विश्वविद्यालय गणित — स्नातक वर्ष 3 · Bachelor Year 3

16समविश्लेषिक फलन

सम्मिश्र अवकलनीयता देखने में वास्तविक सिद्धांत का एक छोटा-सा रूपांतर लगती है — एक सीमा, एक भागफल। पर वह वस्तुतः एक भिन्न ब्रह्मांड है। $\C$ के किसी विवृत उपसमुच्चय पर एक बार अवकलनीय फलन स्वतः अनंत बार अवकलनीय, वैश्लेषिक, किसी एक बिंदु के निकट के अपने मानों से पूरे प्रांत पर निर्धारित, और कठोर वैश्विक सिद्धांतों (ल्यूविल, उच्चतम मापांक) से बँधा होता है। यह सब एक ही चमत्कार से बहता है, कोशी की प्रमेय: किसी तारकाकार प्रांत में समविश्लेषिक फलन का किसी संवृत पथ के अनुदिश समाकल लुप्त हो जाता है। यह अध्याय उस चमत्कार को सिद्ध करता है (गुरसा का तर्क, जिसमें अवकलनीयता से आगे कोई नियमितता नहीं मानी जाती), उसके शास्त्रीय परिणाम बटोरता है, और उस प्रमेय का निपटारा कर देता है जिसे यह पुस्तक अध्याय 4 से उधार पर बरत रही है: प्रत्येक अचरेतर सम्मिश्र बहुपद का कोई मूल होता है।

सर्वत्र $\Omega \subseteq \C$ विवृत है, और $D(a, r)$ विवृत चक्र को निरूपित करता है।

16.1 सम्मिश्र अवकलनीयता

परिभाषा 16.1

$f \colon \Omega \to \C$ $\Omega$ पर समविश्लेषिक कहलाता है यदि प्रत्येक $z_0 \in \Omega$ के लिए

f'(z_0) = \lim_{h\to0}\frac{f(z_0 + h) - f(z_0)}{h}

विद्यमान हो ( $h \in \C^*$ )। समविश्लेषिक फलनों के योग, गुणनफल, भागफल (हर शून्येतर) और संयोजन समविश्लेषिक होते हैं, और वही सामान्य सूत्र लागू होते हैं (पहले और दूसरे वर्ष की उपपत्तियाँ शब्दशः वैसी ही हैं: वे केवल क्षेत्र संक्रियाओं और सीमाओं का उपयोग करती हैं)। $\mathcal H(\Omega)$ $\Omega$ पर समविश्लेषिक फलनों का समुच्चय निरूपित करता है।

प्रतिज्ञप्ति 16.2 (कोशी–रीमान)

$f(x + \iu y) = P(x,y) + \iu Q(x,y)$ लिखिए। तब $f$ $z_0$ पर समविश्लेषिक है तभी और केवल तभी जब $f$ $z_0$ पर $\R$ -अवकलनीय हो (दो वास्तविक चरों के प्रतिचित्रण के रूप में) और

\frac{\partial P}{\partial x} = \frac{\partial Q}{\partial y}, \qquad \frac{\partial P}{\partial y} = -\frac{\partial Q}{\partial x} \qquad z_0 \text{ पर} ;

समतुल्य रूप से, जब वास्तविक अवकलज सम्मिश्र संख्या $f'(z_0)$ से गुणन हो।

उपपत्ति. $\C$ -अवकलनीयता कहती है कि $c = f'(z_0)$ के साथ $f(z_0 + h) = f(z_0) + ch + o(\abs h)$ : अर्थात् एक $\R$ -रैखिक अवकलज जो $c = a + \iu b$ से गुणन है, यानी जिसका आधार $(1, \iu)$ में आव्यूह $\bigl(\begin{smallmatrix} a & -b\\ b & a \end{smallmatrix}\bigr)$ है — और यही आंशिक अवकलजों के लिए प्रदर्शित संबंध हैं। विलोमतः ऐसा अवकलज $\C$ -रैखिक होता है, और दोनों $o(\abs h)$ परिभाषाएँ मेल खा जाती हैं। ∎

उदाहरण 16.3

$z$ में बहुपद, अपने ध्रुवों के बाहर परिमेय फलन, और — दूसरे वर्ष की घात श्रेणियों के पदशः अवकलन प्रमेय से, जिसकी उपपत्ति $\C$ पर भी वैसी ही काम करती है — अपने अभिसरण चक्र के भीतर प्रत्येक घात श्रेणी $\sum a_n(z - a)^n$ का योग: ये सब समविश्लेषिक हैं, जिनका अवकलज $\sum na_n(z - a)^{n-1}$ है (वही त्रिज्या)। विशेष रूप से $\exp z = \sum z^n/n!$ समग्र है ( $\C$ पर समविश्लेषिक) और $\exp' = \exp$ । दूसरी ओर $z \mapsto \bar z$ , $\abs z$ , $\operatorname{Re}z$ कहीं भी समविश्लेषिक नहीं हैं (कोशी–रीमान सर्वत्र विफल): समविश्लेषिकता अभिविन्यास-और-कोण सुरक्षित रखने वाली कठोरता है, चिकनाई नहीं।

16.2 परिरेखा समाकल

परिभाषा 16.4

पथ खंडशः $\mathcal C^1$ प्रतिचित्रण $\gamma \colon \intcc ab \to \C$ है; वह संवृत कहलाता है यदि $\gamma(a) = \gamma(b)$ हो। $\gamma$ के प्रतिबिंब पर संतत $f$ के लिए:

\int_\gamma f(z)\,\dd z = \int_a^b f(\gamma(t))\,\gamma'(t)\,\dd t, \qquad \Bigl|\int_\gamma f\,\dd z\Bigr| \leq \sup_{\gamma}\abs f\cdot\operatorname{length}(\gamma)

(ML असमिका; लंबाई $= \int_a^b\abs{\gamma'}$ )। यह समाकल बढ़ते हुए $\mathcal C^1$ पुनःप्राचलन के अंतर्गत अपरिवर्ती रहता है और अभिविन्यास उलटने पर चिह्न बदल देता है।

प्रतिज्ञप्ति 16.5 (आद्यंतर)

$\Omega$ पर संतत $f$ के लिए निम्नलिखित समतुल्य हैं: (क) $f$ का कोई आद्यंतर $F \in \mathcal H(\Omega)$ है ( $F' = f$ ); (ख) $\Omega$ में प्रत्येक संवृत पथ $\gamma$ के लिए $\int_\gamma f\,\dd z = 0$ । उस स्थिति में प्रत्येक पथ के लिए $\int_\gamma f\,\dd z = F(\gamma(b)) - F(\gamma(a))$ ।

उपपत्ति. (क) $\Rightarrow$ : $\frac{\dd}{\dd t}F(\gamma(t)) = F'(\gamma(t))\gamma'(t)$ (शृंखला नियम, खंडशः वैध), अतः समाकल दूरबीनी होकर सिरों के अंतर तक सिमट जाता है; और संवृत पथ $0$ देते हैं। (ख) $\Rightarrow$ (क): किसी संबद्ध घटक में $z_*$ स्थिर कीजिए, और $z_*$ से $z$ तक किसी भी पथ के अनुदिश $F(z) = \int_{\gamma_z}f\,\dd z$ परिभाषित कीजिए (यह सुपरिभाषित है: दो पथ किसी संवृत पथ जितने ही भिन्न होते हैं); छोटे $h$ के लिए $z$ से $z + h$ तक का रेखाखंड लेने पर,

\frac{F(z + h) - F(z)}{h} - f(z) = \frac1h\int_{[z, z+h]}\bigl(f(w) - f(z)\bigr)\dd w \longrightarrow 0

और यह ML असमिका तथा $z$ पर $f$ के सांतत्य से। ∎

परिभाषा 16.6 (घूर्णन संख्या)

किसी संवृत पथ $\gamma$ और $z \notin \operatorname{im}\gamma$ के लिए सूचकांक है

\operatorname{Ind}_\gamma(z) = \frac1{2\iu\pi} \int_\gamma\frac{\dd w}{w - z} .

यह एक पूर्णांक है: $\varphi(t) = \int_a^t\frac{\gamma'(s)}{\gamma(s) - z}\dd s$ रखने पर फलन $(\gamma(t) - z)\eu^{-\varphi(t)}$ का अवकलज (खंडशः) शून्य होता है, अतः वह अचर है; और $t = b$ पर $\eu^{\varphi(b)} = \frac{\gamma(b) - z}{\gamma(a) - z} = 1$ , इसलिए $\varphi(b) \in 2\iu\pi\Z$ । $z$ के फलन के रूप में सूचकांक $\C\setminus\operatorname{im}\gamma$ पर संतत है (प्रभावी अभिसरण), अतः प्रत्येक संबद्ध घटक पर अचर, और अपरिबद्ध घटक पर $0$ (ML: $z \to \infty$ पर समाकल $0$ की ओर जाता है)। वृत्त $\gamma(t) = a + r\eu^{\iu t}$ , $t \in \intcc0{2\pi}$ के लिए: $z \in D(a,r)$ के लिए $\operatorname{Ind}_\gamma(z) = 1$ ( $z = a$ पर परिकलित कीजिए: $\frac1{2\iu\pi} \int_0^{2\pi}\frac{r\iu\eu^{\iu t}}{r\eu^{\iu t}}\dd t = 1$ ; शेष अचरता कर देती है)।

16.3 कोशी की प्रमेय

प्रमेय 16.7 (गुरसा)

मान लीजिए $f \in \mathcal H(\Omega)$ और $T \subseteq \Omega$ कोई संवृत ठोस त्रिभुज है। तब $\int_{\partial T}f\,\dd z = 0$ (परिसीमा एक बार, किसी भी अभिविन्यास में)।

उपपत्ति. मान लीजिए $I(T) = \int_{\partial T}f\,\dd z$ । भुजाओं के मध्य बिंदु जोड़ने से $T$ आधे आकार के चार त्रिभुजों $T^{(1)}, \dots, T^{(4)}$ में बँट जाता है, और भीतरी किनारे जोड़ों में निरस्त हो जाते हैं: $I(T) = \sum_iI(T^{(i)})$ । उनमें से $\abs{I(T_1)} \geq \frac14\abs{I(T)}$ वाला $T_1$ चुनिए, और दोहराइए: इससे एक नेस्टेड अनुक्रम $T \supseteq T_1 \supseteq T_2 \supseteq\cdots$ मिलता है जिसमें

\abs{I(T_n)} \geq 4^{-n}\abs{I(T)}, \qquad \operatorname{diam}T_n = 2^{-n}\operatorname{diam}T, \quad \operatorname{length}(\partial T_n) = 2^{-n}\operatorname{length}(\partial T).

प्रतिच्छेदन $\bigcap T_n$ एक ही बिंदु $z_0$ है (लुप्त होते व्यास वाले नेस्टेड संहत, प्रमेय 6.13(3))। $z_0$ पर अवकलनीयता: $\varepsilon$ दिया हो, तो बड़े $n$ के लिए $T_n$ पर

f(z) = f(z_0) + f'(z_0)(z - z_0) + R(z), \qquad \abs{R(z)} \leq \varepsilon\abs{z - z_0} \leq \varepsilon\operatorname{diam}T_n .

आफ़ीन भाग का कोई आद्यंतर है: संवृत $\partial T_n$ पर उसका समाकल लुप्त हो जाता है (प्रतिज्ञप्ति 16.5), जिससे

\abs{I(T_n)} = \Bigl|\int_{\partial T_n}R\Bigr| \leq \varepsilon\operatorname{diam}(T_n)\, \operatorname{length}(\partial T_n) = \varepsilon\,4^{-n}\operatorname{diam}(T) \operatorname{length}(\partial T) .

बचता है। $\abs{I(T_n)} \geq 4^{-n}\abs{I(T)}$ से तुलना करने पर: प्रत्येक $\varepsilon$ के लिए $\abs{I(T)} \leq \varepsilon\cdot\text{अचर}$ : अतः $I(T) = 0$ । ∎

प्रमेय 16.8 (कोशी की प्रमेय, तारकाकार रूप)

मान लीजिए $\Omega$ $c$ के परितः तारकाकार है (प्रत्येक रेखाखंड $[c, z]$ , $z \in \Omega$ , $\Omega$ में है) — उदाहरणार्थ उत्तल। प्रत्येक $f \in \mathcal H(\Omega)$ का $\Omega$ पर कोई आद्यंतर होता है; फलस्वरूप $\Omega$ में प्रत्येक संवृत पथ $\gamma$ के लिए $\int_\gamma f\,\dd z = 0$ ।

उपपत्ति. $F(z) = \int_{[c,z]}f\,\dd w$ परिभाषित कीजिए। $[z, z+h] \subseteq \Omega$ वाले $z, z + h \in \Omega$ के लिए (जो छोटे $h$ के लिए सत्य है) शीर्षों $c, z, z+h$ वाला त्रिभुज $\Omega$ में होता है (तारकाकारता: उसका प्रत्येक बिंदु $w \in [z, z+h] \subseteq \Omega$ वाले किसी रेखाखंड $[c, w]$ पर होता है): अतः गुरसा

F(z + h) - F(z) = \int_{[z, z+h]}f\,\dd w,

दे देता है, और प्रतिज्ञप्ति 16.5 का अंतर-भागफल परिकलन $F' = f$ दे देता है। संवृत-पथ समाकलों का लुप्त होना उसी प्रतिज्ञप्ति से निकलता है। ∎

प्रमेय 16.9 (कोशी का समाकल सूत्र)

मान लीजिए $f \in \mathcal H(\Omega)$ , $\bar D(a, r) \subseteq \Omega$ , और $C_r$ वह वृत्त $\partial D(a,r)$ है जो एक बार वामावर्त चलाया गया है। तब प्रत्येक $z \in D(a, r)$ के लिए:

f(z) = \frac1{2\iu\pi}\int_{C_r}\frac{f(w)}{w - z}\,\dd w .

