बहुपद, घात क्या है? — गणित

परिभाषा 8.1 विश्वविद्यालय गणित — स्नातक वर्ष 1 · अध्याय 8 — बहुपद

$K$ में गुणांकों वाला बहुपद एक औपचारिक योग है

P = a_0 + a_1 X + a_2 X^2 + \dots + a_n X^n = \sum_{k} a_k X^k,

जहाँ किसी सूचकांक से आगे सभी $a_k \in K$ शून्य हैं। स्वाभाविक योग और गुणनफल

\Bigl(\sum_i a_i X^i\Bigr)\Bigl(\sum_j b_j X^j\Bigr) = \sum_k \Bigl(\sum_{i+j=k} a_i b_j\Bigr) X^k,

के साथ समुच्चय $K[X]$ क्रमविनिमेय वलय है। $P \neq 0$ की घात $\deg P$ वह बृहत्तम $n$ है जिसके लिए $a_n \neq 0$ ; $a_n$ अग्र गुणांक है ( $a_n = 1$ होने पर $P$ इकाई-अग्र कहलाता है), और परिपाटी से $\deg 0 = -\infty$ । प्रत्येक बहुपद प्रतिस्थापन द्वारा $K$ पर एक फलन $x \mapsto P(x)$ परिभाषित करता है।

उदाहरण

उदाहरण 8.4

$A = X^4 + X^3 - 2X + 1$ को $B = X^2 + 1$ से भाग दीजिए:

X^4 + X^3 - 2X + 1 = (X^2 + 1)(X^2 + X - 1) + (-3X + 2).

(संगणना: पहले $X^2 B$ घटाइए, फिर $X B$ , फिर $-B$ ; शेषफल $-3X + 2$ की घात $1 < 2$ है।)

उदाहरण 8.9 (सहायक-बहुपद वाली युक्ति)

मान लीजिए $P$ घात $\leq n$ का वह बहुपद है जिसके लिए

P(k) = \frac{k}{k+1} \qquad (k = 0, 1, \dots, n) ;

वह विद्यमान और अद्वितीय है, जैसा नीचे लाग्रांज अंतर्वेशन से मिलता है। $P(n+1)$ क्या है? हर हटाइए: बहुपद $Q = (X+1)P - X$ की घात $\leq n + 1$ है और वह $n + 1$ बिंदुओं $0, 1, \dots, n$ पर लुप्त होता है, अतः प्रमेय 8.7 से

Q = c\,X(X-1)(X-2)\cdots(X-n)

किसी अचर $c$ के लिए। वहाँ मान लीजिए जहाँ $Q$ स्वतंत्र रूप से ज्ञात हो: $X = -1$ पर $Q(-1) = 0 \cdot P(-1) + 1 = 1$ , जबकि गुणनफल $(-1)(-2)\cdots(-1-n) = (-1)^{n+1}(n+1)!$ के बराबर है; अतः $c = \frac{(-1)^{n+1}}{(n+1)!}$ । अब $X = n + 1$ पर मान लीजिए:

(n+2)\,P(n+1) - (n+1) = Q(n+1) = c\,(n+1)! = (-1)^{n+1} ,

अतः $P(n+1) = \dfrac{(n+1) + (-1)^{n+1}}{n+2}$ : विषम $n$ के लिए वह $1$ के बराबर है, और सम $n$ के लिए $\frac{n}{n+2}$ के — अर्थात् अंतर्वेशी बहुपद प्रतिरूप $\frac{n+1}{n+2}$ को आगे नहीं बढ़ाता। स्मरण रखने योग्य युक्ति: आँकड़ों को किसी सहायक बहुपद के मूलों के रूप में कूटित कीजिए, अज्ञात अचर की पहचान आँकड़ों से बाहर किसी बिंदु पर कीजिए, और फल काटिए।

उदाहरण 8.13 (महत्तम समापवर्तक से बहु मूल पकड़ना)

जब कोई मूल ज्ञात न हो, तब भी प्रतिज्ञप्ति 8.11 एक समग्र बहु-मूल संसूचक देता है: $a$ $P$ का बहु मूल है तभी जब वह $P$ और $P'$ का उभयनिष्ठ मूल हो, अतः $P$ का (किसी $\C$ में) बहु मूल है तभी जब $\gcd(P, P') \neq 1$ — और यह यूक्लिडीय कलनविधि से, बिना कुछ हल किए, संगणनीय है। नमूना: $P = X^3 - 3X + 2$ , $P' = 3X^2 - 3 = 3(X - 1)(X + 1)$ । $P$ के भीतर $P'$ के मूल $\pm1$ जाँचिए: $P(1) = 0$ , पर $P(-1) = 4$ , अतः

\gcd(P, P') = X - 1 :

मूल $1$ बहु है; दो बार भाग देने पर $P = (X - 1)^2(X + 2)$ । महत्तम समापवर्तक तो बहु मूलों का पूरा समुच्चय बता देता है, प्रत्येक की बहुलता एक कम करके — यही तथ्य हर संगणक-बीजगणित प्रणाली किसी भी मूल-खोज से पहले “वर्ग-मुक्त गुणनखंडन” के लिए प्रयोग करती है, और यह अभ्यास 8.9 के बहु-मूल-रहित तर्कों का बहुपदीय जुड़वाँ है।

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