक्यों में: कौन-सी सदिश-समष्टि अवधारणा प्रश्न 4 को स्वतः कर देती है; न्यूटन आधार निर्देशांक पुनरावर्ती रूप से क्यों संगणित करता है जबकि लाग्रांज आधार उन्हें तत्काल पढ़ लेता है; दोनों आधार कौन-सी स्वतंत्रता-कसौटी साझा करते हैं; और ठीक किस अर्थ में पोल्या की प्रमेय कहती है कि किसी बहुपद की पूर्णांकता सही आधार में उसके निर्देशांकों का गुण है।

हल

हल — समस्या 18.1.

1. $L_i$ $n$ रैखिक गुणनखंडों का गुणनफल है, जिसे एक अशून्य अचर से भाग दिया गया है ( $x_i$ भिन्न-भिन्न हैं), अतः $\deg L_i = n$ । $j \neq i$ के साथ $x_j$ पर मूल्यांकन करने पर: अंश का गुणनखंड $X - x_j$ शून्य हो जाता है, अतः $L_i(x_j) = 0$ । $x_i$ पर अंश और हर एक ही हैं: $L_i(x_i) = 1$ ।

2. मान लीजिए $\sum_i \lambda_i L_i = 0$ । $x_j$ पर मूल्यांकन कीजिए: $\lambda_j L_j(x_j) = \lambda_j$ को छोड़कर सभी पद मर जाते हैं, अतः हर $j$ के लिए $\lambda_j = 0$ : कुल स्वतंत्र है।

3. मान लीजिए $D = P - \sum_i P(x_i) L_i$ । तब $\deg D \leq n$ और प्रश्न 1 से $n + 1$ भिन्न-भिन्न बिंदुओं $x_0, \dots, x_n$ के लिए $D(x_j) = P(x_j) - P(x_j) = 0$ । $\leq n$ घात वाले किसी अशून्य बहुपद के अधिक से अधिक $n$ मूल होते हैं (उपप्रमेय 8.8), अतः $D = 0$ । इस प्रकार हर $P \in \R_n[X]$ $L_i$ का संयोजन है: कुल जनक है, और प्रश्न 2 के साथ आधार।

4. $y_0, \dots, y_n$ दिया हो, तो बहुपद $P = \sum_i y_i L_i$ की घात $\leq n$ है और वह अंतर्वेशन करता है। अद्वितीयता: प्रश्न 3 से किसी भी अंतर्वेशी $P$ के आधार $(L_i)$ में निर्देशांक $(P(x_0), \dots, P(x_n)) = (y_0, \dots, y_n)$ हैं, और किसी आधार में निर्देशांक अद्वितीय होते हैं (प्रतिज्ञप्ति 18.15)। लाग्रांज आधार में $P$ के निर्देशांक गाँठों पर उसके मान ही हैं — इस आधार का पूरा मर्म यही है।

5. प्रश्न 3 को $P = X^k$ पर लगाइए ( $0 \leq k \leq n$ ):

X^k = \sum_{i=0}^{n} x_i^{k} L_i ,

और $k = 0$ से $\sum_i L_i = 1$ मिलता है।

6. ठीक-ठीक $\deg N_k = k$ : कुल $(N_0, \dots, N_n)$ $\R_n[X]$ में घातों की एक सीढ़ी है, अतः उदाहरण 18.20 से आधार है (स्वतंत्रता प्रतिज्ञप्ति 18.19 (1) से, और जनक होना घात पर परिमित अवरोहण से)।

7. पुनरावृत्ति से,

f[x_0, x_1] = \frac{f(x_1) - f(x_0)}{x_1 - x_0}, \qquad f[x_0, x_1, x_2] = \frac{f[x_1, x_2] - f[x_0, x_1]}{x_2 - x_0}.

