4क्षेत्र विस्तार और गाल्वा सिद्धांत

उपपत्ति. जनकता: $x \in M$ $x = \sum_j \lambda_jf_j$ लिखा जाता है ($\lambda_j \in L$), और प्रत्येक $\lambda_j = \sum_i \mu_{ij}e_i$ ($\mu_{ij} \in K$): अतः $x = \sum_{i,j}\mu_{ij}e_if_j$। स्वतंत्रता: $\sum_{i,j}\mu_{ij}e_if_j = 0$ को $\sum_j (\sum_i \mu_{ij}e_i)f_j = 0$ के रूप में लिखिए; भीतरी योग $L$ में हैं, अतः वे लुप्त हो जाते हैं ($f_j$ $L$ पर स्वतंत्र); तब सभी $\mu_{ij} = 0$ ($e_i$ $K$ पर स्वतंत्र)। ∎

उपपत्ति. मान-निर्धारण $K[X] \to L$, $P \mapsto P(\alpha)$, का प्रतिबिंब $K[\alpha]$ और अष्टि $(\pi_\alpha)$ है; चूँकि $\pi_\alpha$ अखंडनीय है, $K[X]/(\pi_\alpha)$ एक क्षेत्र है (प्रतिज्ञप्ति 2.4: PID $K[X]$ में अखंडनीय अवयव महत्तम आदर्श जनित करता है), अतः $K[\alpha]$ $K$ और $\alpha$ को अंतर्विष्ट करने वाला क्षेत्र है: वह $K(\alpha)$ के बराबर है। यूक्लिडीय विभाजन से $1, X, \dots, X^{d-1}$ के वर्ग भागफल का आधार बनाते हैं, जिससे आधार और घात दोनों मिल जाते हैं। विलोमतः यदि $[L:K] = n < \infty$ हो: $1, \alpha, \dots, \alpha^n$ आश्रित हैं, जिससे एक विनाशक बहुपद मिलता है; और तब मीनार नियम से $[K(\alpha):K] = \deg\pi_\alpha$ $n$ को विभाजित करता है। ∎

उपपत्ति. $K(\alpha, \beta) = (K(\alpha))(\beta)$ $K(\alpha)$ पर परिमित है ($\beta$ $K \subseteq K(\alpha)$ पर बीजीय) और $K(\alpha)/K$ परिमित है: मीनार नियम से $[K(\alpha,\beta):K] < \infty$, और $K(\alpha, \beta)$ का प्रत्येक अवयव — जिनमें ये चारों सम्मिलित हैं — बीजीय है (प्रमेय 4.4)। संक्रमणीयता: यदि $\beta$ $L$ पर बीजीय हो और $L/K$ बीजीय हो, तो $\pi_{\beta/L}$ के गुणांक $c_0, \dots, c_{m-1}$ $K$ का कोई परिमित विस्तार $F = K(c_0, \dots, c_{m-1})$ जनित करते हैं (मीनार नियम को बार-बार लगाइए), और $F(\beta)/F$ परिमित है: अतः $[F(\beta):K] < \infty$, इसलिए $\beta$ $K$ पर बीजीय है। ∎

उपपत्ति. अस्तित्व, $\deg P$ पर आगमन द्वारा: $P$ का कोई अखंडनीय गुणनखंड $Q$ चुनिए; क्षेत्र $K_1 = K[X]/(Q)$ में $Q$ का, अतः $P$ का भी, मूल $\alpha_1 = \bar X$ होता है; $K_1$ पर $P = (X - \alpha_1)P_1$ लिखिए और $K_1$ पर $P_1$ पर आगमन लगाइए; घातें गुणा होकर अधिकतम $n(n-1)\cdots = n!$ तक पहुँचती हैं।

