पूर्णांकीय प्रांत, क्षेत्र क्या है?

उदाहरण 7.19 (वर्गसम अवयव: नए वलयों में नई परिघटनाएँ)

$\Z$ में समीकरण $x^2 = x$, अर्थात् $x(x - 1) = 0$, के केवल हल $0$ और $1$ हैं। $\Z/6\Z$ में सभी वर्ग जाँचिए: $\overline0^2 = \overline0$, $\overline1^2 = \overline1$, $\overline3^2 = \overline9 = \overline3$ और $\overline4^2 = \overline{16} = \overline4$ — अर्थात् चार वर्गसम अवयव। दोनों विलक्षण अवयव शून्य भाजकों से आते हैं: $\overline3\,(\overline3 - \overline1) = \overline3 \times \overline2 = \overline6 = \overline0$, जहाँ कोई भी गुणनखंड शून्य नहीं है। ऐसी संगणनाएँ हमारी सहज बुद्धि को अंशांकित करती हैं: समीकरणों के परिचित तथ्य पूर्णांकीय प्रांतों और क्षेत्रों में बचे रहते हैं, पर कोई व्यापक वलय भिन्न व्यवहार कर सकता है और करता भी है — अभ्यास 7.10 के बूली वलय भी देखिए, जहाँ प्रत्येक अवयव वर्गसम है।

उदाहरण 7.26 ($1$ के कितने वर्गमूल?)

$\Z/8\Z$ में और $\Z/7\Z$ में $x^2 = \overline 1$ हल कीजिए। $8$ के सापेक्ष आठों वर्ग जाँचिए: $1^2 = 1$, $3^2 = 9 \equiv 1$, $5^2 = 25 \equiv 1$, $7^2 = 49 \equiv 1$ — अर्थात् चार हल $\{\overline1, \overline3, \overline5, \overline7\}$, यद्यपि बहुपद $X^2 - 1$ की घात $2$ है। इसके विपरीत क्षेत्र $\Z/7\Z$ में $x^2 = \overline1$ का अर्थ है $(x - \overline1)(x + \overline1) = \overline0$, और क्षेत्र में कोई शून्य भाजक नहीं होता: $x = \pm\overline1$, अर्थात् केवल दो हल। $8$ के सापेक्ष विफलता का कारण पहचाना जा सकता है: $(3-1)(3+1) = 2 \times 4 = 8 \equiv 0$, जहाँ कोई भी गुणनखंड लुप्त नहीं होता। उपदेश: परिचित नियम “घात $d$ के समीकरण के अधिक से अधिक $d$ मूल होते हैं” पूर्णांकीय प्रांतों के विषय में प्रमेय है (उपप्रमेय 8.8 उसे क्षेत्रों पर सिद्ध करता है); शून्य भाजकों वाले वलयों में वह चुपचाप विफल हो जाता है — और ठीक इसीलिए विल्सन की प्रमेय की युग्मन उपपत्ति (अभ्यास 6.11) को $p$ का अभाज्य होना चाहिए था।