समूह समाकारिता কী?

उदाहरण 7.12

$\exp \colon (\R, +) \to (\R_+^*, \times)$ एक समाकारिता है ($\eu^{x+y} = \eu^x \eu^y$), और एकैकी आच्छादक भी (प्रतिज्ञप्ति 4.1): अर्थात् योगात्मक और गुणात्मक संरचनाएँ तुल्याकारी हैं — यही लघुगणकों के अस्तित्व का ऐतिहासिक कारण है। एक और समाकारिता: $(\R, +)$ से इकाई वृत्त $(\mathbb{U}, \times)$ पर $\theta \mapsto \eu^{\iu\theta}$, जिसकी अष्टि $2\pi\Z$ है।

उदाहरण 7.13 (चिह्न समाकारिता)

$x$ को उसके चिह्न पर भेजने वाला प्रतिचित्रण $s \colon (\R^*, \times) \to (\{\pm1\}, \times)$ एक समाकारिता है: गुणनफल का चिह्न चिह्नों का गुणनफल होता है। उसकी अष्टि $\intoo0{+\infty}$ है (जो उपसमूह है, जैसा परिभाषा 7.10 वादा करता है), और उसका प्रतिबिंब पूरा $\{\pm1\}$: आच्छादक, पर अत्यधिक अनेकैकी। लघु रूप में दो व्यापक शिक्षाएँ। पहली, कोई समाकारिता सूचना को कुचल सकती है: $s$ $x$ का केवल एक बिट स्मरण रखता है और कुछ नहीं, और यही उसका गुण है — चिह्न वाले तर्क ठीक वही संगणनाएँ हैं जो $s$ से होकर गुज़रती हैं। दूसरी, $\{\pm1\}$ तक जाने वाली समाकारिताएँ सरलतम “अपरिवर्त्य” हैं: इस अध्याय की सप्ताहांत समस्या में बनने वाला क्रमचयों का संकेतक समूह $\mathfrak S_n$ पर वही परिघटना है, और वह जिन सम-विषम तर्कों को शक्ति देता है वे सब ऐसी ही द्विमानी समाकारिता से उतरते हैं।