अद्वितीयता अधिक प्रबल तुल्याकारिता विस्तार प्रमेयिका से निकलती है: मान लीजिए $\sigma \colon K \to K'$ एक तुल्याकारिता है, $P \in K[X]$, $P^\sigma$ प्रतिचित्रित गुणांकों वाला बहुपद, और $L, L'$ $P, P^\sigma$ के विभाजन क्षेत्र; तब $\sigma$ किसी तुल्याकारिता $L \to L'$ तक विस्तारित हो जाता है। $[L:K]$ पर आगमन: यदि $P$ $K$ में विभाजित हो जाए, तो $L = K$, और $L' = K'$ ($P^\sigma$ $K'$ में विभाजित होता है, और $L'$ उसके मूलों से जनित है)। अन्यथा $\deg Q \geq 2$ वाले $P$ के किसी अखंडनीय गुणनखंड $Q$ का मूल $\alpha \in L \setminus K$ चुनिए; $Q^\sigma$ $P^\sigma$ का अखंडनीय गुणनखंड है, जिसका कोई मूल $\beta \in L'$ है; तब

$\sigma$ को $\alpha \mapsto \beta$ के साथ विस्तारित करता है। अब $L$ $K(\alpha)$ पर $P$ का विभाजन क्षेत्र है, और $L'$ $K'(\beta)$ पर $P^\sigma$ का, जिनमें $[L : K(\alpha)] < [L:K]$: आगमन इसे आगे $L \to L'$ तक विस्तारित कर देता है। ∎

उपपत्ति. अस्तित्व (आर्टिन की रचना)। मान लीजिए $R = K[(X_f)_f]$ वह बहुपद वलय है जिसमें प्रत्येक अनचर मोनिक $f \in K[X]$ के लिए एक चर $X_f$ है, और $I$ समस्त $f(X_f)$ से जनित आदर्श। $I$ उचित है: कोई भी संबंध $1 = \sum_{i=1}^r g_i\, f_i(X_{f_i})$ परिमित संख्या में बहुपदों को समेटता है; $f_1\cdots f_r$ के किसी उभयनिष्ठ विभाजन क्षेत्र $E$ में $f_i$ के मूल $\alpha_i$ चुनकर $X_{f_i} \mapsto \alpha_i$ का मान लीजिए (शेष चर $\mapsto 0$): तब $1 = 0$, जो निरर्थक है। अब $\mathfrak m \supseteq I$ को महत्तम लीजिए (प्रमेय 2.8; ज़ोर्न) और $K_1 = R/\mathfrak m$ रखिए: यह $K$ का ऐसा क्षेत्र विस्तार है जिसमें प्रत्येक अनचर $f \in K[X]$ का कोई मूल है, अर्थात् $\bar X_f$, और जो $K$ पर बीजीय है (वह $\bar X_f$ से जनित है, और उनमें से प्रत्येक बीजीय है)। इसे दोहराइए: $K \subseteq K_1 \subseteq K_2 \subseteq \cdots$, जहाँ $K_{n+1}$ $K_n$ के साथ वही करता है जो $K_1$ ने $K$ के साथ किया था, और $\Omega = \bigcup_n K_n$ रखिए, जो एक क्षेत्र है। किसी भी अनचर $g \in \Omega[X]$ के परिमित गुणांक किसी न किसी $K_n$ में होते हैं; $K_n$ पर $g$ के किसी अखंडनीय गुणनखंड का $K_{n+1} \subseteq \Omega$ में मूल होता है: अतः $\Omega$ बीजीय रूप से संवृत है, और $K$ पर बीजीय (संक्रमणीयता से प्रत्येक $K_n$ बीजीय है, उपप्रमेय 4.5): इस प्रकार $\Omega$ एक बीजीय संवृति है।