उपपत्ति. $z$ स्थिर कीजिए और $\Omega$ पर परिभाषित कीजिए

g(w) = \begin{cases} \dfrac{f(w) - f(z)}{w - z} & w \neq z,\\[4pt] f'(z) & w = z : \end{cases}

$g$ $\Omega$ पर संतत है और $z$ के बाहर समविश्लेषिक। $g$ के लिए गुरसा प्रत्येक त्रिभुज $T \subseteq \Omega'$ पर लागू होता है, जहाँ $\Omega'$ $\Omega$ के भीतर $\bar D(a,r)$ से थोड़ा बड़ा चक्र है: यदि $z \notin T$ हो तो सीधे; और यदि $z \in T$ हो, तो $T$ को $z$ को शीर्ष रखने वाले छोटे त्रिभुजों तथा $z$ से बचने वाले त्रिभुजों में बाँटिए; शीर्ष $z$ वाले त्रिभुज पर त्रिभुज के सिकुड़ने के साथ ML परिबंध $\abs{\int_{\partial T'}g} \leq \sup_{T'}\abs g\cdot\operatorname{length} \to 0$ दे देता है, और शेष टुकड़े गुरसा से लुप्त हो जाते हैं — अतः सभी स्थितियों में $\int_{\partial T}g = 0$ । प्रमेय 16.8 की उपपत्ति ने केवल इसी त्रिभुज गुण का उपयोग किया था: अतः $g$ का उत्तल $\Omega'$ पर कोई आद्यंतर है, इसलिए $\int_{C_r}g = 0$ , अर्थात्

\frac1{2\iu\pi}\int_{C_r}\frac{f(w)}{w - z}\dd w = f(z)\,\frac{1}{2\iu\pi}\int_{C_r}\frac{\dd w}{w - z} = f(z)\operatorname{Ind}_{C_r}(z) = f(z) .

∎

16.4 वैश्लेषिकता और उसका झरना

प्रमेय 16.10 (समविश्लेषिक $=$ वैश्लेषिक)

मान लीजिए $f \in \mathcal H(\Omega)$ और $D(a, R) \subseteq \Omega$ । तब

f(z) = \sum_{n\geq0}c_n\,(z - a)^n \quad D(a, R) \text{ पर}, \qquad c_n = \frac1{2\iu\pi}\int_{C_r}\frac{f(w)}{(w - a)^{n+1}}\,\dd w \ \ (0 < r < R),

और गुणांक $r$ पर निर्भर नहीं करते। फलस्वरूप $f$ अनंत बार $\C$ -अवकलनीय है, $c_n = f^{(n)}(a)/n!$ , और कोशी आकलन लागू होते हैं:

\abs{c_n} \;\leq\; \frac{\sup_{\abs{w - a} = r}\abs{f(w)}}{r^{n}} .

उपपत्ति. $\abs{z - a} < r$ के लिए: कोशी नाभिक का गुणोत्तर श्रेणी में प्रसार कीजिए

\frac1{w - z} = \frac1{(w - a)\bigl(1 - \frac{z - a}{w - a}\bigr)} = \sum_{n\geq0}\frac{(z - a)^n}{(w - a)^{n+1}},

जो $C_r$ पर $w$ में प्रसामान्य रूप से अभिसरित होती है ( $\abs{\frac{z-a}{w-a}} = \frac{\abs{z-a}}r < 1$ ): $\frac{f(w)}{2\iu\pi}$ के सापेक्ष पदशः समाकलन कीजिए (एकसमान अभिसरण अदला-बदली को उचित ठहराता है) और प्रमेय 16.9 लगाइए। कोई घात श्रेणी अनंत बार अवकलनीय होती है, जिसमें $c_n = f^{(n)}(a)/n!$ (दूसरा वर्ष), और इससे यह भी दिखता है कि $c_n$ $r$ पर निर्भर नहीं करते। आकलन: गुणांक समाकल को ML से परिबद्ध कीजिए। ∎

उदाहरण 16.11 (एकलताएँ त्रिज्याएँ तय करती हैं)

निर्दोष-सा वास्तविक फलन $\frac1{1 + x^2}$ की $x = 3$ पर टेलर श्रेणी केवल $\abs{x - 3} < \sqrt{10}$ के लिए क्यों अभिसरित होती है, जबकि वास्तविक रेखा पर कहीं कुछ गलत नहीं होता? क्योंकि ऊपर की प्रमेय $a$ पर अभिसरण त्रिज्या को $a$ से उस निकटतम बिंदु की दूरी के बराबर कर देती है जहाँ समविश्लेषिकता विफल होती है। यहाँ $f(z) = \frac1{1 + z^2}$ ठीक $\C\setminus\{\pm\iu\}$ पर समविश्लेषिक है, अतः $a = 3$ पर प्रसार $\pm\iu$ से बचने वाले सबसे बड़े चक्र पर अभिसरित होता है, जिसकी त्रिज्या $\abs{3 - \iu} = \sqrt{10}$ है — और उससे बड़े पर अभिसरित नहीं हो सकता, क्योंकि तब योग $f$ को $\pm\iu$ के किसी प्रतिवेश तक समविश्लेषिक रूप से बढ़ा देता, जहाँ $\abs f \to \infty$ । वास्तविक सिद्धांत रहस्यमय त्रिज्या $\sqrt{10}$ देखता है; सम्मिश्र समतल दो ध्रुव देखता है। व्यावहारिक नियम यही है: अभिसरण त्रिज्या ढूँढ़ने के लिए एकलताएँ ढूँढ़िए — उदाहरणार्थ $0$ पर $\tan$ की टेलर श्रेणी की त्रिज्या $\frac\pi2$ है ( $\cos$ के निकटतम शून्य), और बर्नूली जनक फलन $\frac z{\eu^z - 1}$ (समस्या 16.1, भाग VI) की त्रिज्या $2\pi$ है ( $\eu^z - 1$ के निकटतम शून्येतर शून्य: $\pm2\iu\pi$ )।

उपप्रमेय 16.12 (ल्यूविल; दालांबेर–गाउस)

कोई परिबद्ध समग्र फलन अचर होता है। फलस्वरूप $\C$ पर प्रत्येक अचरेतर बहुपद का कोई मूल होता है: $\C$ बीजीय रूप से संवृत है।

उपपत्ति. यदि $\C$ पर $\abs f \leq M$ हो: प्रत्येक $a$ और $r$ के लिए $\abs{c_1(a)} = \abs{f'(a)} \leq M/r \to 0$ : अतः $f' \equiv 0$ , और $f$ अचर है (संबद्ध $\C$ पर: शून्य अवकलज से स्थानीय अचरता निकलती है — रेखाखंडों के अनुदिश समाकलन कीजिए)। यदि $P$ का कोई मूल न होता, तो $1/P$ समग्र और परिबद्ध होता ( $\abs z \to \infty$ पर $\abs{P(z)} \to \infty$ : अग्र पद प्रभावी होता है, अतः $\abs{1/P}$ किसी बड़े चक्र के बाहर छोटा है और संहत चक्र पर संतत): अतः अचर — जो अचरेतर $P$ के लिए निरर्थक है। (सप्ताहांत समस्या एक दूसरी, प्रारंभिक उपपत्ति और बीजीय परिणाम देती है।) ∎

प्रमेय 16.13 (शून्य विविक्त होते हैं; तत्समता प्रमेय)

मान लीजिए $\Omega$ संबद्ध है और $f \in \mathcal H(\Omega)$ , $f \not\equiv 0$ । तब $f$ के प्रत्येक शून्य $a$ का क्रम परिमित होता है: $g \in \mathcal H(\Omega)$ , $g(a) \neq 0$ के साथ $f(z) = (z - a)^m\,g(z)$ , और $f$ के शून्यों का $\Omega$ में कोई संचय बिंदु नहीं होता। फलस्वरूप, यदि $\Omega$ पर दो समविश्लेषिक फलन किसी ऐसे समुच्चय पर सहमत हों जिसका $\Omega$ में कोई संचय बिंदु हो, तो वे सर्वत्र सहमत होते हैं।

उपपत्ति. मान लीजिए $Z$ उन बिंदुओं का समुच्चय है जहाँ $f$ के सभी अवकलज लुप्त हैं। $Z$ संवृत है (संवृत समुच्चयों का प्रतिच्छेदन) और विवृत भी: यदि $a$ पर सभी $c_n = 0$ हों, तो घात श्रेणी प्रसार $a$ के चारों ओर किसी चक्र पर $f \equiv 0$ बना देता है। संबद्धता: $Z = \varnothing$ या $Z = \Omega$ ; और दूसरा $f \not\equiv 0$ से अपवर्जित है। अतः किसी शून्य $a$ पर कोई गुणांक शून्येतर होता है: $c_m \neq 0$ वाला न्यूनतम $m$ लीजिए; तब किसी चक्र पर $f(z) = (z - a)^m\sum_{n\geq m}c_n(z-a)^{n-m}$ , और उसका योग $a$ के निकट $g(a) = c_m \neq 0$ वाला समविश्लेषिक $g$ परिभाषित करता है; $g = f/(z-a)^m$ को $a$ के बाहर बढ़ा दीजिए (वहाँ वह समविश्लेषिक है)। चूँकि $g(a) \neq 0$ और $g$ संतत है, $a$ के किसी प्रतिवेश में $f$ का कोई दूसरा शून्य नहीं होता: अतः शून्य विविक्त हैं, और विविक्त बिंदुओं के समुच्चय का $\Omega$ में कोई संचय बिंदु नहीं होता (शून्यों का कोई संचय बिंदु सांतत्य से स्वयं शून्य होता, और विविक्त न होता)। तत्समता: अंतर पर लगाइए, जिसके शून्य समुच्चय का कोई संचय बिंदु है, अतः वह $Z = \Omega$ शाखा में चला जाता है। ∎

प्रमेय 16.14 (माध्य मान और उच्चतम मापांक)

मान लीजिए $f \in \mathcal H(\Omega)$ ।

(माध्य मान) $\bar D(a, r) \subseteq \Omega$ के लिए: $f(a) = \frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}f(a + r\eu^{\iu t})\,\dd t$ ।
(उच्चतम सिद्धांत) यदि $\Omega$ संबद्ध हो और $\abs f$ $\Omega$ के किसी बिंदु पर कोई स्थानीय अधिकतम प्राप्त करे, तो $f$ अचर है। फलस्वरूप, परिबद्ध $\Omega$ और $\bar\Omega$ पर संतत $f$ के लिए: $\sup_{\bar\Omega}\abs f = \sup_{\partial\Omega}\abs f$ ।

उपपत्ति. (1) केंद्र पर कोशी का सूत्र है: $C_r$ का प्राचलन कीजिए। (2) मान लीजिए $\bar D(a, \rho) \subseteq \Omega$ पर $\abs f \leq \abs{f(a)}$ । यदि $f(a) = 0$ हो, तो $a$ के निकट $f \equiv 0$ । अन्यथा, $0 < r \leq \rho$ के लिए माध्य मान

\abs{f(a)} \leq \frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}\abs{f(a + r\eu^{\iu t})}\,\dd t \leq \abs{f(a)} :

देता है; संतत अऋणात्मक समाकल्य $\abs{f(a)} - \abs{f(a + r\eu^{\iu t})}$ का माध्य शून्य है, अतः वह लुप्त हो जाता है: इसलिए चक्र पर $\abs f$ अचर $= \abs{f(a)} \ne 0$ है। किसी चक्र पर अचर शून्येतर मापांक वाला समविश्लेषिक फलन अचर होता है: $P^2 + Q^2 = \text{अचर}$ का अवकलन $PP_x + QQ_x = 0$ और $PP_y + QQ_y = 0$ देता है; दूसरे समीकरण में कोशी–रीमान संबंध $P_y = -Q_x$ , $Q_y = P_x$ प्रतिस्थापित करने पर रैखिक निकाय

P\,P_x + Q\,Q_x = 0, \qquad -P\,Q_x + Q\,P_x = 0,

मिलता है, जिसका सारणिक $P^2 + Q^2 \neq 0$ है: अतः $P_x = Q_x = 0$ , इसलिए चक्र पर $f' = P_x + \iu Q_x = 0$ : यानी वहाँ $f$ अचर। तत्समता प्रमेय अचरता को पूरे $\Omega$ पर फैला देती है। सीमांत रूप: $\abs f$ अपना उच्चतम संहत $\bar\Omega$ पर प्राप्त करता है; और कोई आंतरिक अधिकतम $f$ को अचर बना देता है, अतः हर स्थिति में उच्चतम परिसीमा पर प्राप्त होता है। ∎

