विश्वविद्यालय गणित — स्नातक वर्ष 1 · Bachelor Year 1

4मानक फलन

विश्लेषण उतना ही उपयोगी है जितना फलनों का वह भंडार जिस पर अधिकार हो। माध्यमिक विद्यालय से मिले संग्रह — घात, चरघातांकी, लघुगणक, त्रिकोणमितीय फलन — में यह अध्याय उनके प्रतिलोम फलन ( $\arcsin$ , $\arccos$ , $\arctan$ ) और अतिपरवलयिक कुल जोड़ता है। अवकलजों का प्रयोग उच्चतर माध्यमिक स्तर पर स्वतंत्र रूप से किया गया है; प्रतिलोम फलनों के पीछे का सिद्धांत अध्याय 13 और 14 में पूरा होता है।

4.1 चरघातांकी, लघुगणक, घातें

प्रतिज्ञप्ति 4.1 (पुनरावलोकन और अभिलक्षण)

$\exp \colon \R \to \intoo{0}{+\infty}$ और $\ln \colon \intoo{0}{+\infty} \to \R$ परस्पर प्रतिलोम एकैकी आच्छादन हैं, कठोरतः वर्धमान, जहाँ

\exp(x + y) = \exp x \exp y, \qquad \ln(xy) = \ln x + \ln y, \qquad \exp' = \exp, \qquad \ln'(x) = \frac 1x .

इसके अतिरिक्त $\exp$ एकमात्र अवकलनीय फलन $f \colon \R \to \R$ है जिसके लिए $f' = f$ और $f(0) = 1$ ।

उपपत्ति. पुनरावलोकन उच्चतर माध्यमिक सामग्री है। अद्वितीयता के लिए मान लीजिए $f' = f$ , $f(0) = 1$ , और $g(x) = f(x)\,\eu^{-x}$ रखिए। तब $g' = f'\eu^{-x} - f\eu^{-x} = 0$ , अतः $g$ $g(0) = 1$ के बराबर अचर है: $f = \exp$ । ∎

परिभाषा 4.2 (व्यापक घातें)

$x > 0$ और $\alpha \in \R$ के लिए: $\;x^\alpha = \eu^{\alpha \ln x}$ । $a > 0$ , $a \neq 1$ के लिए आधार $a$ का लघुगणक $\log_a x = \frac{\ln x}{\ln a}$ है, जो $x \mapsto a^x$ का प्रतिलोम है।

उदाहरण 4.3 (चरघातांकी समीकरण हल करना)

$\R$ में $2^x = 5^{\,x-1}$ हल कीजिए। दोनों पक्ष धनात्मक हैं, अतः लघुगणक लीजिए — यह पद उत्क्रमणीय है:

x\ln2 = (x - 1)\ln5 \iff x(\ln2 - \ln5) = -\ln5 \iff x = \frac{\ln5}{\ln5 - \ln2} = \frac{\ln 5}{\ln\frac52} \approx 1.756 .

अब $x > 0$ के लिए $x^{\sqrt2} = 3$ हल कीजिए: घात $\frac1{\sqrt2}$ तक उठाइए (अर्थात् परस्पर प्रतिलोम एकैकी आच्छादन लगाइए): $x = 3^{1/\sqrt2} = \eu^{(\ln 3)/\sqrt2} \approx 2.175$ । सार: घातों को मिलाने वाला हर समीकरण $\ln$ और $\exp$ से होकर खुलता है, क्योंकि परिभाषा $x^\alpha = \eu^{\alpha\ln x}$ घातों की सारी हेराफेरी को घातांकों के अंकगणित तक सीमित कर देती है — पर केवल उसी प्रांत $x > 0$ पर जहाँ वह परिभाषा रहती है।

उदाहरण 4.4 (द्विगुणन काल)

कोई राशि प्रति पद $3\%$ से बढ़ती है: $n$ पदों के बाद वह $(1.03)^n$ से गुणित हो जाती है। वह दुगुनी कब होगी? $(1.03)^n \geq 2$ हल कीजिए:

n\ln(1.03) \geq \ln2 \iff n \geq \frac{\ln 2}{\ln 1.03} = \frac{0.6931}{0.02956} \approx 23.4 ,

अतः पहला द्विगुणन पद $24$ पर होता है। (वित्तज्ञों का “ $72$ का नियम”, जो द्विगुणन काल का आकलन $72$ को प्रतिशत में दर से भाग देकर करता है, यही संगणना है, बस सन्निकटन $\ln(1 + x) \approx x$ के साथ, जिसका परिमाणन अध्याय 16 में है।) चरघातांकी प्रक्रियाओं पर विचार उनके लघुगणकों के द्वारा करना सबसे अच्छा रहता है: उस पैमाने पर वृद्धि रैखिक हो जाती है और प्रश्न भाग बन जाते हैं।

उदाहरण 4.5 ( $2^{2026}$ कितना लंबा है?)

पूर्णांक $N \geq 1$ के दशमलव अंकों की संख्या $\floor{\log_{10} N} + 1$ है (वस्तुतः $N$ के ठीक $d$ अंक तब होते हैं जब $10^{d-1} \leq N < 10^d$ , अर्थात् $d - 1 \leq \log_{10}N < d$ )। $N = 2^{2026}$ के लिए:

\log_{10} 2^{2026} = 2026\,\log_{10}2 = 2026 \times 0.301030 = 609.887 ,

अतः $2^{2026}$ के $610$ अंक हैं। भिन्नात्मक भाग एक बोनस भी लाता है: $10^{0.887} \approx 7.7$ , अतः यह संख्या $7$ से आरंभ होती है। एक गुणा ने ऐसी संख्या के विषय में प्रश्न का उत्तर दे दिया जिसे कोई कभी पूरा लिखेगा भी नहीं — लघुगणक गुणात्मक आकार को योगात्मक आकार में सिकोड़ देते हैं, जो उनका पूरा ऐतिहासिक प्रयोजन है (उदाहरण 7.12 इस वाक्य को ठीक-ठीक कह देता है)।

प्रतिज्ञप्ति 4.6 (घात के नियम और वृद्धि की तुलना)

$x, y > 0$ और $\alpha, \beta \in \R$ के लिए:

x^{\alpha+\beta} = x^\alpha x^\beta, \quad (x^\alpha)^\beta = x^{\alpha\beta}, \quad (xy)^\alpha = x^\alpha y^\alpha, \quad (x^\alpha)' = \alpha\, x^{\alpha - 1}.

वृद्धि का पैमाना: जब $x \to +\infty$ , तब प्रत्येक $\alpha > 0$ और $\beta > 0$ के लिए

\frac{(\ln x)^\beta}{x^\alpha} \longrightarrow 0, \qquad \frac{x^\alpha}{\eu^{\beta x}} \longrightarrow 0 .

उपपत्ति. ये सर्वसमिकाएँ परिभाषा के द्वारा $\exp$ और $\ln$ की सर्वसमिकाओं का लिप्यंतरण हैं। दूसरी (जो सबसे कम स्पष्ट है) के लिए विस्तार से: $x^\alpha > 0$ और $\ln(x^\alpha) = \alpha\ln x$ (परिभाषा पर $\ln$ लगाइए), अतः

(x^\alpha)^\beta = \eu^{\beta\ln(x^\alpha)} = \eu^{\beta\alpha\ln x} = x^{\alpha\beta} ;

पहली और तीसरी $\exp(u + v) = \exp u\exp v$ तथा $\ln(xy) = \ln x + \ln y$ के द्वारा उसी प्रकार के दो-पंक्ति के उद्घाटन हैं। अवकलज शृंखला नियम है: $(\eu^{\alpha\ln x})' = \frac{\alpha}{x} \eu^{\alpha\ln x}$ ।

तुलनाएँ: $\frac{\ln t}{t} \to 0$ से (जो उच्चतर माध्यमिक खंड में सिद्ध है) $t = x^{\alpha/\beta}$ प्रतिस्थापित कीजिए: $\frac{\ln x}{x^{\alpha/\beta}} \to 0$ , फिर घात $\beta$ तक उठाइए। दूसरी के लिए पहली में $x = \ln u$ प्रतिस्थापित कीजिए। ∎

उदाहरण 4.7 (दो सीमाएँ जो हर पाठक की अपनी होनी चाहिए)

$\lim_{x \to 0^+} x^x$ और $\lim_{x \to +\infty} x^{1/x}$ क्या हैं? दोनों घातें चरघातांकी के द्वारा परिभाषित हैं, अतः पहले घातांक तय कीजिए:

x^x = \eu^{x\ln x}, \qquad x\ln x = -\frac{\ln(1/x)}{1/x} \longrightarrow 0 \quad (x \to 0^+), \qquad\text{अतः } x^x \longrightarrow \eu^0 = 1 ;

और जब $x \to +\infty$ , तब सीधे वृद्धि की तुलना से $x^{1/x} = \eu^{(\ln x)/x} \to \eu^0 = 1$ । सार: अनिश्चित घात ( $0^0$ या $\infty^0$ के आकार की) सदा $u^v = \eu^{v\ln u}$ लिखकर और गुणनफल $v \ln u$ का विश्लेषण करके सँभाली जाती है — कभी आधार और घातांक को अलग-अलग देखकर अनुमान लगाकर नहीं। जिस फलन $x \mapsto \frac{\ln x}{x}$ ने दोनों सीमाएँ तय कीं, उसका संपूर्ण अध्ययन इस अध्याय की सप्ताहांत समस्या में है।

का वृद्धि पैमाना: दाएँ किनारे के पास x मुश्किल से 1.6 पार कर पाया है, जबकि x चौखट से बाहर निकल चुका है। हर अनुपात (लघुगणक बटा घात, घात बटा चरघातांकी) 0 की ओर जाता है — चित्र केवल संकेत देता है, जिसे उपपत्ति के प्रतिस्थापन ठीक-ठीक कर देते हैं। — प्रतिज्ञप्ति 4.6 का वृद्धि पैमाना: दाएँ किनारे के पास $\ln x$ मुश्किल से $1.6$ पार कर पाया है, जबकि $\eu^x$ चौखट से बाहर निकल चुका है। हर अनुपात (लघुगणक बटा घात, घात बटा चरघातांकी) $0$ की ओर जाता है — चित्र केवल संकेत देता है, जिसे उपपत्ति के प्रतिस्थापन ठीक-ठीक कर देते हैं।

टिप्पणी 4.8 (घातों और लघुगणकों की सामान्य भूलें)