$f(x) = x^2$ के लिए:

f[x_0, x_1] = \frac{x_1^2 - x_0^2}{x_1 - x_0} = x_0 + x_1,

और फिर

f[x_0, x_1, x_2] = \frac{(x_1 + x_2) - (x_0 + x_1)}{x_2 - x_0} = \frac{x_2 - x_0}{x_2 - x_0} = 1 .

8. $\deg S \leq n$ , क्योंकि $Q, R$ की घात $\leq n - 1$ है। $x_0$ पर: $S(x_0) = \frac{-(x_0 - x_n) R(x_0)}{x_n - x_0} = R(x_0) = f(x_0)$ । $x_n$ पर: $S(x_n) = \frac{(x_n - x_0) Q(x_n)}{x_n - x_0} = Q(x_n) = f(x_n)$ । किसी आंतरिक गाँठ $x_i$ ( $1 \leq i \leq n-1$ ) पर $Q$ और $R$ दोनों मान $f(x_i)$ लेते हैं, अतः

S(x_i) = \frac{(x_i - x_0) - (x_i - x_n)}{x_n - x_0}\, f(x_i) = f(x_i) .

9. गाँठों की संख्या पर आगमन। एक गाँठ: अंतर्वेशक अचर $f(x_0) = f[x_0]$ है। दावे को $k$ गाँठों के लिए मान लीजिए और $S$ को $x_0, \dots, x_k$ पर अंतर्वेशक लीजिए; अद्वितीयता (प्रश्न 4) से $S$ ऐटकिन की प्रमेयिका द्वारा $R$ (गाँठें $x_0, \dots, x_{k-1}$ ) और $Q$ (गाँठें $x_1, \dots, x_k$ ) से मिलता है। $S$ में $X^{k}$ का गुणांक है

\frac{[X^{k-1}]\,Q - [X^{k-1}]\,R}{x_k - x_0} = \frac{f[x_1, \dots, x_k] - f[x_0, \dots, x_{k-1}]}{x_k - x_0} = f[x_0, \dots, x_k]

— आगमन-परिकल्पना और परिभाषक पुनरावृत्ति से।

10. मान लीजिए $P_k$ $x_0, \dots, x_k$ पर $f$ का अंतर्वेशन करता है। अंतर $P_k - P_{k-1}$ की घात $\leq k$ है और वह $x_0, \dots, x_{k-1}$ पर शून्य होता है, अतः गुणनखंड प्रमेय को $k$ बार लगाने पर (प्रमेय 8.7) वह किसी अचर $c$ के लिए $c\,N_k$ के बराबर है; $X^{k}$ के गुणांकों की तुलना करने पर और प्रश्न 9 का प्रयोग करने पर $c = f[x_0, \dots, x_k]$ । $P_0 = f(x_0) N_0$ से दूरबीनी करने पर न्यूटन का सूत्र मिल जाता है। संवृत रूप के लिए $P_k = \sum_{i \leq k} f(x_i) L_i$ लिखिए (लाग्रांज, गाँठों $x_0, \dots, x_k$ पर) और $X^{k}$ का गुणांक पढ़िए: हर $L_i$ $\frac{1}{\prod_{j \neq i}(x_i - x_j)}$ का योगदान देता है, जिससे

f[x_0, \dots, x_k] = \sum_{i=0}^{k} \frac{f(x_i)}{\prod_{j \neq i,\, j \leq k}(x_i - x_j)} .

दायाँ पक्ष गाँठों के किसी भी क्रमचय के अंतर्गत अपरिवर्तित है, अतः विभाजित अंतर उनके क्रम पर निर्भर नहीं करता।

11. यदि $P = a X^m + (\text{निम्नतर घातें})$ , तो द्विपद प्रमेय देती है

\Delta P = a\bigl((X+1)^m - X^m\bigr) + \dots = a\,m\,X^{m-1} + (\text{निम्नतर घातें}),

