समविश्लेषिक फलन কী?

उदाहरण 16.3

$z$ में बहुपद, अपने ध्रुवों के बाहर परिमेय फलन, और — दूसरे वर्ष की घात श्रेणियों के पदशः अवकलन प्रमेय से, जिसकी उपपत्ति $\C$ पर भी वैसी ही काम करती है — अपने अभिसरण चक्र के भीतर प्रत्येक घात श्रेणी $\sum a_n(z - a)^n$ का योग: ये सब समविश्लेषिक हैं, जिनका अवकलज $\sum na_n(z - a)^{n-1}$ है (वही त्रिज्या)। विशेष रूप से $\exp z = \sum z^n/n!$ समग्र है ($\C$ पर समविश्लेषिक) और $\exp' = \exp$। दूसरी ओर $z \mapsto \bar z$, $\abs z$, $\operatorname{Re}z$ कहीं भी समविश्लेषिक नहीं हैं (कोशी–रीमान सर्वत्र विफल): समविश्लेषिकता अभिविन्यास-और-कोण सुरक्षित रखने वाली कठोरता है, चिकनाई नहीं।

उदाहरण 16.11 (एकलताएँ त्रिज्याएँ तय करती हैं)

निर्दोष-सा वास्तविक फलन $\frac1{1 + x^2}$ की $x = 3$ पर टेलर श्रेणी केवल $\abs{x - 3} < \sqrt{10}$ के लिए क्यों अभिसरित होती है, जबकि वास्तविक रेखा पर कहीं कुछ गलत नहीं होता? क्योंकि ऊपर की प्रमेय $a$ पर अभिसरण त्रिज्या को $a$ से उस निकटतम बिंदु की दूरी के बराबर कर देती है जहाँ समविश्लेषिकता विफल होती है। यहाँ $f(z) = \frac1{1 + z^2}$ ठीक $\C\setminus\{\pm\iu\}$ पर समविश्लेषिक है, अतः $a = 3$ पर प्रसार $\pm\iu$ से बचने वाले सबसे बड़े चक्र पर अभिसरित होता है, जिसकी त्रिज्या $\abs{3 - \iu} = \sqrt{10}$ है — और उससे बड़े पर अभिसरित नहीं हो सकता, क्योंकि तब योग $f$ को $\pm\iu$ के किसी प्रतिवेश तक समविश्लेषिक रूप से बढ़ा देता, जहाँ $\abs f \to \infty$। वास्तविक सिद्धांत रहस्यमय त्रिज्या $\sqrt{10}$ देखता है; सम्मिश्र समतल दो ध्रुव देखता है। व्यावहारिक नियम यही है: अभिसरण त्रिज्या ढूँढ़ने के लिए एकलताएँ ढूँढ़िए — उदाहरणार्थ $0$ पर $\tan$ की टेलर श्रेणी की त्रिज्या $\frac\pi2$ है ($\cos$ के निकटतम शून्य), और बर्नूली जनक फलन $\frac z{\eu^z - 1}$ (समस्या 16.1, भाग VI) की त्रिज्या $2\pi$ है ($\eu^z - 1$ के निकटतम शून्येतर शून्य: $\pm2\iu\pi$)।