प्रांत। अपरिमेय $\alpha$ के लिए $x^\alpha$ को $x > 0$ चाहिए; $(-8)^{1/3}$ से बचकर “ $-8$ का वास्तविक घनमूल” कहना बेहतर है, क्योंकि नियम $(x^\alpha)^\beta = x^{\alpha\beta}$ ऋणात्मक संख्याओं पर चुपचाप विफल हो जाता है: $\bigl((-8)^2\bigr)^{1/6} = 2 \neq -2$ ।
$\sqrt{x^2} = \abs x$ , $x$ नहीं: निरपेक्ष मान भूल जाना ऋणात्मक हल खो देने का चिरपरिचित कारण है।
$\ln(xy) = \ln x + \ln y$ के लिए $x, y > 0$ आवश्यक है। ऋणात्मक प्रांतिकों के लिए $\ln(xy)$ परिभाषित किया जा सकता है, जबकि दायाँ पक्ष नहीं।
कौन-सा फलन बढ़ता है? $x^\alpha$ में आधार बदलता है; $a^x$ में घातांक। उनकी वृद्धियाँ अत्यंत भिन्न हैं (प्रतिज्ञप्ति 4.6), और $x^{\ln x}$ या $x^{1/x}$ जैसे मिश्रित व्यंजकों को किसी भी तर्क से पहले $\eu^{(\cdot)}$ के रूप में फिर से लिखना चाहिए — जैसा उदाहरण 4.7 में है।

4.2 प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन

परिभाषा 4.9 ( $\arcsin$ , $\arccos$ , $\arctan$ )

प्रतिबंधन

\sin \colon \intcc{-\tfrac\pi2}{\tfrac\pi2} \to \intcc{-1}{1}, \qquad \cos \colon \intcc{0}{\pi} \to \intcc{-1}{1}, \qquad \tan \colon \intoo{-\tfrac\pi2}{\tfrac\pi2} \to \R

कठोरतः एकदिष्ट एकैकी आच्छादन हैं। उनके प्रतिलोम प्रतिचित्रण $\arcsin$ , $\arccos$ और $\arctan$ लिखे जाते हैं। अतः उदाहरणार्थ $y = \arcsin x$ ( $x \in \intcc{-1}{1}$ ) $\intcc{-\frac\pi2}{\frac\pi2}$ का वही कोण है जिसकी ज्या $x$ है।

बाएँ से दाएँ: , , । प्रत्येक अपना आलेख प्रतिबंधित सीधे फलन से रेखा y = x में परावर्तन द्वारा पाता है। — बाएँ से दाएँ: $\arcsin$ , $\arccos$ , $\arctan$ । प्रत्येक अपना आलेख प्रतिबंधित सीधे फलन से रेखा $y = x$ में परावर्तन द्वारा पाता है।

प्रतिज्ञप्ति 4.10 (अवकलज)

अपने प्रांतों के अंतःभाग पर:

\arcsin' x = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}, \qquad \arccos' x = \frac{-1}{\sqrt{1 - x^2}}, \qquad \arctan' x = \frac{1}{1 + x^2}.

उपपत्ति. अध्याय 14 में सिद्ध होने वाले प्रतिलोम-फलन नियम का पूर्वानुमान करते हुए: यदि $f$ अवकलनीय एकैकी आच्छादन है और $f' \neq 0$ , तो $(f^{-1})'(x) = \frac{1}{f'(f^{-1}(x))}$ । $\arcsin$ के लिए: $y = \arcsin x$ के साथ,

\arcsin' x = \frac{1}{\cos y} = \frac{1}{\sqrt{1 - \sin^2 y}} = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}},

जहाँ $\cos y = +\sqrt{1 - \sin^2 y}$ , क्योंकि $y \in \intoo{-\frac\pi2}{\frac\pi2}$ से $\cos y > 0$ आ जाता है। इसी प्रकार $\intoo{0}{\pi}$ पर $\sin y > 0$ के साथ $\arccos' x = \frac{1}{-\sin y}$ , और $\tan' = 1 + \tan^2$ का प्रयोग करते हुए $\arctan' x = \frac{1}{1 + \tan^2 y} = \frac{1}{1 + x^2}$ । ∎

उदाहरण 4.11 (एक छिपे हुए अचर को पहचानना)

$\intoo{-1} {+\infty}$ पर $g(x) = \arctan\dfrac{1 - x}{1 + x}$ का अध्ययन कीजिए। शृंखला नियम और एक छोटी संगणना:

g'(x) = \frac{1}{1 + \bigl(\frac{1-x}{1+x}\bigr)^2}\cdot \frac{-(1+x) - (1-x)}{(1+x)^2} = \frac{-2}{(1+x)^2 + (1-x)^2} = \frac{-1}{1 + x^2} ,

क्योंकि $(1+x)^2 + (1-x)^2 = 2 + 2x^2$ । अतः $g' = -\arctan'$ : फलन $g + \arctan$ का अवकलज अंतराल $\intoo{-1}{+\infty}$ पर शून्य है, अतः वह वहाँ अचर है; $x = 0$ पर उसका मान $\arctan 1 + \arctan 0 = \frac\pi4$ है। निष्कर्ष:

\arctan\frac{1 - x}{1 + x} = \frac\pi4 - \arctan x \qquad (x > -1) .

$\intoo{-\infty}{-1}$ पर वही अवकलज संगणना सत्य है, पर अचर भिन्न है ( $-\frac{3\pi}4$ : $x \to -\infty$ पर सीमा का मान लीजिए)। सार: “शून्य अवकलज का अर्थ अचर” अंतराल-दर-अंतराल कथन है — ठीक वही सूक्ष्मता जिसका उपयोग अभ्यास 4.6 और अभ्यास 4.10 में होता है।

प्रतिज्ञप्ति 4.12 (मानक सर्वसमिकाएँ)

$x \in \intcc{-1}{1}$ के लिए: $\arcsin x + \arccos x = \dfrac{\pi}{2}$ ।
$x > 0$ के लिए: $\arctan x + \arctan\dfrac 1x = \dfrac{\pi}{2}$ (और $x < 0$ के लिए $-\frac\pi2$ )।
$\sin(\arccos x) = \cos(\arcsin x) = \sqrt{1 - x^2}$ ; $\abs x < 1$ के लिए $\;\tan(\arcsin x) = \dfrac{x}{\sqrt{1 - x^2}}$ ।

उपपत्ति. (1) $x \mapsto \arcsin x + \arccos x$ का अवकलज $\intoo{-1}{1}$ पर शून्य है (प्रतिज्ञप्ति 4.10), अतः फलन वहाँ अचर है और $0$ पर अपने मान $\frac\pi2$ के बराबर है; सिरों के मान $\pm 1$ सीधे जाँचे जाते हैं ( $\frac\pi2 + 0$ और $-\frac\pi2 + \pi$ )।

(2) $\intoo{0}{+\infty}$ पर वही विधि: अवकलज $\frac{1}{1+x^2} + \frac{-1/x^2}{1 + 1/x^2} = \frac{1}{1+x^2} - \frac{1}{x^2 + 1} = 0$ है, और $x = 1$ पर योग $2\arctan 1 = \frac\pi2$ है। $x < 0$ के लिए $\arctan$ की विषमता का प्रयोग कीजिए।

(3) $y = \arccos x \in \intcc{0}{\pi}$ के साथ: $\sin y \geq 0$ , अतः $\sin y = \sqrt{1 - \cos^2 y} = \sqrt{1 - x^2}$ ; इसी प्रकार $\cos(\arcsin x)$ के लिए भी, और स्पर्शज्या का सूत्र इनका भागफल है। ∎

टिप्पणी 4.13

$\arcsin(\sin\theta) = \theta$ केवल $\theta \in \intcc{-\frac\pi2}{\frac\pi2}$ के लिए सत्य है: उदाहरणार्थ $\arcsin(\sin\pi) = 0 \neq \pi$ । दूसरी दिशा का संयोजन, $\sin(\arcsin x) = x$ , पूरे $\intcc{-1}{1}$ पर वैध है।

उदाहरण 4.14 (मुख्य अंतराल पर लौटना)

संगणना कीजिए

\arctan\Bigl(\tan\frac{3\pi}4\Bigr) \qquad\text{और}\qquad \arctan\Bigl(\tan\frac{17\pi}5\Bigr).

विधि: कोण के स्थान पर $\intoo{-\frac\pi2}{\frac\pi2}$ का वही अद्वितीय कोण रखिए जिसकी स्पर्शज्या वही हो, अर्थात् $\pi$ ( $\tan$ का आवर्तकाल) का उचित गुणज घटा दीजिए। पहला: $\frac{3\pi}4 - \pi = -\frac\pi4$ , अतः उत्तर $-\frac\pi4$ है। दूसरा: $\frac{17\pi} 5 - 3\pi = \frac{2\pi}5 \in \intoo{-\frac\pi2}{\frac\pi2}$ , अतः उत्तर $\frac{2\pi}5$ है। यह संगणना वेश बदले हुए $\pi$ से कोण का यूक्लिडीय भाग ही है — और $\arcsin$ ( $\intcc{-\frac\pi2}{\frac\pi2}$ में परावर्तित, आवर्तकाल $2\pi$ ) तथा $\arccos$ ( $\intcc0\pi$ में परावर्तित) के लिए अनुरूप विधियाँ अभ्यास 4.1 और अभ्यास 4.10 के खंडशः उत्तर को चलाती हैं।

उदाहरण 4.15 (प्रतिलोम स्पर्शज्याओं का सुरक्षित योग)

आइए सिद्ध करें

\arctan\frac12 + \arctan\frac15 + \arctan\frac18 = \frac\pi4 .

दो सामग्रियाँ: स्पर्शज्या का योग-सूत्र, और — वह पद जो आरंभिक विद्यार्थी भूल जाते हैं — योग का स्थानीकरण। पहले, $u = \arctan\frac12$ , $v = \arctan\frac15$ के साथ $\tan(u + v) = \frac{\tan u + \tan v}{1 - \tan u\tan v}$ देता है

\tan(u + v) = \frac{\frac12 + \frac15}{1 - \frac1{10}} = \frac{7/10}{9/10} = \frac79, \qquad\text{फिर}\qquad \tan\Bigl(u + v + \arctan\frac18\Bigr) = \frac{\frac79 + \frac18}{1 - \frac7{72}} = \frac{65/72}{65/72} = 1 .