क्योंकि $(X+1)^m - X^m = m X^{m-1} + \dots$ , और $P$ का निम्नतर-घात वाला भाग $\Delta$ के बाद $\leq m - 2$ घात का योगदान देता है (अथवा $\leq m-2$ घात के पद)। अतः $\deg \Delta P = m - 1$ , जिसका अग्र गुणांक $m a$ है। किसी अचर $c$ के लिए $\Delta c = c - c = 0$ ।

12. $\deg B_k = k$ : सीढ़ी, अतः $\R_n[X]$ का आधार (उदाहरण 18.20)। $\Delta B_k$ के लिए ( $k \geq 1$ ) उभयनिष्ठ गुणनफल का गुणनखंडन कीजिए:

\begin{align*} k!\,\Delta B_k &= (X+1)X\cdots(X-k+2) - X(X-1)\cdots(X-k+1) \\ &= X(X-1)\cdots(X-k+2)\,\bigl[(X+1) - (X-k+1)\bigr] \\ &= k\,X(X-1)\cdots(X-k+2), \end{align*}

अतः $\Delta B_k = \frac{X(X-1)\cdots(X-k+2)}{(k-1)!} = B_{k-1}$ ।

13. $P = \sum_{k=0}^{n} c_k B_k$ लिखिए (आधार, प्रश्न 12)। $\Delta^{j}$ लगाइए: प्रश्न 12 से $\Delta^{j} P = \sum_{k \geq j} c_k B_{k-j}$ । $0$ पर मूल्यांकन कीजिए: $B_0(0) = 1$ , और $m \geq 1$ के लिए $B_m(0) = 0$ (गुणनखंड $X$ शून्य हो जाता है), अतः $\bigl(\Delta^{j}P\bigr)(0) = c_j$ । यही अग्र-अंतर सूत्र है।

14. $k$ पर आगमन। $k = 0$ के लिए सर्वसमिका $P(0) = P(0)$ कहती है। उसे $k$ के लिए मान लीजिए और $\Delta P$ पर लगाइए:

\bigl(\Delta^{k+1} P\bigr)(0) = \sum_{j=0}^{k} (-1)^{k-j}\binom kj \bigl(P(j+1) - P(j)\bigr).

$P(i)$ का गुणांक इकट्ठा कीजिए: पहले योग से (सरकाकर) वह $(-1)^{k-i+1}\binom k{i-1}\cdot(-1)^{0}$ है और दूसरे से $-(-1)^{k-i}\binom ki$ — दोनों मिलकर

(-1)^{k+1-i}\Bigl(\binom k{i-1} + \binom ki\Bigr) = (-1)^{k+1-i}\binom{k+1}i

— पास्कल के नियम से, जो कोटि $k + 1$ पर वही सर्वसमिका है।

15. प्रश्न 11 को घात $n$ और अग्र गुणांक $a_n$ से दोहराइए: एक $\Delta$ के बाद घात $n-1$ और अग्र गुणांक $n a_n$ ; दो के बाद $n(n-1)a_n$ ; $n$ चरणों के बाद घात $0$ और मान $n(n-1)\cdots 1\, a_n = n!\,a_n$ , जो एक अचर है। एक और $\Delta$ उसे मार देता है: $\Delta^{n+1}P = 0$ ।

16. यदि $m \geq k$ : $B_k(m) = \binom mk \in \N$ । यदि $0 \leq m < k$ : $m(m-1)\cdots(m-k+1)$ का कोई एक गुणनखंड शून्य है, अतः $B_k(m) = 0$ । यदि $q \geq 1$ के साथ $m = -q$ :

B_k(-q) = \frac{(-q)(-q-1)\cdots(-q-k+1)}{k!} = (-1)^k\,\frac{q(q+1)\cdots(q+k-1)}{k!} = (-1)^k \binom{q+k-1}{k},