प्रमेय 16.15 (वाइरश्ट्रास अभिसरण प्रमेय)

यदि $f_n \in \mathcal H(\Omega)$ $\Omega$ के प्रत्येक संहत उपसमुच्चय पर एकसमान रूप से $f$ पर अभिसरित हों, तो $f \in \mathcal H(\Omega)$ और प्रत्येक $k$ के लिए संहतों पर एकसमान रूप से $f_n^{(k)} \to f^{(k)}$ ।

उपपत्ति. $f$ संतत है। किसी भी संवृत त्रिभुज $T \subseteq \Omega$ के लिए: $\int_{\partial T}f = \lim\int_{\partial T}f_n = 0$ (संहत $\partial T$ पर एकसमान अभिसरण; $f_n$ के लिए गुरसा)। प्रमेय 16.8 के तर्क से $f$ के स्थानीय आद्यंतर हैं (चक्र उत्तल हैं; केवल त्रिभुज गुण का उपयोग हुआ था), अर्थात् समविश्लेषिक $F$ के साथ स्थानीय रूप से $f = F'$ ; और $F$ वैश्लेषिक है (प्रमेय 16.10), अतः $f = F'$ भी: यानी समविश्लेषिक। (यही मोरेरा की प्रमेय है: संतत और त्रिभुज समाकलों का लुप्त होना समविश्लेषिकता दे देता है।) अवकलज: $\bar D(a, 2r) \subseteq \Omega$ और $z \in \bar D(a, r)$ के लिए अवकलजों का कोशी सूत्र (समाकल के भीतर प्रमेय 16.9 का अवकलन कीजिए, अथवा गुणांक सूत्र का उपयोग कीजिए)

\abs{f_n'(z) - f'(z)} = \Bigl|\frac{1}{2\iu\pi}\int_{C_{2r}}\frac{f_n(w) - f(w)}{(w - z)^2}\,\dd w\Bigr| \leq \frac{2r\,\sup_{C_{2r}}\abs{f_n - f}}{r^2} \to 0

देता है, और वह भी $\bar D(a,r)$ पर एकसमान रूप से; किसी संहत को परिमित संख्या के ऐसे चक्रों से आच्छादित कीजिए, और ऊँचे $k$ के लिए दोहराइए। ∎

कोशी का सूत्र: किसी समविश्लेषिक फलन के चक्र के भीतर के मान परिसीमा वृत्त पर के उसके मानों का भारित औसत होते हैं। समविश्लेषिकता की सारी कठोरता — वैश्लेषिकता, ल्यूविल, उच्चतम सिद्धांत — इसी एक सर्वसमिका से खुलती है। — कोशी का सूत्र: किसी समविश्लेषिक फलन के चक्र के *भीतर* के मान परिसीमा वृत्त पर के उसके मानों का भारित औसत होते हैं। समविश्लेषिकता की सारी कठोरता — वैश्लेषिकता, ल्यूविल, उच्चतम सिद्धांत — इसी एक सर्वसमिका से खुलती है।

विधि 16.16

रोज का औजार-बक्सा। किसी फलन को समविश्लेषिक सिद्ध करने के लिए: उसे किसी घात श्रेणी, संयोजन, स्थानीय एकसमान सीमा (प्रमेय 16.15), अथवा समविश्लेषिक प्राचल वाले समाकल (अभ्यास 16.7 — $\int$ के भीतर अवकलन कीजिए या मोरेरा–फुबिनी लगाइए) के रूप में प्रस्तुत कीजिए। सर्वसमिकाएँ सिद्ध करने के लिए: उन्हें किसी रेखाखंड या उपप्रांत पर सिद्ध कीजिए और तत्समता प्रमेय का आह्वान कीजिए। परिबद्ध करने के लिए: उपलब्ध सबसे बड़े वृत्त पर कोशी आकलन। अचरता या अनस्तित्व सिद्ध करने के लिए: ल्यूविल अथवा उच्चतम सिद्धांत। सदा जानिए कि आपका फलन कहाँ समविश्लेषिक है और $\Omega$ में कौन-से चक्र समाते हैं।

16.5 अभ्यास

अभ्यास 16.1 ★

(क) $z \mapsto \bar z$ , $\abs z^2$ , $\operatorname{Re}z$ किन बिंदुओं पर सम्मिश्र-अवकलनीय हैं? किसी विवृत समुच्चय पर समविश्लेषिक? (ख) दर्शाइए कि $P(x, y) = x^2 - y^2$ $\C$ पर किसी समविश्लेषिक फलन का वास्तविक भाग है, उसे स्पष्ट रूप से ढूँढ़िए, और सभी ऐसे फलन निर्धारित कीजिए।

हल

हल — अभ्यास 16.1.

(क) $\bar z$ : $P = x$ , $Q = -y$ , अतः $P_x = 1 \neq -1 = Q_y$ : कहीं भी $\C$ -अवकलनीय नहीं। $\abs z^2$ : $P = x^2 + y^2$ , $Q = 0$ : कोशी–रीमान $2x = 0 = 2y$ माँगते हैं: अतः केवल $0$ पर अवकलनीय — और कहीं भी समविश्लेषिक नहीं (कोई विवृत समुच्चय नहीं)। $\operatorname{Re}z$ : $P_x = 1 \neq 0 = Q_y$ : कहीं नहीं।

(ख) $x^2 - y^2 = \operatorname{Re}(z^2)$ : $f(z) = z^2$ काम करता है। सभी हल: यदि संबद्ध $\C$ पर समविश्लेषिक $f, g$ के साथ $\operatorname{Re}f = \operatorname{Re}g$ हो, तो $h = f - g$ का $\operatorname{Re}h = 0$ है; और कोशी–रीमान $h' = P_x + \iu Q_x = 0 - \iu P_y = 0$ दे देते हैं: अतः $h$ कोई काल्पनिक अचर है। उत्तर: $f(z) = z^2 + \iu c$ , $c \in \R$ ।

अभ्यास 16.2 ★

परिभाषाओं से परिकलित कीजिए: सभी $n \in \Z$ के लिए $\int_{C}z^n\,\dd z$ , जहाँ $C$ इकाई वृत्त है; तथा रेखाखंड $[0, 1+\iu]$ के अनुदिश और $1$ से होकर जाने वाले दो-खंडी पथ के अनुदिश $\int_\gamma\bar z\,\dd z$ : निष्कर्ष निकालिए कि इन पथों के किसी भी प्रतिवेश पर $\bar z$ का कोई आद्यंतर नहीं है।

हल

हल — अभ्यास 16.2.

इकाई वृत्त $\gamma(t) = \eu^{\iu t}$ पर:

\int_C z^n\,\dd z = \int_0^{2\pi}\eu^{\iu nt}\,\iu\eu^{\iu t}\dd t = \iu\int_0^{2\pi}\eu^{\iu(n+1)t}\dd t = \begin{cases} 2\iu\pi & n = -1,\\ 0 & n \neq -1.\end{cases}

$\bar z$ के लिए: $[0, 1+\iu]$ के अनुदिश $\gamma(t) = t(1 + \iu)$ : $\int_0^1 t(1 - \iu)(1 + \iu)\dd t = \int_0^12t\,\dd t = 1$ । $0 \to 1 \to 1 + \iu$ के अनुदिश: $\int_0^1t\dd t + \int_0^1(1 - \iu t)\,\iu\,\dd t = \frac12 + \iu + \frac12 = 1 + \iu$ । एक ही अंत-बिंदुओं के बीच भिन्न मान: अतः प्रतिज्ञप्ति 16.5 से $\bar z$ का दोनों पथों को धारण करने वाले किसी भी विवृत समुच्चय पर कोई आद्यंतर नहीं है।

अभ्यास 16.3 ★★

(क) दर्शाइए कि मुख्य लघुगणक $\log z = \ln\abs z + \iu\arg z$ ( $\arg \in \intoo{-\pi}\pi$ ) $\C\setminus\intoc{-\infty}0$ पर अवकलज $\frac1z$ के साथ समविश्लेषिक है (तारकाकार कटे समतल पर $\frac1z$ का आद्यंतर: प्रमेय 16.8; नियतांक स्थिर कीजिए)। (ख) दर्शाइए कि $\C^*$ पर कोई संतत लघुगणक विद्यमान नहीं है (अवकलज-रहित बाधा: इकाई वृत्त का सूचकांक)। (ग) $D(0,1)$ पर $\log(1 + z)$ का घात श्रेणी में प्रसार कीजिए।

हल

हल — अभ्यास 16.3.

(क) कटा हुआ समतल $\Omega = \C\setminus\intoc{-\infty}0$ $1$ के परितः तारकाकार है, और $\frac1z \in \mathcal H(\Omega)$ : अतः प्रमेय 16.8 $L(1) = 0$ वाला कोई आद्यंतर $L$ दे देता है। तब $\bigl(z\eu^{-L(z)}\bigr)' = \eu^{-L}(1 - z\cdot\frac1z) = 0$ : $c = 1$ के साथ $z = c\,\eu^{L(z)}$ ( $z = 1$ पर)। $L = u + \iu v$ लिखने पर: $\abs z = \eu^u$ और $v$ संतत के साथ $z = \abs z\eu^{\iu v}$ , $v(1) = 0$ , $v \in \intoo{-\pi}\pi$ ( $v$ संबद्ध $\Omega$ पर $z$ का कोई संतत कोणांक है, अतः उसका प्रतिबिंब $\pi$ के विषम गुणजों से बचता है — $\Omega$ का कोई बिंदु $\R_-$ पर नहीं है — और $v(1) = 0$ को धारण करते हुए वह $\intoo{-\pi}\pi$ में ही रहता है: अतः $v$ मुख्य कोणांक है): $L = \log$ ।

(ख) यदि $g$ $\C^*$ पर कोई संतत लघुगणक होता: तो $h(t) = g(\eu^{\iu t})$ $\eu^{h(t)} = \eu^{\iu t}$ संतुष्ट करता, अतः $h(t) - \iu t \in 2\iu\pi\Z$ , और सांतत्य से किसी स्थिर पूर्णांक $k$ के लिए $h(t) = \iu t + 2\iu\pi k$ । तब $g(1) = h(0) = 2\iu\pi k$ और $g(1) = h(2\pi) = 2\iu\pi(k + 1)$ : विरोधाभास।

(ग) $D(0,1)$ पर: $\log(1 + z) = \sum_{n\geq1}\frac{(-1)^{n+1}}{n}z^n$ — दोनों पक्ष $0$ पर लुप्त होते हैं और उनका अवकलज $\frac1{1+z} = \sum(-1)^nz^n$ है (उदाहरण 16.3); और संबद्ध चक्र पर आद्यंतर किसी अचर तक अद्वितीय होता है।

अभ्यास 16.4 ★★

(क) मान लीजिए $f$ $\abs{f(z)} \leq C(1 + \abs z)^{n}$ वाला समग्र फलन है। दर्शाइए कि $f$ घात $\leq n$ का बहुपद है (बड़े वृत्तों पर कोशी आकलन)। (ख) मान लीजिए $f$ ऐसा समग्र फलन है जिसका $\operatorname{Re}f$ ऊपर से परिबद्ध है। दर्शाइए कि $f$ अचर है ( $\eu^{f}$ पर विचार कीजिए)। (ग) “आफ़ीन प्रतिचित्रणों के लिए लघु पिकार” निष्कर्ष निकालिए: किसी अर्ध-समतल को छोड़ देने वाला समग्र फलन अचर होता है।

हल

हल — अभ्यास 16.4.

(क) $0$ पर प्रसार कीजिए (त्रिज्या $\infty$ ): $C_r$ पर कोशी आकलनों से $k > n$ के लिए $r \to \infty$ पर $\abs{c_k} \leq C(1 + r)^n/r^k \to 0$ : अतः $f = \sum_{k\leq n}c_kz^k$ ।

(ख) यदि $\operatorname{Re}f \leq M$ हो: $g = \eu^f$ $\abs g = \eu^{\operatorname{Re}f} \leq \eu^M$ के साथ समग्र है: अतः ल्यूविल से अचर। तब अलुप्त $g$ के साथ $g' = f'g = 0$ : $f' = 0$ , और $f$ अचर है।

(ग) यदि $f$ अर्ध-समतल $H$ छोड़ देता हो, तो कोई आफ़ीन प्रतिचित्रण $w \mapsto \alpha w + \beta$ $\C\setminus H$ को $\{\operatorname{Re} \leq M\}$ में भेज देता है; अब (ख) को $\alpha f + \beta$ पर लगाइए।

अभ्यास 16.5 ★★

(क) मान लीजिए $f$ किसी संबद्ध $\Omega \ni 0$ पर समविश्लेषिक है और सभी बड़े $n$ के लिए $f(\frac1n) = \frac1{n^2}$ । $f$ निर्धारित कीजिए। (ख) क्या $\C^*$ पर कोई समविश्लेषिक $f$ सभी $n \geq 1$ के लिए $f(\frac1n) = \frac{(-1)^n}{n}$ को संतुष्ट करता है? उचित ठहराइए। (ग) $D(0,1)\sqcup D(3,1)$ पर ऐसे दो भिन्न समविश्लेषिक फलन प्रस्तुत कीजिए जो $D(0,1)$ पर सहमत हों: तत्समता प्रमेय संबद्धता का उपयोग कहाँ करती है?