दूसरे, तीनों कोणों में से प्रत्येक $\intoo0{\frac\pi4}$ में है (उनके प्रांतिक $1$ से कम हैं), अतः योग $\intoo0{\frac{3\pi}4}$ में है; वहाँ स्पर्शज्या $1$ वाला एकमात्र कोण $\frac\pi4$ है। स्थानीकरण के बिना निष्कर्ष “ $\pi$ के गुणज तक $\frac\pi4$ ” होता — अर्थात् आधी उपपत्ति। यही दो-पदीय अनुशासन अभ्यास 4.8 और अभ्यास 4.12 को चलाता है।

उदाहरण 4.16 (प्रतिलोम स्पर्शज्या वाला एक समीकरण)

$\arctan x + \arctan 2x = \dfrac\pi4$ हल कीजिए। पहले स्थानीकरण: बाएँ पक्ष का चिह्न $x$ का चिह्न है (दोनों पदों का यही है), अतः किसी भी हल के लिए $x > 0$ , और तब योग $\intoo0\pi$ में है। स्पर्शज्या लीजिए ( $\pi$ लंबाई के किसी भी अंतराल पर वह एकैकी नहीं है, पर स्थानीकरण के साथ मिलकर यह पर्याप्त होगा): योग-सूत्र देता है

\tan\bigl(\arctan x + \arctan 2x\bigr) = \frac{3x}{1 - 2x^2} = 1 \iff 2x^2 + 3x - 1 = 0 \iff x = \frac{-3 \pm \sqrt{17}}4 .

ऋणात्मक मूल स्थानीकरण से हटा दिया जाता है; धनात्मक उम्मीदवार $x_0 = \frac{\sqrt{17} - 3}4 \approx 0.28$ के लिए योग $\intoo0\pi$ में है और उसकी स्पर्शज्या $1$ है, और ऐसा एकमात्र कोण $\frac\pi4$ है ( $\intoo{\frac\pi2}\pi$ में स्पर्शज्या ऋणात्मक है): $x_0$ अद्वितीय हल है। तर्क के आकार पर ध्यान दीजिए: स्पर्शज्या लेने से हल बन सकते हैं, खो कभी नहीं सकते, अतः पहले बहुपदीय समीकरण हल कीजिए और फिर स्थानीकरण से छानिए — वही आगे-जाँच का अनुशासन जो समीकरण का वर्ग करने में लगता है।

4.3 अतिपरवलयिक फलन

परिभाषा 4.17 ( $\cosh$ , $\sinh$ , $\tanh$ )

$x \in \R$ के लिए:

\cosh x = \frac{\eu^x + \eu^{-x}}{2}, \qquad \sinh x = \frac{\eu^x - \eu^{-x}}{2}, \qquad \tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x}

(अतिपरवलयिक कोज्या, ज्या, स्पर्शज्या)। $\cosh$ सम है, $\sinh$ और $\tanh$ विषम हैं।

प्रतिज्ञप्ति 4.18 (मूल गुणधर्म)

सभी $x, y \in \R$ के लिए:

$\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$ ;
$\cosh' = \sinh$ , $\;\sinh' = \cosh$ , $\;\tanh' = 1 - \tanh^2 = \dfrac{1}{\cosh^2}$ ;
$\cosh(x+y) = \cosh x\cosh y + \sinh x \sinh y$ और $\sinh(x+y) = \sinh x \cosh y + \cosh x \sinh y$ ;
$\sinh$ $\R$ का $\R$ पर कठोरतः वर्धमान एकैकी आच्छादन है; $\R_+$ तक प्रतिबंधित $\cosh$ $\intco{1}{+\infty}$ पर कठोरतः वर्धमान एकैकी आच्छादन है; $\tanh$ $\R$ का $\intoo{-1}{1}$ पर कठोरतः वर्धमान एकैकी आच्छादन है।

उपपत्ति. (1) $\bigl(\frac{\eu^x + \eu^{-x}}{2}\bigr)^2 - \bigl(\frac{\eu^x - \eu^{-x}}{2}\bigr)^2 = \frac{(\eu^{2x} + 2 + \eu^{-2x}) - (\eu^{2x} - 2 + \eu^{-2x})}{4} = 1$ .

(2) परिभाषा के सूत्रों का अवकलन कीजिए; $\tanh$ के लिए भागफल नियम $\frac{\cosh^2 - \sinh^2}{\cosh^2}$ देता है, जो (1) से $1 - \tanh^2$ भी है और $\frac{1}{\cosh^2}$ भी।

(3) परिभाषाओं का प्रयोग करके दाएँ पक्षों का प्रसार कीजिए। पहले सूत्र के लिए विस्तार से:

\cosh x\cosh y + \sinh x\sinh y = \frac{(\eu^x + \eu^{-x})(\eu^y + \eu^{-y}) + (\eu^x - \eu^{-x})(\eu^y - \eu^{-y})}{4} ;

आठ गुणनफलों में से चार “मिश्रित” ( $\eu^{x-y}$ , $\eu^{y-x}$ ) जोड़ों में कट जाते हैं, जबकि $\eu^{x+y}$ और $\eu^{-(x+y)}$ प्रत्येक दो बार आते हैं: कुल $\frac{2\eu^{x+y} + 2\eu^{-(x+y)}}{4} = \cosh(x+y)$ है। ज्या का सूत्र इसके समान ही है, बस उसमें मिश्रित पद बच जाते हैं।

(4) $\sinh' = \cosh \geq 1 > 0$ , अतः $\sinh$ कठोरतः वर्धमान है, जिसकी सीमाएँ $\pm\infty$ हैं (प्रभावी पद $\pm\frac{\eu^{\abs x}}{2}$ ); एकैकी आच्छादन वाला कथन तब मध्यवर्ती मान प्रमेय से निकलता है (जो उच्चतर माध्यमिक स्तर पर प्रयुक्त है; व्यवस्थित उपचार अध्याय 13 में)। $\R_+$ पर $\cosh' = \sinh \geq 0$ केवल $0$ पर लुप्त होता है: अतः $\cosh 0 = 1$ से $+\infty$ तक कठोरतः वर्धमान। और $\tanh' > 0$ , जिसकी सीमाएँ $\pm\infty$ पर $\pm 1$ हैं: विस्तार से,

\tanh x = \frac{\eu^x - \eu^{-x}}{\eu^x + \eu^{-x}} = \frac{1 - \eu^{-2x}}{1 + \eu^{-2x}} \xrightarrow[x \to +\infty]{} 1 ,

अंश और हर को $\eu^x$ से भाग देने के बाद, और विषमता $-\infty$ पर सीमा $-1$ दे देती है; अतः कठोरतः वर्धमान फलन $\tanh$ $\R$ को $\intoo{-1}1$ पर भेजता है। ∎

बाएँ: और , जो अनंतस्पर्शी रूप से x/2 (बिंदुकित) से चिपक जाते हैं। दाएँ: , जो -1 से 1 तक बढ़ता है। — बाएँ: $\cosh$ और $\sinh$ , जो अनंतस्पर्शी रूप से $\frac{\eu^x}{2}$ (बिंदुकित) से चिपक जाते हैं। दाएँ: $\tanh$ , जो $-1$ से $1$ तक बढ़ता है।

टिप्पणी 4.19 (“अतिपरवलयिक” क्यों?)

बिंदु $(\cosh t, \sinh t)$ अतिपरवलय $x^2 - y^2 = 1$ की शाखा $x > 0$ पर चलता है (प्रतिज्ञप्ति 4.18 (1) से), ठीक वैसे ही जैसे $(\cos t, \sin t)$ वृत्त $x^2 + y^2 = 1$ पर चलता है। हर वृत्तीय सर्वसमिका का एक अतिपरवलयिक सहोदर है, जिसमें चिह्नों के परिवर्तन $\sinh^2 \leftrightarrow -\sin^2$ से नियंत्रित होते हैं।

उदाहरण 4.20 ( $\tanh$ का योग-सूत्र)

प्रतिज्ञप्ति 4.18 (3) के दोनों योग-सूत्रों को $\cosh x\cosh y$ से भाग देने पर:

\tanh(x + y) = \frac{\sinh x\cosh y + \cosh x\sinh y} {\cosh x\cosh y + \sinh x\sinh y} = \frac{\tanh x + \tanh y}{1 + \tanh x\,\tanh y} ,

यह स्पर्शज्या के योग-सूत्र का अतिपरवलयिक सहोदर है — जहाँ त्रिकोणमिति में $-$ है, वहाँ $+$ । एक लाभांश: चूँकि $\abs{\tanh} < 1$ , दायाँ पक्ष “वेग-योग” का ऐसा नियम है जो $\intoo{-1}1$ कभी नहीं छोड़ता: यदि $u, v \in \intoo{-1}1$ , तो $\frac{u + v}{1 + uv} \in \intoo{-1}1$ भी (एकैकी आच्छादकता से संभव $u = \tanh a$ , $v = \tanh b$ लिखिए और सूत्र को उलटी दिशा में पढ़िए)। इसकी जाँच बीजगणितीय रूप से, अतिपरवलयिक फलनों के बिना, कुछ कष्टप्रद अभ्यास है; $\tanh$ से प्राचलन उसे एक पंक्ति का बना देता है — वही रणनीति जो वृत्तीय फलन इकाई वृत्त के लिए देते हैं।

प्रतिज्ञप्ति 4.21 (प्रतिलोम अतिपरवलयिक फलन)

प्रतिज्ञप्ति 4.18 (4) से प्राप्त प्रतिलोमों के संवृत रूप हैं:

\operatorname{arsinh} x = \ln\bigl(x + \sqrt{x^2 + 1}\bigr) \ (x \in \R), \qquad \operatorname{arcosh} x = \ln\bigl(x + \sqrt{x^2 - 1}\bigr) \ (x \geq 1),

\operatorname{artanh} x = \frac 12 \ln\frac{1 + x}{1 - x} \ (\abs x < 1),

जिनके अवकलज क्रमशः $\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$ , $\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}$ ( $x > 1$ ) और $\frac{1}{1 - x^2}$ हैं।

उपपत्ति. $\operatorname{arsinh}$ के लिए: $x = \sinh y = \frac{\eu^y - \eu^{-y}}{2}$ हल कीजिए। $u = \eu^y > 0$ रखने पर: $u^2 - 2xu - 1 = 0$ , अतः $u = x + \sqrt{x^2 + 1}$ (मूल $x - \sqrt{x^2+1}$ ऋणात्मक है), और $y = \ln(x + \sqrt{x^2+1})$ । शेष दोनों समरूप संगणनाएँ हैं ( $\operatorname{arcosh}$ के लिए $u^2 - 2xu + 1 = 0$ , जहाँ मूल $\geq 1$ रखा जाता है; $\operatorname{artanh}$ के लिए दो पंक्ति का पुनर्व्यवस्थापन)। अवकलज: लघुगणकीय व्यंजकों का अवकलन कीजिए, उदाहरणार्थ

\bigl(\ln(x + \sqrt{x^2+1})\bigr)' = \frac{1 + \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}}{x + \sqrt{x^2+1}} = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}} . \qedhere

∎

उदाहरण 4.22 (संवृत रूप काम पर)

