¿Qué es Dominio de integridad, cuerpo?

Ejemplo 7.19 (Idempotentes: fenómenos nuevos en anillos nuevos)

En $\Z$, la ecuación $x^2 = x$, es decir, $x(x - 1) = 0$, solo tiene las soluciones $0$ y $1$. En $\Z/6\Z$, probando todas las clases: $\overline0^2 = \overline0$, $\overline1^2 = \overline1$, $\overline3^2 = \overline9 = \overline3$ y $\overline4^2 = \overline{16} = \overline4$ — cuatro idempotentes. Los dos exóticos vienen de los divisores de cero: $\overline3\,(\overline3 - \overline1) = \overline3 \times \overline2 = \overline6 = \overline0$ sin que ninguno de los factores sea cero. Cálculos así calibran la intuición: los hechos familiares sobre ecuaciones sobreviven en los dominios de integridad y en los cuerpos, pero un anillo general puede comportarse de otro modo, y lo hace — véanse también los anillos booleanos del Ejercicio 7.10, donde todo elemento es idempotente.

Ejemplo 7.26 (¿Cuántas raíces cuadradas de $1$?)

Resuélvase $x^2 = \overline 1$ en $\Z/8\Z$ y en $\Z/7\Z$. Probando las ocho clases módulo $8$: $1^2 = 1$, $3^2 = 9 \equiv 1$, $5^2 = 25 \equiv 1$, $7^2 = 49 \equiv 1$ — cuatro soluciones $\{\overline1, \overline3, \overline5, \overline7\}$, aunque el polinomio $X^2 - 1$ tenga grado $2$. En el cuerpo $\Z/7\Z$, en cambio, $x^2 = \overline1$ significa $(x - \overline1)(x + \overline1) = \overline0$, and a field has no zero divisors: $x = \pm\overline1$, solo dos soluciones. El fallo módulo $8$ es rastreable: $(3-1)(3+1) = 2 \times 4 = 8 \equiv 0$ sin que se anule ninguno de los factores. Moraleja: la regla familiar «una ecuación de grado $d$ tiene a lo sumo $d$ raíces» es un teorema sobre dominios de integridad (el Corolario 8.8 lo demuestra sobre cuerpos); en los anillos con divisores de cero falla en silencio — que es exactamente por lo que la demostración por emparejamiento del teorema de Wilson (Ejercicio 6.11) necesitaba $p$ primo.