O que é Domínio de integridade, corpo?

Exemplo 7.19 (Idempotentes: fenômenos novos em anéis novos)

Em $\Z$, a equação $x^2 = x$, isto é, $x(x - 1) = 0$, só tem as soluções $0$ e $1$. Em $\Z/6\Z$, testando todas as classes: $\overline0^2 = \overline0$, $\overline1^2 = \overline1$, $\overline3^2 = \overline9 = \overline3$ e $\overline4^2 = \overline{16} = \overline4$ — quatro idempotentes. Os dois exóticos vêm dos divisores de zero: $\overline3\,(\overline3 - \overline1) = \overline3 \times \overline2 = \overline6 = \overline0$, sem que nenhum dos fatores seja nulo. Cálculos assim calibram os instintos: fatos familiares sobre equações sobrevivem em domínios de integridade e corpos, mas um anel geral pode se comportar — e se comporta — de outro modo; veja também os anéis booleanos do Exercício 7.10, em que todo elemento é idempotente.

Exemplo 7.26 (Quantas raízes quadradas de $1$?)

Resolva $x^2 = \overline 1$ em $\Z/8\Z$ e em $\Z/7\Z$. Testando as oito classes módulo $8$: $1^2 = 1$, $3^2 = 9 \equiv 1$, $5^2 = 25 \equiv 1$, $7^2 = 49 \equiv 1$ — quatro soluções $\{\overline1, \overline3, \overline5, \overline7\}$, embora o polinômio $X^2 - 1$ tenha grau $2$. No corpo $\Z/7\Z$, em contrapartida, $x^2 = \overline1$ significa $(x - \overline1)(x + \overline1) = \overline0$, e um corpo não tem divisores de zero: $x = \pm\overline1$, apenas duas soluções. A falha módulo $8$ é rastreável: $(3-1)(3+1) = 2 \times 4 = 8 \equiv 0$, sem que nenhum dos fatores se anule. Moral: a regra familiar “uma equação de grau $d$ tem no máximo $d$ raízes” é um teorema sobre domínios de integridade (o Corolário 8.8 a demonstra sobre corpos); em anéis com divisores de zero ela falha silenciosamente — e é exatamente por isso que a demonstração por emparelhamento do teorema de Wilson (Exercício 6.11) precisou de $p$ primo.