$t \geq 0$ के साथ $\cosh t = 2$ का हल, संवृत रूप से, $t = \operatorname{arcosh} 2 = \ln(2 + \sqrt3) \approx 1.317$ है; दूसरा हल समता से $-t$ है — और सचमुच $\ln(2 - \sqrt3) = \ln\frac1{2 + \sqrt3} = -\ln(2 + \sqrt3)$ : द्विघात $u^2 - 4u + 1 = 0$ के दोनों मूल $u = \eu^t$ परस्पर प्रतिलोम हैं, जैसा उनका गुणनफल $1$ (व्येता) माँगता है। यह छोटी संगणना सामान्य प्रतिरूप दिखा देती है: अतिपरवलयिक समीकरण $\eu^t$ में द्विघातों में बदल जाते हैं, और सममिति $t \mapsto -t$ द्विघात की सममिति $u \mapsto 1/u$ के रूप में प्रकट होती है — अभ्यास 4.7 हल करते समय यह स्मरण रखने योग्य है।

विधि 4.23 (सही प्राथमिक रूप चुनना)

समाकलन (अध्याय 15) के लिए कंठस्थ करने योग्य तीन अवकलज-प्रतिरूप:

\int \frac{\dd x}{1 + x^2} = \arctan x + C, \qquad \int \frac{\dd x}{\sqrt{1 - x^2}} = \arcsin x + C, \qquad \int \frac{\dd x}{\sqrt{x^2 + 1}} = \operatorname{arsinh} x + C,

और किसी व्यापक द्विघात के लिए, वर्ग पूरा करके और पुनर्मापन करके इन्हीं तक पहुँचिए।

टिप्पणी 4.24 (यह अध्याय कहाँ काम आता है)

यह अध्याय आगे आने वाले पूरे विश्लेषण की काम की शब्दावली है। प्रतिज्ञप्ति 4.6 का वृद्धि पैमाना अध्याय 11 और 17 में सर्वत्र अभिसरण के प्रश्न तय करता है; प्रतिज्ञप्ति 4.10 और प्रतिज्ञप्ति 4.21 के अवकलज-सूत्र वही प्रतिअवकलज हैं जिनकी आवश्यकता अध्याय 15 में विधि 4.23 के द्वारा सबसे अधिक पड़ती है; अतिपरवलयिक फलन अध्याय 5 में समीकरण $y'' = y$ के हलों का प्राचलन ठीक वैसे करते हैं जैसे वृत्तीय फलन $y'' = -y$ के हलों का। $f' = f$ , $f(0) = 1$ (प्रतिज्ञप्ति 4.1) से $\exp$ का अभिलक्षण रैखिक अवकल समीकरणों के सिद्धांत का एकविमीय बीज है, और शृंखला वक्र $y = \cosh x$ अध्याय 24 के समतल वक्रों में लौटता है।

टिप्पणी 4.25 (मध्यांतर: प्रतिलोम-फलन कार्यक्रम)

इस अध्याय ने एक ही कार्यक्रम चार बार चलाया: फलन को तब तक प्रतिबंधित कीजिए जब तक वह कठोरतः एकदिष्ट एकैकी आच्छादन न बन जाए, प्रतिलोम को नाम दीजिए, और हर सूत्र उसके पार ले जाइए। हर पद पर जो प्रयुक्त हुआ — कि अंतराल पर संतत कठोरतः एकदिष्ट फलन किसी अंतराल पर एकैकी आच्छादन है, और उसका प्रतिलोम संतत है तथा क्रांतिक बिंदुओं से दूर अवकलनीय — वह उच्चतर माध्यमिक उधार पर लिया गया था। यह ऋण इसी खंड के भीतर चुकाया जाता है: अध्याय 13 एकैकी आच्छादन वाला कथन (एकदिष्ट प्रतिलोम प्रमेय, जो मध्यवर्ती मान प्रमेय पर टिका है) सिद्ध करता है, और अध्याय 14 वह अवकलज नियम $(f^{-1})' = 1/(f' \circ f^{-1})$ सिद्ध करता है जिसने प्रतिज्ञप्ति 4.10 और प्रतिज्ञप्ति 4.21 का हर सूत्र चुपचाप बनाया। उन अध्यायों को $\arcsin$ और $\operatorname{arsinh}$ को ध्यान में रखकर पढ़ना — उन हल किए हुए उदाहरणों के रूप में जिन्हें न्यायसंगत ठहराने के लिए सिद्धांत खड़ा किया गया — ही इस प्रत्यक्ष चक्रीयता से निकलने का अभीष्ट मार्ग है।

4.4 अभ्यास

अभ्यास 4.1 ★

कैलकुलेटर के बिना संगणना कीजिए: $\arcsin\frac{\sqrt 3}{2}$ ; $\;\arccos\bigl(-\frac 12\bigr)$ ; $\;\arctan(-1)$ ; $\;\arcsin\bigl(\sin\frac{5\pi}{6}\bigr)$ ; $\;\arccos\bigl(\cos\frac{7\pi}{4}\bigr)$ ।

हल

हल — अभ्यास 4.1.

$\arcsin\frac{\sqrt 3}{2} = \frac\pi3$ ; $\;\arccos\bigl(-\frac12\bigr) = \frac{2\pi}{3}$ ; $\;\arctan(-1) = -\frac\pi4$ .

$\arcsin\bigl(\sin\frac{5\pi}{6}\bigr)$ : $\sin\frac{5\pi}{6} = \frac12$ , और $\intcc{-\frac\pi2}{\frac\pi2}$ का वह कोण जिसकी ज्या $\frac12$ है, $\frac\pi6$ है ( $\frac{5\pi}{6}$ नहीं)।

$\arccos\bigl(\cos\frac{7\pi}{4}\bigr)$ : $\cos\frac{7\pi}{4} = \frac{\sqrt 2}{2}$ , और $\intcc{0}{\pi}$ का उस कोज्या वाला कोण $\frac\pi4$ है।

अभ्यास 4.2 ★

$f(x) = \arcsin(2x - 1)$ का परिभाषा-प्रांत दीजिए और जहाँ परिभाषित हो वहाँ $f'$ संगणित कीजिए। $g(x) = \arctan\sqrt{x}$ के लिए भी यही प्रश्न।

हल

हल — अभ्यास 4.2.

$f(x) = \arcsin(2x - 1)$ के लिए $-1 \leq 2x - 1 \leq 1$ आवश्यक है, अर्थात् $x \in \intcc{0}{1}$ । $\intoo{0}{1}$ पर शृंखला नियम और प्रतिज्ञप्ति 4.10 देते हैं

f'(x) = \frac{2}{\sqrt{1 - (2x-1)^2}} = \frac{2}{\sqrt{4x - 4x^2}} = \frac{1}{\sqrt{x(1 - x)}} .

$g(x) = \arctan\sqrt x$ $x \geq 0$ के लिए परिभाषित है, और $x > 0$ के लिए:

g'(x) = \frac{1}{1 + x} \cdot \frac{1}{2\sqrt x} = \frac{1}{2\sqrt x\,(1 + x)} .

अभ्यास 4.3 ★

सिद्ध कीजिए कि सभी $x \in \R$ के लिए: $\cosh x + \sinh x = \eu^x$ , और प्रत्येक $n \in \Z$ के लिए $(\cosh x + \sinh x)^n = \cosh nx + \sinh nx$ (अतिपरवलयिक दे मॉयवर सूत्र)।

हल

हल — अभ्यास 4.3.

$\cosh x + \sinh x = \frac{\eu^x + \eu^{-x}}{2} + \frac{\eu^x - \eu^{-x}}{2} = \eu^x$ । अतः $n \in \Z$ के लिए:

(\cosh x + \sinh x)^n = (\eu^x)^n = \eu^{nx} = \cosh nx + \sinh nx .

अभ्यास 4.4 ★

$\cos(2\arcsin x)$ और $\sin(2\arctan x)$ को $x$ के बीजीय व्यंजकों में सरल कीजिए।

हल

हल — अभ्यास 4.4.

$y = \arcsin x$ के साथ: $\cos 2y = 1 - 2\sin^2 y = 1 - 2x^2$ , अतः $\cos(2\arcsin x) = 1 - 2x^2$ ।

$y = \arctan x$ के साथ: $\sin 2y = 2 \sin y \cos y = 2 \tan y \cos^2 y = \frac{2\tan y}{1 + \tan^2 y}$ , अतः $\sin(2\arctan x) = \dfrac{2x}{1 + x^2}$ ।

अभ्यास 4.5 ★

बड़े $x$ के लिए फलनों $x^{100}$ , $\;\eu^{\sqrt x}$ , $\;(\ln x)^{1000}$ , $\;\eu^{x/100}$ , $\;x^{\ln x}$ को सबसे धीमी से सबसे तेज़ वृद्धि तक क्रम में रखिए, और प्रतिज्ञप्ति 4.6 पर आधारित न्यायसंगति दीजिए।

हल

हल — अभ्यास 4.5.

सबसे धीमी से सबसे तेज़ तक:

(\ln x)^{1000} \;\ll\; x^{100} \;\ll\; x^{\ln x} \;\ll\; \eu^{\sqrt x} \;\ll\; \eu^{x/100} .

न्यायसंगति: प्रतिज्ञप्ति 4.6 से $(\ln x)^{1000}/x^{100} \to 0$ (लघुगणक घातों से हार जाते हैं)। $x^{100} = \eu^{100\ln x}$ और $x^{\ln x} = \eu^{(\ln x)^2}$ : चूँकि $(\ln x)^2 - 100\ln x \to +\infty$ , दूसरा जीतता है। $x^{\ln x} = \eu^{(\ln x)^2} \ll \eu^{\sqrt x}$ , क्योंकि $(\ln x)^2/\sqrt x \to 0$ (लघुगणक घात $x^{1/4}$ से हारते हैं, और वह वर्गित भी है)। अंत में $\sqrt x - x/100 \to -\infty$ , अतः $\eu^{\sqrt x} \ll \eu^{x/100}$ ।

अभ्यास 4.6 ★★

फलन $f(x) = \arctan\dfrac{2x}{1 - x^2}$ का उसके प्रांत पर अध्ययन कीजिए: $f'$ संगणित कीजिए, $(2\arctan x)'$ से तुलना कीजिए, और प्रांत के तीनों अंतरालों में से प्रत्येक पर $f(x)$ को $\arctan x$ के पदों में व्यक्त कीजिए।

हल

हल — अभ्यास 4.6.

प्रांत: $x \neq \pm 1$ , तीन अंतराल। प्रत्येक पर,

f'(x) = \frac{\bigl(\frac{2x}{1-x^2}\bigr)'}{1 + \frac{4x^2}{(1-x^2)^2}} = \frac{\frac{2(1-x^2) + 4x^2}{(1-x^2)^2}} {\frac{(1-x^2)^2 + 4x^2}{(1-x^2)^2}} = \frac{2(1 + x^2)}{(1 + x^2)^2} = \frac{2}{1 + x^2} = (2\arctan x)' .