अद्वितीयता। मान लीजिए $\Omega, \Omega'$ दो बीजीय संवृतियाँ हैं। युग्मों $(E, \tau)$ के उस समुच्चय पर विचार कीजिए जिनमें $K \subseteq E \subseteq \Omega$ है और $\tau\colon E \to \Omega'$ एक $K$-अंतःस्थापन है, और जिसे विस्तार से क्रमित किया गया है; वह अरिक्त है ($(K, \mathrm{id})$) और आगमनात्मक (किसी शृंखला का सम्मिलन), अतः ज़ोर्न से कोई महत्तम $(E_0, \tau_0)$ मिलता है। यदि $E_0 \neq \Omega$ हो, तो $\alpha \in \Omega\setminus E_0$ चुनिए: $\pi_{\alpha/E_0}$ $\tau_0(E_0)$ पर ऐसे बहुपद पर जाता है जिसका बीजीय रूप से संवृत $\Omega'$ में कोई मूल $\beta$ है, और $\tau_0$ $E_0(\alpha) \to \Omega'$ तक विस्तारित हो जाता है ($\alpha \mapsto \beta$), जो महत्तमता का खंडन है। अतः कोई $K$-अंतःस्थापन $\tau \colon \Omega \to \Omega'$ विद्यमान है; उसका प्रतिबिंब, जो $\Omega$ के तुल्याकारी है, बीजीय रूप से संवृत है, और $\Omega'$ उस पर बीजीय है: $x \in \Omega'$ के लिए $\pi_{x/\tau(\Omega)}$ $\tau(\Omega)$ पर विभाजित हो जाता है, अतः $x \in \tau(\Omega)$। इस प्रकार $\tau$ आच्छादक है: अर्थात् एक तुल्याकारिता। ∎

उपपत्ति. (1) किसी परिमित क्षेत्र $E$ का अभिलक्षण $p > 0$ होता है और वह परिमित विमा की $\mathbb F_p$-सदिश समष्टि है: अतः $\abs E = p^n$। उसके गुणनात्मक समूह का क्रम $q - 1$ है, अतः प्रत्येक $x \in E$ $x^q = x$ को संतुष्ट करता है: इस प्रकार $E$ $X^q - X$ के $q$ मूलों से बना है, और इसलिए $\mathbb F_p$ पर उसका विभाजन क्षेत्र है — जिससे $E$ तुल्याकारिता तक निर्धारित हो जाता है (प्रमेय 4.7)। विलोमतः, $X^q - X$ के किसी विभाजन क्षेत्र $L$ में उसके मूलों का समुच्चय $E$ एक उपक्षेत्र है: नौसिखिए के स्वप्न $(a+b)^p = a^p + b^p$ ($p \mid \binom pk$) को दोहराने से $(x + y)^q = x^q + y^q$, तथा $(xy)^q = x^qy^q$, $(x^{-1})^q = (x^q)^{-1}$; और उसमें ठीक $q$ अवयव हैं क्योंकि $X^q - X$ वियोज्य है: उसका अवकलज $qX^{q-1} - 1 = -1$ है (क्योंकि $p \mid q$), जो उसके साथ सह-अभाज्य है, अतः कोई पुनरावृत्त मूल नहीं। इस प्रकार $L = E$ में $q$ अवयव हैं।

(2) $F$ एक क्षेत्र समाकारिता है (नौसिखिए का स्वप्न), और एकैकी है (क्षेत्र), अतः परिमित $\mathbb F_q$ पर एकैकी आच्छादक। $F^n = \mathrm{id}$ ($x^q = x$), और उससे छोटी कोई घात तत्समक नहीं है: $F^m = \mathrm{id}$ का अर्थ होगा कि $q$ अवयव $X^{p^m} - X$ के मूल हैं, जिससे $p^m \geq q$ अनिवार्य हो जाता है। अतः $\langle F\rangle$ क्रम $n$ का चक्रीय समूह है; और अन्य कोई स्वसमाकारिता नहीं है, क्योंकि नीचे सिद्ध परिबंध $\abs{\operatorname{Aut}} \leq [\,\mathbb F_q : \mathbb F_p\,] = n$ लागू होता है (प्रतिज्ञप्ति 4.16, जहाँ $L = \mathbb F_q$, $K = \mathbb F_p$: स्वसमाकारिताएँ अभाज्य क्षेत्र को स्थिर रखती हैं)।