हल

हल — अभ्यास 16.5.

(क) $g(z) = f(z) - z^2$ बिंदुओं $\frac1n$ पर लुप्त होता है, जो $0 \in \Omega$ पर संचित होते हैं: अतः तत्समता प्रमेय ( $\Omega$ संबद्ध) से $g \equiv 0$ : $f(z) = z^2$ ।

(ख) हाँ: $f(z) = z\cos(\pi/z)$ $\C^*$ पर समविश्लेषिक है (संयोजन) और $f(\frac1n) = \frac1n\cos(n\pi) = \frac{(-1)^n}n$ । (क) के साथ कोई विरोधाभास नहीं: अंतर्वेशन गाँठों का संचय बिंदु $0$ $\C^*$ में नहीं है, अतः तत्समता प्रमेय मौन है — दो भिन्न फलन ( $z\cos(\pi/z)$ और, कहिए, किसी अन्य अंतर्वेशन से मिला फलन) ये मान साझा कर सकते हैं।

(ग) सर्वत्र $f \equiv 0$ , बनाम $D(0,1)$ पर $g = 0$ और $D(3,1)$ पर $g = 1$ : असंबद्ध संघ पर समविश्लेषिक, $D(0,1)$ पर बराबर, और भिन्न। तत्समता प्रमेय के विवृत-संवृत तर्क को एक घटक से दूसरे तक फैलने के लिए संबद्धता चाहिए — और वह नहीं मिल सकती।

अभ्यास 16.6 ★★

मान लीजिए $f$ विवृत इकाई चक्र $\mathbb D$ पर समविश्लेषिक है, $\bar{\mathbb D}$ पर संतत, और परिसीमा वृत्त पर $\abs f \equiv 1$ । (क) यदि $f$ का $\mathbb D$ में कोई शून्य न हो, तो दर्शाइए कि $f$ अचर है ( $f$ पर और $1/f$ पर उच्चतम सिद्धांत लगाइए)। (ख) शून्य वाला ऐसा उदाहरण दीजिए जिसमें $f$ अचर न हो।

हल

हल — अभ्यास 16.6.

(क) परिबद्ध प्रांत पर उच्चतम सिद्धांत लगाने पर: $\sup_{\mathbb D}\abs f = \sup_{\partial\mathbb D}\abs f = 1$ । चूँकि $f$ का कोई शून्य नहीं है, अतः $1/f$ $\mathbb D$ पर समविश्लेषिक और संवरण पर संतत है, जिसका परिसीमा मापांक $1$ है: अतः इसी प्रकार $\abs{1/f} \leq 1$ , अर्थात् $\abs f \geq 1$ । इसलिए $\abs f \equiv 1$ : मापांक अपना आंतरिक उच्चिष्ठ प्राप्त कर लेता है, और प्रमेय 16.14(2) $f$ को अचर होने पर बाध्य कर देता है।

(ख) $f(z) = z$ : परिसीमा मापांक $1$ , मूल बिंदु पर शून्य, और अचरेतर — अर्थात् वह शून्य ही $1/f$ वाले तर्क को रोकता है।

अभ्यास 16.7 ★★

(समाकल के भीतर समविश्लेषिकता) मान लीजिए $\mu$ किसी समष्टि $X$ पर परिमित माप है और $g \colon X\times\Omega \to \C$ ऐसा है कि: प्रत्येक $x$ के लिए $g(x, \cdot) \in \mathcal H(\Omega)$ , $g$ $x$ में मापनीय है, और $z$ में स्थानीय रूप से एकसमान ढंग से समाकलनीय $h$ के साथ $\abs g \leq h(x)$ । दर्शाइए कि $G(z) = \int_Xg(x, z)\dd\mu(x)$ $\Omega$ पर समविश्लेषिक है। (मोरेरा: फुबिनी और गुरसा से त्रिभुज समाकल लुप्त हो जाते हैं; सांतत्य प्रभावी अभिसरण से। फिर इसे $\{\operatorname{Re}z > 0\}$ पर $\Gamma(z) = \int_0^\infty t^{z-1}\eu^{-t}\dd t$ पर लगाइए।)

हल

हल — अभ्यास 16.7.

$G$ की सांतत्य: प्रभावी फलन $h$ (स्थानीय एकसमान परिबंध) के साथ प्रभावी अभिसरण। समविश्लेषिकता मोरेरा से (प्रमेय 16.15 के भीतर स्थापित): किसी ऐसे चक्र में जहाँ $\abs g \leq h$ हो, किसी संवृत त्रिभुज $T$ के लिए

\int_{\partial T}G(z)\,\dd z = \int_X\Bigl(\int_{\partial T}g(x, z)\,\dd z\Bigr)\dd\mu(x) = 0,

जिसमें अदला-बदली फुबिनी ( $\int_X\int_{\partial T}\abs g \leq \operatorname{length}(\partial T)\int h < \infty$ ) से और आंतरिक लोप गुरसा से है। $\Gamma$ के लिए: पट्टी $a \leq \operatorname{Re}z \leq b$ ( $0 < a \leq b$ ) पर $\abs{t^{z-1}\eu^{-t}} = t^{\operatorname{Re}z-1}\eu^{-t} \leq (t^{a-1} + t^{b-1})\eu^{-t}$ , जो $\intoo0{+\infty}$ पर समाकलनीय है: अतः $\Gamma$ $\{\operatorname{Re} z > 0\}$ पर समविश्लेषिक है (माप केवल $\sigma$ -परिमित है, पर तर्क को केवल समाकलनीय प्रभावी फलन चाहिए)। तत्समता प्रमेय से फलनीय समीकरण $\Gamma(z + 1) = z\Gamma(z)$ , जो $\intoo0{+\infty}$ (उदाहरण 10.16) पर सिद्ध हुआ, समूचे अर्ध-समतल पर लागू है।

अभ्यास 16.8 ★★★

(गाउस–लूका) मान लीजिए $P \in \C[X]$ अचरेतर है। दर्शाइए कि $P'$ का प्रत्येक मूल $P$ के मूलों के उत्तल कोश में होता है। ( $P$ के मूल न होने वाले $P'$ के किसी मूल $z$ पर $\frac{P'}{P} = \sum_k\frac{m_k}{z - a_k}$ लिखिए, संयुग्म लीजिए, और एक उत्तल संचय पढ़ लीजिए।) $P = z^3 - 1$ पर दर्शाइए।

हल

हल — अभ्यास 16.8.

$P = c\prod_k(X - a_k)^{m_k}$ लिखिए (समस्या 16.1)। मान लीजिए $P'(z) = 0$ । यदि $P(z) = 0$ हो, तो $z$ $a_k$ में से एक है: अतः उत्तल आवरण में। अन्यथा लघुगणकीय अवकलज

0 = \frac{P'(z)}{P(z)} = \sum_k\frac{m_k}{z - a_k} = \sum_k m_k\,\frac{\bar z - \bar a_k}{\abs{z - a_k}^2} ;

देता है; संयुग्मन करने पर $w_k = m_k/\abs{z - a_k}^2 > 0$ के साथ $\sum_kw_k(z - a_k) = 0$ : $z = \sum_k\frac{w_k}{\sum w}\,a_k$ , जो मूलों का कोई उत्तल संचय है। $P = z^3 - 1$ के लिए: मूल इकाई के घनमूल, और द्विक मूल $0$ के साथ $P' = 3z^2$ — अर्थात् समबाहु त्रिभुज का केंद्रक।

अभ्यास 16.9 ★★★

मान लीजिए $f$ समग्र और द्विक आवर्ती है: सभी $z$ के लिए $f(z + 1) = f(z + \iu) = f(z)$ । दर्शाइए कि $f$ अचर है। (संहत मूल वर्ग पर $f$ को परिबद्ध कीजिए, फिर सर्वत्र; ल्यूविल।) सार: अचरेतर दीर्घवृत्तीय फलनों के ध्रुव होने ही चाहिए — यही अध्याय 17 का विषय है।

हल

हल — अभ्यास 16.9.

संवृत इकाई वर्ग $K = \{x + \iu y : 0 \leq x, y \leq 1\}$ संहत है: $M = \sup_K\abs f < \infty$ । प्रत्येक $z \in \C$ $K$ के किसी बिंदु से $\Z + \iu\Z$ के किसी अवयव भर भिन्न होता है (पूर्णांक भाग घटाइए), और $f$ उन स्थानांतरणों के अंतर्गत निश्चर है (दोनों संबंधों की पुनरावृत्ति कीजिए): अतः $\C$ पर $\abs f \leq M$ । ल्यूविल: $f$ अचर है। इसलिए किसी भी अचरेतर द्विक-आवर्ती मेरोमॉर्फिक फलन — शास्त्रीय सिद्धांत के दीर्घवृत्तीय फलनों — के ध्रुव होने ही चाहिए।

अभ्यास 16.10 ★★

(क) दर्शाइए कि किसी समविश्लेषिक $f$ का $P = \operatorname{Re}f$ माध्य मान गुण $P(a) = \frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}P(a + r\eu^{\iu t})\dd t$ को संतुष्ट करता है और प्रसंवादी है: $\partial^2_{xx}P + \partial^2_{yy}P = 0$ (कोशी–रीमान का अवकलन कीजिए; अपेक्षित चिकनाई के लिए प्रमेय 16.10 का उपयोग कीजिए)। (ख) परिबद्ध प्रांतों पर समविश्लेषिक फलनों के वास्तविक भागों के लिए उच्चतम सिद्धांत निष्कर्ष के रूप में निकालिए।

हल

हल — अभ्यास 16.10.

(क) माध्य मान सूत्र (प्रमेय 16.14(1)) में वास्तविक भाग लीजिए। चिकनाई: $f$ वैश्लेषिक है, अतः $P, Q \in \mathcal C^\infty$ ; और कोशी–रीमान का अवकलन: $P_{xx} = (Q_y)_x = (Q_x)_y = (-P_y)_y = -P_{yy}$ (दूसरे अवकलजों की श्वार्ट्स सममिति): $\Delta P = 0$ ।

(ख) यदि $\operatorname{Re}f$ किसी संबद्ध $\Omega$ पर आंतरिक उच्चिष्ठ प्राप्त कर लेता: तो $g = \eu^f$ का $\abs g = \eu^{\operatorname{Re}f}$ आंतरिक उच्चिष्ठ प्राप्त कर लेता, अतः $g$ , इसलिए $\operatorname{Re}f = \ln\abs g$ , अचर होता (प्रमेय 16.14(2))। परिसीमा तक सांतत्य वाले किसी परिबद्ध प्रांत पर $\sup_{\bar\Omega}\operatorname{Re}f = \sup_{\partial\Omega}\operatorname{Re}f$ ।

अभ्यास 16.11 ★★★

(श्वार्ट्स परावर्तन) मान लीजिए $\Omega^+ = \{z : \abs z < 1,\ \operatorname{Im}z > 0\}$ , $I = \intoo{-1}1$ , और $f$ $\Omega^+$ पर समविश्लेषिक है, $\Omega^+\cup I$ पर संतत, और $I$ पर वास्तविक-मान वाला। परिभाषित कीजिए

F(z) = \begin{cases} f(z) & z \in \Omega^+\cup I,\\ \overline{f(\bar z)} & \bar z \in \Omega^+ . \end{cases}

(क) दर्शाइए कि $F$ $\Omega = \Omega^+\cup I\cup\Omega^-$ पर सुपरिभाषित और संतत है, तथा $\Omega^\pm$ पर समविश्लेषिक ( $\Omega^-$ के लिए: $\overline{f(\bar z)}$ के लिए कोशी–रीमान जाँचिए, अथवा $f$ का स्थानीय घात श्रेणी में प्रसार कीजिए और गुणांकों के संयुग्म लीजिए)। (ख) मोरेरा की कसौटी से दर्शाइए कि $F$ समूचे $\Omega$ पर समविश्लेषिक है: प्रत्येक त्रिभुज $T \subseteq \Omega$ के लिए $\int_{\partial T}F = 0$ ( $I$ पर त्रिभुजों को बाँटिए और एकसमान सांतत्य का उपयोग करते हुए उनकी क्षैतिज भुजाओं को $\varepsilon$ से अक्ष से हटाइए)। (ग) निष्कर्ष निकालिए: चक्र पर समविश्लेषिक और किसी व्यास पर वास्तविक कोई फलन $f(\bar z) = \overline{f(z)}$ को संतुष्ट करता है; और कोई अचरेतर समविश्लेषिक फलन अपने (संबद्ध) प्रांत के किसी भी अरिक्त विवृत उपसमुच्चय पर वास्तविक-मान वाला नहीं हो सकता।

हल

हल — अभ्यास 16.11.