जो एक पूर्णांक है। अतः हर $B_k$ $\Z$ को $\Z$ में भेजता है।

17. ( $\Leftarrow$ ) यदि $c_k \in \Z$ के साथ $P = \sum_k c_k B_k$ , तो $m \in \Z$ के लिए प्रश्न 16 से $P(m) = \sum_k c_k B_k(m) \in \Z$ । ( $\Rightarrow$ ) यदि $P$ पूर्णांक-मान है, तो उसके निर्देशांक $c_k = \bigl(\Delta^k P\bigr)(0) = \sum_{j=0}^k (-1)^{k-j}\binom kj P(j)$ हैं (प्रश्न 13 और 14), जो पूर्णांकों $P(0), \dots, P(k)$ का पूर्णांक संयोजन है। यही पूर्णांक-मान बहुपदों का पोल्या द्वारा दिया गया अभिलक्षण है।

18. $Q(X) = P(X + a)$ रखिए, जो $\leq n$ घात का बहुपद है और $Q(0), Q(1), \dots, Q(n) \in \Z$ । $(B_k)_{k \leq n}$ में उसके निर्देशांक $c_k = \sum_{j \leq k}(-1)^{k-j}\binom kj Q(j) \in \Z$ हैं (प्रश्न 14 केवल $0, \dots, k \leq n$ पर के मानों का प्रयोग करता है)। प्रश्न 17 ( $\Leftarrow$ ) से $Q$ पूरे $\Z$ पर पूर्णांक-मान है, अतः $P(X) = Q(X - a)$ भी।

19. $k$ क्रमागत पूर्णांकों का गुणनफल किसी $m \in \Z$ के लिए $m(m-1) \cdots(m-k+1) = k!\,B_k(m)$ है, और प्रश्न 16 से $B_k(m) \in \Z$ : अतः गुणनफल $k!$ से विभाज्य है।

20. $0,1,2,3$ पर $P = \frac{X(X+1)(2X+1)}{6}$ के मान: $0, 1, 5, 14$ । अंतर सारणी: $\Delta$ की पंक्ति $1, 4, 9$ ; $\Delta^2$ की पंक्ति $3, 5$ ; $\Delta^3$ की पंक्ति $2$ । अतः प्रश्न 13 से,

P = 0\cdot B_0 + 1\cdot B_1 + 3\,B_2 + 2\,B_3 ,

और निर्देशांक पूर्णांक हैं: $P$ पूर्णांक-मान है (प्रश्न 17), जबकि उसके एकपदी गुणांक $\frac13, \frac12, \frac16$ पूर्णांक नहीं हैं। सीधी संगणना:

\begin{align*} \Delta P &= \frac{(X+1)(X+2)(2X+3) - X(X+1)(2X+1)}{6} \\ &= \frac{(X+1)\bigl[(X+2)(2X+3) - X(2X+1)\bigr]}{6} = \frac{(X+1)(6X+6)}{6} = (X+1)^2 . \end{align*}

$P(m) = \sum_{j=0}^{m-1}\Delta P(j) = \sum_{j=1}^{m} j^2$ को दूरबीनी करने पर ( $P(0) = 0$ के साथ): अर्थात् वर्गों के योग का सूत्र।

21. $i = 0, \dots, n$ पर मान $2^i$ की अंतर सारणी बाएँ किनारे पर लगातार $1$ है: अनुक्रम $(2^i)$ का $\Delta^k$ फिर से $(2^i)$ है (क्योंकि $2^{i+1} - 2^i = 2^i$ ), अतः सभी $k \leq n$ के लिए $\bigl(\Delta^k P\bigr)(0) = 2^0 = 1$ , और प्रश्न 13 से $P = B_0 + B_1 + \dots + B_n$ । तब

P(n+1) = \sum_{k=0}^{n}\binom{n+1}{k} = 2^{n+1} - \binom{n+1}{n+1} = 2^{n+1} - 1 \neq 2^{n+1}:

अर्थात् प्रतिरूप पहले ही अनियंत्रित बिंदु पर टूट जाता है।

22. प्रश्न 12 से $B_k = \Delta B_{k+1}$ , अतः

\sum_{j=0}^{m-1} B_k(j) = \sum_{j=0}^{m-1}\bigl(B_{k+1}(j+1) - B_{k+1}(j)\bigr) = B_{k+1}(m) - B_{k+1}(0) = B_{k+1}(m).