(3) यदि $\mathbb F_{p^m} \subseteq \mathbb F_{p^n}$ हो, तो मीनार नियम से $p^n = (p^m)^d$: अतः $m \mid n$। विलोमतः यदि $m \mid n$ हो, तो $p^m - 1 \mid p^n - 1$ (गुणोत्तर योग), अतः $X^{p^m} - X$ $X^{p^n} - X$ को विभाजित करता है (घातांकों पर वही तर्क: $a \mid b$ होने पर $X^{a} - 1 \mid X^{b} - 1$), और $\mathbb F_{p^n}$ के भीतर पहले वाले के मूल अभीष्ट उपक्षेत्र बनाते हैं, जिसकी गणनीयता $p^m$ है ((1) की तरह वियोज्यता से)। ∎

उपपत्ति. मान लीजिए $G \leq K^\times$ परिमित है। संरचना प्रमेय (उपप्रमेय 3.13) से $d_1 \mid \dots \mid d_s$ के साथ $G \cong \Z/d_1 \times \dots \times \Z/d_s$। तब प्रत्येक $x \in G$ $x^{d_s} = 1$ को संतुष्ट करता है; परंतु $X^{d_s} - 1$ के क्षेत्र $K$ में अधिकतम $d_s$ मूल होते हैं: अतः $\abs G = d_1\cdots d_s \leq d_s$, जिससे $s = 1$ अनिवार्य हो जाता है: $G$ चक्रीय है। ∎

उपपत्ति. $\gcd(P, P')$ $P$ को विभाजित करता है; यदि वह $1$ न हो, तो अखंडनीयता से (किसी अचर तक) $\gcd = P$ अनिवार्य हो जाता है, अतः $\deg P' < \deg P$ के साथ $P \mid P'$: $P' = 0$। $P = \sum a_kX^k$ लिखने पर: सभी $k$ के लिए $ka_k = 0$, अतः अभिलक्षण $0$ में $P$ अचर होता (जो अपवर्जित है); और अभिलक्षण $p$ में $a_k = 0$, सिवाय तब जब $p \mid k$: अर्थात् $P = Q(X^p)$। किसी परिमित क्षेत्र पर प्रत्येक अवयव कोई $p$-वीं घात होता है (फ्रोबेनियस आच्छादक है), अतः $Q(X^p) = \sum b_k^p X^{pk} = (\sum b_kX^k)^p$ अखंडनीय नहीं होता: वहाँ भी अखंडनीय $P$ के लिए $P' = 0$ नहीं हो सकता। ∎

उपपत्ति. सरल चरणों के माध्यम से $[L:K]$ पर आगमन। $L = K(\alpha)$ के लिए: कोई विस्तार $\tau$ $\tau(\alpha)$ से निर्धारित होता है, जिसे $\pi_\alpha^\sigma$ का $\Omega$ में मूल होना चाहिए; विलोमतः ऐसा प्रत्येक मूल एक विस्तार देता है ($K(\alpha) \cong K[X]/(\pi_\alpha)$)। विस्तारों की संख्या $\Omega$ में $\pi_\alpha^\sigma$ के भिन्न मूलों की संख्या है: अधिकतम $\deg\pi_\alpha = [K(\alpha):K]$, और समता तभी और केवल तभी जब $\pi_\alpha$ वियोज्य हो ($\pi^\sigma$ और $\pi$ की वियोज्यता एक ही बात है: अवकलज के साथ महत्तम समापवर्तक $\sigma$ से सुरक्षित रहता है)। व्यापक स्थिति में $L = K(\alpha_1)(\alpha_2, \dots)$ का गुणनखंडन कीजिए: $\sigma$ के $K(\alpha_1)$ तक विस्तार $\leq [K(\alpha_1):K]$ हैं, और आगमन से उनमें से प्रत्येक $\leq [L : K(\alpha_1)]$ प्रकार से आगे विस्तारित होता है; मीनार नियम से इन्हें गुणा कीजिए। वियोज्य स्थिति में दोनों गणनाएँ समताएँ हैं: बड़े क्षेत्र $K(\alpha_1)$ पर न्यूनतम बहुपद $K$ पर के बहुपदों को विभाजित करते हैं, अतः वियोज्य बने रहते हैं। ∎