(क) दोनों सूत्र $I$ पर सहमत हैं (वहाँ $z = \bar z$ और $f$ वास्तविक: $\overline{f(\bar z)} = \overline{f(z)} = f(z)$ ), और $z \mapsto \overline{f(\bar z)}$ $\Omega^-\cup I$ पर संतत प्रतिचित्रणों के संयोजन के रूप में संतत है: अतः $F$ $\Omega$ पर संतत है। $\Omega^-$ पर समविश्लेषिकता: $z_0 \in \Omega^-$ के निकट $\bar z_0 \in \Omega^+$ के निकट $f(w) = \sum c_n(w - \bar z_0)^n$ का प्रसार कीजिए; तब

\overline{f(\bar z)} = \sum_n\bar c_n\,(z - z_0)^n,

कोई अभिसारी घात श्रेणी: अतः समविश्लेषिक।

(ख) $I$ से बचने वाले त्रिभुज $\Omega^\pm$ में गुरसा सँभाल लेते हैं। $I$ से मिलने वाले किसी त्रिभुज को वास्तविक अक्ष से अधिक से अधिक तीन त्रिभुजों/चतुर्भुजों में काटिए, जिनमें से प्रत्येक की एक भुजा $I$ पर हो; और कहिए $\overline{\Omega^+}$ में अंतर्विष्ट ऐसे किसी टुकड़े $P$ के लिए परिरेखा समाकल $P + \iu \varepsilon$ -प्रकार के स्थानांतरों पर लिए गए समाकल की $\varepsilon \to 0^+$ पर सीमा है (संहत टुकड़े पर $F$ की एकसमान सांतत्य परिसीमा समाकलों को अभिसरित करा देती है, और $I$ पर की भुजा ऊपर से पहुँची जाती है), तथा प्रत्येक स्थानांतर $\Omega^+$ में होता है जहाँ गुरसा $0$ दे देते हैं। टुकड़ों का योग: $\int_{\partial T}F = 0$ । मोरेरा (प्रमेय 16.15 के भीतर की कसौटी): अतः $F$ $\Omega$ पर समविश्लेषिक है।

(ग) चक्र पर $G(z) = \overline{f(\bar z)}$ (क) के परिकलन से समविश्लेषिक है और व्यास पर $f$ से सहमत है, जो संचय बिंदुओं वाला समुच्चय है: अतः सर्वत्र $G = f$ (तत्समता प्रमेय)। यदि $f$ किसी अरिक्त विवृत समुच्चय $U$ पर वास्तविक होता: तो $U$ पर $Q = \operatorname{Im}f$ के दोनों आंशिक अवकलज लुप्त होते, और कोशी–रीमान इसे $P = \operatorname{Re}f$ तक अंतरित कर देते ( $P_x = Q_y = 0$ , $P_y = -Q_x = 0$ ), अतः $U$ पर $f' = P_x + \iu Q_x = 0$ : इसलिए $f$ $U$ पर अचर होता, और तत्समता प्रमेय से सर्वत्र ( $\Omega$ संबद्ध)।

अभ्यास 16.12 ★★

(सम्मिश्र पाइथागोरसीय समीकरण) $f^2 + g^2 = 1$ वाले समग्र फलनों के सभी युग्म ढूँढ़िए। (क) दर्शाइए कि $h = f + \iu g$ समग्र और शून्य-रहित है, और यह कि प्रत्येक शून्य-रहित समग्र फलन किसी समग्र $\varphi$ के लिए $\eu^{\varphi}$ होता है ( $h'/h$ समग्र है, अतः तारकाकार $\C$ पर उसका कोई आद्यंतर है; नियतांक समायोजित कीजिए और दर्शाइए कि $h\eu^{-\varphi}$ अचर है)। (ख) निष्कर्ष निकालिए कि समग्र $\varphi$ के साथ $f = \cos\varphi$ , $g = \sin\varphi$ , और विलोम जाँचिए। $f^2 + g^2 = 0$ के समग्र हल क्या हैं?

हल

हल — अभ्यास 16.12.

(क) $1 = f^2 + g^2 = (f + \iu g)(f - \iu g)$ , अतः $h = f + \iu g$ कभी लुप्त नहीं होता (उसके सहगुणक को फटना पड़ता)। शून्य-रहित समग्र $h$ के लिए: $h'/h$ समग्र है, और $\C$ तारकाकार है, अतः उसका कोई आद्यंतर $\varphi_0$ है (प्रमेय 16.8); तब $\bigl(h\eu^{-\varphi_0}\bigr)' = \eu^{-\varphi_0}(h' - h\varphi_0') = 0$ : $c \neq 0$ के साथ $h = c\,\eu^{\varphi_0}$ , और किसी अचर $\log c$ ( $c$ के किसी सम्मिश्र लघुगणक) को $\varphi = \varphi_0 + \log c$ में सोख लेने पर: $h = \eu^{\varphi}$ ।

(ख) $h = \eu^{\varphi}$ और $h^{-1} = f - \iu g = \eu^{-\varphi}$ के साथ:

f = \frac{\eu^{\varphi} + \eu^{-\varphi}}2, \qquad g = \frac{\eu^{\varphi} - \eu^{-\varphi}}{2\iu} .

समग्र $\psi = -\iu\varphi$ के साथ $\varphi = \iu\psi$ लिखने पर ये $f = \cos\psi$ , $g = \sin\psi$ के रूप में पढ़े जाते हैं: अतः समग्र हल ठीक समग्र $\psi$ वाले युग्म $(\cos\psi, \sin\psi)$ हैं, और विलोम सर्वसमिका $\cos^2 + \sin^2 = 1$ है। $f^2 + g^2 = 0$ के लिए: पूर्णांकीय प्रांत $\mathcal H(\C)$ में $(f + \iu g)(f - \iu g) = 0$ ( $\C$ संबद्ध: शून्य भाजक तत्समता प्रमेय का उल्लंघन करते): अतः स्वेच्छ समग्र $f$ के साथ $g = \pm\iu f$ ।

16.6 समस्या: बीजगणित की मूल प्रमेय, दो बार

समस्या 16.1

सप्ताहांत समस्या — $\C$ बीजीय रूप से संवृत है: दालांबेर की उपपत्ति, ल्यूविल की उपपत्ति, और फसल

मान लीजिए $P(z) = z^n + a_{n-1}z^{n-1} + \dots + a_0$ , $n \geq 1$ । हम दो बार सिद्ध करते हैं कि $P$ का कोई मूल है, और फिर वह सब बटोरते हैं जिसकी बीजगणित अध्याय 4 से प्रतीक्षा कर रहा है।

भाग I — प्रबलकारिता और न्यूनतम।

दर्शाइए कि $\abs z \to \infty$ पर $\abs{P(z)} \to +\infty$ : ठीक-ठीक, उपयुक्त $\abs z \geq R_0$ के लिए $\abs{P(z)} \geq \frac12\abs z^n$ ।
निष्कर्ष निकालिए कि $\abs P$ $\C$ पर एक वैश्विक न्यूनतम प्राप्त कर लेता है: ऐसा $z_0$ है जिसके लिए $\abs{P(z_0)} = \inf_\C\abs P$ (किसी बड़े संवृत चक्र की संहतता, उपप्रमेय 6.17)।

भाग II — दालांबेर का अवरोहण। विरोधाभास के लिए मान लीजिए $P(z_0) \neq 0$ ।

$Q(h) = P(z_0 + h)/P(z_0)$ का $h$ में बहुपद के रूप में प्रसार कीजिए: $Q(h) = 1 + c_kh^k + h^{k+1}S(h)$ , जहाँ $c_k \neq 0$ , $k \geq 1$ , और $S$ कोई बहुपद।
अवरोहण की दिशा चुनिए: छोटे $t > 0$ के लिए $h = t\,\omega$ रखिए, जहाँ $\omega^k = -1/c_k$ (ऐसा $\omega$ क्यों विद्यमान है? — जिस प्रमेय को सिद्ध किया जा रहा है उससे स्वतंत्र रूप से, ध्रुवीय रूप के माध्यम से किसी भी सम्मिश्र संख्या के $k$ -वें मूलों का अस्तित्व सिद्ध कीजिए)। दर्शाइए कि छोटे $t$ के लिए किसी स्पष्ट नियतांक $C$ के साथ

$\abs{Q(t\omega)} \leq 1 - t^k + C\,t^{k+1}$
निष्कर्ष निकालिए कि छोटे $t$ के लिए $\abs{Q(t\omega)} < 1$ — जो $\abs{P(z_0)}$ की न्यूनतमता का खंडन है। अतः $P(z_0) = 0$ : प्रत्येक अचरेतर सम्मिश्र बहुपद का कोई मूल होता है (दालांबेर–आर्गां)।

भाग III — ल्यूविल की एक पंक्ति, पूरी।

उपप्रमेय 16.12 की उपपत्ति सावधानी से लिखिए: यदि $P$ का कोई मूल न हो, तो सत्यापित कीजिए कि $1/P$ समग्र और परिबद्ध है (प्रश्न 1 का उपयोग करके मात्रात्मक बनाइए), अतः अचर, और निष्कर्ष निकालिए। दोनों उपपत्तियों की तुलना कीजिए: प्रत्येक किन अवयवों का उपयोग करती है? (संहतता दोनों में आती है — कहाँ?)

भाग IV — फसल।

दर्शाइए कि घात $n$ का प्रत्येक $P \in \C[X]$ विभाजित हो जाता है: $\sum m_i = n$ के साथ $P = c\prod_{i}(X - \alpha_i)^{m_i}$ (आगमन, $(X - \alpha)$ से यूक्लिडीय विभाजन)।
दर्शाइए कि $\R[X]$ के अखंडनीय बहुपद रैखिक बहुपद और ऋणात्मक विविक्तकर वाले द्विघात हैं (संयुग्म मूलों को युग्मित कीजिए); इससे निष्कर्ष निकालिए कि विषम घात के प्रत्येक वास्तविक बहुपद का कोई वास्तविक मूल होता है, और उस अंतिम तथ्य की एक दूसरी, क्रम-सैद्धांतिक उपपत्ति दीजिए (मध्यवर्ती मान प्रमेय) — और जाँचिए कि दोनों $X^3 - X - 1$ पर सहमत हैं।
वे ऋण निकालिए जो यह पुस्तक अब चुका सकती है: (क) किसी अशून्य परिमित-विमीय $\C$ -सदिश समष्टि की प्रत्येक अंतःसमाकारिता का कोई अभिलक्षणिक मान होता है, अतः प्रत्येक सम्मिश्र आव्यूह का जॉर्डन रूप होता है (प्रमेय 3.18); (ख) टिप्पणी 4.10 में प्रयुक्त बीजीय संख्याओं का क्षेत्र $\bar\Q$ वस्तुतः $\Q$ की एक बीजीय संवृति है।
(समापन) ठीक-ठीक बताइए कि $\Q(\iu)$ जैसे किसी क्षेत्र पर प्रत्येक उपपत्ति कहाँ टूट जाती: कौन-से चरण $k$ -वें मूलों के अस्तित्व (प्रश्न 4) का उपयोग करते हैं, और कौन-से संहतता या पूर्णता (प्रश्न 2 और 6) का? पाँच पंक्तियों में निष्कर्ष निकालिए: यह प्रमेय वास्तव में वैश्लेषिक है — प्रत्येक उपपत्ति कहीं न कहीं $\R$ की पूर्णता या संबद्धता का आह्वान करती है — यद्यपि उसका कथन विशुद्ध बीजीय है।

भाग V — समग्र फलनों की कठोरता की सीढ़ी। ल्यूविल किसी सीढ़ी का पहला डंडा है; अब हम उस पर चढ़ते हैं।

(कोशी आकलन) $a$ के परितः त्रिज्या $r$ के वृत्त पर कोशी सूत्र से सिद्ध कीजिए

$\bigl|f^{(n)}(a)\bigr| \leq \frac{n!\,\sup_{\abs{z-a}=r}\abs f}{r^n} ,$

और $n = 1$ , $r \to \infty$ की स्थिति के रूप में ल्यूविल पुनः प्राप्त कीजिए।
(बहुपदीय वृद्धि) दर्शाइए कि सभी $z$ के लिए $\abs{f(z)} \leq A + B\abs z^m$ वाला कोई समग्र $f$ घात $\leq m$ का बहुपद होता है (प्रश्न 11 से $m$ के आगे के टेलर गुणांक समाप्त कीजिए)।
(परिबद्ध वास्तविक भाग) दर्शाइए कि ऊपर से परिबद्ध $\operatorname{Re}f$ वाला कोई समग्र $f$ अचर होता है ( $\eu^{f}$ पर ल्यूविल लगाइए)।
(द्विक आवर्तिता) मान लीजिए $f$ समग्र है, $f(z + 1) = f(z)$ , और सभी $z$ के लिए $f(z + \iu) = f(z)$ । दर्शाइए कि $f$ अचर है। निष्कर्ष निकालिए: किसी अचरेतर “दीर्घवृत्तीय” फलन की एकलताएँ होनी ही चाहिए — यही वह ऐतिहासिक कारण है कि सम्मिश्र विश्लेषण में ध्रुव प्रवेश करते हैं।
(सघन परिसर) दर्शाइए कि किसी अचरेतर समग्र फलन का परिसर $\C$ में सघन होता है: यदि $f(\C)$ किसी चक्र $D(a, r)$ को छोड़ देता हो, तो $\frac1{f - a}$ समग्र और परिबद्ध होता। (पिकार ने सिद्ध किया कि परिसर अधिकतम एक बिंदु छोड़ता है; सघनता वह स्तर है जहाँ तक हमारे औजार पहुँचते हैं।)
(उचित $\Rightarrow$ बहुपद) मान लीजिए $f$ समग्र है और $\abs z \to \infty$ पर $\abs{f(z)} \to \infty$ । दर्शाइए: $f$ के शून्य परिमित संख्या में हैं ( $z_1, \dots, z_p$ , बहुलताओं $m_i$ सहित); भागफल $g = f/\prod(z - z_i)^{m_i}$ समग्र और शून्य-रहित है; $1/g$ की वृद्धि बहुपदीय है, अतः (प्रश्न 12) वह बहुपद है, और शून्य-रहित होने के कारण अनिवार्यतः अचर; निष्कर्ष निकालिए कि $f$ एक बहुपद है। अतः समग्र फलनों में बहुपद ठीक वही हैं जो उचित हैं — $\eu^z$ $\R_-$ के अनुदिश उचितता खो देता है।