अतः $f(x) - 2\arctan x$ प्रत्येक अंतराल पर अचर है। मान: $x = 0$ पर $f(0) = 0$ : अचर $\intoo{-1}{1}$ पर $0$ है। जब $x \to +\infty$ , तब $\frac{2x}{1-x^2} \to 0^-$ , अतः $f \to 0$ , जबकि $2\arctan x \to \pi$ : अचर $\intoo{1}{+\infty}$ पर $-\pi$ है। विषमता से वह $\intoo{-\infty}{-1}$ पर $+\pi$ है। सारांश: $\intoo{-1}{1}$ पर $f = 2\arctan x$ , $x > 1$ के लिए $f = 2\arctan x - \pi$ , $x < -1$ के लिए $f = 2\arctan x + \pi$ । (यह स्पर्शज्या का द्विगुण-कोण सूत्र ही है, $\arctan$ के द्वारा पढ़ा हुआ।)

अभ्यास 4.7 ★★

$\R$ में हल कीजिए: $\;\cosh x = 2$ ; फिर $5\cosh x - 4 \sinh x = 3$ (हलों को लघुगणकों से व्यक्त कीजिए)। दूसरे के लिए संकेत: सब कुछ $u = \eu^x$ से लिखिए।

हल

हल — अभ्यास 4.7.

$\cosh x = 2$ : $u = \eu^x > 0$ , $u + u^{-1} = 4$ के साथ $u^2 - 4u + 1 = 0$ , $u = 2 \pm \sqrt 3$ : $x = \ln(2 + \sqrt 3)$ या $x = \ln(2 - \sqrt 3) = -\ln(2 + \sqrt 3)$ (दोनों हल परस्पर विपरीत हैं, क्योंकि $\cosh$ सम है; दोनों वैध हैं)। समतुल्य रूप से $x = \pm \operatorname{arcosh} 2$ ।

$5\cosh x - 4\sinh x = 3$ : चरघातांकी परिभाषाएँ प्रतिस्थापित करने पर $\frac{5(u + u^{-1}) - 4(u - u^{-1})}{2} = 3$ , अर्थात् $u + 9u^{-1} = 6$ , अर्थात् $u^2 - 6u + 9 = (u - 3)^2 = 0$ : $u = 3$ , एक हल $x = \ln 3$ ।

अभ्यास 4.8 ★★

सर्वसमिका $\arctan\frac{1}{2} + \arctan\frac{1}{3} = \frac{\pi}{4}$ सिद्ध कीजिए, फिर मैकिन का सूत्र

4\arctan\frac 15 - \arctan\frac{1}{239} = \frac{\pi}{4}.

संकेत: योग-सूत्र से दोनों पक्षों की स्पर्शज्या संगणित कीजिए, और नियंत्रण रखिए कि प्रत्येक पक्ष किस अंतराल में है।

हल

हल — अभ्यास 4.8.

मान लीजिए $\alpha = \arctan\frac12 + \arctan\frac13$ । योग-सूत्र:

\tan\alpha = \frac{\frac12 + \frac13}{1 - \frac12\cdot\frac13} = \frac{5/6}{5/6} = 1 .

दोनों प्रतिलोम स्पर्शज्याएँ $\intoo{0}{\frac\pi4}$ में हैं (उनके प्रांतिक $\intoo{0}{1}$ में हैं), अतः $\alpha \in \intoo{0}{\frac\pi2}$ ; वहाँ स्पर्शज्या $1$ वाला एकमात्र कोण $\frac\pi4$ है।

मैकिन: मान लीजिए $\beta = \arctan\frac15$ । द्विगुण कोण दो बार:

\tan 2\beta = \frac{2/5}{1 - 1/25} = \frac{5}{12}, \qquad \tan 4\beta = \frac{2 \cdot 5/12}{1 - 25/144} = \frac{120}{119}.

फिर

\tan\Bigl(4\beta - \frac\pi4\Bigr) = \frac{\frac{120}{119} - 1}{1 + \frac{120}{119}} = \frac{1/119}{239/119} = \frac{1}{239}.

स्थान: $\beta < \arctan 1 = \frac\pi4$ , और वस्तुतः $4\beta \in \intoo{0}{\frac\pi2}$ के साथ $\tan 4\beta = \frac{120}{119}$ $1$ के निकट है (क्योंकि $\beta < \frac\pi8$ , जबकि $\tan\frac\pi8 = \sqrt 2 - 1 > \frac15$ ); अतः $4\beta - \frac\pi4 \in \intoo{-\frac\pi4}{\frac\pi4}$ , जहाँ $\arctan$ $\tan$ का प्रतिलोमन करता है: $4\beta - \frac\pi4 = \arctan\frac{1}{239}$ , जो मैकिन का सूत्र है।

अभ्यास 4.9 ★★

सिद्ध कीजिए कि सभी $x \geq 0$ के लिए: $\;x - \dfrac{x^3}{6} \leq \sin x \leq x$ (अंतरों के क्रमिक अवकलजों का अध्ययन कीजिए), और उससे निकालिए कि $\lim_{x \to 0^+} \frac{x - \sin x}{x^3} = \frac 16$ प्रशंसनीय है — सीमा स्वयं अध्याय 16 में स्थापित की गई है।

हल

हल — अभ्यास 4.9.

मान लीजिए $f(x) = x - \sin x$ : $f(0) = 0$ और $f'(x) = 1 - \cos x \geq 0$ , अतः $\R_+$ पर $f \geq 0$ : $\sin x \leq x$ ।

मान लीजिए $g(x) = \sin x - x + \frac{x^3}{6}$ : $\R_+$ पर $g(0) = 0$ , $g'(x) = \cos x - 1 + \frac{x^2}{2}$ , $g'(0) = 0$ , $g''(x) = -\sin x + x = f(x) \geq 0$ । अतः $g'$ वर्धमान है और $g'(0) = 0$ , इसलिए $g' \geq 0$ , इसलिए $g$ वर्धमान है और $g(0) = 0$ : $g \geq 0$ , अर्थात् $\R_+$ पर $x - \frac{x^3}{6} \leq \sin x$ ।

फलस्वरूप $x > 0$ के लिए $0 \leq \frac{x - \sin x}{x^3} \leq \frac 16$ : अनुपात $\frac16$ के पैमाने के पास फँसा हुआ है, और अध्याय 16 दिखाता है कि उसकी सीमा ठीक $\frac 16$ है।

अभ्यास 4.10 ★★★

$x \in \intcc{-1}{1}$ के लिए $h(x) = \arcsin\bigl(2x\sqrt{1 - x^2}\,\bigr) - 2\arcsin x$ रखिए। सर्वसमिका $\sin 2y = 2\sin y\cos y$ से $h = 0$ की अपेक्षा हो सकती है — पर $h$ तत्समक रूप से शून्य नहीं है। जहाँ $h'$ विद्यमान है उन खुले अंतरालों पर उसकी संगणना कीजिए, सुचयनित बिंदुओं पर $h$ का मान निकालिए, और $\intcc{-1}{1}$ पर $h$ का पूरा खंडशः-अचर वर्णन दीजिए।

हल

हल — अभ्यास 4.10.

$y = \arcsin x$ लिखिए, अतः $2x\sqrt{1 - x^2} = 2\sin y\cos y = \sin 2y$ और $h(x) = \arcsin(\sin 2y) - 2y$ ।

$\abs x \leq \frac{\sqrt 2}{2}$ के लिए: $2y \in \intcc{-\frac\pi2}{\frac\pi2}$ , अतः $\arcsin(\sin 2y) = 2y$ और $h = 0$ ।

$x \in \intoc{\frac{\sqrt 2}{2}}{1}$ के लिए: $2y \in \intoc{\frac\pi2}{\pi}$ , और $\intcc{-\frac\pi2}{\frac\pi2}$ का वह कोण जिसकी ज्या $\sin 2y$ है, $\pi - 2y$ है: अतः $h(x) = \pi - 4\arcsin x$ । (अवकलज से जाँच: वहाँ $h'(x) = \frac{2(1 - 2x^2)}{\abs{1 - 2x^2}\sqrt{1 - x^2}} - \frac{2}{\sqrt{1-x^2}} = \frac{-4}{\sqrt{1 - x^2}}$ , जो $-4\arcsin x$ का अवकलज है; और $x = 1$ पर $h(1) = \arcsin 0 - 2\cdot\frac\pi2 = -\pi = \pi - 4\cdot\frac\pi2$ ।)

$x \in \intco{-1}{-\frac{\sqrt 2}{2}}$ के लिए, $h$ की विषमता से: $h(x) = -\pi - 4\arcsin x$ ।

अभ्यास 4.11 ★★★

(गुडरमान फलन) $x \in \R$ के लिए $g(x) = \arctan(\sinh x)$ रखिए। सिद्ध कीजिए कि $g$ विषम, कठोरतः वर्धमान एकैकी आच्छादन है जो $\R$ को $\intoo{-\frac\pi2}{\frac\pi2}$ पर भेजता है, कि $g'(x) = \frac{1}{\cosh x}$ , और यह कि $\tan g(x) = \sinh x$ , $\;\sin g(x) = \tanh x$ , $\;\cos g(x) = \frac{1}{\cosh x}$ : फलन $g$ वृत्तीय और अतिपरवलयिक त्रिकोणमिति को सम्मिश्र संख्याओं के बिना जोड़ देता है।

हल

हल — अभ्यास 4.11.

$g = \arctan \circ \sinh$ विषम, कठोरतः वर्धमान फलनों का संयोजन है, अतः वह विषम और कठोरतः वर्धमान है; जब $x \to +\infty$ , तब $\sinh x \to +\infty$ , अतः $g(x) \to \frac\pi2$ , और $g$ $\intoo{-\frac\pi2}{\frac\pi2}$ पर एकैकी आच्छादन है (सांतत्य और मध्यवर्ती मान प्रमेय)। प्रतिज्ञप्ति 4.18 (1) के साथ शृंखला नियम:

g'(x) = \frac{\cosh x}{1 + \sinh^2 x} = \frac{\cosh x}{\cosh^2 x} = \frac{1}{\cosh x} .

रचना से $\tan g(x) = \sinh x$ । फिर, चूँकि $g(x) \in \intoo{-\frac\pi2}{\frac\pi2}$ की कोज्या धनात्मक है,

\begin{align*} \cos g(x) &= \frac{1}{\sqrt{1 + \tan^2 g(x)}} = \frac{1}{\sqrt{1 + \sinh^2 x}} = \frac{1}{\cosh x},\\ \sin g(x) &= \tan g(x) \cos g(x) = \frac{\sinh x}{\cosh x} = \tanh x . \end{align*}

अभ्यास 4.12 ★★

सिद्ध कीजिए कि

\arctan 1 + \arctan 2 + \arctan 3 = \pi .