उपपत्ति. यदि $K$ परिमित हो, तो $L$ भी परिमित है, और चक्रीय समूह $L^\times$ (प्रमेय 4.12) का कोई जनक $\gamma$ काम कर देता है। अब मान लीजिए $K$ अनंत है; आगमन से केवल $L = K(\alpha, \beta)$ की स्थिति देखनी पर्याप्त है। मान लीजिए $n = [L:K]$; प्रतिज्ञप्ति 4.16 से $n$ भिन्न $K$-अंतःस्थापन $\sigma_1, \dots, \sigma_n \colon L \to \Omega$ हैं ($\Omega$ एक बीजीय संवृति)। बहुपद

सर्वथा शून्य नहीं है: कोई गुणनखंड सर्वथा लुप्त तभी होगा जब $\sigma_i, \sigma_j$ $\alpha$ और $\beta$ दोनों पर, अतः $L$ पर, सहमत हों — जो $i \neq j$ के लिए अपवर्जित है। चूँकि $K$ अनंत है, $D(c) \ne 0$ वाला $c \in K$ चुनिए: तब $\sigma_i(\alpha + c\beta)$ ये $n$ अवयव जोड़े-जोड़े में भिन्न हैं, अतः $\gamma = \alpha + c\beta$ के $\Omega$ में कम से कम $n$ भिन्न संयुग्म हैं, अर्थात् $\deg \pi_\gamma \geq n$: और $[K(\gamma):K] \geq n = [L:K]$ से $L = K(\gamma)$ अनिवार्य हो जाता है। ∎

उपपत्ति. मान लीजिए $L$ $K$ पर वियोज्य $P$ को विभाजित करता है, और कोई बीजीय संवृति $\Omega \supseteq L$ स्थिर कीजिए। $L/K$ वियोज्य है: वह $P$ के मूलों से जनित है; प्रत्येक अवयव की वियोज्यता नीचे की समता स्थिति से निकलती है, पर सीधे तर्क करें — जनकों पर (जो वियोज्य $P$ के मूल हैं और जिनके न्यूनतम बहुपद $P$ को विभाजित करते हैं) प्रतिज्ञप्ति 4.16 लगाने से $K \hookrightarrow \Omega$ के ठीक $[L:K]$ विस्तार मिलते हैं (आगमन चरण में किसी मध्यवर्ती क्षेत्र पर $P$ के मूल का न्यूनतम बहुपद अब भी $P$ को विभाजित करता है, अतः वियोज्य है)। ऐसा प्रत्येक अंतःस्थापन $\tau \colon L \to \Omega$ $P$ के मूलों का क्रमचय करता है ($\tau$ गुणांक स्थिर रखता है), और $L$ उन्हीं से जनित है: अतः $\tau(L) = L$। इसलिए अंतःस्थापन $=$ स्वसमाकारिताएँ हैं: $\abs{\operatorname{Gal}(L/K)} = [L:K]$। मध्यवर्ती $F$ के लिए: $L$ $F$ पर भी $P$ का विभाजन क्षेत्र है, और $P$ वियोज्य बना रहता है: अतः $L/F$ गाल्वा है; और वही तर्क $F$ पर प्रसामान्यता दे देता है। ∎

उपपत्ति. मान लीजिए $n = \abs G$, $G = \{\sigma_1, \dots, \sigma_n\}$, और मान लीजिए $x_1, \dots, x_{n+1} \in L$ $K$ पर रैखिकतः स्वतंत्र हैं। $L$ पर $n+1$ अज्ञातों $(c_j)$ में $n$ समीकरणों का समघात रैखिक निकाय