भाग VI — प्रसंवादी छायाएँ और गाउस का एक माध्य मान।

मान लीजिए $f = u + \iu v$ किसी विवृत समुच्चय पर समविश्लेषिक है। सत्यापित कीजिए कि $u = \operatorname{Re}f$ माध्य मान गुण

$u(a) = \frac1{2\pi}\int_0^{2\pi} u\bigl(a + r\eu^{\iu\theta}\bigr)\,\dd\theta$

को संतुष्ट करता है (कोशी सूत्र का वास्तविक भाग), और किसी परिबद्ध प्रांत पर $u$ के लिए उच्चतम सिद्धांत निष्कर्ष के रूप में निकालिए, उसी संबद्धता उपपत्ति से जो $\abs f$ के लिए थी।
(गाउस का माध्य मान) $a \in \C$ और $\abs a \neq r$ वाले $r > 0$ के लिए सिद्ध कीजिए

$\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi} \log\bigl|a - r\eu^{\iu\theta}\bigr|\,\dd\theta = \log\max\bigl(\abs a, r\bigr)$

(यदि $\abs a > r$ : $z \mapsto \log\abs{a - z}$ संवृत चक्र के किसी प्रतिवेश पर किसी समविश्लेषिक लघुगणक का वास्तविक भाग है — ऐसा क्यों विद्यमान है? — अतः प्रश्न 17 लागू होता है; और यदि $\abs a < r$ : $\abs{a - r\eu^{\iu\theta}} = r\,\abs{1 - \frac ar\eu^{-\iu\theta}}$ का गुणनखंडन कीजिए और पहली स्थिति फिर से प्रयोग कीजिए)।
(माह्लर माप) $P = c\prod_{i=1}^n(X - \alpha_i) \in \C[X]$ के लिए बहुपदों के लिए येंसन का सूत्र निकालिए:

$\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}\log\bigl|P(\eu^{\iu\theta}) \bigr|\,\dd\theta = \log\Bigl(\abs c\prod_{i}\max(1, \abs{\alpha_i})\Bigr) :$

अर्थात् इकाई वृत्त पर $\abs P$ का गुणोत्तर माध्य चक्र के बाहर के मूल पढ़ लेता है। $P = X^2 - X$ पर और $P = 2X - 1$ पर सत्यापित कीजिए।
(बर्नूली संख्याएँ) $0$ के निकट $\frac{z}{\eu^z - 1} = \sum_{n\geq0}\frac{B_n}{n!} z^n$ से गुणांक $B_n$ परिभाषित कीजिए (बायाँ पक्ष $0$ पर वैश्लेषिक क्यों है?)। $(\eu^z - 1)\cdot\frac z{\eu^z-1} = z$ से पुनरावर्तन $\sum_{k=0}^{n}\binom{n+1}kB_k = 0$ ( $n \geq 1$ ) निकालिए, $B_0, \dots, B_6$ परिकलित कीजिए, और $k \geq 1$ के लिए $B_{2k+1} = 0$ दर्शाइए (फलन $\frac z{\eu^z-1} + \frac z2$ सम है)। ये संख्याएँ अध्याय 17 में प्रत्येक $\zeta(2k)$ का मोल तय करेंगी।
(वास्तविकता) दर्शाइए कि $\R$ पर वास्तविक मान लेने वाला कोई समग्र फलन सर्वत्र $f(\bar z) = \overline{f(z)}$ को संतुष्ट करता है ( $0$ पर टेलर गुणांकों की तुलना कीजिए, अथवा $z \mapsto \overline{f(\bar z)}$ पर तत्समता प्रमेय लगाइए); इससे पुनः निष्कर्ष निकालिए कि वास्तविक बहुपदों के अवास्तविक मूल संयुग्मी युग्मों में आते हैं (प्रश्न 8 की युग्मन, वैश्लेषिक रूप से पुनः सिद्ध)।
(सार) कठोरता की सीढ़ी संकलित कीजिए: परिबद्ध $\Rightarrow$ अचर; बहुपदीय रूप से परिबद्ध $\Rightarrow$ बहुपद; उचित $\Rightarrow$ बहुपद; किसी चक्र को छोड़ने वाला $\Rightarrow$ अचर; द्विक आवर्ती $\Rightarrow$ अचर। एक छोटे अनुच्छेद में वास्तविक $\mathcal C^\infty$ फलनों (उभार फलन, प्रमेय 12.9) से तुलना कीजिए: समविश्लेषिकता, जो विशुद्ध स्थानीय शर्त है, वैश्विक विधि-व्यवस्था क्यों थोप देती है?

भाग VII — अंतिम फसल।

(लांडाउ की असमिका) $P = \sum_{k=0}^na_kX^k$ के लिए माध्य मान $\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi} \abs{P(\eu^{\iu\theta})}^2\dd\theta = \sum_k\abs{a_k}^2$ सिद्ध कीजिए ( $\eu^{\iu k\theta}$ की लांबिकता), फिर बिंदुशः परिबंध $\log t \leq t - 1$ का उपयोग करके $\log\abs P^2$ और $\abs P^2$ के माध्यों की तुलना कीजिए, और प्रश्न 19 से निकालिए

$\abs c\prod_{i}\max\bigl(1, \abs{\alpha_i}\bigr) \;\leq\; \Bigl(\sum_{k=0}^{n}\abs{a_k}^2\Bigr)^{1/2} :$

अर्थात् इकाई चक्र के बाहर के मूलों का गुणनफल गुणांकों के $\ell^2$ आकार से नियंत्रित होता है (वृत्त पर के मूल $P(rX)$ पर असमिका लगाकर और $r \to 1$ जाने देकर सँभालिए)। इसे $X^2 - X$ पर जाँचिए।
(बर्नूली संख्याएँ क्रमगुणित की तरह बढ़ती हैं) दर्शाइए कि $\sum\frac{B_n}{n!}z^n$ की अभिसरण त्रिज्या ठीक $2\pi$ है: कम से कम $2\pi$ इसलिए कि $z/(\eu^z - 1)$ $D(0, 2\pi)$ तक समविश्लेषिक रूप से बढ़ जाता है, और अधिकतम $2\pi$ इसलिए कि अन्यथा योग $2\pi\iu$ के निकट परिबद्ध रहता, जहाँ $\abs{z/(\eu^z-1)} \to \infty$ । इससे निकालिए

$\limsup_{k\to\infty} \Bigl(\frac{\abs{B_{2k}}}{(2k)!}\Bigr)^{1/2k} = \frac1{2\pi} :$

अर्थात् बर्नूली संख्याएँ क्रमगुणित की तरह बढ़ती हैं। $B_{12} = -\frac{691}{2730}$ स्वीकार करते हुए (प्रश्न 20 का पुनरावर्तन, आगे चलाया गया), $\abs{B_{12}} \approx 0.25311$ की तुलना $k = 6$ पर तीक्ष्णतर भविष्यवाणी $2\,(2k)!/(2\pi)^{2k} \approx 0.25305$ से कीजिए — किसी स्पर्शोन्मुख नियम के चार मिलते हुए अंक, जिसे अध्याय 17 $\zeta(2k)$ के माध्यम से ठीक-ठीक सिद्ध करेगा।
(मूल संततता से हिलते हैं) मान लीजिए $(P_j)$ घात $n$ के मोनिक बहुपद हैं जिनके गुणांक (मोनिक) $P$ के गुणांकों पर अभिसरित होते हैं। कोशी परिबंध सिद्ध कीजिए: किसी मोनिक $Q = X^n + \sum_{k<n}q_kX^k$ का प्रत्येक मूल $\abs\alpha \leq 1 + \max_k\abs{q_k}$ को संतुष्ट करता है; इससे निष्कर्ष निकालिए कि $P_j$ के मूल किसी स्थिर संहत समुच्चय में रहते हैं, और मूल सदिशों के अभिसारी उपानुक्रम निकालकर तथा प्रश्न 7 के गुणनखंडन में सीमा लेकर, यह भी कि $P_j$ के मूल बहुसमुच्चय $P$ के मूल बहुसमुच्चय पर अभिसरित होते हैं। अंततः दर्शाइए कि इससे अधिक कुछ नहीं कहा जा सकता: $P_\varepsilon = X^2 - 2X + 1 + \varepsilon$ के लिए $\varepsilon = 10^{-4}$ आकार का विक्षोभ द्विक मूल $1$ को $10^{-2}$ जितना हिला देता है — अर्थात् किसी $m$ -गुणी मूल पर होल्डर घातांक $\frac1m$ , कभी लिप्शिट्ज़ नहीं: सांख्यिक दृष्टि से, बहुगुणी मूल आधे अंक खा जाते हैं।

हल

हल — समस्या 16.1.

1. $\abs z \geq 1$ के लिए:

\abs{P(z)} \geq \abs z^n\Bigl(1 - \frac{\abs{a_{n-1}}}{\abs z} - \dots - \frac{\abs{a_0}}{\abs z^n}\Bigr) \geq \abs z^n\Bigl(1 - \frac{A}{\abs z}\Bigr), \qquad A = \sum_k\abs{a_k} :

$\abs z \geq R_0 = \max(1, 2A)$ , $\abs{P(z)} \geq \frac12\abs z^n \to \infty$ के लिए।

2. $\frac12R^n \geq \abs{P(0)}$ वाला $R \geq R_0$ चुनिए। संहत $\bar D(0, R)$ पर संतत $\abs P$ अपना निम्निष्ठ किसी $z_0$ पर प्राप्त कर लेता है; और बाहर $\abs P \geq \frac12R^n \geq \abs{P(0)} \geq \abs{P(z_0)}$ : अतः निम्निष्ठ वैश्विक है।

3. $Q(h) = P(z_0 + h)/P(z_0)$ $Q(0) = 1$ के साथ $h$ में कोई बहुपद है; वह अचरेतर है ( $P$ है), अतः अचर पद से आगे कोई गुणांक शून्येतर है: $c_k \neq 0$ , $S \in \C[X]$ के साथ न्यूनतम $k \geq 1$ वाला $Q(h) = 1 + c_kh^k + h^{k+1}S(h)$ ।

4. मूल: किसी भी $w = \rho\eu^{\iu\varphi} \neq 0$ का $k$ -वाँ मूल $\rho^{1/k}\eu^{\iu\varphi/k}$ है, जहाँ $\rho^{1/k}$ $\intco0\infty$ पर $t \mapsto t^k$ पर लगाई गई मध्यवर्ती मान प्रमेय से विद्यमान है — कोई चक्रीयता नहीं। $\omega^k = -1/c_k$ वाला $\omega$ चुनिए। तब

Q(t\omega) = 1 - t^k + t^{k+1}\,\omega^{k+1}S(t\omega), \qquad \abs{Q(t\omega)} \leq 1 - t^k + C\,t^{k+1} \quad (0 < t \leq 1),

$C = \abs\omega^{k+1}\sup_{\abs h \leq \abs\omega}\abs{S(h)}$ के साथ (ध्यान दीजिए कि $\intcc01$ पर $1 - t^k \geq 0$ )।

5. $0 < t < \min(1, 1/C)$ के लिए: $\abs{Q(t\omega)} \leq 1 - t^k(1 - Ct) < 1$ , अर्थात् $\abs{P(z_0 + t\omega)} < \abs{P(z_0)}$ — जो वैश्विक न्यूनतमता का खंडन करता है। अतः $P(z_0) = 0$ : दालांबेर–आर्गां की उपपत्ति पूर्ण है।

6. ल्यूविल वाला रूप: यदि $P$ कभी लुप्त न हो, तो $1/P$ समग्र है; प्रश्न 1 से $\bar D(0, R_0)$ के बाहर $\abs{1/P} \leq 2R_0^{-n}$ , और $1/P$ उस संहत चक्र पर संतत है, अतः वहाँ भी परिबद्ध: इसलिए परिबद्ध समग्र, अतः अचर (उपप्रमेय 16.12), जिससे $P$ अचर हो जाता: असंगत। सामग्री: दालांबेर संहतता (निम्निष्ठ का अस्तित्व) और $k$ -वें मूलों के ध्रुवीय-रूप अस्तित्व का उपयोग करते हैं; और ल्यूविल समूचे कोशी उपकरण (गुरसा — जो स्वयं एक नेस्टेड संहतों का तर्क है — और कोशी आकलन) के साथ वही प्रबलकारिता। संवृत चक्रों की संहतता ही उभयनिष्ठ, अपरिहार्य गिरी है।