संकेत: पहले $\arctan 2 + \arctan 3$ संगणित कीजिए, और उदाहरण 4.15 की भाँति योग का स्थानीकरण कीजिए; ध्यान रखिए कि यहाँ योग-सूत्र का हर ऋणात्मक है।

हल

हल — अभ्यास 4.12.

$u = \arctan 2$ और $v = \arctan 3$ रखिए; दोनों $\intoo{\frac\pi4}{\frac\pi2}$ में हैं (उनके प्रांतिक $1$ से अधिक हैं), अतः $u + v \in \intoo{\frac\pi2}{\pi}$ । योग-सूत्र देता है

\tan(u + v) = \frac{2 + 3}{1 - 6} = -1 ,

और $\intoo{\frac\pi2}{\pi}$ का स्पर्शज्या $-1$ वाला अद्वितीय कोण $\frac{3\pi}4$ है: अतः $\arctan 2 + \arctan 3 = \frac{3\pi}4$ । (स्पर्शज्या पर आँख मूँदकर $\arctan$ लगाने से $-\frac\pi4$ मिलता, जो $\pi$ से चूक जाता — स्थानीकरण ही इस संगणना को बचाता है, और ऋणात्मक हर $1 - 6$ ठीक वही संकेत है कि योग $\intoo{-\frac\pi2}{\frac\pi2}$ से बाहर निकल चुका है।) $\arctan 1 = \frac\pi4$ जोड़ने पर:

\arctan 1 + \arctan 2 + \arctan 3 = \frac\pi4 + \frac{3\pi}4 = \pi .

4.5 समस्या: समीकरण $x^y = y^x$

समस्या 4.1

धनात्मक संख्याओं के कौन-से युग्म $x^y = y^x$ को संतुष्ट करते हैं? एक संयोगवश दिखने वाला उदाहरण $2^4 = 4^2 = 16$ सब जानते हैं; यह समस्या दिखाती है कि उसमें संयोग कुछ भी नहीं है। पूरा समीकरण एक ही फलन

f(t) = \frac{\ln t}{t} \qquad (t > 0),

के विचरण से नियंत्रित होता है, जिसके अध्ययन से मिलते हैं: पूरा हल-समुच्चय (एक विकर्ण और $(\eu, \eu)$ से होकर जाती एक वक्र शाखा), शाखा का एक परिमेय प्राचलन, यह तथ्य कि $(2, 4)$ उसका एकमात्र पूर्णांक बिंदु है, और उसके सभी परिमेय बिंदुओं का वर्गीकरण — और साथ ही लाभांश के रूप में $\eu^\pi$ तथा $\pi^\eu$ की तुलना और $\bigl(1 + \frac1n\bigr)^n$ का $\eu$ तक एकदिष्ट अभिसरण।

भाग I — फलन $f(t) = \ln t / t$ ।

न्यायसंगत ठहराइए कि $f$ $\intoo0{+\infty}$ पर अवकलनीय है, $f'$ संगणित कीजिए, और विचरण सारणी बनाइए: $f$ $\intoc0\eu$ पर कठोरतः बढ़ता है, $\intco\eu{+\infty}$ पर कठोरतः घटता है, और उसका अधिकतम $f(\eu) = \frac1\eu$ है।
$0^+$ और $+\infty$ पर $f$ की सीमाएँ (प्रतिज्ञप्ति 4.6), $f$ का चिह्न ( $\intoo01$ पर ऋणात्मक, $1$ पर शून्य, उसके आगे धनात्मक) निर्धारित कीजिए, और आलेख का रेखाचित्र बनाइए।
सीधी संगणना से जाँचिए कि $f(2) = f(4)$ । (इस समता को ध्यान में रखिए: पूरी समस्या इसी से उपजती है।)
मान लीजिए $c \in \R$ । $c$ के मान के अनुसार $f(t) = c$ के हलों की संख्या पर विचार कीजिए: $c \leq 0$ के लिए ठीक एक; $0 < c < \frac1\eu$ के लिए ठीक दो (एक $\intoo1\eu$ में, एक $\intoo\eu{+\infty}$ में); $c = \frac1\eu$ के लिए ठीक एक; $c > \frac1\eu$ के लिए कोई नहीं।
उससे निकालिए कि $x \neq \eu$ वाले प्रत्येक $x > 0$ के लिए $\eu^x > x^\eu$ , और विशेष रूप से यह तय कीजिए कि $\eu^\pi$ और $\pi^\eu$ में कौन बड़ा है।

भाग II — समीकरण और उसका वक्र। इस भाग में $x, y > 0$ ।

दिखाइए कि $x^y = y^x \iff f(x) = f(y)$ ।
उससे हल-समुच्चय की संरचना निकालिए: सभी विकर्ण युग्म $(x, x)$ ; और अतुच्छ युग्म ( $x \neq y$ ), जो यह संतुष्ट करते हैं: दोनों निर्देशांक $> 1$ हैं, और एक $\intoo1\eu$ में है जबकि दूसरा $\intoo\eu{+\infty}$ में।
अतुच्छ युग्मों का प्राचलन कीजिए: $t > 0$ , $t \neq 1$ के साथ $y = tx$ लिखकर दिखाइए कि $x^y = y^x$ से अनिवार्य हो जाता है

$x(t) = t^{\frac1{t-1}}, \qquad y(t) = t\,x(t) = t^{\frac{t}{t-1}},$

और यह कि विलोमतः ऐसा हर युग्म एक हल है।
सत्यापित कीजिए कि $t = 2$ से $(2, 4)$ मिलता है, और सममिति $x(1/t) = y(t)$ , $y(1/t) = x(t)$ सिद्ध कीजिए: प्राचल का प्रतिलोमन दोनों निर्देशांकों की अदला-बदली कर देता है।
$t \to 1$ पर $x(t)$ और $y(t)$ की सीमाएँ निर्धारित कीजिए (दोनों $\eu$ की ओर जाते हैं), फिर $t \to +\infty$ पर ( $x \to 1$ , $y \to +\infty$ ) और $t \to 0^+$ पर ( $x \to +\infty$ , $y \to 1$ )। परिणामी शाखा का वर्णन कीजिए: रेखाओं $x = 1$ और $y = 1$ के अनंतस्पर्शी एक वक्र, जो विकर्ण को $(\eu, \eu)$ पर काटता है।
दिखाइए कि $t \mapsto x(t)$ $\intoo1{+\infty}$ पर कठोरतः ह्रासमान है। ( $h(t) = 1 - \frac1t - \ln t$ का अध्ययन कीजिए, जिसका चिह्न $\ln x(t) = \frac{\ln t}{t - 1}$ के अवकलज को नियंत्रित करता है।)
निष्कर्ष निकालिए कि अतुच्छ हल $x^{\varphi(x)} = \varphi(x)^x$ वाला एक कठोरतः ह्रासमान एकैकी आच्छादन $\varphi \colon \intoo1\eu \to \intoo\eu{+\infty}$ परिभाषित करते हैं, और यह कि $\varphi$ शाखा का एक स्वप्रतिलोमन है: जहाँ भी दोनों पक्ष परिभाषित हों वहाँ $\varphi(\varphi(x)) = x$ ।

भाग III — पूर्णांक और परिमेय बिंदु।

सिद्ध कीजिए कि $x^y = y^x$ के अतुच्छ पूर्णांक हल केवल $(2, 4)$ और $(4, 2)$ हैं।
$n \in \N^*$ के लिए $t = 1 + \frac1n$ के साथ प्राचलन लगाइए और दिखाइए कि

$x_n = \Bigl(1 + \frac1n\Bigr)^{n}, \qquad y_n = \Bigl(1 + \frac1n\Bigr)^{n+1}$

प्रत्येक $n$ के लिए एक अतुच्छ परिमेय हल है, जहाँ $(x_1, y_1) = (2, 4)$ ।
विलोमतः, मान लीजिए $(x, y)$ $y > x$ वाला अतुच्छ परिमेय हल है, और $t = y/x = 1 + \frac rs$ को न्यूनतम पदों में लिखिए ( $r, s \in \N^*$ )। $x = t^{s/r}$ का प्रयोग करते हुए और अभाज्य गुणनखंडन की अद्वितीयता मानते हुए (जो विद्यालय से परिचित है; अध्याय 6 में सिद्ध), दिखाइए कि $x$ का परिमेय होना $s$ और $s + r$ दोनों को पूर्णांकों की $r$ -वीं घातें होने पर बाध्य कर देता है।
द्विपद प्रमेय से दिखाइए कि $r \geq 2$ होने पर $a^r - b^r = r$ का कोई पूर्णांक हल $a > b \geq 1$ नहीं है, और निष्कर्ष निकालिए: $x^y = y^x$ के परिमेय हल ठीक प्रश्न 14 के युग्म $(x_n, y_n)$ (और उनकी अदला-बदलियाँ) हैं।
स्थिति $n = 2$ संख्यात्मक रूप से सत्यापित कीजिए: $f(9/4)$ और $f(27/8)$ की चार दशमलव स्थानों तक संगणना कीजिए और जाँचिए कि वे मेल खाते हैं।

भाग IV — लाभांश।

प्रश्न 7 और 11 का प्रयोग करके, बिना किसी और संगणना के, सिद्ध कीजिए कि अनुक्रम $x_n = \bigl(1 + \frac1n\bigr)^n$ कठोरतः वर्धमान है और $x_n < \eu$ , कि $y_n = \bigl(1 + \frac1n\bigr)^{n+1}$ कठोरतः ह्रासमान है और $y_n > \eu$ , और यह कि दोनों $\eu$ की ओर अभिसरित होते हैं। (प्राचल $t_n = 1 + \frac1n$ घटकर $1$ तक जाता है।)
$1 < a < b$ के लिए व्यापक तुलना नियम स्थापित कीजिए: यदि $\eu \leq a$ , तो $a^b > b^a$ ; यदि $b \leq \eu$ , तो $a^b < b^a$ ; और दोनों उदाहरणों $(2, 3)$ तथा $(2, 5)$ से दिखाइए कि मिश्रित स्थिति $a < \eu < b$ में दोनों परिणाम सचमुच होते हैं।
मान लीजिए प्रश्न 12 का स्वप्रतिलोमन $\varphi$ $\eu$ पर अवकलनीय है (वह है)। $x = \eu$ पर सर्वसमिका $\varphi(\varphi(x)) = x$ का अवकलन कीजिए और $\varphi'(\eu) = -1$ निकालिए: शाखा विकर्ण को समकोण पर काटती है।
$y = 3x$ वाला अद्वितीय हल-युग्म संवृत रूप में खोजिए, और $f$ के द्वारा उसे चार दशमलव तक संख्यात्मक रूप से जाँचिए।
संख्याओं $\sqrt2$ , $\sqrt[3]3$ , $\sqrt[4]4$ , $\sqrt[5]5$ में से सबसे बड़ी निर्धारित कीजिए और उन दो की पहचान कीजिए जो बराबर हैं। ( $n^{1/n} = \eu^{f(n)}$ की तुलना कीजिए।)