कोई शून्येतर हल रखता है; ऐसा हल चुनिए जिसमें सबसे कम शून्येतर प्रविष्टियाँ हों, मान लीजिए $c_1, \dots, c_r \neq 0$ (पुनःक्रमांकन के बाद), $r \geq 2$ (एकमात्र $c_j\sigma_i(x_j) = 0$ असंभव है), और $c_r = 1$ मानकीकृत। सभी $c_j$ $K$ में नहीं हो सकते: अन्यथा $\sigma_i = \mathrm{id}$ का समीकरण स्वतंत्रता का खंडन करता; मान लीजिए $c_1 \notin K$, अतः किसी $\tau \in G$ के लिए $\tau(c_1) \ne c_1$। अब सभी समीकरणों पर $\tau$ लगाइए: चूँकि $\tau\sigma_i$ $G$ में विचरता है, सदिश $(\tau(c_j))_j$ एक और हल है; घटाने पर $(c_j - \tau(c_j))_j$ ऐसा हल है जिसमें कम शून्येतर प्रविष्टियाँ हैं ($r$-वीं प्रविष्टि $1 - 1 = 0$ लुप्त हो जाती है, पहली नहीं) और जो शून्य नहीं है: विरोधाभास। अतः कोई भी $n+1$ अवयव आश्रित होते हैं: $[L:K] \leq n$। ∎

उपपत्ति. (1) स्पष्टतः $K \subseteq L^G$। विलोमतः मान लीजिए $\alpha \in L \setminus K$; हम $\sigma(\alpha) \ne \alpha$ वाला $\sigma \in G$ प्रस्तुत करते हैं। $K$ पर न्यूनतम बहुपद $\pi_\alpha$ की घात $\geq 2$ है और वह वियोज्य है ($L/K$ वियोज्य, प्रतिज्ञप्ति 4.19), अतः किसी बीजीय संवृति $\Omega \supseteq L$ में उसका कोई दूसरा मूल $\beta \neq \alpha$ है। $K$-अंतःस्थापन $K(\alpha) \to \Omega$, $\alpha \mapsto \beta$, को किसी अंतःस्थापन $\tau\colon L \to \Omega$ तक विस्तारित कीजिए (प्रतिज्ञप्ति 4.16); प्रसामान्यता (प्रतिज्ञप्ति 4.19) से $\tau(L) = L$, अतः $\tau \in G$, $\beta = \tau(\alpha) \in L$, और $\tau(\alpha) \neq \alpha$।

(2) किसी उपसमूह $H$ के लिए: $L/L^H$ गाल्वा है (प्रतिज्ञप्ति 4.19), और तुच्छ रूप से $\operatorname{Gal}(L/L^H) \supseteq H$, अतः $[L:L^H] = \abs{\operatorname{Gal}(L/L^H)} \geq \abs H$; आर्टिन की प्रमेयिका $[L:L^H] \leq \abs H$ देती है: इसलिए समता, और $\operatorname{Gal}(L/L^H) = H$। किसी मध्यवर्ती क्षेत्र $F$ के लिए: $L/F$ गाल्वा होने से $L/F$ पर (1) लगाकर $L^{\operatorname{Gal}(L/F)} = F$ मिलता है। दोनों प्रतिचित्रण परस्पर प्रतिलोम हैं; और वे स्पष्टतः अंतर्वेशन उलट देते हैं। घातें: $[L:L^H] = \abs H$ अभी सिद्ध हुआ, और $[L^H:K] = [L:K]/[L:L^H] = \abs G/\abs H$।