7. यदि $\deg P \geq 1$ हो, तो कोई मूल $\alpha$ चुनिए (प्रश्न 5); भाग दीजिए: $\deg Q = n - 1$ के साथ $P = (X - \alpha)Q + P(\alpha) = (X - \alpha)Q$ ; और आगमन कीजिए। बराबर गुणनखंडों को समूहित करने पर: $P = c\prod_i(X - \alpha_i)^{m_i}$ , $\sum m_i = n$ ।

8. वास्तविक $P$ के लिए: $P(\bar\alpha) = \overline{P(\alpha)} = 0$ , और बहुलताएँ सहमत होती हैं (गुणनखंडन का संयुग्मन लीजिए): अतः अवास्तविक मूल युग्मों में आते हैं और $(X - \alpha)(X - \bar\alpha) = X^2 - 2\operatorname{Re}(\alpha)X + \abs\alpha^2$ का योगदान देते हैं, जो विविक्तकर $< 0$ वाला कोई वास्तविक द्विघात है। अतः अखंडनीयों की कही गई सूची, और विषम घात का कोई वास्तविक बहुपद, जिसके अवास्तविक मूलों की संख्या सम है, कोई वास्तविक मूल रखता ही है। सीधी उपपत्ति: $x \to \pm\infty$ पर $P(x) \to \pm\infty$ (विषम घात, कहिए धनात्मक अग्र गुणांक), अतः $P$ चिह्न बदलता है, और मध्यवर्ती मान प्रमेय लागू होती है। $X^3 - X - 1$ के लिए: दोनों तर्क एकमात्र वास्तविक मूल $\approx 1.3247$ (और एक संयुग्म युग्म) दे देते हैं।

9. (क) $\chi_u \in \C[X]$ अचरेतर है: अतः उसका कोई मूल $\lambda$ है, और $\det(u - \lambda\,\mathrm{id}) = 0$ कोई अभिलक्षणिक सदिश दे देता है; तब प्रमेय 3.18 की प्रारंभिक-भाजक मशीनरी किसी भी सम्मिश्र आव्यूह पर लागू होती है, जिसमें $\chi$ सदैव विभाजित होता है। (ख) मान लीजिए $P \in \bar\Q[X]$ अचरेतर है। $\C$ पर बहुपद के रूप में उसका कोई मूल $z \in \C$ है; $z$ $\bar\Q$ पर बीजीय है, अतः संक्रामिता (उपप्रमेय 4.5) से $\Q$ पर भी, इसलिए $z \in \bar\Q$ : अर्थात् $\bar\Q$ पर प्रत्येक अचरेतर बहुपद का $\bar\Q$ में कोई मूल है।

10. $\Q(\iu)$ पर प्रश्न 4 पहले ही विफल हो जाता है: $k$ -वें मूलों का होना आवश्यक नहीं (कोई $\sqrt2$ नहीं), और मूल मान भी लें तो प्रश्न 2 विफल हो जाता है — $\Q$ में पूर्णता न होने से कोई न्यूनतमकारी अनुक्रम अभिसरित नहीं होता; और ल्यूविल के मार्ग में गुरसा के नेस्टेड संहत त्रिभुजों का $\Q(\iu)$ -बिंदुओं पर प्रतिच्छेद रिक्त होता है। दोनों उपपत्तियाँ $\R$ की पूर्णता (समतुल्य रूप से, परिबद्ध एकदिष्ट अभिसरण के माध्यम से क्रम-पूर्णता) खा जाती हैं; और संबद्धता ध्रुवीय रूप के पीछे की मध्यवर्ती मान प्रमेय को चलाती है। कथन “ $\C$ बीजीय रूप से संवृत है” बीजगणित है; पर उसकी प्रत्येक ज्ञात उपपत्ति $\R$ की परिभाषा के माध्यम से तस्करी किया गया विश्लेषण है।

11. $a$ पर प्रमेय 16.10 से $f^{(n)}(a) = n!\,c_n$ , जिसमें

c_n = \frac1{2\iu\pi}\int_{C_r}\frac{f(w)}{(w - a)^{n+1}}\,\dd w, \qquad \abs{c_n} \leq \frac{2\pi r}{2\pi}\cdot \frac{\sup_{C_r}\abs f}{r^{n+1}} = \frac{\sup_{C_r}\abs f}{r^{n}} :

अर्थात् $n!$ से गुणा करने के बाद दिखाए गए रूप में कोशी आकलन। यदि $\C$ पर $\abs f \leq M$ हो: तो प्रत्येक $a$ और प्रत्येक $r$ के लिए $r \to \infty$ पर $\abs{f'(a)} \leq M/r \to 0$ , अतः $f' \equiv 0$ और $f$ संबद्ध $\C$ पर अचर है — अर्थात् ल्यूविल पुनः प्राप्त।

12. $0$ पर $f = \sum_kc_kz^k$ का प्रसार कीजिए (त्रिज्या $\infty$ )। $k > m$ के लिए: $r \to \infty$ पर $\abs{c_k} \leq (A + Br^m)/r^k \to 0$ , अतः $c_k = 0$ : इसलिए $f = \sum_{k\leq m}c_kz^k$ अधिक से अधिक घात $m$ का बहुपद है।

13. $g = \eu^f$ $\abs g = \eu^{\operatorname{Re}f} \leq \eu^M$ के साथ समग्र है: अतः प्रश्न 11 से अचर। तब शून्य-रहित $g$ के साथ $0 = g' = f'g$ : $f' = 0$ और $f$ अचर है।

14. संहत संवृत इकाई वर्ग $K$ पर $M = \sup_K\abs f$ लीजिए। प्रत्येक $z$ $K$ के किसी बिंदु से $\Z + \iu\Z$ के किसी अवयव भर भिन्न होता है (पूर्णांक भाग घटाइए), और दोनों आवर्तिता संबंधों की पुनरावृत्ति $f$ को अपरिवर्तित छोड़ देती है: अतः समूचे $\C$ पर $\abs f \leq M$ , और प्रश्न 11 $f$ को अचर बना देता है। इसलिए जालक के अंतर्गत निश्चर कोई अचरेतर फलन समग्र नहीं हो सकता: शास्त्रीय सिद्धांत के दीर्घवृत्तीय फलनों को ध्रुव ढोने ही पड़ते हैं — अध्याय 17 का ऐतिहासिक द्वार।

15. यदि $f(\C)$ चक्र $D(a, r)$ छोड़ देता हो, तो सभी $z$ के लिए $\abs{f(z) - a} \geq r$ , अतः $g = 1/(f - a)$ $\abs g \leq 1/r$ के साथ समग्र है: ल्यूविल से अचर, इसलिए $f$ अचर। प्रतिधनात्मक रूप में: किसी अचरेतर समग्र फलन का परास प्रत्येक चक्र से मिलता है — अर्थात् वह $\C$ में सघन है।

16. $D(0, R)$ के बाहर $\abs f \geq 1$ वाला $R$ चुनिए। $f$ के शून्य संहत $\bar D(0, R)$ में हैं; और यदि वे अनंत होते, तो वे वहीं संचित होते, और प्रमेय 16.13 $f \equiv 0$ अनिवार्य कर देता — असंभव। उन्हें बहुलताओं $m_1, \dots, m_p$ के साथ $z_1, \dots, z_p$ कहिए, $M = \sum m_i$ रखिए और $\Pi(z) = \prod_i(z - z_i)^{m_i}$ । घात श्रेणी में से प्रत्येक शून्य को गुणनखंडित करने पर $g = f/\Pi$ समग्र और शून्य-रहित है। $\abs z \geq \max(R, 2\max_i\abs{z_i})$ के लिए: $\abs{z - z_i} \leq 2\abs z$ और $\abs f \geq 1$ , अतः $\abs{1/g} = \abs\Pi/\abs f \leq 2^M\abs z^M$ ; और शेष संहत चक्र पर $1/g$ संतत, अतः परिबद्ध है: इसलिए सर्वत्र $\abs{1/g} \leq A + B\abs z^M$ । प्रश्न 12 से $1/g$ कोई बहुपद है; और वह शून्य-रहित है, अतः प्रश्न 7 से कोई शून्येतर अचर $c$ : इसलिए $f = \frac1c\Pi$ कोई बहुपद है। विलोमतः प्रश्न 1 प्रत्येक अचरेतर बहुपद को यथोचित बना देता है। और $\eu^z$ ईमानदारी से अपवर्जित है: $\R_-$ के अनुदिश $\abs{\eu^z} = \eu^x \to 0$ जबकि $\abs z \to \infty$ ।

17. केंद्र पर प्रमेय 16.9 का प्राचलन कीजिए: $w = a + r\eu^{\iu\theta}$ , $\dd w = \iu r\eu^{\iu\theta}\dd\theta$ के साथ

f(a) = \frac1{2\iu\pi}\int_{C_r}\frac{f(w)}{w - a}\,\dd w = \frac1{2\pi}\int_0^{2\pi} f\bigl(a + r\eu^{\iu\theta}\bigr)\,\dd\theta ;

और वास्तविक भाग लेने पर $u$ का माध्य मान गुण मिल जाता है। यदि $u$ संबद्ध $\Omega$ के किसी आंतरिक बिंदु पर उच्चिष्ठ प्राप्त कर ले: तो $\abs{\eu^f} = \eu^u$ आंतरिक उच्चिष्ठ प्राप्त कर लेता है, अतः प्रमेय 16.14(2) से $\eu^f$ अचर है, और $u = \log\abs{\eu^f}$ भी। परिसीमा तक सांतत्य वाले किसी परिबद्ध प्रांत पर $\sup_{\bar\Omega}u = \sup_{\partial\Omega}u$ , ठीक वैसे ही जैसे $\abs f$ के लिए।

18. स्थिति $\abs a > r$ । $r < R < \abs a$ वाला $R$ चुनिए: उत्तल चक्र $D(0, R)$ पर फलन $a - z$ समविश्लेषिक और शून्य-रहित है, और $z \mapsto -1/(a - z)$ का वहाँ कोई आद्यंतर $L$ है (प्रमेय 16.8); अचर समायोजित करने के बाद $\bigl(\eu^{-L}(a - z)\bigr)' = \eu^{-L}\bigl(-L'\,(a - z) - 1\bigr) = 0$ $\eu^L = a - z$ दे देता है: अर्थात् कोई समविश्लेषिक लघुगणक विद्यमान है, और $\log\abs{a - z} = \operatorname{Re}L(z)$ । प्रश्न 17 का माध्य मान गुण $0$ पर, त्रिज्या $r$ :

\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi} \log\bigl|a - r\eu^{\iu\theta}\bigr|\,\dd\theta = \operatorname{Re}L(0) = \log\abs a .

स्थिति $\abs a < r$ । $a - r\eu^{\iu\theta} = -r\eu^{\iu\theta}\bigl(1 - \frac ar\eu^{-\iu\theta}\bigr)$ से माध्य $\log r$ और साथ में $\log\abs{1 - \frac ar\eu^{-\iu\theta}}$ के माध्य के बराबर है। प्रतिस्थापन $\theta \mapsto 2\pi - \theta$ , फिर — $\frac ar = \rho\eu^{\iu\varphi}$ , $\rho < 1$ लिखते हुए, और $a = 0$ स्थिति तुच्छ होने के कारण — विस्थापन $\theta \mapsto \theta - \varphi$ (दोनों किसी आवर्त पर माध्य सुरक्षित रखते हैं) इसे $\log\abs{1 - \rho\eu^{\iu\theta}}$ के माध्य में बदल देते हैं: अर्थात् $(a, r) = (1, \rho)$ के साथ पहली स्थिति, जो $\log 1 = 0$ देती है। कुल: दोनों स्थितियों में $\log r = \log\max(\abs a, r)$ ।

19. $\log\abs{P(\eu^{\iu\theta})} = \log\abs c + \sum_i\log\abs{\alpha_i - \eu^{\iu\theta}}$ , जिसमें प्रत्येक मूल अपनी बहुलता के अनुसार दोहराया गया है; $\theta$ में औसत लेकर और इकाई वृत्त से बाहर के प्रत्येक मूल पर $r = 1$ के साथ प्रश्न 18 लगाने पर $\log\bigl(\abs c\prod_i\max(1, \abs{\alpha_i})\bigr)$ मिलता है। जाँच। $P = 2X - 1 = 2(X - \frac12)$ के लिए सूत्र $\log 2$ की भविष्यवाणी करता है; और सीधे, $\abs{2\eu^{\iu\theta} - 1} = 2\abs{\frac12 - \eu^{\iu\theta}}$ तथा $\log\abs{\frac12 - \eu^{\iu\theta}}$ का माध्य $\log\max(\frac12, 1) = 0$ : अतः माध्य $\log 2$ । $P = X^2 - X = X(X - 1)$ के लिए मूल $1$ वृत्त पर बैठता है; और सूत्र $0$ की भविष्यवाणी करता है। सीधे, $\log\abs{\eu^{\iu\theta}}$ का माध्य $0$ है, और $\abs{\eu^{\iu\theta} - 1} = 2\abs{\sin\frac\theta2}$ के साथ:

\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi} \log\Bigl(2\sin\frac\theta2\Bigr)\dd\theta = \frac1\pi\int_0^\pi\log(2\sin u)\,\dd u = \log 2 + \frac J\pi, \qquad J = \int_0^\pi\log\sin u\,\dd u .