$j < k$ के लिए पद $B_k(j)$ शून्य हो जाते हैं, अतः योग वस्तुतः $j = k$ से आरंभ होता है: $\sum_{j=k}^{m-1}\binom jk = \binom m{k+1}$ , अर्थात् हॉकी-स्टिक सर्वसमिका।

23. अंतर सारणियाँ (अथवा सीधा प्रसार) देती हैं

X^2 = B_1 + 2 B_2, \qquad X^3 = B_1 + 6 B_2 + 6 B_3

(जाँच: $B_1 + 2B_2 = X + X(X-1) = X^2$ ; $X = 1, 2, 3$ पर दूसरा $1, 8, 27$ देता है)। फिर प्रश्न 22 से मिलता है

\sum_{j=0}^{m-1} j^2 = B_2(m) + 2B_3(m) = \binom m2 + 2\binom m3 = \frac{m(m-1)(2m-1)}{6},

\sum_{j=0}^{m-1} j^3 = B_2(m) + 6B_3(m) + 6B_4(m) = \binom m2 + 6\binom m3 + 6\binom m4 .

अंतिम व्यंजक को प्रसारित करने पर: $\binom m2 + 6\binom m3 + 6\binom m4 = \frac{m(m-1)}{2}\bigl[1 + 2(m-2) + \frac{(m-2)(m-3)}{2}\bigr] = \frac{m^2(m-1)^2}{4} = \binom m2^2$ । $m$ के स्थान पर $m + 1$ रखने पर: $1^3 + \dots + m^3 = \bigl(\frac{m(m+1)}2\bigr)^2 = (1 + \dots + m)^2$ , अर्थात् निकोमैकस की सर्वसमिका।

24. गाँठें $0, 1, 2$ , बहुपद $X^2$ । एकपदी आधार $(1, X, X^2)$ : निर्देशांक $(0, 0, 1)$ । लाग्रांज आधार: निर्देशांक मान $(0, 1, 4)$ हैं (प्रश्न 4)। न्यूटन आधार $(1, X, X(X-1))$ : विभाजित अंतर $f[0] = 0$ , $f[0,1] = 1$ , $f[0,1,2] = \frac{3 - 1}{2} = 1$ (प्रश्न 9), अतः निर्देशांक $(0, 1, 1)$ — और वस्तुतः $X + X(X-1) = X^2$ । तीन आधार, तीन निर्देशांक-सदिश, एक ही बहुपद।

25. (क) प्रश्न 4 स्वतः इसलिए है कि $(L_i)$ एक आधार है: अंतर्वेशन का अस्तित्व और अद्वितीयता ठीक निर्देशांकों का अस्तित्व और अद्वितीयता ही हैं। (ख) न्यूटन आधार एक सीढ़ी है, अतः निर्देशांक क्रमागत भागों से संगणित होते हैं — हर नई गाँठ पिछली गाँठों को छेड़े बिना एक पद जोड़ देती है — जबकि $P$ के लाग्रांज निर्देशांक तो मान $P(x_i)$ ही हैं, जो बिना किसी संगणना के उपलब्ध हैं। (ग) दोनों आधार प्रतिज्ञप्ति 18.19 की एक ही जोड़ी कसौटियों से स्वतंत्र हैं: न्यूटन के लिए भिन्न-भिन्न घातें, और लाग्रांज के लिए गाँठों पर मूल्यांकन। (घ) पोल्या की प्रमेय कहती है कि “ $P(\Z) \subseteq \Z$ ”, जो मानों का गुण है, आधार $(B_k)$ में निर्देशांकों की पूर्णांकता के तुल्य है — किसी बहुपद का अंकगणित केवल उसी आधार में दिखाई देता है जो प्रश्न के अनुकूल हो।