(3) $\sigma \in G$ और $H \leq G$ के लिए: $\sigma(L^H) = L^{\sigma H\sigma^{-1}}$ (सीधी जाँच)। उस एकैकी आच्छादक संगति से, सभी $\sigma$ के लिए $\sigma(L^H) = L^H$ तभी और केवल तभी जब $H \trianglelefteq G$। अब यदि $H \trianglelefteq G$ हो, तो $F = L^H$ रखिए: प्रत्येक $\sigma \in G$ $F$ की किसी स्वसमाकारिता तक प्रतिबंधित हो जाता है, जिससे अष्टि $\{\sigma : \sigma\restriction_F = \mathrm{id}\} = \operatorname{Gal}(L/F) = H$ वाली समाकारिता $\rho \colon G \to \operatorname{Aut}_K(F)$ मिलती है। अतः $G/H$ $\operatorname{Aut}_K(F)$ में अंतःस्थापित हो जाता है, जिससे $\abs{\operatorname{Aut}_K(F)} \geq [G:H] = [F:K]$; और विपरीत असमिका सदैव लागू होती है (प्रतिज्ञप्ति 4.16): अतः $\abs{\operatorname{Aut}_K(F)} = [F:K]$ और $\rho$ आच्छादक है। अब यह देखना शेष है कि $F/K$ गाल्वा है: $F$ $K$ पर वियोज्य है (वियोज्य $L/K$ के भीतर), और $F = K(\gamma)$ (प्रमेय 4.17); बहुपद $\prod_{\sigma \in G/H}\bigl(X - \sigma(\gamma)\bigr)$ (गुणन भिन्न प्रतिबिंबों पर, जो $F$ में होते हैं: $H$ की प्रसामान्यता से $\sigma(F) = L^{\sigma H\sigma^{-1}} = L^H = F$) के गुणांक $G$ से स्थिर रहते हैं, अतः (1) से वे $K$ में हैं: यह $K[X]$ का वियोज्य बहुपद है जिसे $F$ विभाजित करता है, और उसके मूल $F$ को जनित करते हैं: अतः $F/K$ गाल्वा है। विलोमतः, यदि $F/K$ के गाल्वा होते हुए $F = L^H$ हो, तो $F$ की प्रसामान्यता (प्रतिज्ञप्ति 4.19, जिसे $G$ के अवयवों से प्रतिबंधित अंतःस्थापनों $F \to \Omega$ पर लगाया गया है) से सभी $\sigma \in G$ के लिए $\sigma(F) = F$, अर्थात् $H \trianglelefteq G$। ∎

उपपत्ति. मान लीजिए $f = \pi_{\zeta_n}$, अतः मोनिक $f, g \in \Z[X]$ के साथ $\Phi_n = fg$ (गाउस की प्रमेयिका प्रमेयिका 2.23: अंतर्वस्तुएँ गुणा होती हैं, और सभी बहुपद मोनिक हैं)। दावा: यदि $\zeta$ $f$ का मूल हो और $p \nmid n$ अभाज्य हो, तो $\zeta^p$ $f$ का मूल है। अन्यथा $\zeta^p$ $g$ का मूल है (वह इकाई का आद्य $n$-वाँ मूल है), अतः $\zeta$ $g(X^p)$ का मूल है, और $\Z[X]$ में $f \mid g(X^p)$ (न्यूनतम बहुपद, फिर पुनः गाउस)। $p$ के सापेक्ष अपचयन कीजिए: $\bar g(X^p) = \bar g(X)^p$ ($\mathbb F_p[X]$ पर फ्रोबेनियस: गुणांकशः $a^p = a$, और नौसिखिए का स्वप्न), अतः $\bar f \mid \bar g^{\,p}$: इस प्रकार $\bar f$ और $\bar g$ में एक उभयनिष्ठ अखंडनीय गुणनखंड है, और $\bar\Phi_n = \bar f\bar g$ में कोई पुनरावृत्त गुणनखंड है। तब $X^n - \bar 1$ में भी होगा; परंतु उसका अवकलज $\bar nX^{n-1}$ उसके साथ सह-अभाज्य है ($p \nmid n$, और $0$ मूल नहीं है): विरोधाभास।