प्रतिस्थापन $u = 2v$ और $\sin 2v = 2\sin v\cos v$ $J = \pi\log2 + 2\int_0^{\pi/2}\log\sin + 2\int_0^{\pi/2}\log\cos = \pi\log 2 + 2J$ दे देते हैं ( $\sin$ की सममितियों से प्रत्येक आधा $J/2$ के बराबर है), अतः $J = -\pi\log 2$ (अनुचित समाकल अभिसरित होते हैं, क्योंकि $\log\sin$ अंत-बिंदुओं पर समाकलनीय है): अर्थात् माध्य $\log2 - \log2 = 0$ । सूत्र वृत्त पर के मूलों को झेल जाता है।

20. $\frac{\eu^z - 1}z = \sum_{j\geq0}\frac{z^j}{(j+1)!}$ समग्र है और $0$ पर $1$ के बराबर: अतः उसका व्युत्क्रम $0$ के निकट समविश्लेषिक है (वस्तुतः $\abs z < 2\pi$ पर, क्योंकि $\eu^z - 1$ के निकटतम अन्य शून्य $\pm2\iu\pi$ हैं), इसलिए $\frac z{\eu^z-1}$ $0$ पर वैश्लेषिक है। दोनों श्रेणियों को गुणा करके और $(\frac{\eu^z-1}z)\cdot(\frac z{\eu^z-1}) = 1$ में $z^n$ , $n \geq 1$ , का गुणांक पढ़ने पर:

\sum_{k=0}^{n}\frac{B_k}{k!\,(n+1-k)!} = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad \sum_{k=0}^{n}\binom{n+1}{k}B_k = 0 .

क्रमशः: $B_0 = 1$ , $B_1 = -\frac12$ , $B_2 = \frac16$ , $B_3 = 0$ , $B_4 = -\frac1{30}$ , $B_5 = 0$ , $B_6 = \frac1{42}$ । समता: $F(z) = \frac z{\eu^z-1} + \frac z2$ के साथ

F(-z) = \frac{-z}{\eu^{-z} - 1} - \frac z2 = \frac{z\,\eu^z}{\eu^z - 1} - \frac z2 = z + \frac{z}{\eu^z - 1} - \frac z2 = F(z) :

$F$ सम है, अतः $k \geq 1$ के लिए $B_{2k+1} = 0$ (अकेला विषम गुणांक $B_1$ $+\frac z2$ ने सोख लिया था)। आगे का संकेत: $\cot w = \iu + \frac{2\iu}{\eu^{2\iu w}-1}$ $w\cot w = 1 + \sum_{k\geq1}\frac{B_{2k}}{(2k)!}(2\iu w)^{2k}$ देता है, अतः कोटांजेंट के लोरां गुणांक — और इसलिए, अध्याय 17 से, प्रत्येक $\zeta(2k)$ — बर्नूली संख्याओं से आँके जाते हैं:

\zeta(2k) = (-1)^{k+1}\,\frac{(2\pi)^{2k}B_{2k}}{2\,(2k)!} .

21. $f = \sum_nc_nz^n$ लिखिए (त्रिज्या $\infty$ ); तब $g(z) = \overline{f(\bar z)} = \sum_n\bar c_nz^n$ समग्र है। $\R$ पर: $g(x) = \overline{f(x)} = f(x)$ , अतः $g$ और $f$ संबद्ध $\C$ में संचय बिंदुओं वाले किसी समुच्चय पर सहमत हैं: प्रमेय 16.13 $g \equiv f$ दे देती है, अर्थात् $f(\bar z) = \overline{f(z)}$ (समतुल्य रूप से: सभी $c_n$ वास्तविक हैं)। किसी वास्तविक बहुपद $P$ के लिए: $P(\bar\alpha) = \overline{P(\alpha)} = 0$ , और वही सर्वसमिका वास्तविक अवकलजों $P', P'', \dots$ पर लगाने से बहुलताएँ सुरक्षित रहती हैं: अतः अवास्तविक मूल युग्मबद्ध हो जाते हैं — प्रश्न 8 का युग्मन, वैश्लेषिक रूप से पुनः सिद्ध।

22. जोड़ी गई सीढ़ी: परिबद्ध $\Rightarrow$ अचर (11); $A + B\abs z^m$ से प्रभावित $\Rightarrow$ बहुपद (12); ऊपर से परिबद्ध वास्तविक भाग $\Rightarrow$ अचर (13); द्विक-आवर्ती $\Rightarrow$ अचर (14); कोई चक्र छोड़ता परास $\Rightarrow$ अचर (15); यथोचित $\Rightarrow$ बहुपद (16)। प्रत्येक पायदान कोशी का सूत्र है: किसी बिंदु पर मान एक वृत्तीय औसत है, अतः सभी टेलर गुणांक बड़े वृत्तों पर $f$ के आकार से आँके जाते हैं, और कोई वृद्धि-सीमा गुणांकों को थोक में मार देती है। वास्तविक $\mathcal C^\infty$ फलनों पर ऐसा कुछ भी बंधन नहीं है: कोई उभार फलन (प्रमेय 12.9) परिबद्ध, संहत आलंबित और उन्मुक्त रूप से अचरेतर होता है, और आलंब के बाहर किसी भी बिंदु पर उसके सभी अवकलज लुप्त हो जाते हैं जबकि फलन आसपास कहीं भी लुप्त नहीं होता। चिकनाई भिन्न बिंदुओं के अवकलजों को बिलकुल नहीं जोड़ती; और समविश्लेषिकता प्रत्येक अवकलज को किसी दूरस्थ वृत्त पर के एक ही समाकल से बाँध देती है। एक स्थानीय शर्त और एक वैश्विक मुखबिर — इसीलिए समग्र फलन नियम-क़ानून मानते हैं।

23. $\abs{P(\eu^{\iu\theta})}^2 = \sum_{k,l}a_k\bar a_l \eu^{\iu(k-l)\theta}$ का प्रसार करके औसत लेने पर प्रत्येक पद $k \neq l$ मर जाता है: अतः माध्य $\sum_k\abs{a_k}^2 =: N$ है। पहले मान लीजिए कि $P$ का इकाई वृत्त पर कोई शून्य नहीं है, अतः $\theta \mapsto \log\abs{P(\eu^{\iu\theta})}$ संतत है। परिबंध $\log t \leq t - 1$ को $t = \abs P^2/N$ पर लगाकर औसत लेने पर

\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}\log\abs{P(\eu^{\iu\theta})}^2 \dd\theta - \log N \;\leq\; \frac1N\cdot N - 1 = 0,

अतः $\abs P$ का गुणोत्तर माध्य अधिक से अधिक $\sqrt N$ है; और प्रश्न 19 उस गुणोत्तर माध्य की पहचान $\abs c\prod_i\max(1, \abs{\alpha_i})$ से कर देता है: यही लांडाउ की असमिका है। वृत्त पर के मूल: प्रत्येक $\abs{\alpha_i}$ से भिन्न $r > 1$ चुनिए; बहुपद $P(rX)$ , जिसके मूल $\alpha_i/r$ इकाई वृत्त से बाहर हैं और गुणांक $a_kr^k$ , असमिका संतुष्ट करता है; और दोनों पक्ष $r$ में संतत हैं, अतः $r \to 1^+$ लेने पर व्यापक स्थिति मिल जाती है। $X^2 - X$ पर: मूल $0$ और $1$ , अतः बायाँ पक्ष $1$ है, और दायाँ पक्ष $\sqrt{1 + 1} = \sqrt2$ : सत्य, खुली जगह के साथ।

24. समग्र $g(z) = \sum_{k\geq0}\frac{z^k}{(k+1)!}$ , $g(0) = 1$ के साथ $\eu^z - 1 = z\,g(z)$ लिखिए। चूँकि ठीक $2\pi\iu\Z$ पर $\eu^z = 1$ , अतः $g$ का $D(0, 2\pi)$ में कोई शून्य नहीं है ( $0 < \abs z < 2\pi$ के लिए क्योंकि $\eu^z - 1 \neq 0$ , और $0$ पर $g(0) = 1$ से), इसलिए $h = 1/g$ $D(0,2\pi)$ पर समविश्लेषिक है और $0$ पर उसकी टेलर श्रेणी — जो परिभाषा से $\sum\frac{B_n}{n!}z^n$ है — समूचे चक्र पर अभिसरित होती है: $\rho \geq 2\pi$ । यदि $\rho > 2\pi$ होता, तो योग $S$ $D(0,\rho)$ पर समविश्लेषिक होता, और वह $0 < \abs z < 2\pi$ पर $z \mapsto z/(\eu^z - 1)$ से सहमत है; दोनों संबद्ध विवृत समुच्चय $D(0,\rho) \setminus 2\pi\iu\Z$ पर समविश्लेषिक हैं, अतः तत्समता प्रमेय से वे वहाँ सहमत होते। पर $z \to 2\pi\iu$ पर $\abs{z/(\eu^z - 1)} \to \infty$ (अंश $\to 2\pi$ , हर $\to 0$ ) जबकि $S$ $2\pi\iu$ पर संतत है: विरोधाभास। अतः ठीक $\rho = 2\pi$ , और आदमार का सूत्र $\limsup_n\abs{B_n/n!}^{1/n} = \frac1{2\pi}$ दे देता है; और $n = 3$ से आगे विषम गुणांक शून्य होने के कारण $\limsup$ सम सूचकांक ढोते हैं, जो $n = 2k$ के साथ कहा गया सूत्र है। $k = 6$ पर संख्यात्मक रूप से: $(2\pi)^{12} \approx 3.7858\cdot10^9$ और $2\cdot12! = 958\,003\,200$ , अतः $2\,(2k)!/(2\pi)^{2k} \approx 0.25305$ , जबकि $\abs{B_{12}} = \frac{691}{2730} \approx 0.25311$ । अनुपात $1.00025$ दिखाए गए अंकों तक ठीक $\zeta(12)$ है: अध्याय 17 का अवशेष-कलन सूत्र $\zeta(2k) = (-1)^{k+1}\frac{(2\pi)^{2k}B_{2k}}{2\,(2k)!}$ गुणक $2$ और उस नन्ही अधिकता दोनों को समझा देता है।

25. कोशी परिबंध: यदि $M = \max_k\abs{q_k}$ के साथ $\abs z > 1 + M$ हो, तो

\Bigl|\sum_{k<n}q_kz^k\Bigr| \leq M\,\frac{\abs z^n - 1}{\abs z - 1} < \frac{M}{\abs z - 1}\,\abs z^n \leq \abs z^n,

अतः $\abs{Q(z)} > 0$ : इसलिए सभी मूल $\overline D(0, 1+M)$ में हैं। $P_j$ के गुणांक अभिसरित होते हैं, अतः किसी $M$ से परिबद्ध हैं: इसलिए सभी $P_j$ के (और $P$ के) सभी मूल संहत $K = \overline D(0, 1 + M)$ में हैं। मान लीजिए $v_j \in K^n$ $P_j$ के मूलों को बहुलता सहित सूचीबद्ध करने वाला सदिश है (प्रश्न 7)। $(v_j)$ के प्रत्येक उपानुक्रम का कोई आगे का उपानुक्रम किसी $(\beta_1, \dots, \beta_n)$ पर अभिसरित होता है; और $\prod_i(X - \alpha_i^{(j)})$ के गुणांक चिह्न तक $v_j$ के प्रारंभिक सममित फलन हैं — जो संतत हैं — अतः उस उपानुक्रम के अनुदिश वे $\prod_i(X - \beta_i)$ के गुणांकों पर अभिसरित होते हैं; पर परिकल्पना से वे $P$ के गुणांकों पर अभिसरित होते हैं, इसलिए $\prod_i(X - \beta_i) = P$ : अर्थात् $(v_j)$ की प्रत्येक उपानुक्रमिक सीमा $P$ के मूल सदिश का कोई क्रमचय है। यदि मिलान दूरी $\delta_j = \min_\sigma\max_i\, \abs{\alpha_i^{(j)} - \alpha_{\sigma(i)}}$ $0$ की ओर न जाती, तो कोई उपानुक्रम $\delta_j \geq \varepsilon$ बनाए रखता जबकि उसके मूल सदिश $P$ के मूलों के किसी क्रमचय पर अभिसरित होते — जिससे उसके अनुदिश $\delta_j \to 0$ अनिवार्य हो जाता: विरोधाभास। अतः मूल बहुसमुच्चय अभिसरित होते हैं। तीक्ष्णता: $P_\varepsilon = (X - 1)^2 + \varepsilon$ के मूल $1 \pm \iu\sqrt\varepsilon$ हैं: द्विक मूल $\sqrt\varepsilon$ भर हट जाता है, उदाहरणार्थ $\varepsilon = 10^{-4}$ के लिए $10^{-2}$ भर। व्यापक रूप से, यदि $\alpha$ कोई $m$ -गुणा मूल हो, तो $\alpha$ के निकट $\abs{P(z)} \asymp \abs{z - \alpha}^m$ , अतः आकार- $\varepsilon$ का कोई विक्षोभ मूलों के गुच्छ को लगभग $\varepsilon^{1/m}$ भर विस्थापित कर देता है: अर्थात् घातांक $\frac1m$ की होल्डर सांतत्य, और इससे बेहतर नहीं — और इसीलिए किसी द्विक मूल के निकट कोई संख्यात्मक हलकर्ता काम के आधे ही अंक बचा पाता है।

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