भाग V — संश्लेषण।

चतुर्थांश-समतल $x, y > 0$ में $x^y = y^x$ के पूरे हल-समुच्चय का वर्णन ऐसे रूप में कीजिए जिसे आप स्मरण से खींच सकें — विकर्ण और शाखा, उनका प्रतिच्छेद $(\eu, \eu)$ , अनंतस्पर्शी रेखाएँ, पूर्णांक बिंदु $(2, 4)$ , और $(\eu, \eu)$ पर संचित होते परिमेय बिंदु।
इस समस्या में ठीक कहाँ प्रयोग हुआ: (क) प्रतिज्ञप्ति 4.6 की वृद्धि तुलनाएँ; (ख) मध्यवर्ती मान प्रमेय (एकैकी आच्छादन वाले कथनों के द्वारा); (ग) स्वीकृत अभाज्य गुणनखंडन की अद्वितीयता? प्रत्येक के लिए एक वाक्य।
एक छोटे अनुच्छेद में उपदेश: एक ही विचरण सारणी ने दो अज्ञातों वाला समीकरण हल कर दिया, उसके परिमेय बिंदुओं का वर्गीकरण कर दिया, और $\bigl(1 + \frac1n\bigr)^n$ का एकदिष्ट अभिसरण सिद्ध कर दिया — इस मितव्ययिता पर टिप्पणी कीजिए, और बताइए कि प्रत्येक धागा आगे इस खंड में कहाँ औद्योगिक रूप ले लेता है (अनुक्रम के लिए अध्याय 11, विचरण सारणियों के लिए अध्याय 14, और सारणी में जिस यथार्थता की कमी है उसके लिए अध्याय 16)।

हल

हल — समस्या 4.1.

1. $f$ अवकलनीय फलनों का भागफल है जिसका हर $\intoo0{+\infty}$ पर अशून्य है, और

f'(t) = \frac{\frac1t \cdot t - \ln t}{t^2} = \frac{1 - \ln t}{t^2} ,

जो $t < \eu$ के लिए धनात्मक, $t = \eu$ पर शून्य और $t > \eu$ के लिए ऋणात्मक है: $f$ $\intoc0\eu$ पर कठोरतः बढ़ता है, $\intco\eu{+\infty}$ पर कठोरतः घटता है, और उसका अधिकतम $f(\eu) = \frac1\eu$ है।

2. जब $t \to 0^+$ : $\ln t \to -\infty$ और $\frac1t \to +\infty$ , अतः $f(t) \to -\infty$ । जब $t \to +\infty$ : प्रतिज्ञप्ति 4.6 की वृद्धि तुलना से $f(t) \to 0$ ( $\beta = \alpha = 1$ )। चिह्न: वही जो $\ln t$ का है, अतः $\intoo01$ पर $f < 0$ , $f(1) = 0$ , और $\intoo1{+\infty}$ पर $f > 0$ । आलेख $-\infty$ से चढ़ता है, $1$ पर शून्य काटता है, $(\eu, \frac1\eu)$ पर शिखर छूता है, फिर $0^+$ तक क्षय होता है।

3. $f(4) = \frac{\ln 4}4 = \frac{2\ln 2}4 = \frac{\ln 2}2 = f(2)$ ।

4. विचरण सारणी और मध्यवर्ती मान प्रमेय से (जो उच्चतर माध्यमिक स्तर पर प्रयुक्त है; अध्याय 13 में औपचारिक)। $c < 0$ के लिए: हल केवल वहीं हैं जहाँ $f < 0$ , अर्थात् $\intoo01$ में, जहाँ $f$ $\intoo{-\infty}0$ पर कठोरतः वर्धमान एकैकी आच्छादन है: ठीक एक। $c = 0$ के लिए: केवल $t = 1$ । $0 < c < \frac1\eu$ के लिए: $\intoo1\eu$ पर $f$ $0$ से $\frac1\eu$ तक बढ़ता है: एक हल; $\intoo\eu{+\infty}$ पर $f$ $\frac1\eu$ से $0$ तक घटता है: एक और; कुल दो। $c = \frac1\eu$ के लिए: केवल अधिकतम बिंदु $t = \eu$ । $c > \frac1\eu$ के लिए: कोई नहीं।

5. $x \neq \eu$ के लिए कठोर अधिकतमता $f(x) < f(\eu)$ देती है, अर्थात् $\frac{\ln x}x < \frac1\eu$ , अर्थात् $\eu\ln x < x$ , अर्थात् $\ln(x^\eu) < \ln(\eu^x)$ : $x^\eu < \eu^x$ । $x = \pi$ के साथ: $\eu^\pi > \pi^\eu$ (संख्यात्मक रूप से $23.14 > 22.46$ )।

6. $x, y > 0$ के लिए दोनों पक्ष धनात्मक हैं, अतः

x^y = y^x \iff y\ln x = x\ln y \iff \frac{\ln x}x = \frac{\ln y}y \iff f(x) = f(y) ,

$xy > 0$ से भाग देकर।

7. मान लीजिए $f(x) = f(y) = c$ , जहाँ $x \neq y$ । यदि $c \leq 0$ या $c = \frac1\eu$ , तो प्रश्न 4 कहता है कि समीकरण $f = c$ का एक ही हल है: असंभव। अतः $0 < c < \frac1\eu$ , और फिर प्रश्न 4 से दोनों हलों में एक $\intoo1\eu$ का बिंदु है और एक $\intoo\eu{+\infty}$ का: दोनों निर्देशांक $1$ से बड़े हैं और वे $\eu$ के दोनों ओर पड़ते हैं।

8. $y\ln x = x\ln y$ में $y = tx$ प्रतिस्थापित करने पर:

tx\ln x = x(\ln t + \ln x) \iff (t - 1)\ln x = \ln t \iff \ln x = \frac{\ln t}{t - 1} ,

अतः $x = t^{1/(t-1)}$ और $y = tx = t^{1 + \frac1{t-1}} = t^{t/(t-1)}$ । विलोमतः, इन मानों के लिए $\ln y = \frac{t\ln t}{t-1} = t\ln x$ और $y = tx$ , अतः $\frac{\ln y}y = \frac{t\ln x}{tx} = \frac{\ln x}x$ : एक हल। प्रत्येक अतुच्छ हल का कोई अनुपात $t = y/x \in \intoo0{+\infty} \setminus \{1\}$ होता है, अतः प्राचलन पूरा है।

9. $t = 2$ : $x = 2^{1/1} = 2$ , $y = 2^{2/1} = 4$ । और

x(1/t) = (1/t)^{\frac1{\frac1t - 1}} = (t^{-1})^{\frac{t}{1 - t}} = t^{\frac{t}{t - 1}} = y(t) ,

फिर $y(1/t) = \frac1t\,x(1/t) = \frac{y(t)}t = x(t)$ : प्राचल-परिवर्तन $t \mapsto 1/t$ निर्देशांकों की अदला-बदली कर देता है, जैसा समीकरण की सममिति माँगती है।

10. जब $t \to 1$ : $\frac{\ln t}{t-1} \to 1$ (वह $1$ पर $\ln$ का अंतर-भागफल है), अतः $x \to \eu^1 = \eu$ और $y = tx \to \eu$ । जब $t \to +\infty$ : $\ln x = \frac{\ln t}{t-1} \to 0$ , अतः $x \to 1$ , जबकि $\ln y = \frac{t\ln t}{t-1} \to +\infty$ , अतः $y \to +\infty$ । जब $t \to 0^+$ : $\ln x = \frac{\ln t}{t-1} \to \frac{-\infty}{-1} = +\infty$ , अतः $x \to +\infty$ , जबकि $\ln y = \frac{t\ln t}{t-1} \to \frac{0}{-1} = 0$ , अतः $y \to 1$ ( $t\ln t \to 0$ , उदाहरण 4.7 का प्रयोग करते हुए)। अतः शाखा अनंतस्पर्शी $y = 1$ (दूर दाएँ) से चलकर विकर्ण पर $(\eu, \eu)$ से होती हुई ऊपर जाती है और अनंतस्पर्शी $x = 1$ (दूर ऊपर) के साथ निकल जाती है — प्रश्न 9 से यह विकर्ण के सापेक्ष सममित है।

11. $\ln x(t) = g(t) = \frac{\ln t}{t-1}$ , और

g'(t) = \frac{\frac{t-1}t - \ln t}{(t-1)^2} = \frac{h(t)}{(t-1)^2}, \qquad h(t) = 1 - \frac1t - \ln t .

$t > 1$ के लिए $h(1) = 0$ और $h'(t) = \frac1{t^2} - \frac1t = \frac{1 - t}{t^2} < 0$ : $\intoo1{+\infty}$ पर $h < 0$ , अतः $g' < 0$ और $x = \eu^g$ वहाँ कठोरतः ह्रासमान है (प्रश्न 10 से $\eu$ से $1$ तक)।

12. प्रश्न 11 से $t \mapsto x(t)$ $\intoo1{+\infty}$ का $\intoo1\eu$ पर कठोरतः ह्रासमान एकैकी आच्छादन है; उसके प्रतिलोम को $t(x)$ लिखिए (वह भी कठोरतः ह्रासमान है) और $\varphi(x) = y(t(x))$ रखिए। ध्यान दीजिए कि $\intoo01$ पर भी $h < 0$ (वहाँ $h' > 0$ और $h(1) = 0$ ), अतः $\intoo01$ पर भी $x(\cdot)$ ह्रासमान है; इसलिए $y(t) = x(1/t)$ (प्रश्न 9) $\intoo1{+\infty}$ पर $t$ में वर्धमान है, $\eu$ से $+\infty$ तक। संयोजन करने पर: $\varphi = y \circ t(\cdot)$ $\intoo1\eu$ से $\intoo\eu{+\infty}$ पर कठोरतः ह्रासमान है, और प्रश्न 8 से $x^{\varphi(x)} = \varphi(x)^x$ । अंत में, किसी उभयनिष्ठ मान $c = f(x) \in \intoo0{\frac1\eu}$ के लिए युग्म $\{x, \varphi(x)\}$ $f = c$ का वही दो-अवयवी हल-समुच्चय है (प्रश्न 4); $\varphi$ को प्रतिलोम प्रतिचित्रण के रूप में $\intoo\eu{+\infty}$ तक बढ़ाने पर $\varphi(\varphi(x))$ दूसरे (अर्थात् मूल) अवयव पर लौट आता है: $\varphi \circ \varphi = \mathrm{id}$ ।