प्रत्येक आद्य मूल $\zeta_n^k$ ($\gcd(k, n) = 1$) $\zeta_n$ से उन अभाज्य घातों द्वारा प्राप्त होता है जो $n$ को विभाजित नहीं करतीं ($k$ का गुणनखंडन कीजिए): दावा आगे बढ़ता जाता है, अतः प्रत्येक आद्य मूल $f$ का मूल है: इसलिए $f = \Phi_n$, जो अखंडनीय है। फलस्वरूप $[\Q(\zeta_n):\Q] = \varphi(n)$, और $\Q(\zeta_n)$ वियोज्य $X^n - 1$ का विभाजन क्षेत्र है (सभी मूल $\zeta_n$ की घातें हैं): अतः गाल्वा। कोई स्वसमाकारिता $\sigma$ $\zeta_n$ को किसी दूसरे आद्य मूल $\zeta_n^{a(\sigma)}$ पर भेजती है, और $\sigma \mapsto a(\sigma)$ $(\Z/n\Z)^\times$ में एक एकैकी समाकारिता है; दोनों समूहों का क्रम $\varphi(n)$ है: अतः तुल्याकारिता। ∎

उपपत्ति. ($\Rightarrow$) किसी उपक्षेत्र $F \subseteq \R$ में निर्देशांक रखने वाले बिंदुओं से जाती दो रेखाओं के प्रतिच्छेदन के निर्देशांक $F$ पर एक रैखिक निकाय हल करते हैं: वे $F$ में ही रहते हैं। रेखा–वृत्त और वृत्त–वृत्त प्रतिच्छेदन, रैखिक अंश हटाने के बाद (दोनों वृत्त समीकरण घटाने से एक रेखा मिलती है), $F$ पर एक द्विघात समीकरण पर पहुँचते हैं: अतः नए निर्देशांक $F$ में होते हैं या किसी $d \in F$, $d > 0$ के लिए $F(\sqrt d)$ में। आगमन से प्रत्येक रचे गए बिंदु के निर्देशांक $\Q$ के द्विघात विस्तारों की किसी मीनार में होते हैं; और $z = x + \iu y$ भी किसी द्विघात मीनार में होता है ($\iu$ जोड़िए: एक और द्विघात चरण)। घात संबंधी परिणाम: मीनार नियम से $[\Q(z):\Q]$ $[F_r : \Q] = 2^r$ को विभाजित करता है।

($\Leftarrow$) रचनीय संख्याएँ एक क्षेत्र बनाती हैं: योग और अंतर समांतर चतुर्भुजों से (समांतर रेखाएँ रचनीय हैं: दो बार लंब गिराइए और उठाइए — किसी बिंदु से जाता शास्त्रीय लंब एक वृत्त और दो चापों से बनता है); गुणनफल और भागफल थेल्स के अंतःखंड विन्यासों से (दी हुई लंबाइयों $a, b$ से दो किरणों पर समरूप त्रिभुजों द्वारा $ab$ और $a/b$ रचिए)। और यह क्षेत्र वर्गमूल के अंतर्गत संवृत है: $a > 0$ के लिए, व्यास $1 + a$ वाला वृत्त और संधि बिंदु पर खींचा गया लंब ऊँचाई $\sqrt a$ पर मिलते हैं (समकोण त्रिभुज में शीर्षलंब का गुणोत्तर-माध्य संबंध); और किसी सम्मिश्र $w = \rho\eu^{\iu\theta}$ के लिए $\sqrt\rho$ रचकर $\theta$ का अर्धक बनाइए (कोण का अर्धकन परकार से होने वाली रचना है)। अतः किसी द्विघात मीनार के सदस्यों के वास्तविक और काल्पनिक भाग मीनार पर आगमन द्वारा रचनीय होते हैं: प्रत्येक चरण किसी द्विघात के मूल जोड़ता है, जो क्षेत्र संक्रियाओं और पहले से रची गई किसी संख्या के एक वर्गमूल से व्यक्त हो जाते हैं (द्विघात सूत्र; अभिलक्षण $0$ में)। ∎