13. यदि $(x, y)$ $x < y$ वाला अतुच्छ पूर्णांक हल है, तो प्रश्न 7 $x \in \intoo1\eu$ रखता है: वहाँ एकमात्र पूर्णांक $x = 2$ है। तब $y > \eu$ के साथ $f(y) = f(2) = \frac{\ln2}2$ ; प्रश्न 4 से समीकरण $f = \frac{\ln2}2$ का $\eu$ से आगे ठीक एक हल है, और प्रश्न 3 उसे प्रस्तुत करता है: $y = 4$ । अतः $(2, 4)$ और उसकी अदला-बदली ही एकमात्र हैं।

14. $t = 1 + \frac1n = \frac{n+1}n$ से $\frac1{t - 1} = n$ और $\frac t{t-1} = n + 1$ मिलते हैं, अतः

x_n = \Bigl(\frac{n+1}n\Bigr)^{n}, \qquad y_n = \Bigl(\frac{n+1}n\Bigr)^{n+1},

जो स्पष्टतः परिमेय और भिन्न है ( $y_n = t\,x_n \neq x_n$ ), और $n = 1$ से $x_1 = 2$ , $y_1 = 4$ मिलता है।

15. $t = y/x$ परिमेय है और $> 1$ ; $t - 1 = \frac rs$ को न्यूनतम पदों में लिखिए, अतः $\gcd(s + r, s) = \gcd(r, s) = 1$ के साथ $t = \frac{s + r}s$ । प्रश्न 8 से $x = t^{s/r}$ , इसलिए

x^r = t^s = \frac{(s+r)^s}{s^s} ,

जो न्यूनतम पदों में भिन्न है (कोई अभाज्य $s + r$ और $s$ दोनों को विभाजित नहीं करता)। $x = \frac pq$ को न्यूनतम पदों में लिखने पर $x^r = \frac{p^r} {q^r}$ भी न्यूनतम पदों में है, और लघुकृत निरूपण की अद्वितीयता से: $p^r = (s+r)^s$ और $q^r = s^s$ । $q^r = s^s$ में किसी भी अभाज्य $\ell$ का घातांक तुलनाइए: $r \cdot v_\ell(q) = s \cdot v_\ell(s)$ , अतः $r$ $s\,v_\ell(s)$ को विभाजित करता है; चूँकि $\gcd(r, s) = 1$ , अतः प्रत्येक अभाज्य $\ell$ के लिए $r$ $v_\ell(s)$ को विभाजित करता है (अद्वितीय गुणनखंडन, स्वीकृत; अध्याय 6 में सिद्ध), अतः किसी पूर्णांक $b$ के लिए $s = b^r$ । $p^r = (s+r)^s$ पर वही तर्क $s + r = a^r$ देता है।

16. मान लीजिए $a^r - b^r = r$ , जहाँ $a > b \geq 1$ पूर्णांक हैं और $r \geq 2$ । तब $a \geq b + 1$ , अतः द्विपद प्रमेय से

a^r - b^r \geq (b+1)^r - b^r = \sum_{k=0}^{r-1}\binom rk b^k \geq \binom r0 + \binom r{r-1} b^{r-1} \geq 1 + r > r ,

जो विरोधाभास है। प्रश्न 15 से $a^r - b^r = (s + r) - s = r$ $r = 1$ पर बाध्य कर देता है: $t = 1 + \frac1s$ , और हल प्रश्न 14 का $(x_s, y_s)$ है। अदला-बदली किए हुए युग्मों के साथ मिलाकर वर्गीकरण पूरा हो जाता है।

17. $f\bigl(\tfrac94\bigr) = \frac{\ln 2.25}{2.25} = \frac{0.81093}{2.25} = 0.3604$ और $f\bigl(\tfrac{27}8\bigr) = \frac{\ln 3.375}{3.375} = \frac{1.21640}{3.375} = 0.3604$ (चार दशमलव): बराबर, जैसा रचना का वादा है — अतः $\bigl(\tfrac94\bigr)^{27/8} = \bigl(\tfrac{27}8\bigr)^{9/4}$ ।

18. प्राचल $t_n = 1 + \frac1n$ कठोरतः घटकर $1$ तक जाते हैं। चूँकि $x(\cdot)$ $\intoo1{+\infty}$ पर कठोरतः ह्रासमान है (प्रश्न 11), $x_n = x(t_n)$ कठोरतः वर्धमान है; और चूँकि वहाँ $y(\cdot)$ कठोरतः वर्धमान है (प्रश्न 12), $y_n = y(t_n)$ कठोरतः ह्रासमान है। प्रश्न 7 से $x_n \in \intoo1\eu$ और $y_n \in \intoo\eu{+\infty}$ : अतः प्रत्येक $n$ के लिए $x_n < \eu < y_n$ । अंत में $t_n \to 1$ और प्रश्न 10 से $x_n \to \eu$ और $y_n \to \eu$ मिलते हैं। $\bigl(1 + \frac1n\bigr)^n$ का चिरपरिचित एकदिष्ट अभिसरण शाखा की ज्यामिति से ही निकल आता है, बिना किसी नई असमिका के।

19. यदि $\eu \leq a < b$ : $\intco\eu{+\infty}$ पर कठोरतः ह्रासमान $f$ $f(a) > f(b)$ देता है, अर्थात् $b\ln a > a\ln b$ , अर्थात् $a^b > b^a$ । यदि $1 < a < b \leq \eu$ : कठोरतः वर्धमान $f$ $f(a) < f(b)$ देता है, इसलिए $a^b < b^a$ । मिश्रित स्थिति: $2 < \eu < 3$ और $2^3 = 8 < 9 = 3^2$ ; पर $2 < \eu < 5$ और $2^5 = 32 > 25 = 5^2$ : दोनों परिणाम होते हैं, और यह इस पर निर्भर करता है कि बिंदु $(a, b)$ शाखा के किस ओर गिरता है।

20. शाखा विकर्ण को $\eu$ पर मिलती है और $\varphi$ वहाँ $\varphi(\eu) = \eu$ के साथ संतत रूप से विस्तारित होता है। शृंखला नियम से $x = \eu$ पर $\varphi(\varphi(x)) = x$ का अवकलन करने पर: $\varphi'(\varphi(\eu))\,\varphi'(\eu) = \varphi'(\eu)^2 = 1$ , अतः $\varphi'(\eu) = \pm1$ ; $\varphi$ ह्रासमान है, अतः $\varphi'(\eu) = -1$ । शाखा विकर्ण को प्रवणता $-1$ के साथ काटती है: अर्थात् लंबवत्।

21. $y = 3x$ स्थिति $t = 3$ है: $x = 3^{1/2} = \sqrt3$ और $y = 3^{3/2} = 3\sqrt3$ । जाँच: $f(\sqrt3) = \frac{0.54931}{1.73205} = 0.3171$ और $f(3\sqrt3) = \frac{\ln 5.19615}{5.19615} = \frac{1.64792}{5.19615} = 0.3171$ : चार दशमलव तक बराबर, अतः $(\sqrt3)^{3\sqrt3} = (3\sqrt3)^{\sqrt3}$ ।

22. $n^{1/n} = \eu^{f(n)}$ , और $\exp$ वर्धमान है, अतः क्रम वही है जो $f(n)$ का है: $f(3) = \frac{\ln3}3 \approx 0.3662$ $f(2) = f(4) = \frac{\ln2}2 \approx 0.3466$ से आगे है (प्रश्न 3) और $f(5) \approx 0.3219$ । सबसे बड़ी $\sqrt[3]3$ है, और बराबर युग्म $\sqrt2 = \sqrt[4]4$ है — अर्थात् पूर्णांक युग्म $(2, 4)$ ही एक और वेश में।

23. हल-समुच्चय विकर्ण $\{(x, x) : x > 0\}$ और एक ही शाखा का सम्मिलन है; शाखा विकर्ण के सापेक्ष सममित है, अनंतस्पर्शी $x = 1$ (जब $y \to +\infty$ ) से अनंतस्पर्शी $y = 1$ (जब $x \to +\infty$ ) तक कठोरतः ह्रासमान है, विकर्ण को ठीक एक बार $(\eu, \eu)$ पर काटती है और वहाँ उसकी प्रवणता $-1$ है। शाखा पर पूर्णांक बिंदु $(2, 4)$ और $(4, 2)$ बैठते हैं — केवल यही — तथा परिमेय बिंदु $(x_n, y_n)$ , जो शाखा के साथ एकदिष्ट रूप से $(\eu, \eu)$ की ओर बढ़ते जाते हैं पर उस तक कभी नहीं पहुँचते ( $\eu$ अपरिमेय है; शाखा के परिमेय बिंदु एक अपरिमेय कोने पर संचित होते हैं)।

24. (क) वृद्धि तुलनाओं ने $+\infty$ (प्रश्न 2) और $t\ln t \to 0$ (प्रश्न 10) पर $f$ की सीमाएँ दीं, जिनसे विचरण सारणी और अनंतस्पर्शी रेखाएँ दोनों बनीं। (ख) मध्यवर्ती मान प्रमेय ने, एकैकी आच्छादन वाले कथनों के द्वारा, विचरण सारणी को यथार्थ हल-संख्याओं (प्रश्न 4) में और प्रतिलोम प्रतिचित्रण $t(x)$ के अस्तित्व (प्रश्न 12) में बदल दिया। (ग) अद्वितीय गुणनखंडन ने प्रश्न 15 की दोनों न्यूनतम-पद पहचानों को शक्ति दी, जो परिमेय-बिंदु वर्गीकरण का अंकगणितीय हृदय हैं।

25. एक ही अवकलज संगणना — $1 - \ln t$ का चिह्न — ने सब कुछ उत्पन्न किया: प्रत्येक स्तर $c$ के लिए हलों की संख्या, शाखा का आकार और अनंतस्पर्शी रेखाएँ, चरम असमिका $\eu^x \geq x^\eu$ , पूर्णांक और परिमेय हलों का वर्गीकरण, तथा $\bigl(1 + \frac1n\bigr)^n$ का एकदिष्ट अभिसरण। यही विचरण सारणियों के साथ सोचने की मितव्ययिता है: एकविमीय अध्ययन दो चरों वाला समीकरण हल कर देता है, क्योंकि समीकरण एक ही फलन से होकर गुजरता है। अध्याय 11 $(x_n)$ के अभिसरण को एकदिष्ट अनुक्रमों के सामान्य सिद्धांत से फिर करेगा; अध्याय 14 विचरण सारणियों को माध्य मान प्रमेय पर कठोरता से खड़ा करता है; और अध्याय 16 वह देता है जो सारणी नहीं दे सकती — अभिसरण $x_n \to \eu$ की गति (वह कोटि $1/n$ की है)।

इस अध्याय में परिभाषित